梁的正应力
6第六章-梁的应力详解精选全文完整版
需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示 的z轴。
Ⅱ. 纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面
由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向
线之间发生挤压。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假
设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性
力学的分析结果表明，受分布荷载的矩形截面简支梁，当
A
将
E
y
r
代入上述三个静力学条件，有
FN
dA E
A
r
y d A ESz
A
r
0
(a)
M y
z d A E
A
r
yz d A EIyz
A
r
0
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EIz
A
r
M
(c)
以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相 关的几何量，统称为截面的几何性质，而
图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[]=152 MPa 。试
选择工字钢的号码。
(a)
(b)
解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示 Mmax 375kN m
强度条件 Mmax 要求：
Wz
Wz
M max
纯弯曲梁的正应力实验参考书报告
《纯弯曲梁的正应力实验》实验报告一、实验目的1.测定梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律2.验证纯弯曲梁的正应力计算公式二、实验仪器设备和工具3.XL3416 纯弯曲试验装置4.力＆应变综合参数测试仪5.游标卡尺、钢板尺3、实验原理及方法在纯弯曲条件下，梁横截面上任一点的正应力，计算公式为σ= My / I z式中M为弯矩，I z为横截面对中性轴的惯性矩；y为所求应力点至中性轴的距离。
为了测量梁在纯弯曲时横截面上正应力的分布规律，在梁的纯弯曲段沿梁侧面不同高度，平行于轴线贴有应变片。
实验采用半桥单臂、公共补偿、多点测量方法。
加载采用增量法，即每增加等量的载荷△P，测出各点的应变增量△ε，然后分别取各点应变增量的平均值△ε实i，依次求出各点的应变增量σ实i=E△ε实i将实测应力值与理论应力值进行比较，以验证弯曲正应力公式。
四、实验步骤1.设计好本实验所需的各类数据表格。
2.测量矩形截面梁的宽度b和高度h、载荷作用点到梁支点距离a及各应变片到中性层的距离y i。
见附表13.拟订加载方案。
先选取适当的初载荷P0（一般取P0 =10％P max左右），估算P max（该实验载荷范围P max≤4000N），分4～6级加载。
4.根据加载方案，调整好实验加载装置。
5. 按实验要求接好线，调整好仪器，检查整个测试系统是否处于正常工作状态。
6.加载。
均匀缓慢加载至初载荷P 0，记下各点应变的初始读数；然后分级等增量加载，每增加一级载荷，依次记录各点电阻应变片的应变值εi ，直到最终载荷。
实验至少重复两次。
见附表27.作完实验后，卸掉载荷，关闭电源，整理好所用仪器设备，清理实验现场，将所用仪器设备复原，实验资料交指导教师检查签字。
附表1 （试件相关数据）附表2 （实验数据）P 50010001500200025003000载荷N △P 500500500500500εP -33-66-99-133-166△εP -33-33-34-334平均值-33.25εP -16-33-50-67-83△εP -17-17-17-162平均值16.75εP 00000△εP 00001平均值0εP 1532476379△εP 171516163平均值16εP 326597130163△εP 33323333 各 测点电阻应变仪读数µε5平均值32.75五、实验结果处理1.实验值计算根据测得的各点应变值εi 求出应变增量平均值△εi ，代入胡克定律计算应变片至中性层距离（mm ）梁的尺寸和有关参数Y 1－20宽 度 b = 20 mm Y 2－10高 度 h = 40 mm Y 30跨 度 L = 620mm （新700 mm ）Y 410载荷距离 a = 150 mm Y 520弹性模量 E = 210 GPa （ 新206 GPa ）泊 松 比 μ= 0.26惯性矩I z =bh 3/12=1.067×10-7m 4 =106667mm 4。
梁的正应力
点的正应力；
1m
2m
1
（2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力；
12 z
120 y
180 30
（4）已知 E = 200 GPa，
求1—1截面的曲率半径。
1 q=60kN/m
A
1m
