6.3余角补角对顶角(2)

C A 2
O 1
用剪刀剪东西时，哪对角同时变大或变小？ 用剪刀剪东西时，哪对角同时变大或变小？ 将剪刀简单地表示为如下的几何图形 【问题 】 ∠1与∠2的位置有什么 与 的 关系？能试着说明你的理由吗？ 关系？能试着说明你的理由吗？ 如图，直线AB与CD相交于点 ， 相交于点O， 如图，直线 与 相交于点 有公共顶点， ∠1与∠2有公共顶点，它们的两 与 有公共顶点 边互为反向延长线， 边互为反向延长线，这样的两个 角叫做对顶角 B
D
（1）有公共顶点； 有公共顶点；
对顶角条件 （2）两边互为反向延长线。 两边互为反向延长线。
如图直线AB和 相交与点 相交与点O，试判断∠ 如图直线 和CD相交与点 ，试判断∠AOC与 与 的大小， ∠BOD的大小，并说明理由。 的大小 并说明理由。 你能得到什么结论？请与同学交流。 你能得到什么结论？请与同学交流。
如图：直线 和 相交与点 相交与点O， 平分 如图：直线AB和CD相交与点 ，OE平分 ∠AOC， ∠AOE=250，你能说出图中哪 ， 些角的度数？与同学交流。 些角的度数？与同学交流。
A D E C B
例题 评讲
例1、如图 与CD相交与 、如图AB与 相交与 点0， ∠DOE=900 ， ∠AOC=720，求∠BOE的 的 度数？ 度数？
思考
1.下列说法是否正确？为什么？ 下列说法是否正确？为什么？ 下列说法是否正确 （1）有公共顶点的两个角是对顶角。 ）有公共顶点的两个角是对顶角。 不正确。如图， 答：不正确。如图，∠AOB与∠COD有 与 有 B C O
A
D 公共顶点O，但它们不是对顶角。 公共顶点 ，但它们不是对顶角。 （2）有公共顶点而没有公共边的两个角是对顶角。 ）有公共顶点而没有公共边的两个角是对顶角。 不正确。如上图， 有公共顶点O， 答：不正确。如上图，∠AOB与∠COD有公共顶点 ，而且 与 有公共顶点 没有公共边，但它们不是对顶角。 没有公共边，但它们不是对顶角。 A （3）相邻的两个角是邻补角。 ）相邻的两个角是邻补角。 不正确。如图， 答：不正确。如图，∠AOB 与∠BOC 有 公共顶点和一条公共边， 公共顶点和一条公共边，是相邻的两 个角，但不互补，所以不是邻补角。 个角，但不互补，所以不是邻补角。 O B
1
D
B
邻补角互补
练一练
1.下列图形中，∠1和∠2是对顶角的图形是（ C ） 下列图形中， 是对顶角的图形是（ 下列图形中 和 是对顶角的图形是
1 1 2 1 2 2 1 2
（A）
（B）
（C）
（D）
2.如图，三条直线AB,CD,EF两两相交，你能找出图中 如图，三条直线 两两相交， 如图 两两相交 所有的对顶角吗？ 所有的对顶角吗？
F D R Q E B
F R A C P
D
A C
P
Q E
B
3、下列各图中，O、P在直线 上，图中有邻补角吗？有对顶 、下列各图中， 、 在直线AB上 图中有邻补角吗？ 在直线 角吗？如果有，请把它们指出来。 角吗？如果有，请把它们指出来。 C C （1） ） （2） ） A P B A B O O 无对顶角，有两对邻补角： 无对顶角，有两对邻补角： 无对顶角，有两对邻补角： 无对顶角，有两对邻补角： D D ∠AOC与∠BOC 与 ∠AOC与∠BOC 与 C D ∠AOD与∠BOD 与 ∠APD与∠BPD 与 E （3） ） （4） ） A B A B O O 无对顶角， 对邻补角： 无对顶角，有三 对邻补角： 无对顶角， 对邻补角： 无对顶角，有三 对邻补角： C D E ∠AOC与∠BOC 与 ∠AOE与∠BOE 与 ∠AOC与∠BOC 与 ∠AOD与∠BOD 与 ∠AOD与∠BOD 与 ∠AOE与∠BOE 与
C
2. (1) 对顶角相等。反过来， 相等的 两个角一定是对顶Biblioteka 对顶角相等。反过来， 角吗？ 角吗？
