平方差公式_1
平方差公式(1)
6.6平方差公式（1）
课型：新授课主备人：梁留军审核人：
【学习目标】
1.经历探索平方差公式的过程，进一步发展推理能力.
2.能熟练运用平方差公式进行有关的计算或变形.
【学习重点】
利用平方差公式进行运算.
【学习难点】
平方差公式的应用.
【复习回顾】（限时3分钟）：
1.回忆多项式与多项式的乘法法则.
2.计算:
（1）（x+2）(x－2)；(2) （1+3a）（1－3a）；
（3）（x+5y）（x－5y）；（4）（2y+z）(2y－z).
【新课导学】
一、小组合作（限时2分钟）：
认真观察上面4道计算题的计算结果，你发现了什么？再举两列验证你的发现：二、成果展示（限时2分钟）：试总结得出平方差公式：
（a＋b）（a－b）＝__________.
两数和与两数差的积，等于____ ____________.
三、典例精讲1（限时3分钟）.
认真学习44页例1，体会平方差公式的应用，并能独立写出解题过程.
（1）（5＋6x）（5－6x）; （2）（x－2y）（x＋2y）; (3) (-m＋n)(-m－n).
四、巩固练习1（限时5分钟）：45页随堂练习第1题.
五、典例精讲2（限时3分钟）：
认真学习例2，进一步体会平方差公式的用法，并独立写出解题过程.
(1) (﹣41x －y)( ﹣
4
1x ＋y); （2）（ab ＋8）(ab －8)
六、巩固练习2（限时5分钟）：做45页，随堂练习第2题.
七、达标测试（限时8分钟）：完成45页习题6.12.第1、2题.
八、课堂小结（限时3分钟）.
九、布置作业：《基训》平方差公式 第一课时
【课后反思】。
平方差公式(1)
×
×
学以致用：
例3：利用平方差公式计算 a (1)(5x+y)(5x-y) (1) 5x (2)(m+2n)(2n-m) (2) 2n (3)(-x+3y)(-x-3y) (3) -x b
y
m
3y
一试身手
例4:用简便方法计算：
（1）102×98
（2）-0.96×1.04 例5:计算
(1)(2 y 3 x )(3 x 2 y )
边长为b的小正方形纸片放置在边长为a的大正方 形纸片上，你能用不同的方法表示它的面积吗？ 2 2 a b （1）图中的阴影部分面积是__________ （2）你能否将阴影部分拼成一个完整的长方形图案吗？ (a b)(a b) 你拼出的长方形的面积是________________
平方差公式
6(1）-（3）
7,8
评价手册：P40－41
2 2
(2)a (1 a )(1 a )(1 a )
4 2
•说出平方差公式的特征 •在式子(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中， 当a,b,c,d满足什么条件时，能得到平 方差公式？
P85 练一练 1,2,3
本子上
P87习题9.4
4（5）-（8）,5(2）
百分百训练：P102
平方差公式
完全平方公式：
2 (a+b) = 2 (a-b) = 2 2 a +2ab+b
2 2 a -2ab+b
有关完全平方公式的反思：
（a+b）n与an+bn相等吗？
m
m
n n
•你认为图中小正方 形的边长是多少？
八年级数学平方差公式1
复习：运用平方差公式计算：
1) .（a+2)(a-2);
2) . (x+2y) (x-2y)
3). (t+4s)(-4s+t)
看谁做得最快最 正确！
4). (m² +2n² )(2n² - m² )
（1）观察多项式x2 –25，9 x2- y2 ， 它们有什么共同特征？
（2）尝试将它们分别写成两个因式的 乘积，并与同伴交流。
3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解成的两个因式要 进行去括号化简，若有同类项，要进行合并，直至分解到不能再分 解为止。
4.运用平方差分解因式，还给某些运算带来方便，故应善于运用此 法，进行简便计算。 5.在因式分解时，若多项式中有公因式，应先提取公因式，再
考虑运用平方差公式分解因式。
随堂练习：
P49
1
2
巩固练习：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X² -y³ （ D ）
D. - X² + y² ）
2) -4a² +1分解因式的结果应是 A. -(4a+1)(4a-1) B.
-( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1)
2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1
D.
-(2a+1) (2a-1)
1)原式=2（3+b)(3-b)
2)原式=(x² +1)(x+1)(x-1)
做一做
2、如图，在一块边长 为 acm 的正方形的四 角，各剪去一个边长为 bcm的正方形，求剩余 部分的面积。如果 a=3.6，b=0.8呢?
平方差公式1
平方差公式(1)
教学目标：
知识与能力：
1、经历探索平方差公式过程，进一步发展学生的符号感和推理能力。
2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算。
3、了解平方差公式的几何背景。
过程与方法：
经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；
情感态度价值观：
培养学生有条理的思考及有逻辑的思维能力和语言表达能力。
教学重点：
1.弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点；
2、会用平方差公式进行运算。
教学难点：会用平方差公式进行运算
教学方法：探索讨论、归纳总结。
准备活动：
计算：1、2、3、
教学过程：
一、探索练习：
1、计算下列各式：
（1）（2）（3）
2、观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？
3、猜一猜：－
二、巩固练习：
1、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算
（1）（2）
（3）（4）
2、判断：
（1）（）（2）（）
（3）（）（4）（）
（5）（）（6）（）
3、计算下列各式：
（1）（2）（3）
（4）（5）
（6）
4、填空：
（1）（2）
（3）
（4）
三、提高练习：
1、求的值，其中
2、计算：
（1）
（2）
3、若
小结：熟记平方差公式，会用平方差公式进行运算。
作业：课本P30习题1.11：1。
教学后记：。
平方差公式(1)
1.7平方差公式1教学目标：一、知识与技能１、参与探索平方差公式的过程，发展学生的推理能力２、会运用公式进行简单的乘法运算。
二、过程与方法１、经历探索过程，学会归纳推导出某种特种特定类型乘法并用简单的数学式子表达出，即给出公式。
２、在探索过程的教学中，培养学生观察、归纳的能力，发展学生的符号感和语言描述能力。
三、情感与态度以探索、归纳公式和简单运用公式这一数学情景，加深学生的体验，增加学习数学和使用的信心。
培养学生由观察－发现－归纳－验证－使用这一数学方法的逐步形成.教学重点：公式的简单运用教学难点：公式的推导教学方法：学生探索归纳与教师讲授结合课前准备：投影仪、幻灯片教学设计平方差公式（２）教学目标：一、知识与技能1、了解平方差公式的几何背景，一些代数问题能用几何图形解释，用以可培养学生数形结合的思想。
2、培养学生灵活运用公式的能力。
二、过程与方法１、借助于图形的分割拼凑，证实了平方差公式的正确性，“数”与“形”的转化，用代数语言描述一个几何图形，用几何图形表示一个代数上的结论，这种形式上的变换在以后学习中还经常要用，应逐步培养。
２、进一步掌握并运用平方差公式，培养学习数学的兴趣。
三、情感与态度观察了解一些实际问题，使之数字化，数学化，建立数学模型，用已掌握的数学手段加以解决，从中逐步体会到数学体现的是自然界的空间形式和数学关系。
乐于参与和体验数学活动、感受到数学中确实有简捷的美，和谐的美，哲理的美。
数学确实好玩并且人人都可以玩。
重点：熟练运用平方差公式。
难点：拼图证明平方差公式，正确运用平方差公式，体会数学的抽象化，符号化。
教学方法：学生活动与教师讲授相结合课前准备：投影仪、幻灯片，有条件可把拼图过程制作成动画课件，小组准备拼图纸片。
