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高中数学必修4习题和复习参考题对应答案

高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案A 组1、在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：（1）－265°；（2）－1000°；（3）－843°10′；（4）3900°．答案：（1）95°，第二象限；（2）80°，第一象限；（3）236°50′，第三象限；（4）300°，第四象限．说明：能在给定范围内找出与指定的角终边相同的角，并判定是第几象限角．2、写出终边在x 轴上的角的集合．答案：S={α|α=k ·180°，k ∈Z }．说明：将终边相同的角用集合表示．3、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360°≤β＜360°的元素β写出来：（1）60°；（2）－75°；（3）－824°30′；（4）475°；（5）90°；（6）270°；（7）180°；（8）0°．答案：（1）{β|β=60°＋k ·360°，k ∈Z }，－300°，60°；（2）{β|β=－75°＋k ·360°，k ∈Z }，－75°，285°；（3）{β|β=－824°30′＋k ·360°，k ∈Z }，－104°30′，255°30′；（4）{β|β=475°＋k ·360°，k ∈Z }，－245°，115°；（5）{β|β=90°＋k ·360°，k ∈Z }，－270°，90°；（6）{β|β=270°＋k ·360°，k ∈Z }，－90°，270°；（7）{β|β=180°＋k ·360°，k ∈Z }，－180°，180°；（8）{β|β=k ·360°，k ∈Z }，－360°，0°．说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．4、分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合．答案：象限角度制弧度制一 {β|k ·360°＜β＜90°＋k ·360°，k ∈Z } {|22,}2k k k πβπβπ<<+∈Z二 {β|90°＋k ·360°＜β＜180°＋k ·360°，k ∈Z }{|22,}2k k k πβπβππ+<<+∈Z三 {β|180°＋k ·360°＜β＜270°＋k ·360°，k ∈Z }3{|22,}2k k k πβππβπ+<<+∈Z 四{β|270°＋k ·360°＜β＜360°＋k ·360°，k ∈Z }3{|222,}2k k k πβπβππ+<<+∈Z 说明：用角度制和弧度制写出各象限角的集合．5、选择题：（1）已知α是锐角，那么2α是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．小于180°的正角 D ．第一或第二象限角（2）已知α是第一象限角，那么2α是（）、 A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角答案：（1）C 说明：因为0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°．（2）D说明：因为k ·360°＜α＜90°＋k ·360°，k ∈Z ，所以180451802k k α︒<<︒+︒，k ∈Z ．当k 为奇数时，2α是第三象限角；当k 为偶数时，2α是第一象限角．6、一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？答案：不等于1弧度．这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长．说明：了解弧度的概念．7、把下列各角度化成弧度：（1）36°；（2）－150°；（3）1095°；（4）1440°．答案：（1）5π；（2）56π；（3）7312π-；（4）8π．说明：能进行度与弧度的换算．8、把下列各弧度化成度：（1）76π-；（2）103π-；（3）1.4；（4）23．答案：（1）－210°；（2）－600°；（3）80.21°；（4）38.2°．说明：能进行弧度与度的换算．9、要在半径OA=100cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB 的长为112cm ，求圆心角∠AOB 是多少度（可用计算器，精确到1°）．答案：64°说明：可以先运用弧度制下的弧长公式求出圆心角的弧度数，再将弧度换算为度，也可以直接运用角度制下的弧长公式．10、已知弧长50cm 的弧所对圆心角为200°，求这条弧所在的圆的半径（可用计算器，精确到1cm ）．答案：14cm ．说明：可以先将度换算为弧度，再运用弧度制下的弧长公式，也可以直接运用角度制下的弧长公式．B 组1、每人准备一把扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算器算出它的面积S 1．（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为S 2，求S 1与S 2的比值；（2）要使S 1与S 2的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到10°）？答案：（1）（略）（2）设扇子的圆心角为θ，由2122120.6181(2)2r S S r θπθ==-，可得θ=0.618（2π－θ），则θ=0.764π≈140°．说明：本题是一个数学实践活动．题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足：120.618S S =（黄金分割比）的道理．2、（1）时间经过4 h （时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次、你认为这种说法是否正确？请说明理由．（提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min 会与时针重合，一天内分针和时针会重合n 次，建立t 关于n 的函数关系式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．）答案：（1）时针转了－120°，等于23π-弧度；分针转了－1440°，等于－8π弧度（2）设经过t min 分针就与时针重合，n 为两针重合的次数．因为分针旋转的角速度为2(rad /min)6030ππ=，时针旋转的角速度为2(rad/min)1260360ππ=⨯，所以()230360t n πππ-=，即72011t n =．用计算机或计算器作出函数72011t n =的图象（如下页图）或表格，从中可清楚地看到时针与分针每次重合所需的时间．n u1 15． 981.82 16． 1047.3 17． 1112.7 18． 1178.2 19． 1243.6 20． 1309.1 21． 1374.5 22．1440.因为时针旋转一天所需的时间为24×60=1440（min ），所以720144011n ≤，于是n ≤22．故时针与分针一天内只会重合22次．说明：通过时针与分针的旋转问题进一步地认识弧度的概念，并将问题引向深入，用函数思想进行分析．在研究时针与分针一天的重合次数时，可利用计算器或计算机，从模拟的图形、表格中的数据、函数的解析式或图象等角度，不难得到正确的结论．3、已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是__________度，即__________rad ．如果大轮的转速为180r/min （转/分），小轮的半径为10.5cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是__________．答案：864°，245π，151.2π cm ．说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式．当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是4824360864rad.205π⨯︒=︒= 由于大齿轮的转速为3r/s ，所以小齿轮周上一点每1s 转过的弧长是483210.5151.2(cm)20ππ⨯⨯⨯=． P20习题1.2A 组1、用定义法、公式一以及计算器求下列角的三个三角函数值：（1）173π-；（2）214π；（3）236π-；（4）1500°．答案：（1）31sin ,cos ,tan 322ααα===；（2）22sin ,cos ,tan 122ααα=-=-=；（3）133sin ,cos ,tan 223ααα===；（4）31sin ,cos ,tan 322ααα===．说明：先利用公式一变形，再根据定义求值，非特殊角的三角函数值用计算器求．2、已知角α的终边上有一点的坐标是P （3a ，4a ），其中a ≠0，求sin α，cos α，tan α的三角函数值．答案：当a ＞0时，434s i n ,c o s,t a n 553ααα===；当a ＜0时，434s i n ,c o s ,t a n 553ααα=-=-=-．说明：根据定义求三角函数值．3、计算：（1）6sin （－90°）＋3sin0°－8sin270°＋12cos180°；（2）10cos270°＋4sin0°＋9tan0°＋15cos360°；（3）22322costantan sin cos sin2446663ππππππ-+-++；（4）2423sin cos tan 323πππ+-．答案：（1）－10；（2）15；（3）32-；（4）94-．说明：求特殊角的三角函数值．4、化简：（1）asin0°＋bcos90°＋ctan180°；（2）－p 2cos180°＋q 2sin90°－2pqcos0°；（3）223cos 2sincos sin 22a b ab ab ππππ-+-；（4）13tan 0cos sin cos sin 222m n p q r ππππ+---．答案：（1）0；（2）（p －q ）2；（3）（a －b ）2；（4）0．说明：利用特殊角的三角函数值化简．5、根据下列条件求函数3()sin()2sin()4cos 23cos()444f x x x x x πππ=++--++的值．（1）4x π=；（2）34x π=．答案：（1）－2；（2）2．说明：转化为特殊角的三角函数的求值问题．6、确定下列三角函数值的符号：（1）sin186°；（2）tan505°；（3）sin7.6π；（4）23tan()4π-；（5）cos940°；（6）59cos()17π-．答案：（1）负；（2）负；（3）负；（4）正；（5）负；（6）负．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号．7、确定下列式子的符号：（1）tan125°·sin273°；（2）tan108cos305︒︒；（3）5411sin cos tan 456πππ；（4）511cos tan 662sin 3πππ．答案：（1）正；（2）负；（3）负；（4）正．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号．8、求下列三角函数值（可用计算器）：（1）67sin()12π-；（2）15tan()4π-；（3）cos398°13′；（4）tan766°15′．答案：（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045．说明：可先运用公式一转化成锐角三角函数，然后再求出三角函数值．9、求证：（1）角θ为第二或第三象限角当且仅当sin θ·tan θ＜0；（2）角θ为第三或第四象限角当且仅当cos θ·tan θ＜0；（3）角θ为第一或第四象限角当且仅当sin 0tan θθ>；（4）角θ为第一或第三象限角当且仅当sinθ·cosθ＞0．答案：（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．当角θ为第二象限角时，sinθ＞0，tanθ＜0，则sinθ·tanθ＜0；当角θ为第三象限角时，sinθ＜0，tanθ＞0，则sinθ·tanθ＜0，所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．再证如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．因为sinθ·tanθ＜0，即sinθ＞0且tanθ＜0，或sinθ＜0且tanθ＞0，当sinθ＞0且tanθ＜0时，角θ为第二象限角；当sinθ＜0且tanθ＞0时，角θ为第三象限角，所以如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．综上所述，原命题成立．（其他小题略）说明：以证明命题的形式，认识位于不同象限的角对应的三角函数值的符号．10、（1）已知3sin2α=-，且α为第四象限角，求cosα，tanα的值；（2）已知5cos13α=-，且α为第二象限角，求sinα，tanα的值；（3）已知3tan4α=-，求sinα，cosα的值；（4）已知cosα=0.68，求sinα，tanα的值（计算结果保留两个有效数字）．答案：（1）1,3 2-；（2）1212,135-；（3）当α为第二象限角时，34 sin,cos55αα==-，当α为第四象限角时，34 sin,cos55αα=-=；（4）当α为第一象限角时，sinα=0.73，tanα=1.1，当α为第四象限角时，sinα=－0.73，tanα=－1.1．说明：要注意角α是第几象限角．11、已知1sin3x=-，求cosx，tanx的值．答案：当x为第三象限角时，222 cos,tan34x x=-=；当x为第四象限角时，222 cos,tan34x x==-.说明：要分别对x是第三象限角和第四象限角进行讨论．12、已知3tan 3,2απαπ=<<，求cos α－sin α的值．答案：1(31)2- 说明：角α是特殊角．13、求证：（1）2212sin cos 1tan 1tan cos sin x x xxx x--=+-；（2）tan 2α－sin 2α=tan 2α·sin 2α；（3）（cos β－1）2＋sin 2β=2－2cos β；（4）sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2xcos 2x ．答案：（1）2(cos sin )cos sin 1tan (cos sin )(cos sin )cos sin 1tan x x x x xx x x x x x x---===+-++左边；（2）222222222211cos sin sin (1)sin sin sin tan cos cos cos x x x xxx x xxx-=-===左边；（3）左边=1－2cos β＋cos 2β＋sin 2β=2－2cos β；（4）左边=（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x ·cos 2x=1－2sin 2x ·cos 2x ．说明：还可以从右边变为左边，或对左右同时变形．可提倡一题多解，然后逐渐学会选择较为简单的方法．B 组1、化简（1＋tan 2α）cos 2α．答案：1说明：根据同角三角函数的基本关系，将原三角函数式转化为正余弦函数式．2、化简1sin 1sin 1sin 1sin αααα+---+，其中α为第二象限角．答案：－2tan α说明：先变形，再根据同角三角函数的基本关系进行化简．3、已知tan α=2，求sin cos sin cos αααα+-的值．答案：3说明：先转化为正切函数式．4、从本节的例7可以看出，cos 1sin 1sin cos x x x x+=-就是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形．