圆和轴对称图形
圆的基本性质
圆的基本性质1．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径．2．三角形的内心和外心:（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心： （3）三角形的内心：3. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半． 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【例题精讲】例1． AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°,⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ）A ．3cm 2B ．3cm C． D ．9cm 例2、BC 是以线段AB 为直径的O ⊙的切线，AC 交O ⊙于点D ，过点D 作弦DE AB ⊥，垂足为点F ，连接BD BE 、．．（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①___ ___，②___ _____ ，③_____ _，④________（不添加其它字母和辅助线） （2）A ∠=30°，CDO ⊙的半径r ．例3、如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 长．P B CEA 例3题图直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°练习、1．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O •的位置关系是____2．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．3、如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是 。
六年级上册数学第五单元圆知识点归纳
六年级上册第五单元《圆》知识点一、认识圆1、圆的定义：圆是平面上的一种曲线图形，也是封闭图形和轴对称图形。
2、圆心：用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心。
圆心一般用字母“O ”表示。
圆心到圆上任意一点的距离都相等．3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
半径一般用字母“r ”表示。
用圆规画圆时，圆规两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
直径一般用字母“d ”表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的中心位置，半径决定圆的大小。
半径相等的两个圆叫做等圆。
6、一个圆有无数条半径，无数条直径。
在同圆或等圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的21。
用字母表示为：d ＝2r 或r ＝ 2d 8、如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴（注：直径不是圆的对称轴，直径所在的直线才是对称轴）。
9、圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。
10、轴对称图形 名称对称轴 名称 对称轴 线段1条 等腰梯形 1条 长方形2条 圆 无数条正方形4条 半圆 1条 等腰三角形1条 扇形 1条 等边三角形3条 圆环 无数条 五角星 5条 扇环 1条 11、平行四边形不是轴对称图形1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
用字母“C ”表示。
2、一个圆的周长总是它的直径的3倍多一些。
3．圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母“π” 表示。
（1）圆周率π是一个无限不循环小数。
在计算时，一般取π ≈ 3.14。
（2）在判断时，圆的周长总是它直径的π倍，圆的周长大约是它直径的 3.14倍。
圆的周长是它的半径的2π倍。
（3）世界上第一个把圆周率精确到七位小数的人是我国的数学家 祖冲之。
4、圆的周长公式： C= πd d = C ÷π或C=2πr r = C ÷π÷25、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
2023-2024年小学数学六年级上册期末考点复习 第五单元《圆》(人教版含详解)
期末知识大串讲人教版数学六年级上册期末章节考点复习讲义第五单元圆知识点01：圆的认识1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。
2. 一个圆有无数条半径，有无数条直径。
圆有无数条对称轴。
3. 在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
4. 在同圆或等圆中，r=d 或d=2r 。
知识点02：圆的周长及圆周率的意义1.测量圆的周长的方法：绕绳法和滚动法。
2.圆的周长除以直径的商是一个固定的数。
我们把它叫做圆周率，用字母π表示。
3.圆的周长的计算公式：C=πd ，C=2πr知识点03：圆的面积公式的推导及应用1.圆的面积计算公式是 ：S ＝πr ²2.求圆的面积，要根据圆的面积计算公式来求。
3.圆环面积的计算方法：S ＝πR2－πr ²或S ＝π(R －r)²。
4.“外方内圆”图形中，圆的直径等于正方形的边长。
如果圆的半径为r ，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r ²。
5.“外圆内方”图形中，这个正方形的对角线等于圆的直径。
如果圆的半径为r ，那么圆和正方形之间部分的面积为1.14r ²。
知识点04：扇形的认识1.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形；2.顶点在圆心的角叫做圆心角；3.扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。
考点01：圆的认识1．（2018秋•朝阳区校级期中）圆的周长是直径的（ ）倍A ．3.14B ．3.1415926C ．3D ．π【思路引导】根据圆的周长公式，求出周长和直径的关系。
12【完整解答】解：C＝πd＝π所以圆的周长是直径的π倍。
故选：D。
2．（2015秋•龙泉驿区校级期中）在一个长10cm，宽5cm的长方形中画一个最大的圆，它的半径是（）cm．A．10 B．5 C．2.5 D．1.5【思路引导】根据题意可知：在这个长方形中画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽，根据同圆中直径是半径的2倍，半径是直径的，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答．【完整解答】解：5×（厘米），答：它的半径是2.5厘米．故选：C。
苏科版数学九上第二章轴对称图形--圆复习
B．130°
C．120°
D．60°
2.5.直线与圆的位置关系
一、直线与圆的位置关系
r
O
┐d
●
相交
r
O
┐d
●
相切
1、直线和圆相交
d < r.
2、直线和圆相切
d = r.
3、直线和圆相离
d > r.
r
O
d
●
┐
相离
2.5 直线与圆的位置关系
二、切线的判定定理
经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
线平分两条切线的夹角.
