高中数学必修4_三角函数诱导公式及练习zz
高一数学必修4三角函数诱导公式
高一数学必修4三角函数诱导公式诱导公式是高一数学必修四三角函数知识点只必考的公式，我们在考前一定要掌握好这些公式的应用。
下面是店铺为大家整理的高一数学必修4三角函数诱导公式，希望对大家有所帮助!高一数学必修4三角函数诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαco t(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)高一数学函数复习资料一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
高一数学 知识点 三角函数 诱导公式 常考题 经典题 50道 含答案和解析
高一数学三角函数诱导公式50道常考题经典题一、单选题1.若角的终边上有一点(-4,a)，则a的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】任意角的三角函数的定义，诱导公式一【解析】【解答】由三角函数的定义知：，所以，因为角的终边在第三象限，所以<0,所以的值是。
【分析】三角函数是用终边上一点的坐标来定义的，和点的位置没有关系。
属于基础题型。
================================================================================2.若,则的值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【解答】即，所以，，=，故选C。
【分析】简单题，此类题解的思路是：先化简已知条件，再将所求用已知表示。
================================================================================3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】，故选C.================================================================================4.函数图像的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】诱导公式一，余弦函数的图象，余弦函数的对称性【解析】【分析】，由y=cosx的对称轴可知，所求函数图像的对称轴满足即，当k=-1时，，故选A.================================================================================5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系，弦切互化【解析】【解答】因为，所以，可得，故C符合题意.故答案为：C .【分析】利用诱导公式将已知条件化简可求出tan，将中分子分母同时除以cos.================================================================================6.函数（）A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数，又是偶函数D. 是非奇非偶函数【答案】A【考点】奇函数，诱导公式一【解析】【解答】∵，∴,∴是奇函数．故答案为：A【分析】首先利用诱导公式整理化简f(x) 的解析式，再根据奇函数的定义即可得证出结果。
高中数学《三角函数的诱导公式》经典练习题及参考答案
三角函数的诱导公式经典练习题一、选择题：1．已知sin(4π+α)=23，则sin(43π-α)值为（ ） A. 21 B. —21 C. 23 D. —23 2．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A. 23 B. 21 C. 23± D. —23 3．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得（ ）A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.± (cos2-sin2)4．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是（ ）A.sinα=sinβB. sin(α-π2) =sinβC.cosα=cosβD. cos(π2-α) =-cosβ5．设tanθ=-2, 2π-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于（ ）， A. 51（4+5） B. 51（4-5） C. 51（4±5） D. 51（5-4） 二、填空题：6．cos(π-x)= 23，x ∈（-π，π），则x 的值为 ． 7．tanα=m ，则=+-+++)cos(-sin()cos(3sin(απα）απ）απ ． 8．|sinα|=sin （-π+α），则α的取值范围是 ．三、解答题：9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．已知：sin （x+6π）=41，求sin （)67x +π+cos 2（65π-x ）的值．11． 求下列三角函数值：（1）sin3π7；（2）cos 4π17；（3）tan （－6π23）；12． 求下列三角函数值：（1）sin 3π4·cos 6π25·tan 4π5； （2）sin ［（2n +1）π－3π2］.13．设f （θ）=)cos()π(2cos 23)2πsin()π2(sin cos 2223θθθθθ-+++-++-+，求f （3π）的值.参考答案1．C 2．A 3．C 4．C 5．A6．±65π 7．11-+m m 8．[(2k -1) π,2k π] 9．原式=)cos (·sin()cos()n s (sin αα）παπα--+--αi =)cos ?(sin )cos (sin 2αααα--= sinα 10．1611 11．解：（1）sin3π7=sin （2π+3π）=sin 3π=23. （2）cos 4π17=cos （4π+4π）=cos 4π=22. （3）tan （－6π23）=cos （－4π+6π）=cos 6π=23. （4）sin （－765°）=sin ［360°×（－2）－45°］=sin （－45°）=－sin45°=－22. 注：利用公式（1）、公式（2）可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.12．解：（1）sin3π4·cos 6π25·tan 4π5=sin （π+3π）·cos （4π+6π）·tan （π+4π） =（－sin 3π）·cos 6π·tan 4π=（－23）·23·1=－43. （2）sin ［（2n +1）π－3π2］=sin （π－3π2）=sin 3π=23. 13．解：f （θ）=θθθθθcos cos 223cos sin cos 2223++-++ =θθθθθcos cos 223cos cos 1cos 2223++-+-+ =θθθθθcos cos 22)cos (cos 2cos 2223++--- =θθθθθcos cos 22)1(cos cos )1(cos 223++--- =θθθθθθθcos cos 22)1(cos cos )1cos )(cos 1(cos 222++--++- =θθθθθcos cos 22)2cos cos 2)(1(cos 22++++- ＝cos θ－1，∴f （3π）=cos 3π－1=21－1=－21.。
人教A版高中数学必修4课后习题 第一章 1.3 第2课时 诱导公式五、六
第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五、六课后篇巩固探究基础巩固1.若α∈(π,3π2),则√1-sin2(3π2-α)=( )A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α(π,3π2),∴sinα<0.∴√1-sin2(3π2-α)=√1-cos2α=√sin2α=-sinα.2.已知P(sin 40°,-cos 140°)为锐角α终边上的点,则α=( )A.40°B.50°C.70°D.80°-cos140°)为角α终边上的点,因而tanα=-cos140°sin40°=-cos(90°+50°) sin(90°-50°)=sin50°cos50°=tan50°,又α为锐角,则α=50°,故选B.3.已知sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sin αcos α=()A.25B.-25C.25或-25D.-15-α)=-2sin(π2+α),∴sinα=-2cosα.再由sin 2α+cos 2α=1可得sinα=2√55,cosα=-√55,或sinα=-2√55,cosα=√55,∴sinαcosα=-25.故选B.4.在△ABC 中,若sin A+B 2=45,则cos C2=( )A.-35B.-45C.35D.45解析∵A+B+C=π,∴A+B 2=π2−C2.∴sin A+B 2=sin (π2-C2)=cos C2=45.5.已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( ) A.-2√23B.2√23C.-√23D.√23-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°.又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-√1-cos 2(60°+α)=-√1-(13) 2=-2√23.6.若cos α=13,且α是第四象限的角,则cos (α+3π2)= .α是第四象限的角,所以sinα=-√1-cos 2α=-2√23. 于是cos (α+3π2)=-cos (α+π2)=sinα=-2√23. -2√237.若sin (π2+θ)=37,则cos 2(π2-θ)= .(π2+θ)=cosθ=37,则cos 2(π2-θ)=sin 2θ=1-cos 2θ=1-949=4049.8.求值:sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)= .解析∵π4-α+π4+α=π2,∴sin 2(π4+α)=sin 2[π2-(π4-α)]=cos 2(π4-α).∴sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)=sin 2(π4-α)+cos 2(π4-α)=1.9.化简:sin(-α-3π2)·sin(3π2-α)·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α).=sin(-α+π2)·[-sin(π2-α)]·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α)=cosα·(-cosα)·tan 2αsinα·(-sinα)·cos 2α=tan 2αsin 2α=1cos 2α.10.已知角α的终边经过点P (45,-35).(1)求sin α的值; (2)求sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)的值.∵P (45,-35),|OP|=1,∴sinα=-35.(2)sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)=cosαtanα-sinα(-cosα)=1cosα,由三角函数定义知cosα=45,故所求式子的值为54.能力提升1.已知π<α<2π,cos(α-9π)=-35,则cos (α-11π2)的值为( )A.35B.-35C.-45D.45cos(α-9π)=-cosα=-35,所以cosα=35.又因为α∈(π,2π),所以sinα=-√1-cos 2α=-45,cos (α-11π2)=-sinα=45.2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin (π-α)-sin(π2+α)cos(3π2-α)+2cos (-π+α)的值为( )A.-25B.-45C.-47D.-4=sinα-cosα-sinα-2cosα=tanα-1-tanα-2.