你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？答案：又如sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2x ·cos 2x 也是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形；2211tan cos x x=+是sin 2x ＋cos 2x=1和sin tan cos xx x=的变形；等等．说明：本题要求学生至少能写出每个同角关系式的一个变形．P29习题1.3A 组1、将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上：（1）cos210°=__________；（2）sin263°42′=__________；（3）cos()6π-=__________；（4）5sin()3π-=__________；（5）11cos()9π-=__________；（6）cos （－104°26′）=__________；（7）tan632°24′=__________；（8）17tan6π=__________．答案：（1）－cos30°；（2）－sin83°42′ （3）cos 6π；（4）sin3π；（5）2cos9π-；（6）－cos75°34′；（7）－tan87°36′；（8）tan6π-．说明：利用诱导公式转化为锐角三角函数．2、用诱导公式求下列三角函数值：（1）17cos()4π-；（2）sin （－1574°）；（3）sin （－2160°52′）；（4）cos （－1751°36′）；（5）cos1615°8′；（6）26sin()3π-．答案：（1）22；（2）－0.7193；（3）－0.0151；（4）0.6639；（5）－0.9964；（6）32 -说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．3、化简：（1）sin（－1071°）·sin99°＋sin（－171°）·sin（－261°）；（2）1＋sin（α－2π）·sin（π＋α）－2cos2（－α）．答案：（1）0；（2）－cos2α说明：先利用诱导公式转化为角α的三角函数，再进一步化简．4、求证：（1）sin（360°－α）=－sinα；（2）cos（360°－α）=cosα；（3）tan（360°－α）=－tanα．答案：（1）sin（360°－α）=sin（－α）=－sinα；（2）略；（3）略．说明：有的书也将这组恒等式列入诱导公式，但根据公式一可知，它和公式三等价，所以本教科书未将其列入诱导公式．B组1、计算：（1）sin420°·cos750°＋sin（－330°）·cos（－660°）；（2）tan675°＋tan765°－tan（－330°）＋tan（－690°）；（3）252525sin cos tan() 634πππ++-．答案：（1）1；（2）0；（3）0．说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．2、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）sin（5π－α）；（2）sin()2πα+；（3）3cos()2πα-；（4）tan()2πα-．答案：（1）12；（2）3,,23,;2αα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角（3）12-；（4）3,,3,αα⎧⎪⎨-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角.说明：先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角α的三角函数，然后再根据同角三角函数的基本关系得解． P46习题1.4A 组1、画出下列函数的简图：（1）y=1－sinx ，x ∈[0，2π]；（2）y=3cosx ＋1，x ∈[0，2π]．答案：（1）（2）说明：可以直接用“五点法”作出两个函数的图象；也可以先用“五点法”作出正弦、余弦函数的图象，再通过变换得到这两个函数的图象．2、求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值是什么．（1）11cos ,23y x x π=-∈R ；（2）3sin(2),4y x x π=+∈R ；（3）31cos(),226y x x π=--∈R ；（4）11sin(),223y x x π=+∈R ．答案：（1）使y 取得最大值的集合是{x|x=6k ＋3，k ∈Z }，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{x|x=6k ，k ∈Z }，最大值是12；（2）使y 取得最大值的集合是{|,}8x x k k ππ=+∈Z ，最大值是3；使y 取得最小值的集合是3{|,}8x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是－3；（3）使y 取得最大值的集合是{|2(21),}3x x k k ππ=++∈Z ，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最小值是32-；（4）使y 取得最大值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最大值是12；使y 取得最小值的集合是5{|4,}3x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是12-．说明：利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质，研究所给函数的最大值、最小值性质．3、求下列函数的周期：（1）2sin 3y x =，x ∈R ；（2）1cos 42y x =，x ∈R ．答案：（1）3π；（2）2π说明：可直接由函数y=Asin （ωx ＋φ）和函数y=Acos （ωx ＋φ）的周期2T πω=得解．4、利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）sin103°15′与sin164°30′；（2）4744cos()cos()109ππ--与；（3）sin508°与sin144°；（4）cos760°与cos （－770°）．答案：（1）sin103°15′＞sin164°130′；（2）4744cos()cos()109ππ->-；（3）sin508°＜sin144°；（4）cos760°＞cos （－770°）．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．5、求下列函数的单调区间：（1）y=1＋sinx ，x ∈R ；（2）y=－cosx ，x ∈R ．答案：（1）当[2,2]22x k k ππππ∈-++，k ∈Z 时，y=1＋sinx 是增函数；当3[2,2]22x k k ππππ∈++，k ∈Z 时，y=1＋sinx 是减函数．（2）当x ∈[（2k －1）π，2k π]，k ∈Z 时，y=－cosx 是减函数；当x ∈[2k π，（2k ＋1）π]，k ∈Z 时，y=－cosx 是增函数．说明：利用正弦、余弦函数的单调性研究所给函数的单调性．6、求函数tan()26y x π=-++的定义域．答案：{|,}3x x k k ππ≠+∈Z ．说明：可用换元法．7、求函数5tan(2),()3122k y x x k πππ=-≠+∈Z 的周期．答案：2π．说明：可直接由函数y=Atan （ωx ＋φ）的周期T πω=得解．8、利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：（1）13tan()tan()57ππ--与；（2）tan1519°与tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ-与；（4）7tan tan 86ππ与．答案：（1）13tan()tan()57ππ->-；（2）tan1519°＞tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ>-；（4）7tan tan 86ππ<．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．9、根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的集合：（1）1＋tanx ≥0；（2）tan 30x -≥．答案：（1）{|,}42x k x k k ππππ-+<+∈Z ≤；（2）{|,}32x k x k k ππππ+<+∈Z ≤．说明：只需根据正切曲线写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．10、设函数f （x ）（x ∈R ）是以 2为最小正周期的周期函数，且x ∈[0，2]时f （x ）=（x －1）2．求f （3），7()2f 的值．答案：由于f （x ）以2为最小正周期，所以对任意x ∈R ，有f （x ＋2）=f （x ）．于是：f （3）=f （1＋2）=f （1）=（1－1）2=0；273331()(2)()(1)22224f f f =+==-=．说明：利用周期函数的性质，将其他区间上的求值问题转化到区间[0，2]上的求值问题．11、容易知道，正弦函数y=sinx 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．答案：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为（k π，0），k ∈Z ．正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是,2x k k ππ=+∈Z ．由余弦函数和正切的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为(,0)2k ππ+，k ∈Z ，对称轴的方程是x=k π，k ∈Z ；正切曲线的对称中心坐标为(,0)2k π，k ∈Z ，正切曲线不是轴对称图形．说明：利用三角函数的图象和周期性研究其对称性．B 组1、根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合：（1）3sin ()2x x ∈R ≥；（2）22cos 0()x x +∈R ≥．答案：（1）2{|22,}33x k x k k ππππ++∈Z ≤≤；（2）33{|22,}44x k x k k ππππ-++∈Z ≤≤．说明：变形后直接根据正弦函数、余弦函数的图象写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．2、求函数3tan(2)4y x π=--的单调区间．答案：单调递减区间5(,),2828k k k ππππ++∈Z ．说明：利用正切函数的单调区间求所给函数的单调区间．3、已知函数y=f （x ）的图象如图所示，试回答下列问题：（1）求函数的周期；（2）画出函数y=f （x ＋1）的图象；（3）你能写出函数y=f （x ）的解析式吗？答案：（1）2；（2）y=f （x ＋1）的图象如下；（3）y=|x －2k|，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ．说明：可直接由函数y=f （x ）的图象得到其周期．将函数y=f （x ）的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=f （x ＋1）的图象．求函数y=f （x ）的解析式难度较高，需要较强的抽象思维能力．可先求出定义域为一个周期的函数y=f （x ），x ∈[－1，1]的解析式为y=|x|，x ∈[－1，1]，再根据函数y=f （x ）的图象和周期性，得到函数y=f （x ）的解析式为y=|x －2k|，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ． P57习题1.5A 组1、选择题：（1）为了得到函数1cos()3y x =+，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动13个单位长度D ．向右平行移动13个单位长度（2）为了得到函数cos 5xy =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（）、A ．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的15倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的15倍，横坐标不变（3）为了得到函数1cos 4y x =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（）．A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变答案：（1）C ；（2）A ；（3）D ．2、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（有条件的可用计算器或计算机作图检验）：（1）14sin 2y x =，x ∈R ；（2）1cos32y x =，x ∈R ；（3）3sin(2)6y x π=+，x ∈R ；（4）112cos()24y x π=-，x ∈R ．答案：（1）（2）（3）（4）说明：研究了参数A、ω、φ对函数图象的影响．3、不画图，直接写出下列函数的振幅、周期与初相，并说明这些函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得到（注意定义域）：（1）8sin()48x y π=-，x ∈[0,＋∞）；（2）1sin(3)37y x π=+，x ∈[0,＋∞）．答案：（1）振幅是8，周期是8π，初相是8π-．先把正弦曲线向右平行移动8π个单位长度，得到函数1sin()8y x π=-，x ∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数2sin()48x y π=-，x ∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的8倍（横坐标不变），得到函数38sin()48x y π=-，x ∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数8sin()48x y π=-，x ∈[0，＋∞）的图象．（2）振幅是13，周期是23π，初相是7π．先把正弦曲线向左平行移动7π个单位长度，得到函数1sin()7y x π=+，x ∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），得到函数2sin(3)7y x π=+，x ∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍（横坐标不变），得到函数31sin(3)37y x π=+，x ∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数1sin(3)37y x π=+，x ∈[0，＋∞）的图象．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并认识函数y=Asin （ωx ＋φ）的图象与正弦曲线的关系．4、图 1.5－1的电流i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是5sin(100),[0,)3i t t ππ=+∈+∞．（1）求电流i 变化的周期、频率、振幅及其初相；（2）当t=0，1171,,,(:s)60015060060单位时，求电流i ．