破解解三角形中最值问题的自然之道原文

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最先想到的解法或许是自然的_陈英辉

。
）
，

。
＾
（

六册

（
思路分析本解法从直角三角形联想到锐角三角
：
函数通过表示ＡＣ
，，
＝
ＡＢｃｏｓＡ
，
ＢＣ
＝
ＡＢｃｏｓＢ
，
发现
浙教版《数学》第
Ｒ
ｔ
Ａ
）
第
，
３７
页第
７
题如图暂无规律可循于是尝试将
自
每
一
个数学人梦寐以求的
，
。
我们时常为
己的
灵光
１
闪现而兴奋不已
，
时常为学生的奇思妙想而欣喜若如图
，
１
，
Ａ
、
ＢＣ
、
，
在
＝
一
条东西走向的公路沿线上
ｍ
°
，
，
狂我们渴求数学里的本质我们希望得到最解法
）
，
ＡＣＢＣＣＤ
、、
都用
ＡＢ和
，
１
，
在
ＡＡＢＣ中
，
，
ＺＣ
，
°
＝
９０
ＺＡ的三角函数表示出来分别代人待比较式
然后
ＣＤ
丄ＡＢ垂足为与
ＡＢ＋ＣＤ
Ｄ
试比较
。

另辟蹊径,圆中自有新天地——巧用“隐圆”模型求解线段最值问题

接 AF ，则 AF 的最大值是（）．
A． 13
B． 3 + 2
C． 5 + 2
D． 2 2 +1
分析如图 6，连结 AE，CF ，
易得 ∆EAD ≌ ∆FDC ，
所以 C=F A=E 1 ，
所以点 F 在以点 C 为圆心，1 为半径的 C 上，连结 AC 并延长 AC ，交 C 于点 F0 ，所以线段 AF0 的长就是 AF 的最大值．
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福建中学数学
2018 年第 8 期
C
H
G
D
F
a
B
A
E
图3
这样的解答过程，不仅运算量大大减少，出现
计算错误的概率也大大减少，而且节省了大量的时
间，化繁为简，出其不意．
思路 2 使学生深刻体会到在研究立体几何时，
往往把不好处理的几何体通过转化还原成基本结构
——长方体、正方体、正四面体、球、正三角形等
∆AMN 沿 MN 所在直线翻折得到 ∆A′MN ，连接 A′C ，
则 A′C 长度的最小值是
．
分析由折叠知 MA = MA′ ，又 M 是 AD 的中点，
可得 M=A M= A′ MD ，点 N 运动时，点 A′ 的运动轨
2018 年第 8 期
福建中学数学
39
迹是以 M 为圆心，以 AM 长度为半径的半圆上，所
以当 C，A′，M 三点共线时， A′C 最小．因此，如图 4，
以点 M 为圆心， MA 为半径作 M ，过 M 作 MH ⊥ CD ，垂足为 H ．
菱形 ABCD 中， ∠A =60 ，= DM 1= AD 1， 2
∴∠HDM = 60 ，∴ DH = 1 ， HM = 3 ，

专题24 解三角形中的最值、范围问题(解析版)

专题24 解三角形中的最值、范围问题解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行学/科-+网例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式）（3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-变式：()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值4、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.5、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）（2）利用均值不等式求得最值【经典例题】例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形中，，设与面积分别为，则的最大值为_____.【答案】【解析】分析：利用余弦定理推，求出的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围，求的最大值即可．点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得．例2.【2018届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在中，角A,B,C所对的边分别为，则实数a的取值范围是____________.【答案】.【解析】由，得，所以，则由余弦定理，得，解得，又，所以的范围是.例3.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．【答案】2例4.【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．【答案】【解析】由的三边分别为，，可得：，可知：，，，例5.【2018届湖南省株洲市高三检测（二）】已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小； (2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长. 【答案】(1)(2).【解析】分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此可求角的大小；（2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.（2）因为所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，例6.【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.学/科/*网（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知(Ⅱ)由己知，当有且只有一解时，或,所以；当时，为直角三角形，当时，由正弦定理，，所以，当时，综上所述，.例7.【2018届四川省资阳市高三4月（三诊）】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a b A B +- ()sin sin c C B =-．（1）求A ．（2）若4a =，求22b c +的取值范围．【答案】（1）3A π=；（2）(]16,32.221616b c bc +=+>，进而可得结果.试题解析：（1）根据正弦定理得()()a b a b +- ()c c b =-，即222a b c bc -=-，则222122b c a bc +-=，即1cos 2A =，由于0πA <<，【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 例8．【2018届甘肃省张掖市高三三诊】已知3cos,cos 44x x m ⎛⎫= ⎪⎭， sin ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， c 成等比数列，求()f B 的取值范围．【答案】(1) 424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈．(2) ⎛ ⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）由题()13cos ,cos sin ,cos sin 4444262x x x x x f x m n π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=++ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭，根据正弦函数的性质222262x k k πππππ-≤+≤+可求其单调增区间；（2）由题2b ac =可知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，（当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤，6263B πππ<+≤，由此可求 ()f B 的取值范围．（当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤， 6263B πππ<+≤， ()1f B <≤，综上， ()f B的取值范围为⎛ ⎝⎦．例9.【2018届吉林省吉林市高三第三次调研】锐角ABC ∆中， ,,A B C 对边为,,a b c ，()()()222sin cos ba c B C A C --+=+（1）求A 的大小；（2）求代数式b c a +的取值范围.【答案】（1）3π（22b ca+<≤ 【解析】试题分析：（1）由()()()222sin cos b a c B C A C --+=+及余弦定理的变形可得2cos sin B A B -，因为cos 0B ≠，故得sin A =ABC ∆中3A π=．（2）利用正弦定理将所求变形为2sin sin 32sin sin 6B B b c B a A ππ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭，然后根据6B π+的取值范围求出代数式b ca+的取值范围即可．试题解析：（1）∵2222cos b a c ac B --=-， ()()()222sin cos b a c B C A C --+=+，∴()()2cos sin cos ac B B C A C -+=+ ， ∴()()2cos sin ,B A B ππ--=-∴2cos sin B A B -=，∴23sin sin sin sin sin 3222sin sin sin 6sin 3B B B Bb c B C B a A A πππ⎛⎫+++ ⎪++⎛⎫⎝⎭====+ ⎪⎝⎭,∵ABC ∆为锐角三角形，且3A π=∴02{02B C ππ<<<<，即02{ 2032B B πππ<<<-<, 解得62B ππ<<，∴2,363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭．2b c a +<≤．故代数式b c a +的取值范围2⎤⎦．点睛：（1）求b ca+的取值范围时，可根据正弦定理将问题转化为形如()sin y A x ωϕ=+的函数的取值范围的问题解决，这是在解三角形问题中常用的一种方法，但在解题中要注意确定角x ωϕ+的范围．（2）解答本题时要注意“锐角三角形”这一条件的运用，根据此条件可的求得6B π+的范围，然后结合函数的图象可得sin 6B π⎛⎫+⎪⎝⎭的范围，以达到求解的目的．例10.【2018届衡水金卷信息卷（一）】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-，且//m n .（1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆的外接圆半径为2ABC ∆周长的取值范围. 【答案】(1) 3A π=(2) (]4,6 【解析】试题分析：（1）由//m n ，得62)0c c o s A a c o s B-+=（，利用正弦定理统一到角上易得1cos 2A =；（2）根据题意，得2sin 2a R A ==，由余弦定理，得()223a b c bc =+-，结合均值不等式可得()216b c +≤，所以b c +的最大值为4，又2b c a +>=，从而得到ABC ∆周长的取值范围.得1cos 2A =.又()0,A π∈，所以3A π=.（2）根据题意，得2sin 2a R A ===.由余弦定理，得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，即()223432b c bc b c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，整理得()216b c +≤，当且仅当2b c ==时，取等号，所以b c +的最大值为4.又2b c a +>=，所以24b c <+≤，所以46a b c <++≤. 所以ABC ∆的周长的取值范围为(]4,6.【精选精练】1.【2018届东莞市高三第二次考试】在中，若，则的取值范围为( )A.B.C.D. 【答案】D【解析】因为，所以，即，即，2．【2018届湖南省衡阳市高三二模】在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】，，，，又，，，，故选C.3．【2018届四川省绵阳市高三三诊】四边形ABCD 中， AB =， 1BC CD DA ===，设ABD ∆、BCD ∆的面积分别为1S 、2S ，则当2212S S +取最大值时， BD =__________．【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式的应用,考查同角三角函数关系,考查利用余弦定理解三角形,考查二次函数最值的求法.首先根据题目所求,利用三角形面积公式,写出面积的表达式,利用同角三角函数关系转化为余弦值,利用余弦定理化简,再利用配方法求得面积的最值,并求得取得最值时BD 的值. 4．【2018届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为________.【答案】5．【2018届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设的内角所对的边分别为且+,则的范围是__________．【答案】【解析】由+得,所以，即，再由余弦定理得，即，解得，又，所以的范围是.点睛：在解三角形问题中，一般需要利用余弦定理结合均值不等式，来求两边和的取值范围或者是三角形的面积的最值，只需运用余弦定理，并变形为两边和与两边积的等式，在利用均值不等式转化为关于两边和或两边积的不等式，解不等式即可求出范围.6．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知锐角ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且2cos 2,2a C c b a +==,则ABC ∆的最大值为__________．即4bc ≤，所以ABC ∆的最大值为max 11sin 422S bc A ==⨯= 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.7．【2018届宁夏石嘴山市高三4月适应性测试（一模）】已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且sin cos b A B =.（1）求角B ；（2）若b =ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3B π=；（2）.【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得到tan B =（2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 2212a c ac =+-结合222a c ac +≥即可得最值.试题解析：（1）∵sin cos b A B =，∴由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，即ABC ∆面积的最大值为.8．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知由余弦定理得，所以，即,，所以.由正弦定理，，所以，当时，综上所述，.点睛：本题在转化有且只有一解时,容易漏掉m=2这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.9．【衡水金卷信息卷（二）】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos a C A =. （1）求角A 的大小；（2）若2b =，且43B ππ≤≤，求边c 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) 1⎡⎤⎣⎦.在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin b c B C=，∴22sin 2sin 311sin sin sin tan B C B c B B B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+=+，∵43B ππ≤≤，∴1tan B ≤≤21c ≤≤，即c的取值范围为1⎡⎤⎣⎦.10．【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三三模】已知ABC ∆三个内角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积S满足222a b c =+-．（1）求角C 的值；（2）求()cos2cos A A B +-的取值范围．【答案】（1）23π；（2）(tan C =0C π<<， 23C π∴=.（2）()3cos2cos =cos2cos 2cos232A A B A A A A π⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭0,2333A A ππππ<<∴<+<(203A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 11．【2018届江苏省姜堰、溧阳、前黄中学高三4月联考】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =.（1）求b 的值；（2）若4B π=， S 为ABC ∆的面积，求cos S A C +的取值范围.【答案】(1) 4b =(2) (【解析】试题分析：（1）利用正余弦定理， sin cos 3cos sin A C A C =可转化为2222b ac -=，又222a c b -=，从而得到b 的值；（2）由正弦定理1sin sin 2S bc A A C ==，故324S AcosC A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭限制角A的范围，求出cos S A C +的取值范围.（2）由正弦定理sin sin b c B C =得114sin 4sin sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=()324S AcosC A C A π⎛⎫∴+=-=-⎪⎝⎭，在ABC ∆中，由3040{ 202A A C A C πππ<<<<<<> 得3,82A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 320,44A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，3cos 24A π⎫⎛⎫∴-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(S AcosC ∴+∈.12．【衡水金卷信息卷（五）】在锐角ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且25sin 2sin 224B C A π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.（1）求角A ；（2）若a =ABC ∆周长的取值范围. 【答案】(1) 3A π=(2) (3+(3.试题解析：（1）∵252224B C sin A sin π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，∴()15224cos B C cos A -+-=-， ∴2152124cosA cos A +--=-，整理，得28210cos A cosA --=，∴14cosA =-或12cosA =， ∵02A π<<，∴12cosA =，即3A π=.（2）设ABC ∆的外接圆半径为r，则22a r sinA===，∴1r =. ∴()2b c r sinB sinC +=+ 223sinB sin B π⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ABC ∆周长的取值范围是(3+.。

利用正余弦定理的巧妙解决三角形中的最值问题

利用正余弦定理的巧妙解决三角形中的最值问题已知一边和其对角，求三角函数一些表达式的最值问题，三角形中的范围问题是一类重要的问题，在高考中经常出现，通常解决有两种思路，一是正弦定理与辅助角相结合，二是余弦定理与基本不等式相结合。

本文进行从题型上归纳总结，注重方法的引领的提高。

题目的基本设问题方式是：已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，3π=A ，3=a ，求c b +，bc ，c b 32+，2232c b +的范围题型一求周长的范围或最值变式： c b +的取值范围⇔C B sin sin +的取值范围,已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --=.（1）求A 的大小；（2）若a =7，求ABC ∆的周长的取值范围．试题解析：（1）由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin(A )sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C C C A A A A A ︒︒︒︒⇔+=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=（2）由已知：0,0b c >>，7=>+a c b 由余弦定理()()()()22222231492cos 3344b c bc b c bc b c b c b c π=+-=+-≥+-+=+ （当且仅当b c =时等号成立）∴()2449b c +≤⨯，又7,714b c b c +>∴<+≤.从而ABC ∆的周长的取值范围是(14,21]2若)0(cos sin cos 3)(2>-=ωωωωx x x x f 的图像与直线)0(>=m m y 相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列. （Ⅰ）求ω和m 的值；（Ⅱ）ABC ∆中a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边。

解三角形中的最值与范围问题(解析版)

专题5解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。

2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。

要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。

二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．【分析】设220CDBD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理设220CDBD m ==>，则在ABD △中，2222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+⋅∠=++，在ACD 中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+−⋅∠=+−，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++−++−===−+++++++44≥=−当且仅当311m m +=+即1m =−时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，1m =−.1.[方法二]：建系法令 BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系. 则C （2t,0），A （1，B （-t,0）()()()2222222134441244324131111t AC t t AB t t t t t t BD −+−+∴===−≥−++++++++==当且仅当即时等号成立。

