杨凌职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)

杨凌职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）．已知集合{ , }{│Z x x x ∈<-,0522},若∩≠Φ,则等于（ ）或25. 或 ．将函数)32sin(3π+=x y 的图象按向量)1,6(--=π平移后所得图象的解析式是（ ）．1)322sin(3-+=πx y ．1)322sin(3++=πx y ．12sin 3+=x y ．1)22sin(3-+=πx y．数列{}前项和 – ，则 是数列{}为等比数列的( ) ．充分不必要．必要不充分．充要条件．既不充分又不必要 .函数1)y x =≤-的反函数是（ ）．0)y x =≥．0)y x =≤．y x =≥．y x =≤ ．某球与一个°的二面角的两个面相切于、，且、间的球面距离为，则此球体的表面积为（ ）．π12 ．π24 ．π36 ．π144．设下表是某班学生在一次数学考试中数学成绩的分布表π那么分数在[，]中和分数不满分的频率和累积频率分别是（ ）． ．， ．， ．， ．，．设ｆ() ，且≤(－)≤，≤()≤，则点(，)在平面上的区域面积是 （ ）．12 ． ． ．92．已知是以、为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，若21PF ⋅，21tan F PF ∠，则椭圆的离心率为（ ）． 21 ． 32 ． 31． 35．设(43)=，a ，a 在b 上的投影为2，b 在x 轴上的投影为，且||14≤b ，则b 为（ ） ．(214)，．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，．(28)，. 过抛物线 ρ (ρ＞ )上一定点 ( ) ( ≠ )，作两条直线分别交抛物线于 ( , ) , ( , )，当与的斜率存在且倾斜角互补时，则021y y y + （ ） ．．– ．．–第Ⅱ卷（非选择题共分）二、填空题：(本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在答题卡相应位置上．)．设常数421,0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+>x ax a 展开式中3x 的系数为,23则a ．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 ．将个相同的白球、个相同的黑球、个相同的红球放入个不同盒子中的个中，使得有个空盒且其它盒子中球的颜色齐全的不同放法共有种.（用数字作答）．某篮球运动员在罚球线投中球的概率为32，在某次比赛中罚球恰好命中球的概率为 。

．给出下列四个命题：①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行； ③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都平行；④对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等； 其中正确的命题序号为 （请把所有正确命题的序号都填上）．三、解答题：(本大题共小题，共分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) .(本小题满分分)A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若(cos,sin )22A A m =-，(cos ,sin )22A A n =，且12m n ⋅= （）求角A ；（）若a =S =b c +的值．．（本小题满分分）已知数列 {•} 的前项和－.() 求数列 {} 的通项公式；() 设·(－)，求数列 { } 的前项和.．（本小题满分分）已知斜三棱柱—的底面是直角三角形，∠°，侧棱与底面所成的角为α（°＜α＜°），点B在底面上的射影D落在BC上．1（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）当α为何值时，⊥，且使恰为中点？（Ⅲ）若α，且时,求二面角——的大小．．(本小题满分分)随着我国加入，某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种投资生产，打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)交 万美元的特别关税. ()写出该厂分别投资生产甲、乙两产品的年利润 、 与生产相应产品的件数 (∈)之间的函数关系； () 分别求出投资生产这两种产品的最大年利润； () 如何决定投资可获最大年利润.．（本小题满分分）设32()f x ax bx cx =++，其导函数'()y f x =的图像经过点2(2,0),(,0)3-，且()f x 在2x =-时取得最小值－（）求()f x 的解析式；（）若对[3,3]x ∈-都有2()14f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．．（本小题共分）已知A B 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上两点，O 为原点，直线OA OB 、的斜率之积22OA OB b k k a⋅=（Ⅰ）设OP OA OB =+，证明当A B 、运动时，点P 恒在另一双曲线上； （Ⅱ）设OQ OA OB λμ=+，是否存在不同时为零的实数λμ、，使得点Q 在题设双曲线的渐近线上，证明你的结论.参考答案一、选择题：（本大题共个小题；每小题分，共分。