A
∵PA,PB切⊙O于A,B
∴PA=PB ∠1=∠2
P
1
2
O
●
B
练习
1、已知：如图1，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径 的⊙O交
AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交 BC的延长线于点F．
求证：（1）AD＝BD；（2）DF是⊙O的切线．
A
A
D
E
B
O
C
P
F
C
图1
B
图2
2、如图2，PA、PA是圆的切线，A、B为切点，AC为
．
练习
三、选择题：
下列命题正确的是（ C ）
A、三角形外心到三边距离相等
B、三角形的内心不一定在三角形的内部
C、等边三角形的内心、外心重合
D、三角形一定有一个外切圆
四、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则这个三
30
角形的面积为______．
2.5直线与圆的位置关系
七、圆线与圆的位置关系
⌒ ⌒
初三数学 圆的性质定理
初三数学圆的性质定理1、圆的对称性：圆是轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴.2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.3、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.4、垂径定理的应用：①用直尺和圆规平分一条弧.作法是过圆心作弧所对弦的垂线，理由是垂径定理；②在利用垂径定理计算或证明时，我们通常将其化为一个直角三角形的边和角，这个特殊直角三角形的三边分别是半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段.例1、如图，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AD交小圆于B、C.(1)求证：AB=CD(2)如果AD=6cm，BC=4cm，求圆环的面积.1.圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.3.推论：①同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧一定相等.②半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.③如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.4．圆的内接四边形：①定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.②圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.例2、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D.若BC=8，ED=2，求⊙O的半径.1、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP∶PB=1∶5，那么⊙O的半径是（）2、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm3、如下图所示，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．平分D．随点C的移动而移动4、如上中图，BD是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，则下列结论不成立的是（）A．∠ABD=∠ACD B．C．∠BAE=∠BDC D．∠ABD=∠BDC5、如上右图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（）A．80°B．50°C．40°D．20°6、如下图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=40°，则∠ABO等于__________度．7、如上左二图，△ABC的顶点都在⊙O上，∠C=30°，AB=2cm，则⊙O的半径为__________cm．8、如上左三图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、A 、B不重合），则∠OAB=__________，∠OPB=__________．9、如右上图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC=__________cm．10、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC=__________．11、如图，⊙O中的弦AB、CD互相垂直于E，AE=5cm，BE=13cm，O到AB的距离为．求⊙O的半径及O到CD的距离．12、如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．13、如图，AB为⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长到C，使BD＝DC，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合．（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．一、确定圆的条件(1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径，圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．过不在同一条直线上的三点确定一个圆2、经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．3、利用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆的方法作法图示1．连结AB、BC2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3．以O为圆心，OA为半径作圆⊙O就是所要求作的圆例1、已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？（1）（2）（3）例3、如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．1、下列关于外心的说法正确的是（）A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点2、下列条件中不能确定一个圆的是（）A．圆心和半径B．直径 C．三角形的三个顶点D．平面上的三个已知点3、三角形的外心具有的性质是（）A．到三边的距离相等B．到三个顶点的距离相等 C．外心在三角形外D．外心在三角形内4、等腰三角形底边上的中线所在的直线与一腰的垂直平分线的交点是（）A．重心B．垂心 C．外心D．无法确定5、如图所示，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M6、如图，是△ABC的外接圆，∠BAC=30°，BC=2 cm ，则△OBC的面积是_______.7、直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是_______．8、如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观，为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎么样找到圆心和半径？。
圆的基本性质与定理
[圆的基本性质与定理]1定理:不在同一直线上的三点确定一个圆。
(圆的确定）2圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
3垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形[有关圆周角和圆心角的性质和定理]1定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角定理圆心角的度数等于他所对的弧的度数推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形圆内接四边形的性质与定理]1定理圆的内接四边形的对角互补2定理并且任何一个外角都等于它的内对角3圆内接四边形判定定理如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆[有关切线的性质和定理]1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线2切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心[圆的其他性质定理]1弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等2①直线L 和⊙O相交d＜r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d＞r3圆的外切四边形的两组对边的和相等[圆与圆]1如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上2①两圆外离d＞R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切d=R-r(R＞r)⑤两圆内含d ＜R-r(R＞r)3定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦4定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形（有关外接圆和内切圆的性质和定理）5定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆6一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
小学数学中关于圆的知识点总结,一定要给孩子看!