答案：（1）周期为150，频率为50，振幅为5，初相为3π．（2）t=0时，532i =；1600t =时，i=5；1150t =时，i=0；7600t =时，i=－5；160t =时，i=0．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并求函数值．5、一根长为l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球．小球摆动时，离开平衡位置的位移s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系是3cos(),[0,)3g s t t l π=+∈+∞．（1）求小球摆动的周期；（2）已知g ≈980cm/s 2，要使小球摆动的周期是1s ，线的长度l 应当是多少？（精确到0.1cm ）答案：（1）2lgπ；（2）约24.8cm ．说明：了解简谐振的周期．B 组1、弹簧振子的振动是简谐运动．下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t 与位移s 之间的对应数据，根据这些数据求出这个振子的振动函数解析式．t 0 t 0 2t 0 3t 04t 05t 0 6t 0 7t 0 8t 0 9t 010t 0 11t 0 12t 0s－20.0－17.8－10.10.110.317.720.017.710.30.1 －10.1－17.8－20.0答案：根据已知数据作出散点图（如图）．由散点图可知，振子的振动函数解析式为020sin()62x y t ππ=-，x ∈[0，＋∞）．说明：作出已知数据的散点图，然后选择一个函数模型来描述，并根据已知数据求出该函数模型．2、弹簧挂着的小球作上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由下列关系式确定：2sin()4h t π=+．以t 为横坐标，h 为纵坐标，作出这个函数在一个剧期的闭区间上的图象，并回答下列问题：（1）小球在开始振动时（即t=0）的位置在哪里？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？（3）经过多少时问小球往复运动一次？（4）每秒钟小球能往复振动多少次？答案：函数2sin()4h t π=+在[0，2π]上的图象为（1）小球在开始振动时的位置在(0,2)；（2）最高点和最低点与平衡位置的距离都是2；（3）经过2π秒小球往复运动一次；（4）每秒钟小球能往复振动12π次．说明：结合具体问题，了解解析式中各常数的实际意义．3、如图，点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动．求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系，并求点P 的运动周期和频率．答案：点P的纵坐标关于时间t的函数关系式为y=rsin（ωt＋φ），t∈[0，＋∞）；点P的运动周期和频率分别为2πω和2ωπ．说明：应用函数模型y=rsin（ωt＋φ）解决实际问题．P65习题1.61、根据下列条件，求△ABC的内角A：（1）1sin2A=；（2）2cos2A=-；（3）tanA=1；（4）3 tan3A=-．答案：（1）30°或150°；（2）135°；（3）45°；（4）150°．说明：由角A是△ABC的内角，可知A∈（0°，180°）．2、根据下列条件，求（0，2π）内的角x：（1）3sin2x=-；（2）sinx=－1；（3）cosx=0；（4）tanx=1．答案：（1）4533ππ或；（2）32π；（3）322ππ或；（4）544ππ或．说明：可让学生再变换角x的取值范围求解．3、天上有些恒星的亮度是会变化的．其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化、下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图、此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？答案：5.5天；约3.7等星；约4.4等星．说明：每个周期的图象不一定完全相同，表示视星等的坐标是由大到小．4、夏天是用电的高峰时期，特别是在晚上．为保证居民空调制冷用电，电力部门不得不对企事业拉闸限电，而到了0时以后，又出现电力过剩的情况．因此每天的用电也出现周期性的变化．为保证居民用电，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时降低后半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时用电．请你调查你们地区每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的电价方案．答案：先收集每天的用电数据，然后作出用电量随时间变化的图象，根据图象制定“消峰平谷”的电价方案．说明：建立周期变化的模型解决实际问题．B组1、北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗、请根据年鉴或其他的参考资料，统计过去一年不同时期的日出和日落时间．（1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；（2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？答案：略．说明：建立周期变化的函数模型，根据模型解决实际问题．2、一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关的数据并提供理论证据支持你的结论．答案：略．说明：收集数据，建立周期变化的函数模型，根据模型提出个人意见．然后采取上网、查阅资料或走访专业人士的形式，获取这方面的信息，以此来说明自己的结论．P69复习参考题A 组1、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并且把S 中适合不等式－2π≤β≤4π的元素β写出来：（1）4π；（2）23π-；（3）125π；（4）0．答案：（1）79{|2,},,,4444k k ππππββπ=+∈-Z ；（2）22410{|2,},,,3333k k ββπππππ=-+∈-Z ；（3）128212{|2,},,,5555k k ββπππππ=+∈-Z ；（4）{β|β=2k π，k ∈Z }，－2π，0，2π．说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．2、在半径为15cm 的圆中，一扇形的弧含有54°，求这个扇形的周长与面积（π取3.14，计算结果保留两个有效数字）．答案：周长约44cm ，面积约1.1×102cm 2．说明：可先将角度转化为弧度，再利用弧度制下的弧长和面积公式求解．3、确定下列三角函数值的符号：（1）sin4；（2）cos5；（3）tan8；（4）tan （－3）．答案：（1）负；（2）正；（3）负；（4）正．说明：将角的弧度数转化为含π的形式或度，再进行判断．4、已知1cos 4ϕ=，求sin φ，tan φ．答案：当φ为第一象限角时，15sin ,tan 154ϕϕ==；当φ为第四象限角时，15sin ,tan 154ϕϕ=-=-．说明：先求sin φ的值，再求tan φ的值．5、已知sinx=2cosx ，求角x 的三个三角函数值．答案：当x 为第一象限角时，tanx=2，525cos ,sin 55x x ==；当x 为第三象限角时，tanx=2，525cos ,sin 55x x =-=-．说明：先求tanx 的值，再求另外两个函数的值．6、用cos α表示sin 4α－sin 2α＋cos 2α．答案：cos 4α．说明：先将原式变形为sin 2α（sin 2α－1）＋cos 2α，再用同角三角函数的基本关系变形．7、求证：（1）2（1－sin α）（1＋cos α）=（1－sin α＋cos α）2；（2）sin 2α＋sin 2β－sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β=1．答案：（1）左边=2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α=1＋sin 2α＋cos 2α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α =右边．（2）左边=sin 2α（1－sin 2β）＋sin 2β＋cos 2αcos 2β=cos 2β（sin 2α＋cos 2α）＋sin 2β =1=右边．说明：第（1）题可先将左右两边展开，再用同角三角函数的基本关系变形．8、已知tan α=3，计算：（1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（2）sin αcos α；（3）（sin α＋cos α）2．答案：（1）57；（2）310；（3）85．说明：第（2）题可由222sin tan 9cos ααα==，得21c o s 10α=，所以23sin cos tan cos 10αααα==．或222s incs i n c10sin cos tan 131αααααααα====+++．9、先估计结果的符号，再进行计算．（1）252525sincos tan()634πππ++-；（2）sin2＋cos3＋tan4（可用计算器）．答案：（1）0；（2）1.0771．说明：先根据各个角的位置比较它们的三角函数值的大小，再估计结果的符号．10、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）cos（2π－α）；（2）tan（α－7π）．答案：（1）当α为第一象限角时，3 cos(2)2πα-=，当α为第二象限角时，3 cos(2)2πα-=-；（2）当α为第一象限角时，3 tan(7)3απ-=，当α为第二象限角时，3 tan(7)3απ-=-．说明：先用诱导公式转化为α的三角函数，再用同角三角函数的基本关系计算．11、先比较大小，再用计算器求值：（1）sin378°21′，tan1111°，cos642.5°；（2）sin（－879°），313t a n(),c o s()810ππ--；（3）sin3，cos（sin2）．答案：（1）tan1111°=0.601，sin378°21′=0.315，cos642.5°=0.216；（2）sin（－879°）=－0.358，3313tan()0.414,cos()0.588 810ππ-=--=-；（3）sin3=0.141，cos（sin2）=0.614．说明：本题的要求是先估计各三角函数值的大小，再求值验证．12、设π＜x＜2π，填表：x 76π74πsinx －1cosx22-32tanx 3答案：x 76π54π43π32π74π116πsinx12-22-32-－122-12-cosx32-22-12- 02232tanx3313不存在－133-说明：熟悉各特殊角的三角函数值．13、下列各式能否成立，说明理由：（1）cos 2x=1.5；（2）3sin 4x π=-．答案：（1）因为cos 1.5x =，或cos 1.5x =-，而 1.51, 1.51>-<-，所以原式不能成立；（2）因为3sin 4x π=-，而3||14π-<，所以原式有可能成立．说明：利用正弦和余弦函数的最大值和最小值性质进行判断．14、求下列函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大、最小值的x 的集合：（1）sin 2xy π=+，x ∈R ；（2）y=3－2cosx ，x ∈R ．答案：（1）最大值为12π+，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=+∈Z ；最小值为12π-，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=-+∈Z ；（2）最大值为5，此时x 的集合为{x|x=（2k ＋1）π，k ∈Z }；最小值为1，此时x 的集合为{x|x=2k π，k ∈Z }．说明：利用正弦、余弦函数的最大值和最小值性质，研究所给函数的最大值和最小值性质．15、已知0≤x ≤2π，求适合下列条件的角x 的集合：（1）y=sinx 和y=cosx 都是增函数；（2）y=sinx 和y=cosx 都是减函数；（3）y=sinx 是增函数，而y=cosx 是减函数；（4）y=sinx 是减函数，而y=cosx 是增函数．答案：（1）3{|2}2x x ππ≤≤；（2）{|}2x x ππ≤≤；（3）{|0}2x x π≤≤；（4）3{|}2x x ππ≤≤．说明：利用函数图象分析．16、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：（1）1sin(3),;23y x x π=-∈R （2）2sin(),;4y x x π=-+∈R （3）1sin(2),;5y x x π=--∈R（4）3sin(),.63xy x π=-∈R 答案：（1）（2）（3）（4）说明：可要求学生在作出图象后，用计算机或计算器验证．17、（1）用描点法画出函数y=sinx ，[0,]2x π∈的图象．（2）如何根据第（1）小题并运用正弦函数的性质，得出函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象？（3）如何根据第（2）小题并通过平行移动坐标轴，得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x ∈[0，2π]的图象？（其中φ，k 都是常数）答案：（1）x 0 18π9π 6π 29π 518π 3π 718π 49π 2π sinx0.17 0.34 0.50 0.64 0.77 0.87 0.94 0.981（2）由sin （π－x ）=sinx ，可知函数y=sinx ，x ∈[0，π]的图象关于直线2x π=对称，据此可得函数y=sinx ，[,]2x ππ∈的图象；又由sin （2π－x ）=－sinx ，可知函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象关于点（π，0）对称，据此可得出函数y=sinx ，x ∈[π，2π]的图象．（3）先把y 轴向右（当φ＞0时）或向左（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度，再把x 轴向下（当k ＞0时）或向上（当k ＜0时）平行移动|k|个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度，并擦去[0，2π]之外的部分，便得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x ∈[0，2π]的图象．说明：学会用不同的方法作函数图象．18、不通过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得出它们的图象：（1）sin(5),;6y x x π=+∈R（2）12sin,.6y x x =∈R 答案：（1）振幅是1，周期是25π，初相是6π．把正弦曲线向左平行移动6π个单位长度，可以得函数sin()6y x π=+，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的15倍（纵坐标不变），就可得出函数sin(5)6y x π=+，x ∈R 的图象．（2）振幅是2，周期是2π，初相是0．把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数1sin6y x =，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就可得到函数12sin()6y x =，x ∈R 的图象．说明：会根据解析式求各物理量，并理解如何由正弦曲线通过变换得到正弦函数的图象．。

