2021年常系数线性方程组基解矩阵的计算
常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法
常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法常数矩阵微分方程基解矩阵是指对于一个m阶常系数矩阵微分方程组x′(x)=xx(x),其中x(x)为x的函数,x为常数矩阵,基解矩阵是一组线性无关的解所构成的矩阵。
计算常数矩阵微分方程基解矩阵的方法主要有以下几种:常数变易法、指数矩阵法、特征值法。
一、常数变易法
使用常数变易法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下:
1.假设基解矩阵为x(x),则存在常数矩阵x,使得
x(x)=xx^xx。
2.对基解矩阵进行求导,并代入微分方程,得到
xxx(x)(x)=xx(x),其中x(x)(x)表示第n阶导数。
3.解出x(x)(x),得到x的表达式。
4.代入x=0时的初始条件,求解得到x的具体值。
5.将x代入基解矩阵的表达式中,得到基解矩阵。
二、指数矩阵法
使用指数矩阵法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下:
1.求解常数矩阵x的特征值和特征向量。
2.将特征值分别代入指数函数的表达式中,得到特征向量的指数函数形式。
3.将特征向量的指数函数形式构成的矩阵x和其逆矩阵x^(-1)代入基解矩阵的表达式中,得到基解矩阵。
三、特征值法
使用特征值法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下:
1.求解常数矩阵x的特征值和特征向量。
2.将特征向量的形式代入基解矩阵的表达式中,得到基解矩阵。
在实际计算中,选择哪种方法取决于方程的形式、矩阵的性质和计算的复杂程度。
以上三种方法均可得到常数矩阵微分方程的基解矩阵,计算方法相对较为简单,但对于高阶矩阵微分方程,计算工作量可能较大,需要根据具体情况选择合适的方法。
矩阵的线性方程组解法
矩阵的线性方程组解法线性方程组是数学中的重要概念,它描述了一组线性方程之间的关系。
而求解线性方程组的方法之一就是利用矩阵的运算进行计算。
本文将介绍几种常见的矩阵解法,以帮助读者更好地理解线性方程组求解的过程。
一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的基本方法之一。
它通过矩阵的行变换来简化系数矩阵,并最终将线性方程组化简为上三角形式。
步骤如下:1. 构建增广矩阵:将系数矩阵和常数向量合并成一个增广矩阵。
2. 初等行变换:利用加减乘除的运算,将增广矩阵化为上三角矩阵。
3. 回代求解:从方程组的最后一行开始,依次求解每个变量。
二、矩阵的逆解法对于非奇异矩阵(可逆矩阵),可以利用矩阵的逆求解线性方程组。
设线性方程组为Ax=b,其中A为系数矩阵,x为未知向量,b为常数向量。
解法如下:1. 判断A是否可逆:计算矩阵A的行列式,若不为零,则A可逆。
2. 计算逆矩阵:利用伴随矩阵法或初等变换法,求解A的逆矩阵A^-1。
3. 求解线性方程组:利用逆矩阵的性质,有 x=A^-1b。
三、克拉默法则克拉默法则是一种求解线性方程组的特殊方法,它通过计算行列式的比值来求解每个未知数的值。
步骤如下:1. 列出增广矩阵:将线性方程组化为增广矩阵形式。
2. 计算行列式:利用增广矩阵的系数部分,计算系数矩阵A的行列式det(A)。
3. 计算未知数:利用克拉默法则,有 xi=det(Ai)/det(A),其中Ai是用b替换第i列得到的矩阵。
四、LU分解法LU分解法是一种将矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的方法。
通过LU分解后,可以利用前代法和回代法求解线性方程组。
步骤如下:1. 进行LU分解:将系数矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U,有 A=LU。
2. 利用前代法求解Ly=b:先解 Ly=b 得到y的值。
3. 利用回代法求解Ux=y:再解 Ux=y 得到x的值。
总结:本文介绍了矩阵的线性方程组解法,包括高斯消元法、矩阵的逆解法、克拉默法则和LU分解法。
使用矩阵的运算求解线性方程组
使用矩阵的运算求解线性方程组线性方程组是数学中一个重要的问题,它描述了一组线性方程的关系。
解决线性方程组的方法有很多,其中使用矩阵的运算是一种常用且高效的方法。
本文将介绍如何使用矩阵的运算来求解线性方程组。
在介绍矩阵的运算求解线性方程组之前,我们先了解一下矩阵的基本概念。
矩阵是一个按照行和列排列的矩形数表。
一个 m×n 的矩阵 A 由 m 行 n 列的数 a_ij 组成,记作 A=(a_ij)。
给定一个线性方程组:a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2...a_mx_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m我们可以将系数和未知数分别放在一个矩阵和向量中,得到以下形式:AX = B其中 A 是系数矩阵,X 是未知数向量,B 是常数向量。
现在的问题是如何求解未知数向量 X。
为了求解未知数向量 X,我们可以使用矩阵的逆。
如果系数矩阵 A 有逆矩阵 A^(-1),那么可以通过以下公式求解 X:X = A^(-1)B但是,并不是每个矩阵都有逆矩阵。
故而我们需要先判断矩阵 A 是否可逆。
对于一个 n×n 的矩阵 A,我们可以使用行列式的值来判断它是否可逆。
如果行列式的值 det(A) 不等于 0,则矩阵可逆。
如果矩阵 A 不可逆,或者我们不想使用逆矩阵的方法来求解 X,我们还可以使用矩阵的高斯消元法。
高斯消元法是一种将矩阵转化为行阶梯形矩阵的方法。
首先,我们将系数矩阵 A 和常数向量 B 按行合并为一个增广矩阵[A|B]。
然后,我们通过一系列的行变换将增广矩阵转化为行阶梯形矩阵。
行变换包括以下三种操作:1. 两行交换:可以交换增广矩阵的任意两行。
2. 一行乘以非零常数:可以将增广矩阵的任意一行乘以非零常数。
3. 一行加上另一行的某个常数倍:可以将增广矩阵的某一行加上另一行的某个常数倍。
矩阵的线性方程组解集求解
矩阵的线性方程组解集求解线性方程组是线性代数中的重要概念,而解线性方程组就是求解方程组中未知数的解集。
在矩阵的线性方程组中,我们利用矩阵的运算和变换来求解线性方程组的解集。
本文将介绍矩阵的线性方程组求解的基本方法和步骤。
首先,我们来回顾一下线性方程组的定义:线性方程组是由多个线性方程组成的集合,其中每个方程都是线性的。
线性方程组的一般形式可以表示为:a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b其中,a1, a2, ..., an 是系数,x1, x2, ..., xn 是未知数,b 是常数。
对于一个含有 m 个方程和 n 个未知数的线性方程组,可以使用矩阵的形式来表示:AX = B其中,A 是一个 m×n 矩阵,X 是一个 n×1 矩阵(列向量),B 是一个 m×1 矩阵(列向量)。
在这个形式下,我们的目标是求解 X 的取值。
下面,我们将介绍两种常见的矩阵的线性方程组求解方法:高斯消元法和矩阵的逆。
1. 高斯消元法高斯消元法是一种基本的矩阵求解方法,其基本思想是通过矩阵的初等行变换将线性方程组转化为上三角形式,从而求解未知数的值。
具体步骤如下:(1)将线性方程组的系数矩阵 A 与常数矩阵 B 合并为增广矩阵[A|B]。
(2)利用矩阵的初等行变换,将增广矩阵化为上三角形式。
(3)反向替换,从最后一行开始,求解每一个未知数的值。
(4)得到线性方程组的解集。
2. 矩阵的逆矩阵的逆是线性方程组求解的另一种方法。
对于方阵 A,如果存在一个方阵 B,使得 A×B = B×A = I,其中 I 是单位矩阵,则称矩阵 A 是可逆的,B 是 A 的逆矩阵。
利用矩阵的逆矩阵,我们可以通过以下方式求解线性方程组。
具体步骤如下:(1)对于矩阵 A,若 A 可逆,则将方程组 AX = B 两边同时左乘A 的逆矩阵 A^(-1),得到 X = A^(-1)B。
(2)计算矩阵 A 的逆矩阵 A^(-1)。
李金城 25 数学08-1 常系数线性微分方程组的矩阵解法
摘要在常微分方程中,介绍了解常系数线性微分方程组的消元法,它是解常系数线性微分方程组的最初等的方法,适用于知函数较少的小型微分方程组。
对于未知函数较多时,用消元法则会非常不便,为此应寻求更为有效的方法。
在掌握线性代数的知识后,用矩阵法解常系数线性齐次微分方程组较为方便。
关键词:基解矩阵特征方程特征值特征向量AbstractIn the ordinary differential equation, introduced that understood often the coefficient linear simultaneous differential equation's elimination, it is the solution often the coefficient linear simultaneous differential equation's most primary method, is suitable in knows the function few small simultaneous differential equation. Are many when regarding the unknown function, will be inconvenient with the elimination, for this reason should seek a more effective method. After grasping the linear algebra the knowledge, the coefficient linearity homogeneous simultaneous differential equation is often more convenient with the matrix technique solution.Keywords: basic solution of matrix characteristic equation eigenvalue Characteristic vector第一章:矩阵指数A引言已知常系数线性微分方程组:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn n n xa x a x a dtdx x a x a x a dtdx x a x a x a dt dx (22112222121212121111)(1) 的求解方法,通常可以用消元法将方程组化为一元的高阶微分方程:0 (111)111=+++--x b dtx d b dt x d n n n nn 来求解。
