《求函数值域的方法》教学课件
2.3函数的值域公开课一等奖课件省赛课获奖课件
3
一、基本函数的值域
1. 一次函数y=kx+b (k≠0)的值域为① R .
2. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的值域：当a
＞0时，值域为②
［
4ac 4a
b
2
，
;当) a＜0时，
值域为③
(，4ac 4a
b2
.
］
4
3. 反比例函数y=kx (x≠0，k≠0)的值域为 ④ {y|y≠0，y∈R} .
因此当x=-2时，［f(x)］max=f(-2)=3，
当x=-1时，［f(x)］min=f(-1)=-1，
因此函数的值域是［-1，3］.
23
(因2)此由当f (xx) (12，(1x)x3时2 1，) f
0，可得x=1. ′(x)＜0，
2
因此f(x)在区间 (1，1) 上是减函数，
2
同理可得f(x)在区间(1，2)上是增函数.
C
)
C. [1，1)?
D. [13， )
3
3
0
1 x2 1
1
1
1 3
1 x2 1
1， 3
故选C.
9
3.函数y=f(x)的值域是［-π,10］，则函数 y=f(x-10)+π的值域是( B )
A. ［-π,10］
B. ［0,π+10］
C. ［-π-10,0］ D. ［-10,π］ 由于y=f(x) 向右平移10个单位长度 向上平移π个单位长度
s2in(α+
).4
由于α∈［0,π］，
因此 ［ , 5 ］, 因此sin( )［ 2 ,1］，
函数定义域与值域_课件
综合（2019江苏）
设函数 f(x)
x
(xR)
，区间
1 x
M=[a，b](a<b)，集合N={ yyf(x),xM}
则使M=N成立的实数对(a，b)有 （ ） (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无数多个
练习：求下列函数的值域
1、y= 2x +1 1-2x
综合2
y 1 x2 x 在[m,n]的值域 2
为[2m,2n],求m,n=?
求y
x 的值域
适用于一 次分式
x1
二、反函法：适用于便于解出x(用y表示)
化代分式回归基础
分 母 除以 分子
y
1
x
1 1
图象法： y1 如 何 平 y 移 11
2 a log a 2 log a a 2
例5、求函数f(x)=lg(ax－k•2x)(a>0且a≠1，
a≠2)的定义域。 例6、已知函数f(x)的定义域是(0,1],
？把2改写成 以a为底的指
数和对数
求g(x)=f(x+a)+f(x-a)(其中-1/2<a≤0) 的定义域。
综合2： 设函数 f(x ) lo 2x x g 1 1 lo 2 (x g 1 ) lo 2 (p g x ) ⑴求f(x)的定义域；
3、y= 1 x2 -4
2、y= sinx+1 1-sinx
y x 4,求满足下列条件的 值函 域数 x
①x≠0
三、Δ法(适用于二次分式) 其它：图象法
重要不等式
分类讨论
单调性
②x∈（0,+∞） ③x∈[1，5]
引申：
《求三角函数值域与最值的常见类型》专题精讲
1/1 《求三角函数值域与最值的常见类型》专题精讲求三角函数的值域或最值主要依据是利用三角函数的图象或三角函数的有界性,这就要求我们必须掌握好三角函数的图象和性质.1.形如sin (0)y a x b a =+≠型的函数求解形如sin y a x b =+(或cos y a x b =+)的函数的最值或值域问题时,利用正、余弦函数的有界性(1sin x -1,1cos 1)x -求解,注意对a 正、负的讨论.典例1 求函数34cos 2,33y x x ππ⎛⎫⎡=-+∈- ⎪⎢⎝⎭⎣,6π⎤⎥⎦的最值及相应的x 值. 思路:本题考查三角函数的最值相关问题,将所给自变量的取值范围转化到函数解析式中去,再根据函数的图象和性质进行计算求值.解析:∵2,,2,36333x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,从而1cos 2123x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. ∴当cos 213x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,203x π+=,即6x π=-时,min 341y =-=-, 当1cos 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时,2233x ππ+=,即6x π=时,max 13452y ⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭. 2.形如2sin sin (0)y a x b x c a =++≠型的函数求解形如2sin sin y a x b x c =++(或2cos cos y a x b x =+),c x D +∈的函数的值域或最值时,通过换元,令sin t x =(或cos x ),将原函数转化为关于t 的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意sin t x =(或cos x )的有界性.典例2 求函数21()2sin 2sin ,26f x x x x π⎡=+-∈⎢⎣,56π⎤⎥⎦的值域. 思路:本题考查函数的值域问题,需要先将原函数进行化简,得到只含有一个函数名的函数,亦可以进行换元,但需注意自变量的取值范围相应也要改变,最终计算得出结果.解析:令sin ,()t x y f x ==,∵51,,sin 1662x x ππ⎡⎤∈∴⎢⎥⎣⎦,即112t . ∴2211222122y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭,∴71,2y ∴函数()f x 的值域为71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
求函数的最大(小)值与值域课件
D．(0,4)
解 析 ： 由 已 知 得 0≤16 － 4x ＜ 16,0≤ 16－4x＜ 16＝4，即函数 y＝
16－4x的值域是[0,4)．
答案：C
二、利用配方法和均值不等式 求函数的最值
例
2，求
y
x2
1 x2
9(x
0)
的最小值
解析： ； y x2 1 9(x 0) x2
2 (2)当函数 f(x)在(1，2)上单调时，求 a 的取值范围．
2
＝－
＝－
，
考点突 x 四 利用x 导数求最值
破 令 f′(x)＝0，解得 x＝1或 1. 2
当 x∈(0，1)∪(1，＋∞)时，f′(x)<0，故 f(x)在(0，1)和(1，＋∞)上单调递
2
2
减；当 x∈(1，1)时，f′(x)>0， 2
四、 用换元法求最值
（2）求函数 y 2 4x x2
②解：令 t=4x x2 0 得 0x4 在此区间内 (4x x2) max =4 ，(4x x2 )min =0 ∴函数 y 2 4x x2 的值域是{ y| 0 y 2}
五、利用函数的单调性求最值