高中数学必修四2.3.2平面向量正交分解及坐标表示

(2)基底不惟一，关键是不共线；
[来源:www ]
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一 . λ 1， λ 2 是被 a ， e1 ， e2 唯一确定的数量
二、讲解新课：
1．平面向量的坐标表示
(4) 基底给定时，分解形式
.
即 λ 1， λ 2 是被 a ， e1 ， e2 唯一确定的数量
二、提出疑惑：
[来源 :]
如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低，向量分解情况又会如何呢？
课内探究学案
一、探究学习
1．平面向量的坐标表示
32 x 0
即：
45 y 0
四、课堂练习：
x5
∴
y1
∴ F3 ( 5， 1)
1
1．若 M(3 ， -2) N(-5 ， -1) 且 MP
MN ，求 P 点的坐标
2
2．若 A(0 ， 1)， B(1 ， 2)， C(3 ， 4) ，则 AB 2 BC =
.
Байду номын сангаас
3．已知：四点 A(5 ， 1)， B(3 ， 4)， C(1 ， 3)， D(5 ， -3) ，求证：四边形 ABCD 是梯形 .
2. 3.2 平面向量正交分解及坐标表示
一、复习引入：
平面向量基本定理：如果 e1 ， e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面
内的任一向量 a ，有且只有一对实数 λ 1， λ 2使 a =λ 1 e1 +λ 2 e2
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
例 2 已知 a =(2 ，1)， b =(-3 ，4)，求 a + b ， a - b ，3 a +4 b 的坐

高一数学2015北师大版高中数学必修四模块高考热点透视课件

必修4
【解析】
π y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位得到 y 2 y＝cos(2x－π＋φ)．
π ＝cos2x－2＋φ的图象，整理得
π ∵其图象与 y＝ sin(2x＋ )的图象重合， 3 π π π π ∴φ－π＝3－2＋2kπ，∴φ＝3＋π－2＋2kπ， 5π 5π 即 φ＝ 6 ＋2kπ.又∵－π≤φ＜π，∴φ＝ 6 .
BS ·数学
必修4
y＝Asin(ωx＋φ)的图像及性质的应用
(教材第 54 页 A 组第 1(1)题) 1 为了得到函数 y＝cos(x－ )的图像，只需将余弦函数图像 3 上各点( ) π A．向左平移 3个单位长度 π B．向右平移个单位长度 3 1 C．向左平移3个单位长度 1 D．向右平移个单位长度 3
5π 【答案】 6
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2 ． (2013·四川高考 ) 函数
f(x) ＝ 2sin(ωx ＋ ω， φ 的值分别是 ( )
π π φ)ω>0，－ <φ< 的部分图象如图所示，则 2 2
π A．2，－ 3 π C．4，－ 6
π B．2，－ 6 π D．4， 3
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模块高考热点透视
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第一章三角函数
【命题趋势】 1. 三角函数的概念和基本公式是函数部分重要的概念和基础知识，是每年高考必考的内容，考查的内容是任意角的三角函数和基本公式的灵活运用，主要题型是选择题和填空题，试题难度属中低档题．

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2．三角函数的图像与性质主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及图像的平移伸缩变换等，在高考中的难度仍以容易题、中档题为主，题目的难度保持稳定并略显下降趋势，估计这种情况会继续保持下去；函数 y＝Asin(ωx ＋φ)的图像与性质在高考中出现的频率比较高，主要考查难化成形如 y＝A sin(ωx＋φ)函数的图像及性质，仍以容易题、中档题为主.

人教A版高中数学必修四课件：模块复习课1 任意角的三角函数及诱导公式

(1)由于角的概念的推广，有些术语的含义也发生了变化.如小于90°
的角可能是零角、锐角或负角.
(2)注意象限角、锐角、钝角等概念的区别和联系.如锐角是第一象限
角，但第一象限角不一定是锐角.
2.确定角所在象限的关注点
由三角函数值符号确定角α 的象限时，不要忽视α 的终边可能落在坐
标轴上，如sinα <0时，α 终边在第三、四象限或y轴负半轴上系】
【核心速填】 1.与角α 终边相同的角的集合为
k 360，k Z . S ________________
2.角度制与弧度制的换算
2

2

180
180
3.弧度制下扇形的弧长和面积公式 (1)弧长公式：l=______. |α|r
2
的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用.
(2)熟悉应用口诀解题，一方面注意函数名称，另一方面注意符号的
变化.
类型一
象限角及终边相同的角 )
【典例1】1.(2015·六安高一检测)已知α 是锐角，那么2α 是(
A.第一象限角
C.小于180°的正角
B.第二象限角
D.第一或第二象限角
2.已知α =1690°，
2 ______， cos( ) sinα 2 ⑥ sin( ) ______ cosα ， 2 -sinα cos( ) _______. 2
(2)记忆口诀：奇___ 变偶_____ 不变，符号看_____. 象限
【易错提醒】 1.关注角的概念的推广
cos() ______ cosα ，
tan() _______ -tanα ，
④ sin( ) ______ sinα ，

高中数学必修4复习教案

高中数学必修4复习教案
第一部分：向量与空间解析几何
1. 向量的概念与运算
- 向量的定义：大小和方向确定的量
- 向量的运算：加法、减法、数乘、数量积、向量积
2. 向量的数量积
- 定义：两个向量的数量积等于两个向量的模的乘积与夹角的余弦值的乘积- 性质：交换律、分配律、数量积为零的条件
3. 向量的向量积
- 定义：两个向量的向量积是一个垂直于这两个向量构成的平面的向量
- 性质：满足右手定则、交换律、分配律等
4. 空间直线和平面
- 空间直线的方程：点向式、对称式、参数式等
- 空间平面的方程：点法式、一般式等
第二部分：概率与统计
1. 概率的基本概念
- 概率的定义：某一事件发生的可能性大小
- 概率的性质：介于0和1之间、互斥事件、独立事件等
2. 随机事件与概率
- 随机事件的分类：必然事件、不可能事件、对立事件等
- 求概率的方法：古典概型、几何概型、统计概型等
3. 统计的基本概念
- 统计的定义：收集、整理、分析和解释数据的方法
- 数据的统计特征：均值、中位数、众数等
4. 统计图的作画
- 直方图、饼图、散点图等的绘制方法
- 图形的解读：分布情况、相关性等
以上是高中数学必修4的复习教案范本，希望对你的复习有所帮助。

