解三角形中相关的取值范围问题

合集下载

公开课解三角形中的最值及取值范围问题(一)ppt课件

16 b2 c2 2bc cos
6 整理得16 b2 c2 3 bc
2
对称：b c，bc, b2 c2 非对称： 3b c,2b 3c
例5.(2014陕西理科）在ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c. （1）若a,b, c成等差数列，证明：sin A sin C 2sin(A C)
正弦边化角： a 2Rsin A,b 2Rsin B, c 2R sin C
（2）余弦定理： c2=a2+b2-2abcosC
余弦定理推论 cos A b2 c2 a2 , 2bc
cos B a2 c2 b2 , cosC a2 b2 c2 ,
2ac
2ab
3
（3）重要不等式：a2 b2 2ab (4)基本不等式：a b a（ b a 0,b 0) 2 (5)变形：ab ( a b )2 2 当且仅当a b时，等号成立。
1.利用余弦定理及基本不等式建立不等关系。 2.标明取等条件。
注：1.正弦定理化为三角函数为通法。 2.所求式为边的对称式：bc或b c或b2 c2 一般用余弦定理不等式；非对称式: 如 3b c,2b 3c, 一般用正弦定理三角函数。
思考题：在锐角ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c. 已知：3b 2a sin B, （1）求角A的大小； (2)若a 2,求b c的取值范围。
6
)
1 2
,1
2 3 sin(C ) 3,2 3
6
b c的取值范围为 3,2 3
例4.(2018 湖北八校联考）在 ABC中，角A, B,C的对边分别为 a,b, c
(2)若a 3, A ,求b c的取值范围。
3
解：余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A得，3 b2 c2 2bc cos

解三角形中取值范围的求解策略例谈

技法点拨摘要：解三角形是高考数学考查的重点内容，从历年高考真题来看题型难度中等。

有关取值范围的问题是一个难点，涉及的问题主要有三角形边或边的比值的取值范围、角的取值范围、面积和周长等几类。

关键词：解三角形；取值范围；高考解三角形是普通高中数学重要的内容之一，主要研究三角形中边和角的关系，其中有关取值范围的考题是历年高考的重点和热点。

解三角形中的取值范围问题通常有三类，一是边或边的比值的取值范围；二是角的取值范围；三是三角形的周长或面积的取值范围。

本文结合实例，分析求解解三角形取值范围的常用策略。

一、运用函数思想方法求解取值范围函数思想方法，是破解取值范围和最值问题的强大武器。

运用函数思想方法的关键是合理选择自变量，在解三角形的取值范围中，主要以角为自变量，通过三角函数的有界性求解。

例1.（2020年浙江卷）在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知2b sin A -3a =0.（1）求角B 的大小；（2）求cos A +cos B +cos C 的取值范围.解：（1）B =π3（过程略）.（2）由A +B +C =π得C =2π3-A ，由△ABC 是锐角三角形，得ìíîïïïï0<A <π20<C <π2，即ìíîïïïï0<A <π20<2π2-A <π2，解得π6<A <π2.由cos C =cos(2π3-A )=-12cos A+A ，得cos A +cos B +cos C=A +12cos A +12=sin(A +π6)+12，因为π3<A +π6<2π3，sin(A +π6)≤1，<sin(A +π6)+12≤32，得cos A +cos B +cosC∈(32].故cos A +cos B +cosC ∈(3+12,32].点评：本题把求解的式子转化为关于角A 的三角函数，也可以转化为角C 的三角函数，无论转化为哪一种都有求出角的范围。

第14讲解三角形中周长最大值及取值范围问题(学生版)

第14讲解三角形中周长最大值及取值范围问题【考点分析】考点一：解三角形中角的最值及范围问题①利用锐角三角形，⎪⎩⎪⎨⎧<<<<<<πππC B A 000，求出角的范围②利用余弦定理及基本不等式求角的最值：bca bc bc a cb A 222cos 2222-≥-+=考点一：解三角形中周长的最值及范围问题①利用基本不等式：()bca bc cb bc a c b A 222cos 22222--+=-+=，再利用bc c b 2≥+及a c b >+，求出c b +的取值范围②利用三角函数思想：()B A R B R C R B R c b ++=+=+sin 2sin 2sin 2sin 2，结合辅助角公式及三角函数求最值【题型目录】题型一：三角形角的最值及范围问题题型二：三角形边周长的最值问题题型三：三角形边周长的最值范围问题【典型例题】题型一：三角形角的最值及范围问题【例1】在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2sin B C A +=，则A 的最大值为（）A ．2π3B ．π6C ．π2D ．π3【例2】在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 0a B c +=，则tan C 的最大值是（）A ．1BCD【例3】锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos b a a C -=，则（）A ．2C A =B ．A 的取值范围是(,)64ππC ．2A C=D ．2ca的取值范围是【例4】已知在锐角ABC 中，sin tan 1cos BA B=+.(1)证明：2B A =；(2)求tan tan 1tan tan B AA B-+⋅的取值范围.【题型专练】1．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos b b A a B +=，则（）A ．2AB =B ．64B ππ<<C ．(ab∈D ．22a b bc=+2．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若222sin()SA C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（）A ．,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．433⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭题型二：三角形边周长的最值问题【例1】已知ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，6c =，60B =︒，则b 的最小值为（）A ．3B ．C ．D ．6【例2】设ABC 边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若ABC 的面积为212c ，则以下结论中正确的是（）A ．b aa b+取不到最小值2B ．b aa b+的最大值为4C ．角C 的最大值为2π3D ．23b a ca b ab+-的最小值为-【例3】已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且()()()2sin sin 2sin sin a A B c b B C -=-+，若2AD DB =，1CD = ，求：(1)求()cos A B +的值；(2)求2b a +的最大值.【例4】△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2A +cos2B +2sin A sin B ＝1+cos2C ．(1)求角C ；(2)设D 为边AB 的中点，△ABC 的面积为CD 的最小值.【例5】ABC 三角形的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=(1)求C ∠；(2)已知6c =，求ABC 周长的最大值．【题型专练】1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin 2sin sin A B C =，则c bb c+的最大值为______，此时内角A 的值为______2.在平面四边形ABCD 中，20AB AD ==，π3BAD ∠=，2π3BCD ∠=．(1)若5π12ABC ∠=，求BC 的长；(2)求四边形ABCD 周长的最大值．3．在条件：①2sin 30b A =，②3sin cos a b A a B =-，③22cos a b C c =+中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．已知a ，b ，c 分别为锐角ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，3b =，而且__________；(1)求角B 的大小；(2)求ABC 周长的最大值．4.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.5.已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，(cos 3)a C C b c +=+．（1）求角A ；（2）若5a =，求ABC △的周长的最大值．题型三：三角形边周长的最值范围问题【例1】在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若1c =，π3B =，则a 的取值范围为_____________；sin sin AC 的最大值为__________．【例2】设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，.c 已知6a =，2b =，要使ABC 为钝角三角形，则c 的大小可取__________(取整数值，答案不唯一)．【例3】在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2cos 2a cC b-=.(1)求角B 的大小；(2)求ac的取值范围.【例4】平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠= ，AB =2，则AD 长度的取值范围________.【例5】某公园有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米，现欲在边界BC 上选择一点P ，修建观赏小径PM ，PN ，其中M ，N 分别在边界AB ，AC 上，小径PM ，PN 与边界BC 的夹角都是60︒，区域PMB 和区域PNC 内部种郁金香，区域AMPN 内种植月季花．(1)探究：观赏小径PM ，PN 的长度之和是否为定值？请说明理由；(2)为深度体验观赏，准备在月季花区城内修建小径MN ，当点P 在何处时，三条小径（PM ，PN ，MN ）的长度之和最少？【例6】请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①()()()sin sin sin 0a c A C b a B +-+-=；②2cos 12cos C C C =+；③2sin sin 2sin cos B A C A -=．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若．(1)求角C ；(2)若4c =，求△ABC 周长的取值范围．【例7】在ABC 中,,a b c 为角,,A B C 所对的边，且cos cos 2B bC a c=-.(1)求角B 的值；(2)若b ，求2a c -的取值范围.【例8】在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin 2sin sin sin a A c C B b C B =-++．(1)求角A ；(2)若ABC 为锐角三角形，求)2b c a-的取值范围．【题型专练】1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2B bC a c=-，则下列说法正确的有（）A ．3B π=B ．若sin 2sinC A =，且ABC 的面积为ABC 的最小边长为2C ．若b =时，ABC 是唯一的，则a ≤D ．若b =ABC 周长的范围为2．锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos b a a C -=，则（）A ．2C A =B ．A 的取值范围是(,)64ππC ．2A C=D ．2ca的取值范围是3．已知三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos 0a c B b C --=．(1)求角B ；(2)若b ＝2，求a c +的取值范围．4．在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()22sin sin sin sin A B B A B -=+.(1)证明：2A B =.(2)求bc 的取值范围.5．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=.(1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 周长的取值范围.6．如图：某公园改建一个三角形池塘，90C ∠=︒，2AB =（百米），1BC =（百米），现准备养一批观赏鱼供游客观赏．(1)若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供游客观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC PB ++的长（单位为百米）；(2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建行连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏．如图②，当DEF 为正三角形时，求DEF 的面积的最小值．7.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin sin cos cos 3sin B C A CA a c=+，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=⋅，则ba c +2的取值范围是（）A ．B ．(6,C ．D ．2)。

解三角形解答题中范围问题归纳总结

解三角形解答题中范围问题归纳总结一、与三角形的边相关的范围问题1．设函数()24cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的对称轴方程；(2)已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若122A f ⎛⎫=⎪⎝⎭， 2b c +=，求a 的最小值. 2.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知函数()2223sin cos sin cos f x x x x x =+-，当x A =时， ()f x 取得最大值.(1)求角A 的大小；(2)若2a =，求BC 边的中线AD 长度的最大值.3．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+. （1）求角C ；（2）若ABC 的面积为32S c =，求ab 的最小值. 4.设函数()22cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最大值，并写出使()f x 取最大值时x 的集合；（2）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()32f A =， 2b c +=，求a 的最小值. 5.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边交单位圆于点D ，且()0,απ∈，点E 的坐标为()1,3-.（1）若OE OD ⊥，求点D 的坐标；（2）若(0)OE tOD t =>，且在ABC ∆中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ， 2=B α， 3b =求a c +的最大值.6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos cos 3sin cos C A B A B +=．（1）求cos B 的值；（2）若1a c +=，求b 的取值范围．7.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足：①ABC ∆的外心在三角形内部（不包括边）； ②()()()222sin 3cos b a c B C ac A C --+=+. （1）求A 的大小；（2）求代数式b ca+的取值范围. 8.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin tan tan cos CA B A+=. （1）求角B 的大小；（2）若4a c +=，求b 的取值范围.9.已知ABC △的内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c 3tan tan cA B =+.(1)求角A 的大小；(2)设AD 为BC 边上的高，3a =AD 的范围.【总结】三角形中最值或范围问题，一般转化为条件最值或范围问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二、与三角形的角相关的范围问题1.已知cos 14x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，， 23sin cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，设函数()f x m n =⋅ （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC 的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， c 成等比数列，求()f B 的取值范围.【思路引导】由a ， b ， c 成等比数列，可得2b ac =，再根据余弦定理结合基本不等式可得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-==≥，从而可得角B 的范围，进而可得()f B 的取值范围.2.已知函数()21sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在 ABC 中, ,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos2cos sin b A b A a B =-02A π<<求()f B 的取值范围.【思路引导】由cos2cos sin b A b A a B =-，根据正弦定理可得sin cos2sin cos sin sin B A B A A B =-，再根据三角形的性质以及二倍角的余弦公式可得()()cos sin cos sin 10A A A A -+-=，求出4A π=.从而可得72444B πππ<+<，进而利用正弦函数的单调性可得()f B 的取值范围. 3.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是,,a b c ,且()3cos 23cos .a C b c A =- (1)求角A 的大小; (2)求25πcos 2sin 22C B ⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围.【思路引导】先对三角式子进行恒等变形化简，然后利用角A 得到角B 的取值范围，通过三角函数的有界性，确定所给条件的取值范围.4．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足2cos cos 0a B b A +=. （1）若2a c =，求角B ；（2）求cos C 的最小值.【思路引导】根据（1）可知222cos 2a c b c a B a ac +-=-=-⋅，即()22213c b a =-，由余弦定理得222cos 2a b cC ab+-==()2222132a b b a ab+--=22426a b ab +，根据基本不等式可得结果. 5.已知锐角ABC ∆的三个内角A 、B 、C 满足sin sin B C = ()222sin sin sin tan B C A A +-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的外接圆的圆心是O ，半径是1，求()OA AB AC ⋅+的取值范围．【思路引导】根据向量减法的三角形法则及平面向量的数量积公式可得()()2?3cos 226OA AB AC OA OB OC OA B π⎛⎫⋅+=⋅+-=+- ⎪⎝⎭，根据ABC ∆是锐角三角形，可得572666B πππ<+<，再由三角函数的有界性可得结果. 6.设ΔABC 三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c , ΔABC 的面积S 满足22243S a b c =+-. (1)求角C 的值;(2)求sin cos B A -的取值范围.【思路引导】由三角形的内角和定理，可得5π6B A =-，运用两角和差的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．7.在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足sin cos c A a C =. (1)求角C 的大小;(2)求π3sin cos 4u A B ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的取值范围. 【思路引导】由(1)知3π4B A =-，化简π2sin 6u A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质求解即可．8.ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c ，，，且sin sin sin 2sin a A b B c C a B +=+()1求角C ；()2求3sin cos 4A B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值．【思路引导】由第一问得到原式等价于33sin cos 44A A ππ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，化简后为2sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据角的范围得到三角函数的范围即可。

解三角形取值范围常见题型

解三角形取值范围常见题型三角形是几何学中常见的形状，它由三条边和三个角组成。

在解三角形问题中，我们经常遇到需要确定三角形角度和边长取值范围的题型。

本文将介绍一些常见的解三角形取值范围问题，并提供相应的解决方法。

1. 直角三角形取值范围直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角是直角（90度）。

在直角三角形中，两条边的长度关系遵循勾股定理，即较短的两条边的平方和等于最长边的平方。

因此，直角三角形的两个锐角的取值范围都是0到90度。

2. 锐角三角形取值范围锐角三角形是指三个角都是锐角（小于90度），没有直角和钝角。

在锐角三角形中，我们可以使用三角函数（正弦、余弦和正切）来确定角的取值范围。

假设三角形的三个角分别为A、B和C，对应的边长分别为a、b和c。

2.1. 三角形角度和为180度根据三角形的性质，三个角的和总是等于180度。

因此，锐角三角形的三个角度满足A + B + C = 180度。

2.2. 正弦函数的取值范围正弦函数（sin）表示三角形的某个角的对边与斜边的比值。

在锐角三角形中，正弦函数的取值范围为0到1之间（不包括0和1），即0 < sinA, sinB, sinC < 1。

2.3. 余弦函数的取值范围余弦函数（cos）表示三角形的某个角的邻边与斜边的比值。

在锐角三角形中，余弦函数的取值范围也是0到1之间（不包括0和1），即0 < cosA, cosB, cosC < 1。

2.4. 正切函数的取值范围正切函数（tan）表示三角形的某个角的对边与邻边的比值。

在锐角三角形中，正切函数的取值范围为0到无穷大（不包括0），即0 < tanA, tanB, tanC。

3. 钝角三角形取值范围钝角三角形是指三个角中有一个角是钝角（大于90度），没有直角和锐角。

在钝角三角形中，我们同样可以利用三角函数来确定角的取值范围。

3.1. 三角形角度和为180度与锐角三角形相同，钝角三角形的三个角度之和也等于180度。

三角函数ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题(解析版)