小学数学中关于圆的知识点总结，一定要给孩子看！1、圆是由一条曲线围成的平面图形。
（以前所学的图形如长方形、梯形等都是由几条线段围成的平面图形）2、画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示；连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。
在同一个圆里，有无数条半径和直径。
在同一个（等）圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。
3、用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。
画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周，首尾相连。
围成圆的曲线叫做圆周，也叫圆上，用字母C表示，曲线内部的区域叫做圆内，曲线外部叫做圆外，圆上的任意一点到圆的中心点的距离都相等。
判断半径的方法：一端在圆心，另一端在圆上的线段就是圆的半径4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的2倍。
（d=2r, r =d÷2）5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径所在的直线。
对称轴是一条直线，所以直径所在的直线是圆的对称轴。
圆的两条对称轴的交点就是圆心。
①轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两边完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴。
②中心对称：在一个平面内，一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转的图形完全重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
③旋转对称：一个图形绕某一点旋转一定的角度（小于周角）后与原来的图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形。
如正方形（90°）重合4次。
等边三角形（120°）3次，圆（无数次）。
6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。
要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。
圆的半径越大，圆越大。
半径相等的圆叫等圆，圆心重合，半径不等的圆叫做同心圆7、正方形里最大的圆。
两者联系：边长＝直径；圆的面积=78.5%正方形的面积画法：（1）画出正方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。
小学数学圆的知识点
小学数学圆的知识点小学数学圆的知识点在日常过程学习中，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点是知识中的最小单位，最具体的内容，有时候也叫“考点”。
那么，都有哪些知识点呢？以下是店铺帮大家整理的小学数学圆的知识点，仅供参考，希望能够帮助到大家。
1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
2.圆心：圆任意两条对称轴的交点为圆心。
注：圆心一般符号O 表示3.直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。
直径一般用字母d表示。
4.半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。
半径一般用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。
圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。
在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=d/2。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
5.圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。
6.圆周率：圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数(无理数)，用字母π表示。
计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。
直径所对的圆周角是直角。
90°的圆周角所对的弦是直径。
7.圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
πr^2;，用字母S表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
8.周长计算公式(1)已知直径：C=πd(2)已知半径：C=2πr(3)已知周长：D=c/π(4)圆周长的一半:1/2周长(曲线)(5)半圆的周长：1/2周长+直径(π÷2+1)9.面积计算公式：(1)已知半径：S=πr2(2)已知直径：S=π(d/2)2(3)已知周长：S=π[c÷(2π)]2扩展资料1、圆是定点的距离等于定长的点的集合2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合4、同圆或等圆的半径相等5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
圆的知识点归纳总结大全
圆的知识点归纳总结大全一、圆的定义。
1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素。
1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
（1）劣弧：小于半圆周的弧。
（2）优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质。
1、圆的对称性。
（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
（2）推论：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
（1）同弧所对的圆周角相等。
（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。
7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
（2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。
（直角三角形的外心就是斜边的中点。
）8、直线与圆的位置关系。
d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； 直线与圆没有交点，直线与圆相离。
29、平面直角坐标系中，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）。
则AB=221221)()(y y x x -+- 10、圆的切线判定。
圆和轴对称图形
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这类图形有什么共同的特征？
如果一个图形沿着一条直线 对折，两侧的图形能够完全重合， 这个图形就是轴对称图形。
折痕所在的直线叫做对称轴。
