数学建模_森林救火建模
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开始到火被扑灭的过程中，被烧毁的森林的
面积是不断扩大的，因而B（t）应是时间t
的单调递增的函数，即
dB0,0t dt
t2
精品课件
从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段 时间内，火势是越来越大的，即
d2B dt2
0,0t
t1
开始救火以后，即 t1 t t2 员灭火
时，如果队
能力足够强，火势会越d2来B越小，即
β是火势蔓延速度，而λ是每个队员的平均灭火速
度，同时也说明这个最优解满足约束条件，结果是
合理的.
② 派出的队员数的另一部分，即在最低限度基础
之上的人数，与问题的各个参数有关.当队员灭 火速度λ和救援费用系数C3增大时，队员数减 少；当火势蔓延速度β、开始救火时的火势b及 损失费用系数C1增加时，消防队员人数增加； 当救援费用系数C2增大时，队员人数也增大.
精品课件
③改进方向：
i 取消树木分布均匀、无风这一假设，考虑更一般 情况； ii 灭火速度是常数不尽合理，至少与开始救火时的火势有关； iii 对不同种类的森林发生
火灾，派出的队员数应不 同，虽然β（火势蔓延速 度）能从某种程度上反映 森林类型不同，但对β相 同的两种森林，派出的队 员也未必相同； iv 决定派出队员人数时，人 们必然在森林损失费和救 援费用之间作权衡，可通 过对两部分费用的权重来
其中只有派出的消防队员的人数是未知的.
问题归结为如下的最优化问题：
mxin0 C(x)
s.t.x 0.
精品课件
（4）模型求解
这是一个函数极值问题. 令dC 0
dx
容易解得
x C1b22C32C 2 2b
精品课件
（5）模型分析与改进
① 应派出的（最优）消防队员人数由两部分组成，
其中
是为了把火扑灭所必须的最低限度,因为
森林救火模型
森林失火了！消防站接到火警后，
立即决定派消防队员前去救火.一般情况
下，派往的队员越多，火被扑灭的越快， 火灾所造成的损失越小，但是救援的开支 就越大；相反，派往的队员越少，救援开 支越少，但灭火时间越长，而且可能由于 不能及时灭火而造成更大的损失，那末消 防站应派出多少队员前去救火呢
精品课件
精品课件
③ 与时从间失t火成到正开比始，救比火例这系段数时为间β内，，称火之势为蔓火延势程蔓度延d速dBt
度，即
dBt,0t
dt
t1;
④ 派出消防队员x名，开始救火以后 t t1
（
）， x
火势蔓延速度降为
（线性化），其x中
可
视为每个队员的平均灭火速度，且有 ：
因为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势
C ( x ) c 1 B ( t2 ) c 2 x ( t2 t1 ) c 3 x
dB
由假设3，4，火势蔓延速度dt 0在t t1
内线性地增加，t1时刻消防队员到达并开始救火，
此时火势用b表示，而t1 后t，t在2
内，火
势蔓延的速度线性地减少（如下图）
精品课件
品课件
即
d dB t (tx,)t(2t),
dt2 0,t1 t t2
dB 0 dt
并且当t=t2时，
精品课件
在建立数学模型之前，需要对烧毁森林的损
失费、救援费及火势蔓延程度 dB
理的
dt
假设.
作出合
（2）模型假设 ① 森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风的条 件下发生的；
② 损失费与森林烧毁面积B（t2）成正比，比例系 数为C1，即烧毁单位面积的损失费为C1；
体现这一点.
精品课件
精品课件
蔓延的速度，否则火势将精品难课件以控制；
⑤ 每个消防队员单位时间费用为C2（包括灭火器材 料的消耗及消防队员的薪金等），救火时间为t2-t1， 于是每个队员的救火费用为C2(t2-t1)；每个队员的一 次性支出为C3(运送队员、器材等一次性支出).
