《角平分线的判定》同步练习题

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【初中数学】人教版八年级上册第1课时角的平分线的性质(练习题)

人教版八年级上册第1课时角的平分线的性质(348) 1.如图，已知∠1=∠2，BA<BC，P为BN上的一点，PF⊥BC于点F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180∘2.证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，. 求证：．请你补全已知和求证，并写出证明过程．3.如图，已知AD//BC，∠D=90∘．(1)如图①，若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，CD经过点P．试问：P是线段CD的中点吗？为什么？(2)如图②，如果P是DC的中点，BP平分∠ABC，∠CPB=35∘，求∠PAD的度数4.如图OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（）A.PN<3B.PN>3C.PN≥3D.PN≤35.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm6.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长为（）A.3B.4C.6D.57.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于点E，测得BC=9，BE=3，则△BDE的周长是．8.如图，在△ABC中，两条外角平分线交于点P，PM⊥AC交AC的延长线于点M．若PM=6cm，则点P到AB的距离为．9.如图，已知AB//CD，O是∠BAC与∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC于点E，OE=2，则AB与CD之间的距离为．10.如图，已知点B，D分别在∠DAB的两边上，C为∠DAB的内部的一点，且AB=AD，DC=BC，CE⊥AD交AD的延长线于点E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．试判断CE与CF是否相等，并说明理由．11.如图，利用尺规作∠AOB的平分线OC，其作法如下：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点②分别以D，E为圆心，以大于12C；③画射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．这样作图的原理是一种三角形全等的判定方法，这种判定方法是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS12.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C,D，则下列结论错误的是（）A.PC=PDB.∠CPD=∠DOPC.∠CPO=∠DPOD.OC=OD13.求证：直角三角形的两锐角互余14.如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠CAB=50∘，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB,AC于点E,F；EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；②分别以点E,F为圆心，大于12③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A.40∘B.55∘C.65∘D.75∘15.如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径画圆弧，分别交AB，AC于E，EF的长为半径画圆弧，两条圆弧交于点G，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12作射线AG交CD于点H．若∠C=140∘，则∠AHC的大小是（）A.20∘B.25∘C.30∘D.40∘参考答案1.【答案】:证明：如图，过点P 作PE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ． ∵∠1=∠2，PF ⊥BC 于点F ，∴PE =PF ，∠PEA =∠PFC =90∘．在Rt △PEA 与Rt △PFC 中，PA =PC ，PE =PF ，∴Rt △PEA ≌Rt △PFC(HL )，∴∠PAE =∠PCB ．∵∠PAE +∠BAP =180∘，∴∠PCB +∠BAP =180∘．2.【答案】:解：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D,E 求证：PD =PE证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO =∠PEO =90∘．在△PDO 和△PEO 中，{∠PDO =∠PEO ，∠AOC =∠BOC ，OP =OP.∴△PDO ≌△PEO(AAS )，∴PD =PE .3(1)【答案】解：P 是线段CD 的中点．理由如下：如图，过点P 作PE ⊥AB 于点E ．∵AD//BC ，∠D =90∘，∴∠C =180∘−∠D =90∘，即PC ⊥BC ．∵∠DAB 的平分线与∠CBA 的平分线交于点P ，∴PD =PE ，PC =PE ，∴PC=PD，∴P是线段CD的中点.(2)【答案】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E．∵AD//BC，∠D=90∘，∴∠C=180∘−∠D=90∘，即PC⊥BC．在△PBE与△PBC中，{∠PEB=∠C，∠PBE=∠PBC，PB=PB.∴△PBE≌△PBC(AAS)，∴∠EPB=∠CPB=35∘，PE=PC．∵PC=PD，∴PD=PE．在Rt△PAD与Rt△PAE中，{PA=PA，PD=PE∴Rt△PAD≌Rt△PAE(HL)，∴∠APD=∠APE．∵∠APD+∠APE=180∘−2×35∘=110∘，∴∠APD=55∘，∴∠PAD=90∘−∠APD=35∘．4.【答案】:C【解析】:作PM⊥OB于点M．∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，∴PM=PE=3，∴PN≥3. 故选 C5.【答案】:B【解析】:因为BE平分∠ABC，∠ACB=90°，DE⊥AB于点D，所以DE=EC，AE+DE=AE+EC=AC=3cm.故选 B.6.【答案】:A【解析】:如图，过点D作DF⊥AC于点F．∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2.由图可知S△ABC=S△ABD+S△ACD，即12×4×2+12AC×2=7，解得AC=3.故选A．7.【答案】:12【解析】:解：∵∠C=90∘，∴AC⊥CD．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD．∵BC=9，BE=3，∴△BDE的周长=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12.8.【答案】:6cm【解析】:如图，过点P作PN⊥BC于点N，PQ⊥AB,交AB的延长线于点Q．∵PB，PC分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，PM⊥AC,∴PN=PM，PQ=PN，∴PQ=PM．∵PM=6cm，∴PQ=6cm，即点P到AB的距离为6cm．9.【答案】:4【解析】:如图，过点O作MN，使MN⊥AB于M，交CD于N．∵AB//CD，∴MN⊥CD．∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=2，∴OM=OE=2.∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，∴ON=OE=2，∴MN=OM+ON=4，即AB与CD之间的距离是4.10.【答案】:解：CE=CF．理由：∵AD=AB，DC=BC，AC=AC，∴△ACD≌△ACB，∴∠DAC=∠BAC，∴AC为∠EAF的平分线．∵CE⊥AE，CF⊥AF，∴CE=CF(角平分线上的点到角两边的距离相等).11.【答案】:A12.【答案】:B【解析】:∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，∴PC=PD，故A项正确．在Rt△OCP与Rt△ODP中，∵OP=OP,PC=PD,∴Rt△OCP≌Rt△ODP，∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C，D两项正确．不能得出∠CPD=∠DOP，故B项错误．故选B13.【答案】:已知：在△ABC中，∠C=90∘．求证：∠A+∠B=90∘．证明：∵∠A+∠B+∠C=180∘，而∠C=90∘，∴∠A+∠B=90∘，即∠A与∠B互余.14.【答案】:C【解析】:根据作图方法可得AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB=50∘，∠CAB=25∘，∴∠CAD=12∵∠C=90∘，∴∠CDA=90∘−25∘=65∘.故选C.15.【答案】:A【解析】:解：由题意可得AH平分∠CAB．∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180∘，∠HAB=∠AHC．∵∠ACD=140∘，∴∠CAB=40∘．∵AH平分∠CAB，∴∠HAB=20∘，∴∠AHC=20∘.。

八年级数学上册第12章精选《课时2_角的平分线的判定》知识点训练(基础)(人教版)

《课时2 角的平分线的判定》基础训练知识点1 角的平分线的判定1.如图，PC⊥OA，PD⊥OB，当PC=PD时，Rt△OPC≌Rt△_____________（___________）,∴∠POC=∠_________.2.如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中：①∠AOC=∠BOC；②PD=PE；③OD=OE；④∠DPO=∠EPO，能判定OC是∠AOB的平分线的有____________.3.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D.若QC=QD，则∠AOQ=____________.4.如图，BE=CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠BAC的平分线5.（教材P51习题T3变式）如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：（1）当∠1=∠2时，OB=OC；（2）当OB=OC时，∠1=∠2.知识点2 三角形的角平分线6.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（）A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点C.三条高的交点D.以上均不对7.如图，点O到三边的距离相等，∠ABC=84°，则∠AOC=___________.知识点3 角的平分线的实际应用8.如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，若在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置9.【关注社会生活】如图所示，直线1，2，3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，请用尺规作图找出符合实际要求的点参考答案1.OPD HL POD2.①②③④3.354.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠DFC=90°在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.∴DE =DF.∴AD是∠BAC的平分线5.证明：（1）∵∠1=∠2，OD⊥AB，OE⊥AC，∴OE=OD，∠ODB=∠OEC=90在△BOD和△COE∴△BOD≌△COE（ASA）.∴OB=OC.（2）在△BOD和△COE∴△BOD≌△COE（AAS）.∴OD=OE.又∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AO平分∠BAC，即∠1=∠26.B7.132°8.解：图略.提示：∠AOB的平分线与AB的交点即为点M的位置9.解：在A，B，C，D四个区域各有一个点，图略。

角平分线的性质定理和判定经典习题

角平分线的性质定理和判1.已知：在等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C=90°， AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，AB=15cm ，（1）求证：BD+DE=AC ．（2）求△DBE 的周长．2. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 中点， DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB ．3. 如图，已知△ABC 的周长是22，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD=3，△ABC 的面积是多少？4.已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．5. 如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点， PF ⊥BC 于F ，PA=PC ，求证：∠PCB+∠BAP=180º21NPF CBA7.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD、AB、AD间有什么关系？直接写出结果8.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．9.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．9.如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．10.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。

求证：AF为∠BAC的平分线。

11．已知：AD 是△ABC 角平分线，DE ⊥AB ， DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，证：∠B ＝∠C.12．如图，已知在△ABC 中，90C ∠=，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ⊥ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC ∠．13.如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .14.如图，在∠AOB 的两边OA ，OB 上分别取OM=ON ， OD=OE ，DN 和EM 相交于点C ．求证：点C 在∠AOB 的平分线上．ＢＤＥAFCDEB。