2m
1
+
M
qL2
8 M1 Mmax
180 30
12 z
120 y
解：1 画 M 图求有关弯矩
B
M1
( qLx 2
( A) max (a) max (b) max (c)； (B) max (a) max (b) max (c)； (C) max (a) max (b) max (c)； (D) max (a) max (b) max (c)。
[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊 车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
200kN吊车
150kN吊车
2 x 2.667
2.确定工字钢型号
A
C 辅助梁
B Mmax A 200l 2.667 266.6kNm
FA
F
x
FB Mmax B 150 2 300kNm
A
0
M y
zdA
A
E
A
zydA
0
M z
ydA
A
E
A
y 2 dA
EIZ
1 MZ
EIZ
Mzy
Iz
M
M
中性轴
纯弯曲梁的正应力实验参考书报告
《纯弯曲梁的正应力实验》实验报告一、实验目的1.测定梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律2.验证纯弯曲梁的正应力计算公式二、实验仪器设备和工具3.XL3416 纯弯曲试验装置4.力＆应变综合参数测试仪5.游标卡尺、钢板尺三、实验原理及方法在纯弯曲条件下，梁横截面上任一点的正应力，计算公式为σ= My / I z式中M为弯矩，Iz为横截面对中性轴的惯性矩；y为所求应力点至中性轴的距离。
为了测量梁在纯弯曲时横截面上正应力的分布规律，在梁的纯弯曲段沿梁侧面不同高度，平行于轴线贴有应变片。
实验采用半桥单臂、公共补偿、多点测量方法。
加载采用增量法，即每增加等量的载荷△P，测出各点的应变增量△ε，然后分别取各点应变增量的平均值△ε实i，依次求出各点的应变增量σ实i=E△ε实i将实测应力值与理论应力值进行比较，以验证弯曲正应力公式。
四、实验步骤1.设计好本实验所需的各类数据表格。
2.测量矩形截面梁的宽度b和高度h、载荷作用点到梁支点距离a及各应变片到中性层的距离yi。
见附表13.拟订加载方案。
先选取适当的初载荷P0（一般取P=10％Pmax左右），估算Pmax （该实验载荷范围Pmax≤4000N），分4～6级加载。
4.根据加载方案，调整好实验加载装置。
5. 按实验要求接好线，调整好仪器，检查整个测试系统是否处于正常工作状态。
6. 加载。
均匀缓慢加载至初载荷P 0，记下各点应变的初始读数；然后分级等增量加载，每增加一级载荷，依次记录各点电阻应变片的应变值εi ，直到最终载荷。
实验至少重复两次。
见附表27. 作完实验后，卸掉载荷，关闭电源，整理好所用仪器设备，清理实验现场，将所用仪器设备复原，实验资料交指导教师检查签字。
附表1 （试件相关数据）附表2 （实验数据）载荷 N P 500 1000 1500 2000 2500 3000 △P 500 500 500 500 500 各 测点电阻应变仪读数 µε 4 εP -33 -66 -99 -133 -166△εP -33 -33 -34 -33平均值 -33.252 εP -16 -33 -50 -67 -83 △εP -17 -17 -17 -16 平均值 16.751 εP 0 0 0 0 0 △εP 0 0 0 0 平均值 03 εP 15 32 47 63 79 △εP 17 15 16 16 平均值 16 5 εP 32 65 97 130 163△εP 33 32 33 33平均值 32.75五、实验结果处理1. 实验值计算根据测得的各点应变值εi 求出应变增量平均值△εi ，代入胡克定律计算各点的实验应力值，因1µε=10-6ε，所以各点实验应力计算：应变片至中性层距离（mm ） 梁的尺寸和有关参数 Y 1 －20 宽 度 b = 20 mmY 2 －10 高 度 h = 40 mmY 3 0 跨 度 L = 620mm （新700 mm ）Y 4 10 载荷距离 a = 150 mmY 5 20 弹性模量 E = 210 GPa （ 新206 GPa ）泊 松 比 μ= 0.26惯性矩I z =bh 3/12=1.067×10-7m 4 =106667mm 4σi 实=E εi 实=E ×△εi ×10-62. 理论值计算载荷增量 △P= 500 N弯距增量 △M=△P ·a/2=37.5 N ·m各点理论值计算：σi 理= △M ·y i3. 绘出实验应力值和理论应力值的分布图分别以横坐标轴表示各测点的应力σi 实和σi 理，以纵坐标轴表示各测点距梁中性层位置y i ，选用合适的比例绘出应力分布图。
工程力学梁的正应力强度条件及其应用1
ymax
对矩形截面
Wz
bh3 12 h2
bh2 6
Wz
bh2 6
对圆形截面
Wz
d 4
d
64 2
d 3
32
Wz
d 3
32
各种型钢的截面惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz的 数值，可以在型钢表中查得。
