材料力学 简单的超静定问题
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4 FN 1 FN 2
（5）求结构的许可载荷：
角钢面积由型钢表查得: A1=3.086cm2
FN 1 A1
P1
[ ]1
A1 1 0 . 07
0 .07 P A1 [ ]1
3 . 086 10
4
160 10
6
0 . 07
705 . 4 kN
FN 2 A2
第六章
简单的超静定问题
1
第六章
§6-1
§6-2
简单的超静定问题
超静定问题及其解法
拉压超静定问题
§6-3 §6-4
扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1
超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
3
F N3 A3 9F 14 A [ ]
F
[F ]
14 9
14 9
[ ] A
[ ] A
11
[例6-2-4]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢 加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和 []2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。 解：（1）以压头为研究对象, 设每 个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.
M
2.
x
0，
MA Me MB 0
a a A
F
6
B 1
D
C
解: (1)以铰A为研究对象，列平衡方程:
3 a a A
2
F F
x
0 : FN 1 sin a FN 2 sin a 0
(1)
y
0 : FN 1 cos a FN 2 cos a FN 3 F 0
(2)
l 2
l 3
F
l1
(2)几何方程——变形协调方程： l1 l 2 l 3 cos a (3)物理方程——胡克定律：
FR1
A
a
C
F
y
0 : FR 1 FR 2 0
(1)
a
B
(2)几何方程
l lT l F 0
FR2
18
(3) 物理方程
lT 2 a T a ; lF FR 1 a EA 1 FR 2 a EA 2
A
FR1
(4) 补充方程
2Ta FR 1 EA 1 FR 2 EA 2
A1 FN1
FN3
A
FN2
F 0:F F 0: F
x
y
N1
sin FN 2 sin 0
(1)
N1
cos F N 2 cos F N 3 0 (2)
16
(2) 几何方程
l1 l 2 l 3 cos
(3) 物理方程： 杆件变形包括温度引起的变形和外 力引起的变形两部分。
1 A
2
3 D
a
a
a F
9
解：取刚性梁为研究对象，列 静力平衡方程： A 受力图 M 0:
FN1
FN2
FN3
D
A
a
a
a F
FN1 a FN2 2 a FN3 3 a F 3 a 0 (1)
变形协调条件：
l 2 2 l1 , l 3 3 l1
22
§6-3 扭转超静定问题
扭转超静定问题，同样是综合运用静力学关系、 物力关系和几何关系三方面来求解。
[例6-3-1] 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C 处受扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚 度为GIp。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭 转角。
(a)
23
MA
(a)
MB
解: 1. 以AB为研究对象,有二个未知约束力 偶矩MA, MB，但只有一个独立的静力平衡方程 故为一次超静定问题。
A
C
F 2a
B
EA
F
B
l AC l CB
F R B a R B 2 a
2 EБайду номын сангаас EA
0
(2)
由（1）、（2）式得
RB
RB F 5 , RA 4F 5
8
[例6-2-3] 刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材 料相同，许用应力为[σ]，材料的弹性模量为 E， 杆长均为l，横截面面积均为A，试求结构的许可载荷 [F]。
[ ] 2
A2 2 0 . 72
0 .72 P A2 [ ] 2
250 10
2 6
P2
12 10
6
0 . 72
1042 kN
13
取 [ P ] 705 .4 kN
二、装配应力: 杆件尺寸误差引起的应力。
1 静定问题无装配应力。 2 静不定问题存在装配应力。
1 2 3
1
2
3
3
F
F
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几 个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对 于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束，相应的 有多余未知力。 3. 超静定次数 n ：n = 未知力数－独立的平衡方程数 4. 超静定问题的解题方法步骤： (1) 静力学关系－－列静力平衡方程 (2) 几何关系（变形几何相容条件）－－列几何方程 (3) 物理关系－－列物理方程 (4) 补充方程：由几何方程和物理方程得到 (5) 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