七年级数学下册《第十二章全等三角形-角的平分线的性质》练习题

七年级数学下册《第十二章全等三角形-角的平分线的性质》练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________一、填空题1．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且1CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是______．2．如图，点P 在AOB ∠内，因为PM OA ⊥，PN OB ⊥，垂足分别是M 、N ，PM PN =，所以OP 平分AOB ∠，理由是______．3．如图，ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，将ABC 分成三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S 等于__________．4．如图所示，点O 在一块直角三角板ABC 上（其中30ABC ∠=︒），OM AB ⊥于点M ，ON BC ⊥于点N ，若OM ON =，则ABO ∠=_________度．5．如图，BE、CF都是ABC的角平分线，且110∠=︒，则ABDC∠=___________．二、单选题6．如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOE≅FOE，你认为要添加的那个条件是（）A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE<，将ABC以点A为中心逆时针旋转得到ADE，点D在BC边上，DE交7．如图，在ABC∆中，AB AC∠=∠，其中所有正确结论的AC于点F．下列结论：∠AFE DFC△△；∠DA平分BDE∠；∠CDF BAD序号是（）A．∠∠B．∠∠C．∠∠D．∠∠∠8．如图，三条公路两两相交，现计划在∠ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是∠ABC（）的交点．A．三条角平分线B．三条中线C ．三条高的交点D ．三条垂直平分线9．如图，Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，AB ＝10，S △ABD ＝15，则CD 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．5三、解答题10．已知40AOB ∠=︒．(1)用直尺和圆规作出AOB ∠的平分线OD （不写作法，但保留作图痕迹，写出结论）；(2)已知AOB ∠与BOC ∠互为补角，画出符合条件的所有可能的图形，并求出COD ∠的度数．11．如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，一段圆弧经过网格的格点A 、B 、C ．(1)请完成如下操作：∠以点O 为原点，竖直和水平方向所在的直线为坐标轴，小正方形的边长为单位长，建立平面直角坐标系； ∠用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置，不写作法，保留作图痕迹，并连接AD 、CD ．(2)请在（1）的基础上，解答下列问题：∠写出点的坐标：C ______、D ______；∠D 的半径为______（结果保留根号）；∠若扇形DAC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面积为______（结果保留π）；∠若点E 的坐标为()7,0，试判断直线EC 与D 的位置关系，并说明理由．12．如图，已知AOC BOC ∠=∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．求证：OPD OPE ≌．13．如图，∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，若点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A －C －B －A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．(1)若点P 在AC 上，且满足P A ＝PB 时，求此时t 的值；(2)若点P 恰好在∠BAC 的平分线上，求t 的值．14．如图，在∠ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD ＝CD ，DE ∠AB ，DF ∠AC ，垂足分别为E 、F ，求证：AB ＝AC参考答案：1．1【分析】过点C 作CE ∠OB 于点E ，根据角平分线的性质解答即可．【详解】解：过点C 作CE ∠OB 于点E ，∠点C 在∠AOB 的平分线上，CD ∠OA 于点D ，且CD ＝1，∠CE ＝CD ＝1，即CE 长度的最小值是1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．2．角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上【分析】根据角平分线判定定理即可得到结果．【详解】解：∠PM∠OA ，PN∠OB ，PM=PN∠OP 平分∠AOB （在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）故答案为：角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上．【点睛】本题考查角平分线判定定理，掌握角平分线判定定理的内容是解题的关键．3．2：3：4【分析】过点O 分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案．【详解】解：过点O 分别向BC 、BA 、AC 作垂线段交于D 、E 、F 三点．∠CO 、BO 、AO 分别平分、、ACB CBA BAC ∠∠∠∠OD OE OF == ∠12ABO SAB OE =，12△BCO S BC OD =，12△CAO S AC OF = ∠::::10:15:202:3:4ABO BCO CAO S S S AB BC AC ===故答案为：2：3：4【点睛】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键．4．15【分析】根据ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =判断OB 是ABC ∠的角平分线，即可求解．【详解】解：由题意，ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =，即点O 到BC 、AB 的距离相等，∠ OB 是ABC ∠的角平分线，∠ 30ABC ∠=︒， ∠1152ABO ABC ∠=∠=︒．故答案为：15．【点睛】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．5．40°##40度【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．【详解】解：∠BE 、CF 都是∠ABC 的角平分线，∠∠A ＝180°−（∠ABC ＋∠ACB ），＝180°−2（∠DBC ＋∠BCD ）∠∠BDC ＝180°−（∠DBC ＋∠BCD ），∠∠A ＝180°−2（180°−∠BDC ）∠∠BDC ＝90°＋12∠A ，∠∠A ＝2（110°−90°）＝40°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键．6．D【分析】根据OB 平分∠AOC 得∠AOB =∠BOC ，又因为OE 是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．【详解】解：∠OB 平分∠AOC∠∠AOB =∠BOC当∠DOE ∠∠FOE 时，可得以下结论：OD =OF ，DE =EF ，∠ODE =∠OFE ，∠OED =∠OEF ．A 答案中OD 与OE 不是∠DOE ∠∠FOE 的对应边，A 不正确；B 答案中OE 与OF 不是∠DOE ∠∠FOE 的对应边，B 不正确；C 答案中，∠ODE 与∠OED 不是∠DOE ∠∠FOE 的对应角，C 不正确；D 答案中，若∠ODE =∠OFE ，在∠DOE 和∠FOE 中，DOE FOE OE OEODE OFE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∠∠DOE ∠∠FOE （AAS ）∠D 答案正确．故选：D ．【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．7．D【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∠将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，∠ADE ABC ≌，E C ∴∠=∠，AFE DFC ∠=∠，∴AFE DFC △△，故∠正确；ADE ABC ≌，AB AD ∴=，ABD ADB ∴∠=∠，ADE ABC ∠=∠，ADB ADE ∴∠=∠，∴DA 平分BDE ∠，故∠正确；ADE ABC ≌，BAC DAE ∴∠=∠，BAD CAE ∴∠=∠，AFE DFC△△，CAE CDF∴∠=∠，CDF BAD∠=∠∴，故∠正确故选D【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．8．A【分析】根据角平分线的性质即可得到探照灯的位置在角平分线的交点处，即可得到结论．【详解】解：∠探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，∠探照灯位置是∠ABC的三条角平分线上，故选：A．【点睛】此题考查了角平分线的性质，数据角平分线的性质定理是解题的关键．9．B【分析】过点D作DE∠AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用∠ABD 的面积列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点D作DE∠AB于E，∠∠C＝90°，AD平分∠BAC，∠DE＝CD，∠S△ABD＝12AB•DE＝12×10•DE＝15，解得：DE＝3，∠CD＝3.故选：B.【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．10．(1)见解析(2)图见解析，60°或120°【分析】（1 ）根据角平分线的定义作出图形即可；（2）分两种情形，分别画出图形求解即可．（1）解：如图，射线OD即为所求．（2）解：如图，∠BOC与∠AOB、∠BOC'与∠AOB都互为补角，∠∠AOB=40°，且OD平分∠AOB，∠∠BOC=140°，∠BOC'=140°，∠AOD=∠BOD=12∠AOB=20°，当射线OA在∠BOC的外侧时，∠COD=∠BOC+∠BOD=140°+20°=160°；当射线OA在∠BOC'内部时，∠C'OD=∠BOC'-∠BOD=140°-20°=120°．综上，∠COD的度数为60°或120°．【点睛】本题考查作图复杂作图，角平分线的定义，补角的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．11．(1)答案见详解(2)∠62（，）；20（，）；∠∠54π；∠相切，理由见详解【分析】（1）∠根据叙述，利用正方形的网格即可作出坐标轴；∠利用过三点的圆可得圆心为圆上任意两条弦的垂直平分线的交点，即可得到D ．（2）∠利用（1）中所作的坐标系，即可表示出点的坐标；∠在Rt OAD 中，利用勾股定理即可求得半径长；∠理由直角三角形全等可证得∠ADC =90°，则可求得AC 的长度，AC 的长就是圆锥的底面圆的周长，在利用圆的周长公式即可求得答案；∠利用勾股定理逆定理证明DCE 为直角三角形即可证得DC CE ⊥，从而即可得出结论．（1）∠如图，建立平面直角坐标系；∠利用过三点的圆可得圆心为圆上任意两条弦的垂直平分线的交点，即可得到D ，如图所示：（2）∠根据平面直角坐标系可得C （6，2）；D （2，0）；故答案为：C （6，2）；D （2，0）；∠在Rt AOD △中，90AOD ∠=︒,4AO =，2OD =，AD =故答案为：∠由∠得AD =在Rt DCF △中，90DFC ∠=︒，4DF =，2CF =，DC ∴在Rt AOD △和Rt DFC 中，AD DC OA DF=⎧⎨=⎩， ()Rt AOD Rt DFC HL ≅，DAO CDF ∴∠=∠，90DAO ADO ∠+∠=︒，90CDF ADO ∴∠+∠=︒，18090ADC ADO CDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，AC ∴==，由2r π=，解得r =2254S r πππ∴===⎝⎭， ∴该圆锥的底面积为54π，故答案为：54π． ∠直线EC 与D 相切，由图可知，在Rt CEF 中，90CFE ∠=︒，1EF =，2CF =，22222125CE EF CF ∴=+=+=，又由∠得DC =2220DC ==，2220525DC CE +=+=，22525DE ==，222DC CE DE ∴+=，∴DCE 为直角三角形，90DCE ∠=︒，DC CE ∴⊥，∴直线EC 与D 相切．【点睛】本题考查了不共线的三点确定圆心的方法、直线与圆相切的判定、根据平面直角坐标系写出点的坐标、勾股定理和圆锥的侧面展开图的弧长即为圆锥的底面圆的周长，垂径定理，圆锥的计算，正确求出弧长是难点．12．见解析【分析】根据角平分线的性质得PD PE =，再用HL 证明OPD OPE ≌．【详解】证明：∠AOC BOC ∠=∠，∠OC 为AOB ∠的角平分线，又∠点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，∠PD PE =，90PDO PEO ∠=∠=︒，又∠PO PO =（公共边），∠()HL OPD OPE ≌．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键． 13．(1)254 (2)323【分析】（1）连接PB ，在Rt ∠ABC 中，根据勾股定理得AC =6，由于AP ＝PB ＝t ，则PC ＝8-t ，在Rt ∠PCB 中，根据勾股定理得222PC BC PB +=，进行计算即可得；（2）由题意得，PC ＝t -8 ， PB ＝14-t ，过点P 作PE ∠AB ，由于AP 平分∠BAC ，且∠ACB ＝90°得PC ＝PE ，根据HL 得Rt ∠ACP ∠Rt ∠AEP ，即可得AC ＝AE ＝8， BE ＝2，在 Rt ∠PEB 中，根据勾股定理得222PE BE PB +=，进行计算即可得．（1）解：如图所示，连接PB ，∠在Rt ∠ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，∠8AC =由于AP ＝PB ＝t ，则PC ＝8-t ，在Rt ∠PCB 中，根据勾股定理得：222PC BC PB +=222(8)6t t -+= 解得254t =，即此时t 的值为254．（2）解：由题意得，PC ＝t -8 ， PB ＝14-t ，如图所示，过点P 作PE ∠AB ，由于AP 平分∠BAC ，且∠ACB ＝90°，∠ PC ＝PE ，在Rt ∠ACP 与Rt ∠AEP 中，PC PE AP AP =⎧⎨=⎩∠Rt ∠ACP ∠Rt ∠AEP （HL ），∠AC ＝AE ＝8， BE ＝2，在 Rt ∠PEB 中，根据勾股定理得，222PE BE PB +=，222(8)2(14)t t -+=- 解得：323t =， ∠当点P 在∠BAC 的平分线上时，t 的值为323．【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握这些知识点．14．证明见解析【分析】根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt∠BDE≅Rt∠CDF(HL)，根据全等三角形的性质得到结论．【详解】证明：∠AD是∠ABC的角平分线又∠DE∠AB于E，DF∠AC于F∠DE=DF，∠BED=∠CFD=90°又∠BD=CD∠Rt∠BED∠Rt∠CFD（HL）∠∠B=∠C∠AB=AC．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明．。