线性方程组的解法
线性方程组的解法一、引言线性方程组是数学中的重要概念,广泛应用于各个领域,包括物理学、经济学、工程学等。
解决线性方程组有多种方法,本文将介绍常见的三种解法:高斯消元法、矩阵法和克拉默法。
二、高斯消元法高斯消元法是一种基于矩阵变换的解法,可以将线性方程组转化为简化行阶梯形矩阵,从而快速求解解向量。
具体步骤如下:1. 将线性方程组写成增广矩阵形式;2. 选择一个非零首元,在该列中其余元素乘以某个系数并相减,使得除首元外该列其他元素变为零;3. 重复第二步,直至将矩阵转化为简化行阶梯形矩阵;4. 从简化行阶梯形矩阵中读出解。
三、矩阵法矩阵法是一种基于矩阵运算的解法,将线性方程组转化为矩阵形式,并求解矩阵的逆矩阵,从而得到解向量。
具体步骤如下:1. 将线性方程组写成矩阵形式;2. 求解矩阵的逆矩阵;3. 用逆矩阵乘以等号右边的向量,得到解向量。
四、克拉默法克拉默法是一种利用行列式性质求解线性方程组的方法,适用于方程组个数与未知数个数相等的情况。
具体步骤如下:1. 将线性方程组写成矩阵形式;2. 计算行列式的值;3. 分别用等号右边的向量替换矩阵中对应的列,再求解行列式的值;4. 将第三步得到的值除以第二步得到的值,得到解向量。
五、比较与应用场景1. 高斯消元法在实际计算中具有高效性和稳定性,适用于任意线性方程组求解;2. 矩阵法需要先求解矩阵的逆矩阵,计算过程相对复杂,适用于方程组个数与未知数个数相等的情况;3. 克拉默法计算过程较为复杂,不适用于大规模方程组的求解,但对于小规模方程组求解比较便捷。
六、总结线性方程组的解法有多种,本文介绍了高斯消元法、矩阵法和克拉默法三种常见方法。
应根据具体情况选择合适的方法来求解线性方程组,以达到高效、准确的目的。
对于大规模方程组的计算,高斯消元法更具优势;对于方程组个数与未知数个数相等的情况,矩阵法和克拉默法更适用。
随着数学计算方法的不断发展,越来越多的解法将出现,为解决复杂的线性方程组提供更多选择。
常系数线性微分方程组的基解矩阵求法的一个注记
常系数线性微分方程组的基解矩阵求法的一
个注记
微分方程是一门学科中重要的概念之一,它能够描述物体
的动态变化特性,其中一类特别重要的是常系数线性微分方程组。
它能够用来描述定义域上的函数变化趋势,也能够描述物
理系统的运动变化特性。
关于常系数线性微分方程组,有一种
求解解析解的方法就是基解矩阵法。
基解矩阵法是一种有效求解常系数线性微分方程组的方法。
他能够有效快速地求解它们的解析解,其操作过程是一种非常
完善的矩阵表示技术。
对于计算量复杂的系统,根据其系统的
特征,首先通过μ(s)这个特征方程,使微分方程组求出μ(s)的特征多项式,然后将这个特征多项式展开,求出特征
根以及相应的特征矢,最后将特征根和特征矢作为基解矩阵的
元素,建立起基解矩阵,从而求出微分方程组的解析解。
基本步骤是,首先求出系统的特征方程μ(s),将它写
成矩阵形式,然后根据其系统特征,将其求解为特征多项式;
接着将特征多项式展开,将其求解为特征根μ1,μ2……μn
以及特征矢α1,α2……αn;最后将特征根和特征矢作为基
解矩阵的元素建立起基解矩阵,从而求出微分方程组的解析解。
它是一个非常有效率的求解常系数线性微分方程组的方法,由于其计算简便、操作快速,它在物理学、数学、计算机、工
程等多个领域都受到广泛使用。
基解矩阵法将极大地改善系统
计算的效率,为科学家解决复杂问题提供了一种得力的方法。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的一个概念,它是由多个线性方程组成的方程集合。
对于一个线性方程组,我们常常需要找到它的解,即能够同时满足所有方程的变量值。
本文将介绍几种常见的线性方程组解法。
1. 列消法列消法,也被称为高斯消元法,是一种常见且直观的线性方程组解法。
其基本思想是通过逐行操作,将方程组进行简化,使其呈现出上三角形式,从而得到解。
具体的步骤如下:- 步骤一:将线性方程组写成增广矩阵形式。
增广矩阵是一个含有系数和常数的矩阵,每一行代表一个方程。
- 步骤二:逐列进行消元操作。
从第一列开始,逐行将该列下方的元素转化为0。
操作方式是将上一行的倍数加到下一行上。
- 步骤三:重复步骤二,直到将增广矩阵转化为上三角形式。
- 步骤四:回代求解。
从最后一行开始,逐行计算出每个变量的值,将其代入上方的方程中,继续求解。
2. 矩阵法矩阵法是一种将线性方程组转化为矩阵运算的解法,它简化了计算过程。
该方法基于矩阵的性质和运算规则,能够更加高效地求解线性方程组。
具体的步骤如下:- 步骤一:将线性方程组写成矩阵形式。
将系数和常数构成一个矩阵,将未知数构成一个列向量。
- 步骤二:对矩阵进行初等行变换。
通过初等行变换,将矩阵转化为上三角形式。
- 步骤三:回代求解。
从最后一行开始,逐行计算出每个变量的值,将其代入上方的方程中,继续求解。
3. 克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的线性方程组解法。
该方法适用于方程个数与未知数个数相等的情况。
具体的步骤如下:- 步骤一:计算系数矩阵的行列式值。
该值被称为主行列式。
- 步骤二:计算每个未知数对应的行列式值。
将主行列式进行替换,将替换后的行列式值称为次行列式。
- 步骤三:分别计算每个未知数的值。
将次行列式除以主行列式,得到每个未知数的取值。
需要注意的是,克拉默法则在求解大规模的线性方程组时效率较低,因为每次计算都需要求解大量的行列式。
综上所述,线性方程组的解法有列消法、矩阵法和克拉默法则等多种,每种方法都有其适用的场景和特点。
常系数线性微分方程的求解
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利用通常的比较系数法要求出通解(’!)是相当困难的,作变量代换后把求解方程(’#)的问题
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参考文献:
[’] 王高雄等8常微分方程8北京:高等教育出版社,!###
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常系数线性齐次微分方程组的矩阵解法
常系数线性齐次微分方程组的矩阵
解法
常系数线性齐次微分方程组(LCCDE)是一类与定常差分方程组(LDE)类似的微分方程组,区别在于其中的系数是常数。
例如,LCCDE可以被表述为:
dy/dx + p_1(x)y + p_2(x)y' + ... + p_n(x)y^(n-1)=0
其中p_1(x),p_2(x),...,p_n(x)是常数。
矩阵解法是根据LCCDE来计算特解的一种解法,它基于Cramer规则对LCCDE给出解析解。
更具体地说,矩阵解法将LCCDE转换为一组线性方程组,采用矩阵乘法来求解此方程组,并将答案代入原微分方程组中,从而求得特解。
例如,考虑以下LCCDE:
dy/dx + 4y + 5y' + 6y''=0
我们可以将其转换为一组线性方程组:
a_0y+a_1y'+a_2y''=0 a_3y+a_4y'+a_5y''=0
a_6y+a_7y'+a_8y''=0
其中a_i (i=0,1,...,8)是常数,可以根据上面的LCCDE逐步求得。
然后,我们可以将上面的方程组转换为形如Ax=b的矩阵相乘方程,其中A是系数矩阵,x是未知向量,b是右端项向量。
矩阵相乘方程可以用Cramer规则计算得到解析解,然后将解代入原LCCDE,就可以求得特解。
常系数齐次线性微分方程组基解矩阵的求解
常系数齐次线性微分方程组基解矩阵的求解常系数齐次线性微分方程组(ODEs)具有广泛的应用,它描述了一个系统的变化,其基本格式为:ay + by + cy = 0其中,a,b,c是定值。
求解ODEs的方法有固定点定理、积分因子和特征值定理等,其中,基解矩阵是一种基本概念,它们可以帮助我们更容易地求解ODEs。
基解矩阵是一个特定矩阵,它由解ODEs的特征解组成。
特征解是ODEs的根,它们代表着ODEs的解/极限解等。
特征解可以写成: xi(t) = e^rt其中,r是ODEs的特征值,它对应着特征方程的根。
基本基解矩阵由基解向量组成,它们可以写成:X = [x1, x2, x3, ..., xn]其中,x1,x2, ...,xn是ODEs的解向量,它们对应着ODEs的基解。
为了求解ODEs,我们还需要确定一个初值。
这个初值可以写成: X(0) = [x1(0), x2(0), ..., xn(0)]其中,x1(0),x2(0), ...,xn(0)是ODEs的初值向量,它们代表着ODEs的初值状态。
求解ODEs的基解矩阵的基本原理是:利用基解向量组成的基解矩阵,可以将ODEs的求解变为一个线性代数问题,而这个线性代数问题可以用行列式解决。
假设我们要求解ODEs:ay + by + cy = 0称ε为ODEs的特征根,则可写出:ε1= r1,2 = r2,3 = r3其中,r1,r2,r3是ODEs的根,它们组成了特征多项式的特征根。
此时,基解矩阵可以写成:X = [e^r1*t, e^r2*t, e^r3*t]此时,ODEs的初值可以写成:X(0) = [x1(0), x2(0), x3(0)]现在,将基解矩阵和初值向量带入ODEs:ay + by + cy = 0我们可以得出:xe^(r1*t) + ye^(r2*t) + ze^(r3*t) = x1(0)其中,x、y、z是ODEs的未知参数,它们可以用行列式求解。
常系数线性微分方程组的解法
即(p(t)二泌为(5.33)解o (肛-A)c = 0,有非零解
例3试求矩阵入= 特征值和特征向量.