三角函数ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题命题预测三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．高频考法(1)ω取值与范围问题(2)面积与周长的最值与范围问题(3)长度的范围与最值问题01ω取值与范围问题1、f (x )=A sin (ωx +φ)在f (x )=A sin (ωx +φ)区间(a ，b )内没有零点⇒b -a ≤T2k π≤aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ≤π+k π⇒b -a ≤T2a ≥k π-ϕωb ≤π+k π-ϕω同理，f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内没有零点⇒b -a ≤T2k π<aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ<π+k π ⇒b -a <T2a >k π-ϕωb <π+k π-ϕω2、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有3个零点⇒T <b -a ≤2T k π≤aω+ϕ<π+k π3π+k π<bω+ϕ≤4π+k π⇒T <b -a ≤2T k π-φω≤a <(k +1)π-φω(k +3)π-φω<b ≤(k +4)π-φω同理f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内有2个零点⇒T2≤b -a <3T2k π<aω+ϕ≤π+k π2π+k π≤bω+ϕ<3π+k π ⇒T 2≤b -a <3T2k π-φω<a ≤k π+π-φω(k +2)π-φω≤b <(k +3)π-φω 3、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有n 个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω≤a<kπ+π-φω(k+n)π-φω<b≤(k+n+1)π-φω同理f(x)=A sin(ωx+φ)在区间[a，b]内有n个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω<a≤kπ+π-φω(k+n)π-φω≤b<(k+n+1)π-φω4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为2n+14T，则2n+14T=(2n+1)π2ω=b-a ．5、已知单调区间(a,b)，则a-b≤T 2.1(2024·江苏南通·二模)已知函数y=3sinωx+cosωx(ω>0)在区间-π4,2π3上单调递增，则ω的最大值为()A.14B.12C.1211D.83【答案】B【解析】因为y=3sinωx+cosωx=2sinωx+π6，又ω>0，由-π2+2kπ≤ωx+π6≤π2+2kπ,k∈Z，得到-2π3+2kπω≤x≤π3+2kπω,k∈Z，所以函数y=3sinωx+cosωx的单调增区间为-2π3+2kπω,π3+2kπω(k∈Z)，依题有-π4,2π3⊆-2π3+2kπω,π3+2kπω(k∈Z)，则2π3≤π3ω-2π3ω≤-π4，得到0<ω≤12，故选：B.2(2024·四川泸州·三模)已知函数f x =sinωx-2π3(ω>0)在0,π 有且仅有三个零点，则ω的取值范围是()A.83,11 3B.83,113C.53,83D.53,83【答案】B【解析】因为0≤x≤π，所以-2π3≤ωx-2π3≤ωπ-2π3，因为函数f x =sinωx-2π3(ω>0)在0,π 有且仅有三个零点，结合正弦函数的图象可知2π≤ωπ-2π3<3π，解得83≤ω<113，故选：B.3(2024·四川德阳·二模)已知函数f x =sinωx+φ(ω>0,φ∈R)在区间7π12,5π6上单调，且满足f7π12=-f3π4 ．给出下列结论，其中正确结论的个数是()①f2π3=0；②若f5π6-x=f x ，则函数f x 的最小正周期为π；③关于x的方程f x =1在区间0,2π上最多有3个不相等的实数解；④若函数f x 在区间2π3,13π6上恰有5个零点，则ω的取值范围为83,103．A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】①因为f7π12=-f3π4 且7π12+3π42=2π3，所以f2π3=0.①正确.②因为f5π6-x=f(x)所以f(x)的对称轴为x=5π62=5π12,2π3-5π12=π4=T4⇒T=π.②正确.③在一个周期内f x =1只有一个实数解，函数f x 在区间7π12,5π6上单调且f2π3 =0，T≥45π6-2π3=2π3.当T=2π3时，f x =sin3x，f x =1在区间0,2π上实数解最多为π6,5π6,3π2共3个.③正确.④函数f x 在区间2π3,13π6上恰有5个零点，2T<13π6-2π3≤5T2⇒2⋅2πω<13π6-2π3≤52⋅2πω，解得83<ω≤103；又因为函数f x 在区间7π12,5π6上单调且f2π3 =0，T≥45π6-2π3=2π3，即2πω≥2π3⇒ω≤3，所以ω∈83,3.④错误故选：C4(2024·江苏泰州·模拟预测)设函数f x =2sinωx-π6-1ω>0在π,2π上至少有两个不同零点，则实数ω的取值范围是()A.32,+∞ B.32,73 ∪52,+∞ C.136,3 ∪196,+∞ D.12,+∞ 【答案】A【解析】令2sin ωx -π6 -1=0得sin ωx -π6 =12，因为ω>0，所以ωx -π6>-π6，令sin z =12，解得z =π6+2k π,k ∈Z 或z =5π6+2k 1π,k 1∈Z ，从小到大将sin z =12的正根写出如下：π6，5π6，13π6，17π6，25π6，29π6⋯⋯，因为x ∈π,2π ，所以ωx -π6∈ωπ-π6,2ωπ-π6，当ωπ-π6∈0,π6 ，即ω∈16,13 时，2ωπ-π6≥5π6，解得ω≥12，此时无解，当ωπ-π6∈π6,5π6 ，即ω∈13,1 时，2ωπ-π6≥13π6，解得ω≥76，此时无解，当ωπ-π6∈5π6,13π6 ，即ω∈1,73 时，2ωπ-π6≥17π6，解得ω≥32，故ω∈32,73，当ωπ-π6∈13π6,17π6 ，即ω∈73,3 时，2ωπ-π6≥25π6，解得ω≥136，故ω∈73,3，当ω≥3时，2ωπ-π6-ωπ-π6=ωπ≥3π，此时f x 在π,2π 上至少有两个不同零点，综上，ω的取值范围是32,+∞ .故选：A02面积与周长的最值与范围问题正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．1(2024·青海·模拟预测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos 2B +2b cos A cos B =c ．(1)求B ；(2)若b =4，△ABC 的面积为S ．周长为L ，求SL的最大值．【解析】(1)由正弦定理可得，2sin A cos 2B +2sin B cos A cos B =sin C ，所以2sin A cos 2B +2sin B cos A cos B =sin A cos B +cos A sin B ,所以sin A cos B (2cos B -1)+cos A sin B (2cos B -1)=0，即(2cos B -1)sin (A +B )=0，由0<A +B <π，可知sin (A +B )≠0，所以2cos B -1=0，即cos B =12，由0<B <π，知B =π3.(2)由余弦定理，得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即16=a 2+c 2-ac ，所以16=a +c 2-3ac ，即ac =13a +c 2-16 ，因为S =12ac sin B =34ac ，L =a +b +c ，所以S L =3ac 4a +c +4=3a +c 2-1612a +c +4，所以S L=312a +c -4 ，又ac ≤a +c 24(当且仅当a =c 时取等号)，所以16=a +c 2-3ac ≥a +c24(当且仅当a =c =4时取等号)，所以a +c ≤8(当且仅当a =c =4时取等号)，所以S L=312a +c -4 ≤312×8-4 =33(当且仅当a =c =4时取等号)，即S L的最大值为33.2(2024·陕西汉中·二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，请从下列条件中选择一个条件作答：(注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．)①记△ABC 的面积为S ，且3AB ⋅AC =2S ；②已知a sin B =b cos A -π6 ．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且a =6，求△ABC 周长的取值范围．【解析】(1)选条件①，由3AB ⋅AC =2S ，得3bc cos A =2×12bc sin A ，整理得tan A =3，而0<A <π，所以A =π3.选条件②，由a sin B =b cos A -π6 及正弦定理，得sin A sin B =sin B cos A -π6，而sin B >0，则sin A =cos A -π6 =32cos A +12sin A ，整理得tan A =3，而0<A <π，所以A =π3.(2)由(1)知A =π3，由正弦定理得b sin B =c sin C =a sin A =6sin π3=22，因此b +c =22sin B +22sin C =22sin B +sin π3+B =2232sin B +32cos B=26sin B +π6由△ABC 为锐角三角形，得0<B <π20<2π3-B <π2 ，解得π6<B <π2，因此π3<B +π6<2π3，则32<sin B +π6≤1，于是32<b +c ≤26，32+6<a +b +c ≤36，所以△ABC 周长的取值范围是(32+6,36].3(2024·宁夏银川·二模)已知平面四边形ABCD 中，∠A +∠C =180°,BC =3.(1)若AB =6,AD =3,CD =4，求BD ；(2)若∠ABC =120°,△ABC 的面积为932，求四边形ABCD 周长的取值范围.【解析】(1)在△ABD 中，由余弦定理得cos ∠A =32+62-BD 22×3×6，在△BCD 中，由余弦定理得cos ∠C =32+42-BD 22×3×4，因为∠A +∠C =180°，所以cos ∠A +cos ∠C =0，即32+62-BD 22×3×6+32+42-BD 22×3×4=0，解得BD =33.(2)由已知S △ABC =12×3×AB ×32=932，得AB =6，在△ABC 中，∠ABC =120°，由余弦定理得AC 2=32+62-2×3×6×cos120°=63，则AC =37，设AD=x,CD=y,(x,>0,y>0)，在△ACD中，由余弦定理得372=x2+y2-2xy⋅cos60°=x+y2-3xy，则x+y2=63+3xy≤63+3×x+y22，得x+y24≤63，所以x+y≤67，当且仅当x=y=37时取等号，又x+y>AC=37，所以四边形ABCD周长的取值范围为37+9,67+9.4(2024·四川德阳·二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin B=23cos2A+C 2.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)因为△ABC中，sin B=23cos2A+C2，即2sinB2cos B2=23cos2π-B2=23sin2B2，而0<B<π,∴sin B2>0，故cos B2=3sin B2，故tan B2=33，又0<B<π,∴0<B2<π2，则B2=π6,∴B=π3；(2)由(1)以及题设可得S△ABC=12ac sin B=34a；由正弦定理得a=c sin Asin C=c sin2π3-Csin C=c sin2π3cos C-cos2π3sin Csin C=32cos C+12sin Csin C=32tan C+12，因为△ABC为锐角三角形，0<A<π2，0<C<π2，则0<2π3-C<π2,∴π6<C<π2，则tan C>33,∴0<1tan C<3，则12<32tan C+12<2，即12<a<2，则38<S△ABC<32，即△ABC面积的取值范围为38,32 .03长度的范围与最值问题对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．1(2024·贵州遵义·一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3b-a sin C= 3a cos C．(1)求A；(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求b的取值范围．【解析】(1)在△ABC中，由3b-a sin C=3a cos C及正弦定理，得3sin B-sin A sin C=3sin A cos C，则3sin A cos C+sin A sin C=3sin(A+C)=3sin A cos C+3cos A sin C，即sin A sin C=3cos A sin C，而sin C>0，于是tan A=3，又0<A<π，所以A=π3.(2)由(1)知，A=π3，由正弦定理得b=c sin Bsin C=2sin2π3-Csin C=3cos C+sin Csin C=3tan C+1，由△ABC为锐角三角形，得0<C<π20<2π3-C<π2，解得π6<C<π2，则tan C>13，∴1tan C<3,则1<b<4，所以b的取值范围是1<b<4.2(2024·宁夏固原·一模)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且2sin B sin C+cos2C= 1+cos2A-cos2B．(1)求证：B+C=2A；(2)求c-ba的取值范围．【解析】(1)因为2sin B sin C+cos2C=1+cos2A-cos2B，所以2sin B sin C+1-2sin2C=1+1-2sin2A-1+2sin2B，则sin B sin C-sin2C=-sin2A+sin2B，由正弦定理可得bc-c2=-a2+b2，即bc=b2+c2-a2，所以cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又A∈0,π2，故A=π3，由A+B+C=π，故B+C=π-A=2π3=2A；(2)由(1)得sin A=32,cos A=12，因为sin B=sin A+C=sin A cos C+cos A sin C=32cos C+12sin C，所以由正弦定理得c-ba=sin C-sin Bsin A=23sin C-32cos C-12sin C=2312sin C-32cos C=23sin C-π3，又锐角△ABC中，有0<C<π20<π-π3-B<π2，解得π6<C<π2，所以-π6<C-π3<π6，则-12<sin C-π3<12，所以-33<23sin C-π3<33，即-33<23sin C-π3<33，故c-ba的取值范围为-33,33.3(2024·河北衡水·一模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足AB⊥BD,BD=2，且a2=-233S+ab cos C.(1)求角B；(2)求2AD +1CD的取值范围.【解析】(1)∵a2=-233S+ab cos C，∴a2=-33ab sin C+ab cos C，即a=-33b sin C+b cos C，由正弦定理得，sin A=-33sin B sin C+sin B cos C，∴sin B+C=-33sin B sin C+sin B cos C，∴cos B sin C=-33sin B sin C，∵sin C≠0，∴tan B=-3，由0<B<π，得B=2π3.(2)由(1)知，B=2π3，因为AB⊥BD，所以∠ABD=π2，∠DBC=π6，在△BCD中，由正弦定理得DCsin∠DBC=BDsin C，即DC=2sinπ6sin C=1sin C，在Rt△ABD中，AD=BDsin A=2sin A，∴2 AD +1CD=22sin A+11sin C=sin A+sin C，∵∠ABC=2π3，∴A+C=π3,∴2 AD +1CD=sin A+sin C=sinπ3-C+sin C=sinπ3cos C-cosπ3sin C+sin C=sin C+π3，∵0<C<π3，∴C+π3∈π3,2π3，∴sin C+π3∈32,1，所以2AD+1CD的取值范围为32,1.4(2024·陕西安康·模拟预测)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=8，ac=1+sin2A-sin2Csin2B，且a≠c．(1)求证：B=2C；(2)已知点M在线段AC上，且∠ABM=∠CBM，求BM的取值范围．【解析】(1)因为ac=1+sin2A-sin2Csin2B，即a-cc=sin2A-sin2Csin2B，由正弦定理可得a-cc=a2-c2b2=a+ca-cb2，又a≠c，即a-c≠0，所以1c=a+cb2，整理得b2=c2+ac，由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，整理得c=a-2c cos B，由正弦定理得sin C=sin A-2sin C cos B，故sin C=sin B+C-2sin C cos B，即sin C=sin B cos C+sin C cos B-2sin C cos B，整理得sin C=sin B-C，又因为△ABC为锐角三角形，则C∈0,π2,B∈0,π2，可得B-C∈-π2,π2，所以C=B-C，即B=2C.(2)因为点M在线段AC上，且∠ABM=∠CBM，即BM平分∠ABC，又B=2C，所以∠C=∠CBM，则∠BMC=π-C-∠CBM=π-2C，在△MCB中，由正弦定理得BCsin∠BMC=BMsin C，所以BM=BC sin Csin∠BMC=8sin Csin2C=8sin C2sin C cos C=4cos C，因为△ABC为锐角三角形，且B=2C，所以0<C<π20<2C<π20<π-3C<π2，解得π6<C<π4.故22<cos C<32，所以833<BM<42.因此线段BM 长度的取值范围833,42.1在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =3，A =60°，则b 的取值范围是()A.0,6B.0,23C.3,23D.3,6【答案】C【解析】由正弦定理得a sin A =b sin B ，即b =a sin B sin A =3sin B sin60°=23sin B ，又△ABC 为锐角三角形，C =180°-A -B =120°-B ，又0°<B ,C <90°，则0°<120°-B <90°，解得30°<B <90°，而当30°<x <90°时，y =sin x 单调递增，故sin B ∈12,1，所以b =23sin B ∈3,23 .故选：C2已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)，现有如下说法：①若φ=π3，函数f (x )在π6,π3 上有最小值，无最大值，且f π6 =f π3，则ω=5；②若直线x =π4为函数f (x )图象的一条对称轴，5π3,0 为函数f (x )图象的一个对称中心，且f (x )在π4,5π6 上单调递减，则ω的最大值为1817；③若f (x )=12在x ∈π4,3π4 上至少有2个解，至多有3个解，则ω∈4,163；则正确的个数为()A.0 B.1C.2D.3【答案】C【解析】对于①，因为x =π6+π32=π4时，f x 有最小值，所以sin ωπ4+π3=-1，所以ωπ4+π3=2kπ+3π2k∈Z，得到ω=8k+143k∈Z，因为f x 在区间π6,π3上有最小值，无最大值，所以π3-π4≤πω，即ω≤12，令k=0，得ω=143，故①错误；对于②，根据题意，有ωπ4+φ=2k1π+π2k1∈Z5ωπ3+φ=k2πk2∈ZT2=πω≥5π6-π4=7π12，得出ω=-12(2k1-k2)+617,k1,k2∈Z0<ω≤127，即ω=-12k+617,k∈Z0<ω≤127，得到ω=617或1817，故②正确；对于③，令ωx+φ=2kπ+π6k∈Z或ωx+φ=2kπ+5π6k∈Z，则x=-φ+2kπω+π6ωk∈Z或x=-φ+2kπω+5π6ωk∈Z，故需要上述相邻三个根的距离不超过π2，相邻四个根(距离较小的四个)的距离超过π2，即2πω≤π2,8π3ω>π2,，解得ω∈4,16 3，故③正确，故选：C．3设函数f x =sin2ωx-cos2ωx+23sinωx cosωxω>0，当x∈0,π2时，方程f x =2有且只有两个不相等的实数解，则ω的取值范围是()A.73,13 3B.73,133C.83,143D.83,143【答案】C【解析】由已知易知f x =3sin2ωx-cos2ωx=2sin2ωx-π6，当x∈0,π2时2ωx-π6∈-π6,πω-π6，所以要满足题意有5π2≤πω-π6<9π2⇒ω∈83,143.故选：C4将函数f x =sinωx-cosωx(ω>0)的图象向左平移π4个单位长度后，再把横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x 的图象．若点π2,0是g x 图象的一个对称中心，则ω的最小值是()A.45B.12C.15D.56【答案】C【解析】由题意可得f x =222sinωx-22cosωx=2sinωx-π4，所以将f x 的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数h x =2sin ωx +π4 -π4=2sin ωx +ωπ4-π4的图象，再把所得图象上点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x =2sin 2ωx +ωπ4-π4的图象，因为点π2,0 是g x 图象的一个对称中心，所以πω+ωπ4-π4=k π,k ∈Z ，解得ω=45k +15,k ∈Z ，又ω>0，所以ω的最小值为15．故选：C5已知函数f (x )=sin ωx +π6 (ω>0)，若将f (x )的图象向左平移π3个单位后所得的函数图象与曲线y =f (x )关于x =π3对称，则ω的最小值为()A.23B.13C.1D.12【答案】A【解析】函数f (x )=sin ωx +π6 ，f (x )的图象向左平移π3个单位后所得函数g (x )=sin ωx +π3 +π6=sin ωx +πω3+π6，函数y =g (x )的图象与y =f (x )的图象关于直线x =π3对称，则f (x )=g 2π3-x ，于是sin ωx +π6=sin ω2π3-x +πω3+π6 对任意实数x 恒成立，即sin ωx +π6 =sin -ωx +πω+π6 =sin π-ωx -πω+5π6 =sin ωx -πω+5π6对任意实数x 恒成立，因此-πω+5π6=π6+2k π,k ∈Z ，解得ω=-2k +23,k ∈Z ，而ω>0，则k ∈Z ,k ≤0，所以当k =0时，ω取得最小值23.