梁的正应力
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20kN*m
A
(-) B
拉应力
a
D
E
(+)
10kN*m
e 压应力
M y
Iz
y2 C
y1
压应力 b B截面
d
拉应力
D截面
危险点： a, b, d
（3）计算危险点应力 拉应力
a
校核强度
e 压应力
a
MB y2 Iz
压应力 b
30MPa（拉）
B截面
b
M B y1 Iz
最大压应力：
d
拉应力
许用应力[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才 能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
200kN吊车
150kN吊车 1.确定F加在辅助梁的位置
A FA
C 辅助梁
x F
B MA 0
FB
MB 0
FFBBlFFPlllxx 0
FFAx
16103 96.4 151.1.022MP1a08
B
M Byy IZ
12103 250
18.07MPa
96.4
1.02
例题 4.26 为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台
200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的
附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的
力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试
校核梁的强度是否安全。
y
F
A
B
C
150
BA
50
2F
1400
600
200
12kNm
96.4
z
50
16kNm
A
M Ayl IZ
16103 250 96.4
24.09M1.0P2a108
A
M Ayy IZ
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
正应力计算公式适用范围
M y
Iz
横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立
但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于5（即为细长梁）时
弹性力学指出：上述公式近似成立
截面惯性积 Iyz = 0 推导时用到郑玄-胡克定律，但可用于已屈服的梁截面
max s
9
q15.68kN / m
例题 4.30
简支梁如图所示，试求梁的最底层纤维的总伸长。
q
A
x
dx
B
h
解：
l
b
1、计算梁底层微段的伸长量 (x) M (x)
(x)
M (x) EWZ
1 qlx 1 qx2 22
E bh2
WZ
3q Ebh2
(lx
x2
)
6
(dx)
3q Ebh2
q 30 kN m
A
0.5m
F3A1.9 46.9kN
B
2m
FB 28.1kN
15 3.75
kN
28.1
kNm
WZ
M max
61.2cm3
查表 N0 12.6工字钢 WZ=77.5cm3
13.16
例题 4.25
铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁
的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应
150
A
l 2
B
l 2
M max
FL 4
16kNm
y max
200 50 96.4
153.6mm
y max
96.4mm
50
96.4
z
200
C
50
max
Mymax IZ
24.09MPa
max
Mymax IZ
15.12MPa
例题 4.23
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上 承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯 强度［σ］=215MPa。
B
z
zd 2
d
d
z z
d
2
d
(a)
max (a)
Mz d3
6M z d3
6
d
d
2
2
d
(b)
(c)
Mz
max (b)
2 d .d 2
6M z d3
2
6
Mz
max (c)
2 d d
2
12M d3
z
2
6
弯曲应力例题
1 q=60kN/m 例1 简支梁
A
B 求：（1）1—1截面上1、2两
D
d
FA
3q 4
kN
q
FB
梁的强度
FB
9q 4
kN
A
B
C
Mmax 0.5q
FA
2m
1m
WZ WZ
1q
q WZ 15.68kN / m
2
0.5
杆的强度
9q
9q 32
FNBD
A
4
1 d 2
4
q 1 d 2 22.3kN / m
c
M B yc IZ
1 FL h
2 bh3
2
12
MB
1 2
FL
2.47MPa （压）
IZ
bh3 12
例题 4.21 试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大
正应力，并加以比较。
q 2kN m
200
100
200
4m
100
竖放
qL2
max
M max WZ
8 bh2
6MPa
qx2 ) 2
x1
60kNm
M max qL2 / 8 67.5kNm
x
2 求应力
Iz
bh3 12
5.832105 m4
Wz I z / ymax 6.48104 m3
1
2
M1y Iz
60 60 105 61.7MPa 5.832
1max
平面假设：
变形前杆件的横截面变形后仍
为平面。
中性层
中性轴：
中性层与横截面的交线称 为中性轴。
mn
o1
o2
m
n
中性轴
F
mn
mn
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
mn
dx
z
dBiblioteka Baidu
y
dx
y
F
yd d y
d
E y E
