数学建模 第三章
数学建模第三章线性代数方法建模--3.3 Hill密码的数学模型
A
， 由
的两个分量反查字母表值得到的两个字母即为密文 字母。 以上 4 步即为 Hill 密码的加密过程。
例 明文为 YI CHU FA。
1 A 0 2 3 ，
求这段明文的 Hill 密码。 将明文相邻 2 个字母分为一组：YI CH UF AA。 最后一个字母是哑字母，它是为使最后一组的字母数 为 2 而添加的，无实际意义。查出每对字母的表值， 并构造 2 维列向量：
A
=3 没有 2 与 13 这两个素数因子， 所以 A 模 26 可逆。
A
1
(mod 26 ) 2 (mod 26 ) 1 2 (mod 26 ) 1 18 1 9 0 8 9
3 3 0
1
3 9 0 27 0
（2）
在反查这 4 个向量对应的字母时，遇到了问题：第 1 个向量与第三个向量中的 43 与 33 不是表值，处理的 办法是加减 26 的整数倍，使其化为 0—25 之间的一 个整数，这称为模 26 运算，记为：
43 27 17 (mod 26 ) , 1 33 7 (mod 26 ) 18 18
R 18 3 C 2 A 2 2 S 19 15 O
在模 26 意义下，
det ( 1 , 2 ) 21 3 18 19 (mod 26 ) 345 (mod 26 ) 7
27 26 52 (mod 26 ) E 27
定义 2 对 Z 的一个整数 a，若存在 Z 的一个整数 b， 使得 ab=1（mod m） ，称 b 为 a 的模 m 倒数，记作
章绍辉数学建模第三章
第三章10.考虑3.4.3小节的“人口预报”案例，用前差公式计算美国人口的年增长率r k 与美国人口的数量x k 成二次函数关系，即21-10k k k k k kx x r ax bx c x +==++，k=1,2,…通过Matlab 编程并代入实际数据拟合出二项式的系数，代码如下：fun=@(a,x)a(1).*x.^2+a(2).*x+a(3);x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,... 92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4,281.4]; r=(x(2:22)-x(1:21))./(10.*x(1:21)); a=polyfit(x(1:21),r,2)输出结果为 a=7.0393e-07 -2.7030e-04 3.6840e-02即a=7.0393⨯10-7b=-2.7030⨯10-4c=3.6840⨯10-2则该假设模型为21-10()k k k k k x x x ax bx c +=++，k=1,2,…即3211010(101)k k k k x ax bx c x +=+++，k=1,2,…代入a,b,c 的值得734217.039310 2.703010 1.3684k k k k x x x x --+=⨯⨯-⨯⨯+，k=1,2,…利用Matlab 统计工具箱的非线性拟合函数nlinfit 计算参数，代码如下： M 文件fun.mfunction y=fun(a,x) SizeX=size(x); y=zeros(SizeX); y(1)=a(4);for i=2:SizeX(2)y(i)=a(1).*y(i-1).^3+a(2).*y(i-1).^2+a(3).*y(i-1);end脚本t=1790:10:2000;x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,...92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4,281.4];[b1,resd1]=nlinfit(t,x,@ fun,[7.0393e-7 -2.7030e-4 1.3684 3.9])sse1=sum(resd1.^2)x1=fun(b1,[t,2010,2020])(x1(23:24)-x1(22:23))./x1(22:23)./10.*100subplot(2,1,1);plot(t,x,'k*',t,x1(1:end-2),'ks',[2010 2020],x1(end-1:end),'kp');axis([1780,2030,0,350]);legend('统计值','模拟值','预测值',2);xlabel('年份');ylabel('人口数量x_k（百万）');title('非线性拟合美国人口增长效果图');subplot(2,1,2);plot(t,resd1,'k.',[1780 2030],[0 0],'k');axis([1780,2030,-10,10]);xlabel('年份');ylabel('模拟误差');title('非线性拟合美国人口增长模拟误差图');输出结果b1 =5.2615e-06 -0.0021 1.3239 4.9976resd1 =Columns 1 through 7-1.0976 -1.2651 -1.4034 -1.6394 -1.7244 -1.8325 -1.1541 Columns 8 through 140.3169 -0.6966 1.0726 2.2642 2.2108 3.5401 2.0489 Columns 15 through 211.6519 -7.8844 -7.8103 0.8436 4.1938 3.1885 1.0698 Column 22-1.9798sse1 =203.0297 x1 =Columns 1 through 74.9976 6.5651 8.6034 11.2394 14.6244 18.9325 24.3541 Columns 8 through 1431.0831 39.2966 49.1274 60.6358 73.7892 88.4599 104.4511 Columns 15 through 21121.5481 139.5844 158.5103 178.4564 199.8062 223.3115 250.3302 Columns 22 through 24 283.3798 327.5773 395.0407 ans =1.55972.0595即计算结果为63321 5.261510 2.110 1.3239k k k k x x x x --+=⨯⨯-⨯⨯+，且x 1=4.9976误差平方和为203.0297，预测2010年美国人口为327.5773百万，2020年美国人口为395.0407百万，经过计算得知预测2000年至2010年和2010年至2020年的年增长率分别为1.5597%和2.0595%，计算结果以及模拟效果图和模拟误差图表明（1）模拟效果基本令人满意，本模型能够很好地模拟1790年至2000年美国人口的演变过程，误差平方和不算大；（2）预测值基本合理，可能偏高，按照美国最近几十年的人口统计数据，一般推断未来20年美国人口增长率大约是1%，甚至更低，该模型得到的2000年的模拟值比实际值大 1.9798百万，预测2000年至2020年的年增长率约为 1.8096%，所以该模型对2010年和2020年的人口预报有可能偏高了一点。
