人版七年级(上册)数学实数
人教版七年级数学-实数常考题目训练 (含答案)
人教版七年级数学-实数常考题目训练姓名：学校：学号：一．选择题（共17小题）1．平方根等于它本身的数是（）A．﹣1B．0C．1D．±12．若方程x2＝5的解分别为a、b，且a＞b，下列说法正确的是（）A．5的平方根是a B．5的平方根是bC．5的算术平方根是a D．5的算术平方根是b3．已知2a﹣1和﹣a+4是一个正数的平方根，则这个正数的值是（）A．9B．1C．7D．49或4．的算术平方根是（）A．±3B．3C．﹣3D．95．有下列说法：①﹣3是的平方根；②﹣7是（﹣7）2的算术平方根；③25的平方根是±5；④﹣9的平方根是±3；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列各式中正确的是（）A．B．C．D．7．若+|b﹣4|＝0，那么a﹣b＝（）A．1B．﹣1C．﹣3D．﹣58．计算正确的是（）A．＝±2B．＝3C．＝﹣2D．±＝±49．3是27的（）A．算术平方根B．平方根C．立方根D．立方10．下列说法：①的立方根是；②是17的平方根；③﹣27没有立方根；④比大且比小的实数有无数个．错误的有（）A．①③B．①④C．②③D．②④11．在下列各数中是无理数的有（）﹣0.55555…，，，，﹣π，，3.1415，2.020202…（相邻两个2之间有1个0）．A．2个B．3个C．4个D．5个12．估计﹣1的值在（）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间13．实数的整数部分是（）A．4B．5C．6D．714．已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|﹣|a﹣b|+|c﹣a|+|b﹣c|的结果是（）A．a+2b﹣2c B．2a+2b C．a﹣2c D．a+2b15．如图，在数轴对应的点可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D16．如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，则化简|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|的结果是（）A．2a﹣2c B．0C．2a﹣2b D．2b﹣2c17．下列说法正确的个数（）①无限小数都是无理数；②带根号的数都是无理数；③无理数与无理数的和一定是无理数；④无理数与有理数的和一定是无理数；⑤是分数；⑥无理数与有理数的积一定是无理数．A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共5小题）18．若一个数的平方等于6，则这个数等于．19．若＝3，求2x+5的平方根．20．9的算术平方根是；的立方根是；＝．21．若的算术平方根是a，则a的相反数为．22．已知的小数部分是a，的整数部分是b，则a+b＝．三．解答题（共8小题）23．解方程：（1）4x2＝16；（2）9x2﹣121＝0．（3）4x2﹣9＝0；（4）8（x+1）3＝125．（5）（x﹣3）3+27＝0．（6）（x﹣1）2＝4；23.计算：+++．|﹣3|﹣++（﹣2）2．24．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2；b﹣15的立方根为﹣3．（1）求a、b的值；（2）求4a+b的平方根．25．已知2x+3的算术平方根是3，5x+y+2的立方根是2，求x﹣y+4的平方根．人教版七年级数学-实数常考题目训练参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1-5:BCDBC 6-10:BDDCA 11-17ACCCCBA1.平方根等于它本身的数是（）A．﹣1B．0C．1D．±1【解答】解：平方根等于它本身的数是0．故选：B．2．若方程x2＝5的解分别为a、b，且a＞b，下列说法正确的是（）A．5的平方根是a B．5的平方根是bC．5的算术平方根是a D．5的算术平方根是b【解答】解：∵x2＝5的解分别为a、b，∴5的平方根是a、b，∴选项A不符合题意；∵x2＝5的解分别为a、b，∴5的平方根是a、b，∴选项B不符合题意；∵x2＝5的解分别为a、b，且a＞b，∴5的算术平方根是a，∴选项C符合题意；∵x2＝5的解分别为a、b，且a＞b，∴5的算术平方根是a，∴选项D不符合题意．故选：C．3．已知2a﹣1和﹣a+4是一个正数的平方根，则这个正数的值是（）A．9B．1C．7D．49或【解答】解：∵2a﹣1和﹣a+4是一个正数的平方根，∴①2a﹣1+4﹣a＝0，解得a＝﹣3，把a＝﹣3代入4﹣a得7，∴这个正数的值是49；②2a﹣1＝4﹣a，解得a＝，把a＝代入4﹣a得＝，∴这个正数的值是；故选：D．4．的算术平方根是（）A．±3B．3C．﹣3D．9【解答】解：∵＝9，∴的算术平方根是：＝3．故选：B．5．有下列说法：①﹣3是的平方根；②﹣7是（﹣7）2的算术平方根；③25的平方根是±5；④﹣9的平方根是±3；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①＝9，﹣3是的平方根，故①正确；②7是（﹣7）2的算术平方根，故②错误；③25的平方根是±5，故③正确；④﹣9没有平方根，故④错误；⑤0的算术平方根是0，故⑤错误；⑥＝3，的平方根为，故⑥正确；⑦平方根等于本身的数有0，故⑦错误．故选：C．6．下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：A.＝5，故A不符合题意；B.＝5，故B符合题意；C.被开方数小于0，无意义，故C不符合题意；D.被开方数小于0，无意义，故D不符合题意；故选：B．7．若+|b﹣4|＝0，那么a﹣b＝（）A．1B．﹣1C．﹣3D．﹣5【解答】解：∵+|b﹣4|＝0，而，|b﹣4|≥0，∴a+1＝0，b﹣4＝0，解得a＝﹣1，b＝4，∴a﹣b＝﹣1﹣4＝﹣5．故选：D．8．计算正确的是（）A．＝±2B．＝3C．＝﹣2D．±＝±4【解答】解：A．根据算术平方根的定义，＝2，故A错误．B．根据立方根的定义，≠3，故B错误．C．根据二次根式的定义，无意义且≠﹣2，故C错误．D．根据平方根的定义，，故D正确．故选：D．9．3是27的（）A．算术平方根B．平方根C．立方根D．立方【解答】解：∵33＝27，∴3是27的立方根，故选：C．10．下列说法：①的立方根是；②是17的平方根；③﹣27没有立方根；④比大且比小的实数有无数个．错误的有（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：①的立方根为，故错误；②﹣是17的平方根，正确；③﹣27有立方根，故错误；④比大且比小的实数有无数个，正确．综上可得①③正确．故选：A．11．在下列各数中是无理数的有（）﹣0.55555…，，，，﹣π，，3.1415，2.020202…（相邻两个2之间有1个0）．A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：＝4，＝2，无理数有，﹣π，共有2个，故选：A．12．估计﹣1的值在（）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间【解答】解：∵25＜26＜36，∴5＜＜6，∴4＜﹣1＜5，∴估计﹣1的值在：4到5之间，故选：C．13．实数的整数部分是（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：∵16＜17＜25，∴4＜＜5，∴6＜2+＜7，∴2+的整数部分是6，故选：C．14．已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|﹣|a﹣b|+|c﹣a|+|b﹣c|的结果是（）A．a+2b﹣2c B．2a+2b C．a﹣2c D．a+2b【解答】解：∵a＜0，a＜b，c＜a，b＞c，∴a﹣b＜0，c﹣a＜0，b﹣c＞0，∴原式＝﹣a+a﹣b+a﹣c+b﹣c＝a﹣2c，故选：C．15．如图，在数轴对应的点可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【解答】解：∵＜＜，∴3＜＜4，∴在数轴对应的点可能是C点．故选：C．16．如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，则化简|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|的结果是（）A．2a﹣2c B．0C．2a﹣2b D．2b﹣2c【解答】解：由数轴得，c＞0，a＜b＜0，因而a﹣b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0．∴原式＝b﹣a﹣c+a+c﹣b＝0．故选：B．17．下列说法正确的个数（）①无限小数都是无理数；②带根号的数都是无理数；③无理数与无理数的和一定是无理数；④无理数与有理数的和一定是无理数；⑤是分数；⑥无理数与有理数的积一定是无理数．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵无限循环小数是有理数，∴①的说法错误；∵带根号且开不尽方的数才是无理数，∴②的说法错误；∵互为相反数的两个数相加等于0，∴两个互为相反数的无理数相加等于0，是有理数，∴③的说法错误；∵无理数与有理数的和一定是无理数，∴④的说法正确；∵是无理数，而分数是有理数，∴⑤的说法错误；∵0乘以任何数都等于0，∴一个无理数与0相乘等于0，∴⑥的说法错误．综上，说法正确的有：④．故选：A．二．填空题（共5小题）18．若一个数的平方等于6，则这个数等于．【解答】解：∵（±）2＝6，∴这个数等于±，故答案为：±．19．若＝3，求2x+5的平方根．【解答】解：∵＝3，∴x+2＝9，即x＝7，∴2x+5＝19，19的平方根是±，故答案为：±．20．9的算术平方根是3；的立方根是2；＝﹣．【解答】解：9的算术平方根是3，∵＝8，∴的立方根是2，＝﹣，故答案为：3、2、．21．若的算术平方根是a，则a的相反数为﹣3．【解答】解：∵＝9，9的算术平方根3，∴的算术平方根a＝3，∴a的相反数为﹣3，故答案为：﹣3．22．已知的小数部分是a，的整数部分是b，则a+b＝．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴a＝﹣2，∵4＜8＜9，∴2＜＜3，∴b＝2，∴a+b＝，故答案为：．三．解答题（共8小题）23．解方程：（1）4x2＝16；（2）9x2﹣121＝0．【解答】解：（1）4x2＝16，x2＝4，x＝±2；（2）9x2﹣121＝0，9x2＝121，x2＝，x＝±．24．求出下列x的值：（1）4x2﹣9＝0；（2）8（x+1）3＝125．【解答】解：（1）4x2﹣9＝0，4x2＝9，x2＝，x1＝，x2＝﹣；（2）8（x+1）3＝125，（x+1）3＝，x+1＝，x＝1.5．25．求下列各式中的x：（1）（x+2）2＝25；（2）（x﹣3）3+27＝0．【解答】解：（1）（x+2）2＝25，x+2＝±5，x1＝﹣7，x2＝3；（2）（x﹣3）3+27＝0，x﹣3＝﹣3，x＝0．26．求下列各式中的x：（1）（x﹣1）2＝4；（2）8（x+1）3＝27．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝16x﹣1＝4，x﹣1＝﹣4，∴x＝5或﹣3；（2）（x+1）3＝（）3，∴x+1＝，∴x ＝．第11 页27．计算：+++．【解答】解：+++＝﹣2+5+2﹣3＝+2．28．计算|﹣3|﹣++（﹣2）2．【解答】解：原式＝3﹣4﹣2+4＝1．29．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2；b﹣15的立方根为﹣3．（1）求a、b的值；（2）求4a+b的平方根．【解答】解：（1）∵正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2，∴3a﹣14+a﹣2＝0，解得a＝4，∵b﹣15的立方根为﹣3，∴b﹣15＝﹣27，解得b＝﹣12∴a＝4、b＝﹣12；（2）a＝4、b＝﹣12代入4a+b得4×4+（﹣12）＝4，∴4a+b的平方根是±2．30．已知2x+3的算术平方根是3，5x+y+2的立方根是2，求x﹣y+4的平方根．【解答】解：因为2x+3的算术平方根是3，5x+y+2的立方根是2，所以，解得，所以x﹣y+4＝16，所以x﹣y+4的平方根为±＝±4．第12 页。
七年级数学上册第三章实数复习学案
第三章 实数导学案班级：姓名：______________【巩固旧知识】：1、如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的 ，即x ＝ (a ≥0)，根据平方根的定义可知，( )2＝a 。
正数有 个平方根，它们 ；零的平方根是 ；负数 平方根。
2、正数的 和 的平方根，统称为 。
一个数a (a ≥0)的算术平方根记作 。
根据算术平方根的定义可知，。
3、平方根等于本身的数是 ；算术平方根等于本身的数是 。
4、填空：a 2＝a = ⎩⎪⎨⎪⎧ ____(a >0) ____(a =0) ____(a <0) 5、无限不循环的小数叫做 ；有理数和无理数统称为 。
6、实数⎩⎪⎨⎪⎧ __________⎩⎪⎨⎪⎧________（包含正整数，零和负整数） （包含 小数和无限 小数 （无限 小数）7、如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的 ，即x ＝ ，根据立方根的定义可知，( )3＝a 。
一个正数有 个 的立方根；零的立方根是 ；一个负数有 个 的立方根。
3a 3＝ 。
8、立方根等于本身的数是 ；立方根和平方根都等于本身的数是 ；立方根和算术平方根都等于本身的数是 。
9、实数与数轴上的点 。
开方和 互为逆运算。