E
FN
dA
A
ydA
[t ] 35MPa, [ c ] 100 MPa
校核梁的强度。
y2 60mm
解： （1）梁的内力分析，找出危险截面
P＝20kN
q=10kN/m
A
B
D
E
包含反力的
35kN
全部外载荷 5kN
20kN*m
A
(-) B
D
E
画弯矩图：
(+)
可省去制表
10kN*m
危险截面： B, D？
（2）找出危险截面上的危险点
M1 Wz
60 104 6.48
92.6MPa
max
M max Wz
67.5 104 6.48
104.2MPa
3 求曲率半径
1
EI z M1
2005.832 10 194.4m 60
例2 外伸梁
q=10kN/m
A
B
P＝20kN
D
E
2m
2m
2m
y2 C
y1
T形梁截面，用铸铁制成， I z 4.0107 mm4, y1 140mm,
点的正应力；
1m
2m
1
（2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力；
12 z
120 y
180 30
（4）已知 E = 200 GPa，
求1—1截面的曲率半径。
1 q=60kN/m
A
1m
2m
1
+
M
qL2
8 M1 Mmax
180 30
12 z
120 y
解：1 画 M 图求有关弯矩
B
M1
( qLx 2
D截面
70MPa（压） cmax b 70MPa [ c ]
d
Md y1 Iz
最大拉应力：
tmax d 35MPa [ t ]
35MPa（拉）
梁的强度符合要求
A
0
M y
zdA
A
E
A
zydA
0
M z
ydA
A
E
A
y 2 dA
EIZ
1 MZ
EIZ
Mzy
Iz
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
M x
max Wz
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
(lx
x2 )dx
2、梁的最底层纤维的总伸长
l
l
(dx)
0
3q Ebh2
(
l 2
x2
l 3
x3)
l 0
ql3 2Ebh2
(x) E (x) (x) (dx)
dx
例题 4.31
承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a） 的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图 （c）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正 应力分别为σmax（a）、 σmax（b）、 σmax（c）。关于三者之间的关系 有四种答案，试判断哪一种是正确的。
l
max
M max B
Wz
WZ
M max B
1.875103cm3
1.875 1.86 100％ 0.8％
1.875
例题 4.27
图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直
径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力[σ] ＝
160MPa 。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷[q]。
( A) max (a) max (b) max (c)； (B) max (a) max (b) max (c)； (C) max (a) max (b) max (c)； (D) max (a) max (b) max (c)。
梁横截面上的正应力.梁的正应力条件
纯弯曲时梁横截面上的正应力
aF
A
C
F
F
a
D
B
F
纯弯曲：梁 受力弯曲后，如 其横截面上只有 弯矩而无剪力， 这种弯曲称为纯 弯曲。
Fa
实验现象： 1、变形前互相平行的纵向直线、
F
F
变形后变成弧线，且凹边纤维缩
mn
短、凸边纤维伸长。
mn
2、变形前垂直于纵向线的横向 线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊 车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
200kN吊车
150kN吊车
2 x 2.667
2.确定工字钢型号
A
C 辅助梁
B Mmax A 200l 2.667 266.6kNm
FA
F
x
FB Mmax B 150 2 300kNm
FFxAl l
0
l
令:
FA
Fx l
200kN
x 2.667m
F l x
FB l 150kN
2 x 2.667
x 2m
为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台
200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加
悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力
qL2 8
6 横放
qL2
max
M max WZ
8 hb2
12MPa
6
例题 4.22
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形
截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求
弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
F
max s
例题 4.20
A l2
FL
长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F， 已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，
试求B截面上a、b、c各点的正应力。
F
h6
a
B
C
b
h
l2
h2
c
b
a
M B ya IZ