例 5、已知定义在区间(0，＋∞)上的函数 f(x)满足
(ⅱ)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)min ＝f(b)，f(x)max＝f(a)；
(ⅲ)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上递增(减)，在区间[b， c]上递减(增)，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值为 f(b)．
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《新课程标准》中函数 求最值与值域的要求
.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替
高中数学-函数值域的求法及应用
高中数学-函数值域的求法及应用高考要求函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一本文主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题1.重难点归纳(1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域(2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强(3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力2.值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见基本函数的值域：一次函数的值域为R.二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，反比例函数的值域为.指数函数的值域为.对数函数的值域为R.正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.3.求函数值域（最值）的常用方法3.1.基本函数法对于基本函数的值域可通过它的图像性质直接求解.3.2配方法对于形如或类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例1：求函数的值域：3.3换元法利用代数或三角换元，将所给函数转换成易求值域的函数：（1）形如的函数，令；（2）形如的函数，令；（3）形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令.例2：求函数的值域：.分析：设则.所以原函数可化为进行求解3.4不等式法利用基本不等式，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件①;②为定值；③取等号成立的条件.三个条件缺一不可.例3：求函数的值域：.分析：一次比二次或者二次比一次的分式函数的通用方法是先换元再利用基本不等式求值域3.5函数的单调性法确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域，例如，.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题.例4：f(x)＝x+在区间[1,3]上的值域3.6数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，如由可联想到两点与连线的斜率.例5：求函数的值域：分析：画出图像便能一目了然3.7函数的有界性法形如，可用表示出，再根据，解关于的不等式，可求的取值范围.3.8导数法设的导数为，由可求得极值点坐标，若函数定义域为，则最值必定为极值点或区间端点中函数值的最大值和最小值.例6：设f(x)＝x3－－2x＋5，求f(x)在[-2,3]上的值域3.9判别式法例7：求函数的值域典型题例示范讲解例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？命题意图本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力知识依托主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识错解分析证明S(λ)在区间［］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决例2已知函数f(x)=,x∈［1,+∞(1)当a=时，求函数f(x)的最小值(2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围命题意图本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力知识依托本题主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想错解分析考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决技巧与方法解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得例3设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+)(1)证明当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值(3)求证对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1学生巩固练习1 函数y=x2+ (x≤－)的值域是( )A(－∞,－ B［－,+∞C［,+∞D(－∞,－］2 函数y=x+的值域是( )A (－∞,1B (－∞,－1C RD ［1,+∞3 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于()2千米，那么这批物资全部运到B市，最快需要_________小时(不计货车的车身长)4 设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，x12+x22有最小值_________5 某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x－x2(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位百台)(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？(3)年产量多少时，企业才不亏本？6 已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］(1)若f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围7 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表器电箱问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)8 在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S1，△ABC的内切圆面积为S2，记=x(1)求函数f(x)=的解析式并求f(x)的定义域(2)求函数f(x)的最小值。