因为角α终边上有一点P(1,3), 所以tanα=3,所以原式=3-1-3-2=-25.故选A.3.已知α为第二象限角,则cos α√1+tan 2α+sin α√1+1tan 2α= .√sin 2α+cos 2αcos 2α+sinα√sin 2α+cos 2αsin 2α=cosα1|cosα|+sinα1|sinα|.因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0, 所以cosα1|cosα|+sinα1|sinα|=-1+1=0,即原式等于0.4.sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°= .sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 245°+cos 244°+…+cos 21°=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(s in 244°+cos 244°)+sin 245°=44+12=892.5.已知函数f(x)=√2cos x-π12,x ∈R.若cos θ=35,θ∈3π2,2π,则fθ-5π12= .解析f θ-5π12=√2cos θ-5π12−π12=√2cos θ-π2=√2cosπ2-θ=√2sinθ,由已知可得θ为第四象限角,所以sinθ<0,故sinθ=-√1-cos 2θ=-45,f θ-5π12=√2sinθ=√2×-45=-4√25.-4√256.是否存在角α,β,α∈(-π2,π2),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=√2cos (π2-β),√3cos(-α)=-√2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由. ,得{sinα=√2sinβ,√3cosα=√2cosβ,①②①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2,∴sin 2α=12.又α∈(-π2,π2),∴α=π4或α=-π4.将α=π4代入②,得cosβ=√32.又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知符合.将α=-π4代入②得cosβ=√32,又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知不符合.综上可知,存在α=π4,β=π6满足条件.。
【精品】高中数学 必修4_三角函数的诱导公式_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)提高
三角函数的诱导公式【学习目标】1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(απαπ±±,2的正弦、余弦、正切)；2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式. 【要点梳理】 要点一：诱导公式 诱导公式一：sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二：sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈诱导公式三：sin[((21)]sin k απα++=-， cos[(21)]cos k απα++=-， tan[(21)]tan k απα++=，其中k Z ∈诱导公式四：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 要点诠释：(1)要化的角的形式为α±⋅ο90k (k 为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；(4)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.要点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为k ·90°+α（|α|<45°）的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”： “奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±o(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.要点三：三角函数的三类基本题型(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值. ①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式. 【典型例题】类型一：利用诱导公式求值【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例2】例1．求下列各三角函数的值： （1）252525sincos tan()634πππ++-； （2）()()cos 585tan 300---o o（3）2222132131sin cos 6tan 10cot 243ππππ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解． 【答案】（1）0（2）2-（3）16【解析】（1）原式=sin(4)cos(8)tan(6)634ππππππ+++-+sincostan634111022πππ=+-=+-=（2）原式=cos(18045)tan(36060)++-o o o o =cos 45tan 60--o o= （3）原式=2222sin (6)cos (5)6tan 10cot (10)243πππππππ+-++-+=2222sin cos 6tan 0cot 243πππ-+-=111023-+-=16【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具． 举一反三：【变式】（1）10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）．【答案】（1）2（2）2-（3）1 【解析】（1）1010sin sin 33ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭44sin 2sin 33πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭sin sin sin 3332ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=--==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）3177coscos 4cos 666ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos cos 662πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭． （3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1． 例2．已知函数()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中a 、b 、α、β都是非零实数，又知f （2009）=－1，求f （2010）．【解析】 (2009)sin(2009)cos(2009)f a b παπβ=+++sin(2008)cos(2008)a b ππαππβ=+++++sin()cos()sin cos (sin cos )a b a b a b παπβαβαβ=+++=--=-+．∵f （2009）=－1 ∴sin cos 1a b αβ+=． ∴(2010)sin(2010)cos(2010)f a b παπβ=+++sin cos 1a b αβ=+=．【总结升华】 求得式子sin cos 1a b αβ+=，它是联系已知和未知的纽带．解决问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键之处．举一反三：【变式1】 已知1cos(75)3α︒+=，其中α为第三象限角，求cos(105°―α)+sin(α―105°)的值．【答案】13【解析】 ∵cos(105°－α)=cos[180°－(75°+α)]=－cos(75°+α)=13-,sin(α―105°)=―sin[180°－(75°+α)]=－sin(75°+α)， ∵α为第三象限角，∴75°+α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上．又cos(75°+α)=13＞0，∴75°+α为第四象限，∴sin(75)3α︒+===-．∴11cos(105)sin(105)333αα︒-+-︒=-+=．【总结升华】 解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+α=180°－(105°－α)或105°－α=180°－(75°+α)等．【变式2】已知3sin()2παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭))απβ-=+，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．【解析】由已知得sin αβ=αβ=． 两式平方相加，消去β，得22sin 3cos 2αα+=， ∴21cos 2α=，而0απ<<，∴cos 2α=±，∴4πα=或34πα=．当4πα=时，cos 2β=，又0βπ<<，∴6πβ=；当34πα=时，cos 2β=-，又0βπ<<，∴56βπ=．故4πα=，6πβ=或34πα=，56βπ=． 类型二：利用诱导公式化简 例3．化简(1)sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-o o o o ；(2)sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-.【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.【答案】（1）-1（2）略 【解析】(1)原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα--==-=-+-；(2)①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-.②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+.【总结升华】(1)诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了； (2)关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.举一反三： 【变式1】化简 （1）()()()()cos cot 7tan 8sin 2-⋅--⋅--αππαπααπ；（2）()sin2n n Z π∈； （3）()222121tan tan ,22n n n Z παπα++⎛⎫⎛⎫+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）sin()cos[(1)]sin[(1)]cos(]k k k k παπαπαπα---+++，()k z ∈．【解析】（1）原式=[]cos()cot()tan(2)sin(2)παπαπαπα----+=cos cot (tan )(sin )αααα-⋅-=3cot α（2）1,(41)sin1,(43)20,(2)n k n n k n k π=+⎧⎪=-=+⎨⎪=⎩ （3）原式=22cot cot αα-=0（4）由(k π+α)+(k π―α)=2k π，[(k ―1)π―α]+[(k+1)π+α]=2k π，得cos[(1)]cos[(1)]cos()k k k παπαπα--=++=-+，sin[(1)]sin()k k παπα++=-+．故原式sin()[cos()]1sin()cos()k k k k παπαπαπα-+-+==--++．