10、实数的运算顺序是先算 和 ，再算 ，最后算 。
如果遇到 ，则先进行 里的运算。
11、在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的 。
12、用“＞”或“＜”填空：(1) 大数－小数 0，(2) 小数－大数 0。
13、a －b 的相反数可以表示为 ；a ＋b 的相反数可以表示为 。
14、判断题：如果两个数互为相反数，那么它们的奇次幂仍互为相反数（ ）15、判断题：如果两个数互为相反数，那么它们的立方根仍互为相反数（ ）16、识记下列各式的值，结果保留4个有效数字：2≈___________ 3≈___________ 5≈___________ 6≈___________ 7≈___________17、请熟练识记11～21的平方：112＝ ；122＝ ；132＝ ；142＝ ；152＝ ；162＝ ； 172＝ ；182＝ ；192＝ ； 212＝ ；18、请熟练识记2～10的立方：23＝ ；33＝ ；43＝ ；53＝ ；63＝ ；73＝ ； 83＝ ； 93＝ ；103＝ ；【训练试题】：1、⎝ ⎛⎭⎪⎫3－123＝ 3⎝⎛⎭⎫－123 ＝ ()±32＝ ()－32＝ 2、()－62的平方根是 ；81的平方根是 ，算术平方根是 。
(完整版)七年级数学《实数》单元教学设计
初中七年级数学“实数”单元教学设计课题：第六章“实数”单元教学设计教材版本：人教版数学教科书教学年级：七年级（下册）一．教材分析本章内容包括算术平方根、平方根和立方根，并通过开平方和开立方运算认识一些不同于有理数的数，在此基础上引入无理数，使数的范围由有理数扩充到实数。
随着数的范围的扩充，数的运算也有了新的发展。
在实数范围内，不仅能进行加、减、乘、除四则运算，而且对0和任意正数能进行开平方运算，对任意实数能进行开立方运算。
在平方根、立方根、算术平方根、实数的概念的基础上，建立了完整的实数体系。
本章教材在初中数学中具有重要的地位，是进行其他内容学习的理论基础和运算基础（如一元二次方程、解直角三角形、函数、二次根式等）。
同时，在理论的运算中也常用开方运算，故务必要学好。
二．学情分析本章包括平方根、算术平方根、立方根、用计算器求算术平方根、无理数、实数等内容。
在此之前学生已学习了加、减、乘、除、乘方五种运算，学习了有理数的概念，具备了学习数的开方和学习无理数的条件，大部分学生对后继知识的学习有较强的欲望，但也有个别学生由于对有理数的概念理解不透，对无理数的学习信心不足，产生畏难和厌学情绪，教学中要注意及时引导。
三．教学目标（一）知识与技能1.理解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根；2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求算术平方根和立方根；3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系，了解数的范围由有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的一致性及其发展变化，并会进行简单的实数运算。
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围。
（二）过程与方法通过学习算术平方根、平方根、立方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。
用类比的方法探寻出平方根与立方根的运算及表示方法，并能自己总结出算术平方根与平方根，平方根与立方根的异同。
七年级上册数学实数知识点
七年级上册数学实数知识点本文对于七年级上册数学实数知识点进行了详细的阐述。
针对初中数学课程中的实数知识点，为了让同学们更好地掌握并应用，本文进行了整理和总结，详细讲解了实数的概念、性质、大小比较、集合的概念与运算等内容。
一、实数的概念实数指的是包括有理数和无理数在内的所有实数的集合，用符号R表示。
其中，有理数包括整数、分数和小数。
无理数指的是不能表示为有理数的数，例如π、√2等。
二、实数的性质1. 一切整数都是实数。
2. 一切分数都是实数。
3. 实数具有传递性，即如果a<b，b<c，则a<c。
4. 实数具有比较性，即任意两个实数都可以进行大小比较。
5. 实数具有相反数性质，即对于任意的实数a，在实数集合中存在唯一的一个实数-b，使得a+b=0。
称-b为a的相反数。
6. 实数具有相加性质，即对于任意的实数a、b，在实数集合中存在一个唯一的实数c，使得a+b=c。
7. 实数具有相乘性质，即对于任意的实数a、b，在实数集合中存在一个唯一的实数c，使得a×b=c。
三、实数的大小比较1. 整数大小比较：对于任意两个整数a、b，如果a<b，则称a 小于b。
反之，如果a>b，则称a大于b。
2. 有理数大小比较：对于任意两个有理数a、b，如果a-b>0，则称a大于b。
如果a-b=0，则称a等于b；如果a-b<0，则称a小于b。
3. 无理数大小比较：无理数大小比较可以采用数轴上的方法。
对于两个无理数a、b，如果它们对应数轴上的点在同一侧，则可以以这两个无理数对应线段的长度来判断大小。
即长度较大的线段所对应的无理数大于长度较小的线段所对应的无理数。
四、实数集合的概念与运算1. 实数集合的概念：实数集合就是由实数构成的集合，它可以用花括号{}括起来表示。
2. 实数集合的分类：（1）有理数集合：由有理数构成的集合，用符号Q表示。
（2）无理数集合：由无理数构成的集合，用符号I表示。
七年级数学上册知识点实数
七年级数学上册知识点实数在七年级数学上册学习中，学生将深入了解实数的概念和性质。
实数是数学中最基本和最常见的数字类型。
本文将介绍实数的重要性质、运算规律、实数轴等知识点，帮助学生更好地理解实数并提高数学能力。
一、实数的定义和性质实数是数学中的一种基本数字类型。
它可以表示所有可能的数字，包括整数、分数和无理数。
这些数字可以用十进制数系统表示。
实数有很多性质。
其中最基本的性质是序性：对于任意两个实数a和b，它们要么相等，要么a>b，要么a<b。
此外，实数具有可加性、可乘性、传递性等重要性质。
二、实数的运算规律对于实数，有加、减、乘、除四种基本运算。
在进行这些运算时，需要遵循一定的规律。
1.加法规律对于任意实数a、b和c，有：• 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)• 交换律：a+b=b+a• 存在单位元素：存在实数0，使得a+0=a• 存在相反数：对于任意实数a，存在实数-b，使得a+(-b)=0 2.乘法规律对于任意实数a、b和c，有：• 结合律：(ab)c=a(bc)• 交换律：ab=ba• 存在单位元素：存在实数1，使得a×1=a• 存在倒数：对于任意非零实数a，存在实数1/a，使得a×(1/a)=13. 运算优先级在进行实数运算时，需要遵循特定的优先级。
一般来说，先进行括号内的运算，然后按照乘除加减的顺序进行计算。
4.有理数的比较有理数之间可以通过大小比较符号来进行比较。
在进行比较时，需要注意分母大小、分子大小、符号以及进位等因素。
三、实数轴实数轴是一条数轴，用于表示实数之间的大小关系。
实数轴上的每个点都对应一个实数，并与它在数轴上的位置一一对应。
在实数轴上，零点是一个特殊的点，它将数轴分成两个部分，分别为正数部分和负数部分。
任何实数都可以表示为：a=b-c，其中b和c均为正数，且c≤a<c+1。
总结：本文介绍了七年级数学上册的重要知识点实数，包括实数的定义和性质、实数的运算规律以及实数轴等方面。
七年级数学上册《实数》教案、教学设计
3.介绍实数的四则运算，特别是乘除运算的化简方法。通过讲解和举例，让学生掌握实数运算的规则。
4.引导学生探究实数在数轴上的表示方法，让学生通过实际操作，体验实数与数轴的关系，培养数形结合的思维方式。
（三）学生小组讨论
8.课后辅导和拓展，针对学生在课堂上遗留的问题，进行个别辅导；同时，提供丰富的拓展资源，满足学有余力学生的需求。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一个正方形和一条对角线，提出问题：“同学们，你们知道这个正方形的对角线有多长吗？”引导学生回顾勾股定理，计算出对角线的长度为$\sqrt{2}$。
1.将学生分成小组，讨论以下问题：
a.举例说明无理数在实际生活中的应用。
b.如何判断一个数是否为无理数？
c.实数在数轴上如何表示？
2.各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
（四）课堂练习
1.设计不同难度的练习题，让学生独立完成。题目包括：
a.判断以下数是否为无理数：$\sqrt{5}$、$\pi$、$\frac{22}{7}$。
在教学过程中，教师应以学生为主体，关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性、主动性和创造性。通过本章节的学习，使学生全面掌握实数的知识与技能，形成良好的学习方法和情感态度，为今后的数学学习打下坚实的基础。
二、学情分析
七年级的学生正处于青春期，思维活跃，好奇心强，但注意力容易分散。在数学学习方面，他们已经掌握了有理数的概念和运算，具备了一定的数学基础。然而，对于实数的认识尚处于模糊阶段，特别是对无理数的理解和运用存在一定难度。因此，在教学过程中，应关注以下几点：
2.提问：“$\sqrt{2}$是一个什么类型的数？”让学生回顾有理数的概念，进而引出无理数的概念，为新课的学习做好铺垫。
七年级数学上册实数知识点
七年级数学上册实数知识点在七年级数学上册中，实数是重要的知识点之一。
实数的概念是数学中极其基础的知识之一，也是日常生活中最常用的数学概念之一。
在本文中，我们将介绍实数基本概念、实数的种类、实数的运算等知识点。
一、实数的基本概念实数是数学中最常用的概念之一，它包括有理数和无理数两种，而有理数又包括整数、分数和正负数三种。
实数的概念可以用几何图像表示，即实数可以表示为实轴上的一个点，如图一所示。
图一在图一中，实数0表示实轴的原点，正数和负数分别在0的右侧和左侧。
对于两个实数a和b(a≠0)，它们的乘积ab可以表示为一条长度为|a|的线段和一条长度为|b|的线段所组成的矩形面积。
二、实数的种类实数主要分为有理数和无理数两种。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，例如分数、整数和正负数均为有理数。
其中，整数有正整数、负整数及零；分数有正分数、负分数和零；正数和负数则只是不包括零的整数的集合。
而无理数则是不能用有理数形式表示的数。
例如，根号2是一个无理数，无理数可以表示为以0为根和1为顶的不可终止的连分数，如下所示：√2 = [1;2,2,2,…]实数在数轴上分布不均，有理数和无理数也分别分布在数轴的不同部位。
三、实数的运算实数有四则运算，即加法、减法、乘法和除法。
具体运算规则如下：1.加法：对于任意实数a和b，它们的和为a+b，如负数加正数、两个负数相加、分数相加等。
2.减法：对于任意实数a和b，它们的差为a-b，如正数减负数、负数减正数、分数减分数等。
3.乘法：对于任意实数a和b，它们的积为ab，如正数乘负数、两个负数相乘、分数相乘等。
4.除法：对于任意实数a和b(b≠0)，它们的商为a÷b，如分数相除、正数除以负数、负数除以正数等。
总之，实数作为数学中的基础概念，是非常常用的数学工具之一。
掌握实数的基本概念、种类和运算规则是数学学习的基础，也是我们日常生活中计算和理解问题的必要工具。
人教版七年级数学上册知识点(魔方格)
人教版-七年级-数学-上册第一章有理数第一节正数与负数正数：就是大于0的（实数）负数：就是小于0的（实数）0既不是正数也不是负数。
非负数：正数与零的统称。
非正数：负数与零的统称。
正负数的认识：1.对于正数和负数的概念，不能简单的理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。
例如：-a一定是负数吗？答案是不一定，因为字母a可以表示任意的数。
若a表示正数时，-a是负数；当a表示0时，-a就是在0的前面加一个负号，仍是0，0不分正负；当a表示负数时，-a就不是负数了，它是一个正数。
2.引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大为整数，整数也可以分为奇数和偶数两类，能被2整除的数是偶数，如…－6，－4，－2，0，2，4，6…，不能被2整除的数是奇数，如…－5，－4，－2，1，3，5…3.数细分有五类：正整数、正分数、0、负整数、负分数；但研究问题时，通常把有理数分为三类：正数、0、负数，进行讨论。
4.通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数；负整数和0统称为非正整数。
第二节有理数有理数定义及分类有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。
有理数的分类：（1）按有理数的定义：正整数整数{ 零负整数有理数{ 正分数分数{ 负分数（2）按有理数的性质分类:正整数正数{正分数有理数{ 零负整数负数{负分数有理数除法有理数除法定义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。
有理数的除法法则：（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；（3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。
有理数除法注意：①0不能做除数；②有理数的除法和乘法是互逆运算；③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。
七年级上册数学知识点实数
七年级上册数学知识点实数在数学学科中，一个非常重要的概念就是实数。
实数是指包括整数、分数、无理数等所有数的集合。
在七年级上册，我们需要掌握实数的基本概念和一些重要性质。