6函数的概念、定义域、值域求法-教师版
教学内容概要教学内容【知识精讲】一、函数的概念1、函数的定义：设A B 、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：(),y f x x A =∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域。
2、函数的三要素分别指函数的定义域、值域、对应法则；当两个函数的定义域、对应法则分别相同时，那么这两个函数是同一函数。
3、函数的表示方法一般有解析法、列表法、图像法当图像满足和,x a a R =∈的图像最多只有一个交点时才可作为函数图像。
分段函数：在用解析法表示函数的时候，往往在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个式子来表示的函数即分段函数。
分段函数是一个函数，而不是几个函数。
在解决问题过程中，要处理好整体与局部的关系。
4、函数的运算：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，设φ≠⋂=21D D D 把函数()()()D x x g x f ∈+叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的和函数 把函数()()()D x x g x f ∈叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的积函数 6、复合函数：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，若满足()1D x g ∈的x 的取值范围为E ，设φ≠⋂=2D E D ，把函数()()x g f y =叫做函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=的复合函数，x 是复合函数()()x g f y =的自变量，定义域为D ，()x g 叫做内函数，()x f 叫做外函数。
求函数的值域课件.ppt
三：换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数化为 代数函数来求函数值域的方法(关注新元的取值范围). 例2 求函数 的值域:
注：换元法是一种非常重工的数学解题方法，它可以使复 y=x+ 1-x 杂问题简单化，但是在解题的过程中一定要注意换元后 新元的取值范围。
求下列函数的值域： （ 1） y = x +
解：设 t =
1 x
y 1
1 x
则x=1－t2且 t≥0 y = 1 － t2 + t
1 2 5 ( t ) 2 4
o x
5 由图知： y 4
故函数的值域为 ( , 5 ]
4
1、求下列函数的值域：
（1）y = 1 －2x R 值域为 ________________ －1, 0, 1 } 值域为 { _________
会生活。
2．清朝黄遵宪曾作诗曰：“钟声一及时，顷刻不少留。虽
有万钧柁，动如绕指柔。”这是在描写 A．电话 C．电报 B．汽车 D．火车 ( )
解析：从“万钧柁”“动如绕指柔”可推断为火车。 答案：D
[典题例析] [例1] 上海世博会曾吸引了大批海内外人士利用各种
交通工具前往参观。然而在19世纪七十年代，江苏沿江 居民到上海，最有可能乘坐的交通工具是 A．江南制造总局的汽车 B．洋人发明的火车 ( )
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析]
由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民
到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。 [答案] C
[题组冲关] 1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输
高中数学课件 第2章 第2节 《函数的定义域和值域》
因此， 因此，g(x)min＝g(2)＝1－2a， ＝ － ， 而g(3)－g(1)＝(2－3a)－(1－a)＝1－2a， － ＝ － － － ＝ － ， 故当0≤a≤ 故当 当 时，g(x)max＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a； ＝ － ， ＝ － ；
＜a≤1时，g(x)max＝g(1)＝1－a，有h(a)＝a， 时 ＝ － ， ＝ ，
3.不等式法：借助于基本不等式a＋b≥2 不等式法：借助于基本不等式 ＋ 不等式法
(a>0，b>0)求数 ， 求数
的值域.用不等式法求值域时， 的值域 用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用 用不等式法求值域时 条件“一正、二定、三相等”. 条件 一正、二定、三相等 一正 4.单调性法：首先确定函数的定义域， 4.单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调 单调性法 性求函数的值域，常用到函数 ＝ ＋ 性求函数的值域，常用到函数y＝x＋ 增区间为(－ ，－ 增区间为 －∞，－ (0， ). ， ]和[ 和 (p>0)的单调性： 的单调性： 的单调性
＋∞)，减区间为 － ,0)和 ，减区间为(－ 和
[特别警示 (1)用换元法求值域时，需认真分析换元后变 特别警示] 用换元法求值域时， 特别警示 用换元法求值域时 量的范围变化；用判别式求函数值域时， 量的范围变化；用判别式求函数值域时，一定要注意自变 量x是否属于 是否属于R. 是否属于 (2)用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立； 用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立； 用不等式法求函数值域时 利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键 利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键. 分段函数的值域应分段分析，再取并集 分段函数的值域应分段分析，再取并集. (3)不论用哪种方法求函数的值域，都一定要先确定其定义 不论用哪种方法求函数的值域， 不论用哪种方法求函数的值域 域，这是求值域的重要环节. 这是求值域的重要环节
函数的值域与最值复习PPT优秀课件
达式有明显的几何意义.