【总结升华】 常见的一些关于参数k 的结论： （1）sin()(1)sin ()k k k Z παα+=-∈； （2）cos()(1)cos ()k k k Z παα+=-∈； （3）1sin()(1)sin ()k k k z παα+-=-∈； （4）cos()(1)cos ()k k k Z παα-=-∈． 类型三：利用诱导公式进行证明例4．设8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求证：1513sin 3cos 37720221sin cos 77m m ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】证明此恒等式可采取从“繁”到“简”，从左边到右边的方法．【证明】 证法一：左边88sin 3cos 37788sin 4cos 277πππααπππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦888sin 3cos tan 3777888sin cos tan 1777πππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31m m +=+=右边． ∴等式成立．证法二：由8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴左边sin 23cos 277sin 2cos 277πππαπαππππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααπππαπα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 3371tan 17m m παπα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭=右边， ∴等式成立． 举一反三：【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例4 】 【变式1】设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，求证： （1）()sin sin A B C +=；（2）sincos22A B C+=； （3）tan cot 22A B C+=【解析】（1）左边=sin()sin()sin A B c C π+=-==右边，等式得证． （2）左边=sin2A =()sin cos cos 2222B C B C B C ππ-+++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=右边，等式得证． （3）左边=tantan cot 2222A B C C π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭=右边，等式得证． 【变式2】求证：232sin cos 1tan(9)12212sin ()tan()1ππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-++-． 证明：∵左边2232sin sin 12sin (sin )12212sin 12sin πππθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+----⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 22222sin sin 12cos sin 1212sin cos sin 2sin πθθθθθθθθ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭==-+-222(sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ++==--，右边tan(9)1tan 1sin cos tan()1tan 1sin cos πθθθθπθθθθ++++===+---，∴左边=右边，故原式得证． 类型四：诱导公式的综合应用例5．已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f παππαααπαπα⎛⎫---+⎪⎝⎭=----．（1）化简()f α；（2）若α是第三象限的角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值． （3）若313πα=-，求()f α的值． 【解析】 （1）(sin )cos (cos )()cos (cos )sin f ααααααα-⋅⋅-==--．（2）∵3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴1sin 5α=-，∴cos α==()f α=． （3）31315cos cos 62333f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭51cos cos 332ππ=-=-=-． 【总结升华】这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．举一反三： 【变式1】已知α、β均为锐角，cos()sin()αβαβ+=-，若()sin cos 44f ππααα⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【解析】由cos()sin()αβαβ+=-得cos()cos ()2παβαβ⎡⎤+=--⎢⎥⎣⎦，又α、β均为锐角．则()2παβαβ+=--，即4πα=．于是，sin cos 0222f ππα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭．【巩固练习】1．sin585°的值为（ ）A．2-B．2 C．2- D．2A ．13 B ． 13- C． D3．已知(cos )cos3f x x =，则(sin 30)f ︒的值等于（ ）A ．―1B ．1C ．12D ．0）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos25．若sin cos 2sin cos αααα+=-，则3sin(5)sin 2παπα⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭等于（ ） A ．34 B ．310 C ．310± D ．310-6．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形7．已知3sin()cos(2)tan 2()cos()f ππαπαααπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=--，则313f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12 B ．12- C．2 D．2-8．已知cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ）A ．23+B ．23+-C ．23- D．23-+9．计算：)425tan(325cos 625sinπππ-++＝ ．10．若()θ+ο75cos 31=，θ为第三象限角，则()()θθ++--οο435sin 255cos 的值是 ． 11．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=__________. 12．（1）cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°的值为________；（2）cos 21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289°的值为________。
高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的诱导公式
三角函数的引诱公式( 一 )【知识梳理】1．引诱公式二(1)角π＋α 与角α 的终边对于原点对称．如下图．(2)公式： sin( π＋α) ＝－ sin_ α.cos( π＋α) ＝－ cos_ α .tan( π＋α) ＝ tan_ α.2．引诱公式三(1)角－α 与角α 的终边对于x轴对称．如下图．(2)公式： sin( －α) ＝－ sin_ α .cos( －α) ＝ cos_α.tan( －α) ＝－ tan_ α.3．引诱公式四(1)角π－α 与角α 的终边对于y轴对称．如下图．(2)公式： sin( π－α) ＝sin_ α .cos( π－α) ＝－ cos_ α .tan( π－α) ＝－ tan_ α .【常考题型】题型一、给角求值问题【例 1】 求以下三角函数值：(1)sin( －1 200 °) ；(2)tan 945119π.°； (3)cos6[ 解 ] (1)sin( －1 200°) ＝－ sin 1 200 °＝－ sin(3 ×360°＋ 120°) ＝－ sin 120 °＝－sin(180 °－ 60°) ＝－ sin 60 °＝－3 ；2(2)tan 945 °＝ tan(2 ×360°＋ 225°) ＝tan 225 °＝ tan(180 °＋ 45°) ＝tan 45 °＝1；119ππ－π π 3(3)cos 6 ＝ cos 20π－6 ＝cos 6 ＝ 2 .6 ＝ cos【类题通法】利用引诱公式解决给角求值问题的步骤【对点训练】求 sin 585°cos 1 290°＋ cos( －30° )sin210°＋ tan 135°的值．解： sin 585°cos 1 290°＋ cos( －30° )sin210°＋ tan 135°＝ sin( 360°＋225° )cos( 3×360°＋ 210) ＋ cos 30°sin210°＋ tan( 180°－ 45° ) ＝ sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－ tan 45°＝ sin( 180°＋ 45° )cos( 180°＋ 30° ) ＋ cos 30°· sin ( 180°＋30° ) － tan45°＝ sin45°cos30°－ cos 30°sin30°－ tan 45°＝2×2 3 －23× 1－12 26－ 3－4＝.4题型二、化简求值问题【例 2】 (1)cos－ α tan 7π＋ α 化简： sinπ－ α＝________；(2) sin 1 440°＋ α ·cos α－1 080°化简－180°－ α.cos·sin － α－180°(1)[ 解 析 ]cos － α tan7π＋ αcos αtan π＋ αcos α·tan αsinπ－α ＝α＝＝sin sin αsinαsinα＝ 1.[答案]1(2)[解 ]原式＝sin4×360°＋α·cos3×360°－α＝sin α·cos －αcos180°＋α·[ － sin180°＋α ]－ cos α·sin αcosα＝－ cos α＝－1.【类题通法】利用引诱公式一～四化简应注意的问题(1)利用引诱公式主假如进行角的转变，进而达到一致角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但必定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切 ( 正切 ) 与弦 ( 正弦、余弦 ) 的式子化简，一般采纳切化弦，有时也将弦化切．【对点训练】化简：tan 2π－θsin2π－θ cos6π－θ.－ cos θsin 5π＋θ解：原式＝tan－θsin－θ cos－θ＝tanθsinθcosθ＝tanθ.－ cos θsin π＋θcos θsin θ题型三、给角（或式）求值问题【例 3】 (1) 已知 sinβ ＝1，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β )的值为() 3A． 1B．－ 1D．－131(2)已知 cos( α－55° ) ＝－3，且α为第四象限角，求 sin(α＋125°)的值．(1)[分析 ] ∵ cos( α＋β ) ＝－ 1，∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，1∴ sin(α＋2β)＝sin[(α ＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sinβ ＝－3.