故选：A6(多选题)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，且a =2，AB ⋅AC=23S ，下列选项正确的是()A.A =π6B.若b =2，则△ABC 只有一解C.若△ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是23,4D.若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为2+3【答案】ABD【解析】对于A ，因为AB ⋅AC =23S ，所以bc cos A =23×12bc sin A ，则tan A =33，因为A ∈0,π ，所以A =π6，故A 正确；对于B ，因为b =2=a ，则B =A =π6，C =2π3，故△ABC 只有一解，故B 正确；对于C ，若△ABC 为锐角三角形，则B ∈0,π2 ，C ∈0,π2，则0<B <π20<π-π6-B <π2，则π3<B <π2，即sin B ∈32,1，由正弦定理可知：b =a sin Bsin A=4sin B ∈23,4 ，故C 错误；对于D ，若D 为BC 边上的中点，则AD =12AB +AC，所以AD 2=14AB 2+2AB ⋅AC +AC 2=14b 2+c 2+3bc由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-3bc =4，得b 2+c 2=3bc +4，又b 2+c 2=3bc +4≥2bc ，所以bc ≤42-3=43+8，当且仅当b =c =2+6时取得等号，所以AD 2=14b 2+c 2+3bc =144+23bc ≤144+23×43+8 =7+43，即AD ≤7+43=2+3，故D 正确.故选：ABD .7已知函数f x =12+3sin ωx cos ωx -cos 2ωx ω>0 ，若f x 的图象在0,π 上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是．【答案】56,43【解析】因为f x =12+3sin ωx cos ωx -cos 2ωx =32sin2ωx -12cos2ωx =sin 2ωx -π6，因为f x 的图象在0,π 上有且仅有两条对称轴，所以3π2≤2ωπ-π6<5π2，解得56≤ω<43，所以ω的取值范围是56,43 ．故答案为：56,43.8已知函数f x =sin ωx ω>0 ，若∃x 1,x 2∈π3,π，f x 1 =-1，f x 2 =1，则实数ω的取值范围是.【答案】ω=32或ω≥52【解析】设θ=ωx，x∈π3,π，则θ∈π3ω,πω，所以问题转化为y=sinθ在θ∈π3ω,πω上存在最大值和最小值，由正弦函数图象可得，π3ω≤kπ+π2kπ+π2+π≤πω，解得k+32≤ω≤3k+32，所以k≥0,k∈Z，当k=0时，32≤ω≤32，∴ω=32；当k=1时，52≤k≤92，当k=2时，72≤ω≤152，当k=3时，92≤ω≤212，当k=n，n∈N*时，n+32≤ω≤3n+32，当k=n+1时，n+52≤ω≤3n+92，而n+52-3n+32=-2n+1<0，即n+52<3n+32，所以k∈N*时，所有情况的ω范围的并集为ω≥52；综上，实数ω的取值范围是ω=32或ω≥52.故答案为：ω=32或ω≥52.9已知函数f x =sinωx+φω>0满足f x ≥fπ12，且f x 在区间-π3,π3上恰有两个最值，则实数ω的取值范围为．【答案】125,4【解析】因为f x ≥fπ12，所以fπ12 =sinπ12ω+φ=-1，所以π12ω+φ=2kπ+3π2，k∈Z，即φ=2kπ-π12ω+3π2，k∈Z，所以f x =sinωx+2kπ-π12ω+3π2 =-cosωx-π12．当-π3≤x≤π3时，-5πω12≤ωx-π12≤πω4ω>0．因为f x 在区间-π3,π3上恰有两个最值，且-5πω12>πω4 ，所以ω>0-2π<-5πω12≤-π0<πω4<π，解得125≤ω<4．故答案为：125,4．10已知函数f (x )=-sin ωx -π4 (ω>0)在区间π3,π 上单调递减，则ω的取值范围是.【答案】0,34【解析】当x ∈π3,π时， ωπ3-π4<ωx -π4<ωπ-π4，又y =-sin x 的单调递减区间为2k π-π2,2k π+π2(k ∈Z )，所以ωπ3-π4≥2k π-π2ωπ-π4≤2k π+π2(k ∈Z )，解得6k -34≤ω≤2k +34(k ∈Z )，且2k +34≥6k -34(k ∈Z )，解得k ≤38，又ω>0，所以k =0，所以ω的取值范围为0,34.故答案为：0,3411若函数f x =cos ωx -π6ω>0 在区间π3,2π3内单调递减，则ω的最大值为．【答案】74【解析】由题得：12T ≥2π3-π3⇒0<ω≤3，令t =ωx -π6⇒t ∈πω3-π6,2πω3-π6，则y =cos t 在t ∈πω3-π6,2πω3-π6单调递减，故πω3-π6≥2k π2πω3-π6≤2k π+π⇒6k +12≤ω≤3k +74，由0<ω≤3，故ω∈12,74，所以ω的最大值为74，故答案为：74.12已知函数f (x )=4sin ωx ,g (x )=4cos ωx -π3+b (ω>0)，且∀x 1,x 2∈R ,|f (x 1)-g (x 2)|≤8，将f (x )=4sin ωx 的图象向右平移π3ω个单位长度后，与函数g (x )的图象相邻的三个交点依次为A ，B ，C ，且BA ⋅BC<0，则ω的取值范围是．【答案】0,2π8【解析】依题意，函数f (x )的值域为[-4,4]，g (x )的值域为[b -4,b +4]，由∀x 1,x 2∈R ,f (x 1)-g (x 2) ≤8，得|(b -4)-4|≤8，且|(b +4)-(-4)|≤8，解得b =0，g (x )=4cos ωx -π3 =4sin ωx +π6 ，将f (x )=4sin ωx 的图象向右平移π3ω个单位长度后，得h (x )=4sin ωx -π3ω =4sin ωx -π3，在同一坐标系内作出函数y =g (x ),y =h (x )的图象，观察图象知，|AC |=2πω，取AC 中点D ，连接BD ，由对称性知|AB |=|BC |，BD ⊥AC ，由BA ⋅BC <0，得∠ABC >π2，即∠ABD >π4，|AD |>|BD |，由h (x )=g (x )，得sin ωx -π3 =sin ωx +π6 ，则ωx -π3+ωx+π6=π+2k π,k ∈Z ，解得ωx =712π+k π,k ∈Z ，于是y =4sin 712π+k π-π3=±22，则|BD |=42，因此πω>42，解得0<ω<2π8，所以ω的取值范围是0,2π8.故答案为：0,2π813在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ABC =2π3，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =2，则a +4c 的最小值为．【答案】18【解析】如图所示，则△ABC 的面积为12ac sin 2π3=12a ⋅2sin π3+12c ⋅2sin π3，则ac =2a +2c ，所以1a +1c =12，显然a ,c >0，故a +4c =(a +4c )1a +1c ×2=2×5+4c a +a c ≥25+24c a ⋅a c=18，当且仅当4ca =a c 1a +1c =12，即a =6c =3时取等号.所以a +4c 的最小值为18.故答案为：18.14在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且2b sin A -3a =0.(1)求角B；(2)求sin A+sin C的取值范围.【解析】(1)∵2b sin A-3a=0，∴2sin A sin B-3sin A=0，又∵A∈0,π2,∴sin A≠0，∴sin B=32,B∈0,π2，∴B=π3.(2)由(1)可知，B=π3，且△ABC为锐角三角形，所以0<A<π20<C=2π3-A<π2，∴A∈π6,π2，则sin A+sin C=sin A+sin2π3-A=32sin A+32cos A=3sin A+π6，因为π3<A+π6<2π3，∴sin A+sin C∈32,3.15在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2b sin A-3a=0．(1)求角B的大小；(2)求cos A+cos C的取值范围．【解析】(1)因为2b sin A-3a=0，由正弦定理边化角得：2sin B sin A-3sin A=0，所以2sin B-3sin A=0，由于在△ABC中，sin A≠0，所以2sin B-3=0，即sin B=32，又0<B<π2，所以B=π3.(2)由(1)可知B=π3，所以A+C=2π3，所以cos A+cos C=cos A+cos2π3-A=cos A+cos2π3cos A+sin2π3sin A=cos A-12cos A+32sin A=12cos A+32sin A=sin A+π6由于在锐角△ABC中，0<2π3-A<π2 0<A<π2，所以π6<A<π2，所以π3<A+π6<2π3，所以sinπ3<sin A+π6≤sinπ2，所以32<sin A+π6≤1，所以cos A+cos C的取值范围为32,1.16已知锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b2+c2-(b⋅cos C+c⋅cos B)2=bc，(1)求角A的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为3，求bc的取值范围．【解析】(1)∵b2+c2-b cos C+c cos B2=bc，由余弦定理可得b2+c2-b⋅a2+b2-c22ab+c⋅a2+c2-b22ac2=bc，化简整理得b2+c2-a2=bc，又b2+c2-a2=2bc cos A，∴cos A=12，又0<A<π2，所以A=π3.(2)因为三角形外接圆半径为R=3，所以b=23sin B，c=23sin C，∴bc=12sin B sin C，由(1)得B+C=2π3，所以bc=12sin B sin C=12sin B sin2π3-B=12sin B32cos B+12sin B=63sin B cos B+6sin2B=33sin2B+31-cos2B=632sin2B-12cos2B+3 =6sin2B-π6+3，因为△ABC是锐角三角形，且B+C=2π3，所以π6<B<π2，∴π6<2B-π6<5π6，∴12<sin2B-π6≤1，∴6<6sin2B-π6+3≤9，即6<bc≤9.所以bc的取值范围为6,9.17在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，cos2B-sin2B=-1 2．(1)求角B，并计算sin B+π6的值；(2)若b=3，且△ABC是锐角三角形，求a+2c的最大值．【解析】(1)由cos2B+sin2B=1cos2B-sin2B=-12，得cos2B=14，则cos B=±12，又0<B<π，所以B=π3或2π3.当B=π3时，sin B+π6=sinπ2=1；当B=2π3时，sin B+π6=sin5π6=12.(2)若△ABC为锐角三角形，则B=π3，有0<C<π20<A=2π3-C<π2，解得π6<C<π2.由正弦定理，得asin A=csin C=bsin B=332=2，则a=2sin A,c=2sin C，所以a+2c=2sin A+4sin C=2sin2π3-C+4sin C=232cos C+12sin C+4sin C=5sin C+3cos C=27sin(C+φ)，其中tanφ=35，又tanφ=35<33=tanπ6，所以0<φ<π6，则π3<C+φ<2π3，故当C+φ=π2时，sin(C+φ)取到最大值1，所以a+2c的最大值为27.18在△ABC中，D为BC边上一点，DC=CA=1，且△ACD面积是△ABD面积的2倍．(1)若AB=2AD，求AB的长；(2)求sin∠ADBsin B的取值范围．【解析】(1)设BC边上的高为AE，垂足为E，因为△ACD面积是△ABD面积的2倍，所以有S△ACDS△ABD=12CD⋅AE12BD⋅AE=2⇒BD=12⇒BC=32，设AB=2AD=x⇒AD=22x，由余弦定理可知：cos C=AC2+BC2-AB22AC⋅BC =AC2+DC2-AD22AC⋅DC⇒1+94-x22×1×32=1+1-12x22×1×1，解得x=1或x=-1舍去，即AB=1；(2)由(1)可知BD=12,BC=32，设∠ADC=θ，由DC=CA⇒∠DAC=∠ADC=θ⇒C=π-2θ且θ∈0,π2，由余弦定理可得：AD=12+12-2×1×1⋅cosπ-2θ=2+2cos2θ=2+22cos2θ-1=2cosθ，AB=12+32 2-2×1×32⋅cosπ-2θ=134+3cos2θ=134+32cos2θ-1=6cos2θ+1 4，在△ABD中，因为θ∈0,π2，所以由正弦定理可知：ABsin∠ADB =ADsin B⇒sin∠ADBsin B=ABAD=6cos2θ+142cosθ=14×24cos2θ+1cos2θ=14×24+1cos2θ，因为θ∈0,π2，所以cos θ∈0,1 ⇒cos 2θ∈0,1 ⇒1cos 2θ>1⇒24+1cos 2θ>25⇒24+1cos 2θ>5，于是有sin ∠ADB sin B >54，因此sin ∠ADB sin B 的取值范围为54,+∞ ..19记锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin B sin C +cos2C =1+cos2A -cos2B .(1)证明：B +C =2A ；(2)求c b的取值范围.【解析】(1)证明：由2sin B sin C +cos2C =1+cos2A -cos2B ，得2sin B sin C +1-2sin 2C =1+1-2sin 2A -1+2sin 2B ，即sin B sin C -sin 2C =-sin 2A +sin 2B ，由正弦定理可得bc -c 2=-a 2+b 2，即a 2=b 2+c 2-bc ，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，故cos A =12，又A ∈0,π2 ，故A =π3，由A +B +C =π，故B +C =π-A =2π3=2A ；(2)由正弦定理可得：c b=sin C sin B =sin π-A -B sin B =sin π3+B sin B =12sin B +32cos B sin B =12+32tan B ，又锐角△ABC 中，有0<B <π2，0<π-π3-B <π2，解得π6<B <π2，即tan B ∈33,+∞，即1tan B ∈0,3 ，故c b=12+32tan B ∈12,2 .20记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若a +b +c a +b -c =3，且△ABC 的面积为334.(1)求角C ；(2)若AD =2DB ，求CD 的最小值.【解析】(1)∵a +b +c a +b -c =3，∴3=(a +b )2-c 2=a 2+b 2-c 2+2ab 结合余弦定理得3=2ab cos C +2ab =2ab 1+cos C ，∴ab =321+cos C ，∵S △ABC =12ab sin C =334，∴sin C 1+cos C =3，即2sin C 2cos C 2cos 2C 2=tan C 2=3，又∵C 2∈0,π2 ，∴C 2=π3，故C =2π3；(2)由(1)知：C =2π3,ab =321+cos C=3，∵AD =2DB ，∴CD =13CA +23CB ，∴CD 2=13CA +23CB 2=19b 2+49a 2+49ab cos C =19b 2+49a 2-23，又19b 2+49a 2-23≥219b 2⋅49a 2-23=2×23-23=23，当且仅当b =2a =6时，CD 长取最小值，此时CD =23=63，∴CD 长的最小值为63.21已知函数f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx ω>0 的最小正周期为4π.(1)求f x 在0,π 上的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2a -c cos B =b ⋅cos C ,求f A 的取值范围.【解析】(1)f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx =12-1-cos2ωx 2+32sin2ωx =32sin2ωx +12cos2ωx =sin 2ωx +π6.因为T =2π2ω=4π,所以ω=14,故f x =sin 12x +π6.由-π2+2k π≤12x +π6≤π2+2k π,k ∈Z ,解得4k π-4π3≤x ≤4k π+2π3,k ∈Z ,当k =0时,-4π3≤x ≤2π3,又x ∈0,π ,所以f x 在0,π 上的单调递增区间为0,2π3.(2)由2a -c cos B =b ⋅cos C ,得(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ,所以2sin A cos B =sin B cos C +cos B sin C =sin B +C =sin A .因为sin A ≠0,所以cos B =12,又B ∈0,π ,所以B =π3,又三角形为锐角三角形，则0<A <π20<2π3-A <π2，则π6<A <π2，所以π4<A 2+π6<5π12，又f A =sin A 2+π6，sin 5π12=sin π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=2+64，则22<sin A 2+π6 <2+64，所以f A 的取值范围为22,2+64.22已知在△ABC 中，1-cos A 2-sin A =0，(1)求A ；(2)若点D 是边BC 上一点，BD =2DC ，△ABC 的面积为3，求AD 的最小值.【解析】(1)因为1-cos A 2-sin A =0，所以sin 2A 2=sin A ，因为0<A 2<π2，sin A 2>0，则sin A 2=2sin A 2cos A 2，故cos A 2=12，所以A 2=π3，A =2π3，(2)因为BD =2DC ，则BD =2DC ，所以AD -AB =2AC -AD ，故AD =13AB +23AC ，因为△ABC 的面积为3，所以12bc sin A =3，所以bc =4|AD |2=13AB +23AC 2=19c 2+49b 2+49AB ⋅AC =19c 2+49b 2-29bc ≥49bc -29bc =89上式当且仅当c =2b ，即c =22，b =2时取得“=”号，所以AD 的最小值是223.23在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且满足2sin A +C cos A -sin C cos A =sin A cos C ．(1)求角A ；(2)若点D 在线段BC 上，且满足BD =3DC ,AD =3，求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)由题意得2sin B cos A -sin C cos A =sin A cos C ，即2sin B cos A =sin A cos C +sin C cos A =sin B ，∵sin B ≠0，∴2cos A =1，∴cos A =12，又0<A <π,∴A =π3；(2)解法一：令DC =t ，则BD =3t ，∵cos ∠ADC =-cos ∠ADB ，∴AD 2+DC 2-AC 22AD ⋅DC =-AD 2+BD 2-AB 22AD ⋅BD ，即9+t 2-b 26t =-9+9t 2-c 218t ，∴12t 2=-36+3b 2+c 2①，又∵cos ∠BAC =12=b 2+c 2-16t 22bc ，∴16t 2=b 2+c 2-bc ②，∵联立①②，得144-3bc =9b 2+c 2≥6bc (当且仅当c =3b 时取等号)，即bc ≤16，∴S △ABC =12bc sin ∠BAC =34bc ≤43，∴△ABC 面积的最大值为43.解法二：依题意AD =14AB+34AC，∴AD 2=14AB+34AC 2=116AB 2+9AC 2+6AB ⋅AC，即9=116AB 2+9AC 2+6AB AC cos π3=116AB 2+9AC 2+3AB AC，∵AB 2+9AC 2≥6AB AC (当且仅当AB =3AC 时取等号)，∴AB AC ≤16，∴S △ABC =12AB ACsin ∠BAC ≤34×16=43，∴△ABC 面积的最大值为43．24已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，向量m =a +b ,c ,n =sin A -sin C ,sin A -sin B ，且m ⎳n ．(1)求B ；(2)求b 2a 2+c 2的最小值．【解析】(1)因为m ⎳n ，所以a +b sin A -sin B =c sin A -sin C ，由正弦定理可得a +b a -b =c a -c 即a 2-b 2=ac -c 2，故a 2+c 2-b 2=ac ，所以cos B =a 2+c 2-b 22ac =12，而B 为三角形内角，故B =π3.(2)结合(1)可得：b2a2+c2=a2+c2-aca2+c2=1-aca2+c2,1-aca2+c2≥1-ac2ac=1-12=12，当且仅当a=c时等号成立，故b2a2+c2的最小值为12.25已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin2C=sin2B+sinπ3+Bcosπ6+B，a<c，b<c．(1)求tan(A+B)的值；(2)若△ABC的面积为123，求c的最小值．【解析】(1)因为sin2C=sin2B+sinπ3+Bcosπ6+B=sin2B+12sinπ2+2B+sinπ6=sin2B+12cos2B+12=sin2B+121-2sin2B+14=34，因为sin C>0，所以sin C=3 2，由△ABC为钝角三角形且a<c，b<c知，C为钝角，所以cos C=-12，即tan C=-3，所以tan(A+B)=tanπ-C=-tan C=3.(2)因为S△ABC=12ab sin C=34ab=123，所以ab=48，由余弦定理，c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2+ab≥3ab=144，当且仅当a=b=43时，等号成立，此时c2的最小值为144，所以c的最小值为12.。