苏科版八年级数学上册《角平分线的判定》同步测试题-附答案

苏科版八年级数学上册《角平分线的判定》同步测试题-附答案一、单选题1．如图，已知点P 在射线BD 上PA AB PC BC ⊥⊥，，垂足分别为A ，C ，且PA PC =，则下列结论错误的是（）A ．AD CP =B ．点D 在ABC ∠的平分线上 C ．ABD CBD ≌△△ D ．ADB CDB ∠=∠2．已知，如图，OC 是AOB ∠内部的一条射线，P 是射线OC 上任意点PD OA PE OB ⊥⊥，，下列条件中：①AOC BOC ∠=∠，①PD PE =，①OD OE =，①DPO EPO ∠=∠，能判定OC 是AOB ∠的角平分线的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在Rt ABC △中90C ∠=︒，点D 在BC 上，连接AD ，::ACD ABD S S AC AB =△△若54B ∠=︒，则BAD ∠的度数为（）A ．20︒B ．16︒C ．18︒D ．36︒4．在ABC 中，点O 是ABC 内一点，且点O 到ABC 三边的距离相等．若40A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒二、填空题5．如图，已知点O 是BAC ∠内一点，且点O 到AC 、AB 的距离OE OF =，70EOA =︒∠则BAC ∠= ．6．如图，O 是ABC 内一点，且点O 到ABC 三边AB ，BC ，CA 的距离OE ，OD ，OF 相等，若50A ∠=︒，则BOC ∠= ．7．如图，在Rt ABC △中90C ∠=︒，点I 到Rt ABC △三边的距离相等，则AIB ∠的度数为．8．如图，ACD ∠是ABC 的外角42BEC ∠=︒，ABC ∠和ACD ∠的平分线相交于点E ，连接AE ，则CAE ∠的度数是．三、解答题9．如图，锐角ABC 的两条高BD 、CE 相交于点O ，且CE BD =．(1)求证：OB OC =；(2)判断点O 是否在BAC ∠的角平分线上，并说明理由．10．如图，DE ①AB 于E ，DF ①AC 于F ，若BD ＝CD 、BE ＝CF ．（1）求证：AD 平分①BAC ；（2）已知AC ＝13，BE ＝2，求AB 的长．11．如图ABC ，ABC ∠的平分线与ACB 的外角平分线交于点D ，过点D 作DE BC ⊥于E ．(1)如图1，若68BAC ∠=︒，求BDC ∠的度数．(2)如图2，连AD ，求证：AD 平分CAM ∠．(3)如图3，若ABC 周长为20，求BE 的长．参考答案1．A【分析】该题主要考查了角平分线判定和全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等．根据PA PC =得出点D 在ABC ∠的平分线上，再证明PAB PCB ≌和ABD CBD ≌△△即可证明．【详解】解：①PA AB PC BC PA PC ⊥⊥=，，①90PAB PCB BP ∠=∠=︒，是ABC ∠的角平分线①点D 在ABC ∠的平分线上，故B 正确在Rt PAB 和Rt PCB 中PA PC PB PB ==，①()Rt PAB Rt PCB HL ≌①ABP CBP AB BC ∠=∠=，在ABD △和CBD △中 BD BD ABD CBD AB BC =∠=∠=，，①()ABD CBD SAS ≌，故C 正确①ADB BDC ∠=∠，故D 正确．故选：A ．2．D【分析】本题考查了角平分线的判定、全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定、全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据角平分线的定义可判断①的正误；由角平分线的判定定理可判断①的正误；证明()Rt Rt HL POD POE ≌可判断①的正误；证明()AAS POD POE ≌△△，可判断①的正误．【详解】解：①AOC BOC ∠=∠①OC 是AOB ∠的角平分线，故①符合要求；①PD OA PE OB ⊥⊥， PD PE =①OC 是AOB ∠的角平分线，故①符合题意；①OP OP = OD OE =①()Rt Rt HL POD POE ≌①AOC BOC ∠=∠①OC 是AOB ∠的角平分线，故①符合要求；①DPO EPO ∠=∠ 90PDO PEO ∠=∠=︒ OP OP =①()AAS POD POE ≌△△ ①AOC BOC ∠=∠①OC 是AOB ∠的角平分线，故①符合要求；故选：D ．3．C【分析】本题考查了角平分线的判定以及三角形的内角和性质，根据1122ACD ABD S AC CD S AB DH =⨯=⨯，△△，以及::ACD ABD S S AC AB =△△，得出CD DH =，证明AD 是CAB ∠的角平分线，结合90C ∠=︒ 54B ∠=︒ 得出180905436CAB ∠=︒-︒-︒=︒，即可作答．【详解】解：如图：过点D 作DH AB ⊥①90C ∠=︒ ①1122ACD ABD S AC CD S AB DH =⨯=⨯，△△ ①::ACD ABD S S AC AB =△△①CD DH =①AD 是CAB ∠的角平分线 ①12BAD CAB ∠=∠ ①90C ∠=︒ 54B ∠=︒①180905436CAB ∠=︒-︒-︒=︒①BAD ∠的度数为18︒故选：C ．4．A【分析】本题考查了角平分线的判定定理，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可推出O 是ABC 三条角平分线的交点，即BO 是ABC ∠的角平分线，CO 是ACB ∠的角平分线，再利用三角形内角和定理即可求出BOC ∠的度数．【详解】O 到ABC 三边的距离相等O ∴是三条角平分线的交点∴BO 是ABC ∠的角平分线，CO 是ACB ∠角平分线 ∴12CBO ABO ABC ∠=∠=∠ 12BCO ACO ACB ∠=∠=∠ 40A ∠=︒∴180********ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒ ∴11()1407022CBO BCO ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒∴18070110BOC ∠=︒-︒=︒故选：A ．5．40/40度【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的判定与性质，由三角形内角和定理得出20OAE ∠=︒，再由角平分线的判定定理得出OA 平分BAC ∠，最后由角平分线的定义即可得出答案．【详解】解：由题意得：OE AB ⊥ OF AC ⊥①90OEA ∠=︒①70EOA =︒∠①9020OAE EOA ∠=︒-∠=︒①点O 到AC 、AB 的距离OE OF =①OA 平分BAC ∠①240BAC OAE ∠=∠=︒故答案为：40︒．6．115︒/115度【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质．根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O 是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出ABC ACB ∠+∠，然后求出OBC OCB ∠+∠，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：O 到三边AB 、BC 、CA 的距离==OF OD OE∴点O 是三角形三条角平分线的交点50A ∠=︒180130ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠︒=︒11()1306522OBC OCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+⨯︒∠==︒ 在OBC △中180()18065115BOC OBC OCB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．故答案为：115︒．7．135︒/135度【分析】本题考查角平分线的判定，根据点I 到Rt ABC △三边的距离相等，得出点I 在ABC 的角平分线上，即可得解．解题的关键是掌握：到角两边距离相等的点在角的平分线上．【详解】解：①点I 到Rt ABC △三边的距离相等①点I 在ABC 的角平分线上，即AI 与BI 都是ABC 的角平分线①12IAB CAB ∠=∠ 12IBA CBA ∠=∠ ①90C ∠=︒①90CAB CBA ∠+∠=︒ ①()11904522IAB IBA CAB CBA ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ ①()180********AIB IAB IBA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒①AIB ∠的度数为135︒．故答案为：135︒．8．48︒/48度【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义列式并整理得到2BAC BEC ，过点E 作EF BA ⊥交延长线于F ，作EG AC ⊥于G ，作EH BD ⊥于H ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得EF FH EG EH ==，，然后求出EF EG =，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AE 是CAF ∠的平分线，再根据角平分线的定义解答即可．【详解】解：①ABC ∠和ACD ∠的角平分线相交于点E①11,22CBE ABC ECD ACD ∠=∠∠=∠ 由三角形的外角性质得ACD ABC BAC ∠=∠+∠ECD BEC CBE ∠=∠+∠ ①1122ACD BEC ABC ∠=∠+∠ ①11()22ABC BAC BEC ABC ∠+∠=∠+∠ 整理得2BAC BEC①42BEC ∠=︒①84BAC ∠=︒过点E 作EF BA ⊥交延长线于F ，作EG AC ⊥于G ，作EH BD ⊥于H①BE 平分ABC ∠①EF EH =①CE 平分ACD ∠①EG EH =①EF EG =①AE 是CAF ∠的平分线①11(180)(18084)4822CAE BAC ∠=︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：48︒．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质定理与角平分线的判定定理，难点在于作辅助线并判断出AE 是ABC 外角的平分线．9．(1)证明见解析；(2)O 在BAC ∠的角平分线上，理由见解析．【分析】（1）由BD AC ⊥ CE AB ⊥ 得90BDA CEA ∠=∠=︒，再证明()AAS BDA CEA ≌，根据相似三角形的性质和角度和差得BCE CBD ∠=∠即可求证；（2）连接OA ，由（1）得OB OC =，根据线段和差得OE OD ，根据角平分线的判定即可求解；本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，等角对等边，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）证明：①BD AC ⊥ CE AB ⊥①90BDA CEA ∠=∠=︒在BAD 和CAE 中90A A BDA CEA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩①()AAS BDA CEA ≌①AB AC = ABD ACE ∠=∠①A ABC CB =∠∠①ABC ABD ACB ACE ∠-∠=∠-∠，即BCE CBD ∠=∠①OB OC =；（2）解：O 在BAC ∠的角平分线上，理由：连接OA由（1）得OB OC =①CE BD =①-=-CE OC BD OB ，即OE OD①BD AC ⊥ CE AB ⊥①点O 在BAC ∠的平分线上．10．（1）见解析；（2）AB =9【分析】（1）求出①E =①DFC =90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt ①BED ①Rt ①CFD ，推出DE =DF ，根据角平分线性质得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出AE =AF ，由线段的和差关系求出答案．【详解】（1）证明：①DE ①AB ，DF ①AC①①E =①DFC =90°①BD ＝CD 、BE ＝CF①Rt ①BDE ① Rt ①CDF①DE =DF又①DE ①AB ，DF ①AC①AD 平分①BAC ；（2）解：①Rt ①BDE ① Rt ①CDF①CF =BE =2① AF =AC -FC =13-2=11在Rt ①ADE 与 Rt ①ADF 中①AD =AD ，DE =DF①Rt ①ADE ①Rt ①ADF①AE =AF =11① AB =AE -BE =11-2=9．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，全等三角形的对应边相等，对应角相等．11．(1)34BDC ∠=︒(2)见解析(3)10BE =【分析】（1）根据角平分的定义，和三角形外角定理即可求解（2）作辅助线，根据角平分线的性质与判定，即可求解（3）由Rt Rt ADO ADP ≌可得AP AQ =，同理BP BE =，CQ CE =即可通过等量代换，求出BE 的长本题考查了，三角形外角定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，解题的关键是：熟练应用角平分线的性质，作出辅助线．【详解】（1）解：①ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线交于点DABD CBD ∴∠=∠ ACD DCN ∠=∠68BAC ∠=︒68ACN ABC BAC ∴∠-∠=∠=︒11683422DCN CBD BAC ∴∠-∠=∠=⨯︒=︒ BDC DCN CBD ∠=∠-∠34BDC ∴∠=︒故答案为：34BDC ∠=︒（2）解：如图2，过点D 作DP AB ⊥的延长线于P ，DQ AC ⊥于QDE BC ⊥，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACE ∠DP DE DQ DE =DP DQ ∴=AD ∴平分CAM ∠（3）解：如图2，由（2）知：DP DQ =第 11 页共 11 页在Rt ADQ △和Rt ADP 中 DP DQAD AD =⎧⎨=⎩()Rt Rt HL ADO ADP ≌ ∴=AP AQ同理得：BP BE = CQ CE = ABC ∴的周长20AB BC AC =++= 20AB BC AP CE ∴+++= AB AP BC CE +=+ 10BC CE ∴+=，即：10BE = 故答案为：10BE =．。

人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步练习解析版

人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步练习一．选择题（共11小题）1．下列作图属于尺规作图的是（）A．画线段MN＝3cmB．用量角器画出∠AOB的平分线C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α2．如图△ABC中，∠ACB＝90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE＝1.5cm，BD＝3cm，则BC＝（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，CD＝4，则点D到AB的距离是（）A．4B．2C．3D．64．如图，AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，则下列结论不正确的是（）A．EF＝EB B．AF＝AB C．AE＝CE D．∠AEF＝∠AEB 5．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD＝OE D．不能确定6．如图，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC＝PD，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．不能确定7．如图所示，点D在∠AOB的内部，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别为E，F，DE＝DF，则∠AOD与∠BOD的大小关系是（）A．∠AOD＞∠BOD B．∠AOD＝∠BOD C．∠AOD＜∠BOD D．无法确定8．下列关于三角形角平分线的说法错误的是（）A．两角平分线交点在三角形内B．两角平分线交点在第三个角的平分线上C．两角平分线交点到三边距离相等D．两角平分线交点到三顶点距离相等9．给出下列结论，正确的有（）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题．A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：①∵OC平分∠AOB，∴PD＝PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．如图所示，PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则下列结论中错误的是（）A．∠DOP＝∠EOP B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OD二．填空题（共8小题）12．如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线性质，填空：（1）若∠1＝∠2，则＝；（2）若∠3＝∠4，则＝．13．点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为6，则点M到OB的距离为．14．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB予点N，且PM＝2cm，则PN＝cm．15．如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．则下列结论：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线．若BC＝5，BD＝2，则点D到边AB 的距离为．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝3cm，BD＝5cm，则BC＝cm．18．（1）如图，已知∠1＝∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则DE DF．（2）已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，则∠1∠2．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，BC＝12，点O为∠CAB和∠CBA的平分线的交点，则OP＝．三．解答题（共9小题）20．如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和直线CD的距离相等．21．如图，△ABC中，∠C＝90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝CF，求证：（1）DE＝DC；（2）BD＝DF．22．如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．23．如图，E是∠APB内的一点，CE⊥P A于点C，ED⊥PB于点D，CE＝ED，点F在P A 上，∠APB＝60°，∠PEF＝15°．求∠CFE的度数．24．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．25．△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，求D到AB的距离．26．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90，AB＝18，BC＝12，求DE 的长．27．如图，若S△ABD：S△ACD＝AB：AC，求证：AD平分∠BAC．28．已知：如图所示，AQ，BM，CN是△ABC的三条角平分线．试说明AQ，BM，CN交于一点．参考答案一．选择题（共11小题）1．下列作图属于尺规作图的是（）A．画线段MN＝3cmB．用量角器画出∠AOB的平分线C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α【解答】解：A、画线段MN＝3cm，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；B、用量角器画出∠AOB的平分线，量角器不在尺规作图的工具里，错误；C、用三角尺作过点A垂直于直线L的直线，三角尺也不在作图工具里，错误；D、正确．故选：D．2．如图△ABC中，∠ACB＝90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE＝1.5cm，BD＝3cm，则BC＝（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴DE＝DC＝1.5cm，∵BD＝3cm，∴BC＝BD+DC＝3cm+1.5cm＝4.5cm，故选：D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，CD＝4，则点D到AB的距离是（）A．4B．2C．3D．6【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∵CD＝4，∴DE＝4．故选：A．4．如图，AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，则下列结论不正确的是（）A．EF＝EB B．AF＝AB C．AE＝CE D．∠AEF＝∠AEB 【解答】解：∵AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，∴EF＝EB，在Rt△ABE和Rt△AFE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），∴AF＝AB，∠AEF＝∠AEB，∴结论不正确的是AE＝CE．故选：C．5．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD＝OE D．不能确定【解答】解：如图，连接AO，∵∠B、∠C的角平分线交于点0，∴AO平分∠BAC，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD＝OE．故选：C．6．如图，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC＝PD，则（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．不能确定【解答】解：∵PC⊥OC，PD⊥OD，PC＝PD，∴P在∠COD的角平分线上，即∠1＝∠2，故选：B．7．如图所示，点D在∠AOB的内部，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别为E，F，DE＝DF，则∠AOD与∠BOD的大小关系是（）A．∠AOD＞∠BOD B．∠AOD＝∠BOD C．∠AOD＜∠BOD D．无法确定【解答】解：∵DE⊥OA，DF⊥OB，DE＝DF，∴点D在∠AOB的平分线上，∴∠AOD＝∠BOD．故选：B．8．下列关于三角形角平分线的说法错误的是（）A．两角平分线交点在三角形内B．两角平分线交点在第三个角的平分线上C．两角平分线交点到三边距离相等D．两角平分线交点到三顶点距离相等【解答】解：A、两角平分线交点在三角形内，正确；B、两角平分线交点在第三个角的平分线上，正确；C、根据角平分线的性质，两角平分线交点到三边距离相等，正确；D、根据角平分线的性质，两角平分线交点到三边距离相等，不是到三顶点距离相等，故本选项错误．故选：D．9．给出下列结论，正确的有（）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①根据角平分线性质的逆定理，在角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，故本选项错误；②角平分线是射线，三角形的角平分线是线段，故本选项错误；③任何一个命题都有逆命题，正确；④假命题的逆命题不一定是假命题，如：假命题“相等的两个角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，故本选项错误．故选：A．10．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：①∵OC平分∠AOB，∴PD＝PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE．故选：B．11．如图所示，PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则下列结论中错误的是（）A．∠DOP＝∠EOP B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OD【解答】解：A、根据HL可求得Rt△POE≌Rt△POD，∴∠DOP＝∠EOP，故正确；B、OD＝OE，正确；C、DPO＝∠EPO，正确；D、错误．故选：D．二．填空题（共8小题）12．如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线性质，填空：（1）若∠1＝∠2，则BC＝DC；（2）若∠3＝∠4，则AB＝AD．【解答】解：（1）若∠1＝∠2，则BC＝DC；（2）若∠3＝∠4，则AB＝AD．故答案为：BC，DC；AB，AD．13．点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为6，则点M到OB的距离为6．【解答】解：∵点M在∠AOB的平分线上，点M到OA的距离为6，∴点M到OB的距离＝6．故答案为：6．14．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB予点N，且PM＝2cm，则PN＝2cm．【解答】解：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM ＝2cm，∴PN＝PM＝2cm．故答案为：2．15．如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．则下列结论：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有①②．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△ADE与Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴∠ADF＝∠ADE，AE＝AF，∴DA平分∠EDF；故①②正确，∵无法判定AD⊥BC且平分BC，∴AD上的点到B，C两点的距离相等错误，∵图中只有1对全等三角形，故③④错误．故答案为：①②．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线．若BC＝5，BD＝2，则点D到边AB 的距离为3．【解答】解：过D作DE⊥AB，∵BC＝5，BD＝2，∴CD＝5﹣2＝3，∵AD为角平分线，∴CD＝DE＝3，故答案为：3．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝3cm，BD＝5cm，则BC＝8cm．【解答】解：∵∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∴CD＝DE，∵DE＝3cm，BD＝5cm，∴BC＝CD+BD＝3+5＝8cm．故答案为：8．18．（1）如图，已知∠1＝∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则DE＝DF．（2）已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，则∠1＝∠2．【解答】解：（1）∵已知∠1＝∠2∴AD为∠BAC的平分线又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴由角平分线性质得DE＝DF．（2）∵已知DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE，DF为点D到角两边的距离．又∵DE＝DF，∴由角平分线性质知AD为角平分线．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，BC＝12，点O为∠CAB和∠CBA的平分线的交点，则OP＝2．【解答】解：作OE⊥BC，OF⊥AC，∴∠C＝∠CFO＝∠OEC＝90°，∴四边形CFOE是矩形；∵∠CAB，∠CBA的平分线相交于点O，OE⊥BC，OF⊥AC，OP⊥AB，∴OE＝OP＝OF，∴四边形CFOE是正方形，设OE＝OP＝OF＝x，则AP＝AF＝5﹣x，BP＝BE＝12﹣x，∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，∴OP＝OE＝2．故答案为2．三．解答题（共9小题）20．如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和直线CD的距离相等．【解答】解：点P如图所示．21．如图，△ABC中，∠C＝90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝CF，求证：（1）DE＝DC；（2）BD＝DF．【解答】证明：（1）∵∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DC；（2）在△BDE和△FDC中，，∴△BDE≌△FDC（SAS），∴BD＝DF．22．如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．【解答】证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF，在Rt△CDE和Rt△CDF中，，∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），∴CE＝CF．23．如图，E是∠APB内的一点，CE⊥P A于点C，ED⊥PB于点D，CE＝ED，点F在P A 上，∠APB＝60°，∠PEF＝15°．求∠CFE的度数．【解答】解：∵CE⊥P A，ED⊥PB，CE＝ED，∴∠APE＝∠APB＝×60°＝30°，在△PEF中，∠CFE＝∠APE+∠PEF＝30°+15°＝45°．24．∠B＝∠C＝90°，EB＝EC，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB平分线．【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵DE平分∠ADC，∠C＝90°，∴EC＝EF，∵EB＝EC，∴EF＝BE，又∵∠B＝90°，∴AE是∠DAB平分线．25．△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，求D到AB的距离．【解答】解：∵BD：DC＝9：7，BC＝64，∴CD＝＝28，∵AD为角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝28．答：D到AB的距离为28．26．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90，AB＝18，BC＝12，求DE 的长．【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，∴S△ABC＝AB•DE+BC•DF＝90，即×18•DE+×12•DE＝90，解得DE＝6．27．如图，若S△ABD：S△ACD＝AB：AC，求证：AD平分∠BAC．【解答】证明：如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则S△ABD＝AB•DM，S△ACD＝AC•DN，∵S△ABD：S△ACD＝AB：AC，∴DM＝DN，∴AD平分∠BAC．28．已知：如图所示，AQ，BM，CN是△ABC的三条角平分线．试说明AQ，BM，CN交于一点．【解答】证明：设BM，CN交于点P，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为：D，E，F，∵BM平分∠ABC，CN平分∠ACB，∴PD＝PE，PE＝PF，∴PD＝PF，∴AP平分∠BAC，即AQ，BM，CN交于一点P．。