第09讲拓展四：三角形中周长(定值,最值,取值范围)问题 (精讲)(解析版)-2024年高考数学一

第09讲拓展四：三角形中周长（定值，最值，取值范围）问题(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析高频考点一：周长（边长）定值高频考点二：周长（边长）最值高频考点三：周长（边长）取值范围第三部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆1、基本不等式核心技巧：利用基本不等式2a b+≤，在结合余弦定理求周长取值范围；2、利用正弦定理化角核心技巧：利用正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.第二部分：典型例题剖析高频考点一：周长（边长）定值1．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（理））在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，22cos c b a B =+.(1)求角A ；(2)若2a =，ABC 面积)22212S a b c =++，求△ABC 的周长.【答案】(1)π3；(2)6(1)在ABC 中，∵22cos c b a B =+，∴由正弦定理可得2sin sin 2sin cos C B A B =+．又∵()πC A B =-+，()sin sin C A B =+，∴()2sin sin 2sin cos A B B A B +=+．整理得2cos sin sin A B B =．∵sin 0B >，∴1cos 2A =，()0,πA ∈．∴π3A =．(2)∵()22212S a b c =++，∴)2221sin 212bc A a b c =++，)224b c =++，亦即2234bc b c =++．又由余弦定理知224b c bc +-=，∴4bc =．∴()234b c bc +-=．∴4b c +=．∴ABC 的周长为6a b c ++=．2．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知2a b ==．(1)若π6A =，求sin 2B ；(2)当A 取得最大值时，求△ABC 的周长．【答案】(1)3±(2)3(1)由正弦定理得sin sin a b A B =，即πsin 62sin B =，解得sin 3B =，∵0πB <<,∴cos 3B =±，∴sin 22sin cos 3B B B ==±；(2)由余弦定理得22221cos 24b c a c A bc c +-+==，∴2121442c c c c +≥=，当且仅当1c =时，等号成立，此时，△ABC的周长为33．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()sin A A b =+.(1)求B ；(2)若3b =，ABC ABC 周长.【答案】(1)3B π=(2)9(1)()sin A A b =+，由正弦定理：sin sin sin a b cA B C==，()sin sin os n B A A C =+，又∵A B C π++=()sin sin cos A B B A B A +=+，cos sin sin sin cos A B A B B A B A =+，cos sin sin A B A B =，∵0A π<<，∴sin 0A ≠sin B B =，又∵0B π<<，∴tan B =3B π=.(2)由题意知1sin 244ABC S ac B ac ===△，∴9ac =由余弦定理得2222cos a c b ac B =+-，又∵3b =，3B π=，∴2222cos 18a cb ac B +=+=∴()222236a c a c ac +=++=，故6a c +=，所以ABC 的周长9a b c ++=.4．（2022·河南·模拟预测（理））在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知π3A =，4c =．(1)若sin cos 2B B -=，求ABC 外接圆的面积；(2)若a =，求ABC 的周长．【答案】(1)8π(2)答案见解析(1)因为π2sin cos42B B B ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以π1sin 42B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为π3A =，所以203B π<<，所以54412B πππ-<-<则ππ46B -=，则5π12B =．因为π3A =，所以ππ4C A B =--=．设ABC 外接圆的半径为R，由正弦定理得42πsin sin 4c R C ===则R =ABC 外接圆的面积2π8πS R ==．(2)由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，代入数据，得213164b b =+-，解得1b =或3．当1b =时，ABC的周长为53b =时，ABC的周长为7+．5．（2022·四川绵阳·高一期中）在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，已知22232a cb +=+．(1)求cos B 的值；(2)若32BA BC →→⋅=，2b ac =，求ABC 的周长．【答案】(1)3cos 4B =；(2)3.(1)解：由已知得：22232a cb ac +-=由余弦定理得2223cos 24b ac B ac +-==.(2)解：BA BC →→⋅33cos 42ac B ac ===，解得2ac =，所以22b ac ==，b =由余弦定理知2222cos b a c ac B =+-，于是()()22222cos 7a c ac ac B a c =+--=+-，解得3a c +=，故ABC的周长为3+.6．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期中）在ABC 中，()sin sin sin b B a A b c C =-+(1)求角A 的大小(2)若BC边上的中线AD =ABC S = ABC 的周长【答案】(1)23A π=；(2)8+.(1)由已知sin sin ()sin b B a A b c C =-+，由正弦定理得：222b a bc c =--，由余弦定理得：2221cos 22b c a A bc +-==-，在ABC 中，因为(0,)A π∈，所以23A π=；(2)由1sin 24ABC S bc A ===△8bc =①，由（1）知222b a bc c =--，即2228b c a +=-②，在ABD △中，由余弦定理得：222(2cos 22a a c ADB =+-⋅⋅∠，在ADC 中，由余弦定理得：222()2cos 22a ab ADC =+-⋅⋅∠，因为cos cos ADB ADC ∠=-∠，所以222242a b c +=+③，由①②③，得228,56,8a b c bc =+==，所以b c +====所以ABC 的周长8a b c ++=+7．（2022·河南省实验中学高一期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2C ＝sin 2A +cos 2B +sin A sin C ．(1)求角B 的大小；(2)若b =B 的角平分线交AC 于D ，且BD ＝1，求ABC 的周长．【答案】(1)120°(2)4+(1)解：因为cos 2C ＝sin 2A +cos 2B +sin A sin C ，所以1﹣sin 2C ＝sin 2A +1﹣sin 2B +sin A sin C ，即sin 2B ＝sin 2A +sin 2C +sin A sin C ，由正弦定理得，b 2＝a 2+c 2+ac ，由余弦定理得，cos B 222122a cb ac +-==-，由B 为三角形内角得B ＝120°；(2)由题意得:ABC ABD BCD S S S =+△△△，且∠ABD =∠CBD 12=∠B ＝60°，BD ＝1，所以111sin sin 60sin 60222ac B c BD a BD =⋅⋅+⋅⋅ ，=（a +c ），即ac ＝a +c ，因为b ＝b 2＝12＝a 2+c 2﹣2ac cos120°＝a 2+c 2+ac ，因为()()22222a c a c ac ac +=++=，所以ac=a +c ＝4或ac ＝﹣3（舍），故ABC 的周长为4+8．（2022·江苏南通·高一期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b = ，(sin )n B A =，且.m n ⊥ (1)求A ；(2)若a =ABCABC 的周长．【答案】(1)23π；(2)3+.(1)由m n ⊥，则sin cos 0a B A +=，由正弦定理得：sin sin cos 0A B B A =，在ABC 中sin 0B >，故sin A A =，即tan A =因为0A π<<，所以23A π=；(2)由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即227b c bc ++=，可得()27b c bc +=+，又1sin 2ABC S bc A ==2bc =，则()29b c +=，即3b c +=，所以ABC 的周长为3高频考点二：周长（边长）最值一、解答题1．（2022·山西·高一阶段练习）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，且满足4tan tan tan S B C bc B ⋅⋅=⋅+tan 4bc C S ⋅+.(1)求角A 的大小；(2)若4a =，求△ABC 周长的最大值.【答案】(1)π3(2)12(1)∵πA B C ++=，4tan tan tan tan 4S B C bc B bc C S =++，∴()()tan tan tan tan 4tan tan tan tan 11tan tan bc B C B CS bc bc B C bc A B C B C++==-⋅=-⋅+=⋅--⋅，即sin 2sin cos Abc A bc A=⋅，∵(0,π)sin 0A A ∈≠，∴1cos 2A =，∴π3A =；(2)∵4a =，π3A =，∴由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，2216b c bc +-=，()2163b c bc+=+()()2216334b c b c bc ++-=≤⨯（当且仅当4b c ==时取“=”），即()21164b c +≤，8b c +≤，∴b c +的最大值为8，a b c ++的最大值为12，∴△ABC 周长的最大值为12.2．（2022·宁夏·平罗中学三模（文））已知函数()f x m n =⋅，向量()sin cos ,n x x x =+ ，()cos sin ,2sin m x x x =-，在锐角ABC 中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(1)若()1f A =，求角A 的大小；(2)在（1）的条件下，a =cb +的最大值.【答案】(1)3A π=(2)(1)由题()22cos sin cos 2sin 26f x m n x x x x x π⎛⎫=⋅=-+=+ ⎪⎝⎭所以()2sin 216f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即1sin 262A π⎛⎫+=⎪⎝⎭又因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5266A ππ+=，3A π=.(2)由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入数据得：223b c bc =+-，整理得到()()()2222133324b cb c bc b c b c +=+-³+-´=+解得b c +≤b c ==.故c b +的最大值为3．（2022·山西运城·高一阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,cos sin a b c B a B =+.(1)若8,a ABC = 的面积为D 为边BC 的中点，求中线AD 的长度；(2)若E 为边BC 上一点，且1,:2:AE BE EC c b ==，求2b c +的最小值.【答案】(1)(2)7(1)cos sin sin C A B A B +，()cos sin cos sin sin A B A B A B A B A B ++，sin sin sin A B A B =，(),0,π,sin 0,A B B ∈∴≠ tan A ∴，即π3A =.ABC 的面积为1sin 162bc A bc ∴=∴=.D Q 为边BC 的中点，()()222222111()216444AD AB AC AB AB AC AC c b ∴=+=+⋅+=++ ，又222,16,8b c a bc bc a +-===，222641680b c a bc ∴+=+=+=，()()222112880162444AD c b ∴=+⨯+=+= ，即AD = ，∴中线AD 的长度为(2)E 为边BC 上一点，:2:BE EC c b =，()22,22c c BE BC AE AB AC AB c b c b∴=∴-=-++，222c b AE AC AB c b c b ∴=+++，即()22c b AE cAC bAB +=+ ，222(2)(2)c b AE c AC b AB ∴+=+ ，又1AE =，2222222222(2)(2)427c b c AC b AB c b b c b c b c ∴+=+=++=，2c b ∴+=，即21b c+=)2148224427c b b c b c b c b c ⎛⎛⎫⎫∴+=++=++≥+=⎪⎪⎝⎭⎭，当且仅当4c b b c =，即2b c ==故2b c +4．（2022·湖南·模拟预测）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，已知222a c ac b +-=.(1)求角B ；(2)若2b =，求2a c +的最大值.【答案】(1)π3B =(1)由222a c ac b +-=，得222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==，因为0πB <<，所以π3B =.(2)在ABC 中，由（1）及2b =，由正弦定理1sin sin sin ac b A C B ===，所以sin a A =，sin c C =，所以2sin 2sin sin 2sin 3a c A C A A π⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭2sin )A A A ϕ==+，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2ϕ=，因为2π03A <<，π02ϕ<<，所以存在角A 使得π2A ϕ+=，所以2a c +.5．（2022·浙江·模拟预测）向量1,2m x ⎫=⎪⎭，3cos ,22x n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，函数()()2f x m m n =⋅+ .(1)求函数()f x 的对称中心；(2)若函数1()()4g x f x =+在π,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有5个零点，求a 的取值范围；(3)在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ACB ∠的角平分线交AB 于点D ，且()f C 恰好为函数()f x 的最大值.若此时()CD f C =，求43a b +的最小值.【答案】(1)ππ1,1224k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭（k ∈Z ）(2)25π31π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭(3)7+(1)∵1,2m x ⎫=⎪⎭，3,22x n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴5,22m n x x ⎫=+-⎪⎭+ ，∴()25π12sin cos 2sin 24624()f x m m x x x n x ⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭=⋅+ .令π2π6x k -=得ππ(Z)122k x k =+∈，∴()f x 的对称中心为ππ1,1224k ⎛⎫+- ⎝⎭（k ∈Z ）.(2)当π4x =-时，π2π263x -=-，又()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有5个零点，∴π4π25π6a ≤-<，∴a 的取值范围为25π31π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭.(3)由()f C 恰好为函数()f x 的最大值可得17()2sin 2644f C C π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，即sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0C π<<，则可解3C π=，则()74CD f C ==，在ACD △中，由1sin sin 2CD ADA C =，可得78sin AD A =，在BCD △中，由1sin sin 2CD BDB C =，可得78sin BD B =，∴778sin 8sin c A B=+，在ABC 中，sin sin sin a b cA B C==，则可得sin 1sin A a B ⎫=+⎪⎝⎭，sin 1sin B b A ⎫=+⎪⎝⎭，则sin sin 43113sin 4sin A B a b B A ⎫⎫+=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭sin sin sin sin A BB A=⋅⋅，∵sin 0A >，sin 0B >，∴4371212a b +≥=+，当且仅当2sin A B =等号成立，故43a b +的最小值为712+.6．（2022·广东东莞·高一期中）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc+=+(1)若8a =，8AB AC ⋅=，D 为边BC 上的中点，求AD ；(2)若E 为边BC 上一点，且1AE =，:2:BE EC c b =，求2b c +的最小值.【答案】(1)AD =7(1)依题意得：2221cos 22b c a A bc +-==，由1cos 82AB AC bc A bc ⋅=== ，得：16bc =∴222641680b c a bc +=+=+=∵D 为边BC 的中点，∴()12AD AB AC =+ ∴()()222211244AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+()()22112880162444c b =+⨯+=+=即AD =(2)∵E 为边BC 上一点，:2:BE EC c b =，∴222c b AE AC c b c b =+++，即()22c b AE cAC bAB +=+，∴()()22222c b AE c AC bAB +=+ ，又1AE =，∴()()222222222222427c b c AC bAB c b b c b c b c +=+=++= ，∴2c b +，即21b c+=∴)212222415b c b c b c b c c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭当且仅当22b c c b =，即7b c ==取等号，故2b c +的最小值为7.7．（2022·吉林·东北师大附中高一期中）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且cos cos 2cos a C c A b B +=.(1)当12AC =时，求ABC 面积的最大值；(2)当ABC 的面积为ABC 周长的最小值.【答案】(1)(2)12(1)解：由cos cos 2cos a C c A b B +=及正弦定理可得()2sin cos sin cos cos sin sin sin B B A C A C A C B =+=+=，因为()0,B π∈，则sin 0B >，所以，1cos 2B =，故3B π=.因为12b AC ==，由余弦定理可得222221442cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac ==+-=+-≥-=，当且仅当12a c ==时，等号成立，故1sin 24ABC S ac B ac ==≤△故ABC 面积的最大值为.(2)解：因为1sin 24ABC S ac B ac ===△16ac =，所以，b =所以，812a b c a c ++=+++，当且仅当4a c ==时，等号成立，故ABC 周长的最小值为12.8．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++.(1)求A 的大小；(2)若sin sin 1B C +=，试判断ABC 的形状；(3)若2a =，求ABC 周长的最大值.【答案】(1)23A π=(2)等腰钝角三角形(3)最大值为23+(1)因为()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++，根据正弦定理得()()2222a b c b c b c =+++，整理得222b c a bc+-=-由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==-又()0,A π∈，所以23A π=(2)由（1）知23A π=，又sin sin 1BC +=得sin sin 13B B π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即11sin sin sin sin 1223B B B B B B π⎛⎫-=+=+= ⎪⎝⎭，因为0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2333B πππ<+<，23B ππ∴+=，即6B π=，6C π=，则ABC 为等腰钝角三角形；(3)由2a =，23A π=及余弦定理知()()()()222222232cos 44b c b c a b c bc A b c bc b c ++=+-=+-≥+-=则()2163b c +≤，知()max 3b c +=，当且仅当3b c ==时等号成立所以2a b c ++≤+因此ABC 周长的最大值为2+.高频考点三：周长（边长）取值范围1．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知函数()2cos 22sin f x x x x =-+.(1)求函数()f x 的单调递减区间；(2)当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求函数()f x 的值域；(3)在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()1f A =，a =2b c +的取值范围.【答案】(1)5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)(2,1]-(3)(1)解：依题意，()2cos 212sin(2)16f x x x x π--=--，由3222,Z 262k x k k πππππ+≤-≤+∈，解得5,Z 36k x k k ππππ+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递减区间是5[,](Z)36k k k ππππ++∈；(2)解：由（1）知，当(0,2x π∈时，52(,666x πππ-∈-，则1sin(2)126x π-<-≤，2()1f x -<≤，所以函数()f x 的值域是(2,1]-；(3)解：由（1）知，()2sin(2)116f A A π=--=，即sin(2)16A π-=，而0A π<<，则112(,666A πππ-∈-，因此，262A ππ-=，解得3A π=，由正弦定理得：2sin sin sin sin 3b c a B C A π====，即2sin ,2sin b B c C ==，且23C B π=-，则224sin 2sin()35sin )B b c B B B B πϕ==+-++=，sin tan ,0,52πϕϕϕϕ⎛⎫===∈⎪⎝⎭其中，tan 06πϕϕ=∴<<，221,sin sin()220,333B B ππϕϕϕϕπϕ<+<+=<+=⨯<∴，sin())22(,1B B b c ϕϕ<≤≤+++∈，所以b c +的取值范围是.2．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）在①()()222sin 2sin Bc a C b c a b-=+-，②23coscos cos 24A C A C --=，tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C所对的边，b =_______．(1)求角B ﹔(2)求2a c -的范围．【答案】(1)任选一条件，都有3B π=(2)(-(1)选择①：∵()()222sin 2sin Bc a C b c a b-=+-，∴由正弦定理可得：()22222cos c a c b c a bc A -=+-=，∴可得：22cos c a b A -=，可得：2c s 2o c A ab=-，∴由余弦定理可得：222222cos c a b c a b bcA -+-==，整理可得：222c a b ac +-=，∴2221cos 222c a b ac B ac ac +-===，∵()0,B π∈，可得：3B π=选择②：，因为()21cos cos cos cos cos cos 22A C A CA C A C +---=-()1cos 1cos cos sin sin 3224A C A C A C -+-+===，所以()()11cos ,cos cos 22A CB AC +=-=-+=，又因为()0,B π∈，所以3B π=；选择③：因为tan tan cos A B b A=+，由正弦定理可得cos sin cos Cb A B A=，又sin sin sin cos cos sin sin tan tan cos cos cos cos cos cos A B A B A B CA B A B A B A B++=+==tan tan A B =+sin cos cos CA B =，因为sin 0C >，所以tan B =0B π<<，所以3B π=．(2)在ABC 中，由（1）及4sin sin sin 2b ac b B A C ====，故4sin ,4sin a A c C ==，28sin 4sin 8sin 28sin 2si 4si n 3n a c A A A A A AC π⎛⎫-=---=-=- ⎪⎝⎭所以6sin 6A A A π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭因为203A π<<，则662A πππ-<-<1sin 1,266A A ππ⎛⎫⎛⎫-<-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2a c -的范围为(-3．（2022·辽宁沈阳·三模）在①2sin cos cos 0a B b C c B --=，②222sin sin sin sin 0A B C A C -+-=，③sin sin sin cos cos 0A C B A C -=三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c 满足_______（填写序号即可）(1)求B ﹔(2)若1a =，求b c +的取值范围．【答案】(1)6B π=(2)12⎛+ ⎝(1)解：选①，因为2sin cos cos 0a B b C c B --=，所以2sin sin sin cos sin cos 0A B B C C B --=，即()2sin sin sin cos sin cos sin sin A B B C C B B C A =+=+=，又sin 0A ≠，所以1sin 2B =，因为0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6B π=；选②，因为222sin sin sin sin 0A B C A C -+-=，所以2220a b c -+-=，即222222cos b a c a c ac B =+-=+-，所以cos 2B =，因为0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6B π=；选③，因为sin sin sin cos cos 0A C B A C -=，所以sin sin cos cos sin A C A C B -，()sin sin cos cos cos cos B A C A C A C B =-=-+=，所以tan B =因为0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6B π=；(2)解：由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得sin 1sin 2sin B b A A==，()sin sin cos sin sin 2sin A B C Ac A A A+===+，则22cos 1cos 122sin 4sin cos 2tan 222AA b c A A A A ++===，由锐角ABC 得025062A C A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，得32A ππ<<，则64A ππ<<，所以tan2A ⎫∈⎪⎪⎝⎭，从而(1tan A ∈，所以b c +的取值范围为12⎛ ⎝.4．（2022·四川成都·高一期中（文））已知向量()sin ,cos a x x ωω=，)(),cos 0b x x ωωω=> ，函数()12f x a b =⋅- 的最小正周期为π．(1)求函数()f x 的最大值；(2)已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足a =()12f A =，求ABC 周长的取值范围．【答案】(1)1(2)((1)()211cos cos 22f x a b x x x ωωω=⋅-=+-1π2cos 2sin 226x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．因为()f x 的最小正周期为π，所以2ππ2ω=．所以1ω=．所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以()f x 的最大值为1．(2)()π1sin 262f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．因为()0,πA ∈，ππ13π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π5π266A +=，π3A =．由正弦定理可得2sin sin sin a b c A B C ===，所以2sin b B =，2sin c C =．因为πA B C ++=，所以2π3C B =-，2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．所以2sin 2sin b c a B C ++=+2π2sin 2sin 3B B ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭3sin B B =++π6B ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．因为2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．所以π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．所以(π6B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．所以ABC周长的取值范围为(．5．（2022·四川成都·高一期中（理））已知向量())()sin ,cos ,,cos 0a x x b x x ωωωωω==>，函数()12f x a b =⋅-(1)求函数()f x 的最大值；(2)ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，满足a =()12f A =，求ABC 周长的取值范围．【答案】(1)1；(2)(.(1)依题意，()21cos cos 2f x x x x ωωω=+-12cos 222x x ωω=+sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最大值为1．(2)因函数()f x 与x 轴的三个连续交点的横坐标构成以2π为公差的等差数列，则()f x 的最小正周期为π，即22ππω=，解得1ω=，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，有()1sin 262f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，而()130,,2,666A A ππππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，因此，52,663A A πππ+==，在ABC中，由正弦定理得：2sin sin sin a b cA B C ===，即2sin ,2sin b B c C ==，而22,0,33C B B ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则2sin 2sin a b c B C ++=++22sin 2sin 3B B π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭3sin B B =++6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，有1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，于是有(6B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以ABC周长的取值范围为(．6．（2022·河北·高一期中）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()cos ,sin a B B =，()2cos cos ,2sin sin b A B A B =--- ，且a b ⊥ ．(1)求C ；(2)若6c =，求ABC 周长的取值范围．【答案】(1)2π3C =(2)(12,6+(1)解：因为向量()cos ,sin a B B = ，()2cos cos ,2sin sin b A B A B =--- ，且a b ⊥，所以()()cos 2cos cos sin 2sin sin 0B A B B A B -+--=，即()222cos cos sin sin sin cos B A B A B B -=+，即()2cos 2cos 1A B C +=-=，即1cos 2C =-，因为()0,C π∈，所以2π3C =．(2)由余弦定理得()22222361cos 222a b ab a b c C ab ab +--+-===-，所以()22362a b ab a b +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b ==所以a b +≤又三角形的两边之和大于第三边，所以6a b +>，所以ABC 周长的取值范围为(12,6+．7．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足条件；4a =，222sin sin sin sin sin A B C B C +=+．（I ）求角A 的值；（Ⅱ）求2b c -的范围．【答案】（I ）3π；（Ⅱ）()4,8-.（I ）由222sin sin sin sin sin A B C B C +=+，利用正弦定理可得222a bc b c +=+，即222bc b c a =+-故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又(0,)A π∈，3A π∴=（Ⅱ）4a = ，3A π=，利用正弦定理sin sin sin 3a b c A B C===故3b B =，)3c C B π==168122sin()sin cos +sin 3333322b c B B B B B π⎫∴-=⨯-+=-⎪⎪⎝⎭4cos sin 44cos 8sin 336B B B B B B π⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭在ABC 中，3A π=，故203B π<<662B πππ∴-<-<，1sin 126B π⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭，48sin 86B π⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭所以2b c -的范围是()4,8-8．（2022·全国·高三专题练习）已知向量1(sin ,1),,2m x n x ⎫==-⎪⎭ ．令函数()()f x m n m =+⋅．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ACB ∠的角平分线交AB 于D ．其中，函数()f C 恰好为函数()f x 的最大值，且此时()CD f C =，求3a b +的最小值．【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）43+【详解】（1）1(sin ,1),,2m x n x ⎫==-⎪⎭，1sin ,2m n x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∴ ()()1sin sin 2f x x x x ∴=++21sin cos 2x x x =+1cos 21sin 2222x x -=+sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为22ππ=，令222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，故()f x 的单调递增区间为,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）由()f C 恰好为函数()f x 的最大值可得()sin 2126f C C π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，即sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0C π<< ，则可解得3C π=，则()2CD f C ==，在ACD △中，由1sin sin 2CD AD A C =，可得1sin AD A =，在BCD △中，由1sin sin 2CD BD B C =，可得1sin BD B =，11sin sin c A B∴=+，在ABC中，1111sin sin sin sin sin 3sin sin a b c A B A B C A B +⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，则可得sin 13sin A a B ⎫=+⎪⎝⎭，sin 13sin B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin sin sin sin 311sin sin sin sin A B A B a b B A B A ⎫⎛⎫+=++=⋅⋅⎪ ⎪⎭⎝⎭sin 0,sin 0A B >>，83433a b ∴+≥=+，当且仅当sin sin A B =等号成立，故3a b +的最小值为43+.第三部分：高考真题感悟一、解答题1．（2020·全国·高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+[方法二]：正弦化角（通性通法）设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知sin sin sin a b c A B C ===，所以sin )b c B C +=+sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦α=≤0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC周长的最大值为3+[方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c．令13sin ,20,2b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin b c θθ+=+6πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，易知当6C π=时，max ()b c +=所以ABC周长的最大值为3+2．（2017·全国·高考真题（理））△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2)3.解析：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A=.故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-.所以23B C π+=，故3A π=.由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c +=.故ABC 的周长为33．（2016·全国·高考真题（理））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C+=12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C（2）11sin 622∆=⇒==ABC S ab C ab ab 又2222cos +-= a b ab C c 2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a b ABC ∆∴的周长为。