数学建模课后作业第三章
线性规划和整数规划实验3.2.基本实验1.生产计划安排解：（1）设A、B、C三种产品的生产量为x、y、z,则可以得出生产利润：f=3*x+y+4*z;约束条件为：6*x+3*y+5*z≤45;3*x+4*y+5*z≤30；x、y、z均大于0；只要f取得最大值即为最大利润则可以得出以下lingo程序；model:max=3*x+y+4*z;6*x+3*y+5*z<=45;3*x+4*y+5*z<=30;end运行程序后可得；Global optimal solution found.Objective value: 27.00000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 2Model Class: LPTotal variables: 3Nonlinear variables: 0Integer variables: 0Total constraints: 3Nonlinear constraints: 0Total nonzeros: 9Nonlinear nonzeros: 0Variable Value Reduced Cost X 5.000000 0.000000Y 0.000000 2.000000Z 3.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 27.00000 1.0000002 0.000000 0.20000003 0.000000 0.6000000则可得当x=5、y=0、z=3时fmax=27为获利最大的生产方案；(2)由（1）中的程序Objective Coefficient Ranges:Current Allowable AllowableVariable Coefficient Increase DecreaseX 3.000000 1.800000 0.6000000Y 1.000000 2.000000 INFINITYZ 4.000000 1.000000 1.500000Righthand Side Ranges:Current Allowable AllowableRow RHS Increase Decrease2 45.00000 15.00000 15.000003 30.00000 15.00000 7.500000可以得出A的利润范围[4,4.8],B的利润范围[1,3],C的利润范围为[2.5,5]（3）假设购买材料的数量为d，生产利润：f=3*x+y+4*z-0.4d;约束条件为：6*x+3*y+5*z≤45;3*x+4*y+5*z-d≤30；x、y、z、d均大于0；则可以得到下面新的lingo程序；model:max=3*x+y+4*z-0.4*d;6*x+3*y+5*z<=45;3*x+4*y+5*z-d<=30;end运行程序后可以得出：Global optimal solution found.Objective value: 30.00000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 2Model Class: LPTotal variables: 4Nonlinear variables: 0Integer variables: 0Total constraints: 3Nonlinear constraints: 0Total nonzeros: 11Variable Value Reduced Cost X 0.000000 0.6000000 Y 0.000000 1.800000Z 9.000000 0.000000D 15.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 30.00000 1.0000002 0.000000 0.40000003 0.000000 0.4000000由以上程序可以得出当z=9,d=15时，利润可以达到30，（4）假设新产品的数量为D，可以得出如下的生产利润：f=3*x+y+4*z+3D;约束条件为：6*x+3*y+5*z+8*D≤45;3*x+4*y+5*z+2*D≤30；x、y、z、D均大于0；则可以得到下面新的lingo程序；model:max=3*x+y+4*z+3*D;6*x+3*y+5*z+8*D<=45;3*x+4*y+5*z+2*D<=30;End运行程序可以得出：Global optimal solution found.Objective value: 27.50000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 2Model Class: LPTotal variables: 4Nonlinear variables: 0Total constraints: 3Nonlinear constraints: 0Total nonzeros: 12Nonlinear nonzeros: 0Variable Value Reduced Cost X 0.000000 0.1000000 Y 0.000000 1.966667Z 5.000000 0.000000D 2.500000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 27.50000 1.0000002 0.000000 0.23333333 0.000000 0.5666667利润为27.5>27但是z=5,D=2.5,由于D只能取整数，故当D=3时则不满足约束条件，当D=2是，利润为26<27,所以如果其他条件不变化的话，这种产品不值得生产。
数学建模 第三章
本节将简单地介绍常用的一维插值方法的分段线性插值和三次样条插值。
3.1.1分段多项式插值
先介绍分段线性插值。从数学的角度，分段线性插值的提法如下：
问题：设函数f(x)在n+1个节点x0,x1,…,xn处的函数值已知，为y0,y1,…,yn。
要求：求一个分段( 共n段)线性函数q(x)，使其满足：q(xi)=yi,i=0,1,…,n.
