电磁学第二版习题答案第六章

电磁学第二版习题答案第六章习题在无限长密绕螺线管内放一圆形小线圈，圆平面与螺线管轴线垂直。

小线圈有100 6.2.11 匝，半径为 1cm，螺线管单位长度的匝数为 200cm . 设螺线管的电流在0.05 s 内以匀变化率从 1.5 A 变为 -1.5 A ，(1) 求小线圈的感应的电动势;(2) 在螺线管电流从正直经零值到负值时，小线圈的感应电动势的大小和方向是否改变,为什么,解答:1 2 ,小线圈半径 R, = 10 (1) 螺线管单位长度的匝数 n=200 cm m ,匝数N , , 100 ，若选择电动势的正方向与电流的正方向相同，螺线管内小线圈的感应电动势大小为, , , N , ddt, , N , dBdtS , , , 0 n( R, 2 ) N , dIdt , 4.7 ,10 2V . >0表明电动势的方向与设定的方向相同。

螺线管电流从正值经零值到负值时，小线圈的感应电动势的大小和方向都不变， (2)因为电流以及磁通量都以相同的变化率作变化。

6.2.2 边长分别为 a=0.2 m 和 b=0.1 m 的两个正方形按附图所示的方式结成一个回路，单2 , 位的电阻为 5 , 10 10 .回路置于按 B , Bm sin ，t 规律变化的均匀磁场中， mBm , 10 2 T，， , 100 s 1 。

磁场 B 与回路所在平面垂直。

求回路中感应电流的最大值。

解答:在任一瞬时，两个正方形电路中的电动势的方向相反，故电路的总电动势的绝对值为d ,大 d ,小 dB 2 , , , a ， b2 ， , ， a 2 b2 ，， Bm cos ，t , , m cos ，t dt dt dt2 , ，故回路电阻为因回路单位长度的电阻, , 5 ,10 mR , , , 4 ， a ， b， , 6 ,10 2 ,回路中感应电流的最大值为I m , R, m , 0.5 A6.2.3 半径分别为 R 和 r 的两个圆形线圈同轴放置，相距为 x (见附图)。

已知 r x (因dx x .设 x 以匀速 v , 而大线圈在校线圈内产生的磁场可视为均匀)及 R 随时间 t dt而变.(1) 把小线圈的磁通 , 表为 x 的函数, 表为 x 的函数 (2) 把小线圈的感应电动势(绝对值)(3) 若 v , 0 ,确定小线圈内感应电流的方向.解答:(1) 满足条件 R x 下,载流大线圈在面积 S 为的小线圈的磁通量为,0 IR 2 , , BS , r 2 2 x3小线圈的磁感应电动势(绝对值)为 (2),0 Ir 2 R 2 3,0 Ir 2 R 2 d , , , , ( 3x 4 dxdt ) , v dt 2 2 x 4(3) 若时,小线圈内感应电流与大线圈的电流的方向相同在无限长密绕螺线管外套一个合金圆环，圆心在轴线上，圆平面与轴线垂直(见附 6.2.4图).管内系统随时间以常变化率 2，增大，电流表经开关接到环上的 P、Q(两点连线过环心).( ( (1) 求开关断开时下列情况的U PQ : a)两个半圆的电阻都为 R， b)左半环电阻为 R，右半环电阻为 2R;(2)设电流表所在支路电阻为零，求开关接通时电流表在上问的(a)(b)情况下的电流 I A (大小和方向);(3)若座半环电阻为 R，有半环电阻为 kR (其中 k , 0 )，试证开关接通时 IA 与 k 值无关。

解答:(1) 馆内磁通随时间以常变化率 2，增大时，在开关断开时，感应电动势为d, , , , 2， dt(a)两个半环的电阻都为 R 时，等效电阻如图 6.2.4(a)所示，, , , R , , 0 U PQ , , QP 2R 2 2(b)左半环电阻为 R，右半环电阻为 2R 时，等效电路如图 6.2.4(b)所示，有, , 2, , ， 2R , , , U PQ , , QP 3R 2 3 6 3(2)电流表开关接通时:(a) 两个半环的电阻都为 R 时，等效电路利用戴维南定理如图 6.2.4(c) 所示，有右半环的支路于电流表支路组成的闭和回路中没有磁场，亦没有磁通的变化，因此该回路的总电动势为 0。

已知右半环的支路上的电动势为，，因此电流表支路的电动势亦为，，由图 6.2.4(c)可见，通过电流表的电流为2， , A 2, A , , I A , R R R 2方向向上。

(b)左半环电阻为 R，右半环电阻为 2R 时，利用戴维南定理等小电路如图6.2.4(d)所示，等效电源的电动势等于开路电压U PQ, , 2, , ， 2R , , , U e , U PQ , , QP 3R 2 3 6 3等效电阻为R ， 2R， 2R , Re , 3 R ， 2R等效电路如图 6.2.4(d)右图所示，因等效电动势 , e , 0 ，故将其极性相反，求得通过电流表的电流大小为 , ，， , e ，，，， 3 2 , , 2， I A , 2R R Re3方向向上。

(3)左半环电阻为 R，右半环电阻为 kR ，电流表开关接通时，利用戴维南定理等效电路如图 6.2.4(e)所示，等效电源的电动势为, ，1 k ，， kR , , e , U PQ , , QP ，1 ， k ，，1 ， k ， R等效电阻为R ， kR， kR , Re , ，1 ， k ， R 1 ， k等效电路如图 6.2.4(e)右图所示。