专题02 解三角形中的最值问题(解析版)

专题02 解三角形中的最值问题常见考点考点一面积最值问题典例1．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且cos (2)cos 0c B b a C +-=. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，求△ABC 的面积S 的最大值. 【答案】（1）3C π=；（2 【分析】（1）由正弦定理、和角正弦公式及三角形内角的性质可得sin 2sin cos A A C =，进而可得C 的大小；（2）由余弦定理可得224a b ab +-=，根据基本不等式可得4ab ≤，由三角形面积公式求面积的最大值，注意等号成立条件. （1）由正弦定理知：sin cos (sin 2sin )cos 0C B B A C +-=，∴sin cos cos sin sin()sin 2sin cos C B C B B C A A C +=+==，又0,A C <<π， ∴sin 0A ≠，则1cos 2C =，故3C π=.（2）由2221cos 22a b c C ab +-==，又2c =，则224a b ab ab +-=≥，∴1sin 2S ab C =≤a b =时等号成立，∴△ABC 的面积S变式1-1．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22(sin sin )sin sin sin .A C B A C -=- （1）求角B（2）当b =3时，求ABC 的面积的最大值．【答案】（1）3B π=（2【分析】（1）由正弦定理角化边可得222b a c ac =+-，根据余弦定理结合角B 的范围，即可得答案. （2）由题意，结合基本不等式，可得9ac ≤，代入面积公式，即可得答案. （1）由正弦定理得：22()a c b ac -=-，整理得222b a c ac =+-，所以2221cos 22a cb B ac +-==，因为(0,)B π∈，所以3B π=（2）因为2222b a c ac ac ac ac =+-≥-=，所以9ac ≤（当且仅当a c =时等号成立），所以ABC 面积的最大值max 19sin 2S B =⨯=变式1-2．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin()sin sin A B C B -=-. （1）求A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值. 【答案】（1）3A π=；（2 【分析】（1）利用两角差的正弦公式及诱导公式对sin()sin sin A B C B -=-进行转化，得到1cos 2A =，即可得A ；（2）利用余弦定理､三角形的面积公式以及基本不等式，即可求出ABC 面积的最大值. （1）解：sin()sin sin A B C B -=-，sin cos cos sin sin()sin A B A B A B B ∴-=+-， sin cos sin cos sin cos sin cos sin A B B A A B B A B ∴-=+-， 2sin cos sin 0B A B ∴-=.sin 0B ≠，1cos 2A ∴=，(0,)A π∈，3A π∴=. （2）解：由余弦定理得2222cos23b c bc π+-=，224b c bc ∴+-=.222b c bc bc bc bc +-≥-=，当且仅当2b c ==时取等号，4bc ∴≤， 11sin 422ABCSbc A ∴=≤⨯=ABC变式1-3．△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知a =22()a b c bc --=，（1）若4B π=，求边长b 的值；（2）求△ABC 的面积S 的最大值．【答案】（1）（2）【分析】(1)根据已知条件，结合余弦定理可以求出△A ，再结合正弦定理，即可求出边b ； (2)使用三角形面积公式1sin 2bc A ⋅结合余弦定理和基本不等式即可求出面积最大值﹒ （1）()22a b c bc --=∵ 2222a b bc c bc ∴-+-=222b c a bc ∴+-=2221.222b c a bc bc bc +-∴==由余弦定理可知2221cos 22b c a A bc +-==△(0,)A π∈3A π∴=又23a =4B π=△由正弦定理可知：sin sin a bA B=，，4b ∴== （2）1sin 2ABCSbc A =⋅ 由(1)可知3A π=S ∴=又222b c bc +≤ 由余弦定理可知2222cos a b c bc A =+-⋅2212b c bc ∴+=+122bcbc +∴≤12bc ∴≤当且仅当b ＝c 时，bc 有最大值为12max []12ABC S ==△∴则△ABC 面积最大值考点二周长最值问题典例2．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a bc sin cos A a B a =+. （1）求角B 的值；（2）若2b =，求ABC 周长的取值范围. 【答案】（1）3π（2）(2+ 【分析】（1）利用正弦定理把边化为角，结合三角变换可得解；（2）用正弦定理把边化角，结合三角恒等变换化简，利用三角函数的值域求解，即可得到答案. （1）sin sin cos sin B A A B A =+，因为A 为三角形内角，所以sin 0A ≠，cos 1B B =+，可得：2sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为(0,)B π∈，可得5,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，可得66B ππ-=，所以可得3B π=（2）由正弦定理得，2sin sin sin a b c R A B C ===所以2sin )sin sin 3a c A C A A π⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎥⎝⎭⎣⎦1sin sin 2cos 4sin 26A A A A A A π⎫⎛⎫+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，所以62A ππ<<从而2363A πππ<+<sin 16A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以4a c +≤，故周长的取值范围是(2+变式2-1．已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，()cos 2cos 0b C a c B --=. （1）求角B ；（2）若4AC =，求ABC 的周长的最大值. 【答案】（1）3π（2）12 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，进而得解；（2）利用余弦定理结合基本不等式求最值. （1）()cos 2cos 0b C a c B --=，由正弦定理得：()sin cos 2sin sin cos 0B C A C B --=，则sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=. 即()sin 2sin cos B C A B +=，sin 2sin cos A A B ∴=.又sin 0A ≠，1cos 2B ∴=.()0,B π∈，3B π∴=；（2）由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，即2216a c ac =+-， 16=a 2+c 2−ac =(a +c )2−3ac ，由22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以()221632a c a c +⎛⎫≥+- ⎪⎝⎭8a c +≤，当且仅当4a c ==取等号. 故ABC 的周长的最大值为12.变式2-2．在锐角ABC 中，向量(,3)m a b =与(cos ,sin )n A B =平行. （1）求角A ；（2）若a =2，求ABC 周长的取值范围. 【答案】（1）3π；（2）2,6]+. 【分析】(1)利用向量共线的坐标表示结合锐角三角形条件计算作答.(2)由(1)结合正弦定理用角B 表示边b ，c ，借助三角函数的性质计算作答. （1）因向量(,3)m a b =与(cos ,sin )n AB =平行，则sin cos a BA ，由正弦定理得：sin sin cos A B B A =，而ABC 是锐角三角形，即sin0B >，从而有sin A A=,即tan A =02A π<<，所以3A π=.（2）在锐角ABC 中，由正弦定理得：2sin sin sin sin 3b c a B C A π===，即,b B c C ==，而23C B π=-，且022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<，则23sin()](sin )4sin()326b c B B B B B ππ+=+-=+，而2363B πππ<+<sin(16B π<+)≤，则有4b c+≤，即26a b c <++≤，所以ABC 周长的取值范围是2,6].变式2-3．在ABC 中，已知内角A ､B ､C 的对边分别是a ､b ､c ，且2cos 2c B a b =+. （1）求角C 的大小；（2）若c =，求ABC 周长的最大值. 【答案】（1）23π（2）4+【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换得到sin (2cos 1)0B C +=，即1cos 2C =-，得到答案. （2）根据余弦定理得到2212a b ab =++，利用均值不等式得到4a b +≤，得到周长最大值. （1）由已知得2sin cos 2sin sin C B A B =+，即2sin cos 2sin()sin C B B C B =++，2sin cos 2(sin cos cos sin )sin C B B C B C B =++，所以2sin cos sin 0B C B +=，sin (2cos 1)0B C +=，()0,πB ∈，sin 0B ≠，所以2cos 10C +=，即1cos 2C =-， ()0,πC ∈，故2π3C =. （2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即222π122cos3a b ab =+-， 2212a b ab =++2()a b ab =+-2223()()24a b a b a b ++⎛⎫≥+-=⎪⎝⎭（当且仅当2a b ==时，等于号成立）.所以2()16+≤a b ，即4a b +≤，于是周长4l a b c =++≤+故ABC ∆周长的最大值是4+考点三角的最值问题典例3．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(),m c b =，3,sin 2n B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，m n ∥.（1）求C ；（2）求sin sin A B +的取值范围. 【答案】（1）3C π=（2）32⎛ ⎝【分析】（1）由m n ∥得sin c B ，由正弦边化角可求C ；（2）将sin B 代换成()sin A C +，化简得sin sin 6π⎛⎫++ ⎪⎝⎭A B A ，结合锐角三角形关系求出A 范围，结合三角函数即可求解sin sin A B +的取值范围. （1）由m n ∥得sin c B ，由正弦边化角得sin sin C B B =，因三角形中sin 0B ≠，故sin C =3C π=或23π（舍去）；（2）()3sin sin sin sin sin 26A B A A C A A A π⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭，3C π=， 20,32B A C A πππ⎛⎫=--=-∈ ⎪⎝⎭，解得2,63A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，3sin sin 62A B A π⎛⎫⎛+=+∈ ⎪ ⎝⎭⎝.变式3-1．在ABC 中，A ∠､B ､C ∠所对的边分别为a ､b ､c ，且222a b c +-=ABC （1）求角C 的大小；（2cos 4A B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值，并求取得最大值时角A ､B 的大小.【答案】（1）4Cπ（2）最大值为2，此时3A π=，512B π=【分析】（1）根据面积公式和余弦定理得到sin cos C C =，结合角度范围得到答案. （2）利用三角恒等变换得到原式为2sin 6πA ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据角度范围得到最值.（1）1sin 2ABC S ab C ==△，故2sin ab C =222cos 2a b c C ab +-==2cos ab C = 即sin cos C C =，即tan 1C =，又0πC <<，故π4C =. （2）π4C =，故3π4B A =-， ()cos cos πππcos 2sin 46A B A A A A A ⎛⎫⎛⎫-+=--=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，304A π<<，故ππ11π6612A <+<，当ππ62A +=，即π3A =时，2sin 6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取最大值为2.，此时π3A =，5π12B =.变式3-2．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积cos S C =．（1）求角C 的大小；（2）求2sin cos cos 223A A H B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最大值，及取得最大值时角A 的值．【答案】（1）3C π=；（2）H ，此时4A π=.【分析】（1）由三角形的面积公式可求得tan C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角恒等变换化简得出4H A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出角A 的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得H 的最大值及其对应的角A 的值. （1）解：由in 12s S ab C =及题设条件得1sin cos 2ab C C =，即sin C C =，又cos 0C ≠，tan C ∴0C π<<，3C π∴=．（2）解：因为()2sincos cos sin cos sin cos 223A A H B A A A A ππ⎛⎫=-+=--=+ ⎪⎝⎭4A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3C π=，则203A π<<，114412A πππ∴<+<，故当42A ππ+=时，即当4A π=时，H变式3-3．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且sin sin 2sin sin 6b B a A b Ac C π⎡⎤⎛⎫-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．（1）求角A 的大小；（2）求sin cos C B ⋅的取值范围．【答案】（1）6π（2）1(0,)2【分析】（1）由正弦定理化角为边，再由余弦定理变形可得求得A 角；（2）求出B 角范围，把sin cos C B 用B 角表示，然后结合二倍角公式、两角和的正弦公式变形，再由正弦函数性质得取值范围．（1）sin sin 2sin sin (2sin cos 2cos sin )si 66n 6b B a A b A c C b A b A c C πππ⎡⎤⎛⎫-=+-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由正弦定理得2222sin cos 2cos sin 66b a bc A bc A c ππ-=+-，222sin cos 2cos A bc A b c a bc A +=+-=cos A A =，cos 0A ≠，所以tan A =，又(0,)A π∈，所以6A π=；（2）三角形为锐角三角形，所以62A B B ππ+=+>，3B π>，即32B ππ<<．25551sin cos sin()cos (sin cos cos sin )cos cos cos 6662C B B B B B B B B B πππ=-=-=1cos 21111122cos 2)sin(2)4224264B B B B B π+==++=++， 32B ππ<<，则572666B πππ<+<，11sin(2)262B π-<+<，所以10sin cos 2C B <<．即sin cos C B 的范围是1(0,)2．考点四边的最值问题典例4．已知在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos 20B b A b +-=. （1）求角A ；（2）若a =b c -的取值范围. 【答案】（1）π3；（2）()2,2-. 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求角A ；（2）由（1）知：2π3C B =-，根据ABC 是锐角三角形可求出ππ62B <<，利用正弦定理化角为边，4sin b B =，4sin c C =，结合2π3C B =-以及角B 的范围，再利用三角恒等变换以及三角函数的性质（1）sin cos 20B b A b +-=，sin sin sin cos 2sin 0A B B A B +-=，因为π02B <<，所以sin 0B ≠cos 2A A +=，所以π2sin 26A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πsin 16A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π02A <<，ππ2π663A <+<，所以可得：ππ62A +=，所以π3A =.（2）由正弦定理知：4sin sin sin b c a B C A ====，所以4sin b B =，4sin c C =，所以()2π4sin sin 4sin sin 3b c B C B B ⎡⎤⎛⎫-=-=--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11π4sin sin 4sin 4sin 223B B B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，故ππ62B <<，所以πππ636B -<-<，1π1sin 232B ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，所以()π4sin 2,23B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故b c -的取值范围为()2,2-.变式4-1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos a c b C -=．（1）求角B ；（2）若b =12a +c 的最大值．【答案】（1）3B π=（2（1）由正弦定理和题设条件，化简得sin 2cos sin C B C =，进而求得1cos 2B =，从而可得3B π=；（2）由（1）和正弦定理化简得()12a c A ϕ+=+，结合三角函数的性质，即可求得12a +c 的范围．（1）根据正弦定理，由22cos a c b C -=得2sin sin 2sin cos A C B C -=，又因为()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+，所以2sin cos sin C B C =，又因为sin 0C ≠，所以1cos 2B =，又因为()0,B π∈，所以3B π=（2）根据正弦定理2sin sin a cA C=== △2sin a A =，2sin c C =△1212sin sin 2sin sin 2sin sin 232a c A C A A A A A π⎛⎫+=+=+-=+ ⎪⎝⎭故()12a c A ϕ++其中（tan ϕ=）又203A π<<.当2A πϕ+=时，12a +c变式4-2．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin a A b a B c C +-=．（1）求角C ；（2）求a bc+的取值范围．【答案】（1）3C π=（2）(]1,2 【分析】（1）由正弦定理角化边以及余弦定理即可求解. (2) 由正弦定理边化角，再由三角函数求最值.（1）由已知及正弦定理得222a b ab c +-=，即222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，可得3C π=．（2）根据正弦定理得)sin sin sin sinsin a b A B A B c C ++==+2sin sin33A A π⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin 2A A ⎛⎫=⎪⎪⎭2sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又203A π<<，则5666A πππ<+< 故12sin 26A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，则a b c+的取值范围是(]1,2．变式4-3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin A C a bA B c--=+．（1）求角B 的大小；（2）设2m a c =-，若b =A ，C 都为锐角，求m 的取值范围．【答案】（1）60B =；（2）(0,3). 【分析】（1）根据题意，结合正弦定理角化边，以及余弦定理，即可求解；（2）根据题意，结合正弦定理边化角，三角恒等变换，以及三角函数的性质，即可求解. （1）根据题意，由已知及正弦定理，得a c a ba b c--=+，即22()a c c a b -=-，故222ac a c b =+-．由余弦定理，得2221cos 22a cb B ac +-==，因为()0,B π∈，所以60B =．（2）根据题意，由60b B =︒，知2sin sin a c A C ===，即2sin a A =，2sin c C =，故()4sin 2sin 4sin 2sin 120m A C A A =-=-︒-14sin 2sin 2A A A ⎫=-+⎪⎝⎭()13sin cos 302A A A A A ⎫==-=-⎪⎭︒．由A ，C 都为锐角，180120A C B +=-=，知3090A，03060A <-<，易得()30sin 302A <-<，故(0,3)m ∈.巩固练习练习一面积最值问题1．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B B =. （1）求B ；（2）若ABC 为锐角三角形，且1c =，求ABC 面积的取值范围. 【答案】（1）3B π=（2）⎝⎭【分析】（1）利用辅助角公式可得sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据B 的取值范围，即可求出角B ；（2）由三角形面积公式可得ABC S =△，再利用正弦定理可得12=a ，根据三角形为锐角三角形求出C 的取值范围，再根据正切函数的性质求出a 的取值范围，即可得解；（1）解：由cos 2B B =，即12cos 22B B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.