面面平行的判定

面面平行的判定
基础知识：
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：
a β
b β
a ∩
b = P β∥α
a ∥α
b ∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

典型例题：
例1、设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出βα//的是（ ）．
A ．α⊂l ，α⊂m ，且β//l ，β//m
B ．α⊂l ，β⊂m ，且m l //
C ．α⊥l ，β⊥m ，且m l //
D ．α//l ，β//m ，且m l //
分析：选项A 是错误的，因为当m l //时，α与β可能相交．选项B 是错误的，理由同A ．选项C 是正确的，因为α⊥l ，l m //，所以α⊥m ，又∵β⊥m ，∴βα//．选项D 也是错误的，满足条件的α可能与β相交．
答案：C
说明：此题极易选A ，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致．
本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况．
变式题：
1、如果平面α内的两条相交直线与平面β所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是__________．
分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究．
解：设a 、b 是平面α内两条相交直线．
(1)若a 、b 都在平面β内，a 、b 与平面β所成的角都为︒0，这时α与β重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑．
(2)若a 、b 都与平面β相交成等角，且所成角在)90,0(︒︒内；
∵a 、b 与β有公共点，这时α与β相交．
若a 、b 都与平面β成︒90角，则b a //，与已知矛盾．此种情况不可能．
(3)若a 、b 都与平面β平行，则a 、b 与平面β所成的角都为︒0，α内有两条直线与平面β平行，这时βα//．
综上，平面α、β的位置关系是相交或平行．
2、下列命题错误的是
A 、平行于同一条直线的两个平面平行或相交
B 、平行于同一个平面的两个平面平行
C 、平行于同一直线的两条直线平行
D 、平行于同一平面的两条直线平行或相交
解析：D
例2、试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．
已知：α平面∉A ，
求证：过A 有且只有一个平面αβ//．
分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可．
证明：在平面α内任作两条相交直线a 和b ，则由α∉A 知，a A ∉，b A ∉．
点A 和直线a 可确定一个平面M ，点A 和直线b 可确定一个平面N ． 在平面M 、N 内过A 分别作直线a a //'、b b //'，
故'a 、'b 是两条相交直线，可确定一个平面β．
∵α⊄'a ，α⊂a ，a a //'，∴α//'a ．
同理α//'b ．
又β⊂'a ，β⊂'b ，A b a ='' ，∴αβ//．
所以过点A 有一个平面αβ//．
假设过A 点还有一个平面αγ//，
则在平面α内取一直线c ，c A ∉，点A 、直线c 确定一个平面ρ，由公理2知：
m =ρβ ，n =ργ ，
∴c m //，c n //，
又m A ∈，n A ∈，
这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立， 所以平面β只有一个．
所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
例3、如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 已知：γα//，γβ//，求证：βα//．
分析：本题考查面面平行的判定和性质定理以及逻辑推理能力．由于两个平面没有公共点称两平面平行，带有否定性结论的命题常用反证法来证明，因此本题可用反证法证明．另外也可以利用平行平面的性质定理分别在三个平面内构造平行且相交的两条直线，利用线线平行来推理证明面面平行，或者也可以证明这两个平面同时垂直于某一直线．
证明一：如图，
假设α、β不平行，则α和β相交．
∴α和β至少有一个公共点A ，即α∈A ，β∈A ．
∵γα//，γβ//，
∴γ∉A ．
于是，过平面γ外一点A 有两个平面α、β都和平面γ平行，
这和“经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”相矛盾，假设不成立。

∴βα//．
证明二：如图，在平面α内任取一点A ，过A 点作直线l 与α相交．
∵γα//，∴l 与γ也相交．
∵γβ//，∴l 与β也相交．
过l 作两相交平面分别与α交于直线1m 、1n ，且与2m 、2n ，交γ于直线3m 、3n ．
∵γα//，∴31//m m ．
∵γβ//，∴32//m m ．
∴21//m m ．
∵β⊄1m ，β⊂2m ，
∴β//1m ．
同理β//1n ．
又∵A n m =11 ，1m 、α⊂1n ，
∴βα//．
证明三：如图，任作直线α⊥l ，
∵γα//，∴γ⊥l ．
∵γβ//，∴β⊥l ．
∴βα//．
说明：证明两个平面平行，可根据定义、应用判定定理来证明．
变式题：
1、如图，已知a 、b 是异面直线，求证：过a 和b 分别存在平面α和β，使βα//．
分析：本题考查面面平行及线面垂直的判定和综合推理能力．根据前面学过的知识，过异面直线中的一条有且仅有一个平面与另一条平行．这样过a 和b 分别有平面与另一条线平行．那么这两个平面是不是互相平行呢？这两个平面是不是就是我们所要找的α和β？
证明：在直线a 上任取一点P ，过P 点作直线b b //'．
故过a 和'b 可确定一平面记为α，
在直线b 上任取一点Q ．
过Q 点作直线a a //'．
同理过b 和'a 可确定一平面，记为β．
∵a a //'，α⊂a ，
∴α//'a ．同理α//b ．
∵β⊂'a ，β⊂b ，Q b a = '．
∴βα//．
说明：由此题结论可知，两异面直线必定存在于两个互相平行的平面中．所以两异面直线间的距离就可转化为两平行平面间的距离（本题易证a 和b 的公垂线段垂直于两平行平面）．
2、求证：垂直于同一条直线的两个平面互相平行 证明：那假设两个面相交。

假设这条直线与第一个面相交于A 点，
与第二个面相交于B 点。

两面相交直线为CD ，在直线CD 上任取一点E ，
则ABE 应该为一个三角形。

然而，与三角形ABE 与三角形BAE 均为直角不符，
所以，两个面不可以相交，
即两个面平行。