教学设计：。
平方差公式解一元二次方程
平方差公式解一元二次方程平方差公式解一元二次方程：轻松搞定！一元二次方程，听起来是不是有点头疼？别急，今天我们用最简单的语言来聊聊怎么用平方差公式来解决它，让你也能轻松搞定这个数学问题。
准备好了吗？那就开始吧！1. 认识平方差公式1.1 平方差公式是什么？平方差公式，顾名思义，就是处理“平方”相关的问题。
具体来说，它的公式是：((a + b)^2 (a b)^2 = 4ab)。
这个公式的妙处在于，它能把复杂的二次方程问题化繁为简，让我们能够快速求解。
听起来有点复杂对吧？其实只要记住这个公式，就能在解题时如鱼得水了。
1.2 为什么要用平方差公式？你可能会问：“为什么偏偏用平方差公式？”嗯，这个公式能把一元二次方程中复杂的项简化为更易处理的形式，像是把“大山”变成“小山丘”，让我们一步步地攻克难关。
它帮助我们更快地找到方程的解，节省不少时间。
2. 实际应用平方差公式2.1 方程的基本形式首先，我们需要把一元二次方程写成标准形式，即 ( ax^2 + bx + c = 0 )。
为了用平方差公式，我们可能需要稍微变换一下方程。
比如，把它写成形如 ((x p)^2 q = 0)的形式。
这时，我们就可以用平方差公式来解题了。
2.2 例子演示让我们看个实际例子吧。
假设我们有方程 (x^2 4 = 0)。
这时，方程看起来就像是((x + 2)(x 2) = 0)。
这里，我们可以看到它正好符合平方差公式的形式：((x + 2)^2 (x2)^2)。
用平方差公式解这个方程，我们就能很快找到 (x = 2) 和 (x = 2) 这两个解。
3. 用平方差公式解题的步骤3.1 确定方程形式首先，你需要把方程化简成平方差公式的形式。
如果原方程不是这个形式，可以通过变换来实现。
这个步骤就像是找出谜题的线索，让我们知道接下来该怎么做。
3.2 应用公式一旦方程化为平方差公式的形式，你就可以直接用公式来解题了。
只要把已知的数值代入公式，计算出结果，就能得到方程的解了。
1.7.1平方差公式(1)[1]
![1.7.1平方差公式(1)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/80f316f2f90f76c661371a22.png)
(−4a−1)(4a−1) 1)(4a (4a 1 = −(4a+1) (4a−1) −(4a (4a ) = −[(4a)2 −1 ] 16a = 1−16a2。
你提出的“−”号、添括号； 你提出的“ 添括号； 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“ 和符号相反的“ 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公 式．
学一学
例题解析
例1 利用平方差公式计算： 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5−6x)；(2) (x+2y)(x−2y); (3) (−m+n)(−m−n). (5+ )(5− )(x )(−
第一数a 第一数a 第二数b 第二数b 平方 平方
解: (1) (5+6x )(5−6x)= 52 − ( 6x)2 (5+ )(5− 5 5 36x =25 − 36x2 ; (2) (x +2y) (x−2y) 2y (x 2y = x2 − ( 2y )2 = x2 −4y2 ; (3) (−m+n)(−m−n ) −m )(− = ( −m )2 − n2 = m2 −n2 .
(不能) (第一个数不完全一样 ) 不能) (不能) 不能) (能) (2b − a)(2b+a) (能) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ; (能) (−2x − y)(−2x +y).