又(0,)B π∈，所以7,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3B π=. （2）解：由题设及（1）知ABC的面积1sin 2△=ABC S ac B .由正弦定理得2sin sin 13sin sin 2C c A a C C π⎛⎫- ⎪⎝⎭===. 由于ABC 为锐角三角形，故02A π<<，02C <<π，由（1）知23A C π+=，所以62C ππ<<，所以tan C2tan C102tan C <<11222<<，即122a <<ABCS <<，因此，ABC面积的取值范围是⎝⎭.2．已知ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()1sin cos 22b C ab c B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭.（1）求b 的值；（2）若3B π=，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）2；（2【分析】（1）利用正弦定理以及逆用两角和的正弦公式得出1sin sin 2A b A =，而sin 0A ≠，即可求出b 的值；（2）根据题意，由余弦定理得224a c ac +-=，再根据基本不等式求得4ac ≤，当且仅当2a c ==时取得等号，即可求出ABC 面积的最大值. （1）解：由题意得1cos cos 2b C abc B =-，由正弦定理得：1sin cos sin sin cos 2B C b A C B =-，即1sin cos sin cos sin 2B C C B b A +=，即1sin sin 2A b A =，因为sin 0A ≠，所以2b =．（2）解：由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即224a c ac +-=，由基本不等式得：2242a c ac ac ac +-=≥-，即4ac ≤，当且仅当2a c ==时取得等号，11sin 4sin 3223ABC S ac B ∴=≤⋅⋅=△，所以ABC 3．已知△ABC 的内角A 、B 、C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-.（1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值. 【答案】（1）3π（2【分析】（1）将sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-，转化为222b c a bc +-=，再由余弦定理求解；（2）根据△ABC 的外接圆半径为1，得到2sin a R A ==3bc ≤，再由1sin 2ABCSbc A =求解. （1）解：因为sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-，所以a b c b c a b c-+=+-，即222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，因为()0,A π∈，所以3A π=；（2）因为△ABC 的外接圆半径为1，所以2sin a R A ==由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，22b c bc bc =+-≥，所以3bc ≤，当且仅当b c =时，等号成立，所以11sin 322ABC S bc A =≤⨯=△故△ABC 的面积S 4．在ABC 中，A ∠、B 、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，其中边c 最长，并且22sin sin 1A B +=．（1）求证：ABC 是直角三角形；（2）当1c =时，求ABC 面积的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）14【分析】（1）利用同角关系，将已知条件变形，配合诱导公式，可以证明结论.（2）利用勾股定理知222=1a b c +=，利用基本不等式可得面积最大值（1）证明：由22sin sin 1A B +=，得22sin 1sin A B =-，即22sin cos A B =，又边c 最长，则A 、B 均为锐角，所以sin =cos =sin()2A B B π-，解得2A B π=-，2A B π+=即2C π=，所以ABC 为直角三角形．（2）因为2C π=，由勾股定理222+=a b c ,因为1c =，所以221a b +=.记ABC 面积为S ,则12S ab =，由222ab a b ≤+得()22111244S ab a b =≤+=，当且仅当a b ==时等号成立．所以当a b ==时，ABC 面积取到最大值14．练习二周长最值问题5．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin sin A C bB C a c-=-+.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC 周长的最大值. 【答案】（1）3A π=（2）6 【分析】（1）利用正弦定理可得222b c a bc +-=，结合余弦定理可得结果；（2）由余弦定理及均值不等式即可得到结果. （1） ∵sin sin sin sin A C bB C a c -=-+，∴a c bb c a c-=-+， ∴222b c a bc +-=，∴2221cos 22b c a A bc +-==，又()0,A π∈，∴3A π=；（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得224bc b c +=+，即2()34b c bc +=+．因为2()2b c bc+，所以223()()44b c b c +++．即4b c +（当且仅当2b c ==时等号成立）．所以6a b c ++．故ABC 周长的最大值6.6()sin cos 1C c A =+；②()()()sin sin sin a b A B c b C -+=-；③)2224ABC S b c a +-△中任选一个，补充在下面问题的横线上，并作答．问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且______．（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC 的周长l 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）条件选择见解析，3A π=（2）(]4,6l ∈ 【分析】（1）选择①，运用正弦定理及辅助角公式可求解；选择②运用正弦定理及余弦定理可求解；选择③，由三角形面积公式及余弦定理可求解. （2）由正弦定理及辅助角公式可求解. （1）()sin sin cos 1A C C A =+，又()0,C π∈，所以sin 0C >cos 1A A -=，则2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又因为5666A πππ-<-<，所以66A ππ-=，解得3A π=．选择②，由正弦定理可得()()()a b a b c b c -+=-，则222b c a bc +-=，则由余弦定理可得2cos bc bc A =，故1cos 2A =．又因为0A π<<，所以3A π=．选择③，由三角形面积公式可得)22214sin cos 2bc A b c a A ⨯=+-=，得tan A =又因为0A π<<，故3A π=．（2）由正弦定理得sin sin a b B B A ==，sin sin a c C C A ==．因为23B A C C ππ=--=-，203C π<<，所以)22sin sin 2sin sin 3l a b c B C C C π⎡⎤⎛⎫=++=+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦32sin 2C C ⎫=++⎪⎪⎝⎭24sin 6C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．又5666C <+<πππ，所以1sin ,162C π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，从而(]4,6l ∈．7．在ABC 中，内角A B C ､､所对边分别为a b c ､､，已知()sin sin sin sin .c C b B a A B -=- （1）求角C 的值；（2）若3c =，求ABC 周长的最大值. 【答案】（1）3π（2）9 【解析】（1）因为()sin sin sin sin .c C b B a A B -=-由正弦定理可得222c b a ab -=-，即222,c a b ab =+- 又因为2222cos c a b ab C =+-，所以1cos 2C =，因为0C π<<，所以3C π=；（2）由余弦定理得22222cos ()3c a b ab C a b ab =+-=+-，所以2222()()3()24a b a b c a b ++≥+-=，即6a b +≤，当且仅当a b =时，等号成立，所以ABC 周长的最大值为9.8．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为()1sin sin sin 2c a A b B c C +-．（1）求角C 的大小；（2）若c =ABC 周长的最大值．【答案】（1）3C π=；（2）【分析】（1）根据ABC 的面积公式可得出()11sin sin sin sin 22ac B c a A b B c C =+-，化简后利用正弦定理进行角化边可得出222ab a b c =+-，然后运用余弦定理可求出cos C 的值，从而可求出角C 的大小；；（2）根据c =3C π=，利用余弦定理得出()22233a b ab a b ab =+-=+-，然后根据基本不等式即可求出a b +≤ABC 周长的最大值．（1）因为ABC 的面积为()1sin sin sin 2c a A b B c C +-，所以()11sin sin sin sin 22S ac B c a A b B c C ==+-，即sin sin sin sin a B a A b B c C =+-，所以由正弦定理，得222ab a b c =+-，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===．又0C π<<，所以3C π=．（2）因为c 3C π=，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得()()22222233()324a b a b a b ab a b ab a b ++⎛⎫=+-=+-≥+-⋅= ⎪⎝⎭，所以()212a b +≤，即a b +≤a b =时“＝”成立．所以a b c ++≤a b =时“＝”成立．所以当ABC 是正三角形时，ABC 的周长取最大值练习三角的最值问题9．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2sin cos 2sin b A B c b B =- （1）求角A 的大小；（2）求cos cos B C +的取值范围. 【答案】（1）π3A = （2）1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）根据正弦定理得到2sin cos 2sin sin A B C B =-，再利用三角恒等变换得到1cos 2A =，得到角度. （2）利用三角恒等变换得到cos cos si πn 6B C B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据角度的范围得到答案.（1）由正弦定理得()2sin sin cos 2sin sin sin B A B C B B =-，因为0πB <<，所以sin 0B ≠，所以2sin cos 2sin sin A B C B =- 即2sin cos 2sin cos 2sin cos sin A B A B B A B =+-，解得1cos 2A =，因为0πA <<，所以π3A =. （2）π3A =，故2π3B C +=，所以2π3C B =-且2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 2πcos cos cos cos 3B C B B ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭2π2π1cos coscos sin sin cos sin 3326πB B B B B B ⎛⎫=++==+ ⎪⎝⎭. 因为2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，即cos cos B C +的取值范围为1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦.10．已知向量(,)m a c b =+，(,)n a c b a =--，且0m m ⋅=，其中A 、B 、C 是ABC 的内角，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．（1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的最大值．【答案】（1）3C π=（2【分析】（1）由0m m ⋅=，得222a b c ab +-=，由余弦定理可得答案；（2）利用23A B π+=，可得sin sin 6π⎛⎫++ ⎪⎝⎭A B A ，再由A 的范围可得答案．（1）由0m m ⋅=，得222()()()0a c a c b b a a b c ab +-+-=⇒+-=，由余弦定理2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又0C π<<，则3C π=．（2）由（1）得3C π=，则23A B π+=，可得：23sin sin sin sin sin 326ππ⎛⎫⎛⎫+=+-==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B A A A A A ，203A π<<，∴5666A πππ<+<，∴1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，∴)6A π+≤即sin sin A B +11．在ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ，c 为方程2312100x x -+=的两个根，a =（1）求三角形ABC 的面积；（2）求sin sin B C +的值. 【答案】（1（2【分析】（1）根据韦达定理得到4b c+=，10 3bc=，再由余弦定理得到22()1cos122b c aAbc+-=-=，所以3Aπ=，根据三角形面积公式得到结果即可；（2）由正弦定理得到sin sinb cB C+=+sin sinB C+==（1）因为b，c为方程2312100x x-+=的两个根，所以4b c+=，103bc=因为a=22222()cos122b c a b c aAbc bc+-+-==-1123==因为0Aπ<<，所以3Aπ=，所以三角形ABC的面积为1110sin sin2233bc Aπ=⨯⨯=（2）在三角形ABC中，由正弦定理得，sin sin sinb c aB C A===所以sin sinb cB C+=+sin sinB C+==12．在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin sin sin sina Ab Cc C b B+=+.（1）求角A的大小；（2）求sin sinB C+的取值范围.【答案】（1）3Aπ=（2）⎝【分析】（1）由正弦定理，将角化边，再根据余弦定理，求解即可.（2）由（1）可知，3Aπ=，则sin sin6B C Bπ⎛⎫+=+⎪⎝⎭6Aπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据正弦型三角函数的图象和性质，求解即可.（1）由正弦定理可得：222a bc c b +=+，又△2222cos a b c bc A =+- △1cos 2A = △0A π<< △3A π=（2）由A B C π++=得23C B π=-，且20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23sin sin sin sin sin 326BC B B B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ △5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭6B π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭⎝.所以sin sin B C +的取值范围是⎝练习四边的最值问题13．已知ABC 的内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，且()22sin sin sin sin sin A C B A C -=-. （1）求角B 的大小；（2）若ABC 为锐角三角形，且b =c a -的取值范围. 【答案】（1）3B π=（2）()1,1- 【分析】（1）根据正弦定理边角互化和余弦定理求解即可；（2）由正弦定理得2sin ,2sin c C a A ==，进而π2sin 3c a C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再结合ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求解即可得答案.（1）解：由已知得222sin sin sin sin sin A C B A C +-=，故由正弦定理得222a c b ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，因为()0,B π∈，所以π3B =. （2）解：由（1）知sin B =， △2sin sin sin a c bA C B===，△2sin ,2sin c C a A ==△ ()()π2(sin sin )2sin sin sin 2sin .3c a C A C B C C C C ⎛⎫-=-=-+==- ⎪⎝⎭在锐角三角形ABC 中，π3B =， △ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，△πππ,366C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，△()π2sin 1,13C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，△c a -的取值范围为()1,1-.14．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，()222sin cos a b c B B -+.（1）求B ；（2）若1b =，求2c a -的取值范围. 【答案】（1）3π（2）()【分析】（1）利用余弦定理对已知条件化简，可求sin B 的值，结合B 为锐角，可求B 的值；（2）由正弦定理可得,a A c C =，再根据锐角三角形，可得,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2c a -的范围转化为三角函数求取值范围的问题求解．（1）解：因为()222sin cos a b c B B -+=，所以222sin 2a c b B B ac +-=，即cos sin B B B =，因为B 为锐角，所以cos 0B ≠，所以sin B =，又0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3B π=；（2）解：在锐角ABC 中，3B π=，所以23A C π+=，所以20,20,23A A C πππ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪∈ ⎪⎭=-⎪⎝⎩，所以,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为3B π=，1b =，所以sin sin sin a b c A B C ===所以,a A c C ==，所以223c a C A A A π⎪-=⎛⎝-⎭=⎫cos 2cos 3A A A π⎛⎫ ⎪+⎝=⎭=，又,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5,326A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，可得cos 3A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即2c a -的取值范围是()．15．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知a =cos (cos )+C B B cos 0A =.（1）求角A 的大小；（2）求2b c +的取值范围. 【答案】（1）3A π=（2）(8, 【分析】（1）根据三角恒等变换化简可得tan A（2）利用正弦定理及三角恒等变换可得2)b c B θ+=+，再根据三角函数的值域求解.（1）△cos (cos )cos 0C B B A +=，△cos()cos cos cos 0A B B A B A -++=.即cos cos sin sin cos cos cos 0-++-=A B A B B A B A ，sin sin cos 0A B B A =，△sin 0B >，△sin A A =，又cos 0A ≠，△tan A = △02A π<<，△3A π=.（2）由正弦定理可得24sin sin 3a R A ===，228sin 4sin 8sin 4sin 10sin )3⎛⎫+=+=+-=+=+ ⎪⎝⎭b c B C B B B B B πθ，其中tan θ=，sin θ=cos θ=θ为锐角△ABC 为锐角三角形，则62B ππ<<，从而62B ππθθθ+<+<+，得sin sin()61⎛⎫+<+⎪⎭≤⎝B πθθ，sin sin cos cos sin 666⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭πππθθθ△sin()17<+≤B θ，8)<+≤B θ△82b c <+≤从而2b c +的取值范围为(8,.16．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin B ＋sin （A -C ）＝cos C ．（1）求角A 的大小；（2）当c =时，求a 2＋b 2的取值范围．【答案】（1）6A π=（2）（12，20）【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，求得1sin 2A =，即可得到答案；（2）由正弦定理得3b =，根据tan C >3＜b ＜4，再利用二次函数的值域即可得到答案；（1）（1）ABC 中，由sinB ＋sin （A -C ）＝cosC 得sin （A ＋C ）＋sin （A -C ）＝cosC ，化简2sinAcosC ＝cosC ，而ABC 为锐角三角形，即cosC ≠0，得1sin 2A =，又02A π<<，故6A π=；（2）（2）由正弦定理得sin sin b cB C=，得13(cos )sin 223sin sin C C c B b C C ⋅==== 又022062C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即32C ππ<<，tan C >3＜b ＜4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2-2bccosA ＝b 2-6b ＋12，所以222231526122(12,20)22a b b b b ⎛⎫+=-+=-+∈ ⎪⎝⎭．。