祝学习顺利！。

高中数学必修四专题复习第一讲：三角函数的基本概念、同角三角函数基本关系及诱导公式

高一下学期专题复习第一讲：三角函数及同角三角函数关系【知识要点一】任意角及弧度制1．角的定义：__________________________________________________________ 角的三要素：__________、___________、____________. 2.角的分类：正角：按__________方向旋转所形成的角；负角：按__________方向旋转所形成的角；零角：按__________方向旋转所形成的角； 3.终边相同的角的表示方式：与a 终边相同的角的集合为：__________________________________; 终边与x 轴正半轴重合的角的集合为：__________________________________; 终边与x 轴负半轴重合的角的集合为：__________________________________; 终边与y 轴正半轴重合的角的集合为：__________________________________; 终边与y 轴负半轴重合的角的集合为：__________________________________; 终边落在x 轴上的角的集合为：_______________________________________; 终边落在y 轴上的角的集合为：_______________________________________;终边落在坐标轴上的角的集合为：_______________________________________; 4.区域角的含义及表示方式：终边落在第一象限内的角的集合：________________________________________; 终边落在第二象限内的角的集合：________________________________________; 终边落在第三象限内的角的集合：________________________________________; 终边落在第四象限内的角的集合：________________________________________;例1 如果a 为第一象限角，那么○1sin 2a ，○2cos 2a ，○3sin 2a ，○4cos 2a 中必定为正值的是______; 例2 若4sin 25q =，且sin 0q <，则q 为第______象限角.5.弧度制的定义及单位互化：○11弧度的定义：____________________________________________________________________; ○200360___1___1________()rad rad rad =Û=Û=»度; ○3扇形的面积与弧长公式： _________;=__________________;l S ====扇例3 已知扇形的圆心角是a ，所在圆的半径是R ，则：（1）若060,10,R cm a ==求扇形的弧长及该狐所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为一定值(0)C C >，当a 为多少弧度时，该扇形有最大面积？思考：若扇形的面积为定值S ，则当扇形的圆心角为____时，扇形的周长最小，为______.【知识要点二】任意角的三角函数 1.三角函数的定义：第一定义：_________________________________________________ ________________________________________________________; 第二定义（单位圆定义法）：_________________________________ __________________________________________________________ 2.诱导公式一：○1_______________________; ○2_____________________; ○3________________________; 诱导公式一用一句话概括为：____________________________________________________________; 例4 （1）不等式sin 2x ³的解集为____________; （2）不等式1cos 2x ³-的解集为____________; (3) 函数2()lg(34sin )f x x =-的定义域为____________________________________;(4)函数()lg(2cos f x x =+的定义域为____________________________________; 例5 （2014.全国）已知角a 的终边上一点00(sin 60,sin 30)P ，则锐角a =_________【知识要点三】同角三角函数的基本关系及诱导公式： 1.同角三角函数基本关系式：○1 平方关系：__________________; ○2商数关系：_________________________ 2.角的对称性：○1a 的终边与p a +的终边关于_____对称； ○2a 的终边与p a -的终边关于_____对称； ○3a 的终边与a -的终边关于_____对称； ○4a 的终边与2p a -的终边关于_____对称【典例赏析】题型一：诱导公式的应用例6 化简：（1）11sin(2)cos()cos()cos()229cos()sin(3)sin()sin()2p p a p a a p a p a p a p a p a -++-----+ ；（2）sin()cos()()sin[(1)]cos[(1)]k k k Z k k p a p a p a p a -+Î+++-练习1 已知a 是第三象限角，且sin()cos(2)tan()()tan()sin()f p a p a a p a a p p a --+=----，（1）若31cos()25a p -=，求()f a 的值；（2）若01860a =-，求()f a 的值.题型二：同角三角函数的基本关系例7 （1）已知5cos 13a =，求sin ,tan a a . (2) 已知5tan 12a =，求sin .a题型三：考查sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-之间的关系例8 已知x 为ABC D 的内角，1sin cos 5x x +=，试求：（1）tan x ；（2）sin cos x x -；（3）33sin cos x x +.练习2 已知sin ,cos q q 是关于x 的方程20x ax a -+=的两个根，求：（1）33sin cos q q +；（2）1tan tan q q+题型四：齐次式下弦切互化例9 已知sin 2cos 0a a -=，求下列各式的值：（1）2sin 3cos 4sin 9cos a aa a--；（2）224sin 3sin cos 5cos a a a a --；（3）2sin 1a +【提升训练】1．若600°角的终边上有一点P (－4，a )，则a 的值为( )A ．43B ．－43C ．±4 3 D. 3 2．sin 2·cos 3·tan 4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在3．在△ABC 中，若sin A ·cos B ·tan C <0，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 4．已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为_______. 5．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________． 6．扇形的中心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．7．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α等于_____. 8．已知f (cos x )＝cos2x ，则f (sin15°)=_______. 9.1＋2sin (π－3)cos (π＋3)化简的结果是_____________; 10．已知sin θ＝55，则sin 4θ－cos 4θ的值为_______．11．已知α是第四象限角，tan(π－α)＝512，则sin α等于______． 12．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2α＋1tan 2α＝________. 13．化简sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α的结果是________．14．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，则2sin αcos α－cos α＋11－tan α=_________．15．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α=______; 16 .1－2sin10°·cos10°sin10°－1－sin 210°＝________.17．已知cos(5π12＋α)＝13，且－π<α<－π2，则cos(π12－α)＝________.18．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则cos(α－π6)=_______________。

高中数学必修四总复习测试题

高中数学必修四总复习测试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)1.化简sin()2απ+等于（）. A.cos α B.sin α C.cos α- D.sin α-2.已知M 是ABC ∆的BC 边上的一个三等分点，且BM MC <，若AB = a ，AC =b ，则AM 等于（）.A.1()3-a bB.1()3+a bC.1(2)3+b aD.1(2)3+a b3.已知3tan =α，则αααα22cos 9cos sin 4sin 2-+的值为（）. A.3 B.1021 C.31 D.301 4.化简=--+（）. A. B.0 C. D. 5.函数x x y 2cos 2sin =是（）. A.周期为4π的奇函数 B.周期为2π的奇函数 C.周期为2π的偶函数 D.周期为4π的偶函数 6.已知)7,2(-M ，)2,10(-N ，点P 是线段MN 上的点，且−→−PN −→−-=PM 2，则P 点的坐标为（）. A.)16,14(- B.)11,22(- C.)1,6( D.)4,2( 7.已知函数sin()y A x B ωφ=++(0,0,||2A ωφπ>><)的周期为T ，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（）. A.3,2A T ==π B.2,1=-=ωBC.4,6T φπ=π=-D.3,6A φπ== 8.将函数sin()3y x =-π的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移3π个单位，则所得函数图像对应的解析式为（）. A.1sin(26y x =-π B.1sin()23y x =-π C.1sin 2y x = D.sin(2)6y x =-π9.若平面四边形ABCD 满足0,()0AB CD AB AD AC +=-⋅=，则该四边形一定是（）.A.直角梯形B.矩形C.菱形D.正方形10.函数()sin 2cos2f x x x =-的最小正周期是（）.A.π2B.πC.2πD.4π11.设单位向量1e ，2e 的夹角为︒60，则向量1234e e +与向量1e 的夹角的余弦值是（）. A.43 B.375 C.3725 D.375 12.定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021，已知αβ+=π，2αβπ-=，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin （）. A.00⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.01⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.10⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.11⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上.) 13.︒75sin 的值为．14.已知向量(2,4)=a ，(1,1)=b ，若向量()⊥+λb a b ，则实数λ的值是.15.︒︒︒80cos 40cos 20cos 的值为_____________________________． 16.在下列四个命题中：①函数tan()4y x π=+的定义域是{,}4x x k k π≠+π∈Z ； ②已知1sin 2α=，且[0,2]α∈π，则α的取值集合是{}6π；③函数x a x x f 2cos 2sin )(+=的图象关于直线8x π=-对称，则a 的值等于1-；④函数2cos sin y x x =+的最小值为1-.把你认为正确的命题的序号都填在横线上____________________.三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.) 17.（本小题满分10分）已知4cos()45x π+=，(,)24x ππ∈--，求xxx tan 1sin 22sin 2+-的值.18.（本小题满分12分）已知函数()sin sin()2f x x x π=++，x ∈R . （1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 的的最大值和最小值；（3）若43)(=αf ，求α2sin 的值.19.（本小题满分12分）（1）已知函数1()sin()24f x x π=+，求函数在区间[2,2]-ππ上的单调增区间；（2）计算：)120tan 3(10cos 70tan -︒︒︒.20.（本小题满分13分）已知函数()sin()f x x ωφ=+（0>ω，0φ≤≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π．（1）求)(x f 的解析式；（2）若(,)32αππ∈-，1()33f απ+=，求5sin(2)3απ+的值．21.（本小题满分13分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中)2,1(=a .（1）若||=c ，且//c a ，求c 的坐标；（2）若||=b ，且2+a b 与2-a b 垂直，求a 与b 的夹角θ.22.（本小题满分14分）已知向量33(cos ,sin )22x x =a ，(cos ,sin )22x x =-b ，且[0,]2x π∈，()2||f x =⋅-λ+a b a b （λ为常数），求：（1）⋅a b 及||+a b ；（2）若)(x f 的最小值是23-，求实数λ的值.参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)1.A 由诱导公式易得A 正确.2.C BC =- b a ,11()33BM BC ==- b a ,11()(2)33AM AB BM =+=+-=+ a b a b a .3.B αααααααααα222222cos sin cos 9cos sin 4sin 2cos 9cos sin 4sin 2+-+=-+10211tan 9tan 4tan 222=+-+=ααα. 4.B )()(=-=+-+=--+. 5.B x x x y 4sin 212cos 2sin ==，故是周期为2π的奇函数. 6.D 设),(y x P ，则)2,10(y x ---=，)7,2(y x ---=， −→−PN ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧--=-----=-⇒-=−→−.4,2),7(22),2(2102y x y y x x PM 7.C ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+-=+,1,3,4,2B A B A B A ππππ42)32(342=⇒=--=T T ，21422===πππωT ，623421πϕπϕπ-=⇒=+⨯. 8.A sin()sin()sin[(]sin(3336111))2232y x y y x x x πππππ=-→=→==-+--.9.C 0AB CD AB CD +=⇒=-⇒四边形ABCD 为平行四边形，()0AB AD AC DB AC DB AC -⋅=⋅=⇒⊥，对角线互相垂直的平行四边形为菱形.10.B ()sin 2cos 2)4f x x x x π=-=-，ππ==22T .11.D 1||1=e ，1||2=e ，2160cos ||||2121=︒⋅=⋅e e e e ，543)43(2121121=⋅+=⋅+e e e e e e ，37|43|21===+e e ，375|||43|cos 121121=⋅+=e e e θ.12.A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡002cos sin )cos()sin(sin sin cos cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin ππβαβαβαβαβαβαββαααα.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上.) 13.426+ ︒︒+︒︒=︒+︒=︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(75sin 42621222322+=⨯+⨯=. 14.3- 30)4(2)4,2()1,1()()(-=⇒=+++=++⋅=+⋅⇒+⊥λλλλλλλ. 15.818120sin 8160sin 20sin 880cos 40cos 20cos 20sin 880cos 40cos 20cos =︒︒=︒︒︒︒︒=︒︒︒. 16.①③④ )(424Z k k x k x ∈+≠⇒+≠+πππππ，故①正确；1sin 2α=，且[0,2]6παπα∈⇒=或65πα=，故②不正确；函数)(x f 的图象关于直线8π-=x 对称1)4()0(-=⇒-=⇒a f f π，故③正确；22215cos sin 1sin sin (sin )24y x x x x x =+=-+=--+，451≤≤-y ，故④正确. 三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.) 17.解：∵)4,2(ππ--∈x ， ∴)0,4(4ππ-∈+x ，∵54)4cos(=+x π， ∴53)4sin(-=+x π，4sin)4cos(4cos)4sin(]4)4sin[(sin ππππππx x x x +-+=-+=102722542253-=⋅-⋅-=， ∴102cos =x ， ∴7528sin cos )sin (cos cos sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 22=+-=+-=+-x x x x x x xx x x x x x x .18.解：)4sin(2cos sin )2sin(sin )(ππ+=+=++=x x x x x x f ，（1）)(x f 的最小正周期为ππ212==T ；（2）)(x f 的最大值为2和最小值2-；（3）因为43)(=αf ，即167cos sin 2169)cos (sin 43cos sin 2-=⇒=+⇒=+αααααα，即1672sin -=α. 19.解：（1）由πππππk x k 2242122+≤+≤+-（Z k ∈）得ππππk x k 42423+≤≤+-（Z k ∈），当0=k 时，得223ππ≤≤-x ， ]2,2[]2,23[ππππ-⊂-，且仅当0=k 时符合题意，∴函数)421sin()(π+=x x f 在区间]2,2[ππ-上的单调增区间是]2,23[ππ-. （2）︒︒-︒⋅︒⋅︒︒=-︒︒︒20cos 20cos 20sin 310cos 70cos 70sin )120tan 3(10cos 70tan ︒︒⋅︒︒-=︒︒-⋅︒⋅︒︒=20cos 20sin 70cos 70sin 20cos 10sin 210cos 70cos 70sin120cos 20sin 20sin 20cos -=︒︒⋅︒︒-=. 20.解：（1）∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为π2，∴π2=T ，则12==Tπω， ∴)sin()(ϕ+=x x f ，∵)(x f 是偶函数， ∴)(2Z k k ∈+=ππϕ，又πϕ≤≤0， ∴2πϕ=，则x x f cos )(=．（2）由已知得31)3cos(=+πα， ∵)2,3(ππα-∈， ∴)65,0(3ππα∈+，则322)3sin(=+πα， ∴924)3cos()3sin(2)322sin()352sin(-=++-=+-=+παπαπαπα. 21.解：（1）设),(y x c =， ∵a c //，)2,1(=a ， ∴02=-y x ， ∴x y 2=，∵52||=， ∴5222=+y x ， ∴2022=+y x ，即20422=+x x ，∴⎩⎨⎧==,4,2y x 或⎩⎨⎧-=-=,4,2y x∴)4,2(=或)4,2(--=（2）∵⊥+2-2， ∴)2(+0)2(=-⋅，∴023222=-⋅+b b a a ，即0||23||222=-⋅+b b a a ，又∵5||2=，45)25(||22==， ∴0452352=⨯-⋅+⨯b a ， ∴25-=⋅b a ， ∵5||=a ，25||=b ， ∴125525||||cos -=⋅-=⋅=b a θ，∵],0[πθ∈， ∴πθ=. 22.解：（1）x xx x x 2cos 2sin 23sin 2cos 23cos=-=⋅， x x xx x x 222cos 22cos 22)2sin 23(sin )2cos 23(cos||=+=-++=+， ∵]2,0[π∈x ， ∴0cos ≥x ， x cos 2||=+.（2）2221)(cos 2cos 42cos )(λλλ---=-=x x x x f ，∵]2,0[π∈x ， ∴1cos 0≤≤x ，①当0<λ时，当且仅当0cos =x 时，)(x f 取得最小值1-，这与已知矛盾；②当10≤≤λ，当且仅当λ=x cos 时，)(x f 取得最小值221λ--，由已知得23212-=--λ，解得21=λ； ③当1>λ时，当且仅当1cos =x 时，)(x f 取得最小值λ41-，由已知得2341-=-λ，解得85=λ，这与1>λ相矛盾. 综上所述，21=λ为所求.。

