新人教A版新教材学高中数学必修第一册函数的概念与性质函数的基本性质奇偶性奇偶性的应用讲义

学习
目标核心素养
１．会根据函数奇偶性求函数值或解析式．２．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题.１．利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养．
２．借助奇偶性与单调性的应用提升逻辑推理、数学运算素养.
用奇偶性求解析式
【例１】（１）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝—x＋１，求f（x）的解析式；
（２）设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝错误!，求函数f（x），g（x）的解析式．
[思路点拨] （１）错误!错误!
错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!
（２）错误!错误!
错误!错误!
错误!错误!错误!
[解] （１）设x<0，则—x>0，
∴f（—x）＝—（—x）＋１＝x＋１，
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（—x）＝—f（x）＝x＋１，
∴当x<0时，f（x）＝—x—１．
又x＝0时，f（0）＝0，
所以f（x）＝错误!
（２）∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
∴f（—x）＝f（x），g（—x）＝—g（x）．
由f（x）＋g（x）＝错误!，１
用—x代替x得f（—x）＋g（—x）＝错误!，
∴f（x）—g（x）＝错误!，２
（１＋２）÷２，得f（x）＝错误!；
（１—２）÷２，得g（x）＝错误!.
把本例（２）的条件“f（x）是偶函数，g（x）是奇函数”改为“f（x）是奇函数，g（x）是偶函数”，再求f（x），g（x）的解析式．
[解] ∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴f（—x）＝—f（x），g（—x）＝g（x），
又f（x）＋g（x）＝错误!，１
用—x代替上式中的x，得
f（—x）＋g（—x）＝错误!，
即f（x）—g（x）＝错误!.２
联立１２得
f（x）＝错误!，g（x）＝错误!.
利用函数奇偶性求解析式的方法
１“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
２要利用已知区间的解析式进行代入.
３利用f x的奇偶性写出—f x或f—x，从而解出f x.
提醒：若函数f x的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0，但若为偶函数，未必有f0
＝0．
函数单调性和奇偶性的综合问题
[探究问题]
１．如果奇函数f（x）在区间（a，b）上单调递增，那么f（x）在（—b，—a）上的单调性如何？
如果偶函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，那么f（x）在（—b，—a）上的单调性如何？
提示：如果奇函数f（x）在区间（a，b）上单调递增，那么f（x）在（—b，—a）上单调递增；如果偶函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，那么f（x）在（—b，—a）上单调递增．２．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？
提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．３．若偶函数f（x）在（—∞，0）上单调递增，那么f（３）和f（—２）的大小关系如何？若f（a）>f （b），你能得到什么结论？
提示：f（—２）>f（３），若f（a）>f（b），则|a|<|b|.
角度一比较大小问题
【例２】函数y＝f（x）在[0,２]上单调递增，且函数f（x＋２）是偶函数，则下列结论成立的是（）Ａ．f（１）<f错误!<f错误!Ｂ．f错误!<f（１）<f错误!
Ｃ．f错误!<f错误!<f（１）Ｄ．f错误!<f（１）<f错误!
[思路点拨] 错误!―→
错误!错误!错误!
B[∵函数f（x＋２）是偶函数，
∴函数f（x）的图象关于直线x＝２对称，∴f错误!＝f错误!，f错误!＝f错误!，又f（x）在[0,２]上单调递增，
∴f错误!<f（１）<f错误!，即f错误!<f（１）<f错误!.]
比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上.
１在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
２不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
１．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（—２），f（π），f （—３）的大小关系是（）
Ａ．f（π）＞f（—３）＞f（—２）Ｂ．f（π）＞f（—２）＞f（—３）
Ｃ．f（π）＜f（—３）＜f（—２）Ｄ．f（π）＜f（—２）＜f（—３）
A[由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则x∈（—∞，0）时，f （x）是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|—２|＜|—３|＜π，∴f （π）＞f（—３）＞f（—２），故选Ａ．]
角度二解不等式问题
【例３】已知定义在[—２,２]上的奇函数f（x）在区间[0,２]上是减函数，若f（１—m）<f（m），求实数m的取值范围．
[解] 因为f（x）在区间[—２,２]上为奇函数，且在区间[0,２]上是减函数，所以f（x）在[—２,２]上为减函数．
又f（１—m）<f（m），所以错误!
即错误!解得—１≤m<错误!.
故实数m的取值范围是—１≤m<错误!.
解有关奇函数f x的不等式f a＋f b<0，先将f a＋f b<0变形为f a<—f b ＝f—b，再利用f x的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式.另外，要特别注意函数的定义域.,由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f x＝
f|x|＝f—|x|将f g x中的g x全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解.
２．函数f（x）是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞）上是增函数，f（３）<f（２a＋１），则a的取值范围是（）
Ａ．a>１Ｂ．a<—２
Ｃ．a>１或a<—２Ｄ．—１<a<２
C[因为函数f（x）在实数集上是偶函数，且f（３）<f（２a＋１），所以f（３）<f（|２a＋１|），又函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，所以３<|２a＋１|，解之得a>１或a<—２．故选Ｃ．]
１．具有奇偶性的函数的单调性的特点
（１）奇函数在[a，b]和[—b，—a]上具有相同的单调性．
（２）偶函数在[a，b]和[—b，—a]上具有相反的单调性．
２．利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f（—x）＝—f（x）或f（—x）＝f（x），但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为—x（另一个已知区间上的解析式中的变量），通过适当推导，求得所求区间上的解析式．
３．偶函数的一个重要性质：f（|x|）＝f（x），它能使自变量化归到[0，＋∞）上，避免分类讨论.
１．思考辨析
（１）奇函数f（x）＝错误!，当x>0时的解析式与x<0时的解析式相同，所以一般的奇函数在（0，＋∞）上的解析式与（—∞，0）上的解析式也相同．（）
（２）对于偶函数f（x），恒有f（x）＝f（|x|）．（）
（３）若存在x0使f（１—x0）＝f（１＋x0），则f（x）关于直线x＝１对称．（）
（４）若奇函数f（x）在（0，＋∞）上有最小值a，则f（x）在（—∞，0）上有最大值—a.（）[答案] （１）×（２）√（３）×（４）√
２．已知偶函数在（—∞，0）上单调递增，则（）
Ａ．f（１）>f（２）Ｂ．f（１）<f（２）
Ｃ．f（１）＝f（２）Ｄ．以上都有可能
A[∵f（x）是偶函数，且在（—∞，0）上单调递增，
∴f（x）在（0，＋∞）上单调递减，∴f（１）>f（２），故选Ａ．]
３．定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，若f（a）<f（b），则一定可得（）Ａ．a<bＢ．a>b
Ｃ．|a|<|b| Ｄ．0≤a<b或a>b≥0
C[∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是增函数，
∴由f（a）<f（b）可得|a|<|b|.]
４．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x２＋x—２，求f（x），g（x）的表达式．
[解] f（—x）＋g（—x）＝x２—x—２，由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数得，f（x）—g（x）＝x２—x—２，又f（x）＋g（x）＝x２＋x—２，两式联立得f（x）＝x２—２，g（x）＝x.。