高阶导数与高阶偏导数共31页文档
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第三节 高阶导数
例8. 设 y = x ( µ ∈ R ), 求 y 解:
µ
(n)
.
y′ = µ x µ −1 ,
y′′ = ( µ x µ −1 )′ = µ ( µ − 1) x µ − 2 ,
y′′′ = ( µ ( µ − 1) x µ − 2 )′ = µ ( µ − 1)( µ − 2) x µ − 3 , LL
′ ′ v 1 =− 2 v v
− 2x = y′′′ = 2 2 (1 + x )
2( 3 x 2 − 1) = , 2 3 (1 + x )
则 y′′(0) = − 2x (1 + x )
2 2
′
(−2 x )′(1 + x ) − (−2 x )[(1 + x ) ]′
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例11. 设
1
求
2 ′ y= ,即 ( +x )y =1 ′ 解: 1 2 1+x 用莱布尼兹公式求 n 阶导数
( +x ) 1
令 由 由 即 得 得
2
2x
2
y
(2m )
(0 =0 )
( + 得 y 2m 1)(0 =(− )m(2 )!y(0 ) 1 m ′ ) +) y(2m 1 (00, n=2 m )= (n ) y (0 = m ) (m=01 2L ,, , ) m =L (− ) 2 )!y 0 m m) ( 1= m − ) (21!,( n=2′(+1
3 2 3 1 − cos 4 x 5 3 = 1 − sin 2 x = 1 − ⋅ = + cos 4 x , 4 8 8 4 2
高阶偏导数及泰勒公式
求
x 2
z 2
.
解: (1) 记F (x, y, z) x2 y2 tgz ez
由隐函数求导公式 z Fx , x Fz
有Fx 2x, Fz sec2 z ez .
z
2x
从而, x ez sec2 z
z
2x
x ez sec2 z
,等等.
例1. 设z
x2 y2
x sin
y 3,求全部二阶偏导和3z 源自x3.x解:
z
2 y x 1, 2
y
z
2x y 2
cos
y.
x
2
z
2y , 2
2
xy z 4xy.
2
y
2
z
2x sin y, 2
2
x
3
z
0.
3
yx z 4xy,
2
xy
f1 y
1 x2
f2
y x2
f2 y
2w xy
2
xf1
2
xy
f1 y
1 x2
f2
y x2
f2 y
2 xf1
1 x2
f2 2xy( f11 x2
f12
记 A = [ f (x0 +x , y0 +y) – f (x0 +x , y0)] – [ f (x0, y0 +y) – f (x0 , y0)]
(x) = f (x , y0 +y ) – f (x , y0), 有 A = (x0 +x) – (x0)
高阶导数
n
则 y1
(1)(2)(n)(1 x )
Hale Waihona Puke ( n 1)n! (1) (1 x ) n1
n
y1
n
(1)(2)(n)(1 x )
( n 1)
n! (1) (1 x ) n1
n
另：
2 3 2 y ( 1 )( 1 x ) ( 1 ) ， y ( 1 )( 2 )( 1 x ) ( 1 ) ， 2 2
n n 1 n 1 1 y 2 1 x 1 x
其中： y1 (1 x ) 1 则 (1)(1 x ) 2 ， (1)(2)(1 x ) 3 , y1 y1
例 3 设 y＝x μ （x＞ 0， μ为任意实数），求 yn .
解：
y x 1 ， y ( 1) x 2
y ( n ) 1 2 n 1x n
特别： x
n
n
＝n！ （n为自然数）。
例 4 设 f ( x) ＝sin x ，求f
则 y2
n
(1)(2)(n)(1 x )
n
( n 1)
n! (1) n 1 (1 x )
n
y
1 n! n! n (1) n1 n1 2 (1 x ) (1 x )
例 8 设 y＝x2 ＋ 1 ln 1 ＋x ，求 y100 .
