第3节-2 有效数字及其与误差的关系
误差和有效数字介绍课件
误差的表示
误差通常用标准差或相对误差来 表示，这些值可以帮助我们了解
测量结果的可靠性和准确性。
有效数字的保留
在处理测量数据时，应根据误差 的大小来确定有效数字的保留， 以确保结果的准确性和可靠性。
有效数字对误差的影响
01
有效数字的精度
有效数字的精度决定了测量结果的精度，保留更多的有效数字可以提供
误差和有效数字介绍课件
目录
• 误差的基本概念 • 有效数字的基本概念 • 误差与有效数字的关系 • 误差的减小和避免 • 有效数字的取舍原则 • 误差和有效数字的应用实例
01
误差的基本概念
误差的定义
01
02
03
误差
测量值与真实值之间的差 异。
误差的来源
测量工具、测量方法、环 境条件、操作人员等。
质量测量的误差和有效数字分析
总结词
有效数字的位数是衡量质量测量结果 可靠性的重要指标。
详细描述
在质量测量中，有效数字的位数需要 根据称重工具的精度和称重方法的要 求来确定。例如，如果使用分辨率
THANKS
感谢观看
例子
将2345转换为科学记数法为2.345×10^3。
06
误差和有效数字的应用实例
长度测量的误差和有效数字分析
总结词
长度测量中的误差和有效数字分析是确保测量准确性的关键。
详细描述
在长度测量中，由于测量工具、测量方法和测量环境等因素的影响，测量结果往往存在误差。为了准确评估测量结果 的可靠性，需要对长度测量中的误差进行分析，并确定有效数字的位数。
误差的表示方法
绝对差
测量值与真实值之间的差值。
相对误差
实验基础知识——误差和有效数字
第一章实验基础知识——误差和有效数字在关于最新必修加选修教材的教学大纲中，对误差和有效数宁作出了明确的规定。
1．关于误差认识误差问题在实验中的重要性，了解误差的概念，知道系统误差和偶然误差，知道用多次测量求平均值的方法减小偶然误差，能在某些实验中分析误差的主要来源，不要求计算误差。
2．关于有效数字了解有效数字的概念，会用有效数字表达直接测量的结果。
间接测量的有效数字运算不作要求，运算结果一般可用2—3位有效数字表示。
一、误差做物理实验，离不开对物理量的测量，而测量值和真实值总有差异。
这种差异就叫做误差。
从来源看，误差分成系统误差和偶然误差两种，从数值看，误差又分为绝对误差和相对误差两种。
1．系统误差和偶然误差①系统误差：系统误差是由于仪器本身不精确，或实验方法粗略，或实验原理不完善而产生的。
其特点是，在多次重做同—实验时，其结果总是同样地偏大或偏小，不会出现有几次偏大而另外几次偏小的情况。
要减小系统误差，必须校准仪器、改进实验方法、设计原理更完善的实验。
②偶然误差：是由于各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理量的影响而产生的。
偶然误差的特点是，多次重做同—实验时，结果有时偏大，有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同。
减小偶然误差的一般方法是多次测量，取其平均值。
[例题1] 指出以下误差是系统误差还是偶然误差A．测量小车质量时天平不等臂、或砝码不标准，天平底盘未调平所致的误差。
B．用有毫米刻度的尺测量物体长度，豪米以下的数值只能用眼睛估计而产生的误差C．用安培表内接法测电阻时，测量值比真实值大[)．在验证共点力合成的平行四边形法则实验中，在画出两分力方向及合力方向时，画线不准所致误差[解析] A是选项是实验仪器不精确所致，是系统误差；B选项是由于测量者在估计时由于视线方向不准造成的，是偶然误差；C选项是实验原理不完善、忽略电流表内阻影响所致，是系统误差；D选项是画力方向时描点不准、直尺略有移动，或画线时铅笔倾斜程度不一致所致，是偶然误差。
鲁科高中物理必修第1册 第2章 第3节 实验中的误差和有效数字
D.测量结果中,小数点后面的0都是有效数字
解析 系统误差总是偏大或总是偏小,所以B错误。有效数字的位数与单位
和小数点的位置无关,从左边第一个不为0的数开始是有效数字。
答案 AC
3.某同学用毫米刻度尺测量一物体的长度,如图所示,下述记录结果正确的
第2章
第3节 实验中的误差和有效数字
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
学习目标
1.知道绝对误差和相对误差,知道在
绝对误差相同的情况下,被测量的数
值越大,测量结果的相对误差越小。
(物理观念)
2.能判断系统误差和偶然误差,并针
对误差提出解决途径。(科学思维)
3.能熟练使用有效数字来准确表达
)
答案 √
3.刻度尺刻度不均匀造成的测量误差属于系统误差。(
答案 √
)
4.从某个数的左边第一个数字到最后一个数字的个数即有效数字的位数。
(
)
答案 ×
5.测量结果后面可以任意增加数字0,不影响其大小。(
答案 ×
6.2.30 mm、2.300 mm均为2位有效数字。(
答案 ×
)
)
课堂篇 探究学习
问题
测量值-真实值
δ=
真实值
答案 ACD
×100%,D 正确。
6.某同学测量两个物体质量,测量结果分别为1.00 g和100.0 g,两测量值的
绝对误差都为0.01 g,问哪个测量可靠性更大?