12-3第2课时角的平分线的判定练习人教版八年级数学上册

第2课时角的平分线的判定知识点1角的平分线的判定1.如图,DB⊥AB,DC⊥AC,BD＝DC,∠BAC＝80°,则∠BAD＝( )A.10°B.20°C.30°D.40°2.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到两边距离相等的点是( )A.C点B.D点C.E点D.F点3.如图,已知D,E,F分别是△ABC的三边上的点,CE＝BF,且△DCE的面积与△DBF的面积相等.求证:AD平分∠BAC.知识点2三角形的三条角平分线相交于一点4.如图是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一个凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在( )A.△ABC三条中线的交点B.△ABC三条角平分线的交点C.△ABC三条高的交点D.△ABC三边的中垂线的交点5.如图,在△ABC中,AB＋AC＝20,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD＝3,则图中阴影部分的面积等于.6.如图,P是△ABC的三条角平分线的交点,连接P A,PB,PC,若△P AB,△PBC,△P AC的面积分别为S1,S2,S3,求S1与S2＋S3的大小关系.知识点3角的平分线的性质与判定的综合应用7.如图,在△ABC中,AB＝AC,AD是中线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则下列四个结论:①AB上任意一点与AC上任意一点到D的距离相等;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;③∠BDE＝∠CDF;④∠1＝∠2.其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图,要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂,位置选在到河流和公路的距离相等,并且到河流与公路交叉A处的距离为1 cm(指图上距离)的地方,则图中工厂的位置应选在哪里?并说明理由.9.如图,∠1＝∠2,∠3＝∠4.求证:AP平分∠BAC.10.如图,AB∥CD,O为∠BAC,∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于点E.若OE＝2,则AB与CD之间的距离是( )A.2B.4C.6D.8第10题图第11题图11.如图,△ABC的两个外角平分线相交于点P,则下列结论:①P A＝PC;②BP平分∠ABC;③点P到AB,BC的距离相等;④BP平分∠APC.其中正确的结论是( )A.①②B.①④C.②③D.③④12.如图,在同一平面内,两条直线l1,l2相交于点O,对于平面内任意一点M,若p,q分别是点M到直线l1,l2的距离,则称(p,q)为点M的“距离坐标”.根据上述规定,“距离坐标”是(1,1)的点共有个.13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠BAC＝30°,∠ACB与∠ABM的平分线交于点E,连接AE.求∠AEB的大小.14.如图,在△ABC中,点D在BC边上,∠BAD＝100°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF＝50°,连接DE.(1)求证:DE平分∠ADC;(2)若AB＝7,AD＝4,CD＝8,且S△ACD＝15,求△ABE的面积.第2课时角的平分线的判定知识点1角的平分线的判定1.如图,DB⊥AB,DC⊥AC,BD＝DC,∠BAC＝80°,则∠BAD＝( D )A.10°B.20°C.30°D.40°2.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到两边距离相等的点是( C )A.C点B.D点C.E点D.F点3.如图,已知D,E,F分别是△ABC的三边上的点,CE＝BF,且△DCE的面积与△DBF的面积相等.求证:AD平分∠BAC.证明:过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N.∵△DCE的面积与△DBF的面积相等,∴12BF·DM＝12CE·DN.∵CE＝BF,∴DM＝DN,∴AD平分∠BAC.知识点2三角形的三条角平分线相交于一点4.如图是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一个凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在( B )A.△ABC三条中线的交点B.△ABC三条角平分线的交点C.△ABC三条高的交点D.△ABC三边的中垂线的交点5.如图,在△ABC中,AB＋AC＝20,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD＝3,则图中阴影部分的面积等于30.6.如图,P是△ABC的三条角平分线的交点,连接P A,PB,PC,若△P AB,△PBC,△P AC的面积分别为S1,S2,S3,求S1与S2＋S3的大小关系.解:过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F.∵P是△ABC的三条角平分线的交点,∴PD＝PE＝PF.∵S1＝12AB·PD,S2＝12BC·PF,S3＝12AC·PE,∴S2＋S3＝12(AC＋BC)·PD.∵AB<AC＋BC,∴S1<S2＋S3.知识点3角的平分线的性质与判定的综合应用7.如图,在△ABC中,AB＝AC,AD是中线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则下列四个结论:①AB上任意一点与AC上任意一点到D的距离相等;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;③∠BDE＝∠CDF;④∠1＝∠2.其中正确的结论有( C )A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图,要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂,位置选在到河流和公路的距离相等,并且到河流与公路交叉A处的距离为1 cm(指图上距离)的地方,则图中工厂的位置应选在哪里?并说明理由.解:工厂的位置应选在∠A的平分线上,且到点A的距离为1 cm的地方.理由:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.9.如图,∠1＝∠2,∠3＝∠4.求证:AP平分∠BAC.证明:过点P作PQ⊥AB于点Q,PN⊥BC于点N,PM⊥AC于点M.∵∠1＝∠2,∠3＝∠4,∴PQ＝PN,PN＝PM,∴PQ＝PM.∵PQ⊥AB,PM⊥AC,∴AP平分∠BAC.10.如图,AB∥CD,O为∠BAC,∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于点E.若OE＝2,则AB与CD之间的距离是( B )A.2B.4C.6D.8第10题图第11题图11.如图,△ABC的两个外角平分线相交于点P,则下列结论:①P A＝PC;②BP平分∠ABC;③点P到AB,BC的距离相等;④BP平分∠APC.其中正确的结论是( C )A.①②B.①④C.②③D.③④12.如图,在同一平面内,两条直线l1,l2相交于点O,对于平面内任意一点M,若p,q分别是点M到直线l1,l2的距离,则称(p,q)为点M的“距离坐标”.根据上述规定,“距离坐标”是(1,1)的点共有4个.13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠BAC＝30°,∠ACB与∠ABM的平分线交于点E,连接AE.求∠AEB的大小.解:过点E作EF⊥AC交CN于点F,EG⊥AB于点G,EH⊥BC交CM于点H.∵CE平分∠ACB,BE平分∠ABH,∴EF＝EH,EG＝EH,∴EF＝EG.∵EF⊥AC,EG⊥AB,∴AE平分∠F AG.∵∠BAC＝30°,∴∠BAF＝150°,∴∠EAB＝75°.∵∠ACB＝90°,∠BAC＝30°,∴∠ABC＝60°,∴∠ABH＝120°.∵BE平分∠ABH,∴∠ABE＝60°,∴∠AEB＝180°－∠EAB－∠ABE＝45°.14.如图,在△ABC中,点D在BC边上,∠BAD＝100°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF＝50°,连接DE.(1)求证:DE平分∠ADC;(2)若AB＝7,AD＝4,CD＝8,且S△ACD＝15,求△ABE的面积.解:(1)过点E作EG⊥AD于点G,EH⊥BC于点H.由题知∠F AE＝∠DAE＝40°,EF⊥BF,EG⊥AD,∴EF＝EG.∵BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC,∴EF＝EH,∴EG＝EH,∴DE平分∠ADC.(2)∵S△ACD＝15,∴12×4EG＋12×8EH＝15,解得EF＝EG＝EH＝52,∴S△ABE＝12AB·EF＝354.。