2 2 2
4) (1 + 3 x )( − 1 − 3 x ) = 1 − (3 x ) 2 = 1 − 9 x 2 错
(1+ 3x)(−1−3x) = −1−3x −3x −3x ⋅ 3x = −9x − 6x −1
平方差公式1(讲课用)
（2） (1 3a)(1 3a)
1 9a 23a 9a 212 1 9a 22 ＝ - (3a) ___ 1 3a
变式一 变式二 变式三 变式四 变式五 ( －3m＋2n)(－3m－2n) ( －3m－2n)(3m－2n) (3m＋2n)(－3m＋2n) (3m＋2n)(－3m－2n) (－3m－2n)(3m－2n)
变式六
(－2n＋3m)(3m＋2n)
一个公式
2-b2 ：（a+b)(a-b)=a
两种作用：(1)简化某些多项式的乘法运算 (2)提供有理数乘法的速算方法 三个表示
2
2
2
2
请思考下面的问题：1、等式左边的两个多项式 平方差公式： 2 2 有什么特点？2、等式右边的多项式有什么规律？3、 (a b)( a b) a b 请用字母表示规律，然后语言归纳总结出等式的规 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两 律。 个数的平方差．
(a b)( a b) a b
步骤：1、判断；2、调整；3、分步解。 （注意：要用好括号；幂的运算。）
利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a - 3b) （2）(3+2a)(－3+2a)
（3）(－2x2－y)(－2x2+y)
（4）51×49
试一试 计算：(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1 并确定其个位数字是多少？
解（1） (5 6 x)(5 6 x) 52 (6 x) 2 25 36 x 2
公开课：平方差公式1
=x2－9
=x2－a2
2 2 5. (3x+2a) (3x－2a) =9x －4a
6. (-2x+5) (-2x－5) =4x2－25
探究新知-归纳出新
请用一个等式来表示这一类等式所具有的公共结构特征： (x+3) (x－3) (x+a) (x－a) =x2－9 =x2－a2
(3x+2a) (3x－2a) =9x2－4a2 (-2x+5) (-2x－5) =4x2－25
1 1 (2) ( x y )( x y ) 4 4
(3) (ab+8)(ab-8) （4) (2x+3）(3x-2)
运用新知-拓展提高
4. 计算下列题目： (1) (an+b)(an-b)
(2) (a+1)(a-1) (a2+1)
归纳小结-自我反思
1.经历了探究平方差公式的过程，理解并掌握 了平方差公式的结构特征。
5. (3x+2a) (3x－2a) =9x2－4a2 6 .(-2x+5) (-2x－5) =4x2－25
探究新知-互助合作
哪几个题目可以归为一类？先独立思考，再在组内交流。 1. (3x－2)(2x+4) =6x2+8x－8 2. (x－2) (x+3) 3. (x+3) (x－3) 4. (x+a) (x－a) =x2+x－6
2.任何两个多项式相乘都可以用多项式乘以多 项式的法则；符合平方差公式结构特征的两个 多项式相乘，应用公式计算更简单。
达标检测-查缺补漏
1．下列运算中，正确的是（ ） A（a+3）（a-3）=a2-3 B（3b+2）（3b-2）=3b2-4 C（3m-2n）（-2n-3m）=4n2-9m2 D（x+2）（x-3）=x2-6 2．（－2x+y）（－2x－y）=______．
平方差公式1
学习目标：1.会用文字语言、数学符号语言说出平方差公式；会用数学符号表示平方差公式，能根据不同实例说出公式中字母a、b的含义。
2.会准确找出平方差公式的结构特征。
3.结合不同层次的例题，获得运用平方差公式的计算方法与解题步骤。
会用平方差公式进行准确的计算。
学习重点：平方差公式、平方差公式的结构特征和应用。
学习难点：1. 平方差公式的灵活应用。
2.用公式的结构特征判断题目能否使用平方差公式。
学习过程：一、复习旧知，引起思考：1.回忆：说一说多项式与多项式是怎样相乘的呢？2.举例计算：（x+2）(x+5)=二、激发兴趣，合作探究1.探究发现：①计算下面各式：+x-x_______(=_______)()221(=-a3+a)()313)(3(=y)yz+z-y)(5)x________ 5________x(=+y-②思考：观察以上算式和结果，你发现了什么的规律？同桌互动交流，总结归纳规律。
③汇报交流，共同总结归纳：用字母a、b表示规律为：用文字语言叙述为：两数与这两数的积，等于它们的平方差。
2、交流研讨：观察平方差公式，思考交流：①公式的结构特征是什么？②公式中的字母a、b可以表示什么？③运用平方差公式计算的关键是什么？3、自主练习：例1：利用平方差公式计算：)(1(xx-5+（2）(x-2y)(x+2y) )66))(5--m-+3(n)(n)(m例2：利用平方差公式计算：)41)(41)(1(y x y x +--- )8)(8)(2(-+ab ab 23))()(3(n n m n m +-+三、智力冲浪显身手：练习1、口答下列各题：(l )(-a +b )(a +b )=_________ (2)(a -b )(b +a ) =__________(3)(-a -b )(-a +b )= ________ (4)(a -b )(-a -b ) = ________ 练习2：判断下列多项式乘法中，哪些可以用平方差公式来计算？①（x －2y ）（x ＋2y ） ( ) ②（a －2b ）（－a －2b ） ( ) ③（－2m －n ）(n + 2m) ( ) ④ (2c －b)( －b －2c) ( ) 练习3：利用平方差公式计算：)23)(23)(1(b a b a -+ )2)(2)(2(x y y x +---四、总结收获： 通过本节学习活动，你有什么认识？（1）.平方差公式用字母如何表示？怎样用文字叙述？（2）.平方差公式有什么结构特征？（3）．利用平方差公式计算要特别注意什么问题？（4）.你还有什么认识和收获？五、自我检测：1、找一找，填一填：(1)（a 5-+ ）（ b 3-） =-225a (2)（ + ）（ － ）= 228149n m -2、利用平方差公式计算：)3)(3)(1(b a b a -+ )14)(14)(2(+---a a )43)(43)(3(n m n m ---六、聪明屋：)4)(2)(2(2++-a a a学教反思：。
平方差公式(1)
1 1 x y 把 2 看作a，把 3 看作b .
