100976_平面向量数量积的坐标表示_张雪峰
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5.7 平面向量数量积的坐标表示
教学目标: 1,平面向量数量积的坐标表示 2,两个向量垂直的坐标表示的充要条件 3,平面内两点间的距离公式 4,运用两个向量的数量积的坐标表示解决 处理有关长度垂直的几个问题 5,两个向量垂直与平行的充要条件的区别
前提测评: 1,已知A(3,5),B(6,9),则 AB = (3,4) 2,已知AB = a,a = (1,3),A = (-1,5),则B , 点的坐标为 (0,8) 3,(1),已知a =(-2,4),b =(5,2),则 a + b = (3,6) ,a - b = (-7,2) (2),已知| a |= 8,| b |= 6,a和 b的夹角为600, 则a b = 24 , a a = 64 ,| a |= 8 (3),a⊥ b则a b = 0 ⊥
在直角坐标系中,已知两个非零向量a = (x1,y1), b = (x2,y2), 如何用a 与b的坐标表示a b 先看x轴上的单位向量i, , y轴上的单位向量j i i = | i |2 = 1 Y
j j = | j | = 1 i j = j i = 0
2
B(x2,y2)
∵a = x1 i + y1 j ,b = x2 i + y2 j ∴a b =( x1 i + y1 j)(x2 i + y2 j) = x1 x2 i2 + x1 y2 i j + y1 x2 j i + y1 y2 j2 = x1 x2 + y1 y2
×
√
1, a b= -7, | a |= 5, ,
| b|=
29 ,
2, a b = 8, (a + b)(a - b)= - 7, a (b + C)= 0 , (a + b)2 = 49
作业:P1215.7
1,2,3,4
�
例2,已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),求 证ΔABC是直角三角形 证明: ∵AB = (2 - 1,3 - 2)= (1,1) AC = (-2 - 1,5 - 2)= (-3,3)C ∴AB AC = 1╳(-3)+ 1╳ 3 = 0 ∴AB⊥AC ∴ΔABC是直角三角形
O A X B Y
b
j O
A(x1,y1)
a
X
i
两个向量的数量积等于 它们的对应坐标乘积的和 即: a
Leabharlann Baidu
b = x1 x2 + y1 y2
例1,设a = (5,-7),b = (-6,-4),求a b 特殊地:1,设a = (x,y),则a a = | a |2 = x 2+ y2 或: | a | =
x2+ y 2
注:两个向量的数量积是否为零是判断相应的 两条直线是否垂直的重要方法之一. 如证明四边形是矩形,三角形的高,菱形对角线 垂直等.
小结: 小结:
1,数量积的坐标表示 2,垂直的充要条件 3,平面内的两点间距离
达标测评:1,已知a = (-3,4),b = (5,2),求a b, | a |,| b |. 2,a = (2,3),b = (-2,4),C = (-1,-2)求a b, , (a + b) (a - b),a (b + C),(a + b)2 3,已知a = (-2,4),b = (1,-2),则a 与b的关系是 A,不共线 × B,垂直 C,共线同向 D,共线反向 × 4,以A(2,5),B(5,2),C(10,7)为顶点的三角 形的形状是 A,等腰三角形 √ B,直角三角形 C,等腰直角三角形 × D,等腰三角形或直角三角形
2,设a = AB,若A(x1,y1),B(x2,y2), 则 | a | =| AB|= ( x1 x2) 2 ( y1 y2) 2 + 即是平面内两点间的距离公式 3,设a = (x1,y1),b = (x2,y2),则 a ⊥b <===> x1 x2 + y1 y2 = 0 a ‖b <===>x1 y2 -x 2y1=0
教学目标: 1,平面向量数量积的坐标表示 2,两个向量垂直的坐标表示的充要条件 3,平面内两点间的距离公式 4,运用两个向量的数量积的坐标表示解决 处理有关长度垂直的几个问题 5,两个向量垂直与平行的充要条件的区别
前提测评: 1,已知A(3,5),B(6,9),则 AB = (3,4) 2,已知AB = a,a = (1,3),A = (-1,5),则B , 点的坐标为 (0,8) 3,(1),已知a =(-2,4),b =(5,2),则 a + b = (3,6) ,a - b = (-7,2) (2),已知| a |= 8,| b |= 6,a和 b的夹角为600, 则a b = 24 , a a = 64 ,| a |= 8 (3),a⊥ b则a b = 0 ⊥
在直角坐标系中,已知两个非零向量a = (x1,y1), b = (x2,y2), 如何用a 与b的坐标表示a b 先看x轴上的单位向量i, , y轴上的单位向量j i i = | i |2 = 1 Y
j j = | j | = 1 i j = j i = 0
2
B(x2,y2)
∵a = x1 i + y1 j ,b = x2 i + y2 j ∴a b =( x1 i + y1 j)(x2 i + y2 j) = x1 x2 i2 + x1 y2 i j + y1 x2 j i + y1 y2 j2 = x1 x2 + y1 y2
×
√
1, a b= -7, | a |= 5, ,
| b|=
29 ,
2, a b = 8, (a + b)(a - b)= - 7, a (b + C)= 0 , (a + b)2 = 49
作业:P1215.7
1,2,3,4
�
例2,已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),求 证ΔABC是直角三角形 证明: ∵AB = (2 - 1,3 - 2)= (1,1) AC = (-2 - 1,5 - 2)= (-3,3)C ∴AB AC = 1╳(-3)+ 1╳ 3 = 0 ∴AB⊥AC ∴ΔABC是直角三角形
O A X B Y
b
j O
A(x1,y1)
a
X
i
两个向量的数量积等于 它们的对应坐标乘积的和 即: a
Leabharlann Baidu
b = x1 x2 + y1 y2
例1,设a = (5,-7),b = (-6,-4),求a b 特殊地:1,设a = (x,y),则a a = | a |2 = x 2+ y2 或: | a | =
x2+ y 2
注:两个向量的数量积是否为零是判断相应的 两条直线是否垂直的重要方法之一. 如证明四边形是矩形,三角形的高,菱形对角线 垂直等.
小结: 小结:
1,数量积的坐标表示 2,垂直的充要条件 3,平面内的两点间距离
达标测评:1,已知a = (-3,4),b = (5,2),求a b, | a |,| b |. 2,a = (2,3),b = (-2,4),C = (-1,-2)求a b, , (a + b) (a - b),a (b + C),(a + b)2 3,已知a = (-2,4),b = (1,-2),则a 与b的关系是 A,不共线 × B,垂直 C,共线同向 D,共线反向 × 4,以A(2,5),B(5,2),C(10,7)为顶点的三角 形的形状是 A,等腰三角形 √ B,直角三角形 C,等腰直角三角形 × D,等腰三角形或直角三角形
2,设a = AB,若A(x1,y1),B(x2,y2), 则 | a | =| AB|= ( x1 x2) 2 ( y1 y2) 2 + 即是平面内两点间的距离公式 3,设a = (x1,y1),b = (x2,y2),则 a ⊥b <===> x1 x2 + y1 y2 = 0 a ‖b <===>x1 y2 -x 2y1=0