一、实数的定义实数是指所有有理数和无理数的集合。
有理数包括正整数、负整数、零、分数以及可以表示为分数的数。
而无理数则是指无法表示为有理数的数，例如根号2和π等。
实数集合用符号R来表示。
二、实数的性质1. 实数的加法满足交换律和结合律。
即，对于任意实数a、b、c，有a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)。
2. 实数的乘法也满足交换律和结合律。
即，对于任意实数a、b、c，有ab=ba、(ab)c=a(bc)。
3. 实数的加法对于乘法具有分配律。
即，对于任意实数a、b、c，有a(b+c)=ab+ac。
4. 存在一个实数0，使得对于任意实数a，有a+0=a。
5. 存在一个实数1，使得对于任意实数a，有a×1=a。
6. 对于任意实数a，存在一个相反数-b，使得a+b=0。
7. 对于任意非零实数a，存在一个倒数1/a，使得a·(1/a)=1。
三、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。
1. 有理数有理数包括正整数、负整数、零、分数以及可以表示为分数的数。
有理数的集合用符号Q表示。
有理数的加法和乘法满足上述性质。
2. 无理数无理数是指无法表示为有理数的数。
例如，根号2、根号3、π等都是无理数。
无理数的集合用符号R-Q表示。
三、实数的比较在比较两个实数大小时，可以使用小于号<、等于号=、大于号>三种符号。
对于两个有理数a和b，如果a<b，则称a小于b。
如果a>b，则称a大于b。
如果a=b，则称a等于b。
当比较两个无理数大小时，则需要利用不等式或者等式的性质进行判断。
四、实数的绝对值实数的绝对值是指一个实数与零之间的距离。
对于一个实数a，它的绝对值用|a|表示，可以这样定义：若a≥0，则|a|=a。
初中数学人教版(五四制)七年级上册第十三章 实数13.2 立方根-章节测试习题(10)
章节测试题1.【答题】=______．=______．【答案】-4,【分析】本题考查了平方根和立方根．【解答】=；==．2.【答题】如果的平方根是±3，则＝______．【答案】4【分析】本题考查了立方根．【解答】先利用平方根及算术平方根的定义求出a的值，再代入求值即可．解：∵的平方根是±3，∴＝9，∴＝＝＝4．故答案为：4．3.【答题】一个立方体的体积是216cm3，则这个立方体的棱长是______cm．【答案】6【分析】本题考查了立方根．【解答】设这个立方体棱长为xcm，则x3=216，解得x=6．所以这个立方体的棱长为6cm．4.【答题】64的平方根是______，27的立方根是______；2-的相反数是______，绝对值是______．【答案】±8,3,,【分析】本题考查了平方根和立方根．【解答】∵（±8）2=64∴64的平方根是±8，∵33=27∴27的立方根是3；2-的相反数是-（2-）=-2，|2-|=-（2-）=-2，∴2-的绝对值是-2．5.【答题】计算的结果是（）A. B. C. ±3 D. 3【答案】D【分析】本题考查了立方根．【解答】∵33＝27，∴．选D.6.【题文】依照平方根（二次方根）和立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义：①如果x4＝a（a≥0），那么x叫做a的四次方根；②如果x5＝a，那么x叫做a的五次方根．请依据以上两个定义，解决下列问题：（1）求81的四次方根；（2）求-32的五次方根；（3）求下列各式中未知数x的值：①x4＝16；②100000x5＝243．【答案】（1）±3．（2）-2．（3）①；②．【分析】本题考查了平方根和立方根．【解答】（1）∵（±3）4＝81，∴81的四次方根是±3．（2）∵（-2）5＝-32，∴-32的五次方根是-2．（3）①；②原式变形为x5＝0.00243，∴．7.【题文】已知2a-1的立方根是±3，3a＋b-1的算术平方根是4，求50a-17b的立方根．【答案】6【分析】本题考查了平方根和立方根．【解答】∵2a-1的平方根是±3，∴2a-1＝9，∴a＝5；∵3a＋b-1的算术平方根是4，∴3a＋b-1＝16，∴b＝2．因此50a-17b＝250-34＝216．∵216的立方根为6，∴50a-17b的立方根为6．8.【题文】已知第一个正方体纸盒的棱长为6cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127cm3，求第二个纸盒的棱长．【答案】7cm【分析】先根据正方体的体积公式求得第一个正方体的体积，即可得到第二个正方体的体积，从而得到结果．【解答】∵第一个正方体纸盒的棱长为6cm，∴第一个正方体纸盒的体积为216cm3，∵第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127cm3，∴第二个正方体纸盒的体积343cm3，∴第二个纸盒的棱长为7cm．9.【题文】已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的立方根是4，求a+b的平方根．【答案】±【分析】根据平方根可求出2a-1=9，根据立方根可求出3a+b-1=64，然后解方程求出a、b的值即可．【解答】解：∵2a-1的平方根是±3，∴2a-1=9，∴a=5，∵3a+b-1的立方根是4，∴3a+b-1=64，∴b=50，∴a+b=55，∴a+b的平方根是．10.【题文】已知x+12的算术平方根是，2x+y-6的立方根是2．（1）求x，y的值；（2）求3xy的平方根．【答案】（1）x=1，y=12；（2）±6【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义解答，由算数平方根的定义，可得x+12=（）2，求解可得到x的值；由立方根的定义，得到2x+y-6=23，将x的值代入2x+y=14，即可得到y的值；（2）先求出3xy的值，再结合平方根的定义即可求出3xy平方根．【解答】（1）解：∵x+12的算术平方根是，2x+y-6的立方根是2．∴x+12==13，2x+y-6=23=8，∴x=1，y=12（2）解：当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，∵36的平方根是±6，∴3xy的平方根±6．11.【题文】已知3是2a-1的一个平方根，3a+5b-1的立方根是4，求a+2b的平方根．【答案】±5【分析】先根据平方根、立方根的定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，进而得到a+2b的平方根．【解答】由题意有，解得a=5，b=10，a+2b=5+20=25，则a+2b的平方根为±512.【题文】计算题．（1）（2）【答案】（1）-1.6；（2）；【分析】（1）第一项表示0.16的算术平方根，第二项表示-27的立方根，第三项表示4的算术平方根，第四项-1的奇次幂仍是-1；（2）先判断绝对值内的式子的正负性，然后再去绝对值化简．【解答】（1）解：原式=0.4-3+2-1=-1.6（2）解：原式=--3++-1=2-413.【题文】计算：．【答案】10【分析】第一项表示49的算术平方根，第二项表示-8的立方根，第三项表示25的算术平方根．【解答】解：原式=7-2+5=1014.【题文】求下列各数的立方根：（1）；（2）-10-6；【答案】（1）（2）-10-2【分析】（1）直接利用立方根的定义求出即可；（2）直接利用立方根的定义求出即可．【解答】（1），∵，所以的立方根是；（2）∵，所以的立方根是．15.【题文】求下列各数的立方根：（1）-125；（2）0.027；（3）（53）2．【答案】（1）-5；（2）0.3；（3）25【分析】根据立方根的意义，如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a （x3=a），即3个x连续相乘等于a，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．【解答】（1）∵（-5）3=-125∴-125的立方根为-5；（2）∵0.33=0.027∴0.027的立方根为0.3（3）∵（53）2=（52）3∴（53）2立方根为52=25．16.【题文】请根据如图所示的对话内容回答下列问题．（1）求该魔方的棱长；（2）求该长方体纸盒的长．【答案】（1）魔方的棱长6cm；（2）长方体纸盒的长为10cm．【分析】（1）由正方体的体积公式，再根据立方根，即可解答；（2）根据长方体的体积公式，再根据平方根，即可解答．【解答】（1）设魔方的棱长为xcm，可得：x3=216，解得：x=6，答：该魔方的棱长6cm；（2）设该长方体纸盒的长为ycm，6y2=600，y2=100，y=10，答：该长方体纸盒的长为10cm．17.【题文】如果一个正数x的两个平方根分别为a＋1和a-5．（1）求a和x的值；（2）求7x＋1的立方根．【答案】（1）x=9（2）【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，得出以为未知数的方程，求解即可求出的值，结合可求出的值；（2）先求出的值，再根据立方根的定义求解即可．【解答】（1）由题意，得解得所以因为的平方根是，所以（2）因为所以的立方根为18.【题文】已知一个正方体的体积是1000cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使得截去后余下的体积是488cm3，问截得的每个小正方体的棱长是多少？【答案】截得的每个小正方体的棱长是4cm．【分析】一个正方体的体积是1000cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是488cm3，设截得的每个小正方体的棱长xcm，根据已知条件可以列出方程，解方程即可求解．【解答】设截去的每个小正方体的棱长是xcm，则由题意得，解得x＝4．答：截去的每个小正方体的棱长是4厘米．19.【题文】已知x-2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求的平方根．【答案】±10【分析】先运用立方根和平方根的定义求出x与y的值，再求出的平方根．【解答】∵x-2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，∴x-2=4，2x+y+7=27，解得x=6，y=8，∴==100，∴的平方根是±10．20.【题文】计算：（1）（2）36（x-3）2-25=0（3）（x+5）3=-27．【答案】（1）0；（2）x1=，x2=；（3）x=-8．【分析】（1）首先化简各数，进而计算得出答案；（2）直接利用平方根的定义得出答案；（3）直接利用立方根的定义得出答案．【解答】（1）原式=2+2+=0；（2）36（x-3）2-25=0则（x-3）2=，故x-3=±，解得：x1=，x2=；（3）（x+5）3=-27x+5=-3，解得：x=-8．。
人教版七年级数学上册：1.2.4《绝对值》教案4
人教版七年级数学上册：1.2.4《绝对值》教案4一. 教材分析《绝对值》是人教版七年级数学上册第一章第二节第四个小节的内容。
绝对值是实数的一个基本概念，也是初中数学中的重要内容。
它不仅涉及到有理数的分类，而且还是解一元一次方程、不等式以及函数等数学问题的重要工具。
本节课主要让学生了解绝对值的概念，掌握绝对值的性质，并能够运用绝对值解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数、实数等基础知识，对于数的概念有一定的了解。
但是，对于绝对值这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和讲解来理解和掌握。
同时，学生需要具备一定的抽象思维能力，能够从具体的实例中提炼出绝对值的性质。
三. 教学目标1.让学生了解绝对值的概念，能够正确理解绝对值的定义。
2.让学生掌握绝对值的性质，能够运用绝对值的性质解决一些实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生解决数学问题的能力。
四. 教学重难点1.绝对值的概念和性质。
2.运用绝对值解决实际问题。
五. 教学方法1.采用情境教学法，通过具体实例引入绝对值的概念，让学生在实际情境中理解和掌握绝对值。
2.采用讲授法，讲解绝对值的性质，引导学生通过归纳总结出绝对值的性质。
3.采用练习法，让学生通过解决实际问题，巩固对绝对值的理解和运用。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引入绝对值的概念。
2.准备PPT，用于展示绝对值的性质和实例。
3.准备一些练习题，用于巩固学生对绝对值的理解和运用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体实例，如“小明的家距离学校5公里，请问小明从学校出发，走到家还是走到学校，距离分别是多少？”让学生思考并解答，引出绝对值的概念。
2.呈现（15分钟）PPT展示绝对值的性质，引导学生通过观察和思考，归纳总结出绝对值的性质。
同时，对学生的回答进行点评和指导。
3.操练（15分钟）让学生通过解决一些实际问题，运用绝对值的性质进行计算和解答。
七年级数学上册-6.3 实数 解析版
6.3实数【考点梳理】考点一：实数的概念与分类考点二：实数和数轴问题考点三：实数的大小比较考点四：无理数的估算考点五：无理数的整数和小数部分考点六：实数的运算考点七：实数的程序框图或新定义运算考点八：与实数有关的规律问题知识点一：无理数无限不循环小数称为无理数。
（开方开不尽的数；含有π的数；有规律但不循环的数。
）如2，3等知识点二：实数：有理数和无理数统称实数。
知识点三：实数与数轴每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。
即实数和数轴上的点是一一对应的。
技巧归纳：1、a是一个实数，它的相反数为-a2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