解三角形中的最值与范围问题4大题型

解三角形中的最值与范围问题4大题型解三角形中的最值与范围问题是近几年高考数学的热点，这类试题主要考查学生数形结合、等价转化、数学运算和逻辑推理的能力。

一般为中等难度，但题目相对综合，涉及知识较多，可通过三角恒等变换、构造函数或构造基本不等式等方法加以解决。

一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式求最值-化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。

2、转为三角函数求最值-化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。

要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。

二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.【题型1与角或三角值有关的问题】【例1】（2023春·江西赣州·高三统考阶段练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知1a =，且cos cos 1b A B -=22sin B A +的取值范围是（）A．()1+B ．()1C ．(]1,3D ．(]2,3【变式1-1】（2023·四川泸州·统考二模）在ABC 中，2,2BC AB AC ==，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为______．【变式1-2】（2023·福建福州·统考二模）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2222b a c -=．（1）求tan tan BA的值：（2）求C 的最大值．【变式1-3】（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．（1）证明：2B A π=+；（2）求sin sin A C +的最大值．【变式1-4】（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）在锐角ABC中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足()2c b b a =+.（1）求证：2C B =；（2）求113sin tan tan C B C-+的取值范围.【题型2求周长的最值与范围问题】【例2】（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在ABC 中，sin cos c B C =.（1）求C ∠；（2）若6a b +=，求ABC 周长的最小值.【变式2-1】（2023·云南昆明·已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且)222sin 2a c b A bc+-=.（1）求B 的大小；（2）若△ABC 为钝角三角形，且b =，求△ABC 的周长的取值范围.【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数21()cos ())cos()2f x x x x ωωω=-，其中0ω>，且函数()f x 的两个相邻零点间的距离为π2，（1）求ω的值及函数()f x 的对称轴方程；（2）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=求ABC周长的取值范围．【变式2-3】（2023·湖南·模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积为S ，且22sin sin 2sin sin C ASa b sinA B C+=+（）（）．（1）求C 的值；（2）若a ABC 周长的取值范围．【变式2-4】（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）在四边形ABCD 中，,,,A B C D 四点共圆，5AB =，3BC =，3cos 5ABC ∠=-．（1）若sin 5ACD ∠=，求AD 的长；（2）求四边形ABCD 周长的最大值．【题型3求面积的最值与范围问题】【例3】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数()()()2πcos 2cos f x x x x x =-⋅-∈R ．（1）求函数()f x 的值域；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =-，a =求△ABC 的面积S 的最大值．【变式3-1】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2tan 11cos 2tan 1B C B C +=+-.（1）求角A 的大小；（2）设AD 是BC 边上的高，且2AD =，求ABC 面积的最小值.【变式3-2】（2023·山东临沂·统考一模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．（1）求C ；（2）若1c =，求ABC 面积的取值范围．【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ()sin sin 4sin C B a C =-.（1）求A ；（2）若O 是ABC 的内心，2a =，且224b c +>，求OBC △面积的最大值.【变式3-4】（2023·江苏南通·校联考模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，1AB =，AD =，2CD =，BC =（1）若BC CD ⊥，求sin ADC ∠；（2）记ABD △与BCD △的面积分别记为1S 和2S ，求2212S S +的最大值．【题型4与边有关的最值与范围问题】【例4】（2023·江西南昌·统考一模）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1,60a B == ，则b 的取值范围为______．【变式4-1】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，()()cos sin cos a B C B a A -=-.（1）求角A ；（2）若ABC22b a b+的取值范围.【变式4-2】（2023·广东江门·统考一模）在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1tan B ，1sin A ，1tan C依次组成等差数列.（1）求2a bc的值；（2）若b c >，求222b c a+的取值范围.【变式4-3】（2023·江苏南通·统考模拟预测）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b =4，且1cos 2b Cc a +=.（1）求B ；（2）若D 在AC 上，且BD ⊥AC ，求BD 的最大值.【变式4-4】（2023·新疆·统考一模）在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，22sin c ab C =.（1）若sin cos sin sin 2C B B A +=，求tan C 的值；（2）求ab的最大值.（建议用时：60分钟）1．（2023·甘肃武威·统考一模）在ABC 中，32，，AB AC BC ==>cos A 的范围是（）A ．51,6⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．111,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,112⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2023秋·浙江宁波·高三期末）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知sin()sin2A Cb B C a ++=，且ABC 的面积为，则ABC 周长的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6+3．（2023·江西赣州·统考一模）已知锐角ABC 的内角A B C ､､的对应边依次记为a b c､､，且满足2cos c b b A -=，则()()2sin 2cos C B A B ++-的取值范围为__________.4．（2023·陕西西安·统考一模）已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足2cos 2b A a c +=，且b =，则ABC 周长的取值范围为______________．5．（2023·全国·校联考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22c ac b +=.（1）证明：2B C =；（2）求a b c+的取值范围.6．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin tan cos C B A B -=．（1）求A ；（2）若2a =，求2c b -的取值范围．7．（2023·河南·校联考模拟预测）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 是2a 与πsin6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项．（1）求A ﹔（2）若ABC 是锐角三角形，且2c =，求sin a B 的取值范围．8．（2023·全国·高三专题练习）在①)cos sin a b C c B -=，②22cos a c b C -=，③()()()a b a b a c c -+=-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且满足_______，b =（1）若4a c +=，求ABC 的面积;（2）求ABC 周长l 的取值范围．9．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）求△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，且△ABC 的周长为6．（1）证明：()124bc b c +=+；（2）求△ABC 面积的最大值．10．（2023·四川凉山·统考一模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,sin cos a b c b c A a C -=．（1）求A ；（2）若2b =，求ABC 面积的取值范围．参考答案【题型1与角或三角值有关的问题】【例1】（2023春·江西赣州·高三统考阶段练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知1a =，且cos cos 1b A B -=22sin B A +的取值范围是（）A．()1+B．()1C ．(]1,3D ．(]2,3【答案】B【解析】∵cos cos 1b A B -=，即：cos cos 1b A B =+，1a =，∴cos (cos 1)b A B a =+，∴由正弦定理得：sin cos (cos 1)sin B A B A =+，即：sin cos sin cos sin B A A B A =+，∴sin()sin B A A -=，∴B A A -=或πB A A -+=，解得：2B A =或B π=（舍），又∵△ABC 为锐角三角形，则ππ3C A B A =--=-，∴ππ0022ππ00222ππ00π322A A B A C ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪<<⇒<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪<<<-<⎪⎪⎩⎩，解得：ππ64A <<，2π2sin 21cos 22sin(2)16B A A A A +=+-=-+，又∵ππ64A <<，∴πππ2663A <-<，∴1πsin(2262A <-<，∴π22sin(2)116A <-+<，22sin B A +的取值范围1).故选：B.【变式1-1】（2023·四川泸州·统考二模）在ABC 中，2,2BC AB AC ==，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为______．【答案】43【解析】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系，可知22x x +>且22x x -<，解得223x <<，在ABD △中，由余弦定理，得()2212cos 2AD x ADB AD +-∠=，在ACD 中，由余弦定理，得221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()cos cos πcos ADB ADC ADC ∠=-∠=-∠,所以()222212122AD x AD x AD AD+-+-=-，解得22512AD x =-，则2242251132cos 54512122x x x ADC x x -+-∠=⨯-⨯-223x <<，令2512x t -=，则1,99t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2215x t =+，()4242125x t t =++，则232131313cos 2221010105t t ADC t t t t t ++∠==⨯++≥⨯⋅+=，当且仅当1t t =，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得25x =因为3cos 05ADC ∠≥>，所以π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭．因为cos y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，tan y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时24sin 1cos 5ADC ADC ∠-∠=，则4tan 3ADC ∠=，所以tan ADC ∠的最大值为43.【变式1-2】（2023·福建福州·统考二模）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2222b a c -=．（1）求tan tan BA的值：（2）求C 的最大值．【答案】（1）tan 3tan B A=-；（2）π6【解析】（1）由余弦定理可得2222cos b c a ac B =+-，代入2222b a c -=，得到()22222cos 2c a ac B a c +--=，化简得22cos 0c ac B +=，即2cos 0c a B +=.由正弦定理可得sin 2sin cos 0C A B +=，即()sin 2sin cos 0A B A B ++=，展开得sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B A B ++=，即3sin cos cos sin A B A B =-，所以tan 3tan BA=-．（2）由2222b a c -=得2222b ac -=，故222cos 2a b c C ab +-=222222b a a b ab-+-=2233444a b a b ab b a +==+≥=当且仅当223b a =，即b =时等号成立．因为()0,πC ∈，所以π6C ≤，所以C 的最大值为π6.【变式1-3】（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．（1）证明：2B A π=+；（2）求sin sin A C +的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）98【解析】（1）由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得2222cos bc A b c a =+-，4412cos sin 2bS b bc A ac B a a ∴==⨯，cos sin A B ∴=，cos cos 2πA B ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，B 为钝角，则,2πA B -均为锐角，2B A π∴-=，即2B A π=+；（2）2ππsin sin sin sin cos cos 22cos cos 122A C B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=-++-=--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令cos B t =，B 为钝角，则()1,0t ∈-，2219sin sin 21248A C t t t ⎛⎫∴+=--+=-++ ⎪⎝⎭，当14t =-，即1cos 4B =-时，sin sin A C +取最大值，且为98.【变式1-4】（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）在锐角ABC中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足()2c b b a =+.（1）求证：2C B =；（2）求113sin tan tan C B C-+的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）,46⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）由22c b ab =+及余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得()2cos 1a b C =+，由正弦定理得：()sin sin 2cos 1A B C =+，又πA B C ++=，()sin sin sin cos cos sin 2sin cos sin A B C B C B C B C B ∴=+=+⋅=+，cos sin sin cos sin B C B C B ∴-=，()sin sin C B B ∴-=，,,A B C 都是锐角，C B B ∴-=，即2C B =.（2）令113sin tan tan y C B C =-+cos cos 3sin sin sin B C C B C =-+sin cos cos sin 3sin sin sin C B C BC B C -⋅=+⋅()sin 3sin sin sin C B C B C-=+⋅，由（1）2C B =得13sin sin y C C=+，在锐角三角形ABC 中，π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即()π02π022π02B C C B C π⎧<-+<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<<⎪⎩，解得ππ32<<C，sin C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭，令sin ,12t C ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()13,2y f t t t t ⎛⎫∴==+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，又函数()13y f t t t ==+在2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，()4y f t ⎫∴=∈⎪⎪⎝⎭，故113sin tan tan C B C -+的取值范围是46⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【题型2求周长的最值与范围问题】【例2】（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在ABC 中，sin cos c B C =.（1）求C ∠；（2）若6a b +=，求ABC 周长的最小值.【答案】（1）π3C =；（2）9【解析】（1）因为sin cos c B C =，所以由正弦定理得sin sin cos C B B C =，又因为()0,πB ∈，sin 0B ≠，所以sin C C =，即有tan C =又因为()0,πC ∈，所以π3C =.（2）因为π3C =，6a b +=，所以由余弦定理可得222222cos ()236336392a b c a b ab C a b ab ab ab +⎛⎫=+-=+--=-≥-⨯= ⎪⎝⎭，当3a b ==时，等号成立，所以3c ≥，故ABC 周长的最小值9.【变式2-1】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且)222sin 2a c b A bc+-=.（1）求B 的大小；（2）若△ABC 为钝角三角形，且b =，求△ABC 的周长的取值范围.【答案】（1）π3；（2）(+【解析】（1）根据余弦定理可知，222cos 2a c b B ac+-=，所以2cos sin 2ac B A bc =，即cos sin cos sin sin sin B A BA A b B=⇔，则tan B =()0,πB ∈，所以π3B =；（2）设π2π,23A ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，根据正弦定理可知2πsin sin sin sin 3a cb A C B ====，所以2sin a A =,2π2sin 2sin 3c C A ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以周长2π2sin 2sin 3a b c A A ⎛⎫++=+-+ ⎪⎝⎭12sin 2sin 2A A A ⎫=++⎪⎪⎝⎭3sin A A =++π6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因为π2π,23A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,πππ25636A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1sin 622πA ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π36A ⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭，所以ABC的周长为(+.【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数21()cos ())cos()2f x x x ωωω=，其中0ω>，且函数()f x 的两个相邻零点间的距离为π2，（1）求ω的值及函数()f x 的对称轴方程；（2）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=求ABC 周长的取值范围．【答案】（1）1ω=，对称轴方程为：()ππ26k x k =+∈Z ；；（2）2.【解析】（1）211cos(2))1()cos ())cos()2222x x f x x x x ωωωωω+=-=+-，()πsin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的两个相邻零点间的距离为π2，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2⨯=，因为0ω>，所以2ππ12ωω=⇒=，即()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()()ππππ2πZ Z 6226k x k k x k +=+∈⇒=+∈，所以对称轴为()ππ26k x k =+∈Z ；（2）由πsin 6(12)1A f A ⎛⎫+=- ⇒⎪⎝⎭=-，因为(0,π)A ∈，所以ππ13ππ3π2π2(,)2666623A A A +∈⇒+=⇒=，因为a22sin ,2sin sin sin sin a b c b B c CA B C ===⇒==，π2sin 2sin 2sin 2sin 3B C B B ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，1π2sin sin 2sin 223B B B B B B ⎛⎫⎛⎫+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π(0,)3B ∈，所以ππ2π(,)333B +∈，因此ππsin ,1]2sin (2323B B ⎛⎫⎛⎫+∈⇒+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ABC周长的取值范围为2.【变式2-3】（2023·湖南·模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积为S ，且22sin sin 2sin sin C ASa b sinA B C+=+（）（）．（1）求C 的值；（2）若a ABC 周长的取值范围．【答案】（1）3π；（2）()∞+.【解析】（1）在ABC 中，由三角形面积公式得:1sin 2S bc A =，由正弦定理得：()2212sin sin 2cabc A a b A b c⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭，整理得：222a b c ab +-=，由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==，又0C π<<，故3C π=．（2）因为a 3C π=，由正弦定理得32sin c A=，23cos 3sin 2sin A A b A A π⎛⎫- ⎪⎝⎭===即ABC的周长()31cos 33cos 2sin 2sin 2sin A A l a b c A A A +=++=+=26cos 32224sincos 2tan222AA AA =++，因为203A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则023Aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故0tan 2A<所以322tan2A +>ABC的周长的取值范围是∞）.【变式2-4】（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）在四边形ABCD 中，,,,A B C D 四点共圆，5AB =，3BC =，3cos 5ABC ∠=-．（1）若sin 5ACD ∠=，求AD 的长；（2）求四边形ABCD 周长的最大值．【答案】（1（2）8+【解析】（1）因为,,,A B C D 四点共圆，所以πABC ADC ∠+∠=，因为3cos 5ABC ∠=-，所以3cos cos 5ADC ABC ∠=-∠=，因为()0,πADC ∠∈，故sin 54ADC ∠==，在ABC 中，由余弦定理得：22232cos 25930525AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯-= ⎪⎝⎭，故AC =在ADC △中，由正弦定理得：sin sin AD ACACD ADC=∠∠，5=，解得：AD（2）由（1）知：AC=3cos5ADC∠=，在ADC△中，由余弦定理得：22222523cos225AD CD AC AD CDADCAD CD AD CD+-+-∠===⋅⋅，整理得：226525AD CD AD CD+=⋅+，故()216525AD CD AD CD+-=⋅，其中22AD CDAD CD+⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，故()()221645255AD CD AD CD AD CD+-=⋅≤+，解得：AD CD+≤AD CD=故四边形ABCD周长的最大值为8AB BC AD CD+++≤+【题型3求面积的最值与范围问题】【例3】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数()()()2πcos2cosf x x x x x=-⋅-∈R．（1）求函数()f x的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()2f A=-，a=求△ABC的面积S的最大值．【答案】（1）[]3,1-；（2【解析】（1）()1cos2πcos2sin2cos212sin2126xf x x x x x x+⎛⎫=⋅-⋅--=--⎪⎝⎭，∴()f x的值域为[]3,1-．（2）()π2sin2126f A A⎛⎫=--=-⎝⎭，即π1sin262A⎛⎫-=-⎪⎝⎭，由()0,πA∈,得ππ11π2<666A-<-∴π7π2=66A-，即2π3A=，又222222π32cos33a b c bc b c bc bc==+-=++≥，即1bc≤，∴11sin 12224ABC S bc A =≤⨯ ，∴()max 4ABC S =，当且仅当1b c ==时取得．