对于假设3可作如下解释：由于森林中树
木分布均匀，且火灾是在无风条件下发生的，因
而火势可看作以失火点为中心，以均匀速度向四
周呈圆形蔓延，因而蔓延半径r与时间t成正比，
又因为烧毁面r 积2 B与 成正比，t 2 故B与 成正
比dB ，从而
dt
与t成正比
精品课件
（3）模型建立
总费用由森林损失费和救援费组成.由假设2 ，森林损失费等于烧毁面积B（t2）与单位面积损失 费C1的积，即C1B(t2)；由假设5，救援费为 C2x(t2-t1)+C3x，因此，总费用为
灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目，队员越多灭
火越快.救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短
有关.救援费可具体分为两部分：一部分是灭火器材的消
耗及消防队员的薪金等，与队员人数及灭火时间均有关；
另一部分是运送队员和器材等一次性支出，只与队员人
数有关.
精品课件
设火灾发生时刻为t=0，开始救火时刻 为t=t1，灭火时刻为t=t2，t 时刻森林烧毁 面积为B（t），则造成损失的被烧毁的森林 的面积为B（t2），而是森林被烧毁的速度， 也表示了火势蔓延的程度.从火灾发生时刻
0tt1 t1tt2,
因而有
bt1,t2
t1
b
x
精品课件
烧毁面积为
B(t2)
t2 0
dBdt dt
1 2bt2,
恰为图中三角形的面积.
由b的定义 b t1 (x )(t2 t1 )
有，t于2 是t1xb , t2 bxb ,
精品课件
所以
C (x)1 2b C 1 ( b x b ) C 2xx b C 3 x
（1）问题分析
如题中所述，森林救火问题与派出的消防队员的人数 密 切相关，应综合考虑森林损失费和救援费，以总费用最
小为目标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小.
•
救火的总费用由损失费和救援费两部分组成.损失费
由森林被烧毁的面积大小决定 ，而烧毁面积与失火、灭
火（指火被扑灭）的时间（即火灾持续的时间）有关，
面积是不断扩大的，因而B（t）应是时间t
的单调递增的函数，即
dB0,0t dt
t2
精品课件
从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段 时间内，火势是越来越大的，即
d2B dt2
0,0t
t1
开始救火以后，即 t1 t t2 员灭火
时，如果队
能力足够强，火势会越d2来B越小，即
β是火势蔓延速度，而λ是每个队员的平均灭火速
度，同时也说明这个最优解满足约束条件，结果是
合理的.
② 派出的队员数的另一部分，即在最低限度基础
之上的人数，与问题的各个参数有关.当队员灭 火速度λ和救援费用系数C3增大时，队员数减 少；当火势蔓延速度β、开始救火时的火势b及 损失费用系数C1增加时，消防队员人数增加； 当救援费用系数C2增大时，队员人数也增大.
精品课件
③改进方向：
i 取消树木分布均匀、无风这一假设，考虑更一般 情况； ii 灭火速度是常数不尽合理，至少与开始救火时的火势有关； iii 对不同种类的森林发生
火灾，派出的队员数应不 同，虽然β（火势蔓延速 度）能从某种程度上反映 森林类型不同，但对β相 同的两种森林，派出的队 员也未必相同； iv 决定派出队员人数时，人 们必然在森林损失费和救 援费用之间作权衡，可通 过对两部分费用的权重来
其中只有派出的消防队员的人数是未知的.
问题归结为如下的最优化问题：
mxin0 C(x)
s.t.x 0.