解析 尽管两个结果的绝对误差都为0.01 g,但前者误差是测量值的1%,后者
误差是测量值的0.01%,故后者比前者可靠性更大。
有效数字及其与误差的关系
另一种情况，例如x 0.1524, x* 0.154，这时x*的误差
是 (x) 0.0016，其绝对值超过了0.000（5 1 103,即第三位
2 小数的半个单位），但却没有超过0.00（5 1 102,即第二位
2 小数的半个单位），即0.0005 x x* 0.005。
显然x*虽有三位小数，其中1 1,2 5都是准确数 字，而第三位小数3 4就不再是准确数字了，我们就称
1 10mn，又因为 x* 2
1 10m1，其相对误
差有：
* r
(
x)
(x)
x*
1 10mn1
21
故相对误差限为： 1 10n1。 21
上式表达了有效数字与相对误差之间的关系，由此
可见，有效数字的位数反映了近似值的相对精确度。
上述关系的逆也是成立的，即当用x* 0.12 n 10m 表
§3 有效数字及其与误差的关系
一、有效数字
例如：对无穷小数或着循环小数，可用四舍五入的办法来取其
近似值
3.1415926
若按四舍五入取四位小数，则可得其近似值3.1416 若取五位小数则得到其近似值为3.14159 这种近似值取法的特点是误差限为其末位的半个单位。
3.1416 0.002 1 104 3.14159 0.000008 1 105
正整数，m 是整数。 若x*的绝对误差限为：e x* x 1 10mn，则称 2
x*为具有n位有效数字，或称它精确到10mn，其中每一个
数字1,2 ,
都是
n
x*的有效数字。
3.1416 五位有效数字，精确到0.0001
203和0.0203都是具有三位有效数字的有效数. 0.0203和0.020300: 其中0.0203具有三位有效数字,精确到0.0001, 0.020300具有五位有效数字,精确到0.000001. 可见,两者的精确程度大不相同,后者比前者精确.注: 有效数字尾部的零不可随意省去,以免损失精度.
数据的误差与有效数字
数据的误差与有效数字在科学研究、实验、工程设计和生产过程中，数据的准确性是至关重要的。
然而，由于各种因素的干扰，我们很难获得完全准确的测量结果。
因此，了解数据的误差以及有效数字的概念对于正确分析和解释数据至关重要。
一、误差的概念和分类误差是指测量结果和实际值之间的差距。
它可以由多种因素引起，包括仪器精度、操作技巧、环境条件等。
根据误差的来源和性质，可以将误差分为系统误差和随机误差。
1. 系统误差系统误差是由于测量仪器的固有缺陷或操作方法的不准确性而引起的。
它具有固定的方向和大小，使得测量结果偏离了实际值。
系统误差可以通过校正仪器或改进操作方法来减小。
2. 随机误差随机误差是由于各种无法预测的因素引起的。
它的出现是由于实验过程中的不确定性，使得多次测量结果有一定的差异。
随机误差可以通过多次重复测量并取平均值的方法来减小。
二、有效数字的概念和表示方法有效数字是指测量结果中具有实际意义和可靠性的数字。
它可以帮助我们更好地了解数据的精度和准确性。
根据有效数字的规则，我们可以将测量结果进行截断或四舍五入来表示。
1. 规则一：非零数字是有效数字在测量结果中，所有非零数字都是有效数字。
例如，测量结果为12.345，其中的1、2、3、4、5都是有效数字。
2. 规则二：零位于非零数字之间时是有效数字当零位于非零数字之间时，它也是有效数字。
例如，测量结果为1.2034，其中的0也是有效数字。
3. 规则三：首位零不是有效数字当测量结果的首位出现零时，它不是有效数字。
例如，测量结果为0.0456，其中的首位零不是有效数字。
4. 规则四：末尾零位于小数点之后时是有效数字当测量结果的末尾有零，并且小数点在末尾零的右侧时，末尾的零是有效数字。
例如，测量结果为450.0，其中的末尾零是有效数字。
三、误差的表示和有效数字的应用在数据分析和科学计算中，正确地表示误差和应用有效数字是非常重要的。
以下是一些常见的方法和技巧：1. 误差范围表示对于实验测量结果，可以用一个误差范围来表示。
第讲 实验误差和有效数字长度的测量
方法概述
1．游标卡尺的读数方法：
x＝主尺的读数＋游标上对齐刻度×游标尺上1 的格数mm ＝a mm＋ b mm
N 游标尺的作用在确定游标上“0”刻度与左侧主尺刻度的
间距：主尺上b分度的长度减去游标尺上b分度的长度Δx＝ b
mm，这属于一种放大的思想方法．
N
2．螺旋测微器的读数方法：
x＝主尺刻度＋螺旋刻度×
知识梳理
(一)误差和有效数字 一、误差 1．误差的定义：测量值与真实值的差异叫做误差． 2．误差的公理：一切测量(实验)结果都具有误差．误差 不可避免，但可减小． 3．误差的分类：按来源可分为系统误差和偶然误差两 大类．系统误差一般来源于实验原理的不完善、实验方法的 不周密以及实验仪器的不精确，偶然误差则来源于实验者本 身及一些偶然因素．
(3)最小分度是“2”或“5”的仪器，测量误差出现在同一