高中数学必修四复习

高中数学必修四复习随着高考备战的来临，高中数学必修四也成为学生备考的重点之一。

高中数学必修四包括了函数、导数与微分、极限、不等式、数列与数学归纳法、平面向量、立体几何等内容。

本文将对高中数学必修四进行全面的复习和总结，帮助学生在备考中更好地掌握重点知识点和解决难点。

一、函数函数作为高中数学必修四中的重要内容之一，是高考数学的重点考察内容。

在复习函数的过程中，我们需要掌握函数的定义、基本性质、函数图像的绘制以及函数的分类讨论等方面的知识。

函数的定义是指将自变量与函数值建立一种对应关系，而这种对应关系需要满足唯一性和存在性。

在学习函数时，需要了解函数的值域、定义域、奇偶性、单调性、周期性等关键涉及内容。

而函数的图像绘制则是我们复习函数的重点之一，它可以用来描绘函数的特征和重要性。

在这一过程中，我们需要对函数的凹凸性、极值、拐点等相关知识点进行认真的学习和理解。

二、导数与微分导数与微分是高中数学必修四中最重要的部分之一。

它们的理解是高考中取得高分的关键之一，同时也是许多科技领域的基础。

在这一阶段中，我们需要掌握导数和微分的定义和性质、基本求导公式、几何意义以及相关应用等方面的知识。

导数和微分的定义和性质包括了单侧导数、导数的四则运算、复合函数的求导公式、高阶导数等方面的内容。

在学习导数时，我们需要注重理解导数在几何上的意义，将其转化为变化量的概念，以便更好地应用到实际问题中。

三、极限极限是高中数学必修四中比较难理解的部分之一，这需要我们认真学习，理解。

极限的理解是数学学习中非常重要的，而其中的概念、定义和性质会涉及到数列、函数等不同领域的知识，因此我们需要在学习极限时对其内涵和基本思想进行认真的理解和掌握。

极限中的重点和难点之一是极限的性质和基本定理，例如极限的唯一性、极限的保真性、极限的夹逼定理、函数连续性等方面的内容。

在学习极限时，我们需要重点掌握一些常见的极限公式，并了解在实际问题中如何应用这些公式。

人教版高中数学必修四知识点总结复习课件

0
不存在
cos,sec tan, cot
y, r
x, r
y, x
一、任意角的三角函数定义
sin y , cos x , tan y
r
r
x
csc r ,sec r , cot x
y
x
y
y P(x,y) 的终边 ● r
o
x
r x2 y2
三角函数值的符号：“第一象限全为正，二正三切四余弦”
sin cos 1 若为其它象限角呢？
例7 求函数 y cos x tan x的定义域.

x

2k
2
x 2k ,
k

Z

4.三角函数的符号
sin
1y
0+ +
_o _
cos
tan
不存在
0
x
_0
-1
_o
y
+
1x
_
0
+o
y
+
0x
_
+
-1
sin, csc
解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓。
60 , R 10,l 10 (cm)
S弓

S扇

S

1 2
10 3

3
10
1 2
102
sin
60
35（0
3

3 ）（cm2 ) 2
（2）扇形周长C=2R+l=2R+ R
11

s lr (c 2r)r

高中数学必修四第二章向量的知识点重点复习2

向量的知识点复习一、【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。

记作或2.向量的模：向量的大小或长度，记作或。

3.单位向量：长度等于１个单位长度的向量。

4.零向量：长度为０的向量。

记作0⃗ ，0⃗ 的方向是任意的，且与任何向量平行。

5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

6.相等向量：长度相等且方向相同的向量。

7.相反向量：我们把与向量长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量。

记作-。

8.向量的加法：求两个向量和的运算。

AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗9.向量的减法：求两个向量差的运算。

AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗10.三角形法则、平行四边形法则。

11.实数与向量的积：记作λ，并规定：（1）λ的长度|λλ|·；当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，λ=（2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μ)=(λμ) ②(λ+μ) =λ+μ③λ(+)=λ+λ 12.向量共线的充分条件：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ。

（用表示出）另外，设=（x 1 1）, = (x 22)，则1y 2－x 2y 1=013.平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2使＝λ1＋λ2 ，其中不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

14.平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为θ，则数量θ叫做与的数量积或内积)，记作·，即·＝θAB a AB aa a a a a a a a a a a a 0 a a a a a ab ab b a b a a b a b a b 1e 2e a a 1e 2e 1e 2ea b a b a b a b a b a b规定：零向量与任一向量的数量积是0。