解：
令 u＝ln 1 x ，v＝ x 2 1 v＝2 x ， v＝2 ， v n＝ 0 n 3
则利用莱布尼兹公式可 得： 99! 100 98! 100 99 97! 2 y ＝－ 1＋ ＋ 0 ＋ ＋ 0 100 x ＋ 99 2 x－ 98 2 1 x 1 x 2!1 x ＝
则 y1
(1)(2)(n)(1 x )
Hale Waihona Puke ( n 1)n! (1) (1 x ) n1
n
y1
n
(1)(2)(n)(1 x )
( n 1)
n! (1) (1 x ) n1
n
另：
2 3 2 y ( 1 )( 1 x ) ( 1 ) ， y ( 1 )( 2 )( 1 x ) ( 1 ) ， 2 2
n n 1 n 1 1 y 2 1 x 1 x
其中： y1 (1 x ) 1 则 (1)(1 x ) 2 ， (1)(2)(1 x ) 3 , y1 y1
例 3 设 y＝x μ （x＞ 0， μ为任意实数），求 yn .
解：
y x 1 ， y ( 1) x 2
y ( n ) 1 2 n 1x n
特别： x
n
n
＝n！ （n为自然数）。
例 4 设 f ( x) ＝sin x ，求f
则 y2
n
(1)(2)(n)(1 x )
n
( n 1)
n! (1) n 1 (1 x )
n
y
1 n! n! n (1) n1 n1 2 (1 x ) (1 x )
例 8 设 y＝x2 ＋ 1 ln 1 ＋x ，求 y100 .
解：
令 u＝ln 1 x ，v＝ x 2 1 v＝2 x ， v＝2 ， v n＝ 0 n 3
则利用莱布尼兹公式可 得： 99! 100 98! 100 99 97! 2 y ＝－ 1＋ ＋ 0 ＋ ＋ 0 100 x ＋ 99 2 x－ 98 2 1 x 1 x 2!1 x ＝
高等数学二高阶偏导数及泰勒公式
A fxy (x0 1x, y0 2y)xy A f yx (x0 4x, y0 3y)xy
故
f xy (x0 1x, y0 2y) f yx (x0 4x, y0 3y)
令x 0, y 0. 因 f xy , f yx在(x0 , y0 )连续,有,
f xy (x0 , y0 ) f yx (x0 , y0 )
故, f xy (x0 , y0 )
lim
y0
lim
x0
1 xy
f
( x0
x,
y0
y)
f
(x0
,
y0
+y)
– f (x0 +x , y0) + f (x0 , y0)]
同理 f yx (x0 , y0 )
lim
x0
lim
y0
1 xy
f
( x0
x,
y0
Байду номын сангаас
y)
f
(x0
+x
,
y0)
– f (x0, y0 +y ) + f (x0 , y0)]
注
1.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏导的情 形. 同时可推广到二元以上的函数情形. 即,若混合偏导数连续, 则混合偏导相等(即求混合 偏导与求导顺序无关).
2.若多元函数 f (X)在区域 D内有(直到) k 阶连续
偏导. 则记为 f (X)Ck (D). k为非负整数. 若 f (x, y)Ck (D), 则不论求导顺序如何, 只
,
2 f yx
在X
0
( x0 ,
y0 )的某邻域U ( X 0 )
内存在, 且它们在X 0连续, 则
高等数学课件 4第三节 高阶导数ppt
若 为自然数n, 则
( xn )(n) n!,
( xn )(n1) (n!) 0.
( xn )(k) 0, (k n 1, n 2,).
例10. 设 y ln(1 x), 求y(n).
解:
y 1 , 1 x
y
(1
1 x
)2
,
y
(1
2! x
)3
,
y(4)
3! (1 x)4
,
y(n)
的导数为 f ( x) 的二阶导数 , 记作
y ( y)
或
d2 y d dy
d x2
d
() x dx
y或
d2 y d x2
,
即
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
y(n) ( y(n1) )
或
dn y d dn1 y dxn dx ( dxn1 )
y(n) (sin x)(n) x2 Cn1(sin x)(n1) ( x2 )
Cn2(sin x)(n2) ( x2 ) 0
x2 sin(x n ) 2nxsin(x (n 1) ) n(n 1)sin(x (n 2) ),
2
2
2
y(n)(0) sin n .