在已学的平面图形中，哪些是轴对称图形？ 分别有几条对称轴？哪些不是轴对称图形？
图形名称 正方形
图示 对称轴 条数
4
在已学的平面图形中，哪些是轴对称图形？ 分别有几条对称轴？哪些不是轴对称图形？
图形名称 正方形 长方形
图示
对称轴 图形名称 条数
4
三 等边三角形
角 等腰三角形
2
形 一般三角形
图示
对称轴 条数 3
1 0
平行四边形
圆形 0
无数条
梯 等腰梯形
1
直角梯形
0
形 一般梯形
0
在已学的平面图形中，哪些是轴对称图形？ 分别有几条对称轴？哪些不是轴对称图形？
图形名称
圆形
正方形
等边三角形
长方形
等腰梯形 等腰三角形
图示
对称轴 图形名称 条数
无数条
一般梯形 直角梯形
4
一般三角形
平行四边形 3
图示
2 1 1
对称轴 条数 0 0 0
生活中的轴对称（1）
青秀山正门 北京天安门
生活中的轴对称（2）
飞机
军舰
汽车
思考题：
你能在正方形中画一个最大的圆 吗?(提示:如何定长、定点？)
圆的定义及对称性
ABC 圆的定义与圆的对称性【知识要点】（一）圆的有关概念 1.圆的基本概念定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。
固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ” 2.圆的对称性及特性：(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴;(2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
4．弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距． 5.直径：经过圆心的弦叫直径。
注：圆中有无数条直径 6.圆弧：(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧” 以A,B 两点为端点的弧.记作AB ⋂,读作“弧AB”. (2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。
如弧AD.(3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ⋂(用两个字母). 7．圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角。
说明：（1）直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦。
（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆。
（3）等弧只能是同圆或等圆中的弧，离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。
（4）等弧的长度必定相等，但长度相等的弧未必是等弧。
（二）弦、弧、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，弦、弧、弦心距、圆心角四组量中只要有一组量相等，则其余三组量也相等。
（三）点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d 。
则：（1）若rd=，则点P在圆上；（3）若rd<，d>，则点P在圆外；（2）若r则点P在圆内。
说明：点和圆的位置关系与点到圆心的距离和半径大小的数量关系是对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系。
圆的定义及对称性
第三十二讲圆的定义与圆的对称性【知识要点】1、圆的定义有以下两种（1）在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆.定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”,读作“圆O”.说明：①这是圆的描述性定定义，由定义可以看出：确定圆的两个条件是圆心和半径，圆心确定圆的位置，圆的半径确定圆的大小；②要注意圆是指“圆周”，而非“圆面”.(2）在同一个平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径. 说明：这是圆的点集定义，它包括两个方面的含义：①圆上各点到定点（即圆心）的距离等于定长（即半径）;②.到定点的距离等于定长的点都在圆上2、点和圆的位置关系点和圆的位置关系有点在圆内、点在圆上、点在圆外三种，点和圆的位置关系是由这个点r，这个点到圆心的距离为如果圆的半径是到圆心的距离与圆的半径的大小关系决定的.d，那么?d?r?d?r?d?r；点在圆内；点在圆上点在圆外3、圆的旋转不变性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线(通过折叠可发现此性质)圆是中心对称图形，对称中心是圆心(利用旋转的方法可以得到此性质)圆具有旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合.说明：(1)中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
轴对称图形是指沿对称轴对折后完全重合的图形.。
(2)圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应说直径所在的直线是它的对称轴；圆的对称轴有无数条4、与圆有关的概念）连接圆上任意两点的线段叫做弦（1经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A（2、B为端点AB,读作“圆弧AB”或“弧的弧记作AB”1；小于半圆的弧叫做劣弧大于半圆的弧叫做优弧（用三个字母表示）等圆(3；圆心不同，半径相等的两个圆叫做）圆心相同，半径不同的两个圆叫做同心圆等弧在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做提示：①同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个圆的关系，等圆是指能够重合，圆心不同的两个圆②等弧必须是同圆或等圆中的弧，因为只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合，长度相等的弧不一定是等弧弦心距；从圆心到弦的距离叫做(4）顶点在圆心的角叫做圆心角5、垂径定理及其推论垂径定理：垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧ABD⊥是直径, C如图所示，∵CDA = =,BCACBDAD ∴ AE=BE,若一条直线①过圆心,②垂直于一条弦，则此直线①平分此弦②平分此弦所对的优弧和劣弧DC OE）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并：（1推论（2）弦的垂直平分线经过圆且平分弦所对的两条弧；B）平分弦所对的一心，并且平分弦所对的两条弧；（3 条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所（提示：1）对于一个圆和一条直线来说，如果以对的优弧⑤平分弦所对的劣弧这五个条件中任何两个作为题设，那么其它三个就是结论（）在应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构2 造如图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定a222)?r?d(d,ra,三个量中，理有根据此公式，在Or2d知道任何两个量就可以求出第三个量Aa BAC 26、圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组相等，那. 