25.6
40-50
37.3
28.8
27.8
37.2
40.3
41.7
46.2
39.9
35.9
40.3
38.2
43.4
50-60
48.2
36.6
35.5
40
37.6
35.4
35
34.7
35.7
39.5
40
41.9
60-70
25.6
24.2
25.5
24.6
21.1
22.2
20.2
21.2
22.6
28.5
25.3
1） 产生peaks 的粗糙近似：
[x,y,z]=peaks(10);%从MATLAB提供的双变量正态分布曲线获取数据
mesh(x,y,z)%画出三维网格图
2）通过插值作出更加精细的山顶曲面：
[xi,yi]=meshgrid(-3:.1:3,-3:.1:3);
%生成x-y平面的自变量"格点“矩阵
zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'cubic');mesh(xi,yi,zi)
还有其它的插值函数，如interp1q, interpft, spline, interp2, interp3, interpN.
(完整版)数学模型姜启源-第三章(第五版)
平均每天费用950元 • 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元.
平均每天费用2550元
c2 t1x x
c3 x
其中 c1,c2,c3, t1, ,为已知参数
模型求解 求 x使 C(x)最小
dC 0 dx
x
c t 2 2c t
11
21
2c 2
3
结果解释 x c1t12 2c2t1
2c32
dB
dt
/ 是火势不继续蔓延的最少队员数
x
x 0.45
0.4 0.35
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 a
a
1
空杯质量w2取决于材料 (纸杯、塑料杯、玻璃杯).
设w2=150g 半升啤酒杯w1=500g a=0.3 x=0.3245
一杯啤酒约剩1/3时重心最低，最不容易倾倒！
问题分析与模型假设 x
w1 ~ 啤酒 (满杯) 质量
1
w2 ~空杯侧壁质量, w3 ~空杯底面质量
啤酒杯重心s(x)由啤酒重心和空杯 重心合成.
• s2=1/2 •xs(x) 液面 • s1=x/2 0
液面高度x时啤酒质量w1x, 啤酒重心位置 s1=x/2
忽略空杯底面质量w3 空杯重心位置 s2=1/2
数学模型-第03章(第五版)
存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小.
分析
• 关键是对B(t)作出合理的简化假设.
失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形.
B
分析B(t)比较困难, 转而讨论单位时间 烧毁面积 dB/dt (森林烧毁的速度).
第三章
材料强度最大
简单优化模型
利润最高 风险最小
优化——工程技术、经济管理、科学研究中的常见问题. 运输费用最低
用数学建模方法解决优化问题的过程 优化目标与决策 模型假设与建立 数学求解与分析
简单优化模型归结为函数极值问题，用微分法求解. 属于数学规划的优化模型在第四章讨论.
第 三 章 简 单 优 化 模 型
3.2 森林救火
问题
森林失火后，要确定派出消防队员的数量. 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小. 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.
分析
记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).
• 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定.
啤酒杯重心s(x)只与质量比a有关 对于每个a, s(x) 有一最小点. a=0.3, x=0.35左右 s最小, 即重心最低.