-5 3
解掘特征值就是特征方程
与—3 ~5 一
det(4E — A) =
— X2 — 62 + 34 = 0
常系数线性方程组
筒壬一页帛啊下一页「'惭返回'
证明:由上面讨论知,每一个向量函数
都是(5①.3⑺3)/=的'v[e解j气=,,因le,2外此,・2矩,・阵…・,,n/"J* ]
是(5.33由)的于解*,矩V阵2,,v〃线性无关, de所t 0以(0 = det(e%i, e^v2,…,e^vn)。0 故①⑴是(5.33)的基解矩阵
⑴
(2) ^AB^BA^\eA+B =eAeB.
对任何矩阵A,(expA)T存在,且
(expA)"1=exp (-A).
(3) 若『是非奇异的,则 exp (T-1AT) = T-1(expA)T.
3常系数齐线性微分方程组的基解矩阵
(1)定理9矩阵
(0)二E.
0(0 = exp At 是(5.33)的基解矩阵,且①
程
类似第四章4.2.2,寻求
尤=Ax, (5.33)
形 口 (p(f) — e%c,c。0, (5.43)
的解,其中常数人和向量c是待定的
将(5.43)代入(5.33)得 人 = Ae^c,
因泌、0,上式变为 (2E - A)c = 0, (5.44)
方程(5.44)有非零解的充要条件是
det(2E -A) = 0,
常系数线性方程组基解矩阵的计算
常系数线性方程组基解矩阵的计算常系数线性方程组基解矩阵的计算董治军(巢湖学院数学系,安徽巢湖238000)摘要:微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的,不少问题都归结于它的求解问题,基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事,一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的,但当系数矩阵是常数矩阵时,可以通过方法求出基解矩阵,这时可利用矩阵指数exp A t,给出基解矩阵的一般形式,本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组,结合微分方程,线性代数等知识,讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法.关键词;常系数奇次线性微分方程组;基解矩阵;矩阵指数Calculation of Basic solution Matrix ofLinear Homogeneous System withConstant CoefficientsZhijun Dong(Department of Mathematics, Chaohu College Anhui, Chaohu)Abstract: Differential equations application in engineering technology is veryextensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the base solution matrix by integral get, but when coefficient matrix is constant matrix, can pass out the base solution matrix method, then are available matrix exponential t, the general form base solution matrix, the paper discusses the most widely used differential equations with constant coefficients, combined with differential equations, linear algebra, discuss knowledge of homogeneous linear differential equation with constant coefficients of base solution matrix several general calculation method.Keyword: linear homogeneous system with constant coefficients; matrix of basic solutions; matrix exponent引言:线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点,根据线性微分方程组的解的结构理论,求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵,本文主要讨论齐次线性微分方程组 X ’=AX ★ 的基解矩阵的计算问题,这里A 是n n ⨯常数矩阵.一.矩阵指数exp A 的定义和性质: 1.矩阵范数的定义和性质定义:对于n n ⨯矩阵A =ij a ⎡⎤⎣⎦n ×n 和n 维向量X =()1,...,Tn X X 定义A 的范数为A =,1niji j a=∑,X =1nii x=∑设A ,B 是n ×n 矩阵,x ,y 是n 维向量,易得下面两个性质:(1)AB ≤A B ,AX ≤A X ; (2)A B +≤A +B ,X Y +≤X +Y . 2.矩阵指数exp A 的定义和性质:(!)定义:如果A 是一个n ×n 常数矩阵,我们定义矩阵指数exp A 为下面的矩阵级数的和: exp A =!0k A k k ∞=∑=E+A+22!A +…+!mA m +… (1.0) 其中E 为n 阶单位矩阵,m A 是A 的m 次幂,这里我们规定0A =E ,0!=1 这个级数对于所有的A 都是收敛的.因次exp A 是一个确定的非负矩阵,特别的,对所有元均为0的零矩阵0,有exp0=E.事实上,由上面范数的性质(1),易知对于一切正整数k ,有!kA k ≤!kA k ,又因对于任一矩阵A ,A 是一个确定的实数,所以数值级数E +A +2A +…+!m A m +… 是收敛的.进一步指出,级数exp A t=!0kk A k k t ∞=∑在t 的任何有限区间上是一致收敛的.事实上,对于一切正整数k ,当t ≤c (c 是某一整数)时,有!kkA k t ≤!k kA k t ≤!k A k k c ,而数值级数()0kA c k ∞=∑是收敛的,因而exp A t=!0kkA k k t ∞=∑是一致收敛的.(2)矩阵指数exp A 的性质:①若矩阵A ,B 是可交换的,即AB=BA ,则 exp A (A+B )=exp A exp B ;②对于任何矩阵A ,()1exp A -存在,且()1exp A -=exp (-A ); ③如果T 是非奇异矩阵,则 exp (1T -AT )=1T -(exp A )T .3.有关常系数奇次线性微分方程组★的基本问题 定理1:矩阵Φ(t )=exp A t (1.1)是★的基解矩阵,且Φ(0)=E.证明:由定义易知Φ(0)=E ,将(1.1)对t 求导,得'Φ(t )=()'exp At =A+21!A t+322!A t +…+1(1)!kk A k t --+… =A exp A t = A Φ(t ) 这就表明,Φ(t )是★的解矩阵,又det Φ(0)=det E =1 因此φ(t )是★的解矩阵. 证毕.注1:由定理1,我们可以利用这个基解矩阵推知★的任一解ϕ(t )=(exp A t )C 这里C 打、是一个常数向量.例1:如果A 是一个对角矩阵A=12n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O (其中未写出的元均为零) 试找出x '=Ax 的基解矩阵. 解:由( 1.0)可得 exp A t=E+12n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 1!t +221222!2t n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O+12!k k kt k k n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O+…=12n a t a ta t e e e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 根据定理1,这就是一个基解矩阵.例2:试求x '=2102⎡⎤⎢⎥⎣⎦x 的基解矩阵. 解:因为A=2102⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2002⎡⎤⎢⎥⎣⎦+0100⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 而且后面的两个矩阵是可交换的,得到 exp A =exp 2002⎡⎤⎢⎥⎣⎦t ⋅exp 0100⎡⎤⎢⎥⎣⎦t=2200tt e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦222!01010000t E t ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪+++⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭L 但是20100⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以 级数只要两项,因此 基解矩阵是exp A t= 2101t t e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 二.基解矩阵的计算1.基于特征值和特征向量型计算基解矩阵类似于一阶齐次线性微分方程,希望方程组★有形如()t t e C λϕ=的解,其中λ为待定的参数,C 为待定的n 维非零向量,将之代入方程组,得到 t t e C Ae C λλλ=,即有()0E A C λ-= (1.2)要使齐次线性代数方程组(1.2)有非零解向量,应有 det()0E A λ-= (1.3)称式(1.3)为方程组★的特征方程,称λ为A 的特征值.称非零向量C 为A 的对应于特征值λ的特征向量.于是有如下结论:()t t e C λϕ=为方程组★的充分必要条件是λ为A 的特征值,且C 为对应于λ的特征向量.这样就提供了用代数方法求解的平台.(1) 设A 具有n 个线性无关的特征向量12,,n v v v L ,它们对应的特征向量分别为12,n λλλL (不必各不相同)易知矩阵1212()(,,)n t t t n t e v e v e v λλλΦ=Lt R ∀∈是常系数齐次线性微分方程组★的一个基解矩阵.事实上,由上面讨论知道向量函数i t i e v λ(1≤i ≤n ) 都是方程组★的一个解,因此()t Φ是方程★的解矩阵.计算12det (0)det(,,)0n v v v Φ=≠L 于是()t Φ是方程组★的基解矩阵.注2:当A 是n 个不同的特征值时,就满足上述性质.注3:此处()t Φ不一定是标准基解矩阵exp A t ,但由线性微分方程组的一般理论知:存在一个n 个非奇异矩阵C ,有exp A =()t C Φ⋅ 令t=0,得C=1(0)-Φ 即exp A t=1()(0)t -Φ⋅Φ于是当A 是实矩阵时,则exp A t 为实的,这样上式就给出了一个构造实基解矩阵的方法.例3:利用特征值与特征向量求基解矩阵的方法,求解例1中的一个基解矩阵.解:显然A 是对角矩阵,它有n 个特征值(1)i i a i n λ=≤≤对于每个特征值i λ易知其对应的特征向量为(0,1,0)T i C =L L 即有()0i i E A C λ-=而这些特征向量12,n C C C L 线性无关,由注2,于是方程组有基解矩阵()121212(),,n n a t a ta ta t a t n a t e e t e C e C e C e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥Φ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦L O这与例1 的计算结论一样.例4:试求方程组x Ax '=,其中3553A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 的一个基解矩阵. 解:A 的特征值就是特征方程235det()634053E A λλλλλ---==-+=-的根,解之得1,235i λ=± 对应与特征值135i λ=+的特征向量,计算齐次线性代数方程11255()055u i E A u u i λ-⎡⎤⎡⎤-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 因此1u i α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是对应于1λ的特征向量,类似的,可以求得对应于2λ的特征向量1i v β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 其中,0αβ≠为任意常数,而121,1i v v i ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是对应于12,λλ的两个线性无关的特征向量.根据注2,于是矩阵()()()()()123535123535(),i ti t tti ti te ie t e v e v iee λλ+-+-⎡⎤Φ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦就是方程组的一个基解矩阵.再由注3,实基解矩阵为()()()()()()()()13535353513123535353511cos5sin 5exp ()(0)11sin 5cos5i ti t i t i t t i ti t i t i t e ie i e ie i t t At t e i i t t ie e ie e -+-+--+-+-⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=ΦΦ===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(2)设A 有k 个不同的特征值12,k λλλL 它们的重数分别为12,,k n n n L 其中12k n n n n +++=L 那么如何计算exp At ?