么它们所对应的其余各组量都分别相等（1）注意在“同圆或等圆中”这个条件（2说明：）注意理解“所对应”的含义2【典型例题】）例1、下列语句中不正确的是（①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一顶点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧①④②④D. A.①③④ B. ②③C.) ( ，最小距离为1，则圆的半径为、由一已知点例2P到圆上各点的最大距离为542 或、4 D、 A、2或3 B、3 C的位置关O，则点P与⊙O5cm，点P到圆心的距离为3cm例3、在平面内，⊙O的半径为系是5cmC为圆心，,AC=2cm,BC=4cm,CM是AB边上的中线，以点ABC例4、在△中，∠ACB=90°，，在圆上的有C、M四点在圆外的有则为半径作圆，A、B、 .在圆内的有、垂足分别为DAB,O⊥E⊥AC、在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，O D例5cm的半径为，若EAC=2cm，则⊙O、AB、H分别为边，E、F、GAC 例6、如下图，菱形ABCD的对角线和BD相交于点O 是否在同一个圆上？、HE、F、GBC、CD、DA的中点，那么DGHCAO F EB、轴交于点C、B,与y APPP如图,点的坐标为(4,0),⊙的半径为5,且⊙与x轴交于点、例7.D、的坐标BD,试求出点A、、C yCOABxPD3例8、海军部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km的水域为危险水域，有一渔船误入离灯塔2km的某处B，为了尽快驶离危险区域，该船应按什么方向航行？请给予证明.例9、矩形的四个顶点是否能在同一个圆上，若在同一个圆上，请你指出来并加以证明例10、已知⊙O的直径为10cm，弦AB=6cm，求圆心O到弦AB的距离.例11、在直径为650mm的圆柱形油槽中装入一些油后，截面如图所示，如油面宽AB=600mm，求油的最大深度OEBAF【经典练习】）1．下列命题中错误的命题有（梯形的对角线互相?（）平分弦的直径垂直于弦；3）2）弦的垂直平分线经过圆心；（1（）圆的对称轴是直径．（平分；44A．1个B．2个C．3个D．4个2.点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,4),则点B在以A为圆心, 6 为半径的圆的_______.3.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )A.等于6cmB.等于12cm；C.小于6cmD.大于12cm4．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短弦长是_______，最长的弦长_______．5．如图1，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上任意一点，则OP?的取值范围是_______．OBAP(1) (2)6．如图2，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD=120°，OE=3厘米，则OD=?___cm．7．如图3，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC 于D，若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为________cm．8．如图3，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB?的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）552D：．5 B．：：2 C．4：A．32ADADCOEB(3) (4)59．如图4，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中错误的是（）BD BC．D．B ．CE=DE CAE=BE DOE A．∠COE=∠10．如图，在以O为圆心的两个同心圆的圆中，大圆弦AB交小圆于C、D两点，?试判断AC与BD的大小关系，并说明理由．OABCD11．如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长．COMBAD6。
与圆有关的轴对称图形2
2、让学生阅读P59页的内容，小组内交流如何画出最上面的图形？
三、教
1、教学轴对称图形的特点
2、教学圆的轴对称特征
3、教学轴对称图形的性质
在轴对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴的距离相等。
4、教学与圆有关的轴对称图形的画法
（1）指名说说P59页最上面一个图的画法
4、一个圆的半径扩大到原来的3倍，那么它的直径扩大到原来的（）倍。
5、对称轴两侧相对点到对称轴的距离（）。
6、小圆半径4厘米，大圆半径6厘米，大、小圆直径的比是（）
三、判断题
1、半径相等的两个圆，直径也一定相等。（）
2、直径4厘米的圆ห้องสมุดไป่ตู้半径2厘米的圆一样大。（）
3、所有的三角形、梯形都不是轴对称图形。（）
（2）师根据学生的反馈，带领全班一步一步地画出这个图案。
四、练
1、画出P59页下面的两个图。
2、完成P61页的6、7、8题。
集体讨论记录
教学过程
课后检测：
一、画出以下图形的对称轴
二、填空题
1、圆有（）条对称轴，（）是圆的对称轴。
2、在同一个圆里，半径的长度是直径的（），直径的长度是半径的（）。
3、一个圆的直径是10厘米，那么这个圆的半径是（）。
重点：利用圆的对称性画出与圆有关的轴对称图形的另一半。
难点：辨析轴对称图形中对称轴的数量，并准确画出图形的对称轴。
教具：圆规、尺子
教学过程
一、情境导入
1、复习
完成P60页的第5题
2、课件展示一些图形的一部分，让学生猜是个什么图形，通过游戏导入新课。
二、引导自学
1、让学生讨论圆是否为轴对称图形。
九年级(上)培优讲义：第5讲 圆的基本性质
第5讲：圆的基本性质一、建构新知1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.2．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.3．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4．与圆有关的角：(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.二、经典例题例1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为．例2．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，求CD的长．变式：如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ， 垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝ ．例3．如图，在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点E ．（1）若OC =5，AB =8，求tan ∠BAC ；（2）若∠DAC =∠BAC ，且点D 在⊙O 的外部，判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并加以证明．例4. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为F ，FH ∥BC ，连结AF 交BC 于E ，∠ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ．（1）证明：AF 平分∠BAC ； （2）证明：BF ＝FD .N MO C BA例5. 已知射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.例6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=35，求⊙O的直径．三、基础演练1．如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于()．A．70°B．64°C．62°D．51°2．在半径为27m的圆形广场中心点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO为()．A．54m B．m C．m D．m3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于().A. (4π+8)cm2B. (4π+16)cm2C. (3π+8)cm2D. (3π+16)cm24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是().A. B. C. D.5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为() A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸6．在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，－4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线（和两圆都相切的直线）有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条7．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )．A ．80°B ．100°C ．80°或100°D ．160°或200°8．如图所示，AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是( )．A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50° 9．如下左图，是的内接三角形，，点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合)，则的变化范围是_____.10．如图所示，EB 、EC 是⊙O 是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E =46°，∠DCF =32°，那么∠A 的度数是____________.11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径、分别是方程的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距=5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是______________ .12．已知圆的直径为13 cm ，圆心到直线的距离为6cm ，那么直线和这个圆的公共点的个数是______.13. 两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是______. 14. 已知正方形ABCD 外接圆的直径为，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK 的边长为_______________，面积为_______________． 四、直击中考1.(2013年湖北)如，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为（ ） A .95 B . 245 C . 185 D . 522.（2013黑龙江）如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD ，AC 交BD 于点E ，CE =4，CD =6，则AE 的长为（ ）CADBA ．4B ．5C ．6D ．73．（2013江苏）如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是的中点，则下列结论不成立的是（ ） A ．OC ∥AE B ．EC =BCC ．∠DAE =∠ABED ．AC ⊥OE4.（2013湖北）如图，DC 是⊙O 直径，弦AB ⊥CD 于F ，连接BC ，DB ，则下列结论错误的是（ ） A ．B ． A F =BFC ． O F =CFD ． ∠DBC =90°5.（2013湖北）如图，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD =4，EM =8，则所在圆的半径为 ．6.（2013年广东）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，P Θ与x 轴交于O ,A 两点，点A 的坐标为（6,0），P Θ的半径为13，则点P 的坐标为____________.7.（2013四川）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足=31，连接AF 并延长交⊙O 于点E ，连接AD 、DE ，若CF =2，AF =3．给出下列结论：①△ADF ∽△AED ；②FG =2；③tan ∠E =；④S △DEF =4．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．8．（2013浙江）如图，AE 是半圆O 的直径，弦AB =BC =4，弦CD =DE =4，连结OB ，OD ，则图中两个阴影部分的面积和为 ． 9. （2013江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （6，0），点B （0，6），动点C 在以半径为3的⊙O 上，连接OC ，过O 点作OD ⊥OC ，OD 与⊙O 相交于点D （其中点C 、O 、D 按逆时针方向排列），连接AB ．（1）当OC ∥AB 时，∠BOC 的度数为 ； （2）连接AC ，BC ，当点C 在⊙O 上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．（3）连接AD，当OC∥AD时：①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．10.（2013四川）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．五、挑战竞赛1.如图所示，△ABC的三边满足关系BC=12（AB+AC），O，I分别为△ABC的外心和内心，∠BAC的外角平分线交⊙O于点E，AI的延长线交⊙O于点D，DE交BC于点H．求证：（1）AI=BD；（2）OI=12 AE．第22题图②OPCBA六、每周一练1．在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作，如图所示．若AB =4，AC =2，S 1﹣S 2=，则S 3﹣S 4的值是（ ） A ．B ．C ．D ．2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形， AB ＝AC ，点P 是⋂AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ． 如图②， 若2524sin =∠BPC ，则PAB ∠tan 的值为 ． 3. 如图1，正方形ABCD 的边长为2，点M 是BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点（不与M 、C 重合），以AB 为直径作⊙O ，过点P 作⊙O 的切线，交AD 于点F ，切点为E ． （1）求证：OF ∥BE ；（2）设BP =x ，AF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； （3）延长DC 、FP 交于点G ，连接OE 并延长交直线DC 与H （图2），问是否存在点P ，使△EFO ∽△EHG （E 、F 、O 与E 、H 、G 为对应点）？如果存在，试求（2）中x 和y 的值；如果不存在，请说明理由．。
