袁卫《统计学》笔记和典型题(含考研真题)详解(4-6章)【圣才出品】

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x =
= n
15 = 2.14 49
（2）在 95%的置信水平下，允许误差为：
E = z/2
n
= 1.96
15 49
= 4.20
（3）由于总体标准差已知，所以总体均值 μ 的 95%的置信区间为：
x z / 2
n
=120 4.20
即（115.8，124.2）。
2．估计总体比率时样本量的确定 在重复抽样或无限总体抽样条件下确定样本量的公式为：
若 值未知，可以用类似的样本比率 p 来代替；也可以用试验调查的办法，选择一个 初始样本，以该样本的比率作为 的估计值。当 的值无法知道时，通常取使 (1- )最大
的值 0.5。
4.2 课后习题详解 思考题 1．简述评价估计量好坏的标准。 答：（1）无偏性，指估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数。 设总体参数为 θ，所选择的估计量为ˆ ，如果 E（ˆ ）=θ，则称ˆ 为 θ 的无偏估计量｡ （2）有效性，指对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小标准差的估计量更有效。 （3）一致性，指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估计总体的参数。即 一个大样本给出的估计量要比一个小样本给出的估计量更接近总体的参数。
4．解释置信水平的含义。
答：如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总体参数真值的次数所占的
比率称为置信水平，或称为置信系数。在区间估计中，找到$1 和$2 ，其中$1 与$2 都是只
( ) 依赖于样本的统计量，使得等式 P $1 $2 =1− 成立，其中， 是事先给定的一个
正小数，1-α就是估计区间 $1,$2 包括θ真值的概率，称为置信概率，也称作置信水平或
（1）假定总体标准差为 15 元，求样本均值的抽样标准误差； （2）在 95％的置信水平下，求允许误差； （3）如果样本均值为 120 元，求总体均值 95％的置信区间。
解：（1）已知： =15，n = 49，x =120， = 0.05，z0.05 2 =1.96 。则样本均值的
抽样标准差为：
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（3）一致性：指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。即一 个大样本给出的估计量要比一个小样本给出的估计量更接近总体的参数。
二、一个总体参数的区间估计（如表 4-1 所示） 表 4-1 一个总体参数的区间估计
三、两个总体参数的区间估计（如表 4-2 所示） 表 4-2 两个总体参数的区间估计
$1,$2
称作参数θ的置信水平
1－
的置信区间。区间的边界称为置信限，
$1 为置信下限，$2 为置信上限。
2．评价估计量的标准
（1）无偏性：指估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数。
（2）有效性：假定有两个用于估计总体参数的无偏估计量，分别用ˆ 1 和ˆ 2 表示，它 们的抽样分布的方差分别用 D(ˆ 1)和 D(ˆ 2)表示，ˆ 1 的方差小于ˆ 2 的方差，即 D(ˆ 1)<D(ˆ 2)，就称ˆ 1 是比ˆ 2 更有效的一个估计量。
置信系数。
5．解释置信水平为 95％的置信区间。 答：抽取 100 个样本，根据每一个样本构造一个置信区间，这样，由 100 个样本构造 的总体参数的 100 个置信区间中，有 95％的区间包含了总体参数的真值，而 5％则没包含。
6．简述样本量与置信水平、总体方差、允许误差的关系。 答：（1）样本量与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需
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2． za/2
n
的含义是什么？
答： z 2 是标准正态分布上侧面积为 α/2 时的 z 值； z 2
是估计总体均值时的边 n
际误差，也称为估计误差或误差范围。
3．说明区间估计的基本原理。 答：在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量 加减抽样误差得到。
3．某大学为了解学生每天上网的时间，在全校 7500 名学生中采取不重复抽样方法随
①置信概率（置信水平／置信系数）
在区间估计中，找到$1 和$2 ，其中$1 与$2 都是只依赖于样本的统计量，使得等式
( ) P $1 $2 =1− 成立，其中， 是事先给定的一个正小数，1-α就是估计区间
$1,$2 包括θ真值的概率，称为置信概率，也称作置信水平或置信系数。
②置信区间
估计区间
（2）在 95％的置信水平下，允许误差是多少？
解：（1）已知： = 5，n = 40，x = 25， = 0.05，z0.05 2 =1.96。则样本均值的抽
样标准差为：
x
=
n
=
5 = 0.79 40
（2）允许误差为：
E = z/2
n
= 1.96
5 =1.55 40
2．某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期 3 周的时间里选取 49 名 顾客组成了一个简单随机样本。
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其中 ，
四、样本量的确定 1．估计总体均值时样本量的确定
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在重复抽样或无限总体抽样条件下，允许误差为 za/2
。令 E 代表所希望达到的允许 n
误差，即
。因此，确定样本量的公式为：
在实际应用中，如果 的值不知道，可以用以前相同或类似的样本的标准差来代替； 也可以用试验调查的办法，选择一个初始样本，以该样本的样本标准差作为 的估计值。
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的样本量也就越大； （2）样本量与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大； （3）样本量与允许误差的平方成反比，即允许误差越大，所需的样本量就越小。
练习题
1．从一个标准差为 5 的总体中抽出一个容量为 40 的样本，样本均值为 25。
（1）样本均值的抽样标准差 x 等于多少？
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第 4 章 参数估计
来自百度文库
4.1 复习笔记
一、参数估计的基本原理
1．点估计与区间估计
（1）点估计
点估计是根据样本数据计算的一个估计值。点估计的优点在于它能够明确地估计总体参
数，但一般该值不会等于总体参数的真值。它与真值的误差、估计可靠性如何无法知道。
（2）区间估计
区间估计是通过样本来估计总体参数可能位于的区间。