秋经济数学基础形考任务四网上作业参考答案

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经济数学基础形考任务四网上作业参考答案
（2018年秋季）
一、计算题（每题6分，共60分）（如果以附件形式提交，请在在线输入框中，输入“见附件”）
题目1
1．设，求．
2．已知，求．
3．计算不定积分．
4．计算不定积分．
5．计算定积分．
6．计算定积分．
7．设
，求．
8．设矩阵，，求解矩阵方程．
9．求齐次线性方程组的一般解．
10．求为何值时，线性方程组
参考答案：
1．y’ = (-x2)’e−x2+(2x)’(-sin(2x))
= -2x e −x 2
-2sin(2x)
2. d(x 2)+d(y 2)-d(xy)+d(3x)=0 2xdx+2ydy-ydx-xdy+3dx=0 (2x-y+3)dx+(2y-x)dy =0 dy=
2x−y+3x−2y
dx
3. ∫x√2+x 2dx =1
2∫√2+x 2d(x 2+2)
令u=x 2+2,
1
2∫√2+x 2d(x 2+2)=1
2
∫√udu =12∗2
3u 32
+C =1
3(2+x 2)3
2+C
4. 解法一： 令u=x
2,
∫xsin(x
2)dx =∫2u ∗sin?(u)d(2u)
=4∫u ∗sin (u )du =−4∫ud(cos?(u)) =−4(u ∗cos (u )−∫cos?(u)du) =−4u ∗cos (u )+4sin (u )+C
=−2xcos (x
2)+4sin (x
2)+C
解法二：
求导列 积分列
∫xsin(x 2)dx =−2xcos (x 2)+4sin (x
2)+C
5. ∫e 1
x
x 2dx
21=
−∫e 1x d(1x )21 令u =
1x , −∫e 1x d (1
x )21=−∫e u
du =−(e 12
−e)=e −√e 1
2
1
6. 解法一： ∫xlnxdx e
1=1
2∫lnxd(x 2)e
1
=12((ln (x )x 2)|e 1−∫x 2d (lnx )e
1
)=1
2((ln (x )x 2)|e 1−∫xd (x )e
1) =1
2((ln (x )x 2)|e 1
−1
2
x 2|e
1) =1
2(e 2−0−12e 2+1
2)
=
e 2+14
解法二： 求导列 积分列
1
x ∫xlnxdx =1
2x 2lnx −1
2∫1
x x 2dx =1
2x 2lnx −1
2∫x dx =1
2x 2lnx −1
4x 2+c
∫xlnxdx
e
1=(1
2x 2
lnx −1
4x
2
)|1e
=(12e 2lne
−1
4e 2
)−
(1
212ln1
−
14
12)= e 2+14 7. I +A =[10
001
000
1] + [−1131−151−2−1] =[013
1051−20
] (I +A)∗
=[10−65
5−33−21−1]
|I +A |=|0
13
251−20
|=|
13
25
|=−1 (I +A)−1
=[−106−5−5
3−32
−11
]
8. A ∗=[−43−2
−86−5−75−4]
|A |=|12−3
0−450−56|=1
A −1
=[−43−2−86−5−75
−4
] X =BA −1=[1−30
27
][−43
−2
−86−5−75
−4
]=[
20
−1513
−65
47−38
]
9. 系数矩阵为
A =[102−1−1
1−322
−15−3
]→[102−101−11
0−11−1
] →
[102−101−110000] 一般解为：
{x 1=−2x 3+x 4,
x 2=x 3−x 4
(x 3,x 4是自由未知量)
10. A =[1−1422−1−113−23λ]→[1−14201−9−301−9λ−6]→[10−5−1
01−9−3000λ−3
]
秩(A)=2.
若方程组有解，则秩(A )=2，则λ−3=0 即λ=3 一般解为：
{x 1=5x 3−1,x 2=9x 3−3 (x 3
是自由未知量)
二、应用题（每题10分，共40分）（如果以附件形式提交，请在在线输入框中，输入“见附件”）
题目2
1．设生产某种产品个单位时的成本函数为（万元），
求：①
时的总成本、平均成本和边际成本；②产量为多少时，平均成本最小．
2．某厂生产某种产品件时的总成本函数为（元），单位销售
价格为（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大最大利润是多少
3．投产某产品的固定成本为36（万元），边际成本为
（万元/百
台）．试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低．
4．生产某产品的边际成本为
（万元/百台），边际收入为
（万元/百台），其中为产量，求：①产量为多少时利润最大；②在最大利润产量的基础上再生产2百台，利润将会发生什么变化．
参考答案：
1．(1) 总成本为 C(10)=100+*102+6*10=185(万元) 平均成本为C(10)/10=(万元) C ’(q)=+6 边际成本为C ’(10)=56 (2) 平均成本C (q )=
100+0.25q
2+6q
q
C ′(q )=−
100q +0.25
令C ′(q )=0，q=20 (q=-20舍去) 该平均成本函数只有一个驻点，再由实际问题本身可知，平均成本函数有最小值，因此，当产量q 为20时，平均成本最小
2. 总收入为R(q)=pq=q=q 2
总利润为L (q )=R (q )−C (q )=14q −0.01q 2−20−4q −0.01q 2
=−0.02q 2+10q −20
边际利润L ′(q )=−0.04q +10
令L ′(q )=0，得驻点q=250, 该利润函数只有一个驻点，再由实际问题本身可知，L(q)有最大值，此时L(250)=1230
产量为250时利润最大，最大利润为1230元
3. （1）总成本的增量：
ΔC =C (6)−C (4)=∫c ′(x )dx =∫(2x +40)dx =(x 2+40x)|466
4
6
4
=100
即产量由4百台增至6百台时总成本的增量为100万元.
（2）总成本为C (x )=∫c ′(x )dx =∫(2x +40)dx =x 2+40x +C 固定成本为36,即当x=0时，c(0)=36,得C=36, 所以C (x )=x 2+40x +36
平均成本C (x )=c(x)x =
x
2+40x+36
x
=x +40+
36x
令C ′(x )=1−36
x =0,则 x=6 (x=-6舍去)
C (x )仅有一个驻点x=6; C "(x )=72
x 3 C "(6)=72
63>0
即产量为6时，可使平均成本达到最低
4. (1)边际利润为L ’(x)= R ’(x)-C ’(x)=100-2x-8x=100-10x 令L ’(x)=0,即100-10x =0，得驻点x=10，该函数没有导数不存在的点。

因为L ”(x)=(100-10x)’=-10 所以L ”(10) =-10<0 x=10是利润函数的极大值点，即产量为10百台时，利润最大 (2) ΔL =L (12)−L (10)
=∫L′(x)12
10dx =∫(100−10x)12
10dx =(100x −10x 2)|1012=-20
即在最大利润产量的基础上再生产2百台，利润将会减少20万元。