0.5
s
0.45 a=1 0.4 a=0.5 0.35 a=0.3 0.3
0.25 a=0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
建立啤酒杯重心模型一
啤酒杯重心模型一
x
s=s(x) ~ 液面高度x的啤酒杯重心
数学建模第三章2
3.8 选址模型问题描述设有m 个村庄12,,,m A A A 各有小学生12,,,m n n n 人，现要合建一所小学校，使全部学生所走的总路程最短，问应如何选择校址？建立模型设A i 的坐标为(x i ,y i ) ,（i =1,2,3……m ）校址在 A (x,y )处，那么全部学生所走的总路程为：1(,)m i S x y n ==∑设e i 为i 方向上的单位向量。
∑--∑--==+-=∂∂+-=∂∂m i ii m i i i )y y ()x x (y y n )y y ()x x (x x n i i )(y S , i i )(x S 122122若令()()i i x x y y n ⎛⎫-- ⎪==-i F e 则 0, 0S S x y∂∂==∂∂ 等价于10m i i F ==∑ (3.8.1) S 的最小值只能在A i （i=1,2,3……m ）（在这些点S 不可导）和满足（3.8.1）的点去找。
可以证明：若点A(x,y )满足(3.8.1)，则在该点S 达最小值。
三角形的费尔马点考虑选址问题中， 3, 1, (1,2,3)i m n i ===的特例 费尔马问题---要在123A A A ∆所在平面上找一点A ，使A 到三顶点距离之和最小. 费尔马点---费尔马问题中的点A费尔马距离---费尔马问题中的点A 到三顶点距离之和，即123S AA AA AA =++.显然A 点不应在123A A A ∆之外。
（1）情形1，当123A A A ∆的内角都小于120º时，由上述（3.8.1）即得：230++=1e e e (3.8.3)对(3.8.3)两边分别点乘123e e e 、、, 得到下面方程组 232101010++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩121312313e e e e e e e e e e e e (3.8.4) 解得：212==-12133e e e e e e =，即 3231cos(,)cos(,)cos(,)2===-121e e e e e e 122313(,)(,)(,)120∴===︒e e e e e e A A 1 A 3 A 2 图3.8.3此时, 费尔马点唯一存在。
数学建模,第三章-微分方程模型
8小时20分－2小时57分＝5小时23分
即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被 排除在嫌疑犯之外。
理学院
3.2 目标跟踪模型
例1 饿狼追兔问题 黑 龙 现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假 江 科 设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的 技 巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度 学 是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴? 整理得到下述模型： 院 解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：
理பைடு நூலகம்院
本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
数 学 建 模
B
60
2 2xf' ' x 1 f' x y' x 0 , y 0 100 x 100 解得狼的行走轨迹为： 100 0 100 (0,h) 0, f' f 假设在某一时刻，兔子跑到 处，而狼在 (x,y)处，则有：
理学院
y y0 g e
g
车间空气中CO2浓度y 与时间t的数学模型
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
3.4 学习模型
一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学 得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。
员学习的速度，则随y的增长而下降。
dy 设y%表示已经掌握了这项工作的百分数， dt
数学建模第三章
数学建模第三章第三章⾮线性最优化⽅法§3.1 最优化问题与建模⼀. 基本概念：因为⼈类所从事的⼀切⽣产或社会活动均是有⽬的的，其⾏为总是在特定的价值观念或审美取向的⽀配下进⾏的，经常⾯临求解⼀个可⾏的甚⾄是最优的⽅案的决策问题。
可以说，最优化思想是数学建模的灵魂。
⽽最优化⽅法作为⼀门特殊的数学学科分⽀有着⼴泛的实际应⽤背景。
典型的最优化模型可以被描述为如下形式：其中表⽰⼀组决策变量，通常在实数域内取值，称决策变量的函数为该最优化模型的⽬标函数；为维欧⽒空间的某个⼦集，通常由⼀组关于决策变量的等式或不等式刻画，形如：这时，称模型中关于决策变量的等式或不等式、为约束条件，⽽称满⾜全部约束条件的空间中的点为该模型的可⾏解，称，即由所有可⾏解构成的集合为该模型的可⾏域。
称为最优化模型的（全局）最优解，若满⾜：对均有，这时称处的⽬标函数值的为最优化模型的（全局）最优值；称为最优化模型的局部最优解，若存在，对，均有。