（在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样。
）题型一：实数的概念与分类1．（22-23七年级下·福建福州·期末）下列说法正确的是()A．实数分为正实数和负实数B．无限小数都是无理数C．带根号的数都是无理数D．无理数都是无限不循环小数【答案】D【分析】根据实数的分类以及有关概念逐一分析即可解决.【详解】A.实数分为正实数、负实数和零，故此选项错误；B.无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故此选项错误；C.带根号的数不一定是无理数，如4，9等，故此选项错误；D.无理数都是无限不循环小数，故此选项正确；故选：D【点睛】此题考查了实数的分类以及有关概念，掌握实数的分类和相关概念是解答此题的关键. 2．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（）A．实数可分为有理数和无理数B．无理数可分为正无理数和负无理数；C．无理数都是无限小数D．无限小数都是无理数．【答案】D【分析】有理数与无理数统称实数，无限不循环小数是无理数，根据概念逐一分析即可．【详解】解：实数可分为有理数和无理数，原说法正确，故A不符合题意；无理数可分为正无理数和负无理数，原说法正确，故B不符合题意；无理数都是无限小数，原说法正确，故C不符合题意；无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故D符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是实数的分类，无理数的含义，熟记概念是解本题的关键．3．（21-22七年级下·河北石家庄·阶段练习）下列说法正确的有（）①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是有理数；④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可．【详解】解：①无理数都是实数，原说法正确；②实数包括无理数和有理数，原说法错误；③无限循环小数是有理数，原说法错误；④带根号的数不一定是无理数，如9，原说法错误；⑤不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，原说法错误；故正确的只有1个，故选：A ．题型二：实数和数轴问题4．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知正方形ABCD 的面积为5，顶点A 在数轴上，且表示的数为1．现以A 为圆心，AB 为半径画圆，与数轴交于点E （E 在A 的右侧），则点E 表示的数为（）A ． 3.2-B ．5-C ．51--D ．51+【答案】D 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据正方形的边长是面积的算术平方根得5AB AE ==，结合A 点所表示的数及AE 间距离可得点E 所表示的数，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．【详解】解：∵正方形ABCD 的面积为5，且AB AE =，∴5AB AE ==，∵点A 表示的数是1，且点E 在点A 的右侧，∴点E 表示的数为51+．故选：D ．5．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别是1和3，点A 到点B 的距离等于点C 到点B 的距离，则点C 表示的数是（）A ．31-B ．231-C ．232-D ．31+【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，以及数轴上两点之间的距离，根据题意得出AB ，再根据点A 到点B 的距离等于点C 到点B 的距离，推出BC ，利用数轴上两点之间的距离即可解题．【详解】解： 数轴上A ，B 两点表示的数分别是1和3，31AB ∴=-，点A 到点B 的距离等于点C 到点B 的距离，∴31BC =-，∴点C 表示的数是331231+-=-．故选：B ．6．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）实数a 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A ．11a a -<<-<B ．11a a -<-<<C ．11a a <-<-<D ．11a a<-<<-【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，掌握“数轴上，右边的数总是大于左边的数”是解决问题的关键．根据相反数的概念作图，然后利用数轴比大小．【详解】解：如图，由数轴可得11a a <-<<-，故选：D ．题型三：实数的大小比较7．（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知a 是()22-的负的平方根，22=-b ，364=-c ，则a b c ，，中最大的实数与最小的实数的差是（）A ．6B ．2-C ．8-D ．12-【答案】A 【分析】本题主要考查平方根、立方根、绝对值以及有理数的加减运算，根据题意分别求得a b c ，，，再找到最大值和最小值作差即可．【详解】解：∵a 是()22-的负的平方根，22=-b ，364=-c ，∴2a =-，2b =，4c =-，∴a b c ，，中最大的实数为2与最小的实数4-的差()246--=；故选：A ．8．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）比较实数10-，327-，0，5-的大小，其中最小的实数为（）．A ．10-B ．327-C ．0D ．5-【答案】A【分析】本题主要考查有理数的比较大小，解答本题的关键在于熟练掌握负数与负数，以及负数与0的大小比较的方法．【详解】解：根据“正数0>>负数”，以及两个负数比较大小，绝对值大的反而小可得：∵3270105->-->>，3027105∴-<-<-<．故选：A ．9．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）下列各式成立的是（）A ．55<B ．333->-C ．3223-<-D ．3027<-【答案】C【分析】根据实数的大小比较的方法逐一分析判断即可．【详解】解：∵255>，∴55>，故A 不符合题意；∵33-=，3333-=，333>，∴333-<-，故B 不符合题意；∵320-<，230->，∴3223-<-，故C 符合题意；∵30327>-=-，故D 不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键．题型四：无理数的估算10．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若整数a ，b 满足26a <<，610b <<，则a b -=（）A ．5-B ．1-C ．1D ．5【答案】B【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，可估算122<<，263<<，由整数a ，b ，可求出a ，b ，代值计算，即可求解；掌握估算的方法是解题的关键．【详解】解：122<< ，263<<，又 整数a ，b 满足26a <<，610b <<，2a ∴=，3b =，a b∴-23=-1=-；故选：B ．11．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知2023n =，则n 的值可以为（）A ．4045n <<B ．3540n <<C ．3035n <<D ．2530n <<【答案】A【分析】本题考查无理数估算，涉及无理数性质，根据160020232025<<，即可得到答案，熟练掌握无理数的估算方法是解决问题的关键．【详解】解： 160020232025<<，40202345∴<<，故选：A ．12．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）若将2-，5，7，11这四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是（）A ．2-B ．5C ．7D ．11【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，涉及数轴定义，由题中数轴图示可知数的取值范围是3到5之间，对2-，5，7，11这四个无理数的范围进行估算即可得到答案，熟练掌握无理数的估算方法是解决问题的关键．【详解】解：20-<；由459<<得253<<；由479<<得273<<；由91116<<得3114<<；∴能被阴影覆盖的数是11，故选：D ．题型五：无理数的整数和小数部分13．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）实数231-的整数部分为a ，小数部分为b ，则23a b +=（）A ．3237-B ．2231+C ．3236-D ．32312-【答案】C【分析】本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键．利用算术平方根的估算可知4235<<，32314<-<，即3a =，234b =-，由此即可求得结果．【详解】解：∵4235<<，∴32314<-<，∴3a =，∴32314<-<，∴231234b a =--=-，∴()232332346323123236a b +=⨯+-=+-=-．故选：C ．14．（22-23七年级下·湖北咸宁·期末）大家知道，2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用21-来表示2的小数部分．因为2的整数部分是1．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：273<<，故7的整数部分为2，小数部分为72-．已知511+的小数部分为a ，511-的小数部分为b ，则a b +的值为（）A ．1B ．0C ．211D ．2116-【答案】A【分析】根据无理数的估算方法分别表示出a 和b ，再代入a b +计算即可．【详解】∵3114<<，11-4<-<-3，∴85119<+<，111<5-<2，∴511+的整数部分为8，511-的整数部分为1，∵511+的小数部分为a ，511-的小数部分为b ，∴5118113a =+-=-，5111411b =--=-，∴1134111a b +=-+-=．故选A ．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．15．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）已知610+的小数部分为a ，610-的小数部分为b ，则()2023a b +的值是（）A ．1B ．1-C ．10D ．36【答案】A【分析】根据题意得出103,410a b =-=-，进而即可求解．【详解】解：∵3104<<，∴961010<+<，26103<-<∴610+的小数部分为6109103+-=-，610-的小数部分为()6102410--=-，∴103,410a b =-=-∴()()20232023103410=1a b +=-+-，故选：A ．【点睛】本题考查了无理数的估算，根据题意得出103,410a b =-=-是解题的关键．题型六：实数的运算16．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若实数a ，b 满足13a b +=-，则（）A ．a ，b 都是有理数B ．a b -的结果必定为无理数C ．a ，b 都是无理数D ．a b -的结果可能为有理数【答案】D【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键．根据实数的运算法则，逐项进行判断分析即可．【详解】解：A 、当2a =时，13213b =--=--，a 是有理数，b 是无理数，故A 错误；B 、当1322a b ==-，那么0a b -=，所以B 错误；C 、当2a =时，13,b a =--是有理数，故选项C 错误；D 、当1322a b ==-，那么0a b -=，所以选项正确，D 正确．故选：D ．17．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）计算：(1)()()223283---+；(2)3162327+--．【答案】(1)7；(2)33-．【分析】本题考查了算术平方根与立方根、化简绝对值，熟练掌握算术平方根与立方根和运算法则是解题关键．（1）先计算算术平方根与立方根及乘方，再计算实数的加减法即可得；（2）先计算算术平方根与立方根、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得．【详解】（1）解：()()223283---+()223=--+7=；（2）解：3162327+--4233=+--33=-．18．（23-24七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点A 表示的数5，点A ，点B 关于原点对称，把点A 向右移动2个单位得到点C ，设点B 表示的数为m ，点C 所表示的数为n ．(1)数m 的值是__________；数n 的值是__________；(2)求()222m n ++-的值．【答案】(1)5-，52+(2)35+【分析】本题主要考查了实数和数轴．（1）根据关于原点对称的两个数的特征和数轴上两点间的距离公式，进行解答即可；（2）把（1）中所求m ，n 的值代入所求代数式，进行计算即可．