2
x2
)2
]
2(3 x (1
2 1) x2 )3
,
则
y(0)
2x (1 x2 )2
0;
x0
y(0)
2(3 x2 1) (1 x 2 )3
x0
2.
例4. 证 明： 函 数y 2x x2 满 足关 系 式 y3 y 1 0.
3.1-2 偏导数与高阶偏导
f yx ( x 2x, y 1y) f xy ( x 3x, y 4y)
由 于f xy , f yx连 续, 令x 0, y 0得 : f xy ( x , y ) f yx ( x , y )
( x0 , y0 ) 处的函数值。偏导函数简称偏导数。
偏导数的概念还可以推广到二元以上的多元函数。例如三元
函数 u f ( x, y, z ) 在点 ( x, y, z ) 处对 x 的偏导数定义为
函数 u f ( x, y, z ) 在点 ( x , y, z ) 处对 x 的偏导数定义为 f ( x x , y , z) f( x , y , z) f x ( x , y , z ) lim 。 x 0 x 5
第三节
偏导数与全微分
第五章
多元函数微分学及其应用
3.1 偏导数概念与几何意义
1.函数 z f ( x , y ) 在点 M 0 ( x0 , y0 ) 处的偏导数的定义
定义 3.1 设 z f ( x, y) 在点 M0 ( x0 , y0 ) 的某一邻域 N ( M0 )
上有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时 ，相应地 函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ，
f xy (0,0) f yx (0,0)
例1 中 2 y 2 y 2 y 2 y , 而例 2 中 , xy yx xy yx
问：混合偏导数相等需要什么条件？
18
第五章
多元函数微分学及其应用
定理 3.1：如果 f xy ( x, y) ， f yx ( x, y) 在点 ( x, y) 的某邻域 内连续，则有 f xy ( x, y) f yx ( x, y) 。
高阶偏导数
∂z . 的二阶偏导数及 2 ∂y∂x ∂z = 2ex+2y ∂y ∂2 z x+2y = 2e ∂x∂y
3
例12.1.11
f (x, y) =
x2 − y2 xy 2 , x2 + y2 ≠ 0 x + y2 0, x2 + y2 = 0
f x (x, y) =
x4 + 4x2 y2 − y4 y , x2 + y2 ≠ 0 (x2 + y2 )2
证: 记 ϕ ( x ) = f ( x , y0 + ∆y ) − f ( x , y0 ),
ψ ( y ) = f ( x0 + ∆x , y ) − f ( x0 , y ),
f ( x 0 + ∆ x , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 + ∆x , y 0 ) + f ( x 0 , y 0 ) I= . ∆ x∆ y
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
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练习题： 练习题： 设
确定 u 是 x , y 的函数 , 连续, 且 解: 求
方程
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结束
练习题
一 、填空题: 填空题: 1 、设 z = ln tan
x ∂z ∂z ,则 = ________; = _________. ∂x y ∂y ∂z ∂z 2 、设 z = e xy ( x + y ), 则 = _______; = ________. ∂x ∂y y ∂u ∂u 3 、设 u = x z , 则 = __________; = __________; ∂x ∂y ∂u = ____________. ∂z ∂2z y ∂2z 4 、设 z = arctan , 则 2 = ________; 2 = _______; x ∂x ∂y ∂2z = ____________. ∂x∂y
高阶偏导数及泰勒公式
2021/8/24
15
A fxy(x0 1x, y0 2y)xy A f yx (x0 4x, y0 3y)xy
故
f xy (x0 1x, y0 2y) f yx (x0 4x, y0 3y)
令x 0, y 0. 因 f xy , f yx在(x0 , y0 )连续,有,
f xy (x0 , y0 ) f yx (x0 , y0 )
3 从而 uy ax c( y). 与 uy x y b sin x比较可得a 1,b 0.