回忆高等代数理论,对应于j n 重特征值j λ的如下线性代数方程组()0j nj E A u λ-= (1.4)的解全体构成n 维欧几里得空间的一个j n 维子空间()j U i j k ≤≤并且n 维欧几里得空间可表示成12,k U U U L 的直和,由此对于n 维欧几里得空间的每一个向量u ,存在唯一组向量12,k u u u L 其中(1)j j u U j k ∈≤≤使得分解式为 12k u u u u =+++L (1.5)因此,一方面 对于★的初始值0(0)x x =,应用式(1.5)知存在j j v U ∈有012k x v v v =+++L 注意到空间j U 的构造,即知j v 是式(1.4)的解,即有()0j nj j E A v λ-=因而有()0l j j E A v λ-= ,1j l n j k ≥≤≤ (1.6)另一方面,j E λ-为对角矩阵,因此由例1知exp()j j j t tj t e eEt e λλλλ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O故有()j t j e Et E λλ-= 计算(exp )(exp )j j At v At Ev =(exp )exp()j tj j At e Et v λλ=-=(exp())j tj j e A E t v λλ-=(()j tj e E t A E λλ+-+12122!(1)!()())n j j j n t tj j j n A E A E v λλ----++-L所以方程组★满足初始条件()00x x =的解()t ϕ为()()()()012exp exp k t At x At v v v ϕ==+++L =()()1!110exp i i j i n kkttj j j i j j i At v e A E v λλ-===⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑ (1.7) 同时注意到()()()()()()12exp exp exp ,exp ,exp n At At E At e At e At e ==L 其中[][][]121,0,0,0,1,00,0,1TTTn e e e ===L L L L 即在上面初始条件中分别令01020,,n x e x e x e ===L 应用式(1.7)求得n 个解,然后以这n 个解作为列即得exp At .注4:当A 只有一个特征值时,即λ为n 重的,因此n v R ∀∈都有()0E A v λ-=这表明()nE A λ-为零矩阵.则()()exp exp exp exp tAt AtE At e Et λλ⎡⎤==-=⎣⎦()()1!0exp in itt i i e A E t A E λλλ-=-=-∑(1.8)注5:式(1.7)表明方程组的任一解都可以经过有限次代数运算求出.例5:若A 是例2中的矩阵,求初值问题()0,0x Ax x x '==的解和exp At . 解:本题用两种方法计算exp At 和()t ϕ方法一:易知1,22λ=是A 的二重特征值,此时,A 只有一个特征值,根据式(1.8)计算有exp At =()()()1222!12201iitttt i i t e A E e E t A E e =⎡⎤-=+-=⎢⎥⎣⎦∑和特解()t ϕ=(exp At )0x .方法二:1,22λ=是A 的二重特征值,这时212,n R =只有一个子空间1U ,0x =12xx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦%%不需要分解,根据式(1.7)有()t ϕ=()1222022ttx tx e E t A E x e x +⎡⎤+-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦%%.分别取010210,01x e x e ⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦代入上式中的()t ϕ中,则()()22121,01t t t t e t e ϕϕ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以()()()2121exp ,01tt At t t e ϕϕ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦和特解()t ϕ=()0exp At x . 例6:考虑方程组x Ax '=,其中311201112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦试求满足初始条件()[]01230Tx x x x x ==%%%的解,并求exp At .解:A 的特征方程为()()()2311det 21120112E A λλλλλλ--⎡⎤⎢⎥-=--=--=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦121,2λλ==分别为121,2n n ==重特征根,为了确定3R 的子空间12,U U 由式(1.4) 首先考虑齐次线性代数方程组()1232112110111u A E u u u λ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦解得[]1011Tu α=,其中α为任意常数. 因此1U 是由1u 构成的一维子空间,其次考虑齐次线性方程组()122300021100110u A E u u u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦解得2101001u βγ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中,βγ为任意常数.因此2U 是由2u 构成的二维子空间.下面对初值()00x x =进行分解,有012x u u =+ 即123010110101x x x αβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦%%%于是112121213210,x v x x v x x x xx x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦%%%%%%%%% 根据式( 1.7) 有()()2122t t t e Ev e E t A E v ϕ=++-⎡⎤⎣⎦=()()13212211321213210t t x t x x x e x x e x t x x x x x x x x +-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-++-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦%%%%%%%%%%%%%%%最后为了得到exp At ,依次分别令0001000,1,0001x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦代入上式得到3个线性无关解()()()123,,t t t ϕϕϕ于是()()()()()2222221232221exp 1t t t t tt t t t t t tt t e te te At t t t e t ee te te e e e e e ϕϕϕ⎡⎤+-⎢⎥==-++-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦2:“哈密顿-凯莱”法:设A 是方程组★的n n ⨯实系数矩阵,()p λ是A 的特征多项式,()()111det n n n n p A E a a a λλλλλ--=-=++++L特征方程为A 的()111n n n n p a a a λλλλ--=++++L =0 (1.9) 方程(1.9)的根12,n λλλL 是矩阵A 的特征多项式,且有()()()()11n n p λλλλλλλ-=---L哈密顿-凯莱定理:设()p λ是矩阵A 的特征多项式,则()1110n n n n p A A a A a A a E --=++++=L 亦即()()()()110n n p A A E A E A E λλλ-=---=L定理:设12,n λλλL 是矩阵 A 的n 个特征值(它们不一定不相等)则()()110exp n i i i At r t p -+==∑ (2.0)其中()()()011,i i i p E p A E A E A E λλλ-==---L ()1,2,i n =L并有()()()12,n r t r t r t L 是初值问题()()1111101,00j j j j j r r r r r r r λλ-⎧'=⎪⎪'=+⎨⎪==⎪⎩()2,3j n =L(2.1)的解.推论:若A 只有一个特征值λ,则()1!0exp exp in it i i At t A E λλ-==-∑上述定理将计算exp At 的问题转化为求方程组(2.1)满足初始条件的解的问题,由于方程组(2.1)是一个特殊的一阶常系数齐次线性方程组,容易直接求解.因而由公式(2.0)就可以直接求出方程组★的基解矩阵exp At .例7:求常系数齐次线性方程组x Ax '=,其中233453442A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的解. 解:A的特征方程为()()()()233det 453122442A E λλλλλλλ--⎡⎤⎢⎥-=--=-++-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=0 解得特征值为1231,2,2λλλ=-=-=求解初值问题:()()()112123231232201,00,00r r r r r r r r r r r ⎧'=-⎪⎪'=-⎪⎨'⎪=+⎪===⎪⎩ 得()()()2221111233412,,t t t t tr t e r t e e t r t e ee -----==-=-++ 又因()()11212333121212443,121212443121212p A E p A E A E λλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ 则由公式:得()2222222221022222exp tt t t t t tt t tt t i i i t t t tt e e e e e At r t p e e e e e e e e e e e e -----+=--⎡⎤--+⎢⎥==-++--+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦∑. 3:算子构造法:其构造步骤是:① 利用已引入的微分算子dD dx=写出★的微分算子表示; ② 用算子法求解★的微分算子表示的方程组得其通解:()()()()11221212,,,,,n n n n y x c c c y x c c c y x y x c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M L ; ③ 依次令12100010,,001n c c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦LM M M M 代入上述通解,则得★得n 个线性无关的特解()()()12,,n y x y x y x %%%L ;④ 以()()()12,,n y x y x y x %%%L 为列作成的矩阵()()()()12n Y x yx y x y x =⎡⎤⎣⎦%%%L就是★的基解矩阵,且★夫人矩阵指数函数形式的基解矩阵为:()()10Ax e Y x Y -=.例8:试求方程组1211,13y y y y y -⎡⎤⎡⎤'==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (2.2) 的基解矩阵,并求11.13Ax e A ⎛-⎫⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. 解:①(2.2)的算子表示就是()()12121030D y y y D y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩ (2.3)②求解(2.3)111013D y D -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦ 即()2120D y -= (2.4) 于是(2.4)的通解为()2112x y C C x e =+ 12,C C 为任意常数 (2.5) (2.5)代入(2.3)的第一个方程得()()2221111221x x y D y Dy y C C x e C xe =--=-+=-+- 故( 2.3)的通解为()()2112222122x x xy C C x e y C C e C xe⎧=+⎪⎨=-+-⎪⎩ 12(,C C 为任意常数) ③依次令1210,01C C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得( 2.3)的两个线性无关解()()()221222,1x x x x xe e y x y x x e e ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦%%;④ 以12,y y %%作列而成的矩阵:()[]()()2221221111xxx x x e xe Y x y y e x e x e ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--+--+⎣⎦⎣⎦%% 就是(2.2)的一个基解矩阵.⑤求(2.2)的基解矩阵Ax e 因()10011Y ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦,故()110011Y -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦于是Axe =()22110111111xx x x x e x x x e --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 结束语:关于基解矩阵exp At 的计算,还可以利用矩阵的约当标准型等有关线性代数知识进行计算,在此不作详述.参考文献:[]1王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松 常微分方程 高等教育出版社;[]2西南师范大学数学与财经学院 常微分方程 西南师范大学出版社;[]3肖箭,盛立人,宋国强 常微分方程简明教程 科学出版社; []4王翊,陶怡 常系数齐次线性微分方程组的解法 牡丹江大学学报.。
常系数线性微分方程组的基解矩阵的一种新求法
( 3 )
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[ 收 稿 日期 ] 2 o 1 2 — 1 l — O 7
[ 基 金 项 目] 国 家 自然 科 学 青 年 基 金 项 目( 1 1 1 0 2 0 7 6 )
第6 期
的解 .