为了保证梁能安全的工作，必须使梁横截面上的
最大正应力不超过材料的许用应力，所以梁的正应力
强度条件为
σmax
M max Wz
σ
二、三种强度问题的计算
σmax
M max Wz
σ
（1）强度校核 （2）选择截面 （3）确定许用荷载
σmax
M max Wz
σ
Wz
M max σ
M max Wz σ
例题10-2 一矩形截面简支木梁如图所示，已知l=4m， b=140mm，h=210mm，q=2kN/m，弯曲时木材的许 用正应力[σ]=10MPa，校核该梁的强度。
σc,max
MC Iz
y1
2.7 103 0.072 0.573105
33.9 106 Pa
33.9MPa [σc]
由以上分析知该梁满足强度要求。
例题10−4 如图所示的简支梁由工字钢制成，钢的 许用应力[σ ]=150MPa，试选择工字钢的型号。
解：先画出弯矩图如图b所示。 梁的最大弯矩值为
y1
1.8103 0.072 0.573105
22.5106 Pa
22.5MPa
第九章梁的应力
中间层与横截面 的交线
－－中性轴
梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转
动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。
4、纵向线应变的变化规律
（纵向线段的变化规律）
A1B1 AB
AB
A1B1 OO1 OO1
(y)dd d
y
y (1)
——横截面上各点的纵向线应变 与它到中性轴的距离成正比
三、纯弯曲理论的推广
纯弯曲时梁横截面上 My
正应力的计算公式
Iz
横力弯曲时
1、由于切应力的存在，梁 的横截面发生翘曲；
2、横向力还使各纵向线之 间发生挤压。
A
B
1m
2m
平面假设和纵向线之 间无挤压的假设实际上都 不再成立。
实验和弹性理论的研究结果表明：
对于细长梁（跨高比 l / h > 5 ），剪力的影响可以忽 略，纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结
a
c
o
o1
AＢ
b
d
dx
中性层
y
中
性
层
曲
率
d
半
径
y
A1
B1
E Ey
——横截面上各点的正应力沿截面高度 按线性规律变化
梁弯曲时横截面上正应力分布图： M
中性层
σmax
Z
σmax
y
中性轴的位置？
梁变形后中性层的曲率 1 ？
M Z
M
E
Ey
y
（三）、静力平衡条件
zdAdA x 由横截面上的弯矩和正应力的关系
只是相对转动了一个角度
且仍与纵向线正交。 3、假设：
梁正应力
8 hb2
12MPa
6
例题3：图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝
2m。T形截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝
1.02×108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和y最大压应力。
F
150
A
B
L
L
2
2
M max
FL 4
16kNm
y max
200
例题1:长为L的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F， 已知b＝120mm，h＝180mm、L＝2m，F＝1.6kN，试
求B截面上a、b、c各点的正应力。
A L2
F
h6
B
C
L2
h2
()
1 FL h
FL
a
M B ya IZ
2 bh3
3
1.65MPa
b 0
c
M B yc IZ
12
1 FL h
2 bh3
2
2.47MPa （-）
12
a
bh
c b
1 M B 2 FL
IZ
bh3 12
例题2：试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的 最大正应力，并加以比较。
q 2 kN m
200
100
4m qL2
200 100
8
竖放
qL2
max
M max WZ
8 bh2
6MPa
横放
6
qL2
max
M max WZ
一 基本概念与假设
1 纯弯曲与横力弯曲 纯纯弯弯曲曲：: 横截面上弯矩为常量，而切力为零。
A
横横力力弯弯曲曲：: 横截面上既有弯矩，又有切力。
梁应力强度计算
第五章 平面弯曲梁的强度
内容： 梁的应力、强度计算
τ→FS
z
dA
FS y
σ→M
M
z
dA
dA
y
M =∫yσσd
A
§5.1 梁的正应力
一、纯弯曲梁横截面上的正应力
F
F
a
l
a
FS F
M
x
F Fa
x
FS M
纯弯曲梁
Me
l
x
Me
450×0.03 2×45×10－9
=150
MPa
（－）
习题5-13 当20号槽钢受纯弯曲变形时，测出A、B两点间长度
Δl=27×10－3mm，材料的E=200GPa。试求梁截面上的弯矩M。
解：
50
5
M
AB
M
●
●
ε=
Δl l
=
27×10－3 50
=5.4×10－4
σ=Eε=200×109×5.4×10－4=108MPa