（全局）最优解⼀定是局部最优解，但反之不然，其关系可由下图得到反映：上图为函数在区间上的⼀段函数曲线（由Mathematica绘制），如果考察最优化问题，从图中发现它有三个局部最优解、、，其中是全局最优解，最优值为“”。
⼆. 最优化问题的⼀些典型的分类：优化⽅法涉及的应⽤领域很⼴，问题种类与性质繁多，根据不同的原则可以给出不同的分类。
从数学建模的⾓度，对最优化问题的⼀些典型分类及相关概念的了解是有益的。
根据决策变量的取值类型，可分为函数优化问题与组合优化问题，称决策变量均为连续变量的最优化问题为函数优化问题；若⼀个最优化问题的全部决策变量均离散取值，则称之为组合优化问题。
⽐⽅⼀些最优化问题的决策变量被限定只能取整数值，即为组合最优化问题，这类优化问题通常被称为整数规划问题，另外⼤多⽹络规划问题属于组合最优化问题。
当然，也有许多应⽤问题的数学模型表现为混合类型的，即模型的部分决策变量为连续型的，部分决策变量为离散型的；另外当谈论⼀个最优化问题是函数优化问题还是组合优化问题时，还需结合我们对这⼀问题的思考⽅式来进⾏确定，⽐⽅后⾯介绍的线性规划问题的求解，既有将其作为⼀个组合优化问题⽽开发的算法，也有将其作为⼀个函数优化问题⽽开发的算法；另外的⼀种分类⽅式是根据问题中⽬标、约束条件函数的形式或性质来加以划分的：若⼀个最优化问题的⽬标、约束条件函数均为决策变量的线性函数，则称之为线性规划问题，否则称之为⾮线性最优化问题。
《数学建模课程》第三章 量纲分析法
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数学建模 第一篇第三章
第三章 对偶线性规划问题§1-3-1对偶线性规划问题例1 某工厂生产甲、乙、丙三种产品，使用两种主要原料A 和B ，已知生产每单位产品需要原料数、现有原料树以及每单位产品价格如表1-3-1。
问：应如何安排生产，可使总产值最大？解：设321,,x x x 分别表示甲、乙、丙三种产品的产量，则可建立线性规划数学模型：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++++=0,,100542120634..354m ax 321321321321x x x x x x x x x t s x x x S （1.3.1）现工厂的决策者决定除了生产甲、乙、丙三种产品以外，如果合适的话，可以考虑将这两种原料出售，那么对于购买者来说，尽可能以较低的价格购买，又使得工厂接受，这时A 、B 的价格应分别是多少？设原料A 、B 的价格分别为21,y y ，则合理的定价应满足线性规划问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥++=0,356543424..100120m in 2121212121y y y y y y y y t s y y W （1.3.2）我们称线性规划问题（1.3.2）为线性规划问题（1.3.1）的对偶线性规划问题。
一般地，给定线性规划问题：（LP ） n n x c x c x c S +++=...m ax 2211⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤+++≤+++≤+++n j x bx a x a x a bx a x a x a b x a x a x a t s j mn mn m m n n n n ,,2,10 (221)12222212111212111 即（LP ）⎩⎨⎧≥≤=OX b AX t s CXS ..m ax 与线性规划问题（DLP ）m m y b y b y b W +++= 2211m in⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥+++≥+++≥+++m i y cy a y a y a c y a y a y a c y a y a y a t s i n m mn n n m m m m ,,2,10 (221)12222211211221111 即（DLP ）⎩⎨⎧≥≥=OY C YA t s YbW ..min 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m b b b b 21， ),,,21n c c c C （=，),,,(21m y y y Y =。
科学计算与数学建模第三章PPT课件
Sn
ba 180
( h )4 2
f
(4) ( )
(3.2.12) （3.2.13）
[a,b]
其中
b a
f
(x，)d且x 当Chn充分 小2(9b时4，5a又) (有h2)：6 f
6 ( )
（3.2.14）
第18页/共64页
b a
f
(x)dx
Tn
1 12
h2[
f
'(b)
f
'(a)]
(3.2.15)
为 。但是在实际中是不可能精确得到的，那么怎样求出足够高精度的
b
横截面面积的近似值。
a h(x)dx
表3.1.1 湘江某处横截面不同位置的水深数据
单位：m
x
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700
h(x) 4.2 5.9 5.8 5.2 4.5 5.7 5 5.5 4.8 5.9 4.1 5.1 4.6 5.7, 4.7
第7页/共64页
3.2 数值求积的Newton-Cotes（牛顿-柯特斯） 方法
在3.1 中，介绍了插值型求积公式及其构造方法。在实 际应用时，考虑到计算的方便，常将积分区间等分之，并取分点为 求积分节点。这样构造出来的插值型求积公式就称为牛顿-柯特斯 （Newton-Cotes）公式。