位
11
25
上，应按最小分度的 或 估读．如：学生使用电流表的 0.6
A 量程时，最小分度为0.02 A，误差出现在电流的百分位 上，只需读到电流的百分位，即只需估读半小格，不足半小 格的舍去，超过半小格的按半小格估读．
4．有效数字的运算规则 许多物理量是从直接测量的结果计算出来的，测量结果 既然是用有效数字表示的，在计算中就要遵守有效数字的规 则． (1)不可靠的数字与别的数字相加减、相乘除，所得结果 也是不可靠的． (2)计算结果只能保留一位不可靠的数字，但在计算过程 中可以保留两位不可靠的数字，最后再四舍五入．
图5－8 (1)它的准确度是________mm． (2)用它测量某物体的厚度，示数如图5－8所示，正确的 读数是________cm． 【答案】(1)0.05 (2)3.130
3．(2005年全国理综卷Ⅱ)用螺旋测微器测圆柱体的直径 时，示数如图5－9所示，此示数为______________mm．
误差与有效数字
误差与有效数字大家好，今天我们学习学生实验中的误差与有效数字曾经，有一位伟人，叫做伽利略，在他之前有一个人叫亚里士多德。
有一天，亚里士多德说，重的物体下落得快一些。
人们都觉得他说得很对。
两千年后，伽利略对亚里士多德的这句话审视了一番，说道，不，我不信。
于是便有了比萨斜塔实验，于是便有了伽利略研究落体运动的经典实验。
也就奠定了现代物理的基础，带领人们走向了美好的现代世界。
但是，但是几百年后的今天，我们对伽利略的实验审视了一番，说道，不，我不信。
就因为他用的计时工具是滴水计时器，不完全可靠。
于是，便有了我们对误差的研究，于是便有了误差与有效数字。
现在请大家看一个图，大家给我读一下示数好吗大家可以看到，这个物品起始的刻度在1.5厘米，但是末尾刻度与直尺刻度并未对齐，大概在4.0到4.1厘米之间。
一般这个时候我们会估读一下。
读个4.0厘米或者4.1厘米又或者4.05厘米，4.07厘米是之类的。
那么比较严谨的处理方法又是什么呢？首先，我想向大家介绍一个概念，误差。
误差是指测试值与被测物体之间的真实值之间的差异。
由不同的角度可以细分为偶然误差与系统误差，绝对误差与相对误差。
其中偶然误差与系统误差是由于人为的，不可控的因素造成的，例如这位同学读数的角度有一点偏，读出来的数自然会出现偏差。
不过偶然误差一般来说会具有随机性，可以多次实验来减小误差。
而要是这个尺子本身是尺度偏短的，就像这样，就会出现所有测量值都偏小的情况，这时可能就只能换一下实验仪器才能减小误差了，这种由于实验设计和仪器所引起的误差我们称之为系统误差。
之前我们提到误差是测试值与真实值的差异，而为了定量地描述这个差异，我们又创造出两个量，绝对误差与相对误差。
其中绝对误差是指测量值与真实值的差值，相对误差则是两者之差除以测量值（板书公式），例如要是面对这样一根200厘米的棍子。
以下同学测量之后得出以下结果。
当然，请忽略赵高同学，他比较皮。
请一位同学说一说小明同学与小红同学的绝对误差是多少以及相对误差怎么计算。
有效数字和试验误差分析
有效数字和实验误差分析1 有效数字的定义有效数字是指实际上能测量到的数值，在该数值中只有最后一位是可疑数字，其余的均为可靠数字。
它的实际意义在于有效数字能反映出测量时的准确程度。
例如：用最小刻度为0.1cm的直尺量出某物体的长度为11.23 cm。
显然这个数值的前3位数是准确的，而最后一位数字就不是那么可靠，因为它是测试者估计出来的，这个物体的长度可能是11.24cm，亦可能是11.22cm，测量的结果有±0.01cm的误差。
我们把这个数值的前面3位可靠数字和最后一位可疑数字称为有效数字。
在确定有效数字位数时，特别需要指出的是数字“0”来表示实际测量结果时，它便是有效数字。
例如：分析天平称得的物体质量为7.1560g滴定时滴定管读数为20.05mL这两个数值中的“0”都是有效数字在0.006g中的“0”只起到定位作用，不是有效数字有效位数及数据中的“0 ”：1.0005，五位有效数字0.5000，31.05% 四位有效数字0.0540， 1.86 三位有效数字0.0054，0.40% 两位有效数字0.5，0.002% 一位有效数字2 有效数字的计算规则2.1 有效数字的修约规则在运算时，按一定的规则舍入多余的尾数，称为数字的修约。
2.1.1 四舍六入五六双。
即测量数值中被修订的那个数，若小于等于4，则舍弃；若大于等于6，则进一；若等于5（5后无数或5后为0），5前面为偶数则舍弃，5前面为奇数则进一，当5后面还有不为0的任何数时，无论5前面是偶数还是奇数一律进一。
例如，将下列测量值修约为四位数：3.142 45 3.1423.215 60 3.2165.623 50 5.6245.624 50 5.6243.384 51 3.3853.384 5 3.3842.1.2 修约数字时，对原测量值要一次修约到所需位数，不能分次修约。
例如，将3.314 9 修约成三位数，不能先修约成3.315，再修约成3.32；只能一次修约为3.31。