(3)
( x 3 y)( x 3 y)
把
(4)
x 看作a，把 3y
看作b .
( x 3 y)( x 3 y)
把
3y 看作a，把 x 看作b . (5) (-a+2b)(-2b-a）
把
a 看作a，把 2b
看作b .
2、计算： (1) (2x +5) (2x -5) = 4x2 -25 (2) (1 -2a ) (1 +2a) = 1 -4a2
(2) (y +2) (y -2) = y2 -4 (4) (3 -a) (3 +a) = 9 -a2 (5) (2a +b) (2a -b) = 4a2 -b2
①等式左边的乘式有什么特点？ ②等式右边的结果有什么规律？
③你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
2 3 2 3
(
)
( 不能 ) (
能
)
例1、计算: (1) (2 x (1) 解： 把
y)(2 x y) (2)
(2 x y)(2 x y)
1 1 1 1 ( ຫໍສະໝຸດ y )( x y ) 2 3 2 3
2 x 看作a，把
y 看作b .
1 1 1 1 (2) ( x y )( x y ) 2 3 2 3
(a b)(a b) a
2
b
2
公式中的a、b可以是任意的数或代数式.
1、判断下列式子能否用平方差公式计算，并说明理由.
(1) (a +b) (a -c)
(
不能 能
平方差公式的推导与应用(1)
解答技巧
同样识别出这是一个平方 差的形式，其中$a = 4y$ ，$b = z$。然后应用平 方差公式进行因式分解， 得到$(4y + z)(4y - z)$。
注意事项及易错点提示
注意观察多项式的形式
在应用平方差公式之前，需要仔细观察多项式的形式，确保它符合平 方差的形式。
注意因式分解的彻底性
在得到因式分解结果后，需要检查是否分解彻底，即是否还可以进一 步分解。
平方差公式的推导与应用
汇报人：XX 20XX-01-31
目 录
• 平方差公式基本概念 • 平方差公式推导过程 • 平方差公式在因式分解中应用 • 平方差公式在二次根式化简中应用 • 平方差公式在解一元二次方程中应用 • 平方差公式在数列求和等数学问题中应用
01
平方差公式基本概念
平方差公式定义及表示方法
平方差公式与完全平方公式的区别
平方差公式表示两个数的平方差，可以拆分为两个因式；而完全平方公式是一个二项式的平方，表示为一个三项 式。
平方差公式重要性及应用领域
平方差公式的重要性
平方差公式是数学中的基础公式之一，对于简化计算、因式分解、解方程等方 面都有重要作用。
平方差公式的应用领域
平方差公式在代数、几何、三角等领域都有广泛应用，如计算面积、体积、求 解一元二次方程等。同时，在物理、化学、工程等学科中也会涉及到平方差公 式的应用。
两种方法比较与联系
代数法与几何法的比较
代数法注重公式的推导和计算，几何法注重图形的变换和理解。两种方法各有优劣，互 为补充。
代数法与几何法的联系
代数法和几何法都是数学中常用的方法，它们在某些情况下可以相互转化。例如，在平 方差公式的推导中，代数法和几何法都得到了相同的结果，体现了数学的内在联系和一
初中一年级数学公式总结
初中一年级数学公式总结（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子： a2-b2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到： a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
（4）完全平方公式中的a 、b 可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)?(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1. 在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1. 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2. 分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3. 如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4. 分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y ＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．5．分式的分子或分母带符号的n 次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6. 类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