本节在介绍一般牛顿-柯特斯公式的基础上，介绍几个常用的牛 顿-柯特斯公式以及这些公式在实际计算时的用法。
就应该要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立。在计算方法中，
常用代数精度这个概念来描b 述。
n
定义3.1.1
若 求 积 公 式 ：a
数学建模竞赛培训教程第一章-第三章
第二章
多元线性统计模型
§1 多元线性回归数学模型
一、一般数学模型
假设正态分布的随机变量 y 可以表示成特殊的形式（只有正态分布才有这样的基本的 良好的形态：线性可加性）
⎧ y = β 0 + β 1 x1 + ... + β m x m + ε ⎨ ε ~ N (0, σ 2 ) ⎩
这个模型称之为 m 元理论线性回归模型
=⎜ ⎜
⎛ β0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝b⎠
⎛ ⎞ ⎜ε ⎟ ⎜ 1⎟ ε = ⎜ε 2 ⎟ 来自M ⎟ ⎜ ⎜ε ⎟ ⎟ ⎝ n⎠
得到 n 元线性回归模型： ⎨
⎧ y I = β 0 + β 1 xi 1 + ... + β m xi m + ε i ε i ~ N (0,σ 2 ) ⎩
（2）
用矩阵的运算关系集中可以表示成：
有了模型分析和模型假设以后，就要表示成准确的数学问题形式，形成明确完整 的数学模型，这就是模型构成。模型的构成要根据对象的内在规律、相互联系、平衡 关系、递推规律、条件限制、总和表示等构作出各个、各种量（变量和常量）的等式 及不等式关系，或者其它结构形式，有时可以把若干等式关系统一成矩阵等式或方程 组形式等。还要充分利用有关专业领域中的规律、原理、性质等来分析和建立等式及 不等式。 模型构成中更重要的是确定求解目标的形式，可以说只有明确了目标，把目标用 具体数学形式表现出来了，明确了目标：求某类状态的最大值或最小值、确定某种变 化过程的数值变化过程即函数、 对某组对象进行分类、找出某些变量之间的对应关系、 求某类对象的数目、进行因素的差异性分析、找出影响目标的主要因素、进行某种合 理性及满意度分析等等。明确了这些，我们才能选择恰当的数学模型来对应表示，进 而提出问题、形成数学模型。数学模型的构成要依赖于相关的数学概念、数学理论和 数学问题。实际上在进行模型的分析、假设时就已经确定了所要建立的的数学模型的 类型，现在要做的就是将具体数学形式表现出来。一般情况下，要用已有的概念形式 来表示，问题的表述要规范、清晰，如果遇到新问题、新现象，也需要创造性地引进 新概念、新方法。 第四步 模型计算
数学建模第3章 简单的优化模型
数学建模第3章 简单的优化模型3.1 在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。
重新确定最优订货周期和订货批量。
证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样。
而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少。
（1）不允许缺货模型：模型假设：考虑连续模型，即设生产周期T 和产量Q 均为连续量。
作如下假设：1、 产品每天的需求量为常数r ;2、 每次生产准备费为1c ，每天每件产品贮存费为2c ;3、 生产力为无限大（相对于需求量），当贮存量降到0时，Q 件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。
模型建立：设购买单位种类货物的费用为k ，将贮存量表示为时间t 的函数()q t ，0t =生产Q 件，贮存量(0)q Q =，()q t 以需求速率r 递减，直到()0q T =。
如图1，显然有Q rT =。
图1一个周期内的贮存费为2/2c QT ⨯，准备费为1c ，购买费用为kQ 。
所以一周期的总费用为：21212/2/2C c c QT kQ c c rT krT =++=++，则每天的平均费用为：12()//2c T c T c rT kr =++。
模型求解：求T 使得每天平均费用最小，由2221r c Tc dT dC +-=，令0=dT dC ，可以得到122c T c r =，122c r Q c =，结果不变.（2）允许缺货模型：模型假设 与不允许缺货的1、2一样，但3、生产力为无限大（相对于需求量），允许缺货，每天每件产品缺货损失费为3c ，但缺货数量需在下次生产时补足。
模型建立 同上，设购买单位种类货物的费用为k ，将贮存量表示为时间t 的函数()q t ，0t =生产Q 件，贮存量(0)q Q =，()q t 以需求速率r 递减。
但是当1t T =时，有()0q t =，显然有1Q rT =，在1T 到T 这段时间内需求率不变，在t T =时数量立即恢复到Q 。
图2一个周期内的准备费为1c ，贮存费为21/2c QT ，缺货损失费为231()/2c r T T -,购买费用为kQ 。
第三章 3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点
问题1 你认为牛顿是从“苹果从树上落下”这一问题的思考中很简单的提出的 万有引力吗？ 问题2 你能想象一下牛顿发现万有引力的过程吗？ 提示 树上掉下苹果也许的确给了牛顿某种启示，但万有引力的诞生绝非如此简 单，事实上它是几代人努力的结果.即使不把哥白尼的工作计算在内，若没有开 普勒的三大定律，牛顿也无法着手，不可能得出万有引力.分析万有引力的导出 过程，可以看出数学建模在发现问题、研究问题并解决问题中的作用.