误差、有效数字及数据处理
62.4kg 0.1kg 0.9kg 0.1kg 0.1kg 0.1kg
买白糖
抓中药
0.1 100% 0.16% 62.5 0.1 100% 10% 1 0.1 100% 50% 0.2
用相对误差比绝对误差表示结果要好些
例：滴定的体积误差和称量的质量误差
V 20.00 mL 2.00 mL m 0.2000 mg Ea 0.02 mL 0.02 mL Ea 0.0001 mg Er 0.1% 1.0% Er 0.05%
0.76
0.84 0.93
0.64
0.73 0.82
0.56
0.64 0.74
0.51
0.59 0.68
0.47
0.54 0.63
0.44
0.51 0.60
0.41
0.49 0.57
2.异常值的取舍(2)
4d法
根据总体的标准偏差σ与总体平均偏差δ 两者的 关系是δ≈0.8 σ,用样本平均偏差
d
代替δ，
数据运算规则(2)
乘除法
是各个数值相对误差的传递，结果中的相对误 差应与各数中相对误差最大的数值（即有效数 字位数最少）相适应。 例如：0.0121 25.64 1.05782 = ？
原数 0.0121 25.64 1.05782 相对误差 1/121/100%=0.8% 1/2564/100%=0.04% 1/105782/100%=0.00009%
Ea Er 100%
准确度——测量值与“真值”的接近程度。
测量结果的准确度可以用误差大小来表示，误差小， 准确度高 。
2、 偏差
偏差——测定值与平均值之差，是指几次平行测定结果
相互接近的程度，用来衡量精密度的高低。
数据分析与处理：误差分析及有效数字规则
数据分析与处理：误差分析及有效数字规则引言在数据处理和分析过程中，误差分析和有效数字规则扮演着至关重要的角色。
正确处理误差和严格遵守有效数字规则能够保证数据分析的准确性和可靠性。
本文将重点探讨误差分析的重要性，介绍有效数字规则的应用，并通过实例说明如何在数据处理过程中正确应用这些规则。
误差分析误差的定义误差是指测量结果与真实值之间的差异。
在数据分析中，误差分为系统误差和随机误差两种类型。
系统误差是由于仪器不准确或实验设计问题导致的误差，而随机误差是由于测量过程中的随机变动引起的误差。
误差分析的重要性正确的误差分析可以帮助我们评估数据的可靠性和准确性。
通过了解误差的来源和特点，我们可以采取适当的措施来减小误差，提高数据的质量和可靠性。
误差分析实例假设我们对某物体的重量进行测量，测量值为50.3克。
通过重复测量，得到的数据为50.1克、50.2克和50.4克。
我们可以计算这些数据的平均值，并计算测量结果的标准偏差，从而评估测量过程中的误差大小。
有效数字规则有效数字的定义有效数字是指数字中能够表达准确性的数字。
有效数字规则是一套用来确定测量值中有效数字个数的规则，旨在确保数据的准确性和可靠性。
有效数字规则的应用•所有非零数字都是有效数字。
•零被夹在非零数字中间时，是有效数字。
•末尾的零，位于小数点右侧时，是有效数字。
•末尾的零，位于小数点左侧时，不是有效数字，为了明确有效数字，应该使用科学计数法。
有效数字规则实例假设我们测量了某液体的体积为25.60毫升。
根据有效数字规则，我们应该报告这个值为25.6毫升，因为末尾的零不是有效数字。
结论数据分析中的误差分析和有效数字规则至关重要，它们能够确保数据的准确性和可靠性。
在数据处理过程中，我们应该时刻注意误差来源，并严格遵守有效数字规则，以提高数据分析的精确度和可信度。
以上是关于数据分析与处理中误差分析及有效数字规则的介绍，希望可以对您有所帮助。
高中物理实验-误差和有效数字
2Hale Waihona Puke 70 三位有效数字2.700 四位有效数字 最后一位数字都是估读的，是不 可靠的！但是它是有意义的！不
能随便舍去或添加。
0
1
2
3 cm
0
1
2
3 cm
注意
1.小数的第一个非零数字前面的零是用 来表示小数点位置的，不是有效数字。
如：0.92、0.085、0.00036
都是两位有效数字
误差和有效数字
一、误差
测量值与真实值之间的差异 误差是不可避免的，只 能是尽量减小误差！
系统误差 偶然误差
1.系统误差
由于测量仪器本身不精确、或实
验方法粗略，或实验原理不完善而 产生的误差。
特点：在误差多总次是重同复样做地同偏一大实或验偏时小，。 减小误差办法： ①校准测量仪器 ②改进实验方法
③设计在原理上更为完善的实验
2.有效数字的书写 如：3654000 km
保留一位有效数字则应写成 4×106 km 保留二位有效数字则应写成 3.7×106 km 保留三位有效数字则应写成 3.65×106 km
2.偶然误差
由于各种偶然因素对实验者、测 量仪器、被测物理量的影响而产生 的误差。 特点：在误多差次总重是复有做时同偏一大实、验有时时，偏
小。 减小误差办法：多次测量取平均值
二、有效数字
11.1 mm?