BC段： d2 ≥ 3
32×455×103 π140×106
= 321 mm
取: d1=250mm d2=322mm
例11. 已知：[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，
试选工字钢梁的型号。
解： Fsmax=6kN
1.σ计算：
σmax =
M max Wz
≤ [σ]
M max = 8 kN • m
=
1 2
qab+
1 8
qb2
=
0.02375q
N
•
m
梁的正应力强度计算.
§7-2 梁的正应力强度计算一、最大正应力在强度计算时，必须算出梁的最大正应力。
产生最大正应力的截面，称为危险截面。
对于等直梁，弯矩最大的截面就是危险截面。
危险截面上的最大应力处称为危险点，它发生在距中性轴最远的上、下边缘处。
对于中性轴是截面对称轴的梁，最大正应力的值为：maxmax max zM y I σ=令zz maxI W y =，则 maxmax zM W σ=式中z W 称为抗弯截面系数，是一个与截面形状和尺寸有关的几何量。
常用单位是m 3或mm 3。
z W 值越大，max σ就越小，它也反映了截面形状及尺寸对梁的强度的影响。
对高为h 、宽为b 的矩形截面，其抗弯截面系数为：32z z max /12/26I bh bh W y h ===对直径为d 的圆形截面，其抗弯截面系数为：43z z max /64/232I d d W y d ππ===对于中性轴不是截面对称轴的梁，例如图7-9所示的T 形截面梁，在正弯矩M 作用下梁下边缘处产生最大拉应力，上边缘处产生最大压应力，其值分别为：+1max z My I σ=2maxzMy I σ-=令z 11I W y =、z 22IW y =，则有： +max 1M W σ=max2M W σ-=maxσ-图7-9二、正应力强度条件为了保证梁能安全地工作，必须使梁截面上的最大正应力max σ不超过材料的许用应力，这就是梁的正应力强度条件。
现分两种情况表达如下：1、材料的抗拉和抗压能力相同，其正应力强度条件为：maxmax z[]M W σσ=≤ 2、材料的抗拉和抗压能力不同，应分别对拉应力和压应力建立强度条件：+maxmax 1[]M W σσ+=≤ max max2[]MW σσ--=≤ 根据强度条件可解决有关强度方面的三类问题：1）强度校核：在已知梁的材料和横截面的形状、尺寸（即已知[]σ、z W ）以及所受荷载（即已知max M ）的情况下，可以检查梁是否满足正应力强度条件。
纯弯曲梁的正应力实验报告
姓名：班级：学号：实验报告纯弯曲梁的正应力实验一、实验目的：1.测定梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律2.验证纯弯曲梁的正应力公式二、实验设备及工具：1.材料力学多功能试验台中的纯弯曲梁实验装置2.数字测力仪、电阻应变仪三、实验原理及方法：在纯弯曲条件下，根据平面假设和纵向纤维间无挤压的假设，可得到梁横截面上任意一点的正应力，计算公式：σ=My/I z为测量梁横截面上的正应力分布规律，在梁的弯曲段沿梁侧面不同高度，平行于轴线贴有应变片。
贴法：中性层一片，中性层上下1/4梁高处各一片，梁上下两侧各一片，共计五片。
采用增量法加载，每增加等量荷载△P（500N）测出各点的应变增量△ε，求的各点应变增量的平均值△ε实i，从而求出应力增量：σ实i=E△ε实i将实验应力值与理论应力值进行比较，已验证弯曲正应力公式。
四、原始数据：五、实验步骤：1.打开应变仪、测力仪电源开关2.连接应变仪上电桥的连线，确定第一测点到第五测点在电桥通道上的序号。
3. 检查测力仪，选择力值加载单位N或kg，按动按键直至显示N上的红灯亮起。
按清零键，使测力计显示零。
4.应变仪调零。
按下“自动平衡”键，使应变仪显示为零。
5.转动手轮，按铭牌指示加载，加力的学生要缓慢匀速加载，到测力计上显示500N，读数的学生读下5个测点的应变值，（注意记录下正、负号）。
用应变仪右下角的通道切换键来显示第5测点的读数。
以后，加力每次500N，到3000N 为止。
6.读完3000N应变读数后，卸下载荷，关闭电源。
六、实验结果及处理：1.各点实验应力值计算根据上表数据求得应变增量平均值△εPi，带入胡克定律计算各点实验值：σ实i=E△εPi×10-62.各点理论应力值计算载荷增量△P=500N弯矩增量△M=△P/2×a应力理论值计算σ理i=∆M∙YiI z（验证的就是它）3.绘出实验应力值和理论应力值的分布图以横坐标表示各测点的应力σ实和σ理，以纵坐标表示各测点距梁中性层的位置。
材料力学04梁截面正应力
y
M
这表明，直梁的横截面上的 正应力沿垂直于中性轴的方向按 直线规律变化(如图)。 11
三、静力学方面
横截面上的应力合成内力，则
FN d A
A
(d)
M y z d A
A
M z y d A
A
12
EI yz E M y z d A yz d A 0 A A
所以梁的强度由最大拉应力控制:
33
C截面：
F 3 2 m 13410 m M C 134103 m 4 t,max 30106 Pa Iz Iz