关于解三角形最值问题的解法探析

关于解三角形最值问题的解法探析作者：毕亭亭来源：《中学生理科应试》2021年第11期问题是数学的心脏，解题作为数学教育的关键环节，在解题教学时，应注重传授学生解决问题的方法，用解题策略打开思维的大门，不要使学生沉溺在“题海”中，题千变万化，是“量”的变化，但是问题的“质”却没有变化，量变质不变，教学应紧紧抓住问题的“质”，问起于题，疑源于思，要逐步培养学生敢于、勇于、善于提出问题的意识，从数学角度不断探索、发现问题的“质”.在近年的高考题或模拟题中，经常会出现解三角形的最值问题，此类问题与其他知识联系密切，学生在面对这类问题时不免会感到困惑，如果学生头脑中储存着一套科学的解题方法，领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，注意分析问题的内在的结构，具备解决一类问题的能力，那么学生就会在解题时感到轻松、愉悦，与片面强调“问题—算法”的传统做法相比而言更强调思维的重要性.一、利用均值不等式求最值在求解三角形最值问题时，如果利用正弦定理、余弦定理进行边角互化之后出现包含形如“ab”、“a2+b2”或“λyx+μxy”的形式，则可选择均值不等式求解，借助重要不等式a2+b2≥2ab或基本不等式λyx+μxy≥2λμ，可以求出ab积的最大值，a2+b2和的最小值，或λyx+μxy的最小值，注意应用时需要考虑“一正，二定，三相等”的条件.例1 （2014江苏卷，理数）若△ABC的内角满足sinA+2sinB=2sinC，求cosC的最小值.思路探求这道题考察正弦定理、余弦定理的边角互化及基本不等式求最值的简单应用，将已知sinA+2sinB=2sinC利用正弦定理转化为边的关系a+2b=2c得到关于c的关系，将c代入到cosC=a2+b2-c22ab中，整理得到cosC=3a2+2b2-22ab8ab其中有a2+b2，ab的形式，利用基本不等式得到3a2+2b2≥26ab，由于ab≠0，约分得到cosC的最小值6-24.解根据正弦定理将已知转化为a+2b=2c，又cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-14（a+2b）22ab=3a2+2b2-22ab8ab≥26ab-22ab8ab=6-24，當且仅当3a=2b时取等号，所以cosC的最小值为6-24.方法点睛高考题中基本不等式常常与函数、数列、向量、解三角形、导数等知识建立联系综合考察，用于解决最值或范围的问题，恰当地运用可以使求解过程变得简洁，利用不等式求最值可以灵活地利用一些解题技巧，如凑项、凑系数、分离、换元、整体代换等.二、利用函数求最值数学中习惯“化繁为简”将复杂的问题变得简单，如果解题时出现多个变量通常先转化为一个变量得到某种类型的函数，由函数的图像或性质得到最值.函数是高中的核心概念之一，教学中应建立以函数为“核”的知识群，发挥函数的强大生长力，建立以函数为“核”的辐射状知识网络，会用函数的思想分析问题、解决问题.例2 （2016年江苏卷）在锐角△ABC中，若sinA=2sinBsinC，求tanAtanBtanC的最小值.思路探求尝试从结论入手建立条件中关于正切的关系，把sinA=2sinBsinC变为正切就要除以余弦，利用三角形内角和定理A+B+C=π得sinA=sin（B+C）=2sinBsinC，同除以cosBcosC，得到1tanB+1tanC=2，整理得tanB+tanC=2tanBtanC，由于结论中有三个未知量，为了减少未知量可以把tanA用tanBtanC来表示，得到函数解析，再利用配方法求出最值.解 tanAtanBtanC=-tanB+tanC1-tanBtanC·tanBtanC=-2（tanBtanC）21-tanBtanC，令tanBtanC=x，已知三角形为锐角三角形有tanAtanBtanC>0，则1-tanBtanC方法点睛通过减少未知量找到了函数关系，构建了函数模型，对于函数可以利用基本不等式、配方法、导数法求出函数的最值，同时要考虑定义域，值得思考的是，上述函数方法的关键在于“换元”，这启示利用函数求最值问题时要灵活“换元”，将解析式转变为所熟悉的方向来求解.三、利用解析法求最值对于有些求最值的问题，可以利用函数的方法，入手简单但有时计算量却较大，对学生的计算能力提出不小的挑战.如果三角形有一边为定值，而另外两边存在某种数量关系，这种数量关系可以是比例、数量积或边的平方和或差等等，都可以由解析法来探求动点的轨迹，由几何图形的性质求得三角形面积的最大值.解析法具体来说是“两化”，图形问题代数化，从而转化到代数形式，通过代数计算，得到代数结果，然后代数结果几何化，得到几何结论，帮助问题解决.例3 （2008年江苏）在△ABC中，AB=2，AC=2BC，求△ABC面积的最大值.思路探求这一问题通常利用余弦定理来处理条件中的数量关系，将三角形面积表示为某一边为自变量的函数，再利用配方法求最值.解法1 设BC=x，则AC=2x，由余弦定理得cosA=2x2+4-x242x=x2+442x，所以sinA=1-（x2+442x）2=-x4+24x2-1632x2，所以S=12·22x·-x4+24x2-1632x2=14·-（x2-12）2+128，当x2=12即x=23时，面积取得最大值为22.可见上述的计算量较大，若换个角度考虑AB是定值，那么面积的最大值就转化为边AB 上的高h的最大值，可以尝试判断满足条件AC=2BC的动点C的运动轨迹，建立平面直角坐标系，根据等式关系得到圆的方程，由圆的几何特征找到高的最大值，求得面积的最大值.解法2 建立以AB所在直线为x轴，AB的中點为原点的平面直角坐标系，由AB=2，得到A（-1，0），B（1，0），设C（x，y），由AC=2BC得（x+1）2+y2=2·（x-1）2+y2，x≠0，化简得：（x-3）2+y2=8，（x≠0），所以点C在圆（x-3）2+y2=8上运动（不含与x轴的两交点），由图1可知AB边上高的最大值即为圆的半径22，故三角形△ABC面积的最大值S=12·AB·h≤12·2·22=22.图1方法点睛若将所列问题进行一般化，如果平面上给定两定点A，B，动点P满足PA=λPB （λ>0且λ≠1），则P点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆称为阿波罗尼斯圆.阿波罗尼斯圆来源于高中课本（求曲线方程），而例3以三角形为包装，实际上考察的却是阿波罗尼斯圆的知识，这说明教材是教学的有效资源，在新课程改革之际教师应勿忘“根本”，守住“初心”，更好地开发、利用教材，用新课改理念对已有教材进行整合，符合学生的认知发展，才能更好地促进学生能力的不断提升.四、利用向量求最值面对一些求边长的最值问题，可以尝试从向量的角度进行运算，因为三角形边的长度实际上是向量的模长，在正弦定理、余弦定理证明时就使用过向量法将几何问题代数化，并且平面向量的数量积将模长和角联系起来，在解三角形问题时，经常会用数量积进行边角之间的相互表示.例4 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D 为AC边的中点，且B=60°，a+c=4，求线段BD长的最小值.思路探求如图2所示，因为D为AC边的中点，则图2A，C，D三点共线，由于边a，c已知，根据平行四边形法则，可以把BA，BC作为基底表示出BD=12（BA+BC），想要得到向量的模长，则需将等式两边平方转化为向量的模和数量积的运算，利用均值不等式求出BD的最小值.解因为D为AC边的中点，所以BD=12（BA+BC），从而BD2=14（BA+BC）2=14（BA2+2BA·BC+BC2）=14（c2+2accosB+a2）=14[（a+c）2-ac]=4-14ac≥4-14（a+c2）2=3.当且仅当a=c=2时取等号，所以线段BD长的最小值为3.方法点睛向量作为沟通代数与几何的工具，提高了解题效率，但学生很少从利用向量的角度分析问题、解决问题，这就说明有一部分学生没有明确学习向量的目的，认为原来的知识已经足够了，又或者新旧知识之间没有很好的进行融合，这些都启示着我们在教学中应该将所学知识进行纵横联系，发挥向量在解决问题时的工具价值，体现向量解题的简洁美.达尔文说“世界上最有价值的知识就是关于方法的知识.避开问题的最佳途径，偏是运用方法将它解决”.思想方法的正确运用才能有效解决问题，可见思想方法的重要，对学生来说思想方法的渗透要“润物细无声”，体现在数学教育的各个方面，教师应以“思维”为中心，以“观察”为主线，以“问题”为载体，以“能力”为目标，在教学中结合高考题或典型例题，暴露解决问题的思维过程，引发学生思考，合理创设情境，引领学生探究，观察对象特征，把握问题的本质，让学生自己感受、体验、思考、反思和总结，把头脑中的知识化作钥匙去开启未来知识宝库的大门，《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“教育不仅要重视结果，还要重视过程，不仅要重视学会，还要重视会学”，这些都有赖于学生数学思想方法、思维能力的提升，从而核心素养才能得到培养和达成.（收稿日期：2021-09-12）。