[答案]D1(2)[解]∵ cos(α－55° )＝－3<0，且α是第四象限角．∴α－55°是第三象限角．sin( α－55° ) ＝－1－ cos 2α－55°＝－22.3∵α＋125°＝180°＋(α －55°)，22∴sin( α＋125° ) ＝sin[180 °＋ ( α－55°)] ＝－ sin( α－55° ) ＝3 .【类题通法】解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，第一要认真察看条件与所求式之间的角、函数名称及相关运算之间的差别及联系．(2)能够将已知式进行变形向所求式转变，或将所求式进行变形向已知式转变．【对点训练】1已知 sin( π＋α) ＝－，求cos( 5π＋α)的值．3解：由引诱公式得，sin( π＋α ) ＝－ sinα，1因此 sinα＝3，因此α 是第一象限或第二象限角．当α 是第一象限角时，cos α＝1－ sin2α＝232，此时， cos( 5π＋α) ＝ cos( π＋α ) ＝－ cos22α＝－.3cos α＝－1－sin 222当α 是第二象限角时，α＝－3，此时， cos( 5π＋α) ＝ cos( π＋α ) ＝－ cos22α＝.3【练习反应】1. 如下图，角θ的终边与单位圆交于点P －5，25，则 cos( π－55θ)的值为()255A．－5B．－55分析：选C∵r＝1，∴ cosθ＝－5，∴ cos( π－θ) ＝－ cosθ ＝5. 52．已知sin(4π＋α)＝5，且α 是第四象限角，则cos(α－2π)的值是()A ．－35 3C ．± 5分析：选 B4sin α＝－ ，又 α 是第四象限角，523∴ cos( α－2π ) ＝ cos α＝1－ sin α＝ 5.3．设 tan( 5π＋ α) ＝ m ，则sin α－3π＋ cos π－ α＝ ________.sin － α －cos π＋ α分析：∵ tan( 5π＋ α) ＝tanα＝ m ，－ sin α － cos α － tan α－ 1 － m － 1 m ＋ 1∴原式＝ － sin α ＋ cos α＝ － tan α＋ 1＝ － m ＋ 1＝ m － 1.m ＋ 1答案： m － 1495°＋ sin －570°) 的值是 ________．分析：原式＝ sincos 360°＋ 225°360°＋ 135° － sin 210°＋ 360° ＝sin cos 225°210° ＝ sincos 180°＋ 45°135°－ sin180°－ 45° － sin 180°＋ 30°2＝－ cos 45°－ 2＝ 2－2.45°＋ sin 30°＝sin 2 1 2 ＋ 2答案：2－ 25．已知 cosπ3 ，求 cos α＋ 5π6 － α ＝3 6 的值．解： cos π＋ 5π＝－ cos 5π6 π－ α＋ 6 ＝π －3 － cos 6 α ＝－ 3 .。
(完整版)高中数学-三角函数诱导公式练习题与答案
三角函数定义及诱导公式练习题代数式sin 120o cos21C °的值为（A.6 .已知 tan( ) 4 A 、4B5A. B. C. D.2. tan120 A.、.3.■■ 3贝U sin a+ cos a 等于()7 5a 的终边经过点 B.753. A.154. 已知扇形的面积为2cm,扇形圆心角B 的弧度数是4,则扇形的周长为（ 已知角 (3a ,— 4a)(a <0), C . -15D .(A)2cm(B)4cm (C)6cm (D)8cm5 .已知f ()cos(— 2 cos(3 )si n()2，则 f( )tan()25§ ）的值为（3“)，则sin( ?)10. (14分)已知tan a =—，求证: /八 sin a cosa ⑴ 二_ _ ；sin a cosa(2)sin 2 a+ sin a COS a = - .11 .已知 tan 2.(1)求 3sin 一2CO 二的值; sin coscos( )cos( )sin()⑵求品盘窗勺的值;(3)若 是第三象限角，求cos 的值. 312.已知 sin ( a — 3n ) = 2cos( a — 4n )，求 si (2si n— — si n(—二)+ 5cos (2 —3-的值. )f(25 )=cos 325 325 =cos- 3 = cos 8 1 —=cos —= 3 3 2参考答案1. B【解析】 试题分析：180°，故1200 -.3考点：弧度制与角度的相互转化•2. A.【解析】试题分析：由诱导公式以可得，sin 120 ° cos210° =sin60 ° x (-cos30 ° )=- ^ x2十3,选A.考点：诱导公式的应用. 3. C【解析】试题分析：本题主要考查三角诱导公式及特殊角的三角函数值.由tan120 tan(18060 ) tan 603，选 C.考点：诱导公式• 4. A【解析】 试题分析：r 55 , sin —-, cos -, sin cos r 55考点：三角函数的定义 5. C【解析】设扇形的半径为R,则错误！未找到引用源。
(word完整版)高中数学必修4三角函数的诱导公式习题.doc
高一数学同步训练： 1.3 三角函数的诱导公式一．选择题1．下列各式不正确的是 （）A ． sin （α＋ 180°） =－ sin αB ． cos （－α＋ β） =－cos （α－ β）C ． sin （－α－ 360°） =－ sin αD ． cos （－α－ β） =cos （α＋ β ）2． sin 600 的值为（）1B ． 13 A ．2C ．2219的值等于（）3． sin61B ．13 A ．2C ．224． sin585 的°值为 ()2 B. 2C ．－ 33A ．－ 222D. 2235． sin( － 6 π)的值是 ()11 33A. 2B ．－ 2C. 2 D ．－ 26． cos(－225 °)＋ sin( － 225 °)等于 ()2 2 C ．0D. 2A. 2B ．－ 27． cos2010 °＝ ( )1313 A ．－2B ．－ 2 C.2D. 23D ．23D ．2π 1π)8．已知 sin(α－4)＝ ，则 cos( ＋α)的值为 (34A. 22B ．－22 1 D ．－ 1333C.339．若 cos,2 , 则 sin2 的值是（ ）35344B ．C ．D ．A ．55553πcos(－ 3π＋ α)()10．已知 cos( ＋α)＝－ 3，且 α是第四象限角，则25A. 4B ．－ 44D.3C ． ±11． sin 4 · cos25·tan5的值是（）3 64A ．－3 3 C ．－3 3 4B ．4D ．4412．若 sin(1，则 cos的值为（）)2A ．1；B ． 1；C ．3；D ．3 2222ππ )13．已知 cos(＋φ)＝ 3，且 |φ|< ，则 tan φ＝ (2 2 233A ．－ 3B. 3C ．－ 3 D. 314．设 tan(5 ＋πα)＝ m ，则 sinα－ 3π＋ cos π－ α的值等于 ( )sin － α－ cos π＋ αm ＋1 m － 1A.m －1B.m ＋1C ．－ 1D ．115． A 、B 、 C 为△ ABC 的三个内角，下列关系式中不成立的是(① cos(A ＋B)＝ cosC B ＋C② cos ＝ sin A2 2③ tan(A ＋ B) ＝－ tanC ④ sin(2A ＋B ＋ C)＝ sinAA ．①②B ．③④C ．①④D ．②③ 16．已知 sin()3 ，则 sin( 3) 值为（）424A.1B. — 1C.3 D. — 3222217． cos (+α )= — 1 ，3π<α < 2 , sin( 2 - α) 值为（）2 2A.3 B.13D. —322C.2218． tan110 ＝°k ，则 sin70 的°值为 ( ) AA ．－kB.kC.1＋ k 2 D ．－1＋ k 2k1＋ k 219．化简：1 2 sin(2) ? cos( 2) 得（ ）A. sin 2 cos2B. cos2 sin2C. sin 2 cos2)1＋ k2kD. ± cos2 sin 220．已知 tan3 ，3sin的值是（），那么 cos2A13 B1 31 31 322C2 D27π233321． (2011 年潍坊高一检测 )已知 a ＝ tan(－ 6 )， b ＝ cos 4 π，c ＝ sin( － 4 π)，则 a 、 b 、c 的大小关系是 ()A ．b>a>cB ． a>b>cC ． b>c>aD ． a>c>b22．（2009.济南高一检测）若 sincos2 ，则 sin( -5 ) sin(3) 等于（）sincos2A ．3 B ． 3C ．334D ．10101023. （ 2009·福州高一检测）已知 f(cosx)=cos3x,则 f(sin30 °) 的值等于（）（A ） -1（ B ）1（C ）1（ D ）0二．填空题21、 tan2010°的值为．2． sin （-17π ） =.37π7π 13π－ cos(－3 )＋ sin(－ 6 )的值为 ________．3． tan 44． cos( -x)=3， x ∈（ - ， ），则 x 的值为．25．化简1－ 2sin200 cos160° °＝ ________.cos20 －°sin20 °cos(α－ 3π) ·tan(α－ 2π)的值为 ________．6．若 P(－4,3)是角 α终边上一点，则sin 2(π－ α)2π2π－ α＋α＝ ________. 17．式子 cos 4＋cos 45π 38．若 tan( －πα)＝2，则 2sin(3 ＋πα) ·cos 2 ＋ α＋ sin 2π－ α· sin(－πα)的值为 ________．cos(4 ) cos 2 () sin 2 ( 3 )___．9．化简：4 ) sin(5) cos 2 (＝ ______sin()3sincos2 ，则 tan=．10．已知cos 94sin11．若 tan a ，则 sin 5cos 3 ＝ ____ ____ ．12．如果 tansin0,且 0sincos 1, 那么 的终边在第 象限13．求值： 2sin( － 1110o) － sin960 o+2 cos(225 ) cos( 210 ) ＝．π 3 11π14．已知 cos( ＋θ)＝3 ，则 cos(－ θ)＝ ________.6615. 已知 cos1, 则 sin 34216，已知 cos1000m ，则 tan80 0 的值是三．解答题1、 求 cos （－ 2640°） +sin1665 °的值．2．化简（ 1） sin( )cos() tan(2)（ 2） sin(180) cos( )tan( )sin( 5 )cos() cos(8 )3．化简23) sin(4 )sin(2cos π－ α＋3π＋α·cos 2π－ α·sin 24．已知 f(α)＝ 23π. sin － π－ α·sin 2 ＋ α3π 1，求 f(α)的值． (1)化简 f( α)； (2)若 α是第三象限角，且 cos(α－ 2 )＝ 55．设f ( ) 2 cos3 sin 2 ( ) 2 cos( ) 1，求f ( ) 的值．2 2 cos2 (7 ) cos( ) 36．已知方程 sin(3 ) = 2cos(4 )，求sin() 5 cos(2)的值。
【高中数学必修四】专题1.3 三角函数的诱导公式