平方差公式(1)
《平方差公式》导学案课型：新授课主编人：审核人：编号：班级：学习小组：共同体：小主人姓名：【课前预习】1、温故：回顾多项式的乘法法则，并计算：（1）（x+y）(x-y)= (2) (m+n)(m-n)=(3) (x+1)(x-1)=【学习目标】1.会推导平方差公式，了解公式的几何解释，并能运用公式计算。
2、通过小组合作交流，展示质疑，经历探索平方差公式的推导过程，发展符号感，体会“特殊——一般——特殊”的认识规律。
3、激情参与，全力以赴，体验合作学的快乐。
【学习重点】掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算。
【学习难点】理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．2、知新：预习教材30-32页，完成下列问题：用多项式乘法计算 _______________________=_______________。
由此可得平方差公式____________________，即两个数的____与这两个数的_____的_____，等于这两个数的__________。
【课内探究】一．情景引入：王婕同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王婕就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。
售货员惊讶地说：“你好像是个神童。
怎么算得这么快？”王婕同学说：“过奖了，我利用了数学上刚学的一个公式。
”你知道王婕同学用的是一个什么样的公式吗？她是怎样计算出来的？二、探索新知环节1：观察在预习中计算的结果：（1）（x+y）(x-y)= (2) (m+n)(m-n)=(3) (x+1)(x-1)=以上等式的左边和右边，有什么规律吗？左边：右边：观察后猜想：（a+b）(a-b)=用语言叙述平方差公式：环节2：自主探究平方差公式的几何意义：做一做：在一块边长为a厘米的正方形纸板上，因为工作的需要，中间挖去一块边长为b厘米的小正方形，请问剩下的面积有多少？还能通过剪纸拼图的方法来计算出这个图形的面积吗？”思考：平方差公式有何结构特征？环节3：学以致用1.判断下列各式能否运用平方差公式进行计算，如果能，指出其中相当于公式中a和b的部分：（1）（2m+n）(2m-n) (2) (3a-2b)(3a+2b) (3) (-x+y)(-x-y)总结平方差公式的结构特点：平方差要判断，分清a、b 是关键，相同的项是。
初中一年级数学公式总结
初中一年级数学公式总结（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
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平方差公式
教学建议一、知识结构二、重点、难点分析本节教学的重点是掌握公式的结构特征及正确运用公式．难点是公式推导的理解及字母的广泛含义．是进一步学习完全平方公式、进行相关代数运算与变形的重要知识基础．1．是由多项式乘法直接计算得出的：与一般式多项式的乘法一样，积的项数是多项式项数的积，即四项．合并同类项后仅得两项．2．这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差．公式中的字母可以表示具体的数（正数和负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．只要符合公式的结构特征，就可运用这一公式．例如在运用公式的过程中，有时需要变形，例如，变形为，两个数就可以看清楚了．3．关于的特征，在学习时应注意：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两上二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．（3）公式中的和可以是具体数，也可以是单项式或多项式．（4）对于形如两数和与这两数差相乘，就可以运用上述公式来计算．三、教法
建议1．可以将“两个二项式相乘，积可能有几项”的问题作为课题引入，目的是激发学生的学习兴趣，使学生能在两个二项式相乘其积可能为四项、三项、两项中找出积为两项的特征，上升到一定的理论认识，加以实践检验，从而培养学生观察、概括的能力．2．通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳，得出为什么有的两个二项式相乘，其积为两项，因为其中两项是两个数的平方差，而另两项恰是互为相反数，合并同类项时为零，即(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2．这样得出，并且把这类乘法的实质讲清楚了．3．通过例题、练习与小结，教会学生如何正确应用．这里特别要求学生注意公式的结构，教师可以用对应思想来加强对公式结构的理解和训练，如计算(1+2x)(1-2x)，(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2↓↓↓↓↑↑