11.2 mm? 11.3 mm?
0
1
2
3 cm
最末一位数字是估计出来的！
带有一位不可靠数字的近 似数字叫做有效数字。
第3节-2 有效数字及其与误差的关系.
计算机经舍入处理后以fl x 接收，即fl x c a%,
其中：
a%
0.a01a.a21La2
L at
at
t
当0 at1 / 2 当 / 2 at1
计算机对x的舍入绝对误差满足：
e x fl x 0.5 ct
舍入相对误差满足：
er
x
fl x
x
0.5 ct 0.1 c
示近似值x*，如想其相对误差
* r
(
x)能满足：
* r
(
x)
1
2(! 1)
10n1
则x*至少具有n位有效数字。
证明如下：由
* r
(
x)
1 10n1及
2(! 1)
x*
(1 1) 10m1，
(x)
x*
1
2(1
1)
10
n
1
1 10mn 2
即表示x*至少具有n位有效数字。
例1、当用3.1416来表示的近似值时，它的相对误差是多少？
解：3.1416具有五位有效数字，1 3，那么有：
* r
(
x)
1 1051 23
1 104 6
例2、为了使积分I 1ex2 dx的近似值I *的相对误差不超过 0
0.1%，问至少需要几位有效数字。
解：可以知道I 0.7467L ，这样，1 7，有：
* r
(
x)
1 10n1 27
0.1%
可以解出：n 3,即I *只要取三位有效数字，I * 0.747就能
保证I *的相对误差不超过0.1%。
三.计算机舍入误差
设计算机的数系为F ,t, L,U ,某数
有效数字及其与误差的关系
表示方法
有效数字的表示方法通常采用科学记数法或常规表示法。在科学记数法中，有效 数字的位数表示为小数点后的位数；在常规表示法中，有效数字的位数表示为小 数点后的位数加一个指数。
在表示有效数字时，需要注意舍入规则和精度要求，以确保测量结果的准确性和 可靠性。
有效数字的位数
有效数字的位数取决于测量或计算的精度和可靠程度。在科 学和工程领域，通常采用不同的精度要求和舍入规则来确定 有效数字的位数。
科学计算精度
在进行科学计算时，需要 使用适当的有效数字，以 确保计算的精度和可靠性。
科学测量精度
在进行科学测量时，需要 使用有效数字来表示测量 结果，以确保结果的准确 性和可靠性。
在工程计算中的应用
工程设计精度
在工程设计中，需要使用有效数字来表示设计参数和数据，以确 保设计的准确性和可靠性。
工程计算精度
误差的合成
当多个测量值用于计算一个结果 时，需要将各个测量值的误差进 行合成，以评估结果的误差范围。
误差的分解
对于复杂测量系统，需要将总误 差分解到各个组成单元，以优化 系统设计和减小误差。
03 有效数字与误差的关系
有效数字对误差的影响
有效数字越多，测量 error越小
有效数字的多少直接反映了测量值的精确度，有效数字越多，表示测量值的精确度越高，从而误差越 小。
有效数字及其与误差的关系
目录
• 有效数字概述 • 误差来源与表示 • 有效数字与误差的关系 • 有效数字的运算规则 • 有效数字的实际应用 • 总结与展望
01 有效数字概述
定义与概念
01
有效数字是指在测量或计算中能 够表示测量结果可靠程度的数字 ，包括所有的非零数字和一位可 疑数字。
误差和有效数字教学课件.ppt
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
AB C
D
E
F
作图原则：
1.舍掉误差较大点
2.穿过部数据点，其余点均 匀分布在两侧
√
×
2.偶然误差
(1)原因：人的感官分辨能力限制和仪器精密程度制 约 (2)特点：随机性，时大时小
统计规律：偏大或偏小的测量值出现的机会相同； 误差较小的数据比误差较大的数据出现的机会多； 绝对值很大的误差出现的机会趋于零. (3)解决办法：多次测量求平均值
4.记数原则：保留一位不可靠数字
有效数字
读数方法：一看量程，二看精度，三定位数 精确度为1，0.1，0.01…保留到下一位 精确度为2，0.2，0.02 …保留到本位 精确度为5，0.5，0.05 …保留到本位
练一练：读出两个电表在两个量程下各自的 示数
课堂小结
1.能区分系统误差和偶然误差 2.会计算绝对误差和相对误差 3.仪器记数时能正确保留有效数字位数
(4)数据处理：逐差法和图像法
绝对误差和相对误差
思考：两物体的长度分别是1cm和100m,误差为 0.1cm和1m,哪个测量可靠程度要高些？
0.1 1
100％=10％
1 100
100％=1％
二.绝对误差和相对误差
1.绝对误差
（1）计算：绝对误差=测量值—真实值
（2）意义：反映测量值偏离真实值的大小（可靠性）
系统误差
天平不完全等臂、仪表刻度不 准、仪表使用前指针未归零等
仪器误差