【详解】（1）解：∵点A 表示的数5，点A ，点B 关于原点对称，∴点B 表示的数是5-，∴5m =-，∵把点A 向右移动2个单位得到点C ，∴点C 表示的数52n =+，故答案为：5-，52+；（2）解：∵由（1）可知5m =-，52n =+，∴()222m n ++-()2|25|522=-++-()2525=-+525=-+35=+．题型七：实数的程序框图或新定义运算19．（23-24七年级上·山东淄博·期末）设[]x 表示最接近x 的整数（0.5x n ≠+，n 为整数），则[1][2][3]...[21]++++=（）A ．32B ．46C ．64D ．65【答案】D【分析】本题考查对题干的理解和对二次根式的估算，根据21.5、22.5、23.5、 的取值，判断[]x 最接近x 的整数为多少，最后将这些数相加即可．【详解】解：21.5 2.25=，即有2个1；22.5 6.25=，即有4个2；23.512.25=，即有6个3；24.520.25=，即有8个4；则剩余1个数为5．故[1][2][3]...[21]++++=21426384565=⨯+⨯+⨯+⨯+=．故选：D ．20．（23-24七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下：(1)在1-，2，4，16中选择3个合适的数分别输入x ，求对应输出y 的值．(2)若输出y 的值为3-，求输入x 的值．【答案】(1)当2x =时，2y =-；当4x =时，2y =-；当16x =时，=2y -(2)3或9【分析】（1）将2x =，4，16分别代入，计算求解即可；（2）由题意知，分当3-是无理数的相反数时，当3-是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可．【详解】（1）解：当2x =时，其算术平方根为2，是无理数，故2y =-；当4x =时，其算术平方根为2，是有理数，故2y =-；当16x =时，其算术平方根为4，是有理数，故42y =-=-；（2）解：当3-是无理数的相反数时，则x 的算术平方根是3，∴3x =，当3-是有理数的负平方根时，则x 的算术平方根的负平方根是3-，∴9x =，综上所述，x 的值为3或9．【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题的关键．21．（23-24七年级上·湖北·期末）对于有理数a ，b 满足1a b ab -=+，我们称使等式成立的一对有理数a ，b 为“相伴有理数对”，记为(),a b ．如()3,2-满足：32321--=-⨯+；12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭满足：1122133-=⨯+；所以数对()3,2-，12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭都是“相伴有理数对”．(1)数对()1,1-，()1,0中，是“相伴有理数对”的是______；(2)若()21,3x -是“相伴有理数对”，求x 的值；(3)若(),m n 是“相伴有理数对”，则()1372n mn mn m n -+-+⎡⎤⎣⎦的值为______．【答案】(1)()1,0(2)12x =(3)12【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，整式的混合运算，解题的关键是正确理解题目所给“相伴有理数对”的定义．（1）根据题目所给的“相伴有理数对”的定义，进行判断即可；（2）根据题目所给的“相伴有理数对”的定义，列出方程求解即可；（3）根据题目所给的“相伴有理数对”的定义，得出1mn m n =--，将()1372n mn mn m n ⎡⎤-+-+⎣⎦化简，再将1mn m n =--代入，即可解答．【详解】（1）解：∵11111--≠-⨯+，∴()1,1-不是“相伴有理数对”，∵10101-=⨯+，∴()1,0是“相伴有理数对”，故答案为：()1,0；（2）解：∵()21,3x -是“相伴有理数对”∴()2133211x x --=-+，解得：12x =；（3）解：∵(),m n 是“相伴有理数对”，∴1m n mn -=+，∴1mn m n =--()1372n mn mn m n ⎡⎤-+-+⎣⎦()1372n mn mn m n =-+--7113222n mn mn m n=-+--111222n m mn =-+把1mn m n =--代入得：原式()1111222n m m n =-+--1111122222n m m n =-+--12=．故答案为：12．题型八：与实数有关的规律问题22．（22-23七年级下·广东江门·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：1-，2，33，2-，5，36，7-，8，39，10-，…则按此规律可推得这一列数中的第2023个数应是()A ．2023B ．2023-C ．32023D ．2023【答案】B【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2023个数．【详解】解：∵一列实数：1-，2，33，2-，5，36，7-，8，39，10-，…，∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数、算术平方根、立方根，∵202336741÷=⋯，∴这一列数中的第2023个数应是2023-，故选：B ．【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．23．（22-23七年级下·安徽马鞍山·期中）有一列数按如下规律排列：231567,,,,,,244163264----⋅⋅⋅则第2017个数是（）A ．201620172-B ．201620172C ．201720182-D ．201720182【答案】C【分析】由1448=，则可得分子、分母的规律及符号的规律，从而可得结果．【详解】解：23567,,,,,,2416648324----⋅⋅⋅，符号两项负一项正循环，而20173672÷=…1，则第2017项的符号为负；分子是从2开始的连续自然数的算术平方根，即()11n n +≥，则第2017项的分子为2018；分母是以2为底数的乘方，且指数从1开始，且分子的被开方数比分母指数大1，即()21nn ≥，则第2017项的分母为20172，综合得第2017个数是201720182-；故选：C ．【点睛】本题考查了无理数规律的探索，找到规律是解题的关键．24．（22-23七年级上·贵州铜仁·期中）观察下列等式122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，．．．，则234202322222+⋅⋅⋅++++的末位数字是（）A ．8B ．4C ．6D ．0【答案】B【分析】根据算式得到2的乘方的结果中末位数字依次为：2，4，8，6，2，4，8，6，L ，由此得到末位数字的规律是每四个为一个循环，由此得到答案．【详解】解：由题意得到：2的乘方的结果中末尾数字依次为：2，4，8，6，2，4，8，6，L ，∵248620+++=，∴每4个算式相加的结果的末位数字为0，∵20234505÷=余3，∴24814++=∴234202322222++++⋅⋅⋅+的末位数字是4，故选：B ．一、单选题25．（23-24七年级上·浙江温州·期末）在13-，6，1.23，0这四个数中，属于无理数的是（）A ．13-B ．6C ．1.23D ．0【答案】B【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数．据此解答即可．【详解】解：在13-，6，1.23，0这四个数中，13-，1.23，0是有理数，6是无理数，故选：B ．26．（23-24七年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，数轴上表示2、5的对应点分别为C 、B ，点C 是AB 的中点，则点A 表示的数是（）A ．5-B ．25-C ．45-D ．52-【答案】C【分析】本题考查了数轴和实数的关系的应用，注意：在数轴上AB 之间的距离是A B AB x x =-．设点A 表示的数是a ，求出BC 之间的距离，求出AC ，即可得出关于a 的方程，求出即可．【详解】解：设点A 表示的数是a ，在数轴上数表示2，5的对应点分别是C 、B ，B ∴、C 之间的距离是52BC =-，点C 是AB 的中点，52AC BC ∴==-，C 点表示的数是2，A 点表示的数是a ，252a ∴-=-，解得：45a =-．故选：C ．27．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若22a =-，则（）A ．322a -<<-B ．312a -<<-C ．112a -<<-D ．102a -<<【答案】C【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算无理数22的大小，进而得出22-的大小即可．【详解】解：122<< ，12122\<<，21221<-<-\-，故选：C ．28．（2024七年级下·全国·专题练习）对于整数n ，定义[]n 为不大于n 的最大整数，例如：[]22 4.55[]=-=-，，则5⎡⎤⎣⎦和[]-π的距离为（）A ．2B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】此题考查了无理数的估算和新定义，先估算出5⎡⎤⎣⎦的范围，再根据新定义得到52⎡⎤⎣⎦=，[]4π-=-，即可得到答案．【详解】解：∵459<<，∴253<<，∴52⎡⎤⎣⎦=，[]4π-=-，则()24246--=+=，则5⎡⎤⎣⎦和[]-π的距离为6，故选：C ．29．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）在数π3，37，0，0.34，16，1.010010001中，无理数有【答案】π3【分析】此题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握初中范围内学习的无理数有：含π的数字算式；开方开不尽的数；以及特殊构造的数，像0.1010010001…．无理数就是无限不循环小数．有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数．据此逐一判断．【详解】在实数π3，37，0，0.34，164=，1.010010001中，37，0，0.34，1.010010001是有理数，164=是有理数，π3是无理数．故答案为：π3．30．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）数轴上点A 表示的数为1，点B ，C 分别位于点A 的两侧，且到点A 的距离相等．已知点B 到原点的距离为2，则点C 表示的数是．【答案】22-或22+【分析】本题主要考查了有关实数和数轴的简单应用，先根据点B 到原点的距离，求出点B 表示的数，然后分两种情况：当点B 在点A 右侧时和当点B 在点A 左侧时，利用两点间的距离公式，求出AB 和AC ，进行解答即可．【详解】解：∵点B 到原点的距离为2，∴点B 表示的数是2±，当点B 在点A 右侧时，∵点A 表示的数为1，点B 表示的数为2，∴21AB =-，∵点B ，C 到点A 的距离相等，∴21AC AB ==-，∴当点B 表示的数是2时，点C 表示的数是：211(21)122---+-==；当点B 在点A 左侧时，∵点A 表示的数为1，点B 表示的数是2-，∴()1212AB =--=+，∴21AB AC ==+，点C 表示的数是211(12)221+++++==，综上可知：点C 表示的数为：22-或22+，故答案为：22-或22+．31．（23-24七年级下·湖北·周测）计算：(1)22018318(2)(1)4+--+-(2)2(5)|25|5-+--【答案】(1)92(2)3【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及立方根，算术平方根，绝对值化简，乘方等知识；（1）根据立方根，算术平方根，绝对值化简，乘方，计算即可．（2）根据算术平方根，绝对值化简，计算即可．【详解】（1）22018318(2)(1)4+--+-12212=+-+92=．（2）2(5)|25|5-+--55253=+--=．32．（23-24七年级上·山东威海·期末）对于如下运算程序：(1)若27m =，则n =；(2)若输入m 的值后，无法得到n 的值，则输入m 的值是．【答案】(1)33(2)1或1-或0【分析】本题主要考查了立方根，无理数，解题的关键是掌握立方根，无理数的定义．（1）根据题目中的运算程序代入计算即可；（2）综合立方根和无理数的定义即可求解．【详解】（1）解：输入27m =，得到3273=，3不是无理数不能输出，返回可得：33，33是无理数可以输出，∴33n =，故答案为：33；（2） 311=，311-=-，300=，∴输入m 的值为1或1-或0时，无法得到n 的值，故答案为：1或1-或0．一、单选题33．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）估计133+的值在（）A ．8和9之间B ．7和8之间C ．6和7之间D ．5和6之间【答案】C【分析】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．根据算术平方根的定义，估算无理数133+的大小即可．【详解】解：∵239=，2416=，而91316<<，∴3134<<，∴61337<+<，故选：C ．34．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）已知a 、b 为有理数，现规定一种新运算“※”，满足3a b b ab =-※，若22x =※，则x 的值为（）A ．4-B ．2-C ．2D ．12【答案】C【分析】本题考查实数定义下的新运算问题，解一元一次方程．