角平分线的判定精选优质练习

第2课时角平分线的判定一、选择题1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（） A. 三条中线的交点B. 三条高的交点C. 三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点2．如图，AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，垂足分别为D 、C ，AD 与BC 相交于点P ，若PA=PB ，则∠1第2题图第3题图第4题图3. 如图，在Rt △ABC 的斜边BC 上截取CD=CA ，过点D 作DE⊥BC ，交AB 于E ，则下列线交于点①PA=PC ②BP第5题图第6题图第7题图6．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）MFEDCBAA、1处B、2处C、3处D、4处7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，M为AD上任意一点，则下列结论错误的是（）（A）DE＝DF．（B）ME＝M F．（C）AE＝AF．（D）BD＝DC．8. 如图，△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，有下列四个结论：①DA平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE，AF距离相等的点到DE、DF的距离也相等．第8题图第10题图第11题图二、填空题9. 在角的内部到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的．10.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ=°．°．12.如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，则∠PCA= °．第12题图第13题图13.如图，△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为4，则点P到AB的距离为 .14.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE⊥AB于D，且EC=ED，∠EBC= °15.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为第14题图第15题图第16题图16.如图，点M在∠ABC内，ME⊥AB于E点，MF⊥BC于F点，且ME=MF，∠ABC=70°，则∠BME= °．三、解答题17. 如图，AB AC的内部建一个物流中心．设，表示两条相交的公路，现要在BAC计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A点的距离为1 000米．（1）若要以1:50000的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处A点的图上距离；（2）在图中画出物流中心的位置P．18．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：（1）PE=PF；（2）点P在∠BAC的角平分线上．求证：P 在∠A 的平分线上（如图）．20．已知：如图，90B C ∠=∠= ，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠．（1）若连接AM ，则AM 是否平分BAD ∠？请你证明你的结论．（2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．21.（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：（Ⅰ）∠AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线．（Ⅱ）∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM=ON ，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P的射线OP 就是∠AOB 的平分线．（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；M（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？请说明理由．第2课时角的平分线的判定一、选择题1.D2.A3.D4.A5.C6.D7.D8.D二、填空题9.平分线10. 35 11. 90 12. 55 13. 4 14. 27 15. 3 16. 55三、解答题17.解:（1）1 000米=100 000厘米，100 000÷50 000=2（厘米）；(2)18.证明：（1）如图，连接AP并延长，∵PE⊥AB，PF⊥AC∴∠AEP=∠AFP=90°又AE=AF，AP=AP，∵在Rt△AFP和Rt△AEP中∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），∴PE=PF．（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，∴∠EAP=∠FAP，∴AP是∠BAC的角平分线，故点P在∠BAC的角平分线上．19.证明：过P点作PE，PH，PG分别垂直AB，BC，AC．∵PB，PC分别是△ABC的外角平分线，∴PE=PH，PH=PG ， ∴PE=PG．∴P 点在∠A 的平分线上．20．（1）AM 平分DAB ∠．证明：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ． 12∠=∠∵，MC CD ⊥，ME AD ⊥， ME MC =∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）．又MC MB =∵，ME MB =∴．MB AB ∵⊥，ME AD ⊥，∴AM 平分DAB ∠线上）．（2）AM DM ⊥，理由如下： 90B C ∠=∠=∵，CD AB ∴∥（垂直于同一条直线的两条直线平行）．180CDA DAB ∠+∠= ∴（两直线平行，同旁内角互补）又112CDA ∠=∠∵，132DAB ∠=∠（角平分线定义）2123180∠+∠= ∴，1390∠+∠= ∴， 90AMD ∠= ∴．即AM DM ⊥．21.解：（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少证明三角形全等的条件， ∵只有OP=OP ，PM=PN 不能判断△OPM≌△OPN； ∴就不能判定OP 就是∠AOB 的平分线；方案（Ⅱ）可行．证明：在△OPM 和△OPN 中，，∴△OPM≌△OPN（SSS ），∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等）； ∴OP 就是∠AOB 的平分线．（2）当∠AOB是直角时，此方案可行；∵四边形内角和为360°，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，∴∠AOB=90°，∵PM=PN，∴OP为∠AOB的平分线．（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上），当∠AOB不为直角时，此方案不可行；因为∠AOB必为90°，如果不是90°，则不能找到同时使PM⊥OA，PN⊥OB的点P的位置．。

角平分线的性质专项练习(含解析)

角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

【精】2018年八年级数学《12.3 角平分线的性质与判定》同步复习资料【1】【含解析】

2018年八年级数学《12.3 角平分线的性质与判定》同步复习资料【1】一．选择题（共10小题）1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．B．2 C．3 D．22．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为（）A．18 B．16 C．14 D．123．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．44．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）A．8 B．6 C．4 D．2【1】【3】【4】5．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．56．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，S△ABD=12，则S△ABD：S△ACD=（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：167．△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP 的面积比等于（）A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：28．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°【5】【6】【8】9．如图，四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）10．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为（）A．8 B．12 C．4 D．6【9】【10】二．填空题（共10小题）11．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是．12．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=．13．在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是．14．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是．【11】【12】【14】15．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=8．对角线BD⊥CD，P是BC边上一动点，连结PD．若∠ADB=∠C，则PD长的最小值为．16．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC=．17．如图，AB∥CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=1，则AB与CD之间的距离等于．18．直线l1、l2、l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有处．19．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，以下结论：①∠BAC=70°；②∠DOC=90°；③∠BDC=35°；④∠DAC=55°，其中正确的是．（填写序号）【17】【18】【19】三．解答题（共10小题）20．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．21.如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．22．如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．22．如图，△ABC中∠B的外角平分线BD于∠C的外角平分线CE相交于点P，求证：点P在∠ABC的角平分线上．24．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．25．如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．26．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．27．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．《12.3 角平分线的性质与判定》同步复习资料【1】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．B．2 C．3 D．2【解答】解：过点P作PB⊥OM于B，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，∴PB=PA=3，∴PQ的最小值为3．故选：C．2．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为（）A．18 B．16 C．14 D．12【解答】解：如图，∵BD+CD=BC=32，BD：DC=9：7作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC∴DE=CD=14．（角平分线上的点到角的两边的距离相等）即：点D到AB的距离为14，故选C．3．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．4【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴S△BCE=BC•EF=×5×2=5，故选C．4．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∴PA=PD=4，∴PE=4．故选C．5．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．5【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．6．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，S△ABD=12，则S△ABD：S△ACD=（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16【解答】解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F…（1分）∴DE=DF，…（3分）∴S△ABD=•DE•AB=12，∴DE=DF=3…（5分）∴S△ADC=•DF•AC=×3×6=9…（6分）∴S△ABD：S△ACD=12：9=4：3．故选A．7．△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP 的面积比等于（）A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2【解答】解：∵P为三边角平分线的交点，∴点P到△ABC三边的距离相等，∵AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，∴△ABP，△BCP，△ACP的面积比=6：4：4=3：2：2．故选D．8．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°，故A选项正确，∴∠ABO=∠ABC=×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=（180°﹣60°）=60°，∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°，故C选项正确；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=（180°﹣70°）=55°，故D选项正确．故选：B．9．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）【解答】解：作∠E的平分线，可得点P到AB和CD的距离相等，因为AB=CD，所以此时点P满足S△PAB=S△PCD．10．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为（）A．8 B．12 C．4 D．6【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF=S△GDH，设面积为S，同理Rt△ADF≌Rt△ADH，∴S△ADF=S△ADH，即38+S=50﹣S，解得S=6．故选D．二．填空题（共10小题）11．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是3．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故答案为3．12．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=50°．【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD﹣∠BPC=（x﹣40）°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，∵，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP=∠PAC=50°．故答案为：50°．13．在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是4：3．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，∴h1=h2，∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，故答案为4：3．14．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC 的面积是30．【解答】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE=OF=OD=3，∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD=3，∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×（AB+BC+AC）×3=20×3=30，故答案为：30．15．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=8．对角线BD⊥CD，P是BC边上一动点，连结PD．若∠ADB=∠C，则PD长的最小值为8．【解答】解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小．∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°，∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，∴AD=DP，又AD=8，∴DP=8．故答案为：8．16．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC=125°．【解答】解：∵OF=OD=OE，∴OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣70°=110°，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×110°=55°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣55°=125°．故答案为：125°．17．如图所示，AB∥CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=1，则AB与CD之间的距离等于2．【解答】解：过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，∴OE=OF，OE=OG，∴OE=OF=OG=1，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴∠EOF+∠EOG=（180°﹣∠BAC）+（180°﹣∠ACD）=180°，∴E、O、G三点共线，∴AB与CD之间的距离=OF+OG=1+1=2．故答案为：2．18．直线l1、l2、l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有4处．【解答】解：∵中转站要到三条公路的距离都相等，∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，∴货物中转站可以供选择的地址有4个．故答案为：4．19.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，以下结论：①∠BAC=70°；②∠DOC=90°；③∠BDC=35°；④∠DAC=55°，其中正确的是①③④．（填写序号）【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°，①正确；∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=25°，∴∠DOC=25°+60°=85°，②错误；∠BDC=60°﹣25°=35°，③正确；∵∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，∴AD是∠BAC的外角平分线，∴∠DAC=55°，④正确，故答案为：①③④．三．解答题（共10小题）20．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．21．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM=180°，∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M为BC的中点．22．如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，在Rt△CDF和Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在Rt△ADF与Rt△ADE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．23．如图，△ABC中∠B的外角平分线BD于∠C的外角平分线CE相交于点P，求证：点P在∠ABC的角平分线上．【解答】证明：作PF⊥AB于F，PG⊥BC于G，PH⊥AC于H，∵∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P，∴PF=PG，PH=PG，∴PF=PH，又PF⊥AB，PH⊥AC，∴点P在∠CAB的角平分线上．24．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E=∠DFC=90°，∴△BDE与△CDE均为直角三角形，∵∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF，即AD平分∠BAC；（2）AB+AC=2AE．证明：∵BE=CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，∵∠E=∠AFD=90°，∴∠ADE=∠ADF，在△AED与△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD，∴AE=AF，∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE．25．如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，∴OB=OE，∵点O为BD的中点，∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC平分∠ACD；（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，∴OA⊥OC；（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB=AE，同理可得CD=CE，∵AC=AE+CE，∴AB+CD=AC．26．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．【解答】证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD27．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．【解答】证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．。

角顶点平分线的性质和判定-专项练习

角顶点平分线的性质和判定-专项练习1. 角顶点平分线的定义角顶点平分线是指一条线段从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的小角的线段。

在平面几何中，角顶点平分线有着一些重要的性质和判定方法。

2. 角顶点平分线的性质性质1：相等一个角的顶点平分线将这个角平分为两个相等的小角。

性质2：共线一个角的顶点平分线与这个角的两边延长线相交于同一条直线上，即它们共线。

性质3：垂直如果一个角是直角，那么它的顶点平分线就是垂直于这个角的两边的线段。

3. 角顶点平分线的判定方法判定方法1：角相等如果一条线段将一个角平分为两个相等的小角，那么这条线段就是这个角的顶点平分线。

判定方法2：共线如果一条线段与一个角的两边延长线相交于同一条直线上，那么这条线段就是这个角的顶点平分线。

判定方法3：垂直如果一条线段与一个直角的两边相切且通过直角的顶点，那么这条线段就是这个直角的顶点平分线。

4. 示例以下是一些示例，帮助理解角顶点平分线的性质和判定方法。

示例1：给定角ABC，线段DE将其平分，即∠ADE = ∠EDC。

根据判定方法1，线段DE是角ABC的顶点平分线。

示例2：给定角XYZ，线段WV与角的两边延长线相交于点P。

根据判定方法2，线段WV是角XYZ的顶点平分线。

示例3：给定直角PQR，线段ST通过直角的顶点Q，与直角的两边相切。

根据判定方法3，线段ST是直角PQR的顶点平分线。

5. 总结角顶点平分线是从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的小角的线段。

它具有相等、共线和垂直等性质。

角顶点平分线的判定方法包括角相等、共线和垂直等方法。

通过理解和应用这些性质和判定方法，我们可以更好地解决与角顶点平分线相关的问题。

新人教版八年级上册数学12章第3节角平分线的判定同步练习题

12.3.2 角平分线的判定1.1.练习题1一、填空题1．如图1，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是。

图1 图22．如图2所示，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝2 cm ，则点D 到BC 的距离为________cm ．3．如图3，已知BD 是∠ABC 的内角平分线，CD 是∠ACB 的外角平分线，由D 出发，作点D 到BC 、AC 和AB 的垂线DE 、DF 和DG ，垂足分别为E 、F 、G ，则DE 、DF 、DG 的关系是。

图3 图44．如图4，已知AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于。

5．已知△ABC 中，∠A=80°，∠B 和∠C 的角平分线交于O 点，则∠BOC= 。

二、选择题6．如图5，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB ＝，PC ＝，AB ＝，AC ＝，则与的大小关系是（）A 、＞B 、＜C 、＝D 、无法确定3题图D C B Am n c b )(n m +)(c b +n m +c b +n m +c b +n m +c b +图 5 图6 7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=32，且BD ：CD=9：7，则D 到AB 边的距离为( )A ．18B ．16C ．14D ．128．如图6，AE ⊥BC 于E ，CA 为∠BAE 的角平分线，AD=AE ，连结CD ，则下列结论不正确的是( )A ．CD=CEB ．∠AC D=∠ACE C ．∠CDA =90°D ．∠BCD=∠ACD9．在△ABC 中，∠B=∠ACB ，CD 是∠ACB 的角平分线，已知∠ADC=105°，则∠A 的度数为( )A ．40°B ．36°C ．70°D ．60°10．在以下结论中，不正确的是( )A ．平面内到角的两边的距离相等的点一定在角平分线上B ．角平分线上任一点到角的两边的距离一定相等C ．一个角只有一条角平分线D ．角的平分线有时是直线，有时是线段三、解答题11．如图7所示，AE 是∠BAC 的角平分线，EB ⊥AB 于B ，EC ⊥AC 于C ，D 是AE 上一点，求证：BD=CD 。