）二、填空题：（本大题共小题，每小题分，共分。

）、21； 、7； 、； 、94； 、②④；三、解答题：（本大题共小题，共分。

）、（本小题满分分） 解：（）∵(cos,sin )22A A m =-，(cos ,sin )22A A n =，且12m n ⋅= ∴221cos sin 222A A -+= …………………………………………分 即1cos 2A -=又(0,)A π∈，∴23A π= ……………………………分⑵112sin sin 223ABC S bc A bc π∆=⋅=⋅=∴bc ＝……………………………分由余弦定理得222o 222cos120a b c bc b c bc =+-=++……………………………分∴216()b c =+故4b c +=． ………………………………分、（本小题满分分）解：() 时，· ,∴ ; …………分当 ≥ 时， · －－ －，∴ . 又 ≠ …………分 ∴通项公式 …………分()当 时， － ，∴ ； …………分 ≥时， ·(－ ) ·( )， ∴ …………分 ∴ … … － ∴ － …………分、（本小题满分分）解：（Ⅰ）∵ ⊥平面， ⊂平面，∴⊥, 又⊥, ∩．∴ ⊥平面． …………………… 分(Ⅱ) ∵ ⊥平面 ，要使⊥ ，由三垂线定理可知，只须⊥， ………………………… 分 ∴ 平行四边形为菱形， 此时，．又∵ ⊥, 要使为中点，只须 ，即△为正三角形， ∴ ∠ °． ………………………… 分∵ ⊥平面，且落在上，∴ ∠即为侧棱与底面所成的角．故当α°时，⊥，且使为中点…………………… 分（Ⅲ）过作⊥于，则⊥平面．过作⊥于，，由三垂线定理，得⊥．∴∠是所求二面角——的平面角．………………… 分 设，在△中，由∠α1arccos 3，322． 在△中，∠°，22322．∴∠°，故所求的二面角——为°．………… 分解法二：（）同解法一 ……………… 分 （Ⅱ）要使⊥，是的中点，即11BC AB ⋅，，∴11()0AC CB BC +=， ，∴||||1BB =． ∴1BB BC B C ==，故△为正三角形，∠°；∵ ⊥平面，且落在上， …………………… 分 ∴ ∠即为侧棱与底面所成的角．故当α°时，⊥，且为中点． …………………分||||11B BC ⋅（Ⅲ）以为原点，为轴，为轴，经过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，则（，，），（，，），（，－34a ，322），平面的法向量（，，），设平面的法向量（，，）． 由⋅AB ，及⋅1BC ，得∴（22，22，）．………………分 <, >＝ ，故 , 所成的角为°，即所求的二面角为°．……………………分、（本小题满分分）解：()由年销售量为 件，按利润的计算公式，有生产甲、乙两产品的年利润 ， 分别为：×－( ) (－)－， ≤≤且 ∈…………分 ×－( ) － － －，…………分 ∴ － (－) ，≤≤，∈…………分 ()∵ ≤≤， ∴ － > ， ∴ (－)－为增函数，又 ≤≤，∈ ∴时，生产甲产品的最大年利润为 (－)×－ －(万美元)。

…………分又 － (－) ，且 ≤≤，∈ ∴ 时，生产乙产品的最大年利润为 (万美元)。

…………分 ()问题即研究生产哪种产品年利润最大，()－() (－) － － …………分所以：当 ≤ < 时，投资生产甲产品 件可获最大年利润。

当 时，生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润； 当 < ≤时，投资生产乙产品 件可获最大年利润。

……分、（本小题满分分）解：（）2'()32f x ax bx c =++，且'()y f x =的图像经过点2(2,0),(,0)3-,∴22223324233b b a ac c a a ⎧-+=-⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪-⨯=⎪⎩， ……分∴32()24f x ax ax ax =+-，……分由32()(2)(2)2(2)4(2)8f x f a a a =-=-+---=-极小值，解得1a =-…分∴32()24f x x x x =--+ ……分（）要使对[3,3]x ∈-都有2()14f x m m ≥-恒成立，只需2min ()14f x m m ≥-即可． …………………………分∵22()3443()(2)3f x x x x x '=--+=--+…………………………分∴函数()y f x =在[3,2)--上单调递减，在2(2,)3-上单调递增，在2(,3]3上单调递减，…………………………分又∵(2)8f -=-，32(3)32343338f =--⨯+⨯=-<-， ∴min ()(3)33f x f ==- ； 23314311m m m -≥-⇒≤≤故所求的实数m 的取值范围为{|311}m m ≤≤． …………………………分---- . （本小题满分分）解：（Ⅰ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由 OP OA OB =+，得1212(,)P x x y y ++ 由A B 、在双曲线上，有2211221x y a b -= ① 2222221x y a b -= ②…………………………………………分 由22OA OB b k k a ⋅=，即212212y y b x x a⋅=， 得1212220x x y y a b-=， ③………………………………………分 ①×③②，并整理，得22121222()()2x x y y a b ++-= 这表明点P 恒在双曲线22222x y a b-=上.……………………………分 （Ⅱ）同（Ⅰ）所设，由OQ OA OB λμ=+，得1212(,)Q x x y y λμλμ++ 当点Q 在双曲线的渐近线上，有1212()b y y x x aλμλμ+=±+ 即22121222()()0x x y y a b λμλμ++-=，亦即 22222211121222222222()2()()0x y x x y y x y a b a b a b λλμμ-+-+-=…………………分 将①②③三式代入上式，得220λμ+=，从而0λμ==因此，不存在不同时为零的实数λμ、，使得点Q 在题设双曲线的渐近上.…分。