C
a
(2)
B
a
(5)联解（1）、（2）式，得:
FR 1 FR 2 33 . 3 kN
FR2
(6) 温度应力
1
FR 1 A1 66 . 7 MPa
2
FR 2 A2
33 . 3 MPa
19
[例6-2-8] 如图刚性梁悬挂于3根平行杆上，l＝2m, F＝40kN，a = 1.5m， b = 1m， c = 0.25m， δ ＝ 0.2mm。1杆由黄铜制成， A1=2cm2， E1=100GPa， a 16 .5 10 1 C 。2杆和3杆由碳钢制成， A2=1cm2， a A3=3cm2， E2=E3=200GPa， a 12 .5 10 1 C 。设温 度升高20℃，试求各杆应力。 解：分析，各杆中即有由外载 1 2 3 荷F引起的应力，也有装配应力， a b 还有温度应力。 c 设三杆最终变形分别为Δ l1、 δ A B Δ l2、 Δ l3 。取刚性梁为研究对 象，受力如图所示。 F
li FN i li E i Ai T a i li
(4) 补充方程：
FN1 l1 E1 A1 T a 1l1 (
FN3 l 3 E 3 A3
T a 3 l 3 ) cos
( 3)
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
F N1 F N2 FN3 E1 A1 (a 1 a 3 cos ) T
位移图
D
l1 l2
l3
A
即：
F N2 l EA
2
F N1 l EA
,
F N3 l EA
3
F N1 l EA
FN2 2 FN1 ,
FN3 3 FN1
(2)
10
联立求解(1)和(2), 得：
FN1 3 14 F, FN2 6 14 F, FN3 9 14 F
3杆轴力为最大,其强度条件为:
2
1 2 cos E1 A1 / E 3 A3
3 2 3
2 E1 A1 (a 1 a 3 cos ) T cos 1 2 cos E1 A1 / E 3 A3
17
A
a
C
a
B
[例6-2-7] 如图，阶梯钢杆的上下两端在 T1=5℃时被固定,杆的上下两段的面积分别 为 =cm2 、 =cm2 ， 当 温 度 升 至 T2 =25℃时,求各杆的温度应力。(线膨胀系 数 a 12 .5 10 6 1 C ；弹性模量E=200GPa) 解：(1)解除约束，代之以约束力。列 静力平衡方程:
6 1
6 2 3
l
20
1 a
2 b c
3 l
(1) 列静力平衡方程: M 0, F a F ( a b ) F ( a c ) 0
A N2 N3
(1)
A
FN1 A
δ F FN2
B
F 0, F F (2) 几何方程:
y N1
N2
FN 3 F 0
5
§6-2
拉压超静定问题
一、拉压超静定问题解法
对拉压超静定问题，可综合运用静力学关系、物 力关系和几何关系（变形几何相容条件）三方面来求 解。
[例6-2-1] 如图三杆用铰链连接，已知：l1=l2=l、 l3； 横截面积A1=A2=A、 A3 ； B D C 弹性模量为：E1=E2=E、E3。 3 2 1 外力沿铅垂方向，求各杆的内力。
B 1 D C
a a A0
A
3
2
[例6-2-5]如图所示3号杆的尺寸误 差为，求各杆的装配内力。 解：(1)取铰A分析，列平衡方程: FN1、 FN2 为压力， FN3为拉力。
FN1 FN3
A
FN2
F
x
0 : FN 1 sin a FN 2 sin a 0
F
y
0 : FN 1 cos a FN 2 cos a FN 3 0
14
B
1
D
C
3 2
(2) 几何方程
l1 ( l 3 ) cos a
a a A0 A1
A
(3) 物理方程及补充方程：
F N1 l1 E 1 A1 ( F N3 l 3 E 3 A3 ) cos a
A0
l3 A 1
(4) 解平衡方程和补充方程，得:
l1 l2
F N1 F N2
l3
E1 A1 cos a
2
1 2 cos a E1 A1 / E 3 A3
3
A
FN3
l3
2 E1 A1 cos a
3
1 2 cos a E1 A1 / E 3 A3
3
15
B 1
D 3 A
l 2
l1
l 3
三、温度应力 C 1、静定问题无温度应力 2 2、静不定问题存在温度应力 [例6-2-6] 如图，1、2号杆的尺寸及 材料都相同，当结构温度由T1变到T2 时,求各杆的温度内力。（各杆的线 膨胀系数分别为αi； △T= T2 -T1) 解: (1)以铰A为研究对象，列平衡方程:
4 FN 1 FN 2 P 0
4 FN 1 FN 2
（2）列变形几何相容方程
l1 l 2
（3）由物理方程得补充方程：
l1 F N 1l1 E 1 A1 FN 2 l 2 E 2 A2 l2
12
（4） 解平衡方程和补充方程，得:
FN 1 0.07 P ; FN 2 0.72 P
(2)
2 ( l 2 ) l1 l 3
(3)
FN3 B
(3) 物理方程:
F N1 l1 l1 a 1 Tl E1 A1 F N2 l 2 l2 a 2 Tl E 2 A2 F N3 l 3 l3 a 3 Tl E 3 A3 (4) (5) (6)
l1 F N 1l1 E 1 A1
FN 3 l 3 E 3 A3
FN1
FN3
a a A
A1 FN2
l3
FN 3l3 E 3 A3
(3)
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