26
走进高考
学例1 (2009·湖 南 卷 ) 函 数
y=2tanx+tan( -x)(0<x< )的
最小值是 2
2
2.
2
因为0<x< 2 ，所以tanx>0,
所以y=2tanx+ 1 ≥
tan x
2 ,当2 且仅当
tanx= 时2 “=”成立.
2
27
学例2 (2009·海南/宁夏卷)用min{a,b,c}表
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
12
不妨设f(x)=3x(-1≤x≤3，且x∈Z)， 可知D={-3,0,3,6,9}，M=9，N=-3，可 知，A、B、C错误，选D.
点评 1. 函 数 的 值 域 是 函 数 值 的 集 合 ，
函数的最值是该集合中的元素. 2.当函数y=f(x)在其定义域上是连续函数
时 ， D=[N ， M] ， 其 中 N=f(x)min ， M=f(x)max.
件的实数a、b.
综合①②③可得,满足条件的实数a、b不存在.
25
方法提炼
1.配方法：主要适用于二次函数或利用换元 技巧转化为二次函数，要特别注意自变量 和新变量的范围.
《求函数值域的方法》教学课件
y)x
y
0
y 1
又
y 1
故值域为 [
0
1
,1)
1 3
y 1
3
6、均值不等式法
例 6求下列函数的值域:
(1)y=
2x x2+1
;
[-1, 1]
(2)y=
x2-2x+5 x-1
(x>1)
.
[4, +∞)
利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的 值域. 要注意满足条件“一正、二定、三等”.
点(cos x,sin x)与点(2,0)的斜率
如图所示：
2
sin x 0
3
(cosx 2)max 3
求例m1与1若n函的数值f.(x)=log3mxx2+2+81x+n 的定义域为 R, 值域为[0, 2],
解: ∵f(x) 的定义域为 R, ∴mx2+8x+n>0 恒成立.
∴△=64-4mn<0 且 m>0.
令 y=
mx2+8x+n x2+1
,
则 1≤y≤9.
问题转化为 x∈R 时,
y=
mx2+8x+n x2+1
的值域为[1, 9].
变形得 (m-y)x2+8x+(n-y)=0,
当 m≠y 时, ∵x∈R, ∴△=64-4(m-y)(n-y)≥0.
整理得 y2-(m+n)y+mn-16≤0.
依题意
m+n＝1+9, mn-16=1×9,
求函数y sin x 的最大值 2+cosx
求函数值域的方法 课件
练习3：求函数 f (x) x 1 2x的值域.
4.分离常数法：
例4.求函数 y 2x 3 的值域 x 1
练习4：求下列函数的值域
(1) y x 3 (2) y 2x 1
2x 5
x 1
5.反解法：当函数表达式中自变量易于解出时， 反解函数所示方程，进而得到值域.
求函数的值域的方法
例1.求下列函数的值域.
(1) y 4 9x2 , x [0, 2]
(2)
y
3x2 x2
5 1
3
1．不等式法.根据函数表达式特征，从函数自变
量的变化范围出发，充分利用不等式的运算性
质进行运算，直接得出函数值域的一种简单方
法.
练习1： 求函数 y 2 x 4 的值域。
例5.求函数
y
x2 x21 1来自的值域练习5：函数 y | x | 2 的值域 | x | 3
6．判别式法：它是反解法的一种特殊情形.当函 数可化为关于自变量的一元二次方程形式时，不 解出方程，而直接利用判别式来求解值域。
例6：求函数
y
x2 x2
x 1 x 1
的值域.
练习6：求函数 y
x 3
2.图象法：对于简单的函数可以画出函数的图 象，再根据图象观察得出函数的取值范围
例2.求下列函数的值域. (1)y=x2-2x-3 (2) y=x2-2x-3,x∈[-1，4]
(3) y x2 x 2 (4) y | x 1| | x 2 |
练习2：分别由下列条件求y=x2+2x-3的值域 (1)x∈R; (2) x∈[0,+∞); (3)x∈[-2,2] 3.换元法.