第一章 三角函数1.3 三角函数的诱导公式1．诱导公式的内容公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2k π+α）=sin α （k ∈Z ） cos （2k π+α）=cos α （k ∈Z ） tan （2k π+α）=tan α （k ∈Z ）公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π+α）= –sin α cos （π+α）=–cos α tan （π+α）= tan α公式三： 任意角α与–α的三角函数值之间的关系（利用原函数奇偶性）： sin （–α）=–sin α cos （–α）= cos α tan （–α）=–tan α公式四： 利用公式二和公式三可以得到π–α与α的三角函数值之间的关系： sin （π–α）= sin α cos （π–α）=–cos α tan （π–α）=–tan α 公式五：任意角α与2π–α的三角函数值之间的关系： sin （2π–α）=cos α cos （2π–α）=sin α 公式六： 任意角α与2π+α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）=cos αcos （2π+α）=–sin α 推算公式：23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （23π+α）=–cos α sin （23π–α）=–cos α cos （23π+α）=sin α cos （23π–α）=–sin α 2．诱导公式的规律三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角⎝⎛⎭⎫如π2＋α 所在象限________的符号．注意把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin （360°＋120°）＝sin120°，sin （270°＋120°）＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数．学！科网 3．诱导公式的作用诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是：任意负角的三角函数―――――――→去负（化负角为正角）任意正角的三角函数――→脱周脱去k ·360° 0°到360°的三角函数――――→化锐（把角化为锐角 ）锐角三角函数K 知识参考答案：2．不变锐角原三角函数值3．锐角1．诱导公式的简单应用【例1】sin585°的值为A ．－22B ．22C ．－32D ．32【答案】A【解析】sin585°=sin （360°+180°+45°）=sin （180°+45°）=－sin45°=－22．故选A ． 【名师点睛】①三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱．②在运用公式时正确判断符号至关重要．③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视． 【例2】已知21cos cos 2αα+=，若()3tan π4αα-=，是第二象限角，则1ππsin sin 22αα+-⋅=A ．910B ．5C ．109D ．10【答案】D【名师点睛】（1）化简三角函数式的结果要求所含三角函数名称最少，次数最低，含有特殊角的要写出出函数值．（2）对含有kπ±α（k∈Z）形式的角，要对k的奇偶性分类讨论．2．应用诱导公式的思路与技巧（1）应用诱导公式的一般思路①化大角为小角；②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．（2）常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3–α与π6+α；π3+α与π6–α；π4+α与π4–α等．②常见的互补的角：π3+θ与2π3–θ；π4+θ与3π4–θ等．【例3】下列关系式中正确的是A．sin11°<cos10°<sin168°B．sin168°<sin11°<cos10°C．sin11°<sin168°<cos10°D．sin168°<cos10°<sin11°【答案】C【解析】∵cos10°=sin80°，sin168°=sin（180°–12°）=sin12°，∴sin11°<sin168°<cos10°．故选C．【例4】求证：()()()()()π11πsin2πcosπcos cos229πcosπsin3πsinπsin2αααααααα⎛⎫⎛⎫-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+⎪⎝⎭=–tanα【答案】答案详见解析【解析】左边=()()()()sin cos sin sincos sin sin cosαααααααα-⋅----⋅⋅⋅=–tanα=右边，∴等式成立．【名师点睛】解决恒等式的证明问题关键是灵活应用诱导公式，将各三角函数化成同角的三角函数，从一边向另一边推导，或证明两边都等于同一个式子．1．sin2012°=A ．sin32°B ．–sin32°C ．sin58°D ．–sin58°2．若sin （π–θ）<0，tan （π–θ）<0，则角θ的终边在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．27πlog cos 4⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为A ．–1B ．12-C ．12D 2 4．sin13π6等于 A ．3 B ．–12C ．12D 3 5．sin330°=A ．12B ．–12C 3D ．3 6．如果sin （π–α）=13，那么cos （π2+α）等于A ．–13B ．13C 22D ．227．已知cos （π2+α）5，且|α|<π2，则tan α等于A ．–2B ．–12C ．2D ．128．计算：sin 2π3=A ．3B 3C 2D ．2 9．计算sin （π–α）+sin （π+α）=A ．0B ．1C ．2sin αD ．–2sin α10．8πtan3的值为 A 3 B ．3 C 3 D ．311．已知α为第二象限角，且3sin 5α=，则tan （π+α）的值是A．4 3B．34C．43-D．34-12．已知()1sinπ2α-=-，则sin（–2π–α）=____________．13．已知sin（π2+α）=35，α∈（0，π2），则sin（π+α）=____________．14．已知()3sin30α︒+=，则cos（60°–α）的值为A．12B．12-C3D．3 15．如果A为锐角，()()1sinπcosπ2A A+=--，那么=A．22B．22C3D．316．若()5cos2πα-且π2α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，则sin（π–α）A．5B．23-C．13-D．23±17．已知π3tan44α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则2cosπ4α⎛⎫-⎪⎝⎭=A．725B．925C．1625D．242518．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x–y=0上，则()()3πsin cosπ2πsin sinπ2θθθθ⎛⎫++-⎪⎝⎭⎛⎫---⎪⎝⎭=A．–2 B．2C．0 D．2319．化简；（1）()()()()()sin πsin 2πcos π3πsin 3πcos πcos 2αααααα+---⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭（2）cos20°+cos160°+sin1866°–sin （–606°）20．计算：sin 25π26πcos63++tan （25π4-）21．已知f （α）=()()()()3πsin 3πcos 2πsin 2cos πsin πααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭--- （1）化简f （α）（2）若α是第二象限角，且cos （π2+α）=–13，求f （α）的值．22．已知α为第三象限角，()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf αααααα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=----（1）化简f（α）（2）若3π1 cos25α⎛⎫-=⎪⎝⎭，求f（α）的值．学-科网23．已知tan（π–α）=–3，求下列式子的值：（1）tanα；（2）()()()()sinπcosπsin2πcosπ3πsin cos22αααααα--+--+-⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．24．（2016上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x–π3）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为A．1 B．2 C．3 D．425．（2017北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=13，则sinβ=___________．26．（2017上海）设a 1、a 2∈R，且()121122sin 2sin 2a a +=++，则|10π–a 1–a 2|的最小值等于___________．27．（2016四川）sin750°=___________．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B C B A A B A D 11 14 15 16 17 18 24 DCDBBBB1．【答案】B【解析】sin2012°=sin （5×360°+212°）=sin212°=sin （180°+32°）=–sin32°．故选B ．4．【答案】C 【解析】sin 13π6=sin （2π+π6）=sin π162=．故选C ． 5．【答案】B【解析】sin330°=sin （270°+60°）=–cos60°=–12．故选B ． 6．【答案】A【解析】∵sin （π–α）=sin α=13，那么cos （π2+α）=–sin α=–13，故选A ．7．【答案】A 【解析】由cos （π2+α）=5，得–sin α=5，即sin α=5，又|α|<π2，∴–π02α<<，则cos α2251sin α-，则tan α=5sin 15cos 225αα==-．故选A ．8．【答案】B【解析】sin 2π3=sin（π–π3）=sinπ33=．故选B．9．【答案】A【解析】sin（π–α）+sin（π+α）=sinα–sinα=0．故选A．10．【答案】D【解析】∵tan 8π3=tan（3π–π3）=–tanπ3=–3．故选D．11．【答案】D【解析】∵α为第二象限角，sinα=35，∴cosα=–21sinα-=–45，∴tanα=sincosαα=–34，则tan（π+α）=tanα=–34．故选D．14．【答案】C【解析】cos（60°–α）=sin[90°–（60°–α）]=sin（30°+α）3，故选C．15．【答案】D【解析】∵sin（π+A）=–sin A=–12，∴sin A=12，又A为锐角，∴A=π6；∴cos（π–A）=–cos A=–cosπ6=3．故选D．16．【答案】B【解析】∵cos（2π–α）=cosα5，α∈（–π2，0），∴sinα=21cosα-=–23，则sin（π–α）=sinα=–23．故选B．17．【答案】B【解析】∵π3tan44α⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴22ππcos sin 44αα⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222πsin 4ππsin cos 44ααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221πcos 41πsin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭+⎛⎫+ ⎪⎝⎭21191162511π9tan 4α==++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故选B ． 18．【答案】B【解析】由已知可得，tan θ=2，则原式=cos cos 2cos sin 1tan θθθθθ---=--=2．故选B ．20．【答案】–1【解析】sin 25π26πcos 63++tan （25π4-） =π2ππsin 4πsin 8πtan 6π634⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =π2ππ11sin cos tan 1163422+-=--=-． 21．【答案】（1）f （α）=cos α；（2）()22f α=． 【解析】（1）f （α）=()()()()()3πsin 3πcos 2πsin sin cos cos 2cos πsin πcos sin αααααααααα⎛⎫--- ⎪⋅⋅-⎝⎭=----⋅=cos α． （2）α是第二象限角，且cos （π2+α）=–sin α=–13，∴sin α=13， ∵α是第二象限角，∴()222cos 1sin f ααα==--=．22．【答案】（1）f （α）=–cos α；（2）f （α）． 