什么是圆的对称轴
什么是圆的对称轴
有直径的直线或过圆心的直线。
它是一个圆形的轴对称图形，有无数对称轴，所以它的对称轴是直径的直线或通过圆心的直线。
它是轴对称图形，也是中心对称图形。
如果不说直线，可以说是过圆心的直线。
对称轴定义
对称轴，一个数学术语，指的是一条直线，将几何图形称为轴对称或旋转对称。
对称图形的一部分绕其旋转一定角度后，与另一部分重合。
许多图形都有对称轴。
例如，椭圆和双曲线有两个对称轴，抛物线有一个对称轴。
圆锥或圆柱的对称轴是一条穿过底面中心和另一底面顶点或中心的直线。
几种常见的轴对称图形和中心对称图形
轴对称图形:线段、角、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、双曲线(有两个对称轴)、椭圆(有两个对称轴)、抛物线(有一个对称轴)等。
对称轴数:一个角有一个对称轴，即该角的角平分线；等腰三角形有对称轴，是底边的中垂线；等边三角形有三条对称轴，即三条边上的中垂线；菱形有两条对称轴，是有两条对角线的直线，矩形有两条对称轴，是在对边中点的两组直线。
对称图形:线段、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆形等。
对称中心:线段的对称中心是该线段的中点；平行四边形、菱形、矩形、正方形的对称中心是对角线的交点；圆的对称中心是圆心。
注意:线段、菱形、矩形、正方形和圆形都是轴对称和中心对称的图形。
几种常见的轴对称图形和中心对称图形
几种常见的轴对称图形和中心对称图形：
轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆
对称轴的条数：角有一条对称轴，即该角的角平分线;等腰三角形有一条对称轴，是底边的垂直平分线;等边三角形有三条对称轴，分别是三边上的垂直平分线;菱形有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，矩形有两条对称轴分别是两组对边中点的直线;
中心对称图形：线段、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆
对称中心：线段的对称中心是线段的中点;平行四边形、菱形、矩形、正方形的对称中心是对角线的交点，圆的对称中心是圆心。
说明：线段、菱形、矩形、正方形以及圆它们即是轴对称图形又是中心对称图形。
坐标系中的轴对称变换与中心对称变换：
点P(x,y)关于x轴对称的点P1的坐标为(x,-y)，关于y轴对称的点P2的坐标为(-x,y)。
关于原点对称的点的坐标P3的坐标是(-x,-y)这个规律也可以记为：关于y轴(x轴)对称的点的纵坐标(横坐标)相同，横坐标(纵坐标)互为相反数。
关于原点成中心对称的点的，横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原纵坐标的相反数，即横坐标、纵坐标同乘以-1。
关于圆的所有定义【很全】
圆的定义：1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
3、连接圆上任意两点间的线段叫做弦。
4、经过圆心的弦叫做直径。
5、在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。
圆上任意一条直径的两个端点分圆为两条等弧。
每一条弧都叫做半圆。
6、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
7、圆具有旋转对称性。
特别的，圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
8、在同圆或等圆中，相等得圆心角所对的弧相等。
9、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别等。
圆周角定理：1、圆周度数与它所对的弧得度数相等。
2、圆周角的度数等于他所对弧得度数一半。
3、圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
4、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
5、直径所对的圆周角是直角；直角所对的弦是直径。
6、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
7、因此，三角形的三个顶点确定一个圆。
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
8、一般的，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。
9、圆内接四边形的对角互补。
10、圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角切线的定理：1、当直线和圆有两个公共点时，我们说直线和圆相交，两个公共点叫做交点。
2、当直线和圆有唯一公共点时，我们说直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
3、当直线和圆没有公共点时，我们说直线和圆相离。
4、圆的切线垂直于过切点的半径。
5、判定：过半径外端且垂直于这条半径的直线叫做圆的切线。
6、与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
7、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这一点的连线平分两条切线的夹角。
与圆有关的几个定理
A F
E
B
O
D
C
难点概念：三角形的外接圆和内切圆：
A
A
O
I
C
B
C
B
实质
性质
三角形的 三角形三边垂直 到三角形各顶
外心
平分线的交点 点的距离相等
三角形的 三角形三内角角 到三角形各边
内心
平分线的交点 的距离相等
特别的:
等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.
A
O
B
D
C
同 如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，分别 步 切⊙O于A 、B，在AB上任取一点C作⊙O的切线 自 分别交PA 、PB于D 、E 测
M└
若 ① CD是直径
●O
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
基本模型“垂径定理、直角三角形”
(2）垂径定理以及推论
C
(1)直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； A M└
B
(3) 平分弦 ；
(4)平分劣弧；
●O
(5)平分优弧.
知二得三
D
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗?