高一数学《函数的值域》的求法
高一数学《函数的值域》的求法函数的值域是函数的三要素之一，它是函数这部分内容中一个重要的知识点。
本文介绍高一数学中求函数值域的几种常见方法：1.直接法：从自变量$x$的范围出发，推出$y$的取值范围；2.二次函数法：利用换元法，将函数转化为二次函数求值域（或最值）；3.反函数法：将求函数的值域转化为求它反函数的定义域；4.判别式法：使用方程思想，依据二次方程有实根，求出$y$的取值范围；5.单调性法：利用函数的单调性求值域；6.图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域（或最值）。
例如，对于函数$y=x^2-2x-3$，我们可以通过以下几种方法求其值域：1.直接法：当$x=-1$时，$y=0$；当$x=0$时，$y=-3$；当$x=1$时，$y=-4$。
因此，所求值域为$\{0,-3,-4\}$。
2.二次函数法：将函数转化为$y=(x-1)^2-4$，然后求出最值。
当$y=-3$时，$y_{\max}=12$；当$x=1$时，$y_{\min}=-4$。
因此，所求值域为$[-4,12]$。
3.反函数法：将函数转化为$y=(x-1)^2-4\geq -4$。
因此，所求值域为$[-4,+\infty)$。
4.判别式法：将函数转化为$y=-x^2+2x+3$，然后求出判别式的取值范围。
由于判别式为$4-4\times (-1)\times 3=16>0$，因此$y$的取值范围为$(-\infty,-4]\cup [1,+\infty)$。
5.单调性法：当$x1$时，函数单调递增。
因此，所求值域为$[-4,+\infty)$。
6.图象法：函数$y=x^2-2x-3$的图象是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为$(1,-4)$。
因此，所求值域为$[-4,+\infty)$。
除了以上这些方法，我们还可以通过改变$x$的范围来求函数的值域。
例如，将$x\in R$改为$x\in [-3,2]$或$x\in [-3,+\infty)$等。
求函数的值域课件.ppt
1 2 7 t t 2 2 1 ( t 1) 2 3 2
解：设 t = 2
4 x 13
7
2
o
x
7 7 由图知：y [ , ) 故函数的值域为： 2 2
四、判别式法
能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零).
1 , x 2 x x6
的值域
(2)求函数 y
[3,5] 的值域
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
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[自读教材· 填要点] 一、铁路，更多的铁路 1．地位
铁路是
交通运输 建设的重点，便于国计民生，成为国民经济
发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。 至胥各庄铁 开平
解：设 t =
1 x
y 1
1 x
则x=1－t2且 t≥0 y = 1 － t2 + t
1 2 5 ( t ) 2 4
o x
5 由图知： y 4
故函数的值域为 ( , 5 ]
4
1、求下列函数的值域：
（1）y = 1 －2x R 值域为 ________________ －1, 0, 1 } 值域为 { _________
（2）y = | x | －1 x∈{－2, －1, 0, 1, 2 }
（ 3） y =
2 x2
(－∞, 0 )∪(0, + ∞ ) 值域为 ________________________ [0, + ∞ ) 值域为 ____________
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[2 5 , +∞) (5) 若 x+y=1, 求 x2+y2 的取值范围.
[
1 2
,
+∞)
练习题
1求函数f（t） 3t2 （t> 2）的最小值。 6t 4 3
y)x
y
0
y 1
又
y 1
故值域为 [
0
1
,1)
1 3
y 1
3
6、均值不等式法
例 6求下列函数的值域:
(1)y=
2x x2+1
;
[-1, 1]
(2)y=
x2-2x+5 x-1
(x>1)
.
[4, +∞)
利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的 值域. 要注意满足条件“一正、二定、三等”.
求函数的值 域的方法
一、函数值域的定义：
在函数y=f(x)中，与自变量x值对应的y值， 叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
二、确定函数值域的原则：
（1）当函数y=f(x)用表格给出，函数的值域 指表格中y的集合。 （2）当函数y=f(x)的图像给出时，函数的值域 是指图象在y轴上投影所覆盖的实数y的集合。 （3）当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的 值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。
1 x2
4
9x2
,
(2) y
x [0,
1
2]
1 x
x
1
3
1．直接法（观察法）.
根据函数表达式特征，从函数自
变量的变化范围出发，充分利用不
等式的运算性质进行运算，直接得
出函数值域的一种简单方法.
练习题 求下面函数的值域：
(3)解 :| 2x 1| 0,
| 2x 1| 0, 3 | 2x 1| 3.