【变式3-1】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2tan 11cos 2tan 1B C B C +=+-.（1）求角A 的大小；（2）设AD 是BC 边上的高，且2AD =，求ABC 面积的最小值.【答案】（1）π4；（2）4【解析】（1）法一：左边2sin 22sin cos sin 1cos 22cos cos B B B BB B B===+，右边sin 1tan 1sin cos cos sin tan 1sin cos 1cos CC C CC C C C CC+++===---，由题意得sin sin cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin cos B C CB C B C B C B C B C C+=⇒-=+-()()()sin cos 0tan 1B C B C B C ⇒+++=⇒+=-，即tan 1A =，又因为0πA <<，所以π4A =.法二：左边2sin 22sin cos tan 1cos 22cos B B BB B B===+，右边πtan tantan 1ππ4tan tan πtan 1441tan tan4C C C C C C ++⎛⎫⎛⎫==--+=-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-，由题意得ππππ44B C k B C k =--+⇒+=-+，又因为0πB C <+<，所以3ππ44B C A +=⇒=.（2）由11π2sin 2244ABC S a bc a bc =⨯=⇒=△，由余弦定理得222222π2cos 4a b c bc a b c =+-⇒=+，2222222211288b c b c b c b c bc ⇒=+⇒+=+≥，(82bc ⇒≥，当且仅当b c =时取“等号”，而1πsin24ABC S bc ==△，故()(min 824ABC S =-=△【变式3-2】（2023·山东临沂·统考一模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．（1）求C ；（2）若1c =，求ABC 面积的取值范围．【答案】（1）π3C =；（2）.【解析】（1）在ABC 中，由已知及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即有()sin 2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，而0πC <<，sin 0C >，则1cos 2C =，所以π3C =．（2）在ABC 中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：221a b ab =+-，因此12ab ab ≥-，即01ab <≤，当且仅当a b =时取等号，又11sin (0,22ABC S ab C ===∈△，所以ABC 面积的取值范围是4．【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ()sin sin 4sin C B a C =-.（1）求A ；（2）若O 是ABC 的内心，2a =，且224b c +>，求OBC △面积的最大值.【答案】（1）π3或2π3；（2【解析】（1）()sin sin 4sin C B a C =-，4sin s sin sin in C B a B C =，)sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，sin 2sin sin sin B C A B C =，因为sin sin 0B C ≠，所以sin2A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =或2π3A =（2）因为2a =，且224b c +>，所以由余弦定理得222224cos 022b c a b c A bc bc+-+-==>，所以A 为锐角，由（1）知π3A =.因为O 是ABC 的内心，所以()()112ππππ223BOC ABC ACB A ∠=-∠+∠=--=，在OBC △中，由余弦定理得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，所以2222242cos3OB OC OB OC OB OC OB OC π=+-⋅=++⋅23OB OC OB OC OB OC ≥⋅+⋅=⋅，当且仅当33OB OC ==时等号成立，所以43OB OC ⋅≤，所以1142π3sin sin 2233OBC S OB OC BOC =⋅∠≤⨯=△所以OBC △33【变式3-4】（2023·江苏南通·校联考模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，1AB =，3AD =，2CD =，2BC =（1）若BC CD ⊥，求sin ADC ∠；（2）记ABD △与BCD △的面积分别记为1S 和2S ，求2212S S +的最大值．【答案】（163；（2）218【解析】（1）∵BC CD ⊥，∴426BD =+=22cos 326362ADB ∠=⋅⋅，1in 3s ADB ∠=，3sin 3BDC ∠=，6cos 36BDC ∠==∴sin sin()sin cos cos sin ADC BDC ADB BDC ADB BDC ADB∠∠∠=+=∠∠+∠∠13===；（2）设BAD ∠=α，BCD β∠=，∴23142BD αβ=+-=+-，∴2βα-=，∴1βα=，①22222212131sin 1sin sin 2sin 24S S αβαβ⎫⎛⎫+=⨯+⋅⨯=+⎪ ⎪⎭⎝⎭()222233sin 21cos sin 2144αβα⎡⎤⎢⎥=+-=+-⎢⎥⎣⎦2223535321cos cos cos 222228ααααα⎛⎫⎛=--+=-++=-++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当且仅当cos 6α=-，cos 8β=时取最大值218；综上，sin 3ADC ∠=，2212S S +的最大值是218.【题型4与边有关的最值与范围问题】【例4】（2023·江西南昌·统考一模）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1,60a B == ，则b 的取值范围为______．【答案】2⎛ ⎝【解析】在ABC 中，由正弦定理得sin sin sin a b cA B C ==，所以1sin sin 60b A = ，即2sin b A=，因为锐角ABC ，所以090,090A C <<<< ，即090,012090A A <<<-<，解得3090A <<，所以1sin 12A <<，所以112sin A<<，<2b ⎛∈ ⎝.【变式4-1】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，()()cos sin cos a B C B a A -=-.（1）求角A ；（2）若ABC22b a b+的取值范围.【答案】（1）3π；（2）⎡⎣【解析】（1）因为()()cos sin cos a B C B a A -=-，可得()cos cos sin cos a B C a A B A -+=，则()()cos cos sin cos a B C a B C B A --+=，所以()cos cos sin sin cos cos sin sin 2cos a B C a B C a B C B C B A +--=，即sin sin sin cos a B C B A =，由正弦定理得sin sin sin sin sin cos A B C C B A =，显然sin 0C >，sin 0B >，所以sin A A ，所以tan A =()0,πA ∈，所以π3A =.（2）因为sin sin a b A B==πsin sin 3a bB ==所以3a =，b B =，所以2223sin 2sin 4sin b a a b B B b b B B +⎫=+=++⎭，因为ABC 为锐角三角形且2π3B C +=，所以π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，所以ππ62B <<，即1sin ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()34f x x x =+，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由对勾函数性质知函数()34f x x x =+在122⎛ ⎝⎭上单调递减，在,12⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，且122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，f =⎝⎭()714f =，所以())2f x ∈，即)3sin 24sin B B +∈，所以3sin 6,4sin B B ⎫⎡+∈⎪⎣⎭，即22b a b+的取值范围为⎡⎣.【变式4-2】（2023·广东江门·统考一模）在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1tan B ，1sin A ，1tan C依次组成等差数列.（1）求2a bc的值；（2）若b c >，求222b c a+的取值范围.【答案】（1）2；（2）(【解析】（1）由条件得：211sin tan tan A B C =+cos cos sin sin B C B C =+sin cos cos sin sin sin C B C B B C +=()sin sin sin C B B C+=sin sin sin A B C =，所以2sin 2sin sin A B C =，由正弦定理得：22a bc =，所以22a bc=.（2）b c >及22a bc =，则B C >，角C 一定为锐角，又ABC 为锐角三角形，所以cos 0cos 0A B >⎧⎨>⎩由余弦定理得：2222222222222220020222020022b c a b c bcb c bc bc bc bc c b a c b bc c b ac ac ⎧⎧+-+->>⎪⎪⎧+->⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+->+-+-⎩⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩，所以2220bc c b +->，即212b b c c ⎛⎫⎛⎫<+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：11b c <<又1bc >，所以(1,1b c∈+.又22222122b c b c b c a bc c b ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，令(1,1b x c =∈+，则()222112b c f x x a x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()()2211111022x x f x xx +-⎛⎫'=-=> ⎪⎝⎭，所以()f x在(1,1上递增，又()11f =，(1f =所以222b c a+的取值范围是(.【变式4-3】（2023·江苏南通·统考模拟预测）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b =4，且1cos 2b Cc a +=.（1）求B ；（2）若D 在AC 上，且BD ⊥AC ，求BD 的最大值.【答案】（1）π3；（2）【解析】（1）方法一：()11cos ,sin cos sin sin sin 22b Cc a B C C A B C +=∴+==+ ，所以1sin cos sin sin cos cos sin 2B C C B C B C +=+，所以()11sin sin cos ,0,π,sin 0,cos ,22C C B C C B =∈∴>∴= ()π0,π,3B B ∈∴=.方法二：在ABC 中，由正弦定理得：()1sin cos sin sin 2B C C A B C +==+，所以1sin cos sin sin cos cos sin 2B C C B C B C +=+，所以1sin cos sin 2C B C =.因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =，因为()π0,π,3B B ∈=.（2）方法一:222222cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac =+-=+-≥-=，16ac ∴≤当且仅当4a c ==时取“”=，1sin 112sin ,22228ac Bac B BD b BD ac =⋅=≤max BD ∴=方法二:在ABC 中，由余弦定理得：222222cos 162(b a c ac B a c ac ac ac =+-⇒=+-≥-当且仅当a c =取“=”）所以16ac ≤,所以ABC 的面积1sin24ABC S ac B ac ==≤ 122ABC S b BD BD BD =⨯=≤⇒≤ 【变式4-4】（2023·新疆·统考一模）在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，22sin c ab C =.（1）若sin cos sin sin 2C B B A +=，求tan C 的值；（2）求ab的最大值.【答案】（1）1；（21【解析】（1）由sin cos sin2C B B A +=cos sin C B A B =-,cos )sin C B B C B =+-，)cos sin cos cos sin sin C B B C B C B =+-cos sin B C B =,因为sin 0B ≠,1C =,即cos2C =,由()0,πC ∈得π4C =，故tan 1C =.（2）由22sin ab C c =结合余弦定理得2222cos 2sin a ab C ab b C c =+-=,则()22π2sin cos sin 4a b ab C C C ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭,于是221sin 4a a a C b b b π⎛⎫+=⨯+≤ ⎪⎝⎭,即2210a ab b -+≤.11ab≤≤,故当π4C =时，ab1.（建议用时：60分钟）1．（2023·甘肃武威·统考一模）在ABC 中，32，，AB AC BC ==>，则cos A 的范围是（）A ．51,6⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．111,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,112⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】222213cos212AB AC BC BC A AB AC +--==⋅，因为BC >11cos 12A <.又()0,πA ∈，所以cos A 的范围是111,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B 2．（2023秋·浙江宁波·高三期末）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知sin()sin2A Cb B C a ++=，且ABC 的面积为，则ABC 周长的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6+【答案】C【解析】因为πsin sin2Bb A a -=，根据正弦定理及诱导公式得sin sin sin cos2B B A A ⋅=⋅，()0,πA ∈ ，sin 0A ∴≠，sin cos2B B ∴=，即2sin cos cos 222BB B=，()0,πB ∈ ，则π0,22B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 02B ≠解得1sin22B =,所以ππ263B B =⇒=，所以1sin 24S ac B ===，所以8,ac a c =+≥，当且仅当a c ==时等号成立，根据余弦定理得b =，即b =，设ABC 的周长为C ，所以()ABC C a c a c =++=+ ，设,a c t t +=≥，则()f t t =根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：()f t 在)⎡+∞⎣上为单调增函数，故()(minf t f ==，故()min ABC C = ，当且仅当a b c ===时取等.故选：C.3．（2023·江西赣州·统考一模）已知锐角ABC 的内角A B C ､､的对应边依次记为a b c､､，且满足2cos c b b A -=，则()()2sin 2cos C B A B ++-的取值范围为__________.【答案】32,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】因为2cos c b b A -=，所以sin sin 2sin cos C B B A -=，即()sin sin 2sin cos A B B B A +-=，展开整理得()sin sin A B B -=，因为锐角ABC 中，ππππ,0,,,,2222A B A B A B ⎛⎫⎛⎫∈+>-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A B B -=，即2A B =，由π02π022π0π32B A B C B ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，得π6π4B <<，()()22πsin cos sin 2cos sin2cos21214C B A B A B B B B ⎛⎫++-=+=++=++ ⎪⎝⎭，因为π6π4B <<，所以7ππ3π21244B <+<，π<sin 224B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()()2sin 2cos C B A B ++-的范围为32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.4．（2023·陕西西安·统考一模）已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足2cos 2b A a c +=，且b =，则ABC 周长的取值范围为______________．【答案】【解析】在ABC 中，由2cos 2b A a c +=及正弦定理得：2sin cos sin 2sin B A A C +=，而π()C A B =-+，于是2sin cos sin 2sin()2sin cos 2cos sin B A A A B A B A B +=+=+，有sin 2sin cos A A B =，而0πA <<，sin 0A >，因此1cos 2B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即有222222112()3()3()()24a c a c ac a c ac a c a c +=+-=+-≥+-=+，当且仅当a c =时取等号，从而a c +≤，而a c b +>=，则a b c <++≤所以ABC周长的取值范围为.5．（2023·全国·校联考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22c ac b +=.（1）证明：2B C =；（2）求a bc+的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）(1,5).【解析】（1）∵22c ac b +=，∴22c b ac -=-，∴由余弦定理得：2222cos 222a c b a ac a cB ac ac c+---===，即：2cos c B a c ⋅=-，由正弦定理得：2sin cos sin sin C B A C ⋅=-，∴2sin cos sin()sin sin cos sin cos sin C B B C C B C C B C ⋅=+-=+-，整理得：sin cos sin cos sin 0B C C B C --=，即：sin()sin B C C -=，又∵(0,π)B C ∈、，∴B C C -=，即：2B C =.（2）∵2B C =，∴π3A C =-，又∵sin22sin cos C C C =⋅，2sin 3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin cos 22sin cos C C C C C C C C C C C=+=⋅+⋅=⋅+⋅，sin 0C ≠，∴由正弦定理得：sin sin sin(π3)sin2sin3sin2sin sin sin a b A B C C C Cc C C C++-++===22sin cos22sin cos 2sin cos cos22cos 2cos sin C C C C C CC C CC⋅+⋅+⋅==++2222cos 12cos 2cos 4cos 2cos 1C C C C C =-++=+-，又∵0π0π3ππ0π02π 030π0π A C B C C C C <<<-<⎧⎧⎪⎪<<⇒<<⇒<<⎨⎨⎪⎪<<<<⎩⎩，∴1cos 12C <<，令cos t C =，则2421a bt t c+=+-，112t <<，∵2421y t t =+-对称轴为14t =-，∴2421y t t =+-在1(,1)2上单调递增，当12t =时，11421142y =⨯+⨯-=；当1t =时，4215y =+-=，∴15a bc+<<，即：a b c +的范围为(1,5).6．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin tan cos C B A B -=．（1）求A ；（2）若2a =，求2c b -的取值范围．【答案】（1）π3A =；（2）()2,4-【解析】（1）由题意知，sin 2sin sin cos cos AC B B A-=⨯，所以2cos sin cos sin sin cos A C A B A B -=，则()2cos sin sin cos cos sin sin sin A C A B A B A B C =+=+=，又()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =，又()0,πA ∈，所以π3A =．（2）由（1）得sin 2sin sin cos cos AC B B A-=⨯，由正弦定理得cos 2cos a B c b A -=，又2a =，π3A =，所以24cos c b B -=．因为2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos ,12B ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以()4cos 2,4B ∈-，故()22,4c b -∈-，即2c b -的取值范围为()2,4-．7．（2023·河南·校联考模拟预测）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 是2a 与πsin6C ⎛⎫+⎪⎝⎭的等比中项．（1）求A ﹔（2）若ABC 是锐角三角形，且2c =，求sin a B 的取值范围．【答案】（1）π3；（2）⎝【解析】（1是2a 与πsin 6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项，所以2π2sin 6a C b c ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，由正弦定理及两角和的正弦公式，得12sin cos sin sin 2A C C B C ⎫⋅+=+⎪⎪⎝⎭．因为πA B C ++=，所以()sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++，()sin cos 1sin A C A C =+．因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=，即π3A =．（2）由正弦定理，得2πsin sin sin 3ab B C ==，所以2π3sin sin C a B b C⎛⎫- ⎪⎝⎭==132tan C⎛=+ ⎝．因为ABC 是锐角三角形，所以2ππ0,32π0,2C C ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩所以ππ62C <<，所以tan 3C >，所以sin a B的取值范围是⎝．8．（2023·全国·高三专题练习）在①)cos sin a b C c B -=，②22cos a c b C -=，③()()()a b a b a c c -+=-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且满足_______，b =（1）若4a c +=，求ABC 的面积;（2）求ABC 周长l 的取值范围．【答案】（1（2）(【解析】（1）若选条件①)cos sin a b C c B -=及正弦定理，)sin sin cos sin sin A B C C B-=()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=⎤⎦，化简得sin sin sin B C C B =，因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以tan B =，因为0πB <<，所以π3B =．若选条件②，由22cos a c b C -=及正弦定理，得2sin sin 2sin cos A C B C -=，即()2sin sin 2sin cos B C C B C +-=，化简得2cos sin sin B C C =,因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =．若选条件③，由)()()a b a b a c c +-=-化简得，222a c b ac +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，即1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =，所以三个条件，都能得到π3B =.由余弦定理得()22222cos 22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+--，即21124222ac ac =--⨯，解得43ac =，所以ABC的面积114πsin sin 22333S ac B ==⨯⨯=.（2）因为π3b B ==，由正弦定理得4sin sin sin a c b A C B ===，因为2ππ3A C B +=-=，所以()2π1π4sin sin 4sin sin cos 3226a c A C A A A A A ⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎭，因为2π03A <<，所以ππ5ππ1sin 166662A A ⎛⎫⎛⎤<+<+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，，，所以(a c +∈，即(a b c ++∈，所以ABC 周长l 的取值范围为(.9．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）求△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，且△ABC 的周长为6．（1）证明：()124bc b c +=+；（2）求△ABC 面积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）在△ABC 中，由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，即2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，又因为6a b c ++=，所以22[6()]()3b c b c bc -+=+-，整理可得：124()b c bc -+=-，所以()124bc b c +=+得证.（2）由（1）可知：()124bc b c +=+，所以124bc +≥⨯，当且仅当b c =时取等号，6≥2≤，因为6b c +<2≤，则4bc ≤，所以1sin 424ABC S bc A =≤= ，故△ABC.10．（2023·四川凉山·统考一模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,sin cos a b c b c A a C -=．（1）求A ；（2）若2b =，求ABC 面积的取值范围．【答案】（1）π4A =；（2）()1,2【解析】（1）因为sin cos b c A a C -=，由正弦定理得sin sin sin sin cos B C A A C -=，。