方法误差
刻度尺受热膨胀、空气阻力 影响等
环境误差
一.系统误差和偶然误差 1.系统误差 （1）原因：仪器结构缺陷、调整不当、实验方法 不完善、客观环境影响等
实验：误差和有效数字
B指针：3V量程：2.50V 15V量程：12.5V
3、中学阶段，刻度尺、千分尺（螺旋测微 器）、弹簧秤、电流表、电压表等要估读； 游标卡尺、秒表等不估读
1 2 0.2 0.4 5 0 2 0.6
A
V
10 3
0
1
B
V
0
B
15
A
0
C
3
练一练
1 2 0.2 0.4Βιβλιοθήκη 5 0AV
10 3
0
1
B
A
2 0.6
0
B
15
A
0
C
3
A指针：3V量程：1。15V或1.16V 15V量程：5.7V或5.8V
0.6V量程： 0.10A（A） 3V量程：0.50A(A) 0.6V量程： 0.23A（B） 3V量程： 1.16A(B) 0.6V量程： 0.43A(C) 3V量程： 2.15A(C)
一误差和有效数字二常用仪器的读数规则实验测量时在那一位开始出现误差是由测量仪器本身的最小刻度即精确度决定的因此中学阶段一般可以根据测量仪器的最小刻度来确定读数误差出现的位置
高中物理实验专题
高中物理实验专题
一、误差和有效数字 二、常用仪器的读数规则
一、误差和有效数字 1、误差：测量值和真实值之间的差异 （1）按误差的产生原因分 ①系统误差 系统误差：由于仪器本身不精确，或实验方法粗略，或实验 系统误差 原理不完善所产生的。其特点是：误差总是偏大或偏小 其特点是： 其特点是 误差总是偏大或偏小；减小误 差的方法是：校准测量仪器，改进实验方法，完善实验原理。 ②偶然误差 偶然误差：由于各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理 偶然误差 量的影响而产生的。其特点是：有时偏大，有时偏小，并且偏大 其特点是： 其特点是 有时偏大，有时偏小， 和偏小的概率相同；减小误差的方法是：取平均值。 和偏小的概率相同 （2）按误差的大小分 ①绝对误差：ㄧ真实值－测量值ㄧ，不能准确的反映误差的大小。 ②相对误差：绝对误差÷真实值×100％，能准确的反映误差的 大小。 2、有效数字 有效数字 带一位不可靠数字得近似数据叫有效数字。有效数字得到最后 带一位不可靠数字得近似数据叫有效数字 一位是测量者估读出来的，因此这一位数字是不可靠的，也是误 差所在位。
有效数字及误差分析
有效数字及误差分析一、有效数字在进行实验时，仪表指针往往停留在两条刻度线之间，这时就需要凭目力和经验来估计读数，估计出来的最后一位数字称为“欠准数字”。
实验数据或实验结果处理用几位数字来表示，是一件很重要的事情，在超过有效位数的数字上花费大量时间是没有必要的。
另外，计算结果中也并非保留的位数愈多准确度就愈高，因为小数点的位置与所用单位的大小有关，准确度的高低取决于实际测量的准确度。
例如：用100mA的电流表测量电流，如果电流表的指针停留在50mA和51mA之间，读数为50.4mA，则最末一位数字“4”是估计读出的，它可能被读为50.3mA，也可能被读为50.5mA，因此该读数的最后一位“4”被称为“欠准数字”，那么它的有效数字应该是三位。
实验时一般可估计到最小刻度的十分位，也就是说实验数据应保留一位欠准数字。
另外，50.4mA与0.0504A的准确度是完全相同的。
二、有效数字的正确表示(1)记录测量结果时，除最后一位数字外，前面的各位数字都必须是准确的。
(2)关于数字“0”要特别注意，它只有在数字之间和数字末尾才算作有效数字。
例如，50.4和0.0504都是三位有效数字。
(3)对于较大或较小的数字，必须用10的幂次前面的数字代表有效数字。
例如15000Ω这种写法，后面三个“0”无法知道是否为有效数字，为了明确表示有效数字的位数起见，写成1.5×l04Ω表示有二位有效数字；1.50×l04Ω就表示有三位有效数字；1.500×l04Ω就表示有四位有效数字。
同理，50.4mA应记为0.0 504A或5.04×l04 A,它表示有三位有效数字。
(4)表示常数的数字可以认为它的有效数字的位数为无限制。
(5)表示误差时，一般情况下只取一位有效数字，最多取二位有效数字。
例如，±2%、±2.5%。
三、有效数字的舍入规则为了保证各数据有相同的有效数字位数，表示测量结果时对多余的位数需要舍入。
有效数字与绝对误差和相对误差的关系
有效数字与绝对误差和相对误差的关系示例文章篇一：《有效数字与绝对误差和相对误差的关系》嘿，你知道吗？在数学的奇妙世界里，有一些特别有趣的东西，就像有效数字、绝对误差和相对误差。
这几个家伙呀，就像一群小伙伴，有着千丝万缕的关系呢。
我先来说说有效数字吧。
有效数字就像是一个数的身份证号码里特别重要的那几位数字。