彭庆英 : 常 系数 线 性微 分方 程组 的基 解矩 阵的 一种新 求 法
1 引
言
对 于常 系数线性 微分方 程组
一 .
ix,
( 1 )
其 中 A为 × 常数 方 阵 , 一 ( £ ) 是 未知 的 维列 向量 . 关于 方程组 ( 1 ) 的求解 问题 , 总是 个繁杂 的 问 题, 而求 解 的关键在 于求 其一 个基解 矩 阵. 根据 A 的特 征 向量 的特 点采 取合 适 的方 法尤 为 重要 , 合 适 的
n -1
e x p A t 一∑口 ( ) A ,
一 0
( 5 )
其中 口 ( )( 一 0 , 1 , …, 一 1 )是方 程组
口 o ( £ ) +口 1 ( £ ) 1 + …+n 一 1 ( ) 一 一e
口 1 ( ) +2 n 2 ( ) 1 +3 a 3 ( £ ) ; +… +( n -1 ) a 一 1 ( £ ) A : 一t e Z l ,
1 2 1
定理 2 将 计 算基解 矩 阵 e x p A t的 问题 归 结为求 解 齐线性 微分 方程 组 ( 3 ) 满足 初始 条件 ( 4 ) 的初值 问
题 .由于方 程组 ( 3 ) 是一 个特 殊 的一 阶常 系数齐 次线 性方程 组 , 其 系数矩 阵
l
1
2
1
微 分方程 组 也是 比较 麻烦 的 . 通 过改 进将解 微 分方 程 组转 化 为解 线 性 方程 组 的 问 题 . 进而 得 到一 种 求解
线性方程组的解法与矩阵运算
线性方程组的解法与矩阵运算线性方程组是数学中的常见问题之一,它可以用来描述多个变量之间的线性关系。
解决线性方程组的常见方法是使用矩阵运算。
本文将介绍线性方程组的解法以及如何使用矩阵运算来求解。
一、线性方程组的基本概念线性方程组是由多个线性方程组成的方程组,每个方程都是形如a₁x₁ + a₂x₂ + ... + anxn = b的线性等式,其中a₁, a₂, ..., an为系数,x₁, x₂, ..., xn为变量,b为常数。
一个线性方程组可能有一个解、无穷多个解或者无解。
二、线性方程组的解法1. 高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的经典方法之一。
其步骤如下:(1) 将线性方程组写成增广矩阵的形式;(2) 通过矩阵的行变换,将增广矩阵化简为上三角矩阵;(3) 回代求解未知数。
2. 矩阵求逆法当线性方程组的系数矩阵可逆时,我们可以通过矩阵求逆的方法求解。
具体步骤如下:(1) 将线性方程组的系数矩阵A和常数矩阵B写成增广矩阵的形式[A,B];(2) 若A可逆,则通过矩阵的逆A⁻¹求得解矩阵X,其中X = [X₁, X₂, ..., Xn];(3) 解矩阵X即为线性方程组的解。
三、矩阵运算和线性方程组的关系矩阵运算在解决线性方程组时起着重要作用,它可以简化计算过程并提高求解效率。
以下是一些常用的矩阵运算与线性方程组的关系。
1. 矩阵加法和减法矩阵加法和减法可以用于表示线性方程组的系数矩阵和常数矩阵之间的运算关系。
通过矩阵加法和减法,我们可以合并或拆分线性方程组,方便进行计算。
2. 矩阵乘法矩阵乘法可应用于连立方程组和线性变换的计算过程。
通过定义两个矩阵的乘积,我们可以将线性方程组转化为矩阵运算的形式,从而简化求解过程。
3. 矩阵的转置和伴随矩阵转置矩阵和伴随矩阵在解决线性方程组时有重要作用。
转置矩阵可以用于求解方程组的转置方程组,而伴随矩阵则可以用于求解方程组的伴随方程组。
四、总结线性方程组的解法与矩阵运算密切相关。
5-9 -常系数齐次线性方程组基解矩阵的矩阵指数解法
[教学内容] 1. 介绍方阵范数及其性质. 2. 介绍方阵函数列、方阵级数敛散性及其判定. 3. 介 绍方阵的指数定义. 4. 介绍常系数齐次线性方程组矩阵指数解法. [教学重难点 ] 重点是了解矩阵指数定义的过程以及运用矩阵指数求解常系数齐次线性方程 组; 难点是如何具体实现矩阵指数. [教学方法] 预习 1、2;讲授 1、2、3 [考核目标] 1. 会用矩阵指数方法来求解常系数齐次线性方程组的基解矩阵. 1. 方阵的范数(模)及其性质
例 79
例 80.
例 77.
例 78.
例 79.
� ⎛ 3 -2 0 ⎞ ⎟� dx ⎜ 作业 67. 求解(1) = ⎜ - 1 3 - 2 ⎟ x . (2) dt ⎜ ⎟ ⎝ 0 −1 3 ⎠
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⎧ dx1 ⎪ dt = 4x1 − 3x 2 � dx ⎛ 1 − 3 ⎞ � ⎨ dx ⎟x . (3) =⎜ ⎪ 2 = 3x1 + 4x 2 3 7 ⎟ dt ⎜ ⎝ ⎠ ⎩ dt
常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法
常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法摘要高阶的线性微分方程可通过变量代换转化为一阶线性微分方程组,通过向量的引入及广泛的应用矩阵代数矩阵理论可将一阶线性微分方程组简化为一阶的矩阵微分方程,这给微分方程的形式和计算带来了很大方便。
计算一阶矩阵微分方程关键就是求其基解矩阵,目前常数矩阵的基解矩阵研究已达到成熟。
本文将对常数矩阵微分方程的基解矩阵的求法做系统的总结,包括相似对角化方法,分解初值的方法,若尔当标准型方法,待定系数法以及拉普拉斯变换法等方法。
关键词:矩阵; 微分方程; 基解矩阵;计算方法computational method to solve the fundamental solution matrix of Constant matrix differentialequationAbstractAccording to variable transformation, we can change the high-order linear differential equations into the first order differential equations ,then we introduce the vetor and apply the matrix theory of matrix algebra to change the first order differential equations into the first matrix differential equation,which make great convenience in the computation and the form of differential equation.The key to solve the first order differential equation is to find out its fundamental solution matrix.Nowadays,the scientists of mathe have been developed the deep research of fundamental solution matrix of constant matrice.This paper mainly has a comprehensive summarize on the methods to solve the fundamental solution matrix of constant matrice differentialequation,including the method similar to the diagonal,the method to decomposite value, the Jordan Standard Method, the method of undetermined coefficients and the method of Laplace transform and so on.Key words:matrix; differential equation; fundamental solution matrix;the method tocomputate1目录第1章引言 ........................................................................... ..................................................................... 1 第2章基本概念及定理 ........................................................................... . (3)2.1基本定义 . ......................................................................... ............................................ 3 2.2基本定理 . ......................................................................... ............................................ 4 第3章基解矩阵的求解 ........................................................................... . (5)3.1 利用相似对角化求解 ........................................................................... ................................... 5 3.2利用特征值与特征向量公式 . ......................................................................... ........................ 6 3.3利用分解初值的方法 ........................................................................... .................................... 7 3.4利用若尔当标准型求解 . ......................................................................... ............................... 12 3.5待定系数法 ........................................................................... .................................................... 16 3.5.1利用特征多项式或最小多项式法 ........................................................................... .. 16 3.5.2利用putzer 定理 ........................................................................... ................................ 19 3.6拉普拉斯变换法 ........................................................................... ........................................... 22 参考文献 . ......................................................................... (24)致谢 ........................................................................... ................................................... 错误!未定义书签。
线性方程组的矩阵求解算法
线性方程组的矩阵求解算法摘要 线性方程组的矩阵求解算法,只需在约当消元法的基础上,再对方程组的增广矩阵的行最简形进行行(列)删除和增加行,交换行等运算即可得到方程组的解,并且这种方法既可求解有唯一解的方程组.因而算法简单,易于实现.关键词 线性方程组;解向量;解法;约当消元法1 矩阵求解算法设有线性方程组m n A X b ⨯=,其增广矩阵())(1,m n A A b ⨯+=,算法的步骤如下: 第一步:利用约当消元法,把增广矩阵A 化为行最简形,设行最简形为()1m n B ⨯+.