根据题意将22x =※变形为一元一次方程计算即可．【详解】解：∵3a b b ab =-※，∴22x =※可整理成：3222x ⨯-=，即：622x -=，解得：2x =，故选：C ．35．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在数轴上有三个点，其中两个点分别表示52,43--，则点A 表示的数可能为（）A ．5-B ．6-C ．7-D ．8-【答案】C【分析】本题考查无理数的估算，先根据数轴得到5048a -<<-，然后确定数值是解题的关键．【详解】解：设点A 表示的数为a根据数轴上点的位置可得5243a -<<-，即5048a -<<-，符合要求的为7-，故选：C ．36．（2024八年级·全国·竞赛）已知220172017s =+，则s 的整数部分是（）A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019【答案】B【分析】本题考查对无理数整数部分的估算，利用先平方再开方的方法对式子进行变形，即可判断s 的整数部分．【详解】解：由题知，2220172017s =+，又222201720172017201720182018=⨯<<+，22017201720172018∴<+<则s 的整数部分是2017，故选：B ．37．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）现定义运算“*”，对于任意有理数a 与b ，满足()()3,*3,a b a b a b a b a b ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，譬如5*335312=⨯-=，118*131333=-⨯=-，若有理数x 满足*312x =，则x 的值为（）A ．21或4B ．5或21C ．4D ．5【答案】D【分析】本题考查了定义新运算，解题的关键是熟练掌握新定义，有理数的混合运算，解一元一次方程根据“*”的定义，分为两种情况，①当3x ≥时，3312x -=，②当时3x <，3312x -⨯=，解一元一次方程，符合题意的值即为所求．【详解】∵*312x =，∴当3x ≥时，*333x x =-，∴3312x -=，解得，5x =，当3x <时，*333x x =-⨯，∴3312x -⨯=，解得，21x =，不合，舍去．∴5x =．故选：D ．38．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，将半径为1的圆形纸片上的点A 与数轴的原点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点A 到达了点B 的位置，则线段AB 的中点表示的数是（）A ．2π-B ．3π2-C ．π-D ．π2-【答案】C 【分析】此题考查数轴上数的表示方法，正确理解题意是此题的关键，AB =圆滚动一周的周长，先求得AB 的长度，从而求得线段AB 的中点表示的数AB =．圆滚动一周的周长，代入计算即可得到答案．【详解】212AB ππ=⋅=，∴此时点B 表示的数是2π-，∴线段AB 的中点表示的数为π-．故选C ．39．（2024七年级·全国·竞赛）若7的整数部分为a ，小数部分为()(),7b a a b -+的值为（）A ．3B ．727-C ．27+D ．273-【答案】B【分析】本题考查了整式的乘法、无理数的估算等知识，先对无理数就行估算，再对式子进行化简即可，熟练整式的乘积和无理数的估算是解题的关键．【详解】解：由题意可得7+=a b ，24793=<<= ，2a ∴=，()()7(72)7727a a b ∴-+=-⋅=-，故选：B ．二、填空题40．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n ，记#n 表示不大于n 的最大完全平方数，记#n n n =-△．例如：##784==，7743=-=△．则2024△的值为，计算####12320241232024++++= △△△△．【答案】882024【分析】本题考查了数的新定义的运用．理解新定义的意义是解决此类问题的关键；多个分式相加，要注意找到计算规律和技巧．（1）##202420242024,2024=-V 表示不大于2024的最大完全平方数，22441936,45=2025,193620242025=<<，那么#20241936 ,=代入求解即可；（2）分别求得###1,1;2,22024,2024⋯V V V 的值，得到所给代数式的分母和分子的规律，计算即可．【详解】解：（1）∵#2024表示不大于2024的最大完全平方数，193620242025<<，#20241936.∴=#2024202420242024193688.∴=-=-=V （2）由题意得：#11=，##111110,11;∴=-=-==V #21,=Q ##222211,21;∴=-=-==V #31,=Q ##333312,31;∴=-=-==V #44,=Q ##444440,42;∴=-=-==V #54,=Q ##555541,52;∴=-=-==V #64,=Q ##666642,62;∴=-=-==V #74,=Q ##777743,72;∴=-=-==V#84,=Q ##888844,82;∴=-=-==V ...#20241936,=Q #2024202420242024193688,∴=-=-=V #202444.=分母的规律是从1开始到44；分子的规律从0开始，到分数的值为2结束．####12320241232024∴+++⋯+VV V V 01201234012881112222244444444⎛⎫=++++++++⋯++++⋯+ ⎪⎝⎭012012340123456123++++++++++++=++01238844++++⋯++⋯+3579(2441)=++++⋯+⨯+357989=++++⋯+(389)442024.2+⨯==故答案为：88，2024．41．（2024八年级·全国·竞赛）计算：2326351112111127242253⎛⎫--+--++-= ⎪⎝⎭．【答案】2720/7120【分析】本题考查了实数的混合运算，先逐项化简再算加减即可．【详解】解：原式13931273245320=--+++=．42．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，五条线段AC 、BD 、CE 、DA 、EB 分别交于点F 、G 、H 、I 、J ，图中的10个点分别表示一个有理数，且五条线段上4个点表示的数的和都相等，已知F 、G 、H 、I 、J 、A 表示的数分别是1、2、3、4、5、6，则点C 表示的数为．【答案】1-【分析】本题主要考查了实数的运算问题，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．设C 、D 、E 表示的数分别为：c 、d 、e ，根据五条线段上4个点表示的数的和都相等列等式计算即可．【详解】解：设C 、D 、E 表示的数分别为：c 、d 、e ，根据题意得：62345e ++=++，解得：2e =，∵2134e d ++=++，∴2d =-，∵6236152c +++=++-，∴1c =-．故答案为：1-．三、解答题43．（23-24八年级上·江西抚州·期末）已知52a +的立方根是3，31a b +-的算术平方根是4，c 是13的整数部分．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求2a b c -+的平方根．【答案】(1)5,2,3a b c ===；(2)2±.【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a ，b ，c 的值；（2）将a ，b ，c 的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．【详解】（1）解：52a + 的立方根是3，3523a ∴+=，解得5a =，31a b +- 的算术平方根是4，2314a b ∴+-=．把5a =代入可得2b =，c 是13的整数部分，3c ∴=；5,2,3a b c ∴===．（2）解：把5,2,3a b c ∴===代入2a b c -+得：24a b c -+=，2a b c ∴-+的平方根是2±．【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键．44．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）对于整数m ，n ，定义一种新的运算“⊙”：当m n +为偶数时，规定()2m n m n m n =++- ；当m n +为奇数时，规定()2m n m n m n =+-- ，(1)当2m =，4n =时，m n = ；(2)已知a 、b 为正整数，()()145a a b b b +--=+ ，求12-+a b 的值．(3)已知a 为正整数，且满足()603a a a a =+ ，求a 的值．【答案】(1)10(2)3-(3)6或15【分析】()1根据m 和n 判断其和为偶数，利用新的运算法则计算即可；()2首先判断a b -和1a b +-的和为奇数，利用新的运算法则化简，结合题意可得21a -为正去绝对值得到24a b -=，整体代入即可求得代数式的值；()3首先得到2a a a +=，必为偶数，则4a a a = ；当a 为偶数时，45a a a +=也为偶数，()413603a a a a a a a ===+ ；当a 为奇数时，45a a a +=也为奇数，()47603a a a a a a a ===+ ，分别解得a 即可．【详解】（1）解：∵2m =，4n =，∴6m n +=，∴()()22242412210m n m n m n =++-=++-=-= ，故答案为：10；（2）∵()121a b a b a -++-=-为奇数，∴()()()1211a b a b a b a b a b a b ⎡⎤-+-=-++----+-⎣⎦ 22121a b =-+-，∵a 、b 为正整数，∴()()12212142345a b a b a b a b b -+-=-+-=+-=+ ，解得24a b -=，则()1212143a b a b -+=--=-=-．（3）∵2a a a +=，必为偶数，∴()24a a a a a a a =++-= ；当a 为偶数时，45a a a +=，也为偶数，()425313603a a a a a a a a a ==⨯+==+ ，解得：6a =；当a 为奇数时，45a a a +=，也为奇数，()42537603a a a a a a a a a ==⨯-==+ ，解得：15a =．综上所述，6a =或15a =．【点睛】本题主要考查新定义下的整式混合运算、有理数混合运算、绝对值的性质、求解代数式的值和解一元一次方程，解题的关键是熟练合并同类项和绝对值的性质，以及应用分类讨论思想．45．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周，无滑动，圆上与原点重合的点O 到达点A ，设点A 表示的数为a ，(1)求a 的值；(2)求32712a π⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭的算术平方根．(3)利用计算器计算时，按键：，显示结果是________．【答案】(1)2=-a π(2)4(3)0【分析】本题考查了实数与数轴，实数的混合运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键．（1）求出圆的周长即可求出a 的值；（2）把a 的值代入化简即可；（3）根据按键顺序列出算式计算即可．【详解】（1）∵圆的周长为2π，点A 在原点左边，∴2=-a π；（2）∵2=-a π，∴32712⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭a π2312ππ-⎛⎫=---- ⎪⎝⎭。
人教版(五四学制)七年级上册数学—1实数课件
相关知识： 正方形的面积＝边长之积＝对角线之积的一半
A
D
单位正方形（边长为1的正方形）
B
C
在数轴上找到 2
A
D
B
C
在数轴上作出 5的对应点
2
1 -1 0
1 25 3
一个实数a
-2 -1 0
1A 2
如果将所有的有理数都标到数轴上，那 么数轴将被填满吗？
如果再将所有的无理数都标到数轴上， 那么数轴被填满了吗？
总结：数轴上的任一点必定表示一个实 数；反过来，每一个实数（有理数或无理数） 也都可以用数轴上的一个点来表示。
即：实数与数轴上的点一一对应
让你的思维动起来
想一想：4 是有理数还是无理数？
判断： 带有根号的数一定是无理数（ × ） 无理数一定含有根号（ × ） 无限小数一定是无理数（ × ）
无理数的绝对值一定是无理数 （ √ ）
实数
它们是正确的吗？
1.-4是16的平方根； 2.16的平方根是4与-4； 3.平方根等于本身的数1，0； 4.算术平方根等于本身的数是1； 5.3的算术平方根记作 3 。
视察下图，每个小正方形的边长均是1， 我们可以得到小正方形的面积1， (1)图中阴影正方形的面积是多少？
它的边长是多少？ 2
3
3
；
4绝对值等于 6的数是 6 .
5.一个数的绝对值是π，这个数是 ；
6. 2 3的相反数是 3 2 ;
7. 3.14 3.14 ;
小结
（1）知道实数与数轴上的点一一对应， 能将实数表示在数轴上； （2）相反数、绝对值、数的大小比较法 则同样适用于实数。
随堂练习
比较下列各组里两个数的大小。
49 , 8.131,
人教版七年级数学第六章第3节《实数》单元训练题 (4)(含答案解析)
【解析】
负数小于零，零小于正数，两个负数绝对值大的反而小，根据实数的大小比较法则解答.
∵ ，
∴ <
∴ < <0<1，
故选：C.
此题考查实数的大小比较法则，熟记法则是解题的关键.