一道解三角形最值问题的变式与推广

最值问题，在很多情况下，仅仅依靠常规的代数运算
是不能达到很好的变换效果的．本文笔者希望通过对一道三角形面积最值问题
的变式、推广，探究几种处理此类最值问题的方法，
与读者共享．１原题呈现
在 △犃犅犆中，角犃，犅，犆所对的边分别为犪，犫，犮，若 ∠犃＝∠犅，犪２＋犫２＋２犮２＝８，则 △犃犅犆的面积的最大值为．
·５８· 中学数学月刊２０１８年第９期
一道解三角形最值问题的变式与推广
朱荣华（华东师范大学数学教育方向研究生２０００６２）朱姗姗（扬州大学应用数学方向研究生２２５００２）
离题海，达到举一反三的效果，而且在对问题的变式
与推广中也能凸显很多数学的思想方法，对于学生
数学核心素养的提升具有很大的帮助．近年来关于解三角形的最值问题，在各地的高
考题中经常出现．因为解三角形问题所涉及到的公式和定理纷繁复杂，所以，要想既快又准地解决此类
思路分析在三角形中，“等角对等边”及 ∠犃＝∠犅，于是犪＝犫．又因为犪２＋犫２＋２犮２＝８，很容易联系到余弦定理，利用边的关系转化为二次函数问题
解决．
解在 △犃犅犆中，由正弦定理及 ∠犃＝ ∠犅，
得犪
＝犫．由
余
弦
定
理
，得
ｃｏｓ犃
犫２＝
＋犮２－犪２２犫犮
槡（）形，即得到犛＝１
犪２犫２－犪２＋犫２－犮２
２法有求导数、（均值）不等式、分离变量、分离参数等；而本题又是以三角为背景，正弦定理、余弦定理甚至向量都可能会用到．可见，应该还是会有很多方法可以解决这道问题的．

“大结局”——第二十讲操作探究（破解之道）

“大结局”——第二十讲操作探究（破解之道）
最后的“大结局”内涵十分丰富，既包含动手操作等操作探究问题，也包含网格作图、尺规作图等热点话题，还有课题式研究等问题。

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下面提供给大家这一讲的课件（PPT），仅能提供“图片版”了（哈哈）！。

从持殊情形入手,破解线段最值问题

从持殊情形入手,破解线段最值问题从持殊情形入手，破解线段最值问题图形运动问题是中考数学命题的热点题型，其中有一类动点背景下线段长度的最值问题，常常使学生感到比较为难.本文谈谈破解这类问题的方法.动点背景下线段长度的最值问题一般有两种解法:1、代数解法.通过设未知量，建立函数关系或列方程列不等式等，用函数最值、二次方程判别式、解不等式来求解.2、几何方法.常通取特殊点，如线段中点、端点;与动点的特殊位置相关的特殊线段，如三角形的高、中线、圆的直径等;特殊图形，如直角三角形、等边三角形、矩形等，用几何公理、定理来求解.一般而言，用几何方法抓住特殊情形处理，比代数方法更有独特魅力.一、从动点所在特殊位置入手图形中动点的运动有一定的范围，其较为特殊的位置有:线段上动点的两端点、线段中点等;若点在线段外运动，则与某线段共线就是特殊位置.这些特殊位置正是产生最值的关键点.例1 如图1，在四边形ABCD 中，90A ∠=?，AB =3AD =，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为 .分析 DM ，MN 的长度随点M ，N 分别在线段BC ，AB 上运动而变化，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点却保持不变.题设中EF 与不变量A ∠，AB ，AD 无直接数量关系，但连结DN ，则由三角形的中位线定理可知12EF DN =，如图1所示，从而可知DN 最大时，EF 最大.因为N 在线段AB 上，当点N 与其端点B 重合时DN 最大，如图2所示.此时，由勾股定理知6BD =，所以EF 长度的最大值为3.例2 如图3，在⊙O 中，直径6AB =，BC 是弦，30ABC ∠=?，点P 是BC 上的一个动点，点Q 在⊙O 上，且OP PQ ⊥.求PQ 长的最大值.分析点P 在BC 运动时，OP ，PQ 的位置和大小都变化，但OP PQ ⊥，圆的半径不变，连结OQ ，则OPQ ?保持直角三角形不变.在Rt OPQ ?中，PQ ==,所以OP 最小时PQ 的长的最大.由垂径定理知，此时点P 正好是CB 的中点，如图4所示，Q 点与C 点重合.分析连结OQ .∵OP PQ ⊥，∴OPQ ?为直角三角形.又∵OP CB ⊥，132OB AB ==，30ABC ∠=?，∴32OP = 由勾股定理，得PQ ==即PQ . 二、从动点产生的特殊线段入手在图形中，点的运动会引起相应线段位置和长度大小的变化，位置的变化会使线段成为具有某种特殊性质抓住这些线段变化的特殊性:如三角形的高、中线、圆的直径等，往往会找到最值的答案.例3 如图5，在直角ABC ?中，90C ∠=?，3AC =，4BC =，P 为AB 上(不与AB 重合)一动点，过点P 分别作PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥与F ，则EF 的最小值 .分析因为点P 在AB 上运动时，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥与F ，90C ∠=?，所以四边形CFDE 是矩形，且这些关系不变.连结PC ，则EF CP =，要求EF 的最小值，就是求CP 的最小值.显然当CD AB ⊥，即CD 是斜边AB 的高时，CD 最小.又由勾股定理，得5AB =，根据三角形面积不变，得AC BC CD AB ?=?，解得125CP =，所以EF 的最小值为125. 例4 如图6，在圆O 上有定点C 和动点P 位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点G .已知:圆O 半径为52，4tan 3ABC ∠=，则CG 的最大值是( ). (A)5 (B)154 (C)253 (D)203分析点P 在?AB 上运动时，PC 的位置和大小会随之变化，但CAB CPG ∠=∠，90ACB PCG ∠=∠=?保持不变，故有ABC PGC ??:，∴BC AC CG PC =，即BC CG PC AC=g ，由3tan 4AC ABC P C ∠==，知43CG PC =，当PC 最大时，CQ 取到最大值易知，当PC 经过圆心，即PC 为圆O 的直径时，PC 最大(此时CG 是圆O 的切线).∵圆O 半径为52，∴PC 的最大值为5, ∴315544CG =?=. ∴CG 的最大值154，故选B.三、抓住动点问题的特性，从构造特殊图形入手某些动点问题中，难以找到图形变化时与相关线段最值的特殊情形若要用几何解法，应联系整个问题所含条件添加辅助线，构造特殊图形，然后借助特殊图形的性质将问题进行有效转化.例5 如图7，ABC ?中，45B ∠=?，60BAC ∠=?，AB =D 是BC 上的一个动点以AD 为直径画圆与AB ，AC 相交于E ，F 两点，求EF 的最小值.分析点D 在BC 上运动，AD 的位置改变引起圆O 的位置和大小变化，而所求EF 的值与不变量B ∠，BAC ∠以及AB 的关系不明显.连结OE ，OF ，构造含120?角的特殊等腰三角形，如图8所示，过O 点作OH EF ⊥垂足为H ，由圆周角定理可知1602EOH EOF BAC ∠=∠=∠=?.在Rt EOH ?中，由垂径定理可知2EF EH ==.所以当OE 最小时，EF 的值最小，而12OE AD =，由垂线段的性质可知，当AD 为ABC ?的边BC 上的高时，直径AD 最短，此时线段EF 最小.在Rt ADB ?中，45ABC ∠=?，AB =∴2AD BD ==，即此时圆的直径为2.在Rt EOH ?中，sin 1EH OE EOH =∠==∴2EF EH ==即EF .四、从图形运动中相对保持不动的点入手若图形中的动点不止一个，这种情形相对单一动点问题要复杂一般会引起变化的量增加或整个图形发生运动，难以找到原图中保存不变的量，这时可着眼于图中的相对不变量.相对不变量是指在整个图形运动变化中，保持某种特性不变的量与动点下线段最值所对应的仍是图中特殊相对不变量透过图形运动的整体，抓住特殊相对不变量才是解题的关键.例6 如图9，在ABC ?中，90ACB ∠=?，3BC =，8AC =，点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上.当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动中OB 的最大值是多少?分析当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，这样改变了ABC ?的位置，点B 的位置也随之改变，OB 的长度随之发生变化.虽然BC 、AC 的长度不变，但些相对不变的量与OB 没有直接的关系.仔细观察图9，AC 是Rt COA ?的斜边，AC 长度不变，则点O 与其中点D 的连线段OD 的长度保持不变，这个隐含的相对不变的特殊量与OB 有关.于是，连结DB ，则OB DB OD <+,所以，当O 、D 、B 三点共线时OB 值最大，即BO OD DB =+.在Rt BCA ?中，4CD =，3CB =，5DB =.则OB 的最大值为549+=:.综上可知，解决动点背景下线段长度的最值问题时，一般可用几何方法从特殊情形出发考虑.1、在分析动点位置变化的同时，重点抓住图形中不变的量，不变的关系和性质，以不变应万变，动中求静.2、线段的最大值和最小值，常与下列知识相关:两点之间线段最短，垂线段最短，直径是圆中最大的弦，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边等等.所以要抓住特殊情形，联系与问题相关的结论进行有效转化.。

中考压轴题突破几何最值问题

中考压轴题突破：几何最值问题大全将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①定点到定点：两点之间;线段最短；②定点到定线：点线之间;垂线段最短..由此派生：③定点到定点：三角形两边之和大于第三边；④定线到定线：平行线之间;垂线段最短；⑤定点到定圆：点圆之间;点心线截距最短长；⑥定线到定圆：线圆之间;心垂线截距最短；⑦定圆到定圆：圆圆之间;连心线截距最短长..余不赘述;下面仅举一例证明：定点到定圆：点圆之间;点心线截距最短长..已知⊙O半径为r;AO=d;P是⊙O上一点;求AP的最大值和最小值..证明：由“两点之间;线段最短”得AP≤AO+PO;AO≤AP+PO;得d-r≤AP≤d+r;AP最小时点P在B处;最大时点P在C处..即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值..可用“三角形两边之和大于第三边”;其实质也是由“两点之间;线段最短”推得..上面几种是解决相关问题的基本图形;所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的..二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式;如圆与线这些图形不是直接给出;而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的..类型分三种情况：1直接包含基本图形；2动点路径待确定；3动线定点位置需变换..一直接包含基本图形例1.在⊙O中;圆的半径为6;∠B=30°;AC是⊙O的切线;则CD的最小值是 ..简析：由∠B=30°知弧AD一定;所以D是定点;C是直线AC上的动点;即为求定点D到定线AC的最短路径;求得当CD⊥AC时最短为3..二动点路径待确定例2.;如图;在△ABC中;∠ACB=90°;AB=5;BC=3;P是AB边上的动点不与点B重合;将△BCP沿CP所在的直线翻折;得到△B′CP;连接B′A;则B′A长度的最小值是 ..简析：A是定点;B'是动点;但题中未明确告知B'点的运动路径;所以需先确定B'点运动路径是什么图形;一般有直线与圆两类..此题中B'的路径是以C为圆心;BC为半径的圆弧;从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1..例3.在△ABC中;AB=AC=5;cos∠ABC=3/5;将△ABC绕点C顺时针旋转;得到△A'B'C;点E是BC上的中点;点F为线段AB上的动点;在△A'B'C 绕点C顺时针旋转过程中;点F的对应点是F';求线段EF'长度的最大值与最小值的差..简析：E是定点;F'是动点;要确定F'点的运动路径..先确定线段A'B'的运动轨迹是圆环;外圆半径为BC;内圆半径为AB边上的高;F'是例6.如图;m、n是小河两岸;河宽20米;A、B是河旁两个村庄;要在河上造一座桥;要使A、B之间的路径最短应该如何选址桥须与河岸垂直简析：桥长为定值;可以想像把河岸m向下平移与n重合;同时把点A 向下平移河宽;此时转化成n上的一点到A、B的路径之和最短;即转化为定点A'到定点B的最短路径..如下图：思路是把动线AM平移至A'M;A'N+BN即转化为求定点A'与定点B之间的最路径..本题的关键是定长线段MN把动线段分隔;此时须通过平移把动线段A'N、BN变为连续路径;也可以把点B向上平移20米与点A 连接..例7.如图;CD是直线y=x上的一条定长的动线段;且CD=2;点A4;0;连接AC、AD;设C点横坐标为m;求m为何值时;△ACD的周长最小;并求出这个最小值..解析：两条动线段AC、AD居于动点所在直线的两侧;不符合基本图形中定形点线圆应在动点轨迹的两侧..首先把AC沿直线CD翻折至另一侧;如下图：现在把周长转化为A'C+CD+AD;还需解决一个问题：动线段A'C与AD 之间被定长线段CD阻断;动线段必须转化成连续的路径..同上题的道理;把A'C沿CD方向平移CD的长度即可;如下图..现在已经转化为A''D+AD的最短路径问题;属定点到定点;当A''D与AD共线时A''D+AD最短;即为线段AA''的长..三角变换类典型问题：“胡不归”例8.如图;A地在公路BC旁的沙漠里;A到BC的距离AH＝2√3;AB＝2√19;在公路BC上行进的速度是在沙漠里行驶速度的2倍..某人在B 地工作;A地家中父亲病危;他急着沿直线BA赶路;谁知最终没能见到父亲最后一面;其父离世之时思念儿子;连连问：“胡不归;胡不归……”怎么还不回来;这真是一个悲伤的故事;也是因为不懂数学而导致的..那么;从B至A怎样行进才能最快到达简析：BP段行驶速度是AP段的2倍;要求时间最短即求BP/2+AP最小;从而考虑BP/2如何转化;可以构造含30°角利用三角函数关系把BP/2转化为另一条线段..如下图;作∠CBD=30°;PQ⊥BD;得PQ=1/2BP;由“垂线段最短”知当A、P、Q共线时AP+PQ＝AQ'最小..相似变换类典型问题：“阿氏圆”“阿氏圆”：知平面上两点A、B;则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆;这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现;故称阿氏圆;如下图所示;其中PO：BO＝AO：PO＝PA：PB＝k..例9.已知A-4;-4、B0; 4、C0; -6、 D0; -1;AB与x轴交于点E;以点E为圆心;ED长为半径作圆;点M为⊙E上一动点;求 1/2AM+CM 的最小值..简析：本题的主要问题在于如何转化1/2AM;注意到由条件知在M的运动过程中;EM：AE＝1：2保持不变;从而想到构造相似三角形;使之与△AEM的相似比为1：2;这样便可实现1/2AM的转化;如下图取EN：EM ＝1：2;即可得△EMN∽△EAM;再得MN=1/2AM;显然;MN+CM的最小值就是定点N、C之间的最短路径..之后便是常规方法先求N点坐标;再求CN的长..解法大一统万法归宗：路径成最短;折线到直线..所求路径在一般情况下是若干折线的组合;这些折线在同一直线上时即为最短路径基本图形：动点有轨迹;动线居两边..动点轨迹可以是线或圆;动线指动点与定点或定线、定圆的连线;动线与折线同指核心方法：同侧变异侧;分散化连续..动线在同侧进;要变为异侧;一般用翻折、三角、相似的方法构造；动折线被定长线段分散时需化为连续折线;一般用平移的方法构造;如造桥选址问题下图是构造完成的目标图形：再举一例说明上述规律的运用方法：1.如图;菱形ABCD中;∠A=60°;AB＝3;⊙A、⊙B的半径为2和1;P、E、F分别是CD、⊙A、⊙B上的动点;则PE+PF的最小值为 .。

