鲁教版初中数学知识梳理几何

初中数学---（几何部分）几何基础概念（8册上）定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的语句叫做定义。

命题：判断一件事情的句子叫做命题。

（命题就是具有真假意义的一句话）命题通常由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断的事项，命题写成“如果……那么……”的形式。

正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题。

证明：判断一个命题的推理的过程叫做证明。

公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。

定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理。

证明一个命题的正确性，要按“已知”，“求证”，“证明”的顺序和格式书写。

一、直线直线的性质：直线没有粗细、向两方无限伸展。

两条直线的位置关系：1、相交，2、平行（重合看做是平行的特例）。

1、两条相交直线（1）斜交。

直线AB 和直线CD 相交于点O 。

如图∠1和∠2,叫做是对顶角。

它们有公共顶点O ，且他们的两边是互为反向延长线。

同样∠3和∠4是对顶角。

定理：对顶角相等。

∠1和∠4，∠1和∠3, ∠2和∠4，∠2和∠3是互为补角。

即∠1+∠4=180º（2）垂直。

直线AB 和直线EF 相交于O 点，其中∠AOF=90º，则称直线AB 和直线EF 互相垂直。

由此∠AOE 、∠EOB 、∠BOF 都是90º。

∠1+∠2=∠BOF=90º，称∠1和∠2是互为余角。

定理：同角或等角的余角相等。

同角或等角的补角相等。

（3）作图①已知线段AB ，O 是线段AB 上中点，过O 点作线段CD ，使得CD ⊥AB 。

②已知直线AB ，P 是直线AB 外一点。

过P 作直线AB 的垂线③作已知∠AOB 的平分线⑤已知∠AOB ，作∠A ′O ′B ′，使得∠A ′O ′B ′=∠AOB 。

作法：略（六册下，P53）2、两条直线平行（1）有关概念：同位角、内错角、同旁内角。

如图，直线AB 和直线CD 被直线L 所截，同位角有：∠1和∠2，∠3和∠4，∠5和∠6，B∠7和∠8。

内错角有：∠2和∠7，∠5和∠4。

同旁内角有：∠2和∠5，∠7和∠4。

（2）两条直线如果没有交点，称这两条直线平行。

（3）两条直线平行判定定理：①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

③两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

（4）两条直线平行性质定理：如果两条互相平行的直线被第三条直线所截，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

（5）作图已知直线AB，求作直线CD，使得CD∥AB二、多边形－－(三角形)1、概念。

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形。

三角形有三条边、三个内角和三个顶点。

如图：顶点是A，B，C的三角形记作△ABC。

∠A所对边BC用a来表示。

∠B所对边AC用b来表示，边AB用c来表示。

∠BCF叫∠ACB的外角。

有三个外角。

2、分类。

按角分有：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

按边分有：一般三角形，等腰三角形、等边三角形。

特殊的有等腰直角三角形。

3、三角形的性质。

（1）三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

（2）三角形三个内角之和等于180º。

（3）直角三角形的两个锐角互余。

（4）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

（5）三角形的边、角关系：三角形中，等边对等角，等角对等边。

大边对大角，大角对大边。

（6）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

（7）角平分线的性质：一个角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等；反过来，与一个角的两边等距离的点在这个角的平分线上。

（8）内心：三角形的三个内角的平分线交于一点，叫做内心。

是三角形内切圆的圆心。

（9）外心：三角形的三边垂直平分线交于一点，叫做外心。

是三角形外接圆的圆心。

（10）垂心：三角形的三条高交于一点，叫做垂心。

（11）重心：三角形的三条中线交于一点，叫做重心。

且重心和各边中点的距离等于这边上中线的三分之一。

如图：E 、F 、G 分别为三边的中点。

OF=1／3AF ，OA=2／3AFOE=1／3BE ，OB==2／3BEOG=1／3CG ，OC=2／3CG4、全等三角形（1）定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