1 FL h
2 bh3
3
1.65MPa
12
b 0
A
(-) B
拉应力
a
D
E
(+)
10kN*m
e 压应力
M y
Iz
y2 C
y1
压应力 b B截面
d
拉应力
D截面
危险点： a, b, d
（3）计算危险点应力 拉应力
a
校核强度
e 压应力
a
MB y2 Iz
压应力 b
30MPa（拉）
B截面
b
M B y1 Iz
最大压应力：
d
拉应力
许用应力[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才 能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
200kN吊车
150kN吊车 1.确定F加在辅助梁的位置
A FA
C 辅助梁
x F
B MA 0
FB
MB 0
FFBBlFFPlllxx 0
FFAx
16103 96.4 151.1.022MP1a08
B
M Byy IZ
12103 250
18.07MPa
96.4
1.02
例题 4.26 为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台
200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的
附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的
力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试
校核梁的强度是否安全。
y
F
A
B
C
150
BA
50
2F
1400
600
200
12kNm
96.4
z
50
16kNm
A
M Ayl IZ
16103 250 96.4
24.09M1.0P2a108
A
M Ayy IZ
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
正应力计算公式适用范围
M y
Iz
横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立
但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于5（即为细长梁）时
弹性力学指出：上述公式近似成立
截面惯性积 Iyz = 0 推导时用到郑玄-胡克定律，但可用于已屈服的梁截面
max s
9
q15.68kN / m
例题 4.30
简支梁如图所示，试求梁的最底层纤维的总伸长。
q
A
x
dx
B
h
解：
l
b
1、计算梁底层微段的伸长量 (x) M (x)
(x)
M (x) EWZ
1 qlx 1 qx2 22
E bh2
WZ
3q Ebh2
(lx
x2
)
6
(dx)
3q Ebh2
q 30 kN m
A
0.5m
F3A1.9 46.9kN
B
2m
FB 28.1kN
15 3.75
kN
28.1
kNm
WZ
M max
61.2cm3
查表 N0 12.6工字钢 WZ=77.5cm3
13.16
例题 4.25
铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁
的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应
150
A
l 2
B
l 2
M max
FL 4
16kNm
y max
200 50 96.4
153.6mm
y max
96.4mm
50
96.4
z
200
C
50
max
Mymax IZ
24.09MPa
max
Mymax IZ
15.12MPa
例题 4.23
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上 承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯 强度［σ］=215MPa。
B
z
zd 2
d
d
z z
d
2
d
(a)
max (a)
Mz d3
6M z d3
6
d
d
2
2
d
(b)
(c)
Mz
max (b)
2 d .d 2
6M z d3
2
6
Mz
max (c)
2 d d
2
12M d3
z
2
6
弯曲应力例题
1 q=60kN/m 例1 简支梁
A
B 求：（1）1—1截面上1、2两
D
d
FA
3q 4
kN
q
FB
梁的强度
FB
9q 4
kN
A
B
C
Mmax 0.5q
FA
2m
1m
WZ WZ
1q
q WZ 15.68kN / m
2
0.5
杆的强度
9q
9q 32
FNBD
A
4
1 d 2
4
q 1 d 2 22.3kN / m
c
M B yc IZ
1 FL h
2 bh3
2
12
MB
1 2
FL
2.47MPa （压）
IZ
bh3 12
例题 4.21 试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大
正应力，并加以比较。
q 2kN m
200
100
200
4m
100
竖放
qL2
max
M max WZ
8 bh2
6MPa
qx2 ) 2
x1
60kNm
M max qL2 / 8 67.5kNm
x
2 求应力
Iz
bh3 12
5.832105 m4
Wz I z / ymax 6.48104 m3
1
2
M1y Iz
60 60 105 61.7MPa 5.832
1max
平面假设：
变形前杆件的横截面变形后仍
为平面。
中性层
中性轴：
中性层与横截面的交线称 为中性轴。
mn
o1
o2
m
n
中性轴
F
mn
mn
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
mn
dx
z
dBiblioteka Baidu
y
dx
y
F
yd d y
d
E y E
E
FN
dA
A
ydA
[t ] 35MPa, [ c ] 100 MPa