精品课件
（4）模型求解
这是一个函数极值问题. 令dC 0
dx
容易解得
x C1b22C32C 2 2b
精品课件
（5）模型分析与改进
① 应派出的（最优）消防队员人数由两部分组成，
其中
是为了把火扑灭所必须的最低限度,因为
森林救火模型
森林失火了！消防站接到火警后，
立即决定派消防队员前去救火.一般情况
下，派往的队员越多，火被扑灭的越快， 火灾所造成的损失越小，但是救援的开支 就越大；相反，派往的队员越少，救援开 支越少，但灭火时间越长，而且可能由于 不能及时灭火而造成更大的损失，那末消 防站应派出多少队员前去救火呢
精品课件
精品课件
③ 与时从间失t火成到正开比始，救比火例这系段数时为间β内，，称火之势为蔓火延势程蔓度延d速dBt
度，即
dBt,0t
dt
t1;
④ 派出消防队员x名，开始救火以后 t t1
（
）， x
火势蔓延速度降为
（线性化），其x中
可
视为每个队员的平均灭火速度，且有 ：
因为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势
C ( x ) c 1 B ( t2 ) c 2 x ( t2 t1 ) c 3 x
dB
由假设3，4，火势蔓延速度dt 0在t t1
内线性地增加，t1时刻消防队员到达并开始救火，
此时火势用b表示，而t1 后t，t在2
内，火
势蔓延的速度线性地减少（如下图）
精品课件
品课件
即
d dB t (tx,)t(2t),
dt2 0,t1 t t2
dB 0 dt
并且当t=t2时，
精品课件
在建立数学模型之前，需要对烧毁森林的损
失费、救援费及火势蔓延程度 dB
理的
dt
假设.
作出合
（2）模型假设 ① 森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风的条 件下发生的；
② 损失费与森林烧毁面积B（t2）成正比，比例系 数为C1，即烧毁单位面积的损失费为C1；
体现这一点.
精品课件
精品课件
蔓延的速度，否则火势将精品难课件以控制；
⑤ 每个消防队员单位时间费用为C2（包括灭火器材 料的消耗及消防队员的薪金等），救火时间为t2-t1， 于是每个队员的救火费用为C2(t2-t1)；每个队员的一 次性支出为C3(运送队员、器材等一次性支出).
对于假设3可作如下解释：由于森林中树
木分布均匀，且火灾是在无风条件下发生的，因
而火势可看作以失火点为中心，以均匀速度向四
周呈圆形蔓延，因而蔓延半径r与时间t成正比，
又因为烧毁面r 积2 B与 成正比，t 2 故B与 成正
比dB ，从而
dt
与t成正比
精品课件
（3）模型建立
总费用由森林损失费和救援费组成.由假设2 ，森林损失费等于烧毁面积B（t2）与单位面积损失 费C1的积，即C1B(t2)；由假设5，救援费为 C2x(t2-t1)+C3x，因此，总费用为
灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目，队员越多灭
火越快.救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短
有关.救援费可具体分为两部分：一部分是灭火器材的消
耗及消防队员的薪金等，与队员人数及灭火时间均有关；
另一部分是运送队员和器材等一次性支出，只与队员人
数有关.
精品课件
设火灾发生时刻为t=0，开始救火时刻 为t=t1，灭火时刻为t=t2，t 时刻森林烧毁 面积为B（t），则造成损失的被烧毁的森林 的面积为B（t2），而是森林被烧毁的速度， 也表示了火势蔓延的程度.从火灾发生时刻
0tt1 t1tt2,
因而有
bt1,t2
t1
b
x
精品课件
烧毁面积为
B(t2)
t2 0
dBdt dt
1 2bt2,
恰为图中三角形的面积.
由b的定义 b t1 (x )(t2 t1 )
有，t于2 是t1xb , t2 bxb ,
精品课件
所以
C (x)1 2b C 1 ( b x b ) C 2xx b C 3 x
（1）问题分析
如题中所述，森林救火问题与派出的消防队员的人数 密 切相关，应综合考虑森林损失费和救援费，以总费用最
小为目标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小.
•
救火的总费用由损失费和救援费两部分组成.损失费
由森林被烧毁的面积大小决定 ，而烧毁面积与失火、灭
火（指火被扑灭）的时间（即火灾持续的时间）有关，