6．C
【解析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解析】
根据无理数的意义（有理数是指有限小数或无限循环小数）填上即可；根据无理数的意义（无理数是指无限不循环小数）判断即可；分数包括有限小数和无限循环小数和分数）判断即可．
30．实数的大小比较：2__________ ．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【答案与解析】
1．B
【解析】
利用立方根的定义，将x的值代入如图所示的流程，取27的立方根为3，为有理数，再次代入，得 ，为无理数符合题意，即为y值．
根据题意，x=27，取立方根得3，3为有理数，再次取3的立方根，得 ，为无理数.符合题意，即输出的y值为 .
本题考查了新定义下的实数运算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
16．6－
【解析】
分别进行乘方、平方根与立方根以及绝对值的计算，最后进行实数的加减混合运算即可．
=－1+2－(－3)+2－
=6－ ．
本题主要考查乘方、平方根与立方根以及绝对值的计算，熟记实数的运算法则是解题关键．
17．-7，0， ，-2.55555……，3.01，+9；4.020020002…， ；-7，0，+9； ，-2.55555……，3.01
人教版初中数学《实数》单元教材教学分析
另外，本章也提前渗透了--些数学思想和方法。比如，本章的数学活动1，涉及到勾股定理的内容，让学生利用勾股定理，在数轴上画出表示几个无理数的点。这里只是结合无理数渗透了勾股定理，关于勾股定理以后还要进行专门的研究。
学生思想教育和行为习惯的培养及学习方法
本册书对于某些内容采用提前渗透、逐步提高的编写方式。例如，对于平面直角坐标系，在第6章平面直角坐标系中研究了平面内的点与有序数对的对应关系，其中点的坐标都是有理数，在本章将把点的坐标由有理数的情形扩展到实数范围，并建立平面内的点与有序实数对的一--对应关系，为后续学习函数的图象、函数与方程和不等式的关系等打下基础。
单元目标
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根;
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根;
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一-一对应，有序实数对与平面上的点一一对应;了解数的范围由有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的一-致性及其发展变化;
第五课时：实数
第六课时：实数的大小和运算
……
说明
对于平移变换，教课书在第5章相交线与平行线中安排了一节平移，探讨得出平移前后的两个图形的对应点的连线平行且相等等平移变换的基本性质，又在第6章平面直角坐标系中安排了用坐标方法研究平移的内容，从坐标的角度进一步认识平移变换，这时平移中遇到的坐标都是有理数的情况。在本章，由于建立了点与有序实数对的一--*对应关系，本章又在实数范围内研究平移的内容，为后续学习利用平移变换探索平面图形的几何性质以及综合运用几种变换(平移、旋转、轴对称、相似等)进行图案设计等打下基础。
人教版七年级数学第六章第3节《实数》单元训练题 (16)(含答案解析)
第六章第3节《实数》单元训练题 (16)一、单选题1．在实数 1.414-，π，3.14，2+ 3.212212221…中，无理数的个数是（ ）个． A ．1B ．2C ．3D ．422的整数部分是a ，小数部分是b b -的值是（ ） A ．5B ．5-C ．3D ．3-3．下列各数：1,7π-，，0.3149,0.313，其中无理数的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．14．规定用符号[]x 表示一个实数的整数部分，例如[]3.873=，1=，则1⎤=⎦（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 5．下列实数中，是无理数的为（ ）A ．3.14B ．13C D6．在实数27，2π，3.14，0.3232232223…（相邻两个3之间依次增加一个2）中，无理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．下列各数，是无理数的是（ ）．A ．3.14BCD ．3178，0215中，是无理数的是（ ）AB ．0CD ．215二、填空题9|2|π-=________．10．比较大小：|5|-________（填“>”“=”或“<”）11．比较大小：12π-________1- 12．在实数的原有运算法则中，我们补充新运算法则“*”如下：当a≥b 时，a*b=b 2，当a<b 时，a*b=a ，则当()()1*-3*=x x x ______13．在实数π，87，0中，无理数的个数是________个． 14．若[)x 表示大于x 的最小整数，如[)56=，[)1.81-=-，则下列结论中正确的有______（填写所有正确结论的序号）．①[)01=；②33055⎡⎫-=⎪⎢⎣⎭；③[)0x x -<；④[)1x x x <≤+；⑤存在有理数x 使[)0.2x x -=成立．15．实数2-227，π-中属于无理数的是________．16_____74．17．已知5+的整数部分为a ，5-b ，则2ab b +=_________．三、解答题18．计算（113+--（2）321(2)()2-19．计算：（1）132322⎛⎫⨯-⨯-⎪⎝⎭ （2）2291|11232⎛⎫-+--⨯- ⎪⎝⎭20．计算：201()( 3.14)|22π---21．计算：（1()23-．（2）()21183⎤⎛⎫-⨯-⎥ ⎪⎝⎭⎥⎦． 22．教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．（1）阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A 表示的数为________； （2）迁移应用：请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形． ①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 3-+的点，并比较它们的大小．233=，31a b -+的平方根是4±，c 3a b c ++的平方根． 24．计算：（1．（2）()23540.255(4)8⨯--⨯⨯-．25．计算： （1）36 1.754⎛⎫--+ ⎪⎝⎭； （2）()()232524-⨯--÷；（3）()225--．26．对于实数p 、q ，我们用符号max{,}p q 来表示p 、q 两数中较大的数，如：max{1,2}2=．（1）求max{=_______．（2）我们知道，当21m =时，1m =±，利用这种方法解决下面问题，若{}22max (1),4x x -=，求x 的值． 27．小明定义了一种新的运算，取名为⊗运算，按这种运算进行运算的算式举例如下：①（+4）⊗（+2）＝+6；②（﹣4）⊗（﹣3）＝+7；③（﹣5）⊗（+3）＝﹣8；④（+6）⊗（﹣4）＝﹣10；⑤（+8）⊗0＝8；⑥0⊗（﹣9）＝9．问题：（1）请归纳⊗运算的运算法则：两数进行⊗运算时， ；特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算， ．（2）计算：[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]； （3）我们都知道乘法有结合律，这种运算律在有理数的⊗运算中还适用吗？请判断是否适用，并举例验证．28．（1）小明解方程2x 1x a 332-+=-去分母时，方程右边的−3忘记乘6，因而求出的解为x=2，则原方程正确的解为多少？（2）设x ，y 是有理数，且x ，y 满足等式2x 2y 17++=-x-y 的值．29．计算：()214322--⨯-（ 30．计算：（1）(23)(41)----；（2）1111115()13()3()555-⨯-+⨯--⨯-；（3）2(2)|1|-+；（4）311()()(2)424-⨯-÷-．【答案与解析】1．D【解析】无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数，如2π．−1.414是有限小数，是无理数，π是无理数，3.14无限循环小数是有理数，2+是无理数，3.212212221…是无限不循环小数是无理数，故选：D．本题主要考查的是无理数的认识，掌握无理数的常见类型是解题的关键．2．C【解析】2的整数部分和小数部分，然后代入，计算可得答案．解：∵3＜4，∴1＜2-2的整数部分是a=1-2的小数部分是-3，b-3)3=．故选：C．此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．3．C【解析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．解：17，133是分数，属于有理数；0.3149，0.3是有限小数，属于有理数；7=是整数，属于有理数；无理数有-π，2个，故选：C．本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．4．B【解析】1的范围，再根据范围求出即可．解：∵34<<∴415<+<1的整数部分为4∴1⎤=⎦ 4故选：B．此题考查的是求无理数的整数部分，掌握实数比较大小的方法是解决此题的关键．5．C【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．A.3.14是有限小数，属于有理数；B.13是分数，属于有理数；3，是整数，属于有理数.故选：C．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．6．C【解析】先将可以化简的化简，再依据无理数的形式去判断即可，无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．实数27，2π，3.14，0.3232232223…（相邻两个3之间依次增加一个2）中无理数是2π，0.3232232223…（相邻两个3之间依次增加一个2）． 故选C ．本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．7．C【解析】根据无理数的定义判断即可．解：A 选项：3.14是有理数，故A 错误；B 2=是有理数，故B 错误；C 是无理数，故C 正确；D 选项：317是有理数，故D 错误． 故选C ．本题考查了无理数的概念，熟记无理数的定义，掌握无理数的常见形式是解题关键．8．A【解析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．0215， 故选：A ．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．9． 1.14-【解析】先计算算术平方根、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得．原式()3.142ππ=---， 3.142ππ=--+，1.14=-，故答案为： 1.14-．本题考查了算术平方根、绝对值、实数的加减运算，熟练掌握各运算法则是解题关键． 10．>【解析】先求出|5|-=5，，再比较即可．因为|5|-=5，，5>-5，所以|5|->故答案为：>．考核知识点：实数大小比较．求出绝对值和算术平方根是关键．11．<【解析】利用估值比较法322π>>，再利用不等式的性质3，不等式两边都乘以-1，不等式方向改变2π-<，最后利用不等式性质1，不等式两边都加1，不等号方向不变即可确定大小．∵322π>322<，∴2π>，∴2π-<，∴12π-<1．故答案为：<．本题考查无理数的比较大小问题，掌握不等式的性质，会用不等式的性质比较大小，用估值法比较大小是解题关键．122【解析】根据题中所给的运算法则进行求解即可；∵当a≥b 时，a*b=2b ，当a ＜b 时，a*b=a∴ 当 ，=2，∴) 2，2．本题是新定义的问题，解决此类问题的关键是按题中的规定去运算即可；13．2【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．由无理数的定义可知，π是无理数．故答案为：2．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．14．①④⑤【解析】根据题意[)x 表示大于x 的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案．解：①[)01=，根据[)x 表示大于x 的最小整数，故正确； ②33055⎡⎫-=⎪⎢⎣⎭，应该等于333215555⎡⎫-=-=⎪⎢⎣⎭，故错误； ③[)0x x -<，当x=0.5时，[)10.5=0.50x x -=-＞，故错误；④[)1x x x <≤+，根据定义可知[)x x <，但[)x 不会超过x+1，所以[)1x x x <≤+成立，故正确； ⑤当x=0.8时，[)1-0.8=0.2x x -=，故正确．故答案为：①④⑤．本题主要考查了对题意的理解，准确的理解题意是解决本题的关键．15，π-【解析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．3=-，在2-227，π-，这5， π-，这2个数，，π-． 本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．16．＜【解析】2.5，再比较大小即可．∵5＜6.25，2.5，∴27<，7474<． 故答案为：＜本题考查了实数比较大小，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．17．37-【解析】的大小，推出7＜5+＜8，求出a ，同理求出253<-<，求出b ，代入求出即可． 解：∵479<<，∴23<<，32-<<-∴758<+<，253<-<，∴7a =，523b =-=-∴()(237337ab b b a b +=+=+=-故答案为：37-此题考查了无理数的大小的应用，关键是确定5+和5-18．（1）4；（2）36-【解析】（1）实数的混合运算，先化简绝对值，然后再计算；（2）实数的混合运算，注意先算乘方，然后再算乘除，最后算加减．解：（113-1-=4（2）321(2)()2-=184434-⨯-⨯- =3213---=36-本题考查实数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．19．（1）32；（2） 【解析】（1）直接利用有理数混合运算法则计算得出答案；（2）原式先计算乘方，再计算乘法运算，进而算加减运算即可求出值．（1）原式=6-3×32=6-92=32；（2）原式＝-1-23×152． 