解三角形求取值范围的题目

解三角形求取值范围的题目带答案
以下是一些关于三角形求取值范围的题目以及它们的答案。

题目1：已知三角形ABC，角A的度数为60°，角B的度数为45°。

求角C的度数的取值范围。

答案1：角C的度数的取值范围为(0°, 75°)，因为角A + 角B + 角C = 180°，所以角C = 180°- 角A - 角B = 75°。

题目2：已知三角形DEF，角D的度数为120°，角E的度数为40°。

求角F的度数的取值范围。

答案2：角F的度数的取值范围为(0°, 100°)，因为角D + 角E + 角F = 180°，所以角F = 180°- 角D - 角E = 180°- 120°- 40°= 20°。

题目3：已知三角形GHI，角G的度数为75°，角H的度数为85°。

求角I的度数的取值范围。

答案3：角I的度数的取值范围为(0°, 120°)，因为角G + 角H + 角I = 180°，所以角I = 180°- 角G - 角H = 180°- 75°- 85°= 20°。

这些题目和答案可以帮助您理解三角形角度之间的关系和计算角度的取值范围。

解三角形中的范围问题

求解方法的选取
根据问题的具体情况，选择合适的求解方法，如代数法、几何法、三角函数法等。
对未来研究的展望和挑战
求解方法的改进
随着数学和计算机技术的发展，未来可以尝试将更先进的技术和方法应用于三角形问题的求解中，以提高求解效率和精度。
复杂三角形问题的研究
对于一些复杂的三角形问题，如具有多个约束条件的三角形问题、非等腰三角形问题等，需要进行更深入的研究和探讨。
解答
利用余弦定理，计算边 a的长度为$sqrt{26}$，然后利用正弦定理，求出高BC为$sqrt{10}$。
实例二：给定边长求角度和高
01
题目
分析
02
03
解答
在三角形ABC中，已知a=5， b=4，高BC=3，求角A的大小。
已知两边长度和高，可以通过余弦定理求出角度A。
利用余弦定理，计算出角A的大小为$60°$。
实例三：给定高求角度和边长
题目
在三角形ABC中，已知高BC=4，角 A=45°，a=6，求边b的长度。
分析
已知高、角度和一边长度，可以通过正弦定理求出另一边b的长度。
解答
利用正弦定理，计算出边b的长度为 $sqrt{10}$。
07
总结与展望
解三角形中的范围问题的关键点总结
三角形边长和角度的取值范围
02
边长和高度的变化会影响三角形的面积，但具体关系取决于三角形的
形状。
03
在等腰三角形中，面积与边长和高度都有关，但高度对面积的影响更
大。
高和面积的范围计算方法
01
高和面积的范围可以通过三角形的性质和几何关系来计算。
02
在给定三角形两边及夹角的情况下，可以使用余弦定理和三角函数来计算高的范围。

三角形中的最值或范围问题

三角形中的最值或范围问题在解三角形时，往往会遇到求边、角、周长、面积等问题的最值或范围，我们只需综合运用正余弦定理、三角恒等变换、面积公式，结合基本不等式与三角函数等知识求解即可.一、角的范围或最值[解析]：因为2b ac =，又由余弦定理知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，所以03B π<≤，又7sin cos )44412B B B B ππππ+=+<+<且,)4B π+∈,即sin cos B B +的取值范围是.[解析]:由BA BC ⋅=,得1cos sin 2ca B ac B =,即cos B B =, 又22cos sin 1B B +=,所以3cos 4B =． 221cos 21cos 2sin sin 22A C A C --+=+＝1cos[()()]2A C A C -++-＋1cos[()()]2A C A C -+--＝cos()cos()1A C A C +-+＝cos cos()1B A C -+＝3cos()14A C -+．因为0A B π<<-,0C B π<<-,所以B A C B ππ-<-<-, 所以当A C =时,max cos()1A C -=,当A C B π-=-或A C B π-=-时,min 3cos()cos 4A CB -=-=-,所以737cos()11644A C <-+≤, 即22sin sin A C +的取值范围是77(,]164．点评：求角的范围问题一般是转化为利用三角函数的范围来求.二、边的范围或最值【例2】:在锐角△ABC 中，A=2B ，则cb的取值范围是 .[解析]：由0222A B C A B πππ<=<<=--<且0,得64B ππ<<，所以2sin sin 3sin 2cos cos 2sin 4cos 1sin sin sin c C B B B B B B b B B B+====-，又23cos (,)22B ∈所以24cos 1(1,2)cB b=-∈. 【变式】:在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且BC 边上的高为a 63,则cb bc + 的最大值是( )A.8B. 6C.23D.4[解析]:由已知得，在△ABC 中,A bc a a sin 216321=⋅, 即A bc a sin 322=,又由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=，即222cos 2c b A bc a +=+，所以4)6sin(4cos 2sin 32cos 2sin 3222≤+=+=+=+=+πA A A bc A bc A bc bc c b c b b c . 故选D.点评：把边的问题转化为角的问题，化多元为一元，体现了解题的通性通法.下面这道高考题只需运用正弦定理即可，能想到方法就很简单，想不到就太难了，不愧是高考题！【好题欣赏】：（2015·新课标I ）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 .[解析]: 如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，AB 最长，在BCE ∆中，75B C ∠=∠=，30E ∠=，2BC =，由正弦定理可得o osin 30sin 75BC BE=，解得BE =6+2；平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时在BCF ∆中，75B BFC ∠=∠=，30FCB ∠=，由正弦定理知o osin 30sin 75BF BC=，解得62BF =-，所以AB 的取值范围为(62,6+2)-.三、周长的范围或最值【例3】: 已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c +--=. (1)求A 的大小；(2)若a ＝7,求△ABC 的周长的取值范围．[解析]:(1)由已知及正弦定理得：C B C A C A sin sin sin sin 3cos sin +=+, 即C C A C A C A sin )sin(sin sin 3cos sin ++=-,化简得，1cos sin 3=-A A ，所以21)6sin(=-πA ，所以66ππ=-A ，解得3π=A ；(2)由已知：0b >,0c >,7b c a +>=,由余弦定理22222231492cos()3()()()344b c bc b c bc b c b c b c π=+-=+-≥+-+=+ 当且仅当b ＝c ＝7时等号成立,∴2()449b c +≤⨯,又∵b ＋c ＞7,∴7＜b ＋c ≤14, 从而△ABC 的周长的取值范围是(14,21]．【变式】: 在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且cos cos 2cos a C c A b B +=. （1）求B 的大小.（2）若b=5，求△ABC 周长的取值范围.[解析]：（1）因为cos cos 2cos a C c A b B +=，由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=,所以sin()2sin cos A C B B +=，于是1cos ,23B B π==.（2）由正弦定理10sin sin sin 3a b c A B C ===，所以101010210sin 5sin 5sin()sin 510sin()363333a b c A C A A A ππ++=++=+-+=++又由02A π<<得2663A πππ<+<，所以510sin()(10,15]6a b c A π++=++∈.点评：例4是运用余弦定理结合基本不等式求周长的范围，而变式是运用正弦定理结合三角函数求周长的范围，各有千秋，好好体会.四、面积的范围与最值【例4】:在△ABC 中，22223a b c ab +=+，若△ABC 的外接圆半径为322，则△ABC 的面积的最大值为 .[解析]：由22223a b c ab +=+及余弦定理得2221cos 23a b c C ab +-==，所以22sin 3C =，又由于2sin 4c R C ==，所以2222cos c a b ab C =+-，即2221623ab a b ab +=+≥，所以12ab ≤，又由于12sin 4223S ab C ab ==≤，故当且仅当23a b ==时，ABC 的面积取最大值42.【变式】: 如图,在等腰直角三角形OPQ 中,∠POQ ＝90°,22=OP ,点M 在线段PQ 上． (1)若5OM =,求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上,且∠MON ＝30°,问：当∠POM 取何值时, △OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．[分析]:第(2)题求△OMN 的面积最小值,前面的要求也很明确：以∠POM 为自变量,因此,本题主要是如何将△OMN 的面积表示为∠POM 的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM 和ON 的长表示为∠POM 的函数是关键.[解析]:(1)在OMP ∆中,45OPM ∠=︒,OM =OP =, 由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒, 得2430MP MP -+=, 解得1MP =或3MP =． (2)设POM α∠=,060α︒≤≤︒, 在OMP ∆中,由正弦定理,得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠,所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+, 同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+故1sin 2OMNS OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+ ()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒=⎣⎦====因为060α︒≤≤︒,30230150α︒≤+︒≤︒,所以当30α=︒时,()sin 230α+︒的最大值为1,此时OMN ∆的面积取到最小值．即30POM ∠=︒时,△OMN 的面积的最小值为8-点评：面积问题是边长与角问题的综合,在例5中，知道角的具体值，就考虑边的变化，利用余弦定理结合基本不等式来求,而在变式中，不知道角的具体值，就考虑角的变化,利用三角函数范围求解.巩固训练：[解析]:设,,AB c AC b BC a ===,由余弦定理的推论222cos 2a c b B ac+-=,所以2223a c ac b +-==, 因为由正弦定理得2233sin sin sin ====BbC c A a ,所以C c sin 2=，A a sin 2=, 所以)sin 2(sin 2sin 22sin 22A C A R C R a c +=⨯+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=)32sin(2sin 2C C π ()α+=+=C C C sin 72)cos 3sin 2(272≤,（其中23tan =α），另解：本题也可以用换元法设2c a m +=,代入上式得227530a am m -+-=,因为28430m =-≥,故m ≤当m =,此时a c ==符合题意,因此最大值为．[解析]:（1）由余弦定理知：2221cos 22b c a A bc +-==,∴3A π∠=； (2)由正弦定理得：2sin sin sin b c aB C A====,∴2sin b B =,2sin c C =, ∴22224(sin sin )b c B C +=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-+-=B B C B 322cos 22cos 24)2cos 12cos 1(2π⎪⎭⎫⎝⎛---=B B 234cos 22cos 24π)62sin(242sin 32cos 4π-+=+-=B B B ,又∵203B π<<0,∴72666B πππ-<-<,∴12sin(2)26B π-<-≤, ∴2236b c <+≤．3.己知在锐角三角形中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且222tan abC a b c =+-,(1)求角C 大小；(2)当c=1时,求ab 的取值范围.[解析]：(1)由已知及余弦定理,得sin 1,sin ,cos 2cos 2C ab C C ab C ==因为C 为锐角,所以 30=C , (2)由正弦定理,得121sin sin sin 2a b c A B C ====, 2sin ,2sin 2sin(30).a A b B A ∴===+︒4sin sin 4sin sin()6ab A B A A π==+2314sin (sin cos )23sin 2sin cos 22A A A A A A =+=+3sin 23cos2A A =+-32sin(2)3A π=+- 由090,015090A A ︒<<︒⎧⎨︒<︒-<︒⎩得6090.A ︒<<︒60260120,A ∴︒<-︒<︒3sin(2)123A π<-≤ 2332ab ∴<≤+.4.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a=2,求△ABC 周长的取值范围．[解析]:（1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可将2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++变形为22(2)(2)a b c b c b c =+++, 整理可得222a b c bc =++,222b c a bc ∴+-=-,2221cos 222b c a bc A bc bc +--∴===-,0180A <<,∴120A =;(2) 由正弦定理得334sin sin ==C c B b ， ∴[])60sin(sin 334)sin (sin 334B B C B c b -+=+=+ )sin 60cos cos 60sin (sin 334B B B -+= )60sin(334cos 23sin 21334+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B ，∵ 120=A ，∴() 60,0∈B ，∴() 120,6060∈+B ,∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+1,23)60sin( B ,∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+334,2)60sin(334B ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+334,2c b ， ∴周长⎥⎦⎤⎝⎛+∈++3342,4c b a[解析]：由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-，∴222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，∴060A ∠=， ∴224b c bc +-=，224b c bc bc =+-≥，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤故答案为3.6. 在一个六角形体育馆的一角MAN 内,用长为a 的围栏设置一个运动器材存储区域（如图所示）,已知0120A ∠=,B 是墙角线AM 上的一点,C 是墙角线AN 上的一点．（1）若BC=a=20,求存储区域面积的最大值；（2）若AB+AC=10,在折线MBCN 内选一点D,使BD+DC=20,求四边形存储区域DBAC 的最大面积．[解析]:（1）设AB x =,AC y =,0,0x y >>．由22200202cos12022cos120x y xy xy xy =+-≥-,得22020202022cos1204sin 60xy ≤=-, ∴22020002000112020cos 60201003sin1202sin 60cos 60224sin 604sin 604tan 60S xy =≤⨯⨯===即四边形DBAC 面积的最大值为10033,当且仅当x y =时取到．（2）由20=+DC DB ,知点D 在以B,C 为焦点的椭圆上，∵32523101021=⨯⨯⨯=∆ABC S , ∴要使四边形DBAC 面积最大，只需△DBC 的面积最大，此时点D 到BC 的距离最大，即D 为椭圆短轴顶点，由310=BC ,得短半轴长5=b ，()325531021max =⨯⨯=∆BCD S ，因此，四边形ACDB 的面积的最大值为350.7.已知3()3f x x x m =-+,在区间[0,2]上任取三个数a,b,c,均存在以()()(),,f a f b f c 为边长的三角形,则m 的取值范围是（）出函数在区间[0,2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解.[解析]：由0)1)(1(333)('2=-+=-=x x x x f 得到1,121-==x x （舍去）， ∵函数的定义域为[0,2]，∴函数在（0，1）上0)('<x f ，在（1，2）上0)('>x f ， ∴函数)(x f 在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则,)0(,2)2()(,2)1()(max min m f m f x f m f x f =+==-== 由题意知，02)1(>-=m f ①；)2()1()1(f f f >+，即m m +>+-224②；由①②得6>m 为所求，故选B.。