F 24.6kN
B截面：
F 3 2 m 8610 m M B 86103 m 2 t,max 30106 Pa Iz Iz
F 19.2kN
所以，该梁的许可荷载为[F]=19.2 kN。
34
§4-5 梁横截面上的切应力· 梁的切 应力强度条件
Ⅰ. 梁横截面上的切应力
• • • • 矩形截面梁 工字形截面梁 薄壁圆环形截面梁 圆截面梁
研究表明：截面上各点的切应力不相等
求解的理论根据：切应力互等定理
35
一、矩形截面梁
29
根据强度条件要求：
Wz M max
375 kN m 2460106 m3 152106 Pa
由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为
Wz 2447cm3 2447106 m3
此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%，故 可以选用56b工字钢。
工程实践中，如果最大工作应力超过许用应力 不到5%，则通常还是允许的。
第七章 梁的应力和强度计算
q=3.6kN/m
A Q B
例7-4.1 矩形(bh=0.12m0.18m）
截面木梁如图，[s]=7MPa，[t]=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大切 应力之比,并校核梁的强度。 – 解：画内力图求危面内力
qL 2
L=3m
qL 2
+
x
FS max
M max
qL 3600 3 5400 N 2 2
-4kNm x
例7-2.2 T 字形截面的铸铁梁受力 如图，铸铁的[sL]=30MPa，
1m
[sy]=60 MPa，其截面形心位于G
点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？ 解：画弯矩图并求危面内力
2.5kNm A1 G y1
A3
2、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
M max s 校核强度： s max 、校核强度： Wz M max 设计截面尺寸： Wz [s ]
确定许可载荷：M max
Wz [s ]
14
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
③横向线与纵向线变形后
仍正交。
5 ④横截面高度不变。
2. 根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的 变形，作出如下的两点假设：
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转
动，距中性轴等高处，变形相等。
纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。 （横截面上只有正应力）
纵向对称面
中性层
中性轴
x 1
15 60kNm
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
建筑力学第12章梁的应力
b1b2 yd bb2 dx
d 1 dx
m
o1 b m1
o2
y dx
y
b2
b1 n1
——纯弯曲时应变分布规律
y
z M
Hooke定律： E
E E
y
dA
——纯弯曲时应力分布规律
沿梁高线性分布，中性轴上为零，外边缘上最大
E 中性轴必然通过截面的形心
强度条件： 1－ 2＋ 3
适用于脆性材料
最大剪应力理论（第三强度理论） 破坏条件： max 达到危险值
max 1 3
2
强度条件： 1 3
适用于塑性材料
形状改变比能理论（第四强度理论）
引起单元体形状改变的能量超过危险值 破坏条件：
强度条件： ＋ － 1 3
2 1 2 3
适用于塑性材料
l
+
100kN 100kN 2m 2m 2m
-
q
* z *
*
I z：横截面对中性轴的惯性矩
b：横截面的宽度
QS Izb
b h2 2 * * * Sz A y y 2 4 h 1 h b y 2 2 2 1 3 I z bh 12
* z
* z
y
m2
3.6 kN
m
3.6 kN
m
max
5m
M max Wz
M max
1 2 1 ql 3.6 25 11.25 kN m 8 8
W z 2 39.7 103 79.4 106 m 3
工程力学 第九章 梁的应力及强度计算
1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察
现象：
（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；
（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。
对剪应力的分布作如下假设：
(1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行；
(2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。