新教材人教B版高中数学选择性必修第四册课时练习-模块综合测评

模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，则i1＋i的虚部是( ) A ．12i B ．－12i C ．12 D ．－12 C [i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.]2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c ＝4，a ＝42，A ＝45°，则sin C 等于( )A ．12B ．22C ．14D ．24A [由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝4×2242＝12.]3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列选项不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥β C ．AB ∥βD ．AC ⊥mB [∵m ∥α，m ∥β，α∩β＝l ，∴m ∥l ，又AB ∥l ，∴AB ∥m ，则A 一定成立．∵AC ⊥l ，m ∥l ，∴AC ⊥m ，则D 一定成立．∵AB ∥l ，AB ⊄β，l ⊂β，∴AB ∥β，则C 一定成立．若C ∉α且AC ⊥α，∵l ⊂α，∴AC ⊥l ，∵平面α⊥平面β，∴AC ∥β，则B 不一定成立．故选B ．]4．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10πB [因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.]5．复数i1－i的共轭复数为( ) A ．－12＋12i B ．12＋12i C ．12－12i D ．－12－12iD [因为i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i 2＝－12＋12i ，所以其共轭复数为－12－12i.故选D ．]6．在△ABC 中，若lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2，且B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则△ABC的形状是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形C [∵lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2，∴a c ＝sin B ，sin B ＝22.∵B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B ＝π4，∴a c ＝sin A sin C ＝22，∴sin C ＝2sin A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－C ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos C ＋22sin C ，∴cos C ＝0.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π2，∴A ＝π－B －C ＝π4，∴△ABC 是等腰直角三角形．故选C ．]7．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 上任意一点，则一定有( )A ．PC 1与AA 1异面B ．PC 1与A 1A 垂直 C ．PC 1与平面AB 1D 1相交D ．PC 1与平面AB 1D 1平行 D [连接BC 1和DC 1(图略)，因为BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1，所以平面AB 1D 1∥平面C 1BD ，而PC 1⊂平面C 1BD ，所以PC 1∥平面AB 1D 1.选D ．]8．已知三棱锥P -ABC 的各棱长均相等，O 是△ABC 的中心，D 是PC 的中点，则直线PO 与直线BD 所成角的余弦值为( )A ．23B ．73C ．12D ．13A [设底面边长为a ，连接CO 并延长交AB 于F ，过点D 作DE ∥PO 交CF 于点E ，连接BE ，则∠BDE 即PO 与BD 所成角，因为PO ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，所以△BDE 是直角三角形，设三棱锥P -ABC 的各棱长均为a ，则， BD ＝CF ＝32a ，CO ＝23BD ＝33a ，所以PO ＝a 2－13a 2＝63a ，因为点D 为侧棱PC 的中点，所以DE ＝12PO ＝66a ，所以cos ∠BDE ＝DE BD ＝66a32a＝23，则直线PO 与直线BD 所成角的余弦值为23.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是( )A ．若ab ＞c 2，则C ＜π3 B ．若a ＋b ＞2c ，则C ＜π3 C ．若(a ＋b )c ＜2ab ，则C ＞π2 D ．若(a 2＋b 2)c 2＜2a 2b 2，则C ＞π2AB [对于A ，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞2ab －ab 2ab ＝12，因为C 为三角形的内角，所以C ＜π3，故A 正确；对于B ，因为a ＋b ＞2c ，所以(a ＋b )2＞4c 2，c 2＜(a ＋b )24，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞a 2＋b 2－(a ＋b )242ab＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，因为C 为三角形的内角，所以C ＜π3，故B 正确；对于C ，取a ＝b ＝2，c ＝1，满足(a ＋b )c ＜2ab ，因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝78＞0，所以C ＜π2，故C 错误；对于D ，取a ＝b ＝2，c ＝1，满足(a 2＋b 2)c 2＜2a 2b 2，因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝34＞0，所以C ＜π2，故D 错误．故选AB ．]10．下列各式的运算结果不是纯虚数的是( ) A ．i·(1＋i)2 B ．i 2·(1－i) C ．(1＋i)2D ．i·(1＋i)ABD [A 项，i(1＋i)2＝i(1＋2i ＋i 2)＝i ×2i ＝－2，不是纯虚数． B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数． C 项，(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，是纯虚数． D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数．]11．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，l⊥β，则l∥αB．若l⊥α，l∥β，则α⊥βC．若l上有两个点到α的距离相等，则l∥αD．若α⊥β，α∥γ，则β⊥γBD[对于A，由α⊥β，l⊥β，得l⊂α或l∥α，故A错误；对于B，过直线l作第三个平面与平面β相交于直线m，根据线面平行的性质，知m∥l，又l⊥α，则m⊥α，又m⊂β，所以α⊥β，故B正确；对于C，l还可能与α相交，故C错误；对于D，在平面α内作与α和β的交线垂直的直线m，根据面面垂直的性质，得m⊥β，再过直线m作平面δ，并与平面γ相交于直线n，根据面面平行的性质，知m∥n，所以n⊥β，又n⊂γ，所以γ⊥β，故D正确．]12．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“≻”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，a2，b1，b2∈R)，当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”时，z1≻z2.按上述定义的关系“≻”，下列命题为真命题的是()A．若z1≻z2，则|z1|＞|z2|B．若z1≻z2，z2≻z3，则z1≻z3C．若z1≻z2，则对于任意z∈C，z1＋z≻z2＋zD．对于复数z≻0，若z1≻z2，则zz1≻zz2BC[对于复数z1＝2＋i，z2＝1－3i，显然满足z1≻z2，但|z1|＝5，|z2|＝10，不满足|z1|＞|z2|，故A为假命题；设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R)，由z1≻z2，z2≻z3可得“a1＞a3”或“a1＝a3且b1＞b3”，即z1≻z3，故B为真命题；设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z＝a＋b i(a1，a2，a，b1，b2，b∈R)，由z1≻z2可得“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”，显然有“a1＋a＞a2＋a”或“a1＋a ＝a2＋a且b1＋b＞b2＋b”，从而z1＋z≻z2＋z，故C为真命题；对于复数z1＝2＋i，z2＝1－3i，显然满足z1≻z2，令z＝1＋i，则zz1＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，zz2＝(1＋i)(1－3i)＝4－2i，显然不满足zz1≻zz2，故D为假命题．故选BC．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)13．已知实数a，b满足a＋b i＝i2 019(i为虚数单位)，则a＋b的值为_______．－1 [由i 1＝i ，i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，所以a ＋b i ＝i 2 019＝(i 4)504·i 3＝－i ，得a ＝0，b ＝－1.∴a ＋b ＝－1.]14．已知在△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，则BDCD 的值为________．6 [在△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，由余弦定理得cos 60°＝AB 2＋42－(27)22AB ·4＝12，解得AB ＝6或－2(舍去)．因为Rt △ADB 与Rt △ADC 有公共边AD ，所以62－BD 2＝42－(27－BD )2，解得BD ＝1277，所以CD ＝277，所以BDCD＝6.]15．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．(本题第一空2分，第二空3分)图1 图2262－1 [依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体由18个正方形和8个正三角形围成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x ，则22x ＋x ＋22x ＝1，解得x ＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1.]16．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)．若复数z ＝a ＋b i ，z －为z 的共轭复数，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z －的最小值为________．322 [由题意可得z *z －＝|a ＋b i|＋|a －b i|2＝a 2＋b 2＋a 2＋(－b )22＝a 2＋b 2.∵正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，∴b ＝3－a ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(3－a )2＝2a 2－6a ＋9＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋92，∴当a ＝32时，z *z －取得最小值，为322.] 四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．[解] z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝(3－i )(2－i )5＝5－5i5＝1－i. 因为z 2＋az ＋b ＝(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝－2i ＋a －a i ＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ，所以⎩⎨⎧ a ＋b ＝1，－(2＋a )＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.18．(本小题满分12分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P -ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE .(1)证明：DE ⊥平面PBC ．试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由．(2)记阳马P -ABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．[解] (1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ．由底面ABCD 为长方形，得BC ⊥CD ．而PD ∩CD ＝D ，所以BC ⊥平面PCD ．又DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE .因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC ．而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC ．由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD ，∠BCE ，∠DEC ，∠DEB ．(2)由已知，PD 是阳马P -ABCD 的高，所以V 1＝13S 长方形ABCD ·PD ＝13BC ·CD ·PD ．由(1)知，DE 是鳖臑D -BCE 的高，BC ⊥CE ，所以V 2＝13S △BCE ·DE ＝16BC ·CE ·DE .在Rt △PDC 中，因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ＝CE ＝22CD ，于是V 1V 2＝13BC ·CD ·PD16BC ·CE ·DE ＝2CD ·PDCE ·DE ＝4. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知c ＝2，∠C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积． [解] (1)由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝4. 因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4. 联立方程⎩⎨⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.(2)由正弦定理，已知条件可化为b ＝2a . 联立方程⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.20．(本题小题满分12分)在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点．(1)求证：AB ∥平面DEG ； (2)求证：BD ⊥EG ；(3)求多面体ADBEG 的体积．[解] (1)证明：∵AD ∥EF ，EF ∥BC ，∴AD ∥BC ．又∵BC ＝2AD ，G 是BC 的中点，∴AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴AB ∥DG .∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴AB ∥平面DEG . (2)证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF ⊥AE . 又AE ⊥EB ，EB ∩EF ＝E ，EB ，EF ⊂平面BCFE ， ∴AE ⊥平面BCFE .过D 作DH ∥AE 交EF 于H ，连接BH ，EG ，则DH ⊥平面BCFE .∵EG ⊂平面BCFE ，∴DH ⊥EG .∵AD ∥EH ，DH ∥AE ，∴四边形AEHD 为平行四边形，∴EH ＝AD ＝2， ∴EH ＝BG ＝2，又EH ∥BG ，EH ⊥BE ，BE ＝2， ∴四边形BGHE 为正方形，∴BH ⊥EG ，又BH ∩DH ＝H ，BH ⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ，∴EG ⊥平面BHD ．∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG.(3)∵EF⊥平面AEB，AD∥EF，∴AD⊥平面AEB，由(2)知四边形BGHE为正方形，∴BE⊥BC．∴V ADBEG＝V D﹣AEB＋V D﹣BEG＝13S△ABE·AD＋13S△BEG·AE＝43＋43＝83.21．(本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时30 2 n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 2 n mile.问乙船每小时航行多少海里．[解]如图所示，连接A1B2.因为A2B2＝102，A1A2＝302×2060＝102，所以A1A2＝A2B2.又因为∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，所以△A1A2B2是等边三角形．所以A1B2＝A1A2＝10 2.又因为A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理，得B1B22＝A1B21＋A1B22－2A1B1·A1B2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×2 2＝200.所以B1B2＝10 2.所以乙船的速度为1022060＝302(n mile/h)．即乙船每小时航行30 2 n mile.22．(本小题满分12分)如图，三棱锥P-ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC ＝PC＝1，AC＝2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．(1)证明：平面GFE∥平面PCB；(2)求二面角B-AP-C的正切值；(3)求直线PF与平面P AB所成角的正弦值．[解](1)证明：因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，所以EF∥BC，GF∥CP.因为EF⊄平面PCB，GF⊄平面PCB，所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB．又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB．(2)如图，过点C作CH⊥P A，垂足为H，连接HB．因为BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC＝C，所以BC⊥平面P AC，所以BC⊥P A．又P A⊥CH，CH∩BC＝C，所以P A⊥平面BCH，所以HB⊥P A，所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角，依条件容易求出CH＝25，所以tan∠BHC＝125＝52，所以二面角B-AP-C的正切值是5 2.(3)如图，设PB的中点为K，连接KC，AK.因为△PCB为等腰直角三角形，所以KC⊥PB．又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC＝C，所以AC⊥平面PCB，所以AC⊥PB．又PB⊥KC，AC∩KC＝C，所以PB⊥平面AKC．又PB⊂平面P AB，所以平面AKC⊥平面P AB．在平面AKC内，过点F作FM⊥AK，垂足为M.因为平面AKC⊥平面P AB，所以FM⊥平面P AB．连接PM，则∠MPF是直线PF与平面P AB所成的角．易得PF＝2，FM＝13，所以sin∠MPF＝132＝26，即直线PF与平面P AB所成角的正弦值是2 6.。

【北师大版】高中数学必修四全册学案(全册共340页附答案)

【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象．答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色．解析周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色．答案红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间．答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________．解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一．答案一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)．答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }，所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析－20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．答案 C【探究2】写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可．所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．【探究4】已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________．答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案－252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件．故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确．答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数．答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________．解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上．答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限．解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限．答案一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度．【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________．答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一角度与弧度的互化【例1】将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．【训练1】将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．解设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析－23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错．答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________．答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。

高中数学必修一和必修四知识点复习及其答案

1 函数具有奇偶性前提条件是其定义域关于原点对称； 2 f ( x) 是偶函数 f ( x) 的图象关于 y 轴对称；
f ( x) 是奇函数 f ( x) 的图象关于原点对称；
2. 奇偶函数的性质：
3 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，
偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.
logad
.
图
象
指数函数y=ax (a>0,a≠1) y y=ax y=ax (0<a<1) (a>1) 1 x o
对数函数y=log a x (a>0, a≠1) y=logax y (a>1) x 1 o y=logax (0<a<1)
(1)定义域： R
(1)定义域： (0,+∞)
(2)值域： (0,+∞)
必修一知识再现
集合的概念
1. 集合、子集、空集的概念；两个集合相等的概念. 2. 集合中元素的 3 个性质，集合的 3 种表示方法； 3. 若有限集 A 有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，真子集
有 2 1，非空子集有 2 1 个，非空真子集有 2 2 个．
n n n
4. 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集 . 5. 若 A B，B C ，则 A C 6. A A B, A B A, A B A B.
D2 上：
奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，
如果函数 f x 对区间 D 内的任意 x1 , x 2 ，当 x1 x 2 时都都有 f x1 f x2 ，则 f x 在 D 内时减函数。
1. 函数单调性的定义：