解三角形中的最值(范围)问题

解三角形中的最值（范围）问题1. 锐角三角形ABC 满足2B=A+C ，设最大边与最小边之比为m ，求m 的取值范围. 分析：不妨令则因为所以所以2. 锐角三角形ABC 的面积为S ，角C 既不是最大角，也不是最小角.若，求的取值范围.分析：又所以所以又在锐角三角形ABC 中，角C 既不是最大角，也不是最小角所以所以，即k 的取值范围.60B ︒=090A B C ︒<≤≤<sin sin()1sin sin 2tan 2c C A B ma A A A +====+3060A ︒︒<≤tan 3A <≤12m ≤<22()4c a b S k --=k 222222cos (1cos )442c a b ab ab ab C ab C S k k k --+--===1sin 2S ab C =1cos sin CC k -=1cos tan sin 2C C k C -==42C ππ<<1tan 12C <<3. 三角形ABC 满足B 是锐角，且，则的取值范围是_______. 分析：由正弦定理得所以又所以又B 是锐角所以4. 锐角三角形ABC 满足,求的取值范围.分析：由正弦定理得所以所以又所以又所以所以28sin sin sin A C B =a cb +28ac b=a c b +===2222cos 8b a c ac B ac =+-=22cos 484a c B ac ++=()22a c b+∈)(sin sin )(sin sin )c b c C B a A B =+-=-22a b +()()()b c c b a a b +-=-222a b c ab +-=1cos 2C =0C π<<3C π=4sin sin sin a b c A B C ===4sin ,4sin a A b B ==22222241cos(2)21cos 2316(sin sin )16[sin sin ()]16[]168cos(2)3223A A a b A B A A A πππ---+=+=+-=+=-+又所以所以所以5. 三角形ABC 满足BC 边上的高为，则的最大值是_____. 分析：又所以所以所以又所以的最大值是46. 三角形ABC 满足点D 在边BC 上，且，若，则的取值范围是______.分析： 62A ππ<<242333A πππ+∈（，）12)[1,)32A π+∈--cos(22(20,24]a b +∈6a c b b c+21122S BC h a =⋅==22c b b c b c bc ++=21sin 212S bc A a ==222sin 2cos a A b c bc A ==+-222cos 4sin()6b c A A A bcπ+=+=+0A π<<c b b c +2DC BD =::3::1AB AD AC k =k。

课件解三角形中的最值及取值范围

边的取值范围
总结词
边的取值范围受到角度的取值范围以及三角形的性质影响。
详细描述
在任何三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。因此，边的取值范围受到角度的取值范围以及三角形的形状的影响。对于直角三角形，斜边是最长边，其长度大于其他两边之和。对于钝角三角形，最长边大于其他两边之和，但不能超过其他两边之和的两倍。
引入其他数学工具
为了更深入地研究三角形最值及取值范围问题，可以考虑引入其他数学工具，如微积分、线性代数等，以期取得更多突破性成果。
拓展应用领域
除航海、航空、地理测量等领域外，三角形最值及取值范围还可以应用于其他领域，如建筑设计、机械制造等。未来可以加强与其他学科的合作，拓展其应用领域。
THANKS
03
三角形中的取值范围问题
角度的取值范围
总结词
角度的取值范围是三角形中一个重要的问题，它受到三角形内角和为180度以及三角形的形状限制。
详细描述
在任何三角形中，三个内角的和总是等于180度。因此，每个角的取值范围是0度到180度。对于直角三角形，一个角是90度，其他两个角的角度和为90度，所以每个角的角度范围是0度到90度。对于钝角三角形，最大的角度大于90度，但不能超过180度。
高的取值范围
总结词
高的取值范围受到角度的取值范围以及三角形的形状影响。
VS
详细描述
在任何三角形中，高是从顶点垂直到对边的线段。因此，高的取值范围受到角度的取值范围以及三角形的形状的影响。对于锐角三角形，所有的高都大于零。对于直角三角形，斜边上的高等于另一条直角边。对于钝角三角形，有两条高在三角形内部，另一条高在三角形外部。
感谢观看
04

公开课解三角形中的最值及取值范围问题

2、数学思想方法：
谢谢！
4
4
2 cos A 2 cos A 2 sin A
B , A C 3
4
4
2
2
A(0, 3 )
A
(
,
)
2 cos A 2 sin A
4
44
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当A ，即A 时，取得最大值为1.
42
4
sin(A )
4
例2：在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
已知：3b 2a sin B ，角A为锐角. (1)求角A的大小. (2)若a 6, 求b c的取值范围.
例1.(2016年北京卷） ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 已知a2 c2 b2 2ac, (1)求B的大小. (2)求 2 cos A cos C的最大值.
(2) 2 cos A cosC 2 cos A cos(3 A)
4
2 cos A cos3 cos A sin 3 sin A
例2：在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
已知：3b 2a sin B ，角A为锐角. (1)求角A的大小. (2)若a 6, 求b c的取值范围.
解：(1) 3b 2a sin B
3 sin B 2sin Asin B
3 2sin A
sin A 3
2
A为锐角 A
3
微专题解三角形中取值范围（最值）问题
学习目标
1.能利用正弦、余弦定理来解三角形； 2.掌握解决解三角形问题中的取值范围问题的常规解法：函数法，不等式法等.
知识要点归纳
（1）正弦定理：（2）余弦定理：
a b c 2R sinA sinB sinC

三角形中的最值与范围问题解析版

三角形中的最值、范围问题一、知识与方法1、正弦定理可将边用角的正弦值表示：2sin sin sin a b cR A B C===， 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =2、在三角形ABC ∆中，若 222c a b =+，则C 为直角；若 222c a b >+，则C 为钝角；若 222c a b <+，则C 为锐角；3、在锐角三角形中，已知角C ，求B 的范围，可由下列限制条件求出：02022B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ 4、三角形有关最值和范围求解（1）利用余弦定理和基本不等式进行解答；（2）利用正弦定理和三角函数值域进行解答；例如：已知角C ，求解 sin sin m A n B +的范围：解题方法：()()sin sin =sin +sin sin +sin m A n B m A n A C m A n A C π+--=+，再利用三角函数和差角公式和辅助角公式进行化简，求出三角函数的值域；注意：若三角形为锐角三角形，已知角C ，则需满足02022B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，从而进一步限制B 的范围.（3）利用三角形三边关系进行解答；若为锐角三角形，则222222222c a b b a c a b c ⎧<+⎪<+⎨⎪<+⎩，若为钝角三角形，如角C 为钝角，则222c a b a b c ⎧>+⎨+>⎩二、题型训练题型一利用余弦定理和基本不等式求面积与周长最值问题例1．（2021•丙卷模拟）在ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()(sin sin )sin ()a b A B C b c -+=+，2b c +=，则ABC ∆的面积的最大值为( )A ．14B C ．12D 【解答】解：因为()(sin sin )sin ()a b A B C b c -+=+，由正弦定理得()()()a b a b c b c -+=+，所以222a b bc c -=+，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，由A 为三角形内角得23A π=，因为2b c +=，所以2()12b c bc +=，所以113sin 1222ABC S bc A ∆=⨯⨯=1b c ==时取等号，故选：B ．方法点拨：本题考查正弦定理的边角互化、余弦定理和基本不等式求最值，熟练利用正余弦定理和基本不等式是解题的关键. 巩固训练：1．（2021•河南模拟）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos cos cos a A b C c B =+，当ABC ∆的外接圆半径2R =时，ABC ∆面积的最大值为( )A B ．C ．D ．【解答】解：2cos cos cos a A b C c B =+，∴由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+，即2sin cos sin()sin A A B C A =+=，(0,)A π∈， 1cos 2A ∴=，即3A π=，由余弦定理，2221222b c bc bc bc =+-⨯⨯-，则12bc ，（当且仅当b c =时等号成立），ABC ∴∆的面积11sin 1222S bc A=⨯=b c =时，等号成立，故选：C ．2．在ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1(sin )cos sin cos 2b C A A C -=，且a =ABC ∆面积的最大值为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：已知等式整理得：1cos sin cos cos sin sin()sin 2b A A C A C A C B =+=+=，即2sin cos b B A=，由正弦定理sin sin a b A B =2cos A =，即sin tan cos AA A==60A ∴=︒，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即22122b c bc bc bc bc =+--=，则1sin 332ABC S bc A ∆=，即ABC ∆面积的最大值为故选：B ．3．（2021春•鼓楼区校级期末）在ABC ∆中，1cos 2a c Bb =+．（1）若7a b +=，ABC ∆的面积为c ；（2）若4c =，求ABC ∆周长的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C==， 1cos2a c Bb =+，∴1sin sin cos sin 2A C B B =+，即1sin()sin cos sin 2B C C B B +=+，1sin cos cos sin sin cos sin 2B C B C C B B ∴+=+，∴1sin cos sin 2B C B =，sin 0B ≠，∴1cos 2C =， (0,)C π∈，∴3C π=，11sin 22S ab C ab ===12ab ∴=，由余弦定理知，22222cos ()3493613c a b ab A a b ab =+-=+-=-=，∴c =（2）由余弦定理知，2222cos c a b ab A =+-，2222()()16()3()344a b a b a b ab a b ++∴=+-+-⋅=， 8a b ∴+，当且仅当4a b ==时，取等，ABC ∴∆周长的最大值为4812+=．4．（2021•一模拟）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )sin ()0a c A C B a b -+--=．（1）求C ；（2）若ABC S ∆=，2c =，求ABC ∆周长的最小值．【解答】解：（1）ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )()sin 0a c A C b a B -++-=．利用正弦定理得：()()()0a c a c b a b -++-=，整理得：2220a c b ab -+-=，即2221cos 22a b c C ab +-==，由于0C π<<，所以：3C π=．（2）因为11sin sin 223ABC S ab C ab π∆====，所以解得8ab =，所以周长22a b c ab c +++=，当且仅当a b ==所以ABC ∆周长的最小值为2．5．（2021•永州模拟）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c (sin )b A A =．（1）求B ；（2）若3b =，求ABC ∆周长最大时，ABC ∆的面积．【解答】解：（1）(sin )b A A =，∴sin (sin )C B A A =，∴)sin sin cos A B B A B A +=+，∴cos cos sin sin cos A B B A B A B A =+，∴sin B B =，∴tan B ，0B π<<，∴3B π=．（2）222cos 2a c b B ac+-=，据（1）可得3B π=，∴222122a c b ac +-=，222b ac ac ∴=+-，29()3a c ac ∴=+-，∴222()9()3()24a c a c a c +++-=，当且仅当3a c ==时等号成立，即当3a c ==时，a c +取得最大值，即周长取得最大值，此时133sin 23ABC S π∆=⨯⨯⨯=6．（2021•巴中模拟）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知sin sin(),3b A a B b π=+=．（1）求ABC ∆的外接圆直径；（2）求ABC ∆周长的取值范围．【解答】解：（1）sin sin()3b A a B π=+，∴由正弦定理，可得sin sin sin sin()3B A A B π=+，(0,)A π∈，sin 0A >，∴sin sin()3B B π=+，化简可得，1sin 2B B =，∴tan B =，(0,)B π∈，∴3B π=，由正弦定理可得，ABC ∆的外接圆直径21sin bR B ===．（2）由（1）可知，3B π=，由余弦定理可得，222b a c ac =+-， 222221()3()3()()24a cb ac ac a c a c +∴=+-+-=+，当且仅当a c =时，等号成立，b ， 2()3ac ∴+，即3a c +，又a cb +>=，∴3a c <+，∴332a b c++，ABC ∴∆的取值范围为．题型二利用正弦定理和三角函数值域求三角形角度有关的最值、范围问题例2．在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+ac ．（Ⅰ）求∠B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos C 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+ac ．∴a 2+c 2﹣b 2＝ac ．∴cos B ＝＝＝，∴B ＝（Ⅱ）由（I ）得：C ＝﹣A ，∴cos A +cos C ＝cos A +cos （﹣A ）＝cos A ﹣cos A +sin A＝cos A +sin A ＝sin （A +）． ∵A ∈（0，）， ∴A +∈（，π），故当A +＝时，sin （A +）取最大值1，即cos A +cos C 的最大值为1．方法点拨：本题考查了余弦定理、三角形内角和、三角函数和差角公式、辅助角公式以及三角函数值域，熟练掌握余弦定理、三角函数辅助角公式、三角函数值域求解的方法是解题的关键. 巩固训练：1．（2021•沈阳四模）在①2cos cos c b Ba A-=，②2cos 2a C c b +=，③1sin cos sin 2cos 2a A C c A A +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题．问题：锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______．（1）求A ；（2）求cos cos B C +的取值范围．【解答】解：（1）选① 因为2cos cos c b Ba A -=，所以2sin sin cos sin cos C B BA A-=，所以2sin cos sin cos sin cos C A B A A B -=，整理得2sin cos sin cos sin cos sin()sin C A B A A B A B C =+=+=．因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =．因为(0,)2A π∈，所以3A π=．选②因为2cos 2a C c b +=，所以2sin cos sin 2sin 2sin()A C C B A C +==+，所以2sin cos sin 2sin cos 2cos sin A C C A C A C +=+，整理得sin 2cos sin C A C =．因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =．因为(0,)2A π∈，所以3A π=．选③因为1sin cos sin 2cos 2a A C c A A +，所以sin sin cos sin sin cos cos A A C C A A B A +=，所以sin (sin cos sin cos )cos A A C C A B A +=，整理得sin sin cos A B B A =．因为sin 0B ≠，所以sin A A =．因为(0,)2A π∈，所以tan 3A A π=．（2）因为3A π=，所以1cos cos cos cos()cos sin()26B C B B A B B B π+=-+=+=+．因为2(0,),(0,)232B C B πππ∈=-∈，所以(,)62B ππ∈，所以2(,)633B πππ+∈，所以sin()6B π+∈，故cos cos B C +∈．2．（2021•下城区校级模拟）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin b B a A c A -=．（1）求证：2B A =；（2）若ABC ∆是锐角三角形，求sin sin AC的取值范围．【解答】解：（1）由sin sin sin b B a A c A -=得22b a ac -=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，代入22b a ac -=得22cos ac c ac B =-，则2cos a c a B =-，由正弦定理得sin sin 2sin cos A C A B =-，所以sin sin()2sin cos A A B A B =+-，得sin sin()A B A =-，由220b a ac -=>知b a >，故B A >，所以A B A =-或()A B A π+-=（舍去）所以2B A ⋯=，（2）3C A π=-，由0,02,03222A A A ππππ<<<<<-<得64A ππ<<，sin sin sin sin sin sin3sin(2)sin cos2cos sin 2A A A AC A A A A A A A===++，32sin 11(,1)3sin 4sin 34sin 2A A A A ==∈--．题型三利用正弦定理和三角函数值域求三角形边长有关的最值、范围问题例3．（2021•汕头三模）在①22(sin sin )sin 3sin sin B C A B C +=+，②22cos c a B b =+，③cos cos 2cos 0b C c B a A +-=这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且____．（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆是锐角三角形，且2b =，求边长c 的取值范围．【解答】解：（1）选条件①．因为22(sin sin )sin 3sin sin B C A B C +=+，所以222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，根据正弦定理得，222b c a bc +-=，由余弦定理得，1cos 2A =，因为A 是ABC ∆的内角，所以3A π=选条件②，因为1cos 2c a B b =+，由余弦定理222122a c b c a b ac +-=⨯+，整理得222b c a bc +-=，由余弦定理得，1cos 2A =，因为A 是ABC ∆的内角，所以3A π=．选条件③，因为cos cos 2cos 0b C c B a A +-=， sin cos sin cos 2sin cos 0B C C B A A ∴+-=．sin()2sin cos B C A A ∴+=，即sin 2sin cos A A A =因为0A π<<，sin 0A ≠．∴1cos 2A =， ∴3A π=；（2）因为3A π=，ABC ∆为锐角三角形，所以022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<在ABC ∆中，2sin sin c C B=，所以212sin()sin )322sin sin B B B c B B π-+===，即1c ．由62B ππ<<可得，tan B >，所以10tan B<<，所以14c <<．方法点拨：本题第一问考查正余弦定理的变形及应用，第二问边长范围问题考查正弦定理的边角互化，结合锐角三角形角度的范围和三角函数值域求解出角度的范围.巩固训练：1．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且220c a ab --=．（1）求证：2C A =；（2）若2a =，求c 的取值范围．【解答】解：（1）证明：因为220c a ab --=，结合余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，所以22cos ab b ab C =-，即2cos a b a C =-，由正弦定理，得sin sin 2sin cos sin()2sin cos A B A C A C A C =-=+- sin cos sin cos sin()C A A C C A =-=-，因为ABC ∆为锐角三角形，所以A C A =-，即2C A =；（2）由（1）2C A =，由正弦定理，得sin sin a cA C=，所以2cos 4cos c a A A ==，由题意，得02032022A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，解得64A ππ<<，所以4cos c A =∈．2．（2021春•慈溪市期末）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m 、n 满足：(2,6)m a =，(,2sin )n b B =，且//m n ．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若ABC ∆是锐角三角形，且2a =，求b c +的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为//mn ，所以2a Bb =，2sin a B=，由正弦定理得：2sin sin A B B =，因为sin 0B≠，所以sin A ，所以3A π=或23π．（Ⅱ）因为2a =，所以由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ====，得：b B ，c C =，所以21sin )sin()]sin ]4sin()326b c B C B B B B B B ππ++=+-=++=+，因为ABC ∆是锐角三角形，所以02B π<<，且2032B ππ<-<，可得62B ππ<<，所以2363B πππ<+<sin()16B π<+，所以4b c <+．3．（2021春•青山湖区校级期中）在ABC ∆中，3B π=，AC ，则2AB BC +的最大值为( )A．B．C ．3 D ．4【解答】解：因为3B π=，AC由正弦定理得2sin sin sin a c bA C B===，所以2sin a A =，22sin 2sin()3c C A π==-，由则222sin()4sin 5sin )3AB BC A A A A A πϕ+=-++=+，其中ϕ为辅助角，根据正弦函数的性质得)A ϕ+的最大值故选：B ．4．（2021•B 卷模拟）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且有2b =．在下列条件中选择一个条件完成该题目：①cos (cos )cos 0C B B A +-=；②2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+-．（1）求A 的大小；（2）求2a c +的取值范围．【解答】解：（1）若选择①，因为cos (cos )cos 0C B B A +-=，所以cos()cos cos cos 0A B B A B A -++=，即cos cos sin sin cos cos cos 0A B A B B A B A -++=，所以sin sin cos A B B A =，因为sin 0B ≠，可得sin A A =，所以tan A =，可得3A π=；若选择②，因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+-．所以222222a b bc c bc =-+-，所以222bc b c a =+-，可得2221cos 22b c a A bc +-==，可得3A π=．（2）设ABC ∆外接圆半径为R ，则有22sin sin b R B B==，可得222122(2sin sin )sin )sin())sin )1sin sin sin 2a c R A C C A B B B B B B +=+==+=+=，因为ABC ∆为锐角三角形，可得022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，可得62B ππ<<，所以sin B 在(6π，)2π单调递增，cos B 在(6π，)2π(6π，)2π单调递减，所以21a c +∈，4)．5．（2021•肥城市模拟）已知锐角ABC ∆的外接圆半径为1，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S2224)S c b =+-．（1）求C ；（2）求bca的取值范围．【解答】解：（1）2224)S c b =+-，∴222)4a b c S +-=，∴1cos 4sin 2C ab C =⨯sin C C =，cos 0C ∴≠，tan C又(0,)C π∈∴3C π=，（2）ABC ∆的外接圆半径为1，∴2sin cC=，又正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 2sin a A ∴=，2sin b B =，∴21sin()sin)3322sin sin2tanA A Abca A A Aπ-+======+，又因为ABC∆是锐角三角形，∴22ABππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即2232AAπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴62Aππ<<，∴tan A>，1tan A<<，32tan A<<∴bca<<6．（2021春•庐阳区校级期末）在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(1cos)cosa b C c B++=．（1）求角C的大小；（2）若c=，求ABC∆周长的取值范围．【解答】解：（1）因为(1cos)cosa b C c B++=，所以由正弦定理得sin sin(1cos)sin cosA B C C B++=，又sin()sin()sinB C A Aπ+=-=，所以sin()sin sin cos sin cos0B C B B C C B+++-=，所以2sin cos sin0B C B+=，因为(0,)Bπ∈，所以sin0B≠，所以1cos2C=-，又(0,)Cπ∈，所以23Cπ=．（2）因为c=，23Cπ=，所以由正弦定理得2sin sin sin3b aB A===，则2sinb B=，2sina A=，故ABC∆的周长2sin2sin2sin2sin()3L B A B Bπ+=+-2sin2(sin cos cos sin)33B B Bππ=+-sin B B=+2sin()3B π=++，因为03B π<<，所以(33B ππ+∈，2)3π，sin()3B π+∈1]，2sin()3B π+∈2+，故ABC ∆周长的取值范围为2．7．（2021春•淮安期末）从①(2)cos cos 0b c A a B -+=；②222b c a +-=；③(tan tan )2tan b A B c B +=这三个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且____．（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形，b =ABC ∆的周长的取值范围．【解答】解：（1）若选①，在ABC ∆中，由正弦定理得：sin cos 2sin cos sin cos 0B A C A A B -+=，因为A B C π++=，A ，B ，(0,)C π∈，所以sin 2sin cos 0C C A -=，且sin 0C ≠，因此1cos 2A =，(0,)A π∈，可得3A π=；若选②，在ABC ∆中，由余弦定理得12cos sin 2bc A bc A ，所以sin A A ，因为sin 0A ≠，因此tan A =，且(0,)A π∈，故3A π=；若选③，在ABC ∆中，2tan sin cos cos sin sin 1tan cos sin cos sin c A A B A B Cb B A B A B+=+==，且sin 0C ≠，由正弦定理得：22sin sin sin cos sin c C Cb B A B==，故1cos 2A =，可得3A π=；（2）因为ABC ∆为锐角三角形，所以(0,)2B π∈，(0,)2C π∈，因此(,)62B ππ∈，sin sin c a C ==，可得c =3sin a B=，所以ABC∆的周长为)31cos 333sin sin tan 2B B a c b B B B π+++++=+++，由于(,)62B ππ∈，可得(212B π∈，)4π，可得tan (22B∈，所以ABC ∆的周长取值范围为(3++．8．（2021•烟台模拟）在条件①222sin sin sin sin A B C B C --=，②1cos 2b a Cc =+，③(cos )cos cos 0C C A B +=中，任选一个补充在下面问题中并求解．问题：在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1c =，____．（1）求A ；（2）求ABC ∆面积的取值范围．【解答】解：（1）若选①222sin sin sin sin A B C B C --=，由正弦定理得222a b c --=，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，由A 为三角形内角得6A π=；（2）14ABC S b ∆=，由正弦定理得51sin()cos sin 1622sin sin sin 2tan C C Cc Bb CC C C π-====，由题意得02506C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得32C ππ<<，所以tan Cb <ABC S ∆<<故ABC ∆面积的取值范围；（1）若选②1cos 2b a Cc =+，由正弦定理得1sin sin cos sin 2B AC C =+，所以1sin()sin cos sin 2A C A C C +=++，所以1sin cos sin cos sin cos sin 2A C C A A C C +=+，化简得1sin cos sin 2C A C =，因为sin 0C >，所以1cos 2A =，由A 为三角形内角得3A π=；（2）ABC S ∆，，由正弦定理得21sin()sin sin 1322sin sin sin 2C C Cc Bb CC C π-+====由题意得022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<，所以tan C ，故122b <<，ABC S ∆<<故ABC ∆面积的取值范围；（1）若选③(cos )cos cos 0C C A B +=，所以(cos )cos cos()0C C A A C -+=，化简得sin sin cos A C C A =，因为sin 0C >，所以tan A =，由A 为三角形内角得3A π=；（2）ABC S ∆，由正弦定理得21sin()sin sin 1322sin sin sin 2C C Cc Bb CC C π-+====由题意得022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<，所以tan C ，故122b <<，ABC S ∆<<故ABC ∆面积的取值范围．题型四利用三角形三边关系求解范围问题例4．（2019•新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【解答】解：（1）sin sin 2A C a b A +=，即为sin cos sin 22B Ba ab A π-==，可得sin cossin sin 2sin cos sin 222B B BA B A A ==， sin 0A >， cos2sin cos 222B B B ∴=，若cos 02B=，可得(21)B k π=+，k Z ∈不成立， 1sin22B ∴=，由0B π<<，可得3B π=；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，由余弦定理可得1cos3b a π=，由三角形ABC 为锐角三角形，可得2211a a a +-+>且2211a a a +-+>，解得122a <<，可得ABC ∆面积13sin 234S a π==∈．方法点拨：本题求解三角形面积的取值范围，由于一边和角度已知，可转化为求边长的范围，利用锐角三角形三边关系列出不等关系，从而求解出面积范围. 巩固训练：1．（2021•新高考Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长为a ，b ，c ，1b a =+，2c a =+．（Ⅰ）若2sin 3sin C A =，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）是否存在正整数a ，使得ABC ∆为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【解答】解：()2sin 3sin I C A =，∴根据正弦定理可得23c a =，1b a =+，2c a =+， 4a ∴=，5b =，6c =，在ABC ∆中，运用余弦定理可得2222224561cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯，22sin cos 1C C +=，sin C ∴===∴11sin 4522ABC S ab C ∆==⨯⨯=()II c b a >>，ABC ∴∆为钝角三角形时，必角C 为钝角， 222222(1)(2)cos 022(1)a b c a a a C ab a a +-++-+==<+，2230a a ∴--<， 0a >， 03a ∴<<，三角形的任意两边之和大于第三边， a b c ∴+>，即12a a a ++>+，即1a >， 13a ∴<<，a 为正整数，2a ∴=．。