2021/8/24
20
例3. 设w f (x y z, xyz), f C2, 求 2w .
xz
解: 设 u=x+y+z, v=xyz,
从而 w = f (u, v)是x , y , z,的复合函数.
f
(x, y) ,
gy
(
x,
y)
lim
y0
g
(
x,
y
y) y
g
(
x,
y)
,
f xy (x,
y)
fx(x,
y)y
lim
y0
f x(x,
y
y) y
f x(x,
y) ,
2021/8/24
9
lim 1 y0 y
lxim0
f
(x
x,
y
y) x
f
(x, y
y)
lim x0
f
(x
x, y) x
f
(x,
y)
2021/8/24
w f (x2 y, y) x
25
例5.
设z
z ( x,
y)由方程x 2
高阶导数与高阶偏导数
f (n)( x),
y(n),
dny dx n
或
d
n f (x) dx n
.
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
湘潭大学数学与计算科
3
学学院
例1 已知函数 y ( x3 7 x 8)20(3x 7)30 求 y(90)和 y(91) .
(2) (Cu)(n) Cu(n)
(3) (u v)(n) u(n)v nu(n1)v n(n 1) u(n2)v 2!
n(n 1)(n k 1) u v (nk ) (k ) uv (n) k!
n
C u v k (nk ) (k ) n
莱布尼兹公式
湘潭大学数学与计算科
14
斯方程
2u x 2
2u y2
0.
解 因为 ln x2 y2 1 ln( x2 y2 ),
2
湘潭大学数学与计算科
11
学学院
因此
u x x x2 y2 ,
u y
x2
y
y2
,
2u x 2
(x2 y2) x 2x ( x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
2u (x2 y2) y 2 y y2 ( x2 y2 )2
解 由于函数
y ( x3 7 x 8)20(3x 7)30
展开后的最高次幂项为
所以
330 x32030 330 x90
y(90) 330 90!, y(91) 0.
湘潭大学数学与计算科
4
学学院
一、高阶偏导数的定义
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
高阶偏导数及泰勒公式
z(x,
y)由方程 x 2
y 2
tgz
e 所确定, z
求
x 2
z 2
.
解: (1) 记F (x, y, z) x2 y2 tgz ez
由隐函数求导公式 z Fx , x Fz
有Fx 2x, Fz sec2 z ez .
从而,
z x
ez
2x sec2
z
z
2x
x ez sec2 z
y)
f x( x,
y) y
lim
y0
f x( x,
y
y) y
f x( x,
y) ,
lim
y0
1 y
lxim0
f
(x
x,
y
y) x
f
(x,
y
y)
lim x0
f
(x
x, y) x
f
(x,
y)
lim lim 1 1 f (x x, y y) f (x, y y)
y0 x0 y x
f (x x, y) f (x, y)
一般,若z f (x, y)的k 1阶微分dk1z存在,且仍 可微. 则记dk z d(dk1z),称为z的k阶微分.
下边推导 z 的 k 阶微分的计算公式. 设以 x, y 为自变量 的函数 z = f (x, y)Ck .
有 dz fx(x, y)dx f y(x, y)dy 由于x, y 为自变量,故dx = x, dy = y,与 x, y 的取值无关. 固定x, y,, (即将它们看作常数), 求dz的微分. 易见,当f x, f y存在连续偏导时, dz可微.即, 若f C 2 ,则z f (x, y)存在二阶微分(二阶可微).