按等效电动势 , e 的方向，极性如图所示，求得通过电流表的电流大小, ，1 k ，，， , e 2， 1 ， k , , I A , 2 kR R Re1 ， k方向向上。

证明开关接通时的 I A 与 k 无关。

直径为 D 的半圆形导线置于与它所在平面垂直的均匀磁场 B (见附图)，当导线 6.3.1绕着过 P 点并与 B 平行的轴以匀角速度，逆时针转动时，求其动生电动势 , PQ解答:在辅助线 PQ，与圆弧 PQ 构成闭合回路，当绕着 P 点以匀角速度，逆时针转动时，封闭曲线的面积不变，因而闭合回路的总电动势 , PQQP , , PQ ， , QP ,0 ，沿圆弧的动生电动势为Q Q Q D ， BD 2 , , v , B vBdl , P P P 0 2l ，电阻为 R(见附图)。

导轨两端分平行金属导轨上放一金属杆，其 EF 段长度为6.3.2别连接电阻 R1和 R2 ，整个装置放在均匀磁场 B 中，B 与导轨所在的平面垂直。

设金属杆以 v 速度匀速向右平动，忽略导轨的电阻和回路的自感，求杆中的电流。

解答:当金属杆以速度 v 运动时，杆上有电动势 , , vBl ，附图的等效电路图如图6.3.2 所示，杆中的电流大小为, vBl ， R1 ， R2 ， I , , R1R2 R ， R1 ， R2 ，， R1 , R2 R ，R1 ， R2m 的金属杆，其 PQ 段的长度为 l(见附图). 半无限长的平行金属导轨上放一质量为6.3.3导轨的一端连接电阻 R。

整个装置放在均匀磁场 B 中，B 与导轨所在的平面垂直。

设杆以初速度 v0 向右运动，忽略导轨和杆的电阻及其间的摩擦力，忽略回路自感。

(1) 求金属杆所能通过的距离;(2) 求此过程中电阻 R 所发的焦耳热;(3) 试运用能量守恒定律分析上述结果。

解答:(1) 当金属杆以速度 v 沿 x 轴正方向(平行于轨道向右)运动时，杆上的电动势 , , vBl ，电路的电流为 i , vBl R .从而受到的电磁力大小为2 2 2 2 vB l B l dx F , iBl , ,R R dt此电磁力与运动方向相反，根据牛顿第二定律，有2 B 2l dx dv F , , R dt dt得mR dx , dv B l2 2设杆的起始位置为 x=0，金属杆所能移过的距离为0 mR mR x , dv , v0 ， v0 B 2l 2 B l2 2(2) 此过程中电阻所发的焦耳热为2 0 B l2 2 x B l2 2 vBl 1 mR 2 i Rdt , mv0 2 v 2 2 dv , Q , ，，Rdt , ， vdx , ， 0 0 0 v0 R 2 Bl R R(3) 从能量受恒定律进行分析:起始情况，金属杆以速度 v0 运动具有的动能为1 mv02 ，由于受到电磁阻力的作用杆的速度最终减至 0，金属杆的动能全 2部转化为电路所消耗的焦耳热。

6.3.4 上题中如果用一向右的恒力 F 拉金属杆，并把初速度改为 0，求证杆的速率随时间B 2l 2 F 变化的规律为 v ，t ， , ，1 e ， t ，，其中， , ma mR 2证明:当金属杆以速度 v 运动时，电路中电流为 I，金属杆所受的电磁力大小为vBl B l2 2 , v Fm , Bil , Bl R R根据牛顿第二定律，金属杆所受的合力与加速度的关系为2 B 2l dv F v , mRdt经整理得, dv F B l2 2 v dt m mRB 2l 2 令， , ，得 mRv , ，dv Fdt m，分离变量得v m， F , ， dtd vFm，积分后得v ln , ， t ， CFm，式中:C 为待定系数，由初始条件，t=0,v(0)=0,得F C , ln ma故Fm， v ln , ， t Fm，即F v m， , e ， t Fm，证得杆的速率随时间变化的规律为F v ，t ， , ，1 e ， t ， ma长度各为 1m，电阻各为 4, 的两根均匀金属棒 PQ 和 MN 放在均匀稳恒磁场B 中， 6.3.5B , 2T ,方向垂直纸面向外(见附图)。

两棒分别以速率 v1 , 4 m s 和 v2 ,2 m s 沿导轨向左匀速平动，忽略导轨的电阻及回路自感，求; (!) 两棒的动生电动势的大小，并在图中标出方向;(2) U PQ 和U MN(3)两棒中点和的电势差。

解答:(1) PQ 杆的电动势的方向由 Q 指向 P 大小为P QMN 杆的电动势的方向由 N 指向 M 大小为M ， v2 , B， dl , v2 Bl , 4V N(2) 设电路的电流为顺时针方向，大小为, PQ , NM I , , 0.5 AR 2 ， R1PQ 杆之间的电压为U PQ , , QP IR1 , 6VMN 杆之间的电压为U MN , , NM IR2 , 6V(3) PQ 杆中点 O1 与 O2 之间的电压为, QP IR1 , 3 VU O1Q , 2 2MN 杆中点 O2 与 N 之间的电压为, NM IR2 ， , 3 V U O2 N , 2 2因 Q 点与 N 点等势，故 O1 与 O2 间的电压为V U O1O2 , U OQ U O2 N , 0 1半圆形刚性导线在摇柄驱动下在均匀磁场 B 中作匀角速转动(见附图)，半圆形的 6.3.6半径为 0.1m，转速为 3000 r min ，求动生电动势的频率和最大植。