解三角形中的最值与范围问题-高考数学复习

∴f(x)＝x＋122－54∈(1,5)， ∴bc22＋bc－1∈(1,5)， ∴a＋b c的取值范围是(1,5).
课时精练
一、单项选择题 1.已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B＝π3，a＝4，且
三角形有两解，则 b 的取值范围是
A.(2 3，＋∞)
√B.(2 3，4)
(2)求a＋b c的取值范围.
由(1)知，c2＝b2＋ab， ∴a＝c2－b b2，c>b，由三角形三边关系可得ab＋＋bc>>ac，，
代入化简可得b<c<2b，
∴a＋b c＝c2－bb22＋bc＝bc22＋bc－1，令 x＝bc，则 x∈(1,2)，f(x)＝x2＋x－1,1<x<2，
以a12＋b12的最大值为2156.
解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
跟踪训练 3 (2023·浙江联考)已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别
所以1b＝sin A＝sin 2C，
所以a12＋b12＝sin2C＋sin22C＝1－c2os 2C＋(1－cos22C)＝－cos22C－
1 2cos
2C＋32，
因为△ABC为锐角三角形，且B＝C，
则有π4<C<π2，得π2<2C<π，所以－1<cos 2C<0，由二次函数的性质可得，当 cos 2C＝－14时，a12＋b12取得最大值1265，所
解三角形中的最值与范围问题
重点解读
解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.

解三角形取值范围常见题型

解三角形取值范围常见题型引言解三角形取值范围是学习三角函数的重要一环，它涉及到解三角形的边长、角度以及各种三角函数的定义域和值域。

本文将介绍解三角形取值范围常见题型，通过详细的讲解和示例，帮助读者掌握解三角形取值范围的解题方法和技巧。

一、已知两边求角度1.已知两边求角度范围当已知三角形的两条边长度时，可以通过余弦定理或正弦定理来求出角度的范围。

例题1已知三角形的两边长分别为$a=5$和$b=7$，角$C$的取值范围是多少？解题思路：根据余弦定理，我们有$$c^2=a^2+b^2-2a b\co sC$$代入已知数值，得到$$c^2=5^2+7^2-2\c d ot5\cd ot7\cd ot\c os C$$化简后可得$$\c os C=\f ra c{c^2-74}{70}$$观察到余弦函数的定义域是$[-1,1]$，所以要使上式成立，必须满足$$\f ra c{c^2-74}{70}\in[-1,1]$$解以上不等式，可得$$-8.76\le qc^2\le q152.86$$由于$c$是三角形的边长，所以$c>0$，则有$$0<c\le q\sq rt{152.86}\a pp ro x12.36$$因此，角$C$的取值范围为$\c os^{-1}\l ef t(\f ra c{c^2-74}{70}\ri gh t)\ap p ro x\co s^{-1}\l ef t(\f ra c{5.14}{7}\r ig ht)\app r ox37.27°\l eq C\l eq180°$。

2.已知两边求角度解的数量当已知三角形的两条边长度后，求解角度的数量有一定的限制。

-如果两边之和小于第三边的长度，那么无解。

-如果两边之和等于第三边的长度，那么只有一个解，此时两边和第三边构成一条直线。

-如果两边之和大于第三边的长度，那么会有两个解。

例题2已知三角形的两边长分别为$a=4$和$b=5$，$\si nC=\fr ac{5}{6}$。

解三角形中相关的取值范围问题

解三角形中相关的取值范围问题解决与三角形相关的取值范围问题例1：在锐角abc中，a?2b，则的取值范围是基准2：若abc的三边a,b,c成等比数列，a,b,c面元的角依次为a,b,c，则sinb?cosb的值域范围就是,ccosa例3：在abc中，角a,b,c的对边分别为a,b,c，且acosc,bcosbcb成等差数列。

（1）求b的大小。

（2）若b?5，求abc周长的取值范围。

基准4：在abc中，a2?b2?c2?ab，若abc的外接圆半径为abc的面积的最大值为2332，则2基准5：（2021，江苏）满足用户ab?2,ac?2bc的abc的面积的最大值就是例6：已知角a,b,c是abc三个内角，a,b,c是各角的对边，向量a?b5a?b9m?(1?cos(a?b),cos)n?(,cos)，且m?n?，2828（1）求tana?tanb的值。

（2）求通过以上例题，我们辨认出与三角形有关的值域范围问题常常融合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等科学知识综合考查。

这一类问题有助于考查学生对科学知识的综合运用能力，就是中考命题的热点。

理清这些基本知识以及技巧和方法可以提升我们解题的能力。

期望本文能够对同学们备考复习有所协助。

巩固练习1．在abc中，a?2,c?1，则?c的值域范围为2．若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最小边长与最轻边长的比值为m，则m的值域范围就是rtabc中，c?3．在，且a,b,c面元的边a,b,c满足用户a?b?xc，则虚absinc的最大值。

a2?b2?c2?2数x的值域范围为4．在锐角abc中，a?2b，ac?1，则bc的取值范围是5．在锐角abc中，三个内角a,b,c成等差数列，记m?cosacosc，则m的取值范围是6．未知锐角三角形的边长分别为1,3,a，则a的值域范围就是7．未知abc外接圆的半径为6，若面积ssinb?sinc?4，则sina?，s3abcabc?a2?(b?c)2且的最大值为8．在abc中，m?(sina,cosc),n?(cosb,sina)，且m?n?sinb?sinc（1）求证：abc为直角三角形（2）若abc外接圆的半径为1，谋abc的周长的值域范围9．在abc中a,b,c面元的边分别为a,b,c，未知2sina?3cosa（1）若a2?c2?b2?mbc，谋实数m的值（2）若a?3，谋abc面积的最大值。

高中数学解题方法系列⑨——解三角形中的范围问题

解题方法系列⑨——解三角形中的范围问题素养解读：任何范围问题，其本质都是函数问题，三角形的范围(或最值)问题也不例外．三角形中的范围(或最值)问题的解法主要有两种：一种是用函数求解；另一种是利用基本不等式求解．由于三角形中的范围问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法．1．与边角有关的范围问题【典例1】 (2019·兰州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 3cos A＝c sin C . (1)求A 的大小；(2)若a ＝6，求b ＋c 的取值范围．[切入点] 由正弦定理求出角A .[关键点] 把b ＋c 表示成B 或C 的三角函数．[规范答题] (1)∵a 3cos A＝c sin C ＝a sin A ， ∴3cos A ＝sin A ，∵tan A ＝ 3.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝6sin π3＝43，∴b ＝43sin B ，c ＝43sin C ，∴b ＋c ＝43sin B ＋43sin C＝43[sin B ＋sin(π－A －B )]＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋B ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6. ∵π6<B ＋π6<5π6，∴6<12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤12，即b ＋c ∈(6,12]．求与三角形中边、角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解范围即可．注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0<A、B、C<π，b－c<a<b＋c，三角形中大边对大角等．2．与面积有关的最值问题【典例2】(2019·郑州市高三第三次质量检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3a cos C＝(2b－3c)cos A.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．[切入点]由正弦定理求角A的大小．[关键点]由余弦定理和基本不等式求出bc的最大值．[规范解答](1)由正弦定理可得，3sin A cos C＝2sin B cos A－3sin C cos A，从而可得3sin(A＋C)＝2sin B cos A，即3sin B＝2sin B cos A.又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cos A＝32，又A为三角形的内角，所以A＝π6.(2)由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bc cos A得4＝b2＋c2－2bc32≥2bc－3bc，当且仅当b＝c时等号成立．所以bc≤4(2＋3)．所以S＝12bc sin A≤2＋ 3.故当a＝2时，△ABC面积的最大值为2＋ 3.与面积有关的最值问题一般通过正、余弦定理进行转化，借助三角形的面积公式，结合基本不等式求解．1．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin A＋C 2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．[解] (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C 2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sin A ＋C 2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B 2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a .由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32. 2．(2020·北京四中月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A .(1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．[解] (1)证明：由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B ，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C .从而sin A ＋sin B ＝2sin C .由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝ 38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时等号成立．故cos C 的最小值为12.。

解三角形中相关的取值范围问题

公开课解三角形中的最值及取值范围问题(一)ppt课件

解三角形中取值范围的求解策略例谈

第14讲 解三角形中周长最大值及取值范围问题(学生版)

解三角形解答题中范围问题归纳总结

解三角形取值范围常见题型

三角函数ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题(解析版)

解三角形中的最值与范围问题4大题型

解三角形求取值范围的题目

解三角形中的范围问题

三角形中的最值或范围问题

解三角形中的最值(范围)问题

课件解三角形中的最值及取值范围

公开课解三角形中的最值及取值范围问题

三角形中的最值与范围问题解析版

解三角形中的最值与范围问题-高考数学复习

解三角形取值范围常见题型

解三角形中相关的取值范围问题

高中数学解题方法系列⑨——解三角形中的范围问题

第14讲解三角形中周长最大值及取值范围问题(学生版)