求函数 解：
的值域。
y
8
的图像如图所示-，3 o 5 x 由图像知：函数
的值域为
8、利用函数的单调性
例8 求下列函数的值域:
(1)y= 1-2x - x ;
[-
1 2
,
+∞)
(2)y= x+3 - x .
(0, 3 ]
主要适用于 (1) y=ax+b+ cx+d (ac>0)形式的函数
解：
定义域 x (, 1] 2
1
2 2f
(
x)
[1
,
1
],
即t [1 , 1]. 32
89
又 y f (x)
32
1 2 f (x),
y 1t2 t 1 t2 t 1 (1 t 1)
2
2
23 2
7 y 7,
9
8
函数y f (x)
1 2 f (x)的值域为[7 , 7].
函数 y x ，y 1 2x
在 x (, 1] 都是单调增函数
故
y1
2
即
y (, 1]
2
2
9数形结合法
当函数的解析式明显具备某种几何意义, 像两点间的距离公式、直线斜率等时可考虑用 数形结合法.
例9求下列函数的值域: (3)y= 2x2-6x+9 + 2x2-10x+17 ;
例5：求函数 y x 2 x 1 的值域. x2 x 1
练习：求函数
y
x2 4x 3 x2 x 6
的值域
主要适用于形如 y = dx2+ex+f (a, d不同时为零)的函数
ax2+bx+c
练习题
解：
由
y
x2 x2 x
x
得
1
(y
1) x 2
(1
（4）当函数由实际问题给出时，函数的值域由 问题的实际意义确定。
要点梳理
函数的值域
求函数的值域基本方法有：
1.直接法（观察法）2.分离常数法 3.反解法
4.换元法 5．判别式法 6、均值不等式法 7.图象法 8.利用函数的单调性9.数形结合法
例题选讲 例1.求下列函数的值域.
(1) y
(3) y
函数y 3 | 2x 1|的值域是 ,3.
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
2例.分2.求离函常数数y法：2x 3
（2，3）
(x 0) 的值域
x 1
也可用反函数法：利用函数和它的反函数的
定义域和值域的关系，通过求反函数的定
义域而求得原函数的值域。
练习题
已知sn 1 2 3 ...... n，求f（n）=（n+32sn）sn1 的最大值
最大值1/50
求y= （ 24x（x3）12 ），（x〉-1）的值域
值域是（0.3]
7.图象法：对于简单的函数可以画出函数的
图象，再根据图象观察得出函数的值域.
例7求函数 y | x 1| | x 2 | 的值域.
求函数f
(x)
x2 x2 x
x 的值域 1
f
(x)
x
x2 2Biblioteka xx 的值域是[ 1
1 3
,1]
3.反解法：当函数表达式中自变量易于解出
时，反解函数所示方程，进而得到值域.
例3.求函数
y
x2 x2
1 1
的值域
练习：函数 y | x | 2 的值域 | x | 3
此例题解决也可用分离常数法，但要注意范围
4.换元法
例4.求函数 (1) y x 2x 1 的值域.
(2) y=x+ 2-x2 ;
(3) y=sinx+cosx+sinxcosx+1 .
练习题
解：
令
1 2x t
则 t0
且 x 1t2 2
y 1 (t 1)2 1 1 (t 0)
2
2
则 y (, 1] 2
分析：令t=x+2 f（x）的值域是[1 , 4]
25
求f（x）=（1+xx42）3 值域
令x tan， （ ， ）则y=sin4.cos2 1 sin 2.sin 2.2cos2
22
2
5．判别式法：当函数可化为关于自变量的
一元二次方程形式时，不解出方程，而直接利用 判别式来求解值域。
98
拓展： (1) 形如y=ax+b± cx+d (a≠0,c ≠0)均可用代
数换元法。 (2)形如y= x + a-x 可用三角换元法。
练习：
1、求y= x + 3-x 的值域。
2、已知x2+y2/4=1，求3x+2y的值域。
求函数f
(x)
x2 x2
4x 4x
4 , x [1,0]的值域 5
求函数 y = x + 1 x2 的值域。 解：∵ 1 - x2≥0, ∴|x|≤1,
设x = sinθ(θ∈
[
2
,)2，]
∵ 3
4
44
∴ 1 y 2
解析 : 设t 1 2 f (x),则f (x) 1 t 2 ,
f (x)的值域为[3 , 4],