《123角平分线的性质》同步测试题((有答案))-(新课标人教版数学八年级)AlHKMK

角平分线的性质测试题一、选择题（本大题共11小题，共33.0分）1.如图，AD是的角平分线，，垂足为E，交ED的延长线于点F，若BC恰好平分，给出下列四个结论：；；；，其中正确的结论共有A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2.如图，AD是的角平分线，，，垂足分别为点E、点F，连接EF与AD相交于点O，下列结论不一定成立的是A. B. C.D.3.如图，在中，，，点E在BC的延长线上，的平分线BD与的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论中，正确的是A. B. C. D.4.如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若，，则的面积是A. 15B. 30C. 45D. 605.为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在A. 三角形ABC三条高线的交点处B. 三角形ABC三条角平分线的交点处C. 三角形ABC三条中线的交点处D. 三角形ABC三边垂直平分线的交点处6.如图，，，垂足分别为D、E，且，则与全等的理由是A. SASB. AAAC. SSSD. HL7.如图，OP平分，，垂足为A，，，Q是射线OM上的一个动点，则线段PQ的最小值是A. 10B. 8C. 4D. 68.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是A. 三条高线的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 三边垂直平分线的交点9.如图：的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是平分到AB，BC的距离相等平分．A. B. C. D.10.如图，BD是的平分线，于E，，，，则DE的长是A. 2cmB. 4cmC.D.11.如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：恒成立；的值不变；四边形PMON的面积不变；的长不变，其中正确的个数为A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共11小题，共33.0分）12.如图，，，，若，则______．13.如图，已知于点B，于点C，且，，，则______．14.如图，的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且的周长为18，则的面积为______．15.如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AB交边BC于点D，若，，则的面积是______．16.已知：如图，中，，沿过点B的一条直线BE折叠，使点C恰好落在AB边的中点D处，则______ 度17.边长为7，24，25的内有一点P到三边距离相等，则这个距离为______ ．18.如图，OC平分，点P是OC上一点，于点M，点N是射线OA上的一个动点，若，则PN的最小值为______．19.如图，在中，，，AD平分，交BC边于点D，若，则的面积为______．20.如图，在中，，BD平分，若，则点D到AB的距离为______ cm．21.随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路如图所示，建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有______处22.已知OC平分，点P为OC上一点，于D，且，过点P作交OB于E，，求PE的长度______cm．三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）23.如图，中，，，E，F分别是BC，AC的中点，若，求线段AB的长．24.如图，等腰梯形ABCD中，，，梯形周长为40，对角线BD平分，求梯形的腰长及两底边的长．25.某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村A、B的距离必须相等，且到两条公路m、n的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置要有作图痕迹四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）26.如图，BD是的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；若，，，点H是BD上的一个动点，求的最小值．两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．答案和解析【答案】1. A2. C3. B4. B5. B6. D7. D8. C9. C10. D11. B12. 413.14. 2715. 3016. 3017. 318. 519. 820. 321. 422. 623. 解：作BH平分交AC于H，连结HE，如图，平分，，，，为等腰三角形，点E为BC的中点，，，，，为的平分线，，，即，．24. 解：四边形ABCD是等腰梯形，，，，又BD平分，，，，又，，，，，，，即梯形腰长为8，两底边长为8和16，答：梯形的腰长是8，两底边的长分别是8，16．25. 解：作图如图，点P即为所求作的点．26. 解：四边形EBGD是菱形．理由：垂直平分BD，，，，，，，在和中，≌ ，，，四边形EBGD是菱形．作于M，于N，连接EC交BD于点H，此时最小，在中，，，，，，，，，，，在中，，，，，，在中，，，．，的最小值为10．27. 解：PC与PD相等理由如下：过点P作于点E，于点F．平分，点P在OM上，，，角平分线上的点到角两边的距离相等又，，四边形OEPF为矩形，，，又，，．在与中，，≌ ，．【解析】1. 解：，，平分，，，，是的角平分线，，，故正确，在与中，，≌ ，，，故正确；，，故正确．故选：A．根据等腰三角形的性质三线合一得到，，故正确；通过 ≌ ，得到，，故正确．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．2. 解：是的角平分线，，，，，在和中，，≌ ，；是的角平分线，，在和中，，≌ ，；故选C．首先运用角平分线的性质得出，再由HL证明 ≌ ，即可得出；根据SAS 即可证明 ≌ ，即可得到．本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．3. 解：，，，故A选项错误，平分，，在中，，，故B选项正确；平分，，平分，，，，故C选项错误；，，，故D选项错误．故选：B．根据三角形的内角和定理列式计算即可求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理求出，再根据对顶角相等可得，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可，判断出，根据，，即可判定．本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键．4. 解：由题意得AP是的平分线，过点D作于E，又，，的面积．故选：B．判断出AP是的平分线，过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．5. 解：度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，度假村应该在三条角平分线的交点处．故选B．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．6. 解：，，，在和中，≌ ，故选：D．根据题中的条件可得和是直角三角形，再根据条件，可根据HL定理判定 ≌ ．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、结合已知条件在图形上的位置选择判定方法．7. 解：当时，PQ的值最小，平分，，，，故选D．根据垂线段最短得出当时，PQ的值最小，根据角平分线性质得出，求出即可．本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，能得出要使PQ最小时Q的位置是解此题的关键．8. 解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处．故选：C．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．9. 解：过点P作与点D，于点E，于点F．平分，CP平分，．点P在的平分线上，P到AB，BC的距离相等．故正确．故选C．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，过点P作与点D，于点E，于点F，则点P在的平分线上．此题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上．10. 解：如图，过点D作于F，是的平分线，，，，，，解得．故选D．过点D作于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后根据的面积列出方程求解即可．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．11. 解：如图作于E，于F．，，，，，平分，于E，于F，，在和中，，≌ ，，在和中，，≌ ，，，故正确，，定值，故正确，四边形四边形定值，故正确，MN的长度是变化的，故错误，故选：B．如图作于E，于只要证明 ≌ ， ≌ ，即可一一判断．本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．12. 解：作于G，如图所示：，，，，，．故答案为：4．作于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到，然后利用三角形的外角和内角的关系求出，利用角所对的直角边是斜边的一半解题．本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质，证出是解决问题的关键．13. 解：于B，于C，且，是的平分线，，，．故答案为：先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是的平分线，求出的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，仔细分析图形是解题的关键．14. 解：作于E，于F，于H，的三条角平分线交于点O，，，，，的面积，故答案为：27．作于E，于F，于H，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．15. 解：作于E，由基本尺规作图可知，AD是的角平分线，，，，的面积，故答案为：30．根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．16. 解：在中，，与重合，，，又点D是AB的中点，，设，，．．只要证明，设列出方程即可解决问题．本题考查翻折变换、垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用翻折不变性，学会设未知数列方程解决问题，属于中考常考题型．17. 解：，是直角三角形，根据题意画图，如图所示：连接AP，BP，CP．设，，，则，．故答案为：3．首先根据三边长确定三角形是直角三角形，再根据题意画出图形，连接AP，BP，CP，根据直角三角形的面积公式即可求得该距离的长．此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形的面积注意构造辅助线，则直角三角形的面积有两种表示方法：一是整体计算，即两条直角边乘积的一半；二是等于三个小三角形的面积和，即，然后即可计算x的值．18. 解：当时，PN的值最小，平分，，，，的最小值为5．故答案为：5．根据垂线段最短可得时，PN最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．19. 解：作于E，平分，，，，的面积，故答案为：8．作于E，根据角平分线的性质求出DE的长，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．20. 解：如图，过点D作于E，，BD平分，，，，即点D到AB的距离为3cm．故答案为：3．过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．21. 解：如图所示，加油站站的地址有四处，故答案为：4．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．22. 解：过P作于F，，OC平分，，，，，，平分，于D，于F，，，，故答案为：6．过P作于F，根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，即可得出答案．此题主要考查：含度的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．23. 作BH平分交AC于H，连结HE，如图，由于，则，于是可判断为等腰三角形，根据等腰三角形的性质得，易得，根据平行线分线段成比例定理得，接着根据角平分线的性质定理得，则，然后把代入计算即可得到．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例也考查了等腰三角形的判定与性质和角平分线性质．24. 根据等腰梯形性质得到，，根据角平分线性质推出，推出，根据已知梯形的周长求出即可．本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出是解此题的关键．25. 连接A、B，作AB的垂直平分线，然后作两条公路m和n夹角的平分线，其交点即为加油站的位置．此题考查学生对角平分线的性质和线段垂直平分线的性质的理解和掌握特别要注意让学生牢记角平分线的性质定理．26. 结论四边形EBGD是菱形只要证明即可．作于M，于N，连接EC交BD于点H，此时最小，在中，求出EM、MC即可解决问题．本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H的位置，属于中考常考题型．27. 先过点P作于点E，于点F，构造全等三角形：和，这两个三角形已具备两个条件：的角以及，只需再证，根据已知，两个角都等于减去，那么三角形全等就可证．本题考查了角平分线的性质，以及四边形的内角和是、还有三角形全等的判定和性质等知识正确作出辅助线是解答本题的关键．。

角平分线的判定练习题

角平分线的判定练习题一、选择题1. 在三角形ABC中，点D在边BC上，若AD平分∠BAC，则下列哪个条件是错误的？A. ∠BAD = ∠DACB. AD是角平分线C. ∠B = ∠CD. ∠BAD + ∠DAC = 90°2. 角平分线的性质是：A. 将角分为两个相等的角B. 将边分为两个相等的线段C. 将角分为两个不相等的角D. 将角平分线所在的三角形分为两个面积相等的三角形3. 如果点E在三角形ABC的角平分线AD上，那么下列哪个结论是正确的？A. AE = ECB. ∠BAE = ∠CAEC. BE = CDD. ∠BEC = ∠C4. 在三角形ABC中，如果BD是角平分线，那么下列哪个条件可以证明BD是角平分线？A. ∠ABD = ∠DBCB. ∠ABC = ∠ACBC. AB = ACD. BC = BD5. 在三角形ABC中，如果AD是角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，那么下列哪个结论是正确的？A. DE = DFB. ∠ADE = ∠ADFC. AD = BDD. ∠BAC = 90°二、填空题6. 在三角形ABC中，若AD是角平分线，则∠BAD与∠CAD的关系是________。

7. 如果三角形ABC的角平分线AD与BC的垂直平分线相交于点E，则点E是三角形ABC的________。

8. 在三角形ABC中，若BD是角平分线，且BD=CD，则三角形ABC是________三角形。

9. 如果三角形ABC的角平分线AD将∠BAC平分为两个40°的角，那么∠ABC的大小是________。

10. 在三角形ABC中，若AD是角平分线，且∠BAC=60°，则∠B与∠C 的大小关系是________。

三、简答题11. 解释为什么在三角形中，角平分线可以将角分为两个相等的角。

12. 如果在三角形ABC中，AD是角平分线，且AB=AC，说明AD是否垂直于BC，并解释原因。

人教版八年级数学上册角的平分线的性质同步练习题(含答案)