校核梁的强度。
y2 60mm
解： （1）梁的内力分析，找出危险截面
P＝20kN
q=10kN/m
A
B
D
E
包含反力的
35kN
全部外载荷 5kN
20kN*m
A
(-) B
D
E
画弯矩图：
(+)
可省去制表
10kN*m
危险截面： B, D？
（2）找出危险截面上的危险点
M1 Wz
60 104 6.48
92.6MPa
max
M max Wz
67.5 104 6.48
104.2MPa
3 求曲率半径
1
EI z M1
2005.832 10 194.4m 60
例2 外伸梁
q=10kN/m
A
B
P＝20kN
D
E
2m
2m
2m
y2 C
y1
T形梁截面，用铸铁制成， I z 4.0107 mm4, y1 140mm,
点的正应力；
1m
2m
1
（2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力；
12 z
120 y
180 30
（4）已知 E = 200 GPa，
求1—1截面的曲率半径。
1 q=60kN/m
A
1m
2m
1
+
M
qL2
8 M1 Mmax
180 30
12 z
120 y
解：1 画 M 图求有关弯矩
B
M1
( qLx 2
D截面
70MPa（压） cmax b 70MPa [ c ]
d
Md y1 Iz
最大拉应力：
tmax d 35MPa [ t ]
35MPa（拉）
梁的强度符合要求
A
0
M y
zdA
A
E
A
zydA
0
M z
ydA
A
E
A
y 2 dA
EIZ
1 MZ
EIZ
Mzy
Iz
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
M x
max Wz
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
(lx
x2 )dx
2、梁的最底层纤维的总伸长
l
l
(dx)
0
3q Ebh2
(
l 2
x2
l 3
x3)
l 0
ql3 2Ebh2
(x) E (x) (x) (dx)
dx
例题 4.31
承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a） 的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图 （c）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正 应力分别为σmax（a）、 σmax（b）、 σmax（c）。关于三者之间的关系 有四种答案，试判断哪一种是正确的。
l
max
M max B
Wz
WZ
M max B
1.875103cm3
1.875 1.86 100％ 0.8％
1.875
例题 4.27
图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直
径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力[σ] ＝
160MPa 。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷[q]。
( A) max (a) max (b) max (c)； (B) max (a) max (b) max (c)； (C) max (a) max (b) max (c)； (D) max (a) max (b) max (c)。
梁横截面上的正应力.梁的正应力条件
纯弯曲时梁横截面上的正应力
aF
A
C
F
F
a
D
B
F
纯弯曲：梁 受力弯曲后，如 其横截面上只有 弯矩而无剪力， 这种弯曲称为纯 弯曲。
Fa
实验现象： 1、变形前互相平行的纵向直线、
F
F
变形后变成弧线，且凹边纤维缩
mn
短、凸边纤维伸长。
mn
2、变形前垂直于纵向线的横向 线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊 车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
200kN吊车
150kN吊车
2 x 2.667
2.确定工字钢型号
A
C 辅助梁
B Mmax A 200l 2.667 266.6kNm
FA
F
x
FB Mmax B 150 2 300kNm
FFxAl l
0
l
令:
FA
Fx l
200kN
x 2.667m
F l x
FB l 150kN
2 x 2.667
x 2m
为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台
200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加
悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力
qL2 8
6 横放
qL2
max
M max WZ
8 hb2
12MPa
6
例题 4.22
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形
截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求
弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
F
max s
例题 4.20
A l2
FL
长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F， 已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，
试求B截面上a、b、c各点的正应力。
F
h6
a
B
C
b
h
l2
h2
c
b
a
M B ya IZ
1 FL h
2 bh3
3
1.65MPa
12
b 0