【解析】（1）∵α为第三象限角，∴()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf αααααα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---- =()()()cos sin tan tan sin ααααα---=–cos α． （2）∵3π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴–sin α=15，解得sin α=–15， ∴可得cos α=． ∴f （α）=–cos α． 23．【答案】（1）3；（2）–4．【解析】（1）∵tan （π–α）=–tan α=–3，∴tan α=3．（2）()()()()sin πcos πsin 2πcos π3πsin cos 22αααααα--+--+-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin cos sin cos cos sin αααααα+++=- 2sin 2cos cos sin αααα+=-2tan 21tan αα+=- 813=-=–4． 24．【答案】B【解析】∵对于任意实数x 都有sin （3x –π3）=sin （ax +b ），则a =±3．若a =3，此时sin （3x –π3）=sin （3x +b ），此时b =–π3+2π=5π3，若a =–3，则方程等价为sin （3x –π3）=sin （–3x +b ）=–sin （3x –b ）=sin （3x –b +π），则–π3=–b +π，则b =4π3，综上满足条件的有序实数组（a ，b ）为（3，5π3），（–3，4π3），共有2组，故选B ．25．【答案】13【解析】∵在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，∴α+β=π+2kπ，k∈Z，∵sinα=13，∴sinβ=sin（π+2kπ–α）=sinα=13．故答案为：13．27．【答案】1 2【解析】sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=12，故答案为：12．。
(完整版)三角函数诱导公式练习题附答案.doc
三角函数诱导公式练习题一、选择题（共21 小题）1、已知函数 f（ x）=sin ， g（x） =tan（π﹣ x），则（）A、 f（ x）与 g（ x）都是奇函数B、 f（ x）与 g（ x）都是偶函数C、 f （ x）是奇函数， g（x）是偶函数D、 f（ x）是偶函数， g（ x）是奇函数2、点 P（ cos2009 ，° sin2009 ）°落在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3、已知，则=（）A、B、C、D、4、若 tan160 =a°，则 sin2000 等°于（）A、B、C、D、﹣5、已知 cos（+α）=﹣，则 sin（﹣α） =（）A、﹣B、C、﹣D、6、函数的最小值等于（）A、﹣ 3B、﹣ 2C、D、﹣ 17、本式的值是（）A、 1B、﹣ 1C、D、8、已知且α是第三象限的角，则cos（ 2π﹣α）的值是（）A、B、C、D、9、已知 f（cosx） =cos2x，则 f （ sin30 ）°的值等于（）A、B、﹣C、 0 D、110、已知 sin（ a+ ） = ，则 cos（ 2a﹣）的值是（）A、B、C、﹣D、﹣11、若，，则的值为（）A、B、C、D、12、已知，则的值是（）A、B、C、D、13、已知 cos（ x﹣） =m，则 cosx+cos（ x﹣） =（）A 、 2mB 、 ± 2mC 、D 、14、设 a=sin （ sin20080），b=sin （ cos20080），c=cos （ sin20080），d=cos （ cos20080），则 a ，b ， c ， d 的大小关系是（）A 、 a ＜b ＜c ＜ dB 、 b ＜ a ＜d ＜ cC 、 c ＜ d ＜ b ＜ aD 、 d ＜ c ＜ a ＜ b15 、在△ ABC 中，① sin （ A+B ）+sinC ；② cos （B+C ）+cosA ；③tantan ；④，其中恒为定值的是（）A 、②③B 、①②C 、②④D 、③④16 、已知 tan28 =a °，则 sin2008 =°（ ）A 、B 、C 、D 、17、设 ，则 值是（ ）A 、﹣ 1B 、 1C 、D 、18、已知 f （ x ） =asin （π x+ α）+bcos （ π x+）β+4（a ， b ， α，β 为非零实数），f （ 2007） =5，则 f （ 2008 ） =（）A 、 3B 、 5C 、 1D 、不能确定19 、给定函数① y=xcos （ +x ），② y=1+sin 2（ π+x ），③ y=cos （ cos （ +x ））中，偶函数的个数是（）A 、 3B 、 2C 、 1D 、 020 、设角的 值等 于（）A 、B 、﹣C 、D 、﹣21 、在程序框图中，输入 f 0（ x ） =cosx ，则输出的是 f 4（ x ）=﹣ csx （）A 、﹣ sinxB 、 sinxC 、 cosxD 、﹣ cosx二、填空题（共 9 小题）22、若（﹣ 4，3）是角终边上一点， 则Z 的值为 ．23、△ ABC 的三个内角为 A 、B 、 C ，当 A 为°时， 取得最大值，且这个最大值为 ．24、化简：=25 、化：= ．26 、已知， f（ 1）+f（ 2） +f（ 3） +⋯ +f（ 2009 ）= ．27 、已知tan θ =3，（π θ）= ．28 、sin（π+） sin（2π+） sin（ 3π+）⋯ sin（ 2010 π+）的等于．29 、f（ x）= ， f（ 1°）+f（2°）+⋯ +f（ 58°）+f（ 59°） = ．30 、若，且， cos（2π α）的是．答案与评分标准一、选择题（共21 小题）1、已知函数f（ x）=sin，g（x）=tan（π﹣x），则（）A、 f（ x）与 g（ x）都是奇函数B、 f（ x）与 g（ x）都是偶函数C、 f （ x）是奇函数， g（x）是偶函数D、 f（ x）是偶函数，g（ x）是奇函数考点：函数奇偶性的判断；运用诱导公式化简求值。
高中数学 三角函数诱导公式(带答案)
习题精炼一、选择题1、下列各式不正确的是 （ ）A ． sin （α＋180°）=－sin αB ．cos （－α＋β）=－cos （α－β）C ． sin （－α－360°）=－sin αD ．cos （－α－β）=cos （α＋β） 2、若sin （π＋α）＋sin （－α）=－m ,则sin （3π＋α）＋2sin （2π－α）等于（ ） A ．－23 m B ．－32 m C ．23 m D ．32 m3、⎪⎭⎫⎝⎛-π619sin 的值等于（ ） A ．21B ． 21-C ．23 D ． 23-4、如果).cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是（ C ）A ．)(]22,22[Z k k k ∈++-ππππB ．)()223,22(Z k k k ∈++ππππC ．)(]223,22[Z k k k ∈++ππππD ．)()2,2(Z k k k ∈++-ππππ5．已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为 （ ）A ．5B ．－5C ．6D ．－66、sin34π·cos 625π·tan 45π的值是A ．－43B ．43C ．－43D ．437．设,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒-的值为 （ ）A ．211aa ++ B ．－211aa ++ C ．211aa +-D ．211aa +-8．若)cos()2sin(απαπ-=+，则α的取值集合为（ ）A ．}42|{Z k k ∈+=ππαα B ．}42|{Z k k ∈-=ππααC ．}|{Z k k ∈=πααD ．}2|{Z k k ∈+=ππαα二、填空题1、求值：sin160°cos160°（tan340°＋cot340°）= ．2、若sin （125°－α）=1213,则sin （α＋55°）=．3、cos π7 ＋cos 2π7 ＋cos 3π7 ＋cos 4π7 ＋cos 5π7 ＋cos 6π7 = ．4、已知,1)sin(=+βα则=+++)32sin()2sin(βαβα .三、解答题1、已知 3)tan(=+απ, 求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值．2、若cos α＝23，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．3、设sin ,(0)()(1)1,(0)x x f x f x x π<⎧=⎨-+≥⎩和1cos ,()2()1(1)1,()2x x g x g x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩求)43()65()31()41(f g f g +++的值.4．设)(x f 满足)2|(|cos sin 4)(sin 3)sin (π≤⋅=+-x xx x f x f ,（１） 求)(x f 的表达式；（2）求)(x f 的最大值．《诱导公式》参考答案一、选择题ABAC BABC二、填空题1、1．2、1312．3、0．4、0三、解答题1、7．2、25．3、22)41(=g ， 5312()1,()s i n ()1,6233g f π=+=-+ 1)4sin()43(+-=πf ， 故原式=3．4、解析：（１）由已知等式(sin )3(sin )4sin cos f x f x x x -+=⋅ ①得x x x f x f cos sin 4)sin (3)(sin -=-+ ② 由３⨯①－②，得8x x x f cos sin 16)(sin ⋅=，故212)(x x x f -=．（２）对01x ≤≤，将函数212)(x x x f -=的解析式变形，得2242()2(1)2f x x x x x =-=-+＝22112()24x --+，当22x =时，max 1.f =。
诱导公式及典型例题
αα+ 180x yP(x,y)P′(-x ，-y)MM′O(4-5-1)三角函数诱导公式及典型例题【知识梳理】1.公式(一)απαsin )sin(=∙+2kαπαcos )cos(=∙+2kαπαtan )tan(=∙+2k （其中Z ∈k ）2．公式（二）:αα-sin sin(=-） ααcos cos(=-） ααtan tan(-=-）推导：在单位圆中画出α角与－α角，若没α的终边与单位圆交于点P(x ，y)，则角-α的终边与单位圆的交点必为P ´(x ，-y)，观察出角的终边关于x 轴对称，结合三角函数定义可得到公式。
3.公式(三)[]απαcos 2(cos -=++1)k[]απαsin 2(sin -=++1)k []απαtan 2(tan =++1)k注：⎩⎨⎧-=+为偶数，为奇数，ααααπαsin sin )sin(n ⎩⎨⎧-=+为偶数，为奇数，ααααπαcos cos )cos(nαπαtan )tan(=+n 【典型例题】例1．下列三角函数值： （1）cos210º； (2)sin 45π例2．求下列各式的值： （1）sin(－34π)； (2)cos(－60º)－sin(－210º)例3．化简 )180sin()180cos()1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα例4．已知cos(π+α)=－ 21，23π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）．（A ）23(B) 21 (C)－23 (D)±23求下式的值：2sin(－1110º) －sin960º+)210cos()225cos(2︒-+︒- 2．化简sin(－2)+cos(－2－π)·tan(2－4π)所得的结果是（ ） （A ）2sin2 (B)0 (C)－2sin2 (D) －1 公式（四）απαsin )2cos(-=+απαcos )2sin(=+απαsin )2cos(=+- απαcos )2sin(=+-απαcot )2tan(-=+απαtan )2cot(-=+ απαcot )2tan(=+- απαtan )2cot(=+-例5、求证： )2cos()5cos()2sin()4sin()cot()2tan()23cos()2sin(απαπαπαπαπαπαπαπ+-+--=+-+---+k k k例6 的值。
第四课时 三角函数诱导公式例题展示(笔记整理)