解三角形最值问题

解三角形最值问题大家好呀，今天咱们来聊聊“解三角形最值问题”。

听起来好像有点儿高深，实则并不复杂，只要咱们捋顺了思路，搞定它就像喝杯水那么简单。

三角形这东西，相信大家都不陌生。

生活中随处可见，房子的屋顶、桌子上的三角架、甚至你吃的三明治，都是三角形。

而今天，我们要做的，就是通过一些简单的数学技巧，来找到三角形中的某个“最值”。

要知道，解这种问题，咱们不能光靠背公式，得靠点儿“聪明脑袋”和点儿“运气”。

先说个简单的事儿，三角形最值问题，顾名思义，就是从一个三角形里找出一个“最值”，这个最值可以是最大面积，也可以是最小边长，甚至是最大的角度。

这时候大家可能会想，哎呀，这不就是让我们做个“最优选择”吗？对，没错，就是选出最“牛”的那个，不管是边长、角度还是面积，都可能是我们要找的目标。

只不过，在解这种最值问题时，咱们可得留心，不能只看表面，要从多个角度来分析。

举个例子，假设你有一个三角形的三个边长，想要计算它的最大面积。

别急，不要被题目吓到，关键就是如何利用三角形的性质。

面积公式里，可能就涉及到角度和边长的关系。

所以，如果你想让三角形的面积最大，那角度肯定得找得“合适”——角度太小，三角形就扁了，面积自然就小；角度太大，三角形就成了一个“尖嘴”形状，面积也未必能大到哪里去。

最理想的情况是，三角形的角度刚刚好，那就是“黄金角度”，让面积最大化。

所以说啊，解这种问题，就是要在合适的角度上找到平衡点。

再来说说，三角形的最值问题，不仅仅是看面积，边长也是重头戏。

比如，你已经知道三角形的两个边长，第三个边长是未知的，你就得通过一些巧妙的推理，找出第三边的“最值”。

这个过程里，我们要记住一条常识：三角形的两边之和要大于第三边，否则就不成三角形。

所以，在求解这种最值问题时，要避免那种“想当然”的错误，三角形的三边关系得满足一定的条件，才能顺利解出最值。

有些时候，三角形的最大角度也是我们关心的一个问题。

比如，在建筑设计中，我们可能需要计算一个斜屋顶的角度，如果角度太大，可能会影响结构的稳定性；角度太小，又可能导致水流不畅。

2025高考数学必刷题第34讲、三角形中最值与范围(学生版)

第34讲三角形中最值与范围知识梳理1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：（1）利用基本不等式求范围或最值；（2）利用三角函数求范围或最值；（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；（4）根据三角形解的个数求范围或最值；（5）利用二次函数求范围或最值．要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：（1）求角的最值；（2）求边和周长的最值及范围；（3）求面积的最值和范围．必考题型全归纳题型一：周长问题例1．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）记ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()222cos cos a b c a B b A abc +-+=．(1)求C ；(2)若ABC 为锐角三角形，2c =，求ABC 周长范围．例2．（2024·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）在锐角△ABC 中，a =，(2)cos cos b c A a C -=，（1）求角A ；（2）求△ABC 的周长l 的范围.例3．（2024·全国·高三专题练习）在①2S AC ⋅ ；②22cos 1cos 22B C A +=+；③sin cos c C c A -；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C ，的对边分别是a 、b 、c ，且______(1)求角A 的大小；(2)若a ABC 周长的范围．变式1．（2024·全国·模拟预测）在锐角ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos c b a B b A -=-.(1)求角A 的大小；(2)若1a =，求ABC 周长的范围.变式2．（2024·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足2a =，()cos 2cos a B c b A =-．(1)求角A 的大小；(2)求ABC 周长的范围．题型二：面积问题例4．（2024·全国·模拟预测）已知在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2sin m x = ，()cos ,cos 2n x x = ，()f x m n =⋅ ，()0f B C +=．(1)求角A 的值；(2)若1b =，求ABC 面积的范围．例5．（2024·江苏南通·统考模拟预测）如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四边形ABCD 内种植了两种花卉，其中ABD △区域内种植兰花，BCD △区域内种植丁香花，对角线BD 是一条观赏小道．测量可知边界60m AB =，20m BC =，40m AD CD ==．（1）求观赏小道BD 的长及种植区域ABCD 的面积；（2）因地理条件限制，种植丁香花的边界BC ，CD 不能变更，而边界AB ，AD 可以调整，使得种植兰花的面积有所增加，请在BAD 上设计一点P ，使得种植区域改造后的新区域（四边形PBCD ）的面积最大，并求出这个面积的最大值．例6．（2024·山东青岛·高三青岛三十九中校考期中）在①a ＝2，②a ＝b ＝2，③b ＝c ＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求△ABC 的面积的值（或最大值）．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，三边a ，b ，c 与面积S 满足关系式：2224S b c a =+-，且______，求△ABC 的面积的值（或最大值）．变式3．（2024·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO ，其中3km OA =，OB =，90AOB ∠=︒．物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ，其中M ，N 都在边AB 上（M ，N 均不与AB 重合，M 在A ，N 之间），且30MON ∠=︒．(1)若M 在距离A 点1km 处，求点M ，N 之间的距离；(2)设BON θ∠=，①求出OMN 的面积S 关于θ的表达式；②为节省投入资金，三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小，试确定θ的值，使OMN 得面积最小，并求出这个最小面积．变式4．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，,32ABC S BA BC BC =⋅= ．（1）D 为线段BC 上一点，且2,1CD BD AD ==，求AC 长度；（2）若ABC 为锐角三角形，求ABC 面积的范围．变式5．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a，b ，c ，且sin cos a B b A=.（1）若a =，2b =，求c 的大小；（2）若2b =，且C 是钝角，求ABC 面积的大小范围.题型三：长度问题例7．（2024·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知锐角ABC 内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，.若()sin sin sin b B c C b a A -=-.(1)求C ；(2)若c =a b -的范围.例8．（2024·福建莆田·高三校考期中）在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =()()222sin 2sin Bc a C b c ab-=+-(1)求角B ﹔(2)求2a c -的范围．例9．（2024·重庆江北·高三校考阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，且22cos cos 22C A a c ⎫⎛+ ⎪⎝⎭3()2a c b ac +-=.（1）求角B 的大小；（2）若b =，(0)c x x =>，当ABC 仅有一解时，写出x 的范围，并求a c -的取值范围.变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足条件；4a =，222sin sin sin sin sin A B C B C +=+．（I ）求角A 的值；（Ⅱ）求2b c -的范围．变式7．（2024·全国·高三专题练习）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边()()3a b c a b c ab +++-=.（1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求2a b -的范围.变式8．（2024·山西运城·统考模拟预测）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.（1）求证：sin()sin sin A B a b A B c--=+；（2）若ABC 是锐角三角形，,23A B a b π-=-=，求c 的范围.变式9．（2024·安徽亳州·高三统考期末）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 6a C c A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角A 的大小；（2）设H 为ABC ∆的垂心，且1AH =，求BH CH +的范围.题型四：转化为角范围问题例10．（2024·全国·高三专题练习）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-.(1)求A ；(2)求cos cos B C -的取值范围.例11．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()cos cos a b c B A -=-．(1)判断ABC 的形状并给出证明；(2)若a b ¹，求sin sin sin A B C ++的取值范围．例12．（2024·河北保定·高一定州一中校考阶段练习）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1sin 1cos 2cos sin 2A B A B--=．(1)判断ABC 的形状（锐角、直角、钝角三角形），并给出证明；(2)求22245a b c +的最小值．变式10．（2024·广东佛山·高一大沥高中校考阶段练习）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅ ；(1)若cos cos A B b a=，判断ABC 的形状并说明理由；(2)若ABC 是锐角三角形，求cos C 的取值范围.变式11．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知1,a b ==(1)若π4B ∠=，求角A 的大小；(2)求πcos cos 6A A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围.变式12．（2024·江西吉安·高二江西省峡江中学校考开学考试）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，2222sin()6b c a bc A π+-=+．（1）求角A 的大小；（2）求sin sin B C ⋅的取值范围．变式13．（2024·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若220c bc a +-=，则()2114sin cos tan tan C C C A++-的取值范围为（）A ．()B ．()8,9C ．4,93⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭D ．()4,9题型五：倍角问题例13．（2024·浙江绍兴·高一诸暨中学校考期中）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=．(1)证明：2A B =；(2)若1b =，求a 的取值范围；(3)若ABC 的三边边长为连续的正整数，求ABC 的面积．例14．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2A B =，且A 为锐角，则1cos c b A +的最小值为（）A ．1+B ．3C ．2D ．4例15．（2024·全国·高三专题练习）锐角ABC 的角A B C ，，所对的边为a b c ，，，2A B =，则a b的范围是_________．变式14．（2024·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为5，若()222sin S A C b a +=-，则tan A 的取值范围为______．变式15．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2A B =，则22ac b ab+的取值范围为__________．变式16．（2024·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中2A B =，B ，C 的对边长分别是b ，c ，则b b c +的取值范围是（）A ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭变式17．（2024·福建三明·高一三明市第二中学校考阶段练习）在锐角ABC 中，2A B ∠=∠，B ∠，C ∠的对边分别是b ，c ，则2b c b +的范围是（）A ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭变式18．（2024·江苏南京·高一金陵中学校考期中）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ，若A ＝2B ，则22c b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（）A ．－1B ．73C ．3D ．103题型六：角平分线问题例16．（2024·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，a b =且A B ≠.(1)求角C 的大小；(2)若角C 的平分线交AB 于点D ，且CD =2+a b 的最小值.例17．（2024·江苏淮安·高一统考期中）如图，ABC 中，2AB AC =，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ．(1)若AD BC =，求BAC ∠的余弦值；(2)若3AC =，求AD 的取值范围．例18．（2024·浙江杭州·高一校联考期中）在①cos sin a a C A +=，②()()3a b c a b c ab +++-=，③()()sin sin sin a b B C b B c C -++=．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，．(1)求角C 的值；(2)若角C 的平分线交AB 于点D ，且CD =2a b +的最小值．变式19．（2024·河北沧州·校考模拟预测）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 2cos 0a C b c A ++=，角A 的平分线与边BC 交于点D .(1)求角A ；(2)若2AD =，求4b c +的最小值.变式20．（2024·山东泰安·校考模拟预测）在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足222sin sin sin 1sin sin A A C C B--=，且A C ¹．(1)求证：2B C =；(2)已知BD 是ABC ∠的平分线，若6a =，求线段BD 长度的取值范围．变式21．（2024·全国·高一专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2sin cos sin 2cos a A B b A C +=．(1)求角C 的大小；(2)若c =，ABC ∠与BAC ∠的平分线交于点I ，求ABI △周长的最大值．变式22．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b csinsin 2B Ca B +=，边BC 上有一动点D .(1)当D 为边BC 中点时，若2ADb ==，求c的长度；(2)当AD 为BAC ∠的平分线时，若4a =，求AD 的最大值.题型七：中线问题例19．（2024·湖南长沙·高一雅礼中学校考期中）在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别是a ，b ，c ，若2cos cos c b Ba A-=(1)求角A的大小；(2)若2a=，求中线AD长的范围（点D是边BC中点）.例20．（2024·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知π2sin22c bBa-⎛⎫+=⎪⎝⎭．(1)求A；(2)若3b c+=，求BC边中线AM的取值范围．例21．（2024·全国·高一专题练习）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin sin sin sina Ab Bc C A+=．(1)求角C的大小；(2)若2c=，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．变式23．（2024·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2coscos c b B a A-=(1)求角A的大小；(2)若2a=，求中线AD长的最大值（点D是边BC中点）．变式24．（2024·广东广州·高二广州六中校考期中）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c cos sin C a C -=．(1)求角A 的大小；(2)若2a =，求BC 边上的中线AD 长度的最小值．题型八：四心问题例22．（2024·四川凉山·校联考一模）设ABO （O 是坐标原点）的重心、内心分别是,G I ，且//BO GI，若(0,4)B ，则cos OAB ∠的最小值是__________．例23．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且()cos cos tan a C c A A +.（1）求角A 的大小；（2）若a O 为ABC 的内心，求OB OC +的最大值.例24．（2024·全国·模拟预测）已知锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin cos sin cos sin c b C a C b B a B C -=-+.(1)求角A ；(2)若H 为ABC 的垂心，2a =，求HBC 面积的最大值.变式25．（2024·江苏无锡·高一锡东高中校考期中）在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，2cos cos cos a A b C c B =+．(1)求角A 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，且其面积为2，点G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围.变式26．（2024·河北邢台·高一统考期末）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos )()sin C A a b B -=-，且ABC(1)求C 的大小；(2)若G 是ABC 的重心，求ACG 面积的最大值．变式27．（2024·辽宁抚顺·高一抚顺一中校考阶段练习）如图，记锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，24c b ==，A 的角平分线交BC 于点D ，O 为ABC 的重心，过O 作OP BC ∥，交AD 于点P ，过P 作PE AB ⊥于点E .(1)求a 的取值范围；(2)若四边形BDPE 与ABC 的面积之比为λ，求λ的取值范围.变式28．（2024·浙江·高一路桥中学校联考期中）若O 是ABC 的外心，且()()2222252AC AB AB AO AC AO AO AB AC⋅⋅+⋅⋅= ，则sin 2sin B C +的最大值是（）A2B C ．52D ．变式29．（2024·全国·高三专题练习）已知O 是三角形ABC 的外心，若()2AC AB AB AO AC AO m AOAB AC⋅+⋅=，且sin sin B C +m 的最大值为（）A ．6B ．65C ．145D ．3题型九：坐标法例25．（2024·全国·高三专题练习）在Rt ABC △中，2BAC π∠=，2AB AC ==，点M 在ABC内部，3cos 5AMC ∠=-，则22MB MA -的最小值为______．例26．（2024·全国·高一专题练习）在ABC 中，2AB =，AC =135BAC ∠=︒，M 是ABC所在平面上的动点，则w MA MB MB MC MC MA =⋅+⋅+⋅的最小值为________．例27．（2024·湖北武汉·高二武汉市第三中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆229x y +=上两点，点(1,1)A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的长的取值范围是___________.变式30．（2024·全国·高三专题练习）在ABC ∆中，AB AC =ABC ∆所在平面内存在一点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为（）A B C D 变式31．（2024·全国·高三专题练习）在等边ABC 中，M 为ABC 内一动点，120BMC ∠=︒，则MAMC的最小值是（）A ．1B ．34C D 变式32．（2024·江西·高三校联考开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则(,)F x y =的最小值为（）A ．4B ．2+C ．3+D ．4+题型十：隐圆问题例28．（2024·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，=90BDC ∠︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为（）A ．27B ．16C ．10D ．25例29．（2024·江苏泰州·高三阶段练习）已知ABC 中，2BC =，G 为ABC 的重心，且满足AG BG ⊥，则ABC 的面积的最大值为______.例30．（2024·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校考开学考试）已知等边ABC 的边长为2，点G 是ABC 内的一点，且0AG BG CG ++=，点P 在ABC 所在的平面内且满足1PG = ，则PA 的最大值为________.变式33．（2024·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，90BAD ︒∠=，2AB =，1AD =．若43AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，则12CB CD +的最小值为____．变式34．（2024·全国·高三专题练习）若ABC 满足条件4AB =，AC =，则ABC 面积的最大值为__.变式35．（2024·江苏·高三专题练习）在ABC 中，BC 为定长，23AB AC BC += ，若ABC的面积的最大值为2，则边BC 的长为____________．变式36．（2024·全国·高三专题练习）ABC 中2AB AC ==，ABC 所在平面内存在点P 使得224PB PC +=，21PA =，则ABC 的面积最大值为__________________．变式37．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC ∆中，AB AC ==ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为__________．题型十一：两边夹问题例31．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，若cos cos π2,,0,sin sin 2A B A B B A ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，且ABC 的周长为12．(1)求证：ABC 为直角三角形；(2)求ABC 面积的最大值．例32．（2024·全国·高三专题练习）设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________.例33．（2024·全国·高三专题练习）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ．已知a ，b ，c 依次成等比数列，且()1cos cos 2A CB --=，延长边BC 到D ，若4BD =，则ACD ∆面积的最大值为______．题型十二：与正切有关的最值问题例34．（2024·全国·高一专题练习）在锐角三角形ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围为___________.例35．（2024·全国·高一阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinsin 2B Cb a B +=.(1)求A 角的值；(2)若ABC 为锐角三角形，利用（1）所求的A 角值求a cb-的取值范围.例36．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2B Cb a B +=．求：(1)A ；(2)a cb-的取值范围．变式38．（2024·全国·高三专题练习）锐角ABC 是单位圆的内接三角形，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22224cos 2cos +-=-a b c a A ac B ，则acb的取值范围是（）A ．B ．C ．2⎛ ⎝D ．2⎛ ⎝变式39．（2024·安徽合肥·高一合肥市第七中学校考期中）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则bc的取值范围为（）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．34,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．35,53⎛⎫ ⎪⎝⎭变式40．（2024·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（）A ．)+∞B ．C ．D ．题型十三：最大角问题例37．（2024·全国·高三专题练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M ，N 是锐角∠AQB 的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得∠MPN 最大．”如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆与射线QB 的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点2()1,M -，(1,4)N ，点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P 的横坐标是（）A ．1B ．－7C ．1或－7D ．2或－7例38．（2024·全国·高三专题练习）设ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan()A B -的最大值为（）A ．35B ．13C ．38D ．34例39．（2024·江西上饶·高三上饶中学校考期中）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos cos 2a Bb Ac -=，当tan(A －B)取最大值时，角C 的值为A ．2πB ．6πC ．3πD ．4π变式41．（2024·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A 离地面12米，树上另一点B 离地面8米，若在离地面2米的C 处看此树，则tan ACB ∠的最大值为（）A B C D 变式42．（2024·江苏扬州·高一统考期中）如图：已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树（）米时，看A 、B 的视角最大.A ．4B ．5C ．6D ．7题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题例40．（2024·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）ABC 内一点O ，满足OAC OBA OCB ∠=∠=∠，则点O 称为三角形的布洛卡点．王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确结论，比如πBOC ABC BAC ACB ∠=-∠=∠+∠，请你和他一起解决如下问题：(1)若a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，CAO BAO OBA OCB ∠=∠=∠=∠，证明：2a bc =；(2)在（1）的条件下，若ABC 的周长为4，试把AB AC ⋅uu u r uuu r 表示为a 的函数()f a ，并求AB AC⋅uu u r uuu r的取值范围．例41．（2024·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于120 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120 ；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在ABC 中，已知2π3C =，1AC =，2BC =，且点M 在AB 线段上，且满足CM BM =，若点P 为AMC的费马点，则PA PM PM PC PA PC ⋅+⋅+⋅=（）A ．1-B ．45-C ．35-D ．25-例42．（2024·全国·高三专题练习）点P 在ABC 所在平面内一点，当PA PB PC ++取到最小值时，则称该点为ABC 的“费马点”.当ABC 的三个内角均小于o 120时，费马点满足如下特征：o 120APB BPC CPA ∠∠∠===.如图，在ABC 中，AB AC =，BC =，则其费马点到,,A B C 三点的距离之和为（）A ．4B ．2C ．2-D ．2变式43．（2024·湖南邵阳·统考三模）拿破仑·波拿巴最早提出了一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在△ABC 中，已知30ACB ∠=︒，且AC =3BC =，现以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '，则A B C ''' 的边长为（）A ．3B ．2CD 变式44．（2024·河南·高一校联考期末）几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（称为拿破仑三角形）的顶点．在ABC 中，已知π6C =，AC =作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '，则A B C ''' 的面积为（）A ．3B ．2CD题型十五：托勒密定理及旋转相似例43．（2024·江苏淮安·高一校联考期中）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC 、BD 是其两条对角线，BD =ACD 为正三角形，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．16C ．D ．12例44．（2024·全国·高三专题练习）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC 、BD 是其两条对角线，BD =ACD 为正三角形，则四边形ABCD 的面积为（）A ．8B ．16C ．D ．例45．（2024·全国·高三专题练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD 内接于半径为120A ∠=︒，45B ∠=︒，AB AD =，则四边形ABCD 的周长为（）A ．+B ．C ．+D ．变式45．（2024·江苏·高一专题练习）凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD 中，1AB =，BC =，AC CD ⊥，2AD AC =，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为（）A ．4BC ．D变式46．（2024·江苏无锡·高一江苏省江阴市第一中学校考阶段练习）在ABC 中，BC =1AC =，以AB 为边作等腰直角三角形ABD (B 为直角顶点，C ，D 两点在直线AB 的两侧).当角C 变化时，线段CD 长度的最大值是（）A ．3B ．4C ．5D ．9变式47．（2024·全国·高一专题练习）在ABC 中，BC =1AC =，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）.当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4变式48．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB =1，BC =2，ACD 为正三角形，则 BCD 面积的最大值为（）A ．2BC ．22+D 1题型十六：三角形中的平方问题例46．（2024·全国·高三专题练习）已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为（）A 5B ．5C ．5D ．3例47．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222533a b c +=，则sin A 的取值范围是___________.例48．（2024·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是S =，其中a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若sin 2sin cos C A B =，且224b c +=，则ABC 面积S 的最大值为（）A B C D 变式49．（2024·河南洛阳·高三校考阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22212a b c ++=，23A π=，则ABC 面积的最大值为（）AB C D 变式50．（2024·云南·统考一模）已知ABC 的三个内角分别为A 、B 、C .若222sin 2sin 3sin C A B =-，则tan B 的最大值为（）A B C D 变式51．（2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足2b ac =，则sin cos tan sin cos tan A A CB B C++的取值范围（）A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．⎝⎭D ．⎝⎭变式52．（2024·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC 中，已知2222sin sin 2sin A B C +=，则111tan tan tan A B C++的最小值为（）A ．B CD 题型十七：等面积法、张角定理例49．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，内角A 的角平分线交边BC 于D 点，且4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=，则ABC 面积的最小值是（）A ．16B ．C ．64D ．例50．（2024·湖北武汉·高一校联考期中）已知△ABC 的面积为S ,∠BAC=2α,AD 是△ABC 的角平分线,则AD 长度的最大值为（）A BC D 例51．（2024·上海宝山·高三上海市吴淞中学校考期中）给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为_______.变式53．（2024·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习）在ABC 中，π3BAC ∠=，AM是BAC ∠的角平分线，且交BC 于点M .若ABC AM 的最大值为______.变式54．（2024·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，内角A 的角平分线交边BC 于D 点，且4=AD .若(2)cos cos 0b c A a C ++=，则ABC 面积的最小值是______.变式55．（2024·江西九江·高一德安县第一中学校考期中）ABC 中，ABC ∠的角平分线BD 交AC 于D 点，若1BD =且2π3ABC ∠=，则ABC S 面积的最小值为________.变式56．（2024·湖北武汉·高一华中科技大学附属中学校联考期中）已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a、b 、c ，π3ABC ∠=，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，且BD =，则a c +的最小值为___．变式57．（2024·全国·高一专题练习）已知ABC ，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，1,c C =∠的角平分线交AB 于点D ．若sin sin 2sin A B ACB ∠+=，则CD 的取值范围是____________．变式58．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知ABC ，120BAC ∠=︒，D 为BC上一点，且AD 为BAC ∠的角平分线，则9AB ACAD+的最小值为___________。