例如△ABC 和△DEF 能够完全重合，它们是全等的。

记作“△ABC ≌△DEF ”（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

例 如图△ABC ≌△BAD ，找出它们的对应边和对应角。

解：AC 与BD ，BC 与AD ，AB 与BA 是对应边。

∠ABC 与∠BAD ，∠BAC 与∠ABD ，∠C 与∠D是对应角。

（3）全等三角形的判定定理：①如果三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形全等。

记作（边边边）或（SSS ）。

②如果三角形的两角及夹边分别相等，那么这两个三角形全等。

记作（角边角）或（ASA ）。

③如果三角形的两边及夹角分别相等，那么这两个三角形全等。

记作（边角边）或（SAS ）。

④如果三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等，那么这两个三角形全等。

记作（角角边）或（AAS ）。

例 已知：如图在△ABC 中，BF=DE ，DE ∥AB ，DF ∥AC求证：D 为BC 的中点。

证明：∵DE ∥AB ，DF ∥AC （已知） ∴∠B=∠EDC ，（平行线性质）∠C=∠BDF ， 在△BFD 和△DEC 中∵∠B=∠EDC ，∠C=∠BDF ，BF=DE ∴△BFD ≌△DEC （AAS ）∴BD=DC （全等三角形性质）故，D 为BC 的中点。

（4）作图①已知：线段a ，c ，∠α。

求作：△ABC ，使BC=a ，AB=c ，∠ABC=∠α.②已知：线段c ，∠α，∠β，求作：△ABC 使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c 。

5、等腰三角形① 轴对称图形及性质：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两边的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。

② 简单的轴对称图形及性质：☆线段是轴对称图形，垂直平分线段的直线是它的一条对称轴。

线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

☆角是轴对称图形，角分线所在的直线是它的对称轴。

角分线上的点到这个角的两边的距离相等。

③等腰三角形：等腰三角形是轴对称图形。

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称三线合一）。

它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。

④性质定理：等腰三角形的两个底角相等。

⑤判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么它们所对的边相等。

⑥等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

等边三角形的三个角都相等。

6、直角三角形（1）定义：有一个角等于90º的三角形叫做直角三角形。

（2）性质：①直角三角形的两个锐角互余。

推论：等腰直角三角形的底角等于45°。

②在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

④在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°。

⑤勾股定理：直角三角形两直角边的平方的和等于斜边的平方。

如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a ²+b ²=c ²。

判定定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

222c b a =+（3）直角三角形全等的判定：①两条直角边分别相等的两直角三角形全等。

②一边和一锐角对应相等的两直角三角形全等。

③斜边和一条直角边分别相等的两直角三角形全等。

（4）、锐角三角函数三角函数是讲角与两边的比值的关系（就是度数与数值的关系）。

不同角的大小，对应不同的数值（两边的比值）。

①定义：在Rt △ABC 中如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比、对边与邻边的比也随之确定。

∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦。

记作sinA∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦。

记作cosA∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切。

记作tgA∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切。

记作ctgAaA =sin ， c b A =cos ， b a tgA =， a b ctgA =，ABaC b②、30º、45、º60º角的三角函数值（5）、解直角三角形（九册上）由直角三角形中已知的元素，求出其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

在Rt △ABC 中，∠C=90º，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c 。

可得下列关系：①锐角之间关系：∠A ＋∠B=90º②三边之间关系：a ²＋b ²＝c ²③角与边之间关系：c a B A ==cos sin ，c b B A ==sin cos ，b a A =tan ，a b B =tan 。

例 在△ABC 中，∠A=60º，∠B=45º，AC=12，求AB 的长。

解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D 。

在Rt △ADC 中，AC=12，∠A=60º∴AD=21AC=21×12=6 CD=AC ·sinA=12×23=36 在Rt △BDC 中，∠B=45 º∠BDC=90 º∴∠BCD=45 º∴BD=CD=36∴AB=AD+BD=6＋36三、多边形－－（四边形——（七册下）分类：四边形→→平行四边形→矩形→正方形↘ ↘菱形↗↘梯形→等腰梯形↘直角梯形1、 平行四边形（1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

连接平行四边形不相邻的两个顶点的线段叫做这个平行四边形的对角线。

（2）性质：①平行四边形的对边相等，对角相等。

②平行四边形的对线互相平分。

AB=CD AC=BDOA=OD OB=OCA∠CAB=∠BDC ∠ACD=∠ABD。

（3）判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（定义）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（定理）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（定理）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（定理）2、菱形（1）定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（2）性质：菱形的四条边相等；两条对角线互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角。

（3）判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形。