2017-高中数学必修4期末考试

2017-高中数学必修4期末考试2017年高一数学必修4模块期末考试一、选择题1.若向量OO=（-5，4），OO=（7，9），则与向量OO同向的单位向量坐标是（）A.（−13，−13）B.（13，13）C.（−13，13）D.（13，−13）2.下列各式中值等于125的是（）A。

5^3 B。

25^2/5 C。

3^5 D。

125^1/33.已知O(O)=OOOO+3OOOO(O∈O)，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A。

2 B。

3 C。

4 D。

64.在四边形ABCD中，则四边形ABCD OO=O+2O，OO=−4O−O，OO=−5O−3O，的形状是（）A。

长方形 B。

平行四边形 C。

菱形 D。

梯形5.如图所示，在△ABC中，AD=DB，F在线段CD上，设OO=O，OO=O，则O+O的最小值为（）A。

6+2√2 B。

9/4 C。

9 D。

6+4√26.在△ABC中，OO=O，OO=O．若点D满足OO=(O+3O)/3=2OOOO，则O的坐标为（）A。

(2b/3.c/3) B。

(b/3.2c/3) C。

(2c/3.b/3) D。

(c/3.2b/3)7.在△ABC中，tanAsin2B=tanBsin2A，则△ABC一定是（）三角形．A。

锐角 B。

直角 C。

等腰 D。

等腰或直角8.将函数f（x）=cos2ωx的图象向右平移4π个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[−4，6]上为减函数，则正实数ω的最大值为（）A。

2 B。

1 C。

2/π D。

39.cos555°的值为（）A。

6+2√13/2 B。

2-6√13/2 C。

6-2√13/2 D。

-6+2√13/210.满足条件a=4，b=5，A=45°的△ABC的个数是（）A。

1 B。

2 C。

无数个 D。

不存在11.已知角α是第四象限角，角α的终边经过点P（4，y），且sinα=5/13，则tanα的值是（）A。

山东省高中数学《第一章三角函数》归纳整合课件新人教A版必修4

轴对称图形，对轴对称图形，对称轴方称轴方程是 x＝中心对称图 π kπ，k∈Z；中心形，对称中程是 x＝kπ＋2，k∈Z；对称性 kπ 对称图形，对称心 2 ，0(k 中心对称图形，对称中 π kπ＋，0 中心心(kπ，0)k∈Z 2 ∈Z) k∈Z
π 2x＋的图象( 6
π 2x－的图象， 3
)． π B．向右平移个长度单位 4 π D．向右平移个长度单位 2
π A．向左平移个长度单位 4 π C．向左平移个长度单位 2
解析
π π y＝sin2x＋6＝sin2x＋12，
专题四
三角函数的性质
高考中三角函数的性质是必考内容之一，着重考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的单调性问题应引起重视．
【例 5】函数 f(x)＝3sin
π 2x－的图象为 3
C.
11 ①图象 C 关于直线 x＝ π 对称； 12 ②函数
专题一
任意角的三角函数的定义及三角函数线
掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
【例 1】求函数 y＝ sin x＋解由题意知
1 cos x－2的定义域．
sin x≥0， sin x≥0，即 1 1 cos x－2≥0， cos x≥2，如图，结合三角函数线知：
3π y＝sin2x－ 4 的单调递增区间是
π 5π [kπ＋8，kπ＋ 8 ](k∈Z)．
(3)由
3π y＝sin2x－ 4 ， 8

高中数学必修四第三章三角恒等变换

必修四第三章：三角恒等变换【知识点梳理】：考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式两角差的余弦：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 两角和的余弦：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 两角和的正弦：()sin αβ+sin cos cos sin αβαβ=+ 两角差的正弦：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- 两角和的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-两角差的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+注意：对于正切,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．【典型例题讲解】：例题1.已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.例题2.利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值。

例题3.已知()sin αβ+=32，)sin(βα-=51，求βαtan tan 的值。

例题4.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（）A ．12B ．33C ．22D ．32例题5.已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.例题6.已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____例题7.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 225（1）求tan()αβ+的值；（2）求2αβ+的值。

例题8.设ABC ∆中，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A =，则此三角形是____三角形【巩固练习】练习1. 求值（1）sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-；练习2.0sin 45cos15cos 225sin15⋅+⋅的值为（A ） -2 1（B ） -2 1（C ）2 （D ）2练习3.若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（）Ａ．3-Ｂ．13-Ｃ．3Ｄ．13练习4. 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin 10β=，求2αβ+.考点二：二倍角公式及其推论：在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24αα是的二倍，332αα是的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．二倍角公式的推论升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-=降幂公式：ααα2sin 21cos sin =； 22cos 1sin 2αα-=； 22cos 1cos 2αα+=.【典型例题讲解】例题l. ） A ．2sin15cos15 B ．22cos 15sin 15- C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+例题2.．已知1sin cos 5θθ+=，且432πθπ≤≤，则cos 2θ的值是．例题3.化简0000cos10cos 20cos30cos 40••• 例题4.23sin 702cos 10-=-（）A ．12B ．2C ．2D例题5.已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+.例题6.若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为。

高中数学知识点总结(最全版)

系列3：由6个专题组成。
选修3—1：数学史选讲。
选修3—2：信息安全与密码。
选修3—3：球面上的几何。
选修3—4：对称与群。
选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。
选修3—6：三等分角与数域扩充。
系列4：由10个专题组成。
选修4—1：几何证明选讲。
选修4—2：矩阵与变换。
选修4—3：数列与差分。
选修4—4：坐标系与参数方程。
⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用
⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用
⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用
（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集
名称
记号
意义
性质
示意图
交集
且
（1）
（2）
（3）
并集
或
（1）
（2）
（3）
补集
1 2
【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
（1）含绝对值的不等式的解法
③根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时，．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
① ②
③
【2.1.2】指数函数及其性质

高中数学必修四第一章三角函数公式总结

高中数学必修四第一章三角函数公式总结锐角三角函数公式sin α=∠α的对边 / 斜边cos α=∠α的邻边 / 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=2tanA/1-tanA^2注：SinA^2 是sinA的平方 sin2A三倍角公式sin3α=4sinα·sinπ/3+αsinπ/3-αcos3α=4cosα·cosπ/3+αcosπ/3-αtan3a = tan a · tanπ/3+a· tanπ/3-a三倍角公式推导sin3a=sin2a+a=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=A^2+B^2^1/2sinα+t，其中sint=B/A^2+B^2^1/2cost=A/A^2+B^2^1/2tant=B/AAsinα+Bcosα=A^2+B^2^1/2cosα-t，tant=A/B降幂公式sin^2α=1-cos2α/2=versin2α/2cos^2α=1+cos2α/2=covers2α/2tan^2α=1-cos2α/1+cos2α半角公式tanA/2=1-cosA/sinA=sinA/1+cosA;cotA/2=sinA/1-cosA=1+cosA/sinA.sin^2a/2=1-cosa/2cos^2a/2=1+cosa/2tana/2=1-cosa/sina=sina/1+cosa三角和sinα+β+γ=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcosα+β+γ=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtanα+β+γ=tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ/1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα两角和差cosα+β=cosα·cosβ-sinα·sinβcosα-β=cosα·cosβ+sinα·sinβsinα±β=sinα·cosβ±cosα·sinβtanα+β=tanα+tanβ/1-tanα·tanβtanα-β=tanα-tanβ/1+tanα·tanβ和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[θ+φ/2] cos[θ-φ/2]sinθ-sinφ = 2 cos[θ+φ/2] sin[θ-φ/2]cosθ+cosφ = 2 cos[θ+φ/2] cos[θ-φ/2]cosθ-cosφ = -2 sin[θ+φ/2] sin[θ-φ/2] tanA+tanB=sinA+B/cosAcosB=tanA+B1-tanAtanB tanA-tanB=sinA-B/cosAcosB=tanA-B1+tanAtanB 积化和差sinαsinβ = [cosα-β-cosα+β] /2cosαcosβ = [cosα+β+cosα-β]/2sinαcosβ = [sinα+β+sinα-β]/2cosαsinβ = [sinα+β-sinα-β]/2诱导公式sin-α = -sinαcos-α = cosαtan —a=-tanαsinπ/2-α = cosαcosπ/2-α = sinαsinπ/2+α = cosαcosπ/2+α = -sinαsinπ-α = sinαcosπ-α = -cosαsinπ+α = -sinαcosπ+α = -cosαtanA= sinA/cosAtanπ/2+α=-cotαtanπ/2-α=cotαtanπ-α=-tanαtanπ+α=tanα抓好基础是关键数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提，是正确把握解题方法的依据。

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专题：模块综合串讲
1.已知sin cos αα-=(0,π)α∈，则tan α= ( )
A. -1
B. 2-
C. 2
D. 1
2.在四边形ABCD 中，(1,2)→－－AC =，(4,2)→
－－BD =-，则四边形的面积为(
)
A B ． C ．5 D ．10
金题精讲
3.已知7
sin cos ,(0,π)13θθθ+=∈，求tan θ的值.
4.已知向量()()1,1,2,2→→m n λλ=+=+，若()()→→→→
m n m n +⊥-，则λ=
( ) A. －4 B. －3 C. －2 D. －1
5.：设a , b 为向量, 则“||||||a a ·b b =”是“a //b ”的 ( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6.下列四个数中，最大的是( )
A. o o tan80cot80+
B. o o sin80cos80+
C. o o tan80cos80+
D. o o sin80cot80+
7.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则
→→－－－－DE CB ⋅的值为； →→
－－－－DE DC ⋅的最大值为．
8.已知a , b 是单位向量，a ·b =0.若向量c 满足|c －a －b |=1，则|c |的取值范围是( )
A ．1⎤-+⎦
B ．2⎤-+⎦
C ．⎡⎤⎣
⎦ D ．⎡⎤⎣⎦
思维拓展 9.ππ,[,],44R x y a ∈-∈，且331sin 20,4sin 202
x x a y y a +-=++=，求cos(x +2y )的值.
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一
答案：A
题二
答案：C
金题精讲
题一
答案：
12 5
题二
答案：B
题三
答案：C
题四
答案：A
题五
答案：1；1
题六
答案：A
思维拓展
题一
答案：1。