鲁教版初中数学知识梳理几何

初中数学---（几何部分）

几何基础概念（8册上）

定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的语句叫做定义。

命题：判断一件事情的句子叫做命题。（命题就是具有真假意义的一句话）命题通常由条件

和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断的事项，命题写成“如果……那么……”的形式。

正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题。

证明：判断一个命题的推理的过程叫做证明。

公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。

定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理。证明一个命题的正确性，要按“已知”，“求证”，

“证明”的顺序和格式书写。

一、直线

直线的性质：直线没有粗细、向两方无限伸展。

两条直线的位置关系：1、相交，2、平行（重合看做是平行的特例）。

1、两条相交直线

（1）斜交。直线AB 和直线CD 相交于点O 。如图∠1和∠2,叫做是对顶角。它们有公共顶点O ，且他们的两边是互为反向延长线。同样∠3和∠4是对顶角。

定理：对顶角相等。

∠1和∠4，∠1和∠3, ∠2和∠4，∠2和∠3是互为补角。即∠1+∠4=180º

（2）垂直。直线AB 和直线EF 相交于O 点，其中∠AOF=90º，则称直线AB 和直线EF 互相垂直。由此∠AOE 、∠EOB 、∠BOF 都是90º。

∠1+∠2=∠BOF=90º，称∠1和∠2是互为余角。

定理：同角或等角的余角相等。同角或等角的补角相等。

（3）作图

①已知线段AB ，O 是线段AB 上中点，过O 点作线段CD ，使得CD ⊥AB 。

②已知直线AB ，P 是直线AB 外一点。过P 作直线AB 的垂线

③作已知∠AOB 的平分线

⑤已知∠AOB ，作∠A ′O ′B ′，使得∠A ′O ′B ′=∠AOB 。

作法：略（六册下，P53）

2、两条直线平行

（1）有关概念：同位角、内错角、同旁内角。

如图，直线AB 和直线CD 被直线L 所截，同位角有：∠1和∠2，∠3和∠4，∠5和∠6，

B

∠7和∠8。内错角有：∠2和∠7，∠5和∠4。同旁内角有：∠2和∠5，∠7和∠4。

（2）两条直线如果没有交点，称这两条直线平行。

（3）两条直线平行判定定理：

①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

③两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

（4）两条直线平行性质定理：

如果两条互相平行的直线被第三条直线所截，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。（5）作图

已知直线AB，求作直线CD，使得CD∥AB

二、多边形－－(三角形)

1、概念。由不在同一条直线上的三条线段

首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形。

三角形有三条边、三个内角和三个顶点。

如图：顶点是A，B，C的三角形记作

△ABC。∠A所对边BC用a来表示。∠B

所对边AC用b来表示，边AB用c来表示。

∠BCF叫∠ACB的外角。有三个外角。

2、分类。按角分有：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

按边分有：一般三角形，等腰三角形、等边三角形。特殊的有等腰直角三角形。

3、三角形的性质。

（1）三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

（2）三角形三个内角之和等于180º。

（3）直角三角形的两个锐角互余。

（4）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

（5）三角形的边、角关系：三角形中，等边对等角，等角对等边。大边对大角，大角对大

边。

（6）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

（7）角平分线的性质：一个角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等；反过来，与一

个角的两边等距离的点在这个角的平分线上。

（8）内心：三角形的三个内角的平分线交于一点，叫做内心。是三角形内切圆的圆心。

（9）外心：三角形的三边垂直平分线交于一点，叫做外心。是三角形外接圆的圆心。

（10）垂心：三角形的三条高交于一点，叫做垂心。

（11）重心：三角形的三条中线交于一点，叫做重心。且重心和各边中点的距离等于这边上

中线的三分之一。

如图：E 、F 、G 分别为三边的中点。 OF=1／3AF ，OA=2／3AF

OE=1／3BE ，OB==2／3BE

OG=1／3CG ，OC=2／3CG

4、全等三角形

（1）定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。例如△ABC 和△DEF 能够完全重合，它们是全等的。记作“△ABC ≌△DEF ”

（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

例 如图△ABC ≌△BAD ，找出它们的对应边和对应角。 解：AC 与BD ，BC 与AD ，AB 与BA 是对应边。

∠ABC 与∠BAD ，∠BAC 与∠ABD ，∠C 与∠D

是对应角。 （3）全等三角形的判定定理：

①如果三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形全等。记作（边边边）或（SSS ）。 ②如果三角形的两角及夹边分别相等，那么这两个三角形全等。记作（角边角）或（ASA ）。 ③如果三角形的两边及夹角分别相等，那么这两个三角形全等。记作（边角边）或（SAS ）。 ④如果三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等，那么这两个三角形全等。记作（角角边）或（AAS ）。

例 已知：如图在△ABC 中，BF=DE ，DE ∥AB ，DF ∥AC

求证：D 为BC 的中点。

证明：∵DE ∥AB ，DF ∥AC （已知） ∴∠B=∠EDC ，（平行线性质）

∠C=∠BDF ， 在△BFD 和△DEC 中

∵∠B=∠EDC ，∠C=∠BDF ，

BF=DE ∴△BFD ≌△DEC （AAS ）

∴BD=DC （全等三角形性质）

故，D 为BC 的中点。

（4）作图①已知：线段a ，c ，∠α。求作：△ABC ，使BC=a ，AB=c ，∠ABC=∠α.

②已知：线段c ，∠α，∠β，求作：△ABC 使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c 。

5、等腰三角形

① 轴对称图形及性质：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两边的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。

② 简单的轴对称图形及性质：

☆线段是轴对称图形，垂直平分线段的直线是它的一条对称轴。