在实际的数学建模过程中，为了向别人介绍数学建模的成果，给别人提供参考，我
们还需要将建模结果整理成论文的形式.一般来说，数学建模论文的结构可以按照
建模过程来确定.
1.数学建模的概念 对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问 题就是数学建模.
2.数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分 析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实 际问题.
建模过程描述与介绍 (1)发现问题 当市面上的苹果比较多时，苹果的价格就会降低.这时，如果将苹果利用一定的技术手 段进行保鲜存储，等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售，则同样多的苹果就 可以获得比较高的销售收入.不过，需要注意的是，保鲜存储是有成本的，而且成本会 随着时间的延长而增大. (2)提出问题 针对上述这种日常生活中的现象，我们可以探讨的问题很多.例如，为什么会发生这些 现象？什么情况下不会发生这样的现象？能够利用哪些技术手段进行保鲜存储？哪种 保鲜存储的成本最低？等等.
(3)用数学观点对问题分析 ①类似的这些问题，因为不仅仅涉及量的关系，所以如果只用数学手段研究，将是十 分困难的. ②上述现象中，涉及了量的增大与减少的问题，这可以用数学符号和语言进行描述. (4)用数学知识描述问题，建立模型 ①定性描述，确立初步模型 设市面上苹果的量为x万吨，苹果的单价为y元.上述现象说明，y会随着x的增大而减少， 且y也会随着x的减少而增大——也就是说，如果y是x的函数并记作y＝f(x)的话，f(x)是 减函数. 同样地，如果设保鲜存储的时间为t天，单位数量的保鲜存储成本为C元，且C是t的函 数并记作C＝g(t)的话，g(t)是一个增函数.
数学模型与数学建模 第3章 a 差分模型
稳定性
f ( x* ) b(1 2 x* ) 2 b
f ( x * ) 1
1 b 3
x* 不稳定
y
b/4
f (0) b 1
x* 稳定 不稳定
b 3 ( f ( x ) 1)
*
yx
(1) 1 b 2
x 1 1/ b 1/ 2
2
平衡点稳定，即k, xkx0的条件:
1, 2 1
2
( ) 8 1, 2 4
2
1, 2
平衡点稳定条件
2
比原来的条件
1 放宽了
第3节 差分形式的阻滞增长模型
连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型)
x x(t ) rx (1 ) N
2
x f (x )
0 x1 x x2 1
* * *
x*不稳定，研究x1*, x2*的稳定性
b 1 b 2 2b 3 的稳定性 x1*, 2 2b * ( 2) 2 ( f ( 2) ( x)) x x* ( f ( 2) ( x)) x x* f ( x1* ) f ( x2 ) [ f ( x)] [ f ( x)]
xk 1 h( yk )
yk yk 1 xk 1 h 2
设供应函数为 xk 1 x0 [( yk yk 1 ) / 2 y0 ]
需求函数不变
y k y0 ( xk x0 )
2 xk 2 xk 1 xk 2(1 ) x0 , k 1,2,
( 4)
( xk )
4倍周期收敛
2n倍周期收敛, n=1,2,…
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c1 T , Q
模型应用
• 回答问题
c2 T , Q
r T , Q
c1=5000, c2=1，r=100 T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)
敏感性分析
T对c1的敏 感度记做 由 T
讨论参数c1,c2,r有微小变 化时对生产周期T的影响
面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.
模型建立
b b t1 , t 2 t1 x
b
假设1）
dB dt
假设2）
t 2 t1
t2
x
t1
0
x
t1
t2 t
B(t2 ) B(t )dt
0
bt2 t12 2t12 2 2 2( x )
要 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系。
问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。
• 每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。
每天费用5000元
• 10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500 元，准备费5000元，总计9500元。
存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小 • 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。
显然不能用一个周期的总费用作为目标函数
目标函数——每天总费用的平均值
模型假设
1. 产品每天的需求量为常数 r；
2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2；
3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量 为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）； 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。
建模目的
设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。
模型建立
离散问题连续化
q
贮存量表示为时间的函数 q(t)
t=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以 需求速率r递减，q(T)=0.