若()t i (),r A r =则方程组无解;否则设(),r A R =并执行以下步骤;第二步:删除B 中的所有零行和每一行第一个非零元素(这个非零元素一定是1)所在的列,得到矩阵()1,r n r D ⨯-+并记录每行的第一个非零元所在的列标,放在一维数组()1,,t r L 中,如第i 行的第一个非零元在第j 列,则()t i j =;第三步:构造矩阵()1m n r D H F ⨯-+⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中 ()()1100001000010n r n r F -⨯-+-⎛⎫⎪-⎪= ⎪⎪-⎝⎭L L L L L L L L第四步:对矩阵H 中的行作交换运算:把H 中的第i 行(,1,1,i r r =-L 即从第r 行开始直到第一行)依次与其下一行交换,使之成为第()t i 行,交换运算结果后的矩阵记为G ,则G 中的前n r -个n 维列向量即为方程组的一个基础解系,最后一列向量即为方程组的一个特解; 第五步:写出方程组的通解.2 算法证明先证一个特殊情形,增广矩阵A 的行最简形矩阵B 的左上角为一r 阶的单位矩阵,即第i 行的第一个非零元的列标为i ,即()()1t i i i r =≤≤,所以设B 为1,1112,122,1100010001000r n r n r r rn r c c d c c d B c c d +++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L LL L L L L L L L LL L L L L L L L LL 则1,1112,122,1r n r n r r rnr c c d c c d D c c d +++⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L由上述算法可得H 为1,11,1112,12,222,1,2100001000010r r n r r n r r r r rn r c c c d c c c d c c c d H ++++++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⎪-⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭LL L L L L L L L L L L L L L L 由于()()1t i i i r =≤≤,故从H 得到G 时,H 中的行不需交换位置,即.G H = 那么矩阵B 的增广矩阵的线性方程组为111,111,222,112,1,.r r n n r r n nr r r r rn n x d c x c x x d c x c x x d c c x +++++=--⎧⎪=--⎪⎨⎪⎪=---⎩L L L L L L L L L L L令1,12,11,1100r r c c cr r α++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M , 1,22,22,2011r r c c cr r α++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭M M , ,L 12,001n n rn n r c c c α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭M M 12000r d d d η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M可以验证1,2,n r ααα-L 是方程组(1)所对应的齐次线性方程组的解,η是方程组(1)的特解,又12,,n r ααα-L 的后n r -个分量构成的向量组100-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ,001,,.01⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭LM M 线性无关,把它扩充成维向量组后也线性无关,所以12,,,n r ααα-L 线性无关,又因为()r A r =,所以方程组(1)的基础解系中有()n r A n r -=-个向量,因此12,,,n r ααα-L 即为方程组(1)的基础解系,特殊情形得证.对于行最简形矩阵B 为一般情形时,可以通过若干次列交换把它变形为上述特殊情形,但是,列交换将会导致最后结果中对应未知数的次序混乱,即在进行第i 列与第j 列的交换后,最后结果中i x 与j x 次序也就被交换了,因此,在这过程中,必须记住所进行的一切列交换,以便在最后结果中恢复,但若使用本矩阵求解算法,则可避免上述麻烦,为了叙述方便,还是只证一种特殊情形.设 121,2112,222,210000100010*******0r n r n r r rn r c c c d c c d B c c d +++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L O L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L LLL即()()()11,12,t t i i i r ==+≤≤则121,2112,222,200r n r n r r rnr c c c d c c d D c c d +++⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L LL L L L,121,2112,222,200100001000010r n r n r r rn r c c c d c c d c c d H +++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪= ⎪-⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭LL L L L L L L L L L L L L L L , 121,2112,222,210000001000010r n r n r r rn r c c c d c c d G c c d +++⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭LL L L LL L L L L L LL L L L 现在证明G 的前n r -个列向量是B 所对应的方程的基础解系,G 的最后一列是该方程组的特解,把矩阵B 的第2列依次与第3列,第4列,第列交换,得到矩阵'B121,2112,222',21000100001r n r n r r rnr c c c d c c d B c c d +++⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L L L LL L L LL设矩阵所对应的方程组的解向量为12(,,,)T n x x x K ,'B 所对应的方程组的解向量为12(,,,)T n y y y K ,则有112132122,,,,,,,r r r r r n n x y x y x y x y x y x y ++++======L L即若1,2(,,)T n y y y L 是'B 所对应的方程组的解向量,则112,,2(,,,,,)T r r r n y y y y y y ++L L 是矩阵C 所对应的方程组的解向量,而由上述所证的特殊情形,'B 所对应的方程组的基础解系和一个特解分别为12'100,100c α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M 1,22,2,2'2010r r r r c c c α+++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M , ,L 12'001n n rn n r c c c α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭M M , 2000r d d d η⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M 由此可得矩阵所对应的方程组的基础解系和特解为110000c α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M , 1,22,22,2010r r r r c c c α+++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M , L , 12001n n n r rn c c c α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭M M , 12000r d d d η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M 而12,,,n r ααα-L ,η即为G 的列向量组,这一情形得证若B 为起它任意情形,只要重复上上述证明过程,即可得到证明.3 举例例 设有线性方程组12456712345671234567123456712345672322232612422436292551062411242x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+-=⎧⎪--+-++=⎪⎪-+-++-=⎨⎪--+-+-=⎪--+-+-=⎪⎩求其通解.解方程组的增广矩阵A 为121312212321611241121243629255106121411242A ---⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪=--- ⎪---- ⎪ ⎪----⎝⎭A 的行最简形矩阵B 为12013122001381201391000104480000000000000B ---⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭划掉B 中的最后两个零行和每行的第一个非零元所在的第一列,第三列,第四列,得矩阵D ,并且()()()11,23,34t t t ===2312208120139100448D ⎛⎫---⎪ ⎪=-⎪ ⎪--⎝⎭构造矩阵H231220812013910044810000010000010000010H ---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎪= ⎪-⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭由于()34t =,所以应把中第3行依次与其后的行交换,使之成为第4行,然后因为()23t =,所以把H 中第2行依次与其后的行交换,使之成为第3行最后因()11t =,故第1行不需与任何行交换,这样变得到矩阵G ,23122100000812013910044810000010000010G ---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪=-- ⎪⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭所以方程组的通解为1234231220001028100913100484000100010000001k k k k ξ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4.算法分析事实上,本算法是约当消元法的推广,因为若()()r A r A n ==时,最简形矩阵B的前n列为n阶单位矩阵,所以由B得D时,D为1n⨯矩阵,且为B的最后一列所构造成的矩阵,由D构造H时,不断增加行,由H得到G时,不需交换行,即G H D==,因而方程组的解向量为G,这也是约当消元法的结果也就是说约当()()==消元法是本r A r A n算法当时的特殊情形,由于本算法的所有加法和乘法都在把增广矩阵化为行最简形矩阵的着一过程中,所以有以下结论:1)算法的计算量与约当消元法的计算量相等;2)算法所需的存贮空间略多于约当消元法所需的存贮空间;3)在求方程组的通解时,其稳定性与精度和约当消元法的完全一致.另外,由于本算法从输入方程组到输出通解(或唯一解),中间的所有运算都是对矩阵进行的,所以算法简单,容易在计算机上实现,当然,由于本算法包含约当消元法,因而它除了有与约当消元法相同的缺点以外,它还有一个缺点:有时需要移动大量的元素,特别是当未知数的个数与方程的个数都很大时,元素的移动量可能更大.总之,本算法在约当消元法的基础上,不需增加乘法和加法运算,即可得到方程组的通解,因而本算法有一定的适用价值.参考文献[1]徐士良计算机常用算法[M] 北京: 清华大学出版社,1995.12[2]同济大学线性代数[M] 北京: 高等教育出版社, 2002.1[3]邓建中等计算方法[M] 西安: 西安交通大学出版社,2001.8[4]刘仲奎高等代数[M] 北京: 高等教育出版社,2003.8[5]浙江大学线性代数[M] 北京: 科学出版社,2001作者简介:王雪娇(1984.10.03) ,女,现就读于陇东学院数学系04级专科(1)班。
常系数齐次线性微分方程组基解矩阵的求解
常系数齐次线性微分方程组基解矩阵的求解徐进(华中师范大学数学与统计学学院,湖北武汉430079)摘要:利用约当标准型求解常系数齐次线性微分方程组基解矩阵.给出了一种求解常系数齐次线性微分方程组的解决途径.关键词:常系数线性微分方程组;基解矩阵;约当标准型中图分类号:O175.1文献标识码:A 文章编号:1673-014304-0017-030引言由于线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点,而众多教科书上往往因为篇幅有限,没有利用约当标准型求解的具体形式.本文力图给出通过约当标准型对常系数齐次线性微分方程组求基解矩阵给出一个全面而清晰的认识.1常系数线性微分方程组基解矩阵设常系数线性微分方程组如下:dd x=A aij,n .定理1矩阵指数函数e xA 是常系数齐次线性微分方程组(1)的一个基解矩阵.由线性代数的基本知识,对于每一个n 阶矩阵A ,存在n 阶非奇异矩阵P ,使得A =PJP J 1J2,J 为约当标准型.得到e xA =e PxJPxA是方程组(1)的一个基解矩阵,则对于任意一个非奇异的n 阶常数矩阵C ,矩阵xC 也是(1)的一个基解矩阵.2利用约当标准型求解基解矩阵通过以上定理及推论知道e xA 为方程组(1)的解,则对于n 阶非奇异矩阵p、i1是n i阶矩阵,,m ;n 1+n 2+,则J i 有如下的分解式:第33卷第4期2005年12月江汉大学学报(自然科学版)Journal of Jianghan University (Natural Sciences )Vol.33No.4Dec.,2005收稿日期:2005-06-30作者简介:徐进(198218江汉大学学报(自然科学版)总第33卷J i=ii011ixJ i,有:0101+x 211n i!xJ i=ixx ni1x ni2.设n 阶非奇异矩阵P 为:P=r 1n 1r 1n 1+1r 1n 1+2r 1n 1+n 2+1+1r 2n 1r 2n 1+1r 2n 1+2r 2n 1+n 2+1+1r 3n 1r 3n 1+1r 3n 1+2r 3n 1+n 2+1+1r nn 1r n n1+1r n n 1+2r n n 1+n 2+1+1,于是e xJ1e xJ2=P1xx 21x1n 1!ex n111x1xe2xxe2!ex n212x2n 2!exe2xm xxe2!ex nm1mx2n m!exem x2005年第4期徐进:常系数齐次线性微分方程组基解矩阵的求解19分析第一个矩阵块P e1xx21x1n1!ex n122x1xe=1x+r12e1n1!e2n1!e+r1n1e1x r21e1x r21x n111x+r22x n121x+1xrn1e1x+rn2e1n1!e2n1!e+rn n1e.3结论经过对第一个矩阵块Pi相关的n i列都具有下列形式:1!+x ni1r ni,其中j=0,1,11,m)时,A具有单的特征根的形式.参考文献:[1]丁同仁,李承治.常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社,1991.[2]Yan G Z,Deng Y B,Zhu C J.Ordinary differential equations[M].Wuhan:Central China Normal University,2002.Calculation of Basic Solution Matrix of Linear HomogeneousSystem with Constant CoefficientsXU Jin(Department of Mathematics and Statistics,Central China Normal University,Wuhan430079,China)Abstract:The basic solution matrix of linear homogeneous system with constant coefficients is found completely through using Jordan canonical form.Key words:linear homogeneous system with constant coefficients;basic solution matrix;Jordan canonical form。