F N 1l1 E1 A1
2
cos a
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
FN 1 FN 2 E1 A1 F cos a 2 E1 A1 cos a E 3 A3
3
F
; FN 3
E 3 A3 F
3
2 E1 A1 cos a E 3 A3
7
[例6-2-2] 两端固定直杆受轴向外力 F 作用，截面 尺寸如图所示，求两端反力。
RA
A
C
解: 放松B端，加支反力RA、RB
则 ， R A RB F 0 (1)
变形协调条件 : l总 0
2 EA a
4
静定基、基本静定系（相当系统） 静定基：解除超静定结构的多余约束后得到的静 定结构，称为原超静定系统的静定基，同一问题静定 基可以有不同的选择，主要是便于计算系统的变形和 位移。
F1 F2
F1 R
F2
F1
F2 R
相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束 力，这样的系统称为原超静定系统的相当系统。
21
F
Δl1 Δl2－δ Δl3
联解（1）－（6）式得:
F N 1 8 kN , F N 2 10 kN , F N 3 22 kN
（4）三杆应力分别为:
FN 1 ' 40 MPa A1
''
'''
FN 2 100 MPa A2
FN 3 73 . 3 MPa A3
（5）求结构的许可载荷：
角钢面积由型钢表查得: A1=3.086cm2
FN 1 A1
P1
[ ]1
A1 1 0 . 07
0 .07 P A1 [ ]1
3 . 086 10
4
160 10
6
0 . 07
705 . 4 kN
FN 2 A2
第六章
简单的超静定问题
1
第六章
§6-1
§6-2
简单的超静定问题
超静定问题及其解法
拉压超静定问题
§6-3 §6-4
扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1
超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
3
F N3 A3 9F 14 A [ ]
F
[F ]
14 9
14 9
[ ] A
[ ] A
11
[例6-2-4]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢 加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和 []2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。 解：（1）以压头为研究对象, 设每 个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.
M
2.
x
0，
MA Me MB 0
a a A
F
6
B 1
D
C
解: (1)以铰A为研究对象，列平衡方程:
3 a a A
2
F F
x
0 : FN 1 sin a FN 2 sin a 0
(1)
y
0 : FN 1 cos a FN 2 cos a FN 3 F 0
(2)
l 2
l 3
F
l1
(2)几何方程——变形协调方程： l1 l 2 l 3 cos a (3)物理方程——胡克定律：
FR1
A
a
C
F
y
0 : FR 1 FR 2 0
(1)
a
B
(2)几何方程
l lT l F 0
FR2
18
(3) 物理方程
lT 2 a T a ; lF FR 1 a EA 1 FR 2 a EA 2
A
FR1
(4) 补充方程
2Ta FR 1 EA 1 FR 2 EA 2
A1 FN1
FN3
A
FN2
F 0:F F 0: F
x
y
N1
sin FN 2 sin 0
(1)
N1
cos F N 2 cos F N 3 0 (2)
16
(2) 几何方程
l1 l 2 l 3 cos
(3) 物理方程： 杆件变形包括温度引起的变形和外 力引起的变形两部分。
1 A
2
3 D
a
a
a F
9
解：取刚性梁为研究对象，列 静力平衡方程： A 受力图 M 0:
FN1
FN2
FN3
D
A
a
a
a F
FN1 a FN2 2 a FN3 3 a F 3 a 0 (1)
变形协调条件：
l 2 2 l1 , l 3 3 l1
22
§6-3 扭转超静定问题
扭转超静定问题，同样是综合运用静力学关系、 物力关系和几何关系三方面来求解。
[例6-3-1] 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C 处受扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚 度为GIp。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭 转角。
(a)
23
MA
(a)
MB
解: 1. 以AB为研究对象,有二个未知约束力 偶矩MA, MB，但只有一个独立的静力平衡方程 故为一次超静定问题。
A
C
F 2a
B
EA
F
B
l AC l CB
F R B a R B 2 a
2 EБайду номын сангаас EA
0
(2)
由（1）、（2）式得
RB
RB F 5 , RA 4F 5
8
[例6-2-3] 刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材 料相同，许用应力为[σ]，材料的弹性模量为 E， 杆长均为l，横截面面积均为A，试求结构的许可载荷 [F]。