2 ( 2)邻补角互补。反过来，互补的角（度数的和等于180°的两 邻补角互补。反过来，互补的角（度数的和等于 ° 邻补角互补 个角）一定是邻补角吗？ 个角）一定是邻补角吗？ 3 4
A C E 第3题 题 D O B
A
450 O 南 东
第2题 题
C A O D B
C O F D
E A F O
E B
A O D
C
C
A O F
E
B D
C A H
E
O F
G B
B
D
M E C G A B O …… H F N D
(1)
(2) 6
(3) 12
(4) …… 20
… 2 … 若有n条直线相交于一点 条直线相交于一点O，那么有__________对对顶角 若有 条直线相交于一点 ，那么有 对对顶角
对顶角性质
【问题】 ∠1与∠3的位置有什么关系？它们的 问题】 与 的位置有什么关系？ 大小有什么关系？ 大小有什么关系？ C 直线AB与 相交于点 相交于点O, 直线 与CD相交于点 ∠1与 与 A 2 有公共顶点O， ∠3有公共顶点 ，有一条公共边 有公共顶点 O OD，它们的另一条边互为反向延 ， 3 长线，这样的两个角叫邻补角 长线，这样的两个角叫邻补角
E B C
解： ∠BOD= ∠AOC=720 （为什么？） 为什么？）
∠BOE= ∠DOE－ ∠BOD － = 900－ 720=180
O A
D
例2、当光线从空气射入水中时，光线 、当光线从空气射入水中时， 的传播方向发生了改变，这就是折射现 的传播方向发生了改变， 如图所示）。 ）。图中 象（如图所示）。图中∠1与∠2是对 顶角吗？ 顶角吗？
答：40°
方法一：可利用对 顶角相等得出。 方法二：可利用补角得出。
练一练
1、如图，已知EF⊥CD，垂足为点 ，AB 、如图，已知 ⊥ ，垂足为点O， 是经过点O的一条直线 如果∠ 的一条直线。 是经过点 的一条直线。如果∠AOC=700， 那么∠ 等于多少度?为什么 那么∠BOF等于多少度 为什么 等于多少度 为什么?
D E A C O B F
练一练
2、如图（1）指出 、如图（ ）指出OA表 表 示什么方向？（ ？（2） 示什么方向？（ ）画OA 的反向延长线， 的反向延长线，并指出它 的方向。 的方向。
北
3、如图，已知直线AB、CD相 、如图，已知直线 、 相 交于点O， 交于点 ， ∠AOC+∠COE=900， ∠ 请写出图中与∠ 互余的角、 请写出图中与∠COE互余的角、 互余的角 互补的角。 与∠BOD互补的角。 互补的角 西
不是对顶角。因为： 答：∠1和∠2 不是对顶角。因为： 和 的一条边不是∠ 的反向延长线 的反向延长线。 ∠2的一条边不是∠1的反向延长线。 的一条边不是
如图所示，有一个破损的扇形零件， 如图所示，有一个破损的扇形零件，利用 图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆 心角的度数.你能说出所量角是多少度吗 你能说出所量角是多少度吗？ 心角的度数 你能说出所量角是多少度吗？ 你的根据是什么？ 你的根据是什么？
义务教育课程标准实验教科书
数 学
七年级（上册） 七年级（上册） 江苏科学技术出版社
6.3余角补角对顶角（2） 6.3余角补角对顶角（ 余角补角对顶角
小孔成像
我国古代的墨子对光学很有研究， 我国古代的墨子对光学很有研究， 对光的直线传播、 对光的直线传播、光的反射和物 影成像，进行了精彩的描述。 影成像，进行了精彩的描述。有 一次墨子做了一个实验， 一次墨子做了一个实验，他通过 了小孔成像阐述了光的直线传播 原理。 原理。这后来成了摄影技术的先 声。
通过小孔O，左图中的两条光线形成了 个角 个角： 通过小孔 ，左图中的两条光线形成了4个角： AOB、 ∠AOB、∠AOB’、 ∠A’OB’ 、∠A’ OB 我们把其中的∠AOB与 叫做对顶角 我们把其中的∠AOB与∠A’OB’叫做对顶角
A B O
B’
A’ 同样∠AOB’与∠A’ OB也是对顶角 同样∠ OB也是对顶角