高阶导数与高阶偏导数
高阶导数可以描述曲线的弯 曲程度，例如二阶导数表示 曲线的凹凸程度，三阶导数 表示曲线的拐点变化趋势。
03
高阶偏导数
高阶偏导数的定义
总结词
高阶偏导数是函数在某一点的各阶偏导数。
详细描述
高阶偏导数是指函数在某一点的各阶偏导数。对于一个多元函数，在某一点处的偏导数表示该函数在该点的切线 斜率。高阶偏导数则表示该切线的弯曲程度，即函数在该点的各阶偏导数。
二阶及以上的导数和偏导数可以描述 函数图像的凹凸性和拐点等几何特性。
偏导数表示函数图像上某一点处沿某 一方向的变化率。
02
高阶导数
高阶导数的定义
定义
高阶导数是函数在某一点的导数的导数，即函数在这一点连续可导的情况下，求导数的过程可以反复 进行，得到的极限值称为高阶导数。
表示方法
对于一元函数，高阶导数表示为f^(n)(x)，其中n表示求导的次数；对于多元函数，高阶偏导数表示为 ∂^n/∂x_1∂x_2...∂x_n。
高阶导数与高阶偏导数
目录
• 导数与偏导数的定义 • 高阶导数 • 高阶偏导数 • 导数与偏导数的应用 • 高阶导数与高阶偏导数的应用
01
导数与偏导数的定义
导数的定义
函数在某一点的导数描述了函数 在该点的切线斜率。
导数是函数值随自变量变化的速 率，即函数在某一点的切线斜率。
导数公式：$f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$
高阶导数可以用于分析函数的局部形态和性质，如拐源自、 极值点、凹凸性等。详细描述
通过求取函数的高阶导数，可以判断函数的单调性、凹凸 性以及拐点，从而更深入地了解函数的形态和性质。
总结词
03
高阶偏导数
高阶偏导数的定义
总结词
高阶偏导数是函数在某一点的各阶偏导数。
详细描述
高阶偏导数是指函数在某一点的各阶偏导数。对于一个多元函数，在某一点处的偏导数表示该函数在该点的切线 斜率。高阶偏导数则表示该切线的弯曲程度，即函数在该点的各阶偏导数。
二阶及以上的导数和偏导数可以描述 函数图像的凹凸性和拐点等几何特性。
偏导数表示函数图像上某一点处沿某 一方向的变化率。
02
高阶导数
高阶导数的定义
定义
高阶导数是函数在某一点的导数的导数，即函数在这一点连续可导的情况下，求导数的过程可以反复 进行，得到的极限值称为高阶导数。
表示方法
对于一元函数，高阶导数表示为f^(n)(x)，其中n表示求导的次数；对于多元函数，高阶偏导数表示为 ∂^n/∂x_1∂x_2...∂x_n。
高阶导数与高阶偏导数
目录
• 导数与偏导数的定义 • 高阶导数 • 高阶偏导数 • 导数与偏导数的应用 • 高阶导数与高阶偏导数的应用
01
导数与偏导数的定义
导数的定义
函数在某一点的导数描述了函数 在该点的切线斜率。
导数是函数值随自变量变化的速 率，即函数在某一点的切线斜率。
导数公式：$f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$
高阶导数可以用于分析函数的局部形态和性质，如拐源自、 极值点、凹凸性等。详细描述
通过求取函数的高阶导数，可以判断函数的单调性、凹凸 性以及拐点，从而更深入地了解函数的形态和性质。
总结词
高等数学：第五讲高阶偏导数
2z xy
fxy (x, y);
( z ) x y
2z
yx
f yx(x, y);
( z ) y y
2z y 2
f yy (x, y).
混合偏导数
混合偏导数
高阶偏导数
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z f (x, y) 关于 x 的三阶偏导数为
3z 2z x3 x ( x2 )
z f (x, y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数，再关于 y 的一阶偏导数为
1 x
2z x 1 xy xy y
3z x2y 0
3z xy 2
-
1 y2
内容小结
高阶偏导数
二阶偏导数
( z ) x x
2z x 2
fxx(x, y);
( z ) x y
2z
yx
f yx(x, y);
பைடு நூலகம்
y
( z ) x
2z xy
f xy (x, y);
( z ) y y
2z y 2
f yy (x, y).
谢谢
例题1中，两个二阶混合偏导数相等，即 2 z 2 z . xy yx
这是由于多项式函数在其定义区域内都是连续的函数.