人教版八年级数学上册角的平分线的性质同步练习题（含答案）12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质要点感知1 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离_____.预习练习1-1 如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,垂足为C,PD⊥OB,垂足为D,则PC与PD的大小关系是( )A.PC>PDB.PC=PDC.PC<PDD.不能确定要点感知2 命题证明的一般步骤为：(1)明确命题中的已知和求证；(2)根据题意画出图形,并用数学符号表示已知和求证；(3)写出证明过程.预习练习2-1 命题“全等三角形对应角的角平分线长度相等”的已知是____,求证是____.知识点1 角平分线的作法1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等2.已知△ABC,用尺规作图作出∠ABC的角平分线,保留作图痕迹,但不写作法.知识点2 角平分线的性质3.如图，BD是∠ABC的平分线，P是BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4 cm，则点P到边BC的距离为cm.4.如图所示,E 是∠AOB 的平分线上一点,EC ⊥OA,ED ⊥OB,垂足分别为C ，D.求证：OC=OD.5.如图，BD 平分∠ABC ，DE 垂直于AB 于E 点，△ABC 的面积等于90，AB=18，BC=12，求DE 的长.知识点3 命题证明6.命题“全等三角形对应边上的高线相等”的已知是____,结论是____.7.证明：全等三角形对应边上的中线相等.8.如图,AD ∥B C,∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P,作PE ⊥AB 于点E.若PE ＝2,则两平行线AD 与BC 间的距离为____.9.如图，在△ABC ，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于AC 的长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点E 、F ；②分别以点E,F 为圆心，大于21EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ；③作射线AG 交BC 边于点D ，则∠CDA 的度数为____. 10.已知，如图所示，△ABC 的角平分线AD 将BC 边分成2∶1两部分，若AC=3 cm ，则AB=____.11.已知:如图所示,点O 在∠BAC 的平分线上,BO ⊥AC,CO ⊥AB,垂足分别为D ，E,求证：OB ＝OC.12.如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB 的周长.13.求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.挑战自我14.如图，∠AOB=90°，OM 平分∠AOB ，直角三角板的顶点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与OA 、OB 相交于点C 、D ，问PC 与PD 相等吗？试说明理由.参考答案课前预习要点感知1 相等预习练习1-1 B预习练习2-1 全等三角形对应角的角平分线对应角的角平分线长度相等当堂训练 1.A 2.图略. 3.4 4.证明：∵E 是∠AOB 的平分线上一点,CE ⊥OA,ED ⊥OB ，∴EC=ED.在Rt △OCE 和Rt △ODE 中,OE=OE,EC=ED,∴Rt △OCE ≌Rt △ODE(HL).∴OC=OD.5.∵BD 平分∠ABC ，DE 垂直于AB 于E 点，∴点D 到BC 的距离等于DE 的长度.∵AB=18，BC=12，∴S △ABC =S △ABD +S △BCD =21×18·DE+21×12·DE=21DE(18+12)=15·DE.∵△ABC 的面积等于90，∴15·DE=90.∴DE=66.全等三角形对应边的高线对应边的高线相等7.已知:△ABC ≌△A ′B ′C ′,AD ，A ′D ′分别是BC ，B ′C ′边上的中线.求证：AD=A ′D ′.证明：∵△ABC ≌△A ′B ′C ′,∴AB=A ′B ′,∠B=∠B ′,BC=B ′C ′.又∵AD ，A ′D ′分别是BC ，B ′C ′边上的中线,∴BD=21BC,B ′D ′=21B ′C ′.∴BD=B ′D ′.∴△ABD ≌△A ′B ′D ′(SAS).∴AD=A ′D ′.课后作业 8.4 9.65° 10.6 cm 11.证明:∵点O 在∠BAC 的平分线上,BO ⊥AC,CO ⊥AB,∴OE ＝OD,∠BEO ＝∠CDO ＝90°.在△BEO 与△CDO 中,∠BEO ＝∠CDO,OE ＝OD,∠EOB ＝∠DOC,∴△BEO ≌△CDO(ASA).∴OB ＝OC.12.∵AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE.∴Rt △ACD ≌Rt △AED.∴AE=AC.∴△DEB 的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10 cm. 13.已知：如图,在△ABC 和△A ′B ′C ′中,∠B=∠B ′,∠BAC=∠B ′A ′C ′,AD,A ′D ′分别是∠BAC,∠B ′A ′C ′的平分线,且AD=A ′D ′.求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′.证明：∵∠BAC=∠B ′A ′C ′,AD ，A ′D ′分别是∠BAC ，∠B ′A ′C ′的角平分线,∴∠BAD=∠B ′A ′D ′.∵∠B=∠B ′,AD=A ′D ′，∴△ABD ≌△A ′B ′D ′(AAS).∴AB=A ′B ′.在△ABC 和△A ′B ′C ′中,∠B=∠B ′,AB=A ′B ′,∠BAC=∠B ′A ′C ′,∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA).14.PC=PD.理由如下：过点P 分别作PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为点E ，F.又∵OM 平分∠AOB ，∴PE=PF.又∵∠AOB=90°，∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF=90°.∴∠EPC+∠CPF=90°.又∵∠CPD=90°，∴∠CPF+∠FPD=90°.∴∠EP C=∠FPD.在△PCE 与△PDF 中，∠PEC=∠PFD ，PE=PF ，∠EPC=∠FPD ，∴△PCE ≌△PDF(ASA).∴PC=PD.第2课时角的平分线的判定要点感知1 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的______上.预习练习1-1 已知点P 为∠AOB 内部的一点,PD ⊥OB 于点D,PC ⊥OA 于点C,且PC=PD,则OP 平分_____.要点感知2 三角形的三条内角平分线相交于一点,并且这一点到_____.预习练习2-1 如图,在△ABC 中,BD ，CE 分别平分∠ABC ，∠ACB,并且BD ，CE 相交于点O,过O 点作OP ⊥BC 于点P,OM ⊥AB 于点M,ON ⊥AC 于点N,则OP ，OM ，ON 的大小关系是_____.知识点1 角平分线的判定1.已知：如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中:①∠AOC=∠BOC，②PD=PE，③OD=OE，④∠DPO=∠EPO,能判定OC是∠AOB的角平分线的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知：如图所示，BE=CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.知识点2 角平分线的性质与判定的综合运用3.如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线相交于O，下面结论中正确的是( )A.∠1＞∠2B.∠1=∠2C.∠1＜∠2D.不能确定4.如图,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线.知识点3 角平分线的性质与判定的实际应用5.如图,铁路OA和铁路OB交于O处,河道AB与铁路分别交于A处和B处,试在河岸上建一座水厂M,要求M到铁路OA，OB的距离相等,则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置.6.某市有一块由三条公路围成的三角形绿地,现准备在其中建一小亭子,供人们休息,而且要使小亭中心到三条公路的距离相等,试确定小亭的中心位置.7.如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小关系是( )A.∠1=∠2B.∠1＞∠2C.∠1＜∠2D.无法确定8.如图所示,P为△ABC外部一点,D，E分别在AB，AC的延长线上,若点P到BC，BD，CE 的距离都相等,则关于点P的说法最佳的是( )A.在∠DBC的平分线上B.在∠BCE的平分线上C.在∠BAC的平分线上D.在∠DBC，∠BCE，∠BAC的平分线上9.三条公路两两相交于A，B，C三点,现计划修建一个商品超市,要求这个超市到三条公路距离相等,则可供选择的地方有_____处.10.已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.11.如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC.12.如图所示,△ABC中,∠B＝∠C,D是BC边上一动点,过D作DE⊥AB,DF⊥AC,E，F分别为垂足,则当D 移动到什么位置时,AD 恰好平分∠BAC,请说明理由.挑战自我13.已知：如图所示，在△ABC 中，BD=DC,∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC.参考答案课前预习要点感知1 平分线预习练习1-1 ∠AOB要点感知2 三边的距离相等预习练习2-1 OP=OM=ON 当堂训练 1.D 2.证明：∵DF ⊥AC 于点F ，DE ⊥AB 于点E ，∴∠DEB=∠DFC=90°,在△BDE 和△CDF 中，∠BDE=∠CDF, ∠DEB=∠DFC,BE=CF,∴△BDE ≌△CDF(AAS).∴DE=DF.又∵DF ⊥AC 于点F ，DE ⊥AB 于点E ，∴AD 平分∠BAC. 3.B 4.证明：过点D 分别作DE ⊥AB,DG ⊥AC,DF ⊥BC,垂足分别为E,G,F.又∵BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACF,∴DE=DF,DG=DF.∴DE=DG.∴AD 平分∠EAC,即AD 是∠BAC 的外角平分线.5.图略.提示：作∠AOB 的角平分线，与AB 的交点即为点M 的位置.6.在三角形内部分别作出两条角平分线,其交点O 就是小亭的中心位置,图略. 课后作业7.A8.D9.410.(1)证明：∵∠1＝∠2，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OE ＝OD ，∠ODB ＝∠OEC ＝90°.在△BOD 和△COE 中，∠BOD=∠COE ，OD=OE ，∠ODB=∠OEC,∴△BOD ≌△COE(ASA).∴OB ＝OC. (2)证明：在△BOD 和△COE 中，∠ODB=∠OEC ，∠BOD=∠COE ， OB=OC ，∴△BOD ≌△COE(AAS).∴OD ＝OE.又∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴AO 平分∠BAC ，即∠1＝∠2.11.证明：过点D 作DH ⊥AB 于H ，DG ⊥AC 于G.∵S △DCE =21CE ·DG,S △DB F=21BF ·DH,S△DCE=S △DBF ,∴21CE ·DG=21BF ·DH.又∵CE=BF,∴DG=DH.∴点D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC.12.移动到BC 的中点时,AD 恰好平分∠BAC.理由如下:∵D 是BC 的中点,∴BD ＝CD.∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.又∵∠B ＝∠C,∴△DEB ≌△D FC(AAS).∴DE ＝DF.又∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,∴AD 平分∠BAC.13.证明：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.在△BED 和△CFD 中，∠BED=∠CF D=90°,∠1=∠2,BD=CD,∴△BED ≌△CFD(AAS).∴DE=DF.又DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC.。

人教版八年级上册数学角平分线的性质与判定同步训练

人教版八年级上册数学12.4 角平分线的性质与判定同步训练一、单选题1．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是ABC 的角平分线，10AB =，3CD =，则ABD △的面积为( )A ．30B ．18C ．15D ．9 2．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥于E ，若3CD =，8AB =，则ABD △的面积是（）A ．6B ．8C ．10D ．12 3．如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且2PD =，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为（）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5 4．如图，在△ABC 中，△C ＝90°，AP 是角平分线，AB ＝5，CP ＝2，则△APB 的面积为（）A ．5B ．10C ．20D ．12 5．如图，P 是BAC ∠的平分线AD 上一点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，若4AE =，则AF 的长为（）A ．1B ．2C ．4D ．8 6．如图，在△ABC 中，△C ＝90°，BD 平分△ABC 交AC 于点D ，若AC ＝14，:4:3AD DC =，则点D 到AB 的距离是（）A ．6B ．5C ．4D ．3 7．如图，△AOB 的内部作射线OM ，过点M 分别作MA △OA 于点A ，MB △OB 于点B ，MA ＝MB ，连接AB ，若△MAB ＝20°，则△AOM 的度数为（）A ．15°B ．20°C ．30°D ．40°8．如图，Rt ACB 中，90ACB ∠=︒，ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ，过点P 作PF AD ⊥交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论：△135APB ∠=︒；△BF BA =；△PH PD =；△连接CP ，CP 平分ACB ∠．其中正确的是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 9．如图，已知点O 为ABC 的两条角平分线的交点，过点O 作OD BC 于点D ，且OD ＝4．若ABC 的周长是17，则ABC 的面积为______．10．如图，已知EF CD ⊥，EF AB ⊥，MN AC ⊥，M 是EF 的中点，只需添加_______，就可使CM ，AM 分别为ACD ∠和CAB ∠的平分线．11．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分△ABC 和△ACB ，OD △BC 于点D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．12．如图，△C ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝8cm ，BD 是△ABC 的角平分线，DE △AB 于点E ，则△AED 的周长是______cm ．13．如图，已知△ABC 的周长是15cm ，点O 为△ABC 与△ACB 的平分线的交点，且OD △BC 于点D ．若OD ＝4cm ，则△ABC 的面积是______．14．如图，已知AD ∥BC ，△BAD 与△ABC 的平分线相交于点P ，过点P 作EF △AD ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，EF =8cm ，AB =10cm ，则APB 的面积为___cm 2．15．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 为AB 的中点，连接DE ，若12AB =，3CD =，则BDE 的面积为_______．16．如图，在ABC 中，AD 是它的角平分线，8cm AB =，6cm AC =，则:ABD ACD S S =△△______．三、解答题17．如图，已知ABC 中，45,75,B C AD ∠︒∠=︒=是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于E 点．(1)求EDA ∠的度数；(2)若20,16,6AB AC DE ===，求ABC S．18．如图，CA 平分BCD ∠，CAD ACD ∠=∠，E 为DA 延长线上一点．(1)请说明AD BC ∥的理由．(2)当AB 平分EAC ∠，AB DC 时，求D ∠的度数．19．如图，BD ，CE 是△ABC 的高，BD ，CE 相交于点F ，BE ＝CD ．求证：(1)Rt△BCE≌Rt△CBD；(2)AF平分△BAC．20．如图，四边形ACDB中，△D＝△ABD＝90°，点O为BD的中点，且AO平分△BAC，OE△AC，垂足为点E．(1)求证：CO平分△ACD；(2)求证：OA△OC；(3)判断AB，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．。