比如说3.14，这三个数字都是有效的，它们能准确地告诉我们这个数大概是多少。
有效数字越多，这个数就被表示得越精确。
就好像我们描述一个人的长相，如果只是说“有眼睛有鼻子”，这就很模糊，但是如果说“大眼睛、高鼻梁、小嘴巴”，那就能让人更清楚地想象出这个人的样子啦。
有效数字也是这样，它让我们能更清楚地知道这个数的大小情况。
那绝对误差呢？绝对误差就像是我们猜一个东西的重量和它实际重量之间的差距。
比如说，我猜一个苹果的重量是100克，可实际上这个苹果是105克，那这个5克就是绝对误差啦。
绝对误差告诉我们我们的猜测或者测量和真实值差了多少。
这就好比我们要去一个地方，我们以为距离是100米，结果实际是105米，那多出来的5米就是我们对距离估计的绝对误差。
现在我们再来说说相对误差。
相对误差就有点像把绝对误差放在一个“放大镜”下面看。
怎么说呢？还是用刚才苹果的例子。
苹果实际重105克，我们猜100克，绝对误差是5克。
那相对误差就是这个绝对误差5克除以苹果的实际重量105克，得到的结果就是相对误差啦。
相对误差就像是在告诉我们，我们的错误在整个真实值里面占了多大的比例。
这就好比我们考试，100分的卷子，我们答错了5分，那这5分占100分的比例就是相对的错误程度啦。
我给你讲个故事吧。
我和我的小伙伴小明、小红一起做测量小实验。
我们要测量一个小盒子的长度。
我测量出来是10.5厘米，小明测量出来是10.3厘米，小红测量出来是10.6厘米。
那这个小盒子的真实长度呢，老师告诉我们是10.4厘米。
那我测量的绝对误差就是10.5 - 10.4 = 0.1厘米，小明测量的绝对误差就是10.4 - 10.3 = 0.1厘米，小红测量的绝对误差就是10.6 - 10.4 = 0.2厘米。
有效数字和绝对误差限的关系
有效数字和绝对误差限的关系
有效数字及其绝对误差限在任何精确计算当中都扮演着至关重要的角色。
有效
数字是指在表示测量技术中，将不可靠值和可靠值分离的基本概念。
同时，绝对误差限也是非常重要的计算概念，它指的是在实现任务时允许误差的最大限度。
在可靠性方面，有效数字是测量精度的一个重要指标。
它是一个数值，根据规定，只有在误差小于其绝对误差限的情况下反映的测量精度才有用。
互联网的发展主要取决于衡量精度的有效数字。
在信息传输、处理和存储当中，有效数字必须要保证其精度和准确性。
通常来说，绝对误差限是根据实际应用所需的有效位数来进行取舍的，而有效
位数取决于精度的需求等因素，绝对误差限的确定要依赖与目的的不同而有所变化，常用的方法是将有效位数乘以一个定量的参数，从而确定有效数字的绝对误差限。
在互联网中，有效数字和绝对误差的关系有显著影响，高精度的有效数字将实
现高精度的计算与传输。
由大量的有效数字计算构成的互联网信息传输是提供安全且可靠的数据传输和储存服务的必要条件，同时，低误差绝对偏差也是确定该系统安全稳定性和可靠性的重要因素。
结论：
有效数字和绝对误差是衡量计算精度的两个重要概念，它们对于互联网的正常运行也具有显著重要性。
在互联网中，使用的有效数字保证了其精确的计算和传输，而绝对误差限则确保了该计算系统安全可靠的運行。
有效数字与不确定度误差传递
一、有效数字=可靠数字+末尾1~2位的可疑数字可疑数字为估读：1.可疑数字后的数字无意义不能出现2.估读数为0，也不能舍去3.可疑数字的位置由使用该种仪器测量时的绝对误差确定。
4.可靠数字在仪器的刻度上获得，可疑数字在仪器的刻度之间估计读书二、有效位数1.中间和末尾的0算有效数位（末尾不能随便加0）2.单位换算有效数位不能改变3.数据过大或过小时常用科学计数法4.10的幂次数均不算有效数位5.数显仪器所显示的数字，全部都是有效数字6.有效数位与测量工具的精度关系：mm刻度有效位小数点后两位，游标卡尺小数点后3位7.读数1）读至仪器误差所在位置（估读一位，为0也必记）2）连续可读，估读一位。
不连续可读，止于最小刻度位3）数字仪器读全部三、有效数字的运算1．加减法：结果的可疑数位置与参与运算变量中可疑数位最高的数保持一致2．乘除法：结果的有效数位与参与运算变量中的有效数位最少的量相同3．乘方与开方：一般与其底的有效数位相同4．混合运算每一级都要按规则取。
有效数字的修约：四舍六入五凑偶：等于5时，拟保留的最后一位是奇数时，入。
偶数时，舍去。
（较少用。
）四、测量结果的不确定度不确定度：测量得可能误差范围表明了测量结果（近真值）的可疑程度A类：统计方法估算就算N吃重复测量得平均值（近真值）贝塞尔公式计算不确定度测量结果的表达：近真值、不确定度、单位三要素却一不可。
规定Uc只能取1位有效数字（四舍五入）X一把与Uc保持单位一致、数量级一致近真值和不确定度一致（末尾对齐）。