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常系数线性方程组基解矩阵的计算欧阳光明(2021.03.07)董治军(巢湖学院数学系,安徽巢湖238000)摘要:微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的,不少问题都归结于它的求解问题,基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事,一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的,但当系数矩阵是常数矩阵时,可以通过方法求出基解矩阵,这时可利用矩阵指数exp A t,给出基解矩阵的一般形式,本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组,结合微分方程,线性代数等知识,讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法.关键词;常系数奇次线性微分方程组;基解矩阵;矩阵指数Calculation of Basic solution Matrix of Linear HomogeneousSystem with Constant CoefficientsZhijun Dong(Department of Mathematics,Chaohu CollegeAnhui,Chaohu) Abstract:Differential equations application in engineering technology is very extensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not thebase solution matrix by integral get, but when coefficient matrix is constant matrix, can pass out the base solution matrix method, then are available matrix exponential t, the general form base solution matrix, the paper discusses the most widely used differential equations with constant coefficients, combined with differential equations, linear algebra, discuss knowledge of homogeneous linear differential equation with constant coefficients of base solution matrix several general calculation method.Keyword:linear homogeneous system with constant coefficients; matrix of basic solutions; matrix exponent引言:线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点,根据线性微分方程组的解的结构理论,求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵,本文主要讨论齐次线性微分方程组 X’=AX ★ 的基解矩阵的计算问题,这里A 是n n ⨯常数矩阵.一.矩阵指数exp A 的定义和性质: 1.矩阵范数的定义和性质定义:对于n n ⨯矩阵A =ij a ⎡⎤⎣⎦n×n 和n 维向量X =()1,...,Tn X X 定义A 的范数为A =,1nij i j a =∑,X =1nii x=∑设A ,B 是n×n 矩阵,x ,y 是n 维向量,易得下面两个性质: (1)AB ≤A B ,AX ≤A X ; (2)A B +≤A +B ,X Y +≤X +Y .2.矩阵指数exp A 的定义和性质:(!)定义:如果A 是一个n×n 常数矩阵,我们定义矩阵指数exp A 为下面的矩阵级数的和:exp A =!k A k k ∞=∑=E+A+22!A +…+!m A m +…(1.0)其中E 为n 阶单位矩阵,m A 是A 的m 次幂,这里我们规定0A =E ,0!=1 这个级数对于所有的A 都是收敛的.因次exp A 是一个确定的非负矩阵,特别的,对所有元均为0的零矩阵0,有exp0=E.事实上,由上面范数的性质(1),易知对于一切正整数k ,有!kA k ≤kA ,又因对于任一矩阵A ,A 是一个确定的实数,所以数值级数E +A +2A +…+m A +… 是收敛的.进一步指出,级数exp A t=!0kkA k k t∞=∑在t 的任何有限区间上是一致收敛的.事实上,对于一切正整数k ,当t ≤c (c是某一整数)时,有!kkAk t≤k kA t≤k A kc,而数值级数()kA c k ∞=∑是收敛的,因而exp A t=!kkA k k t ∞=∑是一致收敛的.(2)矩阵指数exp A 的性质:①若矩阵A ,B 是可交换的,即AB=BA ,则exp A (A+B )=exp A exp B ;②对于任何矩阵A ,()1exp A -存在,且()1exp A -=exp (-A ); ③如果T 是非奇异矩阵,则 exp (1T -AT )=1T -(exp A )T .3.有关常系数奇次线性微分方程组★的基本问题 定理1:矩阵Φ(t )=exp A t (1.1) 是★的基解矩阵,且Φ(0)=E.证明:由定义易知Φ(0)=E ,将(1.1)对t 求导,得'Φ(t )=()'exp At =A+21!A t+322!A t +…+1(1)!kk A k t --+… =A exp A t = A Φ(t ) 这就表明,Φ(t )是★的解矩阵,又det Φ(0)=det E =1 因此φ(t )是★的解矩阵.证毕.注1:由定理1,我们可以利用这个基解矩阵推知★的任一解ϕ(t )=(exp A t )C 这里C 打、是一个常数向量.例1:如果A 是一个对角矩阵A=12n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(其中未写出的元均为零)试找出x '=Ax 的基解矩阵. 解:由(1.0)可得exp A t=E+12n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1!t +221222!2t n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+12!k k k t k k n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+…=12n a t a ta t e e e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦根据定理1,这就是一个基解矩阵.例2:试求x '=2102⎡⎤⎢⎥⎣⎦x 的基解矩阵.解:因为A=2102⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2002⎡⎤⎢⎥⎣⎦+0100⎡⎤⎢⎥⎣⎦而且后面的两个矩阵是可交换的,得到exp A =exp 2002⎡⎤⎢⎥⎣⎦t ⋅exp 0100⎡⎤⎢⎥⎣⎦t=2200tt e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦222!01010000t E t ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪+++⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭但是20100⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以 级数只要两项,因此 基解矩阵是exp A t= 2101tt e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 二.基解矩阵的计算1.基于特征值和特征向量型计算基解矩阵类似于一阶齐次线性微分方程,希望方程组★有形如()t t e C λϕ=的解,其中λ为待定的参数,C 为待定的n 维非零向量,将之代入方程组,得到 t t e C Ae C λλλ=,即有 ()0E A C λ-= (1.2)要使齐次线性代数方程组(1.2)有非零解向量,应有det()0E A λ-= (1.3)称式(1.3)为方程组★的特征方程,称λ为A 的特征值.称非零向量C 为A 的对应于特征值λ的特征向量.于是有如下结论:()t t e C λϕ=为方程组★的充分必要条件是λ为A 的特征值,且C为对应于λ的特征向量.这样就提供了用代数方法求解的平台.(1)设A 具有n 个线性无关的特征向量12,,n v v v ,它们对应的特征向量分别为12,n λλλ(不必各不相同)易知矩阵1212()(,,)n t t t n t e v e v e v λλλΦ=t R ∀∈是常系数齐次线性微分方程组★的一个基解矩阵.事实上,由上面讨论知道向量函数it i e v λ(1≤i ≤n ) 都是方程组★的一个解,因此()t Φ是方程★的解矩阵.计算12det (0)det(,,)0n v v v Φ=≠ 于是()t Φ是方程组★的基解矩阵.注2:当A 是n 个不同的特征值时,就满足上述性质. 注3:此处()t Φ不一定是标准基解矩阵exp A t ,但由线性微分方程组的一般理论知:存在一个n 个非奇异矩阵C ,有exp A =()t C Φ⋅ 令t=0,得C=1(0)-Φ 即exp A t=1()(0)t -Φ⋅Φ于是当A 是实矩阵时,则exp A t 为实的,这样上式就给出了一个构造实基解矩阵的方法.例3:利用特征值与特征向量求基解矩阵的方法,求解例1中的一个基解矩阵.解:显然A 是对角矩阵,它有n 个特征值(1)i i a i n λ=≤≤对于每个特征值i λ易知其对应的特征向量为(0,1,0)T i C =即有()0i i E A C λ-=而这些特征向量12,n C C C 线性无关,由注2,于是方程组有基解矩阵()121212(),,n n a t a ta t a ta tn a t e e t e C e C e C e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥Φ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦这与例 1 的计算结论一样.例4:试求方程组x Ax '=,其中3553A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个基解矩阵. 解:A的特征值就是特征方程235det()634053E A λλλλλ---==-+=-的根,解之得1,235i λ=± 对应与特征值135i λ=+的特征向量,计算齐次线性代数方程11255()055u i E A u u i λ-⎡⎤⎡⎤-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 因此1u i α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是对应于1λ的特征向量,类似的,可以求得对应于2λ的特征向量1i v β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中,0αβ≠为任意常数,而121,1i v v i ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是对应于12,λλ的两个线性无关的特征向量.根据注2,于是矩阵()()()()()123535123535(),i ti t tti ti te ie t e v e v iee λλ+-+-⎡⎤Φ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦就是方程组的一个基解矩阵.再由注3,实基解矩阵为()()()()()()()()13535353513123535353511cos5sin 5exp ()(0)11sin 5cos5i ti t i t i t t i ti t i t i t e ie i e ie i t t At t e i i t t ie e ie e -+-+--+-+-⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=ΦΦ===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(2)设A 有k 个不同的特征值12,k λλλ它们的重数分别为12,,k n n n 其中12k n n n n +++= 那么如何计算exp At ?