苏科版八年级数学上册《角平分线的判定》同步测试题-带答案

苏科版八年级数学上册《角平分线的判定》同步测试题-带答案一、单选题1．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三边的中垂线的交点2．如图，Rt△ABC中∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15则CD的长为（）A．3B．4C．5D．63．如图，AD是△ABC的角平分线DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．6B．5C．4D．3二、填空题4．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，过点P作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．5．如图，在△ABC中∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm,BD=5cm，那么点D到线段AB的距离是cm．6．如图，△ABC中，D是AB的中点DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8则AF=．7．如图，点O在△ABC内部OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若△ABC的周长为30，且OD=3则△ABC的面积为．8．如图，AD是△ABC的角平分线DE⊥AC，垂足为E，AF是△ABC的中线，AB=16，AC=6，DE=5，△ADF的面积为．三、解答题9．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．(1)求证：BD=CE；(2)若AB=6cm，AC=10cm，求AD的长．10．如图，已知AB=AC，BD=CD，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，求证：DM DN11．如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取点M，N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB．(1)求证：OP平分∠AOB；(2)若MN=8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和．12．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．(1)若∠ABC=40°，∠ACB=70°，求∠BDC的度数；(2)若DE=2，BC=9，求△BCD的面积．13．已知：∠MON=α，点P是∠MON平分线上的一点，点A在射线OM上，作∠APB=180°−α，交直线ON于点B，作PC⊥ON于点C．(1)观察猜想：如图①，当∠MON=90°时，PA和PB的数量关系是___(2)探究证明：如图②，当∠MON=60°时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出PA，PB之间另外的数量关系．(3)拓展延伸：如图③，当∠MON=60°，点B在射线ON的反向延长线上时，判断线段OC，OA及BC之间的数量关系，并说明理由．参考答案1．B【分析】本题考查的是角平分线的性质．根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”解答即可．【详解】解：∵三角形角平分线上的点到角两边的距离相等∵凉亭的位置应选在三角形三条角平分线的交点上．故：B．2．A【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．过点D作DE⊥AB于点E，根据三角形的面积公式求出3DE=，结合角平分线的性质即可解答．AB⋅DE【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，则S△ABD=12∵AB=10，S△ABD=15∴3DE=∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°∴3CD DE==故选：A．3．D【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．过点D作DF⊥AC于F，得到DE=DF=2，然后利用△ABC的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：过点D作DF⊥AC于F∵AD是△ABC的角平分线DE⊥AB∴DE=DF=2∴S△ABC=12×4×2+12AC×2=7解得AC=3．故选：D．4．4【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，角平分线的性质，求平行线间的距离等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．过点P作MN⊥AD，交AD于点M，交BC于点N，根据平行线的性质可证得MN⊥BC，由角平分线的性质可得PM=PE=2，PN=PE=2，进而可求得两平行线AD与BC间的距离．【详解】解：如图，过点P作MN⊥AD，交AD于点M，交BC于点N∴∠PMA=90°∵AD∥BC∴∠PMA+∠PNB=180°∴∠PNB=180°−∠PMA=180°−90°=90°∴PN⊥BC，即MN⊥BC由此可知，MN即为两平行线AD与BC间的距离∵AP是∠BAD的平分线且PM ⊥AD ，PE ⊥AB∴PM =PE =2∵BP 是∠ABC 的平分线且PN ⊥BC ，PE ⊥AB∴PN =PE =2∴MN =PM +PN =2+2=4∴两平行线AD 与BC 间的距离是4故答案为：4．5．3【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等求解即可．【详解】解：∵BC =8cm,BD =5cm∴CD =BC −BD =8−5=3(cm )∵∠C =90°∴D 到AC 的距离为CD =3cm∵AD 平分∠CAB∴D 点到线段AB 的距离为3cm ．故答案为：3．6．10【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行求解，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．先连接,AE BE ，过E 作EG ⊥BC 于G ，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出EF ,EG AE BE ==进而判定Rt △AEF ≌Rt △BEG 即可得到AF =BG ，据此列出方程128x -=+x 求得x 的值，即可得到AF 长．【详解】解：连接,AE BE 过E 作EG ⊥BC 于G∵D 是AB 的中点DE ⊥AB∴DE 垂直平分AB∴AE BE =∵180,180ACE BCE ECG BCE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠ACE =∠ECG又∵,EF AC EG BC ⊥⊥∵,EF EG FEC GEC =∠=∠∵,CF EF CG EG ⊥⊥∴CF =CG在Rt △AEF 和Rt △BEG 中{AE =BE EF =EG∴Rt △AEF ≌Rt △BEG (HL )∴AF =BG设CF =CG =x ，则AF =AC −CF =12−x,BG =BC +CG =8+x∴12−x =8+x解得x =2∴AF =12−2=10故答案为：10．7．45【分析】本题考查了角平分线的性质；作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA ，如图，利用角平分线的性质得到OE =OD =3 3OF OD ==再根据三角形面积公式得到S △ABC =12×3×(AB +BC +AC )，然后把30AB BC AC ++=代入计算即可．掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．【详解】解：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA ，如图∵OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB∴OE =OD =3 3OF OD ==∵S △AOB +S △BOC +S △AOC =S △ABC∴S △ABC =12×3×AB +12×3×BC +12×3×AC =12×3×(AB +BC +AC )而△ABC 的周长为30，即30AB BC AC ++=∴S △ABC =12×3×30=45．故答案为：45．8．12.5/252/1212 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的中线求面积，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，由角平分线的性质得到DH =DE ，即可求出△ABD 的面积，△ACD 的面积，利用S △ABC =S △ABD +S △ACD ，由AF 是△ABC 的中线，S △ADF =S △ABD −S △ABF 即可求出最后结果．【详解】解：过点D 作DH ⊥AB 于点H∵AD 是△ABC 的角平分线DE ⊥AC∴DH =DE =5∵AB =16，AC =6∴S △ABD =12AB ⋅DH =12×16×5=40，S △ACD =12AC ⋅DE =12×6×5=15 ∴S △ABC =S △ABD +S △ACD =55∵AF 是△ABC 的中线∴S △ABF =S △ACF =12×55=27.5∴S△ADF=S△ABD−S△ABF=40−27.5=12.5故答案为：12.5．9．(1)证明见解析(2)2cm【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质：=，根据角平分线上的点到（1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP CP角的两边距离相等可得DP=EP，然后利用“HL”证明Rt△BDP和Rt△CEP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）利用“HL”证明Rt△ADP和Rt△AEP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=AE，再根据AB、AC的长度表示出AD、CE，然后解方程即可．【详解】（1）证明：连接BP、CP∵点P在BC的垂直平分线上∴=BP CP∵AP是∠DAC的平分线∴DP=EP在Rt△BDP和Rt△CEP中{BP=CPDP=EP∴Rt△BDP≌Rt△CEP(HL)∴BD=CE；（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中{AP=APDP=EP∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL)∴AD=AE∵AB=6cm，AC=10cm∴6+AD=10−AE即6+AD=10−AD解得AD=2cm．10．见详解【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质证明边相等是解决这个问题的关键，属于中考常考题型．欲证明DM DN=，因为DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，所以只要证明∠MAD=∠NAD，可以通过证明△ABD≌△ACD(SSS)来实现．【详解】证明：连接AD∵AB=AC，BD=CD，AD=AD∴∠=∠MAD NAD∵DM⊥AB于M，DN⊥AC于N∴DM=DN．11．(1)见解析(2)20【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键．⊥，垂足为E，先利（1）过点P作PC OA⊥，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE OB用角平分线的性质定理可得PC=PE=PD，再利用角平分线判定定理，即可解答；（2）根据S△PMN=16，MN=8，可求出PD=4，从而可得PC=PE=PD=4，然后再利用S MONP=S△PMN ＋S△OMN=S△POM+S△PON，进行计算即可解答．⊥，【详解】（1）如图，过点P作PC OA⊥，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE OB垂足为E．∵MP平分∠AMN PC OA⊥PD⊥MN ∴PC=PD∵NP平分∠MNB，PD⊥MN PE OB⊥∴PD=PE．∴PC=PE∴OP平分∠AOB；（2）∵S△PMN=16∴12MN·PD=16∵MN=8∴12×8×PD=16．∴PD=4．∴PC=PE=PD=4．∵S△OMN=24∴S MONP=S△PMN＋S△OMN=40．∴S△POM+S△PON=40．∴12OM·PC+12ON·PE=40即12OM×4+12ON×4=40．∴OM+ON=20故线段OM与ON的长度之和为20．12．(1)125°(2)9【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，角平分线的性质．（1）根据角平分线的定义，及三角形内角和定理即可求出结论；（2）利用角平分线性质得出DE=DF，再利用三角形面积公式即可求出．【详解】（1）解：∵BD平分∠ABC，∠ABC=40°∴∠DBC=12∠ABC=12×40°=20°∵CD平分∠ACB，∠ACB=70°∴∠DCB=12∠ACB=12×70°=35°∴∠BDC=180°−20°−35°=125°；（2）解：BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，DE=2∴DF=DE=2．∵BC=9∴S△BCD=12×BC×DF=12×9×2=9．13．(1)PA=PB(2)成立证明见解析(3)OA=BC+OC【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，角平分线的性质．（1）作PD⊥OM于点D，根据角平分线的性质得到PC=PD，证明△APD≌△BPC，根据全等三角形的性质定理证明；（2）作PD⊥OM于点D，根据角平分线的性质得到PC=PD，证明△APD≌△BPC，根据全等三角形的性质定理证明；（3）仿照（2）的解法得出△APD≌△BPC，从而得出AD=BC，再根据HL得出Rt△OPD≌Rt△OPC，得出OC=OD，继而得出结论．【详解】（1）解：作PD⊥OM于点D，如图∵点P在∠MON的角平分线上，且PC⊥ON于C∴PC=PD∵∠MON=90°，∠APB=180°−α∴∠APB=90°，∠CPD=90°∴∠APD +∠BPD =90°，∠BPC +∠BPD =90° ∴∠APD =∠BPC∵∠PDA =∠PCB =90°在△APD 和△BPC 中{∠APD =∠BPCPD =PC ∠ADP =∠BCP∴△APD ≌△BPC (ASA )∴AP =BP ．（2）解：（1）中的结论还成立理由如下：如图2，作PD ⊥OM 于点D∵点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ∴PC =PD∵∠MON =60°，∠APB =180°−α∴∠APB =120°在四边形OCPD 中∠CPD =360°−90°−90°−60°=120° ∴∠APD +∠BPD =120°，∠BPC +∠BPD =120° ∴∠APD =∠BPC∵∠PDA =∠PCB =90°在△APD 和△BPC 中∴△APD ≌△BPC (ASA )∴AP =BP ．（3）解：OA =BC +OC ．理由如下：如图3，作PD ⊥OM 于点D同（2）可证△APD≌△BPC∴AD=BC点P在∠MON的角平分线上，且PC⊥ON于C ∴PC=PD在Rt△OPD和Rt△OPC中∴Rt△OPD≌Rt△OPC(HL)∴OC=OD∴OA−AD=OD=OC∴OA−BC=OC则OA=BC+OC．。

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第2课时角平分线的判定
一、选择题
1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（） A. 三条中线的交点
B. 三条高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点
D.三条角平分线的交点
2．如图，AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，垂足分别为D 、C ，AD 与BC 相交于点P ，若PA=PB ，
第2题图第3题图第4题图
3. 如图，在Rt △ABC 的斜边BC 上截取CD=CA ，过点D
作DE ⊥BC ，交AB 于E ，
线交于点
第5题图第6题图第7题图
M
F
E
D
C
B
A
6．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（） A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处
7．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是（）
（A ）DE ＝DF ．（B ）ME ＝M F ．（C ）AE ＝AF ．（D ）BD ＝DC ．
8. 如图，△ABC ，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，有下列四个结论：
①DA平分∠EDF ； ②AE=AF； ③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等； ④到AE ，AF 距离相等的点到DE 、DF 的距离也相等．
第8题图第10题图第11题图二、填空题
9. 在角的内部到角的两边距离相等的点的轨
迹是这个
角的．
10.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA 于C ，QD⊥OB 于D ，若QC=QD ，则∠AOQ= °．
°．
12.如图，已知PA ⊥ON 于A ，PB ⊥OM 于B ，且PA=PB ，∠MON=50°，
∠OPC=30°，则∠PCA= °．
第12题图第13题图
13.如图，△ABC 的∠ABC 的外角平分线BD 与∠ACB 的外角平分线CE 相
交于点P
，若点P 到
AC
的距离为4，则点P 到AB 的距离为 . 14.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=36°，DE ⊥AB 于D ，且EC=ED ，
∠EBC= °
15.如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=3，连接BD ，BD ⊥CD ，
∠ADB=∠C ．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为
第14题图第15题图第16题图
16.如图，点M 在∠ABC 内，ME ⊥AB 于E 点，MF ⊥BC 于F 点，且ME=MF ，∠ABC=70°，则∠BME= °．
三、解答题
17. 如图，AB AC ，表示两条相交的公路，现要在BAC 的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A 点的距离为1 000米．
（1）若要以1:50000的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处A 点的图上距离；
（2）在图中画出物流中心的位置P ．
18．如图，P 是∠BAC 内的一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ，AE=AF ．求
证：
（1）PE=PF ；
（2）点P 在∠BAC 的角平分线上．
求证：P 在∠A 的平分线上（如图）．
20．已知：如图，90B C ∠=∠=，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠．（1）若连接AM ，则AM 是否平分BAD ∠？请你证明你的结论．（2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．
21.（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P 介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？请说明理由．
第2课时角的平分线的判定
一、选择题
1.D
2.A
3.D
4.A
5.C
6.D
7.D
8.D
二、填空题
9.平分线10. 35 11. 90 12. 55 13. 4 14. 27 15. 3 16. 55
三、解答题
17.解:（1）1 000米=100 000厘米，
100 000÷50 000=2（厘米）；
(2)
18.证明：（1）如图，连接AP并延长，
∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴∠AEP=∠AFP=90°
又AE=AF，AP=AP，
∵在Rt△AFP和Rt△AEP中
∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），
∴PE=PF．
（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴∠EAP=∠FAP，
∴AP是∠BAC的角平分线，
故点P在∠BAC的角平分线上．
19.证明：过P 点作PE ，PH ，PG 分别垂直AB ，BC ，AC ．
∵PB，PC 分别是△ABC 的外角平分线， ∴PE=PH，PH=PG ， ∴PE=PG．
∴P 点在∠A 的平分线上．
20．（1）AM 平分DAB ∠．
证明：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ． 12∠=∠∵，MC CD ⊥，ME AD ⊥， ME MC =∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）
．又MC MB =∵，ME MB =∴．
MB AB ∵⊥，ME AD ⊥，
∴AM 平分DAB ∠线上）．
（2）AM DM ⊥，理由如下： 90B C ∠=∠=∵，
CD AB ∴∥（垂直于同一条直线的两条直线平行）
． 180CDA DAB ∠+∠=∴（两直线平行，同旁内角互补）
又112CDA ∠=∠∵，1
32
DAB ∠=∠（角平分线定义）
2123180∠+∠=∴，1390∠+∠=∴， 90AMD ∠=∴．即AM DM ⊥．
21.解：（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少证明三角形全等的条件， ∵只有OP=OP ，PM=PN 不能判断△OPM≌△OPN； ∴就不能判定OP 就是∠AOB 的平分线；方案（Ⅱ）可行．
证明：在△OPM 和△OPN 中，
，
∴△OPM≌△OPN（SSS），
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等）；
∴OP就是∠AOB的平分线．
（2）当∠AOB是直角时，此方案可行；
∵四边形内角和为360°，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，
∴∠AOB=90°，
∵PM=PN，
∴OP为∠AOB的平分线．（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上），
当∠AOB不为直角时，此方案不可行；
因为∠AOB必为90°，如果不是90°，则不能找到同时使PM⊥OA，PN⊥OB的点P的位置．。