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0.1%，问至少需要几位有效数字。 解：可以知道I 0.7467，这样，1 7，有：
1 ( x) 10 n 1 0.1% 2 7 可以解出：n 3,即I *只要取三位有效数字，I * 0.747就能
* r
保证I *的相对误差不超过0.1%。
三.计算机舍入误差
定义：当近似值x*的误差限是其某一位上的半个单位
时，我们就称其“准确”到这一位，且从该位起直到 前 面第一位非零数字为止的所有数字都称为有效数字。 一般说，设有一个数x, 其近似值x*的规格化形式：
x* 0.1 2 n 10m
1 , 2 , n都是0， , 9中的一个数字，1 0，n 是 1,
上式表达了有效数字与相对误差之间的关系，由此 可见，有效数字的位数反映了近似值的相对精确度。
上述关系的逆也是成立的，即当用x* 0.1 2 n 10m 表 1 示近似值x ，如想其相对误差 ( x)能满足： ( x) 10 n1 2(! 1)
* * r * r
*
差限也就越小。
2、有效数字与相对误差的关系 若x* 0.1 2 n 10m 有n位有效数字时，显然有 1 ( x) x x 10m n，又因为 x* 1 10m 1，其相对误 2 差有：
*
1 10m n ( x) 2 1 * r ( x) * 10 n 1 x 1 10m1 21 1 故相对误差限为： 10 n 1。 21
即表示x*至少具有n位有效数字。
例1、当用3.1416来表示的近似值时，它的相对误差是多少？
解： 3.1416具有五位有效数字，1 3，那么有： 1 1 51 ( x) 10 104 23 6
* r
例2、为了使积分I e
0
1
x2
dx的近似值I *的相对误差不超过
另一种情况，例如x 0.1524, x* 0.154，这时x*的误差 1 是 ( x) 0.0016，其绝对值超过了0.0005 10 3 , 即第三位 （ 2 1 小数的半个单位），但却没有超过0.005 102 , 即第二位 （ 2 小数的半个单位），即0.0005 x x* 0.005。
x 对x的舍入绝对误差满足： e x fl x 0.5 c t
舍入相对误差满足： er x fl x x 0.5 c t 0.5 1t 0.1 c
注意： 计算机对任何实数的舍入相对误差与实数本身无关，只 与计算机字长t有关，通常定义数eps=0.5×β1-t为计算 机精度。 由于计算机的精度只与字长有关，计算机字长t越大， 其精度越高，有些数值要用双字长处理，双字长数据也 称双精度数。
§3
有效数字及其与误差的关系
一、有效数字
例如：对无穷小数或着循环小数，可用四舍五入的办法来取其 近似值
3.1415926
若按四舍五入取四位小数，则可得其近似值3.1416 若取五位小数则得到其近似值为3.14159
这种近似值取法的特点是误差限为其末位的半个单位。
1 1 5 4 3.1416 0.002 10 3.14159 0.000008 10 2 2
正整数，m 是整数。
1 若x 的绝对误差限为： x x 10mn，则称 e 2 x*为具有n位有效数字，或称它精确到10mn，其中每一个
* *
数字1 , 2 , n都是 x*的有效数字。
3.1416 五位有效数字，精确到0.0001
203和0.0203都是具有三位有效数字的有效数. 0.0203和0.020300: 其中0.0203具有三位有效数字,精确到0.0001, 0.020300具有五位有效数字,精确到0.000001. 可见,两者的精确程度大不相同,后者比前者精确. 注:有效数字尾部的零不可随意省去,以免损失精度.
显然x*虽有三位小数，其中1 1, 2 5都是准确数 字，而第三位小数 3 4就不再是准确数字了，我们就称 它为存疑数字。
二、有效数字与误差的关系
1、有效数字与绝对误差的关系
1 由 e x x 10m n，可知从有效数字可以算出 2 近似数的绝对误差限；有效数字的位数越多，其绝对误
设计算机的数系为F , t , L,U , 某数 其中ai 0,1,, 1 i 1, 2, , a1 0, x F , t , L, U 且满足m x M , m及M 是F , t , L,U 中的最小正数和 最大正数。
计算机经舍入处理后以fl x 接收，即fl x c a, 其中： 当0 at 1 / 2 0.a1a2 at a 0.a1a2 at t 当 / 2 at 1
则x*至少具有n位有效数字。
1 证明如下：由 ( x) 10 n 1 及 x* (1 1) 10m1， 2(! 1)
* r
( x) x ( x) (1 1) 10
* * r
m 1
1 2(1 1)
10
n 1
1 10mn 2