(a + b)(a - b)=a2- b2．这样，学生就能正确应用公式进行计算，不容易出差错．另外，在计算中不一定用一种模式刻板地应用公式，可以结合以前学过的运算法则，经过变形后灵活应用公式，培养学生解题的灵活性．教学目标1．使学生理解和掌握，并会用公式进行计算；2．注意培养学生分析、综合和抽象、概括以及运算能力．教学重点和难点重点：的应用．难点：用公式的结构特征判断题目能否使用
公式．教学过程设计一、师生共同研究我们已经学过了多项式的乘法，两个二项式相乘，在合并同类项前应该有几项？合并同类项以后，积可能会是三项吗？积可能是二项吗？请举出例子．让学生动脑、动笔进行探讨，并发表自己的见解．教师根据学生的回答，引导学生进一步思考：两个二项式相乘，乘式具备什么特征时，积才会是二项式？为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是两项呢？而它们的积又有什么特征？(当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式．这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了．而它们的积等于乘式中这两个数的平方差) 继而指出，在多项式的乘法中，对于某些特殊形式的多项式相乘，我们把它写成公式，并加以熟记，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算．以后经常遇到(a+b)(a-b)这种乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作为公式，叫做乘法的．在此基础上，让学生用语言叙述公式．二、运用举例变式练习例1 计算(1+2x)(1-2x)．解：(1+2x)(1-2x) =12-(2x)2 =1-4x2．教师引导学生分析题目条件是否符合特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么．例 2 计算(b2+2a3)(2a3-b2)．解：(b2+2a3)(2a3-b2) ＝(2a3+b2)(2a3-b2) ＝
(2a3)2-(b2)2 ＝4a6-b4．教师引导学生发现，只需将(b2+2a3)中的两项交换位置，就可用进行计算．课堂练习运用计算：(l)(x+a)(x-a)；
(2)(m+n)(m-n)；(3)(a+3b)(a-3b)；(4)(1-5y)(l+5y)．例 3 计算(-4a-1)(-4a+1)．让学生在练习本上计算，教师巡视学生解题情况，让采用不同解法的两个学生进行板演．解法1：(-4a-1)(-4a+1) =[-(4a+l)][-(4a-l)] =(4a+1)(4a-l) =(4a)2-l2 =16a2-1．解法2：(-4a-l)(-4a+l) =(-4a)2-l =16a2-1．根据学生板演，教师指出两种解法都很正确，解法1先用了提出负号的办法，使两乘式首项都变成正的，而后看出两数的和与这两数的差相乘的形式，应用，写出结果．解法2把-4a看成一个数，把1看成另一个数，直接写出(-4a)2-l2后得出结果．采用解法2的同学比较注意的特征，能看到问题的本质，运算简捷．因此，我们在计算中，先要分析题目的数字特征，然后正确应用，就能比较简捷地得到答案．课堂练习1．口答下列各题：(l)(-a+b)(a+b)；
(2)(a-b)(b+a)；(3)(-a-b)(-a+b)；(4)(a-b)(-a-b)．2．计算下列各题：(1)(4x-5y)(4x+5y)；(2)(-2x2+5)(-2x2-5)；教师巡视学生练习情况，请不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法．三、小结1．什么是？2．运用公式要注意什么？(1)要符合公式特征才能运用；(2)有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公
式，要注意变形．四、作业1．运用计算：(l)(x+2y)(x-2y)；
(2)(2a-3b)(3b+2a)；(3)(-1+3x)(-1-3x)；(4)(-2b-5)(2b-5)；
(5)(2x3+15)(2x3-15)；(6)(0.3x-0.l)(0.3x+l)；
2．计算：(1)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x+y)；(2)(2a-b)(2a+b)-(2b-3a)(3a+2b)；
(3)x(x-3)-(x+7)(x-7)；(4)(2x-5)(x-2)+(3x-4)(3x+4)．热门文章青少年思想道德建设
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