例题2：
设
z x ln(xy),
求
2z , 2z , 3z , 3z . x2 xy x2y xy2
解
z ln( xy) x y ln(xy) 1
x
xy
2z x 2
y xy
y
n1z ( xn1
)
nz x n 1y
二阶及二阶以上的偏导数统称为函数的高阶偏导数.
z ，z x y
高阶导数与隐函数精品资料
z 2ex2y
3z yx2
.
x
y
2z x2
ex2y
2 z y x
2ex2y
3z x2 y
2ex2y
3z yx2
x
(
2z y x
)
2ex2y
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
注意: 2 z 2 z , 但这一情形并不总成立. xy yx
定理证明从略.
z Fy y Fz
例. 设 解法1
x2 y2 z2 4z
利用隐函数求导
0
,
求
2 x
z
2
.
2x 2z z 4 z 0 x x
再对 x 求导
2
z x
x 2 z
4
2z x2
0
1 (z)2 x
解法2 利用公式
设 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z 则 Fx 2x , Fz 2z 4
x0
,
d2y dx2
x0
①
Fx
ex
y,
Fy
cos
y
x
连续
,
② F(0,0) 0, ③ Fy (0,0) 1
0
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数
且
dy dx
Fx x 0 Fy
x
0
ex y cos y x
x 0, y 0
d2y dx2
x
0
d dx
( ex cos
f ( x),
y,
d3y .
dx 3
3z yx2
.
x
y
2z x2
ex2y
2 z y x
2ex2y
3z x2 y
2ex2y
3z yx2
x
(
2z y x
)
2ex2y
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
注意: 2 z 2 z , 但这一情形并不总成立. xy yx
定理证明从略.
z Fy y Fz
例. 设 解法1
x2 y2 z2 4z
利用隐函数求导
0
,
求
2 x
z
2
.
2x 2z z 4 z 0 x x
再对 x 求导
2
z x
x 2 z
4
2z x2
0
1 (z)2 x
解法2 利用公式
设 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z 则 Fx 2x , Fz 2z 4
x0
,
d2y dx2
x0
①
Fx
ex
y,
Fy
cos
y
x
连续
,
② F(0,0) 0, ③ Fy (0,0) 1
0
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数
且
dy dx
Fx x 0 Fy
x
0
ex y cos y x
x 0, y 0
d2y dx2
x
0
d dx
( ex cos
f ( x),
y,
d3y .
dx 3
D9_2_1、2偏导数及高阶偏导数
f y x ( x, y );
y x
(
(
z
)
z x y
z y
目录
2
f x y ( x, y )
x y
)
z y x
2
z
2
y y
)
2
f y y ( x, y )
机动
上页
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返回
结束
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
2
2
利用对称性 , 有
u x
2 2
u y
2
2
2
1 r
3
3y r
2
5
,
2
u z
2
2
1 r
3
3z r
2
5
u y
2
2
u z
2
3 r
3
3( x y z ) r
5
目录 上页
2
2
0
返回 结束
机动
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例7. 求函数 z e x 2 y 的二阶偏导数及
2 2 2 2
∵
0 0
而 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
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连续和偏导数的关系. 思考：
例 z f ( x, y) x y 证明： 所以在 处连续；
讨论（ ， 00 ）处的可导连续性。
由偏导数的定义
知
不存在； 同理
不存在。
上节例 目录
2
2
y x
(
(
z
)
z x y
z y
目录
2
f x y ( x, y )
x y
)
z y x
2
z
2
y y
)
2
f y y ( x, y )
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类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
2
2
利用对称性 , 有
u x
2 2
u y
2
2
2
1 r
3
3y r
2
5
,
2
u z
2
2
1 r
3
3z r
2
5
u y
2
2
u z
2
3 r
3
3( x y z ) r
5
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2
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0
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例7. 求函数 z e x 2 y 的二阶偏导数及
2 2 2 2
∵
0 0
而 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
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连续和偏导数的关系. 思考：
例 z f ( x, y) x y 证明： 所以在 处连续；
讨论（ ， 00 ）处的可导连续性。
由偏导数的定义
知
不存在； 同理
不存在。
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