第四课时 三角函数诱导公式例题展示（笔记整理）知识点一：第一组诱导公式展示诱导公式二:关于原点对称.sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα.弧度时的关系式为:sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.诱导公式三：可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.诱导公式四:可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值.sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.公式一—四:α+k·2π(k∈Z ),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角.例1 利用公式求下列三角函数值:(1)cos225°;(2)sin 311π;(3)sin(316π-);(4)cos(-2 040°). 解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=22-;(2)sin 311π=sin(4π3π-)=-sin 3π=23-; (3)sin(316π-)=-sin 316π=-sin(5π+3π)=-(-sin 3π)=23; (4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°)=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=21-. 点评:利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.变式训练1.利用公式求下列三角函数值:(1)cos(-510°15′);(2)sin(317-π). 解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′=cos(360°+150°15′)=cos150°15′=cos(180°-29°45′) =-cos29°45′=-0.868 2; (2)sin(317-π)=sin(3π-3×2π)=sin 3π=23. 例2 （2007全国高考,1）cos330°等于( ) A.21 B.21- C.23 D.23-答案:C变式训练2.化简:οοοο790cos 250sin 430cos 290sin 21++ 解:οοοο790cos 250sin 430cos 290sin 21++ =)70720cos()70180sin()70360cos()70360sin(21οοοοοοοο++++-+ =οοοοοοοο70sin 70cos |70sin 70cos |70cos 70sin 70cos 70sin 21--=+-- =170sin 70cos 70cos 70sin -=--οοοο. 知识点二：第二组诱导公式展示诱导公式六：公式五、六公式左边的角分别是2π±α,23π-α.其中2π,23π是纵坐标轴上的角,因此这些公式可归结为纵坐标上的角±α,函数名称要改变.例3.证明(1)sin(23π-α)=-cosα;(2)cos(23π-α)=-sinα. 证明:(1)sin(23π-α)=sin[π+(2π-α)]=-sin(2π-α)=-cosα; (2)cos(23π-α)=cos[π+(2π-α)]=-cos(2π-α)=-sinα. 点评:由公式五及六推得23π±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系,从而进一步可以推广到212+k π(k∈Z )的情形.本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用.例4. 化简.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(a a a a a a a a +-----++-ππππππππ 解:原式=)]2(4sin[)]sin()[sin()cos ()]2(5cos[)sin )(cos )(sin (a a a a a a a a +++----+---ππππππ =)2sin()]sin ([sin )cos ()]2cos([cos sin 2a a a a a a a +------ππ=aa cos sin -=-tanα. 变式训练 3.已知cos(6π-α)=m(m≤1),求sin(32π-α)的值. 解:∈32π-α-(6π-α)=2π,∈32π-α=2π+(6π-α). ∈sin(32π-α)=sin ［2π+(6π-α)］=cos(6π-α)=m. 4.已知sinα是方程5x 2-7x -6=0的根,且α为第三象限角, 求)2cos()2cos()tan()2(tan )23sin()23sin(2a a a a a a +•--•-•-•+ππππππ的值.解:∈5x 2-7x -6=0的两根x=2或x=53-, ∈-1≤x≤1,∈sinα=53-. 又∈α为第三象限角,∈cosα=2sin -1-=54-. ∈tanα=43. ∈原式=)sin (sin )tan (tan )cos ()cos (2a a a a a a -•-••-•-=tana=43。
(完整版)高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的诱导公式(二)
三角函数的诱导公式(二)【知识梳理】诱导公式五和公式六y + a 119止眩 f 余弦｝的函数值'分别尊于" 的余歌\ ll 的甬数值.前面 加上一个把。
石【常考题型】题型一、给角求值问题【例1】(1)已知cos 31 = m ,则sin 239 fan 149的值是() B.\/1 — m 2D . — 1 — m 2 ⑵已知sin 扌—a = 2 求cos n+ a 的值.［解析］(1)sin 239 + tan 149=sin (180 + 59°)ta n(180 —31°)=—sin 59 (— tan 31 )°=—sin(90 — 31°)( — tan 31 )°=—cos 31 •— tan 31 )°=sin 31 丄::』1 — C0E31 °= 1 — m 2.［答案］Bn n (2)cos 6+ a = cos 2 —=sinA.1 — m 2角的转化方法(1) 对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数•若转化之后的正角大于360°再利用诱导公式一，化为 0。
到360。
间的角的三角函数.(2) 当化成的角是90。
到180。
间的角时，再利用 180 °- a 的诱导公式化为 0。
到90。
间的角的 三角函数.⑶当化成的角是270。
到360 °间的角时，则利用 360 °- a 及—a 的诱导公式化为0。
到90涧的角的三角函数.【对点训练】1 n已知 COS (n+ a = — 2，求 COS 2 + a 的值.1解：・COS ( n+ a)= — COS a=—㊁,1•'COS a= 2，「・a 为第一或第四象限角.①若a 为第一象限角，-J ； 2，②若a 为第四象限角,题型二、化简求值问题sin n — a COS 2 n — a COS — a+ 节 已知f ( a =COS 2— a Sin — n — a (1)化简 f (a ；3 n 1⑵若a 为第三象限角，且 COS a — ~ = 5求f( M 的值;【类题通法】 a =— Sin a=1 — COS2 a n贝U COS 2+ a =—a= 1 — COS 2 a=【例2】-22⑶若a=—学求f( a的值.sin ocos a—sin a［解］(i)f(M =sin asin a COSa.3 n 1 1(2) '.cos a— ~ = —sin a= T,• Sin a=—二，2 5 5又Ta 为第三象限角，cos a=—"，1 —si n2a=——56 ,31 n 31 n(3)f —丁 =—cos —-3-5 n 5 n=—cos —6X 2 n+ 3 =—cosyn 1=—cos3= —2.【类题通法】化简求值的方法解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统后再用同角三角函数的基本关系式变形求解.【对点训练】nsin — a cos n+ a cos 2— a已知f( a=■ 2cos n— a sin 2 n+ a tan n+ a(1)化简f(a；3⑵若角a的终边在第二象限且sin a= 5，求f(a.nsin —a cos n+ a COS 2—a 解：(1)f( a=cos n— a si n 2 n+ a ta n n+ a—sin a —cos a sin a—cos %sin otana=—cos a.⑵由题意知cos a=—篦:1 —sin2a= —5,41题型三、三角恒等式的证明［证明］左边n tan — a — COS 2— a COS — an n —tan a — sin 2 + a — cos a用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、1”的代换法、公式变形法, 要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法. 【对点训练】求证： COS n — 0 3 + cos 0 sin 2 n — 0 — 1COS 2 n — B = 2 n . 3 n sin 2 9COS n+ 9 sin 2+ 0 — sin "2 + 0证明： 一 cos 0 cos 0 左边= + cos 0cos 0 — cos 0— 1 — COS 0COS 0+•-f ( a =一 cos 【例3】 求证: 3n 「 tan 2 n — a COS ~2 ~ a cos 6 n —a tan n — a sin 3 n 3 n a+ COS a+ 2 1.【类题通法】三角恒等式的证明策略—tan a =1 =右边. —COs a sin a f •原式成立.对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以—tan a —sin a COs a 1 + cos 0 11 — cos0 1 — cos 0+ 1 + cos 0 1 + cos 0 1 — cos 0 21 — cos2 0 話0=右边. •f 原式成立.【练习反馈】4 1=sin a (— sin a).2 =—sin a答案：一sin 2 a4. sin 21 °+ sin 22°+ sin 23°+^+ sin 289°= ___________ . 解析：将sin 21 ° + sin 22 ° + sin 23 °+…+ sin 289冲的首末两项相加得相加得1,…，共有44组，和为44,剩下sin 245°=舟,则 sin 21 °+ sin 22°+ sin 23°+ …+ sin 289°=n n 1.若 sin nB <0,且 cos ㊁一0 >0，贝V B 是（ ）A .第一象限角B .第二象限角C .第三象限角D .第四象限角 % %解析：选 B 由于 sin 2 + 0 = cos 0<0, cos ?— 0 = sin 0>0,所以角 0的终边落在第二象限, 故选B.2. 1如果 cos(7t+ A)=— 2，那么 sin 2+ A 等于( ) A. 1 B.2 3 D 2 1 解析：选 B cos(n+ A)=— cos A = — 2, •■cos A =2, i•'sin 2+ A = cos A = 3./十3n3 .化简：sin( — a — 7 力•os a — 2解析：原式=—sin(7 n+ a •os 3n — a=—sin( n+ a) n —cos 2—答案: 8921，第二项与倒数第二项 892 .13 n 3 n COS a — — = COS —— tan( n+ a = tan a,1 1二原式=t an 2 +tan a cos a • — sin a tan a 2 1 1 cos a — 1 厂 + = 2 --- sn a — sin 2 a sin a 5 .化简: tan 2 解: n sin 2' •tan( — a )=— tana, 3 n a cos a — 2 tan n asin n — a = COS a, a =— sin a,・ 2 sin 2 a n~2~ sin 2 a1 COs2a。
高中数学必修4-三角函数诱导公式及练习zz