Q r
A=QT/2
Q rT一周期贮存Fra bibliotek为0T
t
c2 0 q(t )dt c2 A
T
敏感性分析
4r 40 g 2 t rg
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1 3 20 g • 设r=2不变 t , 0 g 0.15 g t 对g的（相对）敏感度
30
Δ t /t dt g S (t , g ) Δ g / g dg t
t
20
每天总费用 C c1 c2 Q 2 c3 (rT Q ) 2 C (T , Q ) 平均值 T T 2rT 2rT （目标函数） 求 T ,Q 使 C (T , Q) Min
C C 0, 0 T Q
为与不允许缺货的存贮模型 相比，T记作T ’, Q记作Q’
T
Q(t ) 0
p(t ) w(t ) p(t ) w(t ) 4
每天利润的增值 每天投入的资金
保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售
由 S(t,r)=3 若 1.8 w 2.2(10%), 则 7 t 13 （30%） 建议过一周后(t=7)重新估计 p, p, w, w , 再作计算。
2c1 c2 c3 rc2 c3
Q
2c1r c3 c2 c2 c3
允许 缺货 模型
2c1 c2 c3 T rc2 c3
q Q
2c1r c3 Q c2 c2 c3
0
r
R T1 T t
注意：缺货需补足
Q~每周期初的存贮量
每周期的生产量 R rT R （或订货量）
T / T dT c1 S (T , c1 ) c1 / c1 dc1 T
2c1 容易得到S(T,c1)=1/2 rc2
作类似的定义并可得到S(T,c1)=-1/2， S(T,r)=-1/2 c1增加1％，T增加0.5%， c2或r减少1％，T增加0.5%。
• 经济批量订货公式（EOQ公式）
2
c1~烧毁单位面积损失费, c2~每个队员单位时间灭火费, c3~每个队员一次性费用, t1~开始救火时刻, ~火势蔓延速度, ~每个队员平均灭火速度.
c1, t1, x c2 x 为什么? c3 , x
模型 应用
c1,c2,c3已知, t1可估计, ,可设置一系列数值
支出 C ( p) qx 建模 收入 I ( p) px 与求解 利润 U ( p) I ( p) C ( p) 求p使U(p)最大
建模 与求解
使利润 U(p)最大的最优价格 p*满足
dU dp
0
p p*
dI dp
p p*
dC dp
p p*
边际收入
边际支出
最大利润在边际收入等于边际支出时达到
2c1r c2
记
不 允 许 缺 货
c2 c3 c3
T ' T , Q'
Q
R Q
1
T ' T , Q' Q, R Q c3
c3 1
T T , Q Q
3.2 生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。
• 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定.
存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小
问题 分析
• 关键是对B(t)作出合理的简化假设. 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形
分析B(t)比较困难, 转而讨论森林烧毁 速度dB/dt.
3.3
问题
森林救火
森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。
问题 分析
记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).
• 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定.
2c1r c2 c3 c2 c3
R Q Q Q~不允许缺货时的产量(或订货量)
允许 T ' 缺货 模型 Q '
R
2c1 c2 c3 rc2 c3 c3 2c1r c2 c2 c3 2c1r c2 c3 c2 c3
不允 2c1 T 许缺 rc2 货模 Q rT 型
市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。
分 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 析 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大
建模及求解
估计r=2， g=0.1
若当前出售，利润为80×8=640（元）
t天 出售 生猪体重 w=80+rt 出售价格 p=8-gt 销售收入 R=pw 资金投入 C=4t
其中 c1,c2,c3, t1, ,为已知参数
模型求解
dC 0 dx
求 x使 C(x)最小
c1t12 2c2 t1 b x 2c3 2
0
dB dt
x
t1
t2 t
结果解释
• / 是火势不继续蔓延的最少队员数
结果 解释
c1t1 2c2 t1 x 2c3 2
假设3）4）
f1 ( x) c1 B(t 2 ), f 2 ( x) c2 x(t 2 t1 ) c3 x
C ( x ) f1 ( x) f 2 ( x )
目标函数——总费用
模型建立
2
目标函数——总费用
2 2
c1 t1 c1 t1 c2 t1 x C ( x) c3 x 2 2(x ) x
• b ~ 价格上升1单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度） • a ~ 绝对需求( p很小时的需求) 思考：如何得到参数a, b? b p * a p*
I ( p) px
C ( p) qx x( p) a bp
U ( p) I ( p) C ( p)
( p q)( a bp)
q a p 2 2b
*
结果 解释
q a p 2 2b
*
x( p) a bp, a, b 0
• q / 2 ~ 成本的一半
3 S (t , g ) 3 3 20 g
10
0 0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
g 0.16
生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。
强健性分析
研究 r, g不是常数时对模型结果的影响
w=80+rt w = w(t)
p=8-gt p =p(t)
Q(t ) p(t )w(t ) 4t
B B(t2)
0
t1
t2
t
模型假设
1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度） 2）t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度） 3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3 火势以失火点为中心， 均匀向四周呈圆形蔓延， r 假设1） 半径 r与 t 成正比 的解释 B
用于订货、供应、存贮情形