A．35°
B.70°
C．110° D.140°
二、点和圆的位置关系
.o .p r
Op＜r Op=r Op＞r
.p .o
.o
.p
点p在⊙o内 点p在⊙o上 点p在⊙o外
三.直线与圆的位置关系
r ●O ┐d
相交
r ●O
d ┐ 相切
1、直线和圆相交
d < r;
2、直线和圆相切 3、直线和圆相离
轴对称图形练习题及答案
轴对称图形练习题及答案轴对称图形练习题及答案在数学学科中，轴对称图形是一种非常重要的概念。
轴对称图形是指可以通过某条直线将图形分成两个完全相同的部分的图形。
轴对称图形不仅在几何学中有广泛的应用，也常常出现在生活中的各个方面。
下面，我们来看一些轴对称图形的练习题及答案。
练习题一：请画出下列图形的轴对称线，并判断图形是否具有轴对称性。
1. 正方形2. 长方形3. 五角星4. 圆形5. 三角形答案一：1. 正方形：具有四条轴对称线，分别是连接对角线的两条线和连接中点的两条线。
因此，正方形具有轴对称性。
2. 长方形：具有两条轴对称线，分别是连接对角线的线。
因此，长方形具有轴对称性。
3. 五角星：具有五条轴对称线，分别是连接对角线的线。
因此，五角星具有轴对称性。
4. 圆形：具有无数条轴对称线，因为圆形的任意直径都可以作为轴对称线。
因此，圆形具有轴对称性。
5. 三角形：具有零条或一条轴对称线。
如果三角形的三条边相等，则具有三条轴对称线，分别是连接各边中点的线。
如果三角形的三条边不相等，则没有轴对称线。
因此，三角形可能具有轴对称性，也可能不具有轴对称性。
练习题二：请找出下列图形的轴对称图形，并画出轴对称线。
1. 矩形2. 正五边形3. 椭圆4. 等腰梯形5. 菱形答案二：1. 矩形的轴对称图形是自身，因为矩形具有四条轴对称线，分别是连接对角线的两条线和连接中点的两条线。
2. 正五边形的轴对称图形是自身，因为正五边形具有五条轴对称线，分别是连接对角线的线。
3. 椭圆的轴对称图形是自身，因为椭圆具有无数条轴对称线，因为椭圆的任意直径都可以作为轴对称线。
4. 等腰梯形的轴对称图形是自身，因为等腰梯形具有一条轴对称线，即连接两个底边中点的线。
5. 菱形的轴对称图形是自身，因为菱形具有两条轴对称线，分别是连接对角线的两条线。
通过以上练习题，我们可以更好地理解和掌握轴对称图形的概念和性质。
轴对称图形在几何学中有着广泛的应用，例如在设计中常常使用轴对称图形来增加美感和平衡感。
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圆和轴对称图形
圆和轴对称图形教学内容：教科书第131一132页，练习二十九的第1—4题。
教学目的：
1．使学生掌握圆的基本特点，能用工具画指定的圆。
2．使学生认识轴对称图形。
能找出轴对称图形的对称轴。
3．加深对平面图形的认识。
教具、学具准备：
1．教师、学生准备圆规。
2．教师准备小黑板，画几个轴对称图形。
教学过程：
—、圆
教师：“上一节课我们复习的图形都是直线形。
今天。
我们复习的图形是由曲线围成的。
同学们能想出是什么图形
吗?”(圆。
)“圆是平面上的一种曲线图形。
”
让学生用圆规自己画一个圆。
画完后，指名说一说是怎样画的。
然后，教师根据学生的回答，在黑板上画一个圆。
教师：“我们在学习圆时，学了与圆有关的哪些概念?”(圆心、半径和直径。
)让学生分别说一说用什么字母表示，教师根据学生的回答，在黑板上标出圆心、画出半径和直径，写上相应的字母。
教师：“同一个圆内的所有半径的长度怎样?直径呢?”(长度相
等。
)
接着问：“半径和直径有什么关系?”(半径是直径的一半。
) 教师：“想一想，要画一个指定的圆，应该怎样画?”先让学生想一想，然后让学生画一个半径是2厘米的圆。
教师巡视，看学生画圆的方法是否正确，发现问题及时纠正。
教师还可以问：“通过画圆你们发现圆的大小与什么有关：”(与半径的长短有关。
)
教师：“在一个圆里有多少条半径?有多少条直径?”
“两端都在圆上的线段是不是都是直径?为什么?”
可以多让几个学生说一说道理，注意提问一些学习有困难的学生：
二、轴对称图形
教师：“我们学过轴对称图形，谁能说一说什么样的图形是轴对称图形?”(如果一个图形沿着——条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形。
)“这条直线叫做什么?”(对称轴。
)
让学生看教科书第132页下面的图形，判断哪几个图形是轴对称图形，各有几条对称轴，并让学生画一画。
先让学生独立判断，并画对称轴．教师巡视．了解学生画的情况。
集体订正时，让学生说一说每一个图形有多少条对称轴：特别要弄清楚：圆有无数条对称轴。
教师：“我们学过的图形中，还有哪些是轴对称图形。
”(等腰
三角形、等腰梯形。
)
教师出示准备好的小黑板，让学生判断这些图形是不是轴对称图形，各有几条对称轴。
可以让学生讨论，然后指名在黑板上画出对称轴。
教师：“看一看你周围的物体中，有哪些物体的表面有轴对称图形?”在学牛回答时，要注意提醒学生说物体的某一面是轴对称图形。
三、课堂练习
1．做练习二十九的第4题。
学生独立画图，教师巡视，对画图方法不正确的学生及时辅导。
集体订正时，再让一名学生在黑板上演示。
2．做练习二十九的第1题。
先让学生独立判断，教师巡视，了解学生掌握的情况。
集体订正时。
对于每一道小题都要让学生说——说判断的道理，特别要说明为什么不对。
可有意识地让一些判断有错误的学生说，使他们知道为什么错了。
3，做练习二十九的第2题。
学生独立判断，集体订正，让学生说一说道理。
没有选学三角形内角和的班级，第(2)小题可以不做。
也可以多做一些其它的练习题。
如正方形的四个角都是( )。
①锐角②直角②钝角
死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
但随
着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。
其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。
相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
4．做练习二十九的第3题。
先让学生独立解决。
在集体订正时，让学生说一说是怎样解决的，以及解决这个问题应用了学过的什么知识；培养学生运用所学知识解决简单实际问题的能力。
对学有余力的学生．可以让他们思考练习二十九的第5’题。
要练说，先练胆。
说话胆小是幼儿语言发展的障碍。
不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。
总之，说话时外部表现不自然。
我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。
一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。
每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。
二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。
或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。
三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。
对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。
长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。
四、小结(略)
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。