本题主要考查了有理数和实数的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．20．【解析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．解：原式＝4﹣1+．此题主要考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．21．（1）11；（2）-10【解析】（1）首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．（2）首先计算乘方、开方和括号里面的运算，然后计算括号外面的乘法，求出算式的值是多少即可．解：（1()23- 539=-+11=．（2）()21183⎤⎛⎫-⨯-⎥ ⎪⎝⎭⎥⎦ ()211839⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭ ()5189=⨯- 10=﹣．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．22．（1（2）①见解析；②见解析， 30.5-+-【解析】（1）设正方形边长为a ，根据正方形面积公式，结合平方根的运算求出a 值，则知结果； （2） ① 根据面积相等，利用割补法裁剪后拼得如图所示的正方形；②由题（1，然后在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M ，再把N 点表示出来，即可比较它们的大小．解：设正方形边长为a ，∵a 2=2，∴a=，，；（2）解：①裁剪后拼得的大正方形如图所示：②设拼成的大正方形的边长为b ，∴b 2=5，∴在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M ，则M 表示的数为-3+-0.5的N 点在M 点的右方，∴比较大小：30.5-+<-．本题主要考查平方根与算术平方根的应用及实数的大小比较，熟练掌握平方根与算术平方根的意义及实数的大小比较是解题的关键．23．5±【解析】3=求出a 的值，根据3a +b -1的平方根是±4求出b 的值，根据c 求出c 的值，把求得的值代入a +b +3c ，然后求出入a +b +3c 的平方根即可.3=，∴219a -=，解得：5a =，∵31a b +-的平方根是4±，∴15116b +-=，解得：2b =，∵c 67<< ∴6c =，∴3521825a b c ++=++=∴3a b c ++的平方根是5±本题考查了算术平方根的意义，平方根的意义，无理数的估算，熟练掌握算术平方根的意义、平方根的意义、夹逼法估算无理数的值是解答本题的关键．24．（1）6；（2）70．【解析】（1）首先计算算术平方根、立方根，然后进行加减计算即可；（2）首先计算乘方、乘法，最后进行加减计算即可．解：（1=4-(-2)=6．（2）()23540.255(4)8⨯--⨯⨯- =()()5160.255648⨯--⨯⨯-=1080-+=70．本题考查了实数的混合运算，正确理解算术平方根、立方根性质及乘方法则，确定运算顺序是关键．25．（1）182；（2）22；（3【解析】（1）先去括号，同时将小数化为分数，再计算加减法；（2）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法；（3）先计算乘方和绝对值，再计算加减法. （1）36 1.754⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=336144++ =182； （2）()()232524-⨯--÷=()4584⨯--÷=20+2=22；（3）()225--=4-（此题考查运算能力，掌握有理数的加减法计算法则，乘方的计算法则，实数的绝对值化简，有理数的混合运算法则是解题的关键.26．（1）（2）x 的值为2或1-．【解析】(1)根据定义，比较两个数的大小即可；(2)根据定义，分类进行大小比较，并建立方程求解即可.（1）<∴>∴max{=（2）{}22max (1),4x x -=，①当22(1)x x -<时，24x =，2x =±（由题意，负值舍去）， ∴2x =；②当22(1)x x ->时，2(1)4x -=，12x -=±，13x =（不符合题意，舍去），21x =-，∴1x =-．综上：x 的值为2或1-．本题考查了新定义问题，实数的大小比较，分类思想，利用平方根解方程，根据定义，把问题转化为实数的大小比较是解题的关键.27．（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；（2）﹣17；（3）适用，举例验证见解析【解析】（1）根据示例得出，两数进行⊗运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，都得这个数的绝对值；（2）根据⊗运算的运算法则进行计算即可；（3）举例即可做出结论．解：（1）根据示例得出，两数进行⊗运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，都得这个数的绝对值．故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；（2）[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]＝（﹣5）⊗（+12）＝﹣17；（3）结合律仍然适用．例如[（﹣3）⊗（﹣5）]⊗（+4）＝（+8）⊗（+4）＝+12，（﹣3）⊗[（﹣5）⊗（+4）]＝（﹣3）⊗（﹣9）＝+12，所以[（﹣3）⊗（﹣5）]⊗（+4）＝12＝（﹣3）⊗[（﹣5）⊗（+4）．故结合律仍然适用．本题考查了新定义下的有理数的加减运算，正确理解新定义运算法则是解题的关键．28．（1）x＝−13；（2）（2）x-y的值为9或-1.【解析】（1）将错就错把x＝2代入计算求出a的值，即可确定出正确的解；（2）根据题意可以求得x、y的值，从而可以求得x−y的值．（1）把x＝2代入2（2x−1）＝3（x＋a）−3中得：6＝6＋3a−3，解得：a＝1，代入方程得：2x1x13 32-+=-，去分母得：4x−2＝3x＋3−18，解得：x＝−13；（2）∵x、y 是有理数，且 x，y 满足等式2x2y17++=-∴22174x yy⎧+=⎨=-⎩，解得，54xy=⎧⎨=-⎩或54xy=-⎧⎨=-⎩，∴当x＝5，y＝−4时，x−y＝5−（−4）＝9，当x＝−5，y＝−4时，原式＝−5−（−4）＝−1．故x-y的值为9或-1.此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．也考查了实数．29．31．【解析】利用实数的混合运算法则计算得出答案．解：原式=4+9⨯12-(2)2⎡⎤⨯-⎢⎥⎣⎦=4+9⨯[]2+1=4+9⨯3=4+27=31．本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．30．（1）4；（2）-11；（3；（4）16 -．【解析】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；（2）逆用分配律，直接提取公因数-115，进而计算得出答案；（3）直接利用绝对值和立方根的性质分别化简得出答案；（4）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．解：（1）(23)(41)----15=-+4=；（2）原式11()(5133) 5=-⨯-+-1155=-⨯11=-；（3）原式413=--=（4）原式314429 =-⨯⨯16=-．本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键．。
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两正数比较，平方值大的数大，平方值小的 数小。
对于同号实数a、b， 若a-b≧0，则a ≧b
求商比较
同号正实数
对于同号正实数a、b， 若a∕b≧1，则a ≧b
计算近似值比较
含无理数的 实数
牢 算牢比记较住、 2、 3、 5
的近似值，直接计
如图是两个边长1的正方形拼成的长方形，其面积是2。
12
2
2
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
C
-1
( 2, 2) -2 2
D ( 2, 2)
平面直角坐标系中的点与有序实数对是一一对应的.
判断
1.实数不是有理数就是无理数。（ ） 2.无理数都是无限不循环小数。（ ） 3.无理数都是无限小数。（ ）
4.带根号的数都是无理数。（ ×） 5.无理数一定都带根号。（ ×）
6.两个无理数之积不一定是无理数。（ ）
7.两个无理数之和一定是无理数。（× ）
8.若正数a的一个平方根是b，那么a的另一个平 方根是-b。
9.正数的两个平方根的和为0。
10.没有平方根的数也没有立方根。
7 的相反数是
； 倒数是
；
绝对值是
。
3 -8 的相反数是
； 倒数是
；
绝对值是
。
49 的相反数是
当方程中出现立方时，一般都有一个解
掌 已知 1.7201 1.311, 17.201 4.147, 握 那么0.0017201的平方根是 ±0.04147 规 律 已知 2.36 1.536, 23.6 4.858,
若 x 0.4858,则x是 0.236
已知3 5.25 1.738, 3 52.5 3.744,
无平方根 零
立方根 有一个,是正数 有一个,是负数
零
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根的 区别吗？
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a的取值
正数
性
0
质
负数
是其 本身
a ≠a
a ≥0
a≥ 0
3a
a 是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0
0
0
没有
没有
负数（一个）
0,1
0
0,1,-1
a2 a =
无限且不循环的小数叫做无理数。
注意
1.无理数的个数是无限多个. 2.无理数不都是用根号表示的. 3.用根号形式表示的数不都是无理数.
有理数和无理数统称为实数。
有限小数及无限循环小数
有理数 实 数
无理数
无限不循环小数
整数 分数
正整数 0
负整数 正分数
负分数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
正无理数
负无理数
一般有三种情况
“ ”，“3 ”开不尽的数
2
a
a
a a 0 0 a 0
a (a 0)
a 0
3 a3 a a为任何数
3 a 3 a a为任何数
3 a 3 a a为任何数
8是 64 的平方根 64的平方根是 ±8
64的值是 8
64的平方根是
（1） 25的算术平方根是 5
实数的大小比较方法有：利用数轴比较、利用绝对值 比较、求平方比较、求差比较、求商比较和计算近似 值比较等方法。
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质 同样适用。
比较大小的方法 利用数轴比较
利用绝对值比较 求平方比较 求差比较
适用范围
所有实数 负实数 正实数
同号实数
主要的依据
实数与数轴上的点是一一对应关系，有大小 顺序排列。
则3 5250的值是 17.38
注意平方根和立方根的移位法则
（1）若a 0,求 a2 3 a3的值
解：原式=-a+a=0
； （2）若m n，求（m n）2 3 (n m)3的值
解：原式=n-m+n-m =2n-2m
使式子 3 - x 有意义的x的取值范围是？
x-2
无理数？
（2）若 x2 3，则x的值是 3
（3） a的平方根是 3，则a 81 （4） 82 8 ，（－7）2 7
巩固练习
大于 17小于 11的所有整数为？ -4,-3,-2,-1,0,1,2,3
解下列方程：
9(3 y)2 4
2（7 x 5）3 8 0 3
当方程中出现平方时，若有解，一般都有两个解
3.14 3 2 3 2
3.14 3 3 2 2
3.14
若 a＋b - 4与 a - b＋14互为相反数，求 a2 - b2的值。
已知3 a - 3与3 3 - 5b互为相反数，则a b
已知x＞0，化简3（- x）3＋x 的结果是 3x
知识回顾 Knowledge Review
放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
现剪下两个角重新拼成一个正方形，
新正方形的边长是 2 。
下图数轴中, 正方形的对角线长为 2 ，以原点 为圆心，对角线长半径画弧截得一点，该点与原点 的距离是 2 ，该点表示的数是 2 。
2
-1
0
12 2
实数与数轴上的点是一一对应关系。
边长为1的正方形,对角线长为多少?
y
3
( 2,
B
2)
2
2
A ( 2, 2)
平方根的定义
如果一个数X的平方等于a，即X2=a，那么这个数X 叫做a的平方根（二次方根）
a的平方根表示为 a 读作：正，负根号a
a
表示a的算术平方根
－a
表示a的算术平方根的相反数
a
表示a的平方根
x2 = a
X＝ a
求一个数a的平方根的运算叫做开平方
平方根的性质： 正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。
一般地，如果一个数的立方等于a， 那么这个数就叫做a的立方根，也叫做a
的三次方根．记作 3 a
其中a是被开方数，３是根指数
３
符号“ ”读做“三次根号”
(1)立方根的特征
一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零。
（2）平方根和立方根的异同点
被开方数 正数 负数 零
平方根 有两个互为相反数
实数
乘 互为逆运算 开
方
方
开平方 开立方
算术平方根
平方根 立方根 负的平方根
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a（x2 = a），那么这个正数 x 就叫做
a 的 算术平方根
a 的算术平方根记作
读作 “ 根号a ”
根号
规定：0的算术平方根等于0
a
如102 = 100 则100的算术平方根
被开方数
类似于0.01001000100001
正实数 实数 0
负实数
正有理数
正无理数 负有理数 负无理数
实数的性质
实数与数轴上的点是一一对应的。
同样的,平面直角坐标系中的点与有序实数对是一一对 应的.
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理 数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
； 倒数是
；
绝对值是
。
化里 简面 绝的 对数 值的 要符 看号 它
3.14
是负数 等于它的相反数
3.14
3.14
原式 3.14
3 2 2 3
是正数
是负数
等于它本身 等于它的相反数
3 2 2 3
3 2
3 2 （ 3 2）