根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：
式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力；
Q—该截面上的剪力；
b—需求剪应力作用点处的截面宽度；
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩；
Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
应力σ的正负号直接由弯矩M的正负来判断。M为正时，中性轴上部截面为压应力，下部为拉应力；M为负时，中性轴上部截面为拉应力，下部为压应力。
第二节 梁的正应力强度条件
一、弯曲正应力的强度条件
等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即
对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：
圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。
其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。
结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。
五、梁的剪应力强度校核
梁的剪应力强度条件为：
在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。
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力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试
校核梁的强度是否安全。
y
F
A
B
C
150
BA
50
2F
1400
600
200
12kNm
96.4
z
50
16kNm
A
M Ayl IZ
16103 250 96.4
24.09M1.0P2a108
A
M Ayy IZ
max s
例题 4.20
A l2
FL
长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F， 已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，
试求B截面上a、b、c各点的正应力。
F
h6
a
B
C
b
h
l2
h2
c
b
a
M B ya IZ
1 FL h
2 bh3
3
1.65MPa
12
b 0
qx2 ) 2
x1
60kNm
M max qL2 / 8 67.5kNm
x
2 求应力
Iz
bh3 12
5.832105 m4
Wz I z / ymax 6.48104 m3
1
2
M1y Iz
60 60 105 61.7MPa 5.832
1max
c
M B yc IZ
1 FL h
2 bh3
2
12
MB
1 2
FL
2.47MPa （压）
IZ
bh3 12
例题 4.21 试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大
正应力，并加以比较。
q 2kN m
200
100
200
4m
100
竖放
qL2
max
M max WZ
8 bh2
6MPa
150
A
l 2
B
l 2
M max
FL 4
16kNm
y max
200 50 96.4
153.6mm
y max
96.4mm
50
96.4
z
200
C
50
max
Mymax IZ
24.09MPa
max
Mymax IZ
15.12MPa
例题 4.23
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上 承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯 强度［σ］=215MPa。
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
正应力计算公式适用范围
M y
Iz
横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立
但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于5（即为细长梁）时
弹性力学指出：上述公式近似成立
截面惯性积 Iyz = 0 推导时用到郑玄-胡克定律，但可用于已屈服的梁截面
max s
(lx
x2 )dx
2、梁的最底层纤维的总伸长
l
l
(dx)
0
3q Ebh2
(
l 2
x2
l 3
x3)
l 0
ql3 2Ebh2
(x) E (x) (x) (dx)
dx
例题 4.31