三角函数诱导公式sin（－α）＝－sinα，cos（－α）＝cosα，tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosα，cos（π/2－α）＝sinα，tan（π/2－α）＝cotα，cot（π/2－α）＝tanα，sin（π/2＋α）＝cosα，cos（π/2＋α）＝－sinα，tan（π/2＋α）＝－cotα，cot（π/2＋α）＝－tanα，sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosα，tan（π－α）＝－tanα，cot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinα，cos（π＋α）＝－cosα，tan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα，sin（3π/2－α）＝－cosα，cos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotα，cot（3π/2－α）＝tanα，sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinα，tan（3π/2＋α）＝－cotα，cot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinα，cos（2π－α）＝cosα，tan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα，sin（2kπ＋α）＝sinα，cos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanα，cot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)习题精选一、选择题1．若，则的值为（）．A．B．C．D．2．的值等于（）．A．B．C．D．3．在△ 中，下列各表达式为常数的是（）．A． B．C．D．5．已知是方程的根，那么的值等于（）．A．B．C．D．二、填空题6．计算．7．已知，，则，．8．若，则．9．设，则．10．．三、解答题11．求值：12．已知角终边上一点的坐标为，（1）化简下列式子并求其值：；（2）求角的集合．14．若，求的值．15．已知、、为△ 的内角，求证：（1）；（2）．16．已知为锐角，并且，，求的值．一、选择题1、cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A.23 B. 21C. 23±D. —232、若sin （π＋α）＋sin （－α）=－m ,则sin （3π＋α）＋2sin （2π－α）等于 （ ） A ．－23 m B ．－32 m C ．23 m D ．32 m3、已知sin(4π+α)=23，则sin(43π-α)值为（ ）A.21 B. —21C. 23D. —234、如果).cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是（ ）A ．)(]22,22[Z k k k ∈++-ππππB ．)()223,22(Z k k k ∈++ππππC ．)(]223,22[Z k k k ∈++ππππD ．)()2,2(Z k k k ∈++-ππππ5、已知,)1514tan(a =-π那么=︒1992sin（ ）A ．21||aa + B ．21aa +C ．21aa +-D ．211a+-6、设角则,635πα-=)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于 （ ） A ．33B ．－33C ．3D ．－37、若,3cos )(cos x x f =那么)30(sin ︒f 的值为 （ ）A ．0B ．1C ．－1D ．238、在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题1、求值：sin160°cos160°（tan340°＋cot340°）= ．2、若sin （125°－α）= 1213,则sin （α＋55°）=．3、cos π7 ＋cos 2π7 ＋cos 3π7 ＋cos 4π7 ＋cos 5π7 ＋cos 6π7 = ．4、设,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒-的值为 ．三、解答题1、已知 3)tan(=+απ, 求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值．2、若cos α＝23，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．4、记4)c o s ()s i n ()(++++=βπαπx b x a x f ，（a 、b 、α、β均为非零实数），若5)1999(=f ，求)2000(f 的值．参考答案一、选择题 ABCC CCCC二、填空题1、1．2、1312． 3、0．4、211aa ++-4、由已知：a -=26tan ，于是：21126cos a+=；2126sin aa +-=．∴ ()()21126cos 26sin 206cos 206sin aa ++-=-=-+-．三、解答题1、7．2、25． 3、0． 4、3．4、()()()42000cos 2000sin 2000++++=απαπb a f 一、选择题1．B 2．D 3．C 4．D 5．A二、填空题 6．2 7． ， 8． 9． 10．三、解答题11． ．12．（1） ；（2）．13．提示：．14．18．提示：先化简，再将 代入化简式即可．15．提示：注意 及其变式．16． ．提示：化简已知条件，再消去 得 ．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角函数诱导公式
sin（－α）＝－sinα，cos（－α）＝cosα，tan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα
sin（π/2－α）＝cosα，cos（π/2－α）＝sinα，tan（π/2－α）＝cotα，
cot（π/2－α）＝tanα，sin（π/2＋α）＝cosα，cos（π/2＋α）＝－sinα，
tan（π/2＋α）＝－cotα，cot（π/2＋α）＝－tanα，sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα，tan（π－α）＝－tanα，cot（π－α）＝－cotα
sin（π＋α）＝－sinα，cos（π＋α）＝－cosα，tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα，sin（3π/2－α）＝－cosα，cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα，cot（3π/2－α）＝tanα，sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα，tan（3π/2＋α）＝－cotα，cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（2π－α）＝－sinα，cos（2π－α）＝cosα，tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα，sin（2kπ＋α）＝sinα，cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα，cot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)
习题精选
一、选择题
1．若，
则的值为（）．
A．B．C．D．
2．的值等于（）．
A．B．C．D．
3．在△ 中，下列各表达式为常数的是（）．
A． B．
C．D．
5．已知是方程的根，那么的值等于（）．
A．B．C．D．
二、填空题
6．计算．
7．已知，，则，．
8．若 ，则 ．
9．设 ，则 ．
10．
．
三、解答题 11．求值：
12．已知角
终边上一点
的坐标为
，
（1）化简下列式子并求其值： ；
（2）求角 的集合． 14．若
，
求 的值．
15．已知 、
、
为△
的内角，求证： （1） ；（2）
．
16．已知 为锐角，并且 ，
，求
的值．
一、选择题
1、cos(π+α)= —
21，2
3π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A.
23 B. 21
C. 23±
D. —2
3
2、若sin （π＋α）＋sin （－α）=－m ,则sin （3π＋α）＋2sin （2π－α）等于 （ ） A ．－23 m B ．－32 m C ．23 m D ．3
2 m
3、已知sin(
4π+α)=23，则sin(4
3π
-α)值为（ ）
A.
21 B. —2
1
C. 23
D. —
2
3
4、如果).cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是
（ ）
A ．)(]
22
,
22
[Z k k k ∈++-ππ
ππ
B ．)()22
3
,22(
Z k k k ∈++ππππ
C ．)(]22
3
,22[
Z k k k ∈++ππππ
D ．)()2,2(Z k k k ∈++-ππππ
5、已知,)15
14
tan(a =-π那么=︒1992sin
（ ）
A ．
2
1||a
a + B ．
2
1a
a +
C ．2
1a
a +-
D ．2
11a
+-
6、设角则
,6
35
πα-
=)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于 （ ） A ．
33
B ．－
3
3
C ．3
D ．－3
7、若,3cos )(cos x x f =那么)30(sin ︒f 的值为 （ ）
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．
2
3 8、在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰或直角三角形
D ．等腰直角三角形
二、填空题
1、求值：sin160°cos160°（tan340°＋cot340°）= ．
2、若sin （125°－α）=
12
13
,则sin （α＋55°）=
．
3、cos π7 ＋cos 2π7 ＋cos 3π7 ＋cos 4π7 ＋cos 5π7 ＋cos 6π
7 = ．
4、设,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒-的值为 ．
三、解答题
1、已知 3)tan(=+απ, 求)
2sin()cos(4)
sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值．
2、若cos α＝23
，α是第四象限角，求
sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)
απαπαππαπααπ-+--------的值．
4、记4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，（a 、b 、
α、β均为非零实数），若5)1999(=f ，求)2000(f 的值．
参考答案
一、选择题 ABCC CCCC
二、填空题
1、1．
2、
13
12． 3、0．
4、2
11a
a ++-
4、由已知：a -=
26tan ，于是：2
1126cos a
+=
；2
126sin a
a +-=
．
∴ (
)()2
1126cos 26
sin 206cos 206
sin a
a ++-
=-=-+-
．
三、解答题
1、7．
2、
2
5
． 3、0． 4、3．
4、()()()42000cos 2000sin 2000++++=απαπb a f
()[]()[]41999cos 1999sin ++++++=αππαππb a ()()841999cos 1999sin +-+-+-=απαπb a ()381999=+-=f
一、选择题1．B 2．D 3．C 4．D 5．A
二、填空题 6．2 7． ， 8． 9． 10．
三、解答题 11． ． 12．（1） ；（2）
．
13．提示：
．
14．18．提示：先化简，再将 代入化简式即可．15．提示：注意
及其变式．
16．
．提示：化简已知条件，再消去
得
．。