回忆高等代数理论,对应于j n 重特征值j λ的如下线性代数方程组()0jn j E A u λ-=(1.4)的解全体构成n 维欧几里得空间的一个j n 维子空间()j U i j k ≤≤并且n 维欧几里得空间可表示成12,k U U U 的直和,由此对于n 维欧几里得空间的每一个向量u ,存在唯一组向量12,k u u u 其中(1)j j u U j k ∈≤≤使得分解式为12k u u u u =+++(1.5)因此,一方面 对于★的初始值0(0)x x =,应用式(1.5)知存在j j v U ∈有012k x v v v =+++注意到空间j U 的构造,即知j v 是式(1.4)的解,即有()0jn j j E A v λ-=因而有()0l j j E A v λ-=,1j l n j k ≥≤≤(1.6)另一方面,j E λ-为对角矩阵,因此由例1知exp()j j j t tj t e eEt e λλλλ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦故有()j t j e Et E λλ-= 计算(exp )(exp )j j At v At Ev =(exp )exp()j tj jAt e Et v λλ=-=(exp())jt j j e A E t v λλ-=(()j tj e E t A E λλ+-+12122!(1)!()())n j j j n t t j j j n A E A E v λλ----++-所以方程组★满足初始条件()00x x =的解()t ϕ为()()()()012exp exp k t At x At v v v ϕ==+++=()()1!110exp i i j i n kkt tj j j i j j i At v e A E v λλ-===⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑ (1.7) 同时注意到()()()()()()12exp exp exp ,exp ,exp n At At E At e At e At e ==其中[][][]121,0,0,0,1,00,0,1TTTn e e e ===即在上面初始条件中分别令01020,,n x e x e x e ===应用式(1.7)求得n 个解,然后以这n 个解作为列即得exp At .注4:当A 只有一个特征值时,即λ为n 重的,因此nv R ∀∈都有()0E A v λ-=这表明()n E A λ-为零矩阵.则()()exp exp exp exp t At AtE At e Et λλ⎡⎤==-=⎣⎦()()1!0exp in itt i i e A E t A E λλλ-=-=-∑ (1.8)注5:式(1.7)表明方程组的任一解都可以经过有限次代数运算求出.例5:若A 是例2中的矩阵,求初值问题()0,0x Ax x x '==的解和exp At .解:本题用两种方法计算exp At 和()t ϕ方法一:易知1,22λ=是A 的二重特征值,此时,A 只有一个特征值,根据式( 1.8)计算有exp At=()()()1222!12201i itttt i i t eA E e E t A E e =⎡⎤-=+-=⎢⎥⎣⎦∑和特解()t ϕ=(exp At )0x .方法二:1,22λ=是A 的二重特征值,这时212,n R =只有一个子空间1U ,0x =12x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦不需要分解,根据式(1.7)有()t ϕ=()1222022t tx tx e E t A E x e x +⎡⎤+-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 分别取010210,01x e x e ⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦代入上式中的()t ϕ中,则()()22121,01t t t t e t e ϕϕ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以()()()2121exp ,01t t At t t e ϕϕ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦和特解()t ϕ=()0exp At x . 例6:考虑方程组x Ax '=,其中311201112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦试求满足初始条件()[]01230Tx x x x x ==的解,并求exp At . 解:A的特征方程为()()()2311det 21120112E A λλλλλλ--⎡⎤⎢⎥-=--=--=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦121,2λλ==分别为121,2n n ==重特征根,为了确定3R 的子空间12,U U 由式(1.4) 首先考虑齐次线性代数方程组()1232112110111u A E u u u λ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦解得[]1011T u α=,其中α为任意常数. 因此1U 是由1u 构成的一维子空间,其次考虑齐次线性方程组()122300021100110u A E u u u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦解得2101001u βγ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中,βγ为任意常数.因此2U 是由2u 构成的二维子空间.下面对初值()00x x =进行分解,有012x u u =+ 即123010110101x x x αβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是112121213210,x v x x v x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦ 根据式( 1.7) 有()()2122t t t e Ev e E t A E v ϕ=++-⎡⎤⎣⎦=()()13212211321213210t t x t x x x e x x e x t x x x x x x x x +-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-++-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦最后为了得到exp At ,依次分别令0001000,1,0001x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦代入上式得到3个线性无关解()()()123,,t t t ϕϕϕ 于是()()()()()2222221232221exp 1tt t t tt t t t t t tt t e te te At t t t e t e e te te e e e e e ϕϕϕ⎡⎤+-⎢⎥==-++-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦2:“哈密顿-凯莱”法:设A 是方程组★的n n ⨯实系数矩阵,()p λ是A 的特征多项式,()()111det n n n n p A E a a a λλλλλ--=-=++++特征方程为A的()111n n n n p a a a λλλλ--=++++=0(1.9)方程(1.9)的根12,n λλλ是矩阵A 的特征多项式,且有()()()()11n n p λλλλλλλ-=---哈密顿-凯莱定理:设()p λ是矩阵A 的特征多项式,则()1110n n n n p A A a A a A a E --=++++=亦即()()()()110n n p A A E A E A E λλλ-=---=定理:设12,n λλλ是矩阵A 的n 个特征值(它们不一定不相等)则()()110exp n i i i At r t p -+==∑ (2.0)其中()()()011,i i i p E p A E A E A E λλλ-==---()1,2,i n =并有()()()12,n r t r t r t 是初值问题()()1111101,00j j j j j r r r r r r r λλ-⎧'=⎪⎪'=+⎨⎪==⎪⎩()2,3j n =(2.1) 的解.推论:若A 只有一个特征值λ,则()1!0exp exp in it i i At t A E λλ-==-∑上述定理将计算exp At 的问题转化为求方程组(2.1)满足初始条件的解的问题,由于方程组(2.1)是一个特殊的一阶常系数齐次线性方程组,容易直接求解.因而由公式(2.0)就可以直接求出方程组★的基解矩阵exp At . 例7:求常系数齐次线性方程组x Ax '=,其中233453442A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的解.解:A的特征方程为()()()()233det 453122442A E λλλλλλλ--⎡⎤⎢⎥-=--=-++-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=0 解得特征值为1231,2,2λλλ=-=-=求解初值问题:()()()112123231232201,00,00r r r r r r r r r r r ⎧'=-⎪⎪'=-⎪⎨'⎪=+⎪===⎪⎩ 得()()()2221111233412,,t t t t tr t e r t e e t r t e ee -----==-=-++ 又因()()11212333121212443,121212443121212p A E p A E A E λλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ 则由公式:得()2222222221022222exp tt t t t t t t t tt t i i i t t t tt e e e e e At r t p e e e e e e e e e e e e -----+=--⎡⎤--+⎢⎥==-++--+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦∑. 3:算子构造法: 其构造步骤是:① 利用已引入的微分算子dD dx=写出★的微分算子表示; ② 用算子法求解★的微分算子表示的方程组得其通解:()()()()11221212,,,,,n n n n y x c c c y x c c c y x y x c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; ③ 依次令12100010,,001n c c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 代入上述通解,则得★得n 个线性无关的特解()()()12,,n y x y x y x ;④ 以()()()12,,n y x y x y x 为列作成的矩阵()()()()12n Y x y x y x y x =⎡⎤⎣⎦就是★的基解矩阵,且★夫人矩阵指数函数形式的基解矩阵为:()()10Ax e Y x Y -=. 例8:试求方程组1211,13y y y y y -⎡⎤⎡⎤'==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(2.2) 的基解矩阵,并求11.13Ax e A ⎛-⎫⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. 解:①(2.2)的算子表示就是()()12121030D y y y D y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩ (2.3)②求解(2.3)111013D y D -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦即()2120D y -= (2.4) 于是(2.4)的通解为()2112x y C C x e =+12,C C 为任意常数 (2.5) ( 2.5)代入( 2.3)的第一个方程得()()2221111221x x y D y Dy y C C x e C xe =--=-+=-+- 故(2.3)的通解为()()2112222122x x xy C C x e y C C e C xe ⎧=+⎪⎨=-+-⎪⎩12(,C C 为任意常数) ③依次令1210,01C C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得(2.3)的两个线性无关解()()()221222,1x x x x xe e y x y x x e e ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦; ④ 以12,y y 作列而成的矩阵:()[]()()2221221111xxx x x e xe Y x y y e x ex e ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--+--+⎣⎦⎣⎦ 就是(2.2)的一个基解矩阵.⑤求(2.2)的基解矩阵Ax e 因()10011Y ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦,故()110011Y -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦于是Ax e =()22110111111x x x x x e x x x e --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 结束语:关于基解矩阵exp At 的计算,还可以利用矩阵的约当标准型等有关线性代数知识进行计算,在此不作详述. 参考文献:[]1王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松 常微分方程 高等教育出版社;[]2西南师范大学数学与财经学院 常微分方程 西南师范大学出版社;[]3肖箭,盛立人,宋国强 常微分方程简明教程 科学出版社;[]4王翊,陶怡 常系数齐次线性微分方程组的解法牡丹江大学学报.。