承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a） 的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图 （c）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正 应力分别为σmax（a）、 σmax（b）、 σmax（c）。关于三者之间的关系 有四种答案，试判断哪一种是正确的。
D
d
FA
3q 4
kN
q
FB
梁的强度
FB
9q 4
kN
A
B
C
Mmax 0.5q
FA
2m
1m
WZ WZ
1q
q WZ 15.68kN / m
2
0.5
杆的强度
9q
9q 32
FNBD
A
4
1 d 2
4
q 1 d 2 22.3kN / m
A
0
M y
zdA
A
E
A
zydA
0
M z
ydA
A
E
A
y 2 dA
EIZ
1 MZ
EIZ
Mzy
Iz
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
M x
max Wz
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
许用应力[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才 能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
200kN吊车
150kN吊车 1.确定F加在辅助梁的位置
A FA
C 辅助梁
x F
B MA 0
FB
MB 0
FFBBlFFPlllxx 0
FFAx
点的正应力；
1m
2m
1
（2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力；
12 z
120 y
180 30
（4）已知 E = 200 GPa，
求1—1截面的曲率半径。
1 q=60kN/m
A
1m
2m
1
+
M
qL2
8 M1 Mmax
180 30
12 z
120 y
解：1 画 M 图求有关弯矩
B
M1
( qLx 2
( A) max (a) max (b) max (c)； (B) max (a) max (b) max (c)； (C) max (a) max (b) max (c)； (D) max (a) max (b) max (c)。
qL2 8
6 横放
qL2
max
M max WZ
8 hb2
12MPa
6
例题 4.22
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形
截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求
弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
F
l
max
M max B
Wz
WZ
M max B
1.875103cm3
1.875 1.86 100％ 0.8％
1.875
例题 4.27
图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直
径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力[σ] ＝
160MPa 。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷[q]。
梁横截面上的正应力.梁的正应力条件
纯弯曲时梁横截面上的正应力
aF
A
C
F
F
a
D
B
F
纯弯曲：梁 受力弯曲后，如 其横截面上只有 弯矩而无剪力， 这种弯曲称为纯 弯曲。
Fa
实验现象： 1、变形前互相平行的纵向直线、
F
F
变形后变成弧线，且凹边纤维缩
mn
短、凸边纤维伸长。
mn
2、变形前垂直于纵向线的横向 线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
9
q15.68kN / m
例题 4.30
简支梁如图所示，试求梁的最底层纤维的总伸长。
q
A
x
dx
B
h
解：
l
b
1、计算梁底层微段的伸长量 (x) M (x)
(x)
M (x) EWZ
1 qlx 1 qx2 22
E bh2
WZ
3q Ebh2
(lx
x2
)
6
(dx)
3q Ebh2
q 30 kN m
A
0.5m
F3A1.9 46.9kN
B
2m
FB 28.1kN
15 3.75
kN
28.1
kNm
WZ
M max
61.2cm3
查表 N0 12.6工字钢 WZ=77.5cm3
13.16
例题 4.25
铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁
的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应
M1 Wz
60 104 6.48
92.6MPa
max
M max Wz
67.5 104 6.48
104.2MPa
3 求曲率半径
1
EI z M1
2005.832 10 194.4m 60