解三角形中最值问题的自然之道

解三角形中最值问题的自然之道
田静硕
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2015(000)012
【摘要】＂数学是自然的＂.在人教版普通课程标准实验教科书的主编寄语中,很明确地说明＂数学是自然的＂、＂数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的＂.那么,解决数学问题的方法自然也应当是＂自然的＂.高考题的第17题的位置常常是数列或解三角形的问题,问题难度并不大,对知识与能力的要求是掌握,但是当解三角形与不等式结合,求最值时,学生们往往并不容易找到解题的方法,那是还没有学懂其中的＂自然之道＂.
【总页数】2页(P35-36)
【作者】田静硕
【作者单位】广东省佛山南海西樵高级中学，528211
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.解三角形中最值问题的自然之道 [J], 田静硕;
2.探寻解三角形中的最值问题,提升学生逻辑推理核心素养——从2019年一道解三角形题谈起 [J], 陈锁
3.求解一对解三角形中的最值问题 [J], 甘志国
4.强化思想意识指引解题方向——例谈解三角形中的取值范围与最值问题的求解
[J], 吴利华;朱贤良
5.解三角形中的范围或最值问题 [J], 张露梅
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1 2

4
又∵b=2∴a=2 2 sinA，c=2 2 sinC，
3 ∴S＝ ac sin B ＝2 2 sinAsinC＝2 2 sinAsin －A 4 变形化简得：S来自 2 sin(2A－ ∵A∈（0，

4
)+1
3 5 ）∴2A－ ∈（－，）∴Smax＝ 2 +1 4 4 4 4
s 1 在余弦定理得出的结论中，出现了 ac，也出现了 a2+c2， ac sin B 也就是求出 ac 的最大值， 2

ac 是目标中需要的，不必急于处理，而能够建立 a2+c2 与 ac 之间的联系是什么呢？这样学生 2 2 就容易找到重要不等式 a +c ≥2ac，这样就能从等式中“创造”出不等式了，达到求解的目的。【法 1】由（1）得 B＝
7
c a 2
2
3
cosC）=2
7
sin(C+ )，其中 cos = 2 ，sin = 3 .可知 ∈ 0，
7 7

2
a 2 c 2 ac 3 ，【法 2】由余弦定理得：配方得：

3c 2
a 3 c ， a 2 c 2 ac 3 ，然后陷入思维僵局，不知所措。那么如何顺着学 sin A sin 60 sin C 生的思路教给学生解题的自然之法呢？
我们知道在解三角形问题中，两大理论工具就是正弦定理和余弦定理，两大操作方法就是角化边和边化角，在遇到二次问题是常用方法有配方法，而遇到多元问题常用方法是降元，即二元化一元这些基本的自然的方法。设 A、B、C 的对边分别为 a、b、c。分析这道题中，要求 c+2a，如果从正弦定理入手，目标要求边的形式，而边的变化相对角的变化要少得多，于是可以考虑把边化成角来计算。于是可以引导采用正弦定理入手的同学，把边转化成角来计算。而另一个角度看这个问题，是关于边 a 与边 c 的二元问题，也可以考虑把二元化成一元来解决，而二元化一元的方法常用三角换元法，于是可以引导从余弦定理入手的同学，把关于 a、c 的二次方程配方之后进行三角换元。于是自然就得到了下面的两种解法。【法 1】由正弦定理得：a＝2sinA，c=2sinC，于是 c+2a=2sinA+2sinC=2sinA+4sin(60°+A)，化简得 c+2a=2（2sinC+ 故：（c+2a）max＝2
2
3
，设a
c 3 cos ， 2
3c ∴c=2sin ，故（c+2a） a= 3 cos sin .于是 c+2a＝2 7 sin( + )。 3 sin ， max＝2 7 2
例 2：（2013 新课标全国卷）在△ABC 中，内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c，已知 a=bcosC+csinB。（1）求 B。（2）若 b＝2，求△ABC 面积的最大值。解析：第一问学生一般没问题，至少有两种方法可以得出 B＝，在第二问中，学生们在有 4 了例 1 的分析解答，一部分学生能够根据正弦定理把边 a 和边 c 用角的三角函数表示出来，转化成角，然后使用二元换一元的方法换成只有一个角 A 的函数，再降幂变形求解。然而，还有相当一部分的学生用余弦定理写出 4 a 2 c 2 2 ac ，之后就不知道如何能与△ABC 面积建立联系，怎么一个等式就能变成不等式呢？顺着学生的思路引导学生，我们的目标是求△ ABC 面积的最大值，可以选择公式
破解解三角形中最值问题的自然之道
石家庄市第十五中学李会金 “数学是自然的” 。在人教版普通课程标准实验教科书的主编寄语中，很明确地说明 “数学是自然的” 、 “数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的” 。那么，解决数学问题的方法自然也应当是 “自然的” 。高考题的第 17 题的位置常常是数列或解三角形的问题，问题难度并不大，对知识与能力的要求是掌握，但是当解三角形与不等式结合，求最值时，学生们往往并不容易找到解题的方法，那是还没有学懂其中的“自然之道” 。本文结合实例来谈解三角形中的最值问题的自然之法，如何自然而为。例 1：在△ABC 中，B＝60°，AC＝ 3 ，则 AB+2BC 的最大值为_______。解析：许多学生拿到这题时，感到茫然，或者只是能够列出正弦定理和余弦定理的两个式子：

3
，a=
3
，则 b2+c2 的取值
范围是________. 解析：这道的入手依然是正弦定理和余弦定理。第一种方法用正弦定理，二元化一元，没有太多变化，而且很顺利求解。但是在第二种方法，使用余弦定理和均值定理之后，得到的结果完全不是学生所想象的“a2+c2 有最小值（当且仅当 a=c 时取到） ”那么是什么原因造成的呢？从解答过程中我们可以找到答案【法 1】由正弦定理得：b=2sinB，c=2sinC，于是 b2+c2=4(sin2B+sin2C)=4－2cos(2B+ ∵B∈（0，
综观以上三道例题，我们可以体会到，所谓的解题“自然之道” ，就是读懂题目信息，正确而直接建立其中信息与基础知识的联系，找到解读这些信息的在教材中的根源，那么解题的思维过程就是自然的，解法是自然的，完善对各种问题的认识过程也是一个自然的过程了。当然，以上例题还可以考虑是否有其他方法，比如例 2 就可以用几何方法来解答，几何法解题时，就要求对几何位置容易判断，好解释，而在例 1 和例 3 中这种方法就有很大的局限性了，因此， “自然之道”强调的依然是通性通法（解三角形问题的两大方法），强调的依然是基础知识基本技能（解三角形的两大定理和均值定理、三角运算）这些基本功的扎实，强调的建立各章节知识的融汇贯通。为了加深对解题“自然之道”的理解，下面再配上一些解三角形中的最值问题的其它不同方面的习题，供读者体验感悟，加深认识。练 1：（2012 陕西高考）在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，若 a2+b2=2c2，则 cosC 的最小值为（ C ） A.
2 5 ）∴2B+ ∈（，）∴2cos(2B+ )∈[-2,1)∴b2+c2∈(3,6] 3 3 3 3 3

3
).
【法 2】由余弦定理得 3＝b2+c2－bc，再由 b2+c2≥2bc 得 3＝b2+c2－bc≥
1 （b2+c2） 2
∴b2+c2≤6，另一方面，∵b、c 是正数，∴bc>0，∴3＝b2+c2－bc<b2+c2，故 b2+c2 的取值范围是(3，6] 反思：对比例 2 的【法 2】与例 3 的【法 2】，可以发现，我们并不是用均值定理来直接下结论 ac 最大值，或是 b2+c2 有最小值，而是利用均值定理来构造了一个不等式，这个不等式进行等价变形求解后，可能得到关于 ac 的最大值，b2+c2 的最小值，也可能得到关于 ac 的最小值，b2+c2 的最大值，这完全由运算决定。如果想要通过均值定理说明 ac 这种积的形式有最大值，就必须考虑“正、定、等”三个条件，同样如果想要利用均值定理说明 b2+c2 这种和的形式有最小值，一样必须考虑“正、定、等”三个条件。
3 2
B.
2 2
C.
1 2
D.－
1 2
练 2：（2014 赣州模拟）在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，满足 b(sinB － 2 sinC)=(a+c)(sinA－sinC)，且 AB BC 0 （1）求 A 的值；（2）若 a＝ 2 ，求 b－ 2 c 的取值范围。
1 2
【法 2】由余弦定理得：4＝a2+c2－ 2 ac≥（2－ 2 ）ac ∴ac≤2（2+ 2 ）∴S＝ ac sin B ≤ 2 +1 反思与疑问：对于学生这两道题目解答的实际来看，第一种方法是易于理解和掌握的，而且出错的可能性更小一些，但对于用余弦定理之后的变化方向把握不好，同时，均值不等式是学生极易出错的地方。在例 2 中，学生的疑问随之而来。在使用 a2+c2≥2ac 或 a+c≥2 ac （a、c 为正实数）时，利用这两个不等式构造新的不等式的方法与利用这两个不等式求最值时的“正、定、等”的理解一样吗？可不可以认为： a=c 时，a2+c2 有最小值 2ac， a+c 有最小值 2 ac ， 2ac 有最大值 a2+c2， 2 ac 有最大值 a+c 呢？为了解释这个问题，配以下例 3. 例 3：设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 A＝