[ ] 2
A2 2 0 . 72
0 .72 P A2 [ ] 2
250 10
2 6
P2
12 10
6
0 . 72
1042 kN
13
取 [ P ] 705 .4 kN
二、装配应力: 杆件尺寸误差引起的应力。
1 静定问题无装配应力。 2 静不定问题存在装配应力。
1 2 3
1
2
3
3
F
F
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几 个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对 于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束，相应的 有多余未知力。 3. 超静定次数 n ：n = 未知力数－独立的平衡方程数 4. 超静定问题的解题方法步骤： (1) 静力学关系－－列静力平衡方程 (2) 几何关系（变形几何相容条件）－－列几何方程 (3) 物理关系－－列物理方程 (4) 补充方程：由几何方程和物理方程得到 (5) 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
C
a
(2)
B
a
(5)联解（1）、（2）式，得:
FR 1 FR 2 33 . 3 kN
FR2
(6) 温度应力
1
FR 1 A1 66 . 7 MPa
2
FR 2 A2
33 . 3 MPa
19
[例6-2-8] 如图刚性梁悬挂于3根平行杆上，l＝2m, F＝40kN，a = 1.5m， b = 1m， c = 0.25m， δ ＝ 0.2mm。1杆由黄铜制成， A1=2cm2， E1=100GPa， a 16 .5 10 1 C 。2杆和3杆由碳钢制成， A2=1cm2， a A3=3cm2， E2=E3=200GPa， a 12 .5 10 1 C 。设温 度升高20℃，试求各杆应力。 解：分析，各杆中即有由外载 1 2 3 荷F引起的应力，也有装配应力， a b 还有温度应力。 c 设三杆最终变形分别为Δ l1、 δ A B Δ l2、 Δ l3 。取刚性梁为研究对 象，受力如图所示。 F
li FN i li E i Ai T a i li
(4) 补充方程：
FN1 l1 E1 A1 T a 1l1 (
FN3 l 3 E 3 A3
T a 3 l 3 ) cos
( 3)
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
F N1 F N2 FN3 E1 A1 (a 1 a 3 cos ) T
位移图
D
l1 l2
l3
A
即：
F N2 l EA
2
F N1 l EA
,
F N3 l EA
3
F N1 l EA
FN2 2 FN1 ,
FN3 3 FN1
(2)
10
联立求解(1)和(2), 得：
FN1 3 14 F, FN2 6 14 F, FN3 9 14 F
3杆轴力为最大,其强度条件为:
2
1 2 cos E1 A1 / E 3 A3
3 2 3
2 E1 A1 (a 1 a 3 cos ) T cos 1 2 cos E1 A1 / E 3 A3
17
A
a
C
a
B
[例6-2-7] 如图，阶梯钢杆的上下两端在 T1=5℃时被固定,杆的上下两段的面积分别 为 =cm2 、 =cm2 ， 当 温 度 升 至 T2 =25℃时,求各杆的温度应力。(线膨胀系 数 a 12 .5 10 6 1 C ；弹性模量E=200GPa) 解：(1)解除约束，代之以约束力。列 静力平衡方程:
6 1
6 2 3
l
20
1 a
2 b c
3 l
(1) 列静力平衡方程: M 0, F a F ( a b ) F ( a c ) 0
A N2 N3
(1)
A
FN1 A
δ F FN2
B
F 0, F F (2) 几何方程:
y N1
N2
FN 3 F 0
5
§6-2
拉压超静定问题
一、拉压超静定问题解法
对拉压超静定问题，可综合运用静力学关系、物 力关系和几何关系（变形几何相容条件）三方面来求 解。
[例6-2-1] 如图三杆用铰链连接，已知：l1=l2=l、 l3； 横截面积A1=A2=A、 A3 ； B D C 弹性模量为：E1=E2=E、E3。 3 2 1 外力沿铅垂方向，求各杆的内力。
B 1 D C
a a A0
A
3
2
[例6-2-5]如图所示3号杆的尺寸误 差为，求各杆的装配内力。 解：(1)取铰A分析，列平衡方程: FN1、 FN2 为压力， FN3为拉力。
FN1 FN3
A
FN2
F
x
0 : FN 1 sin a FN 2 sin a 0
F
y
0 : FN 1 cos a FN 2 cos a FN 3 0
14
B
1
D
C
3 2
(2) 几何方程
l1 ( l 3 ) cos a
a a A0 A1
A
(3) 物理方程及补充方程：
F N1 l1 E 1 A1 ( F N3 l 3 E 3 A3 ) cos a
A0
l3 A 1
(4) 解平衡方程和补充方程，得:
l1 l2
F N1 F N2
l3
E1 A1 cos a
2
1 2 cos a E1 A1 / E 3 A3
3
A
FN3
l3
2 E1 A1 cos a
3
1 2 cos a E1 A1 / E 3 A3
3
15
B 1
D 3 A
l 2
l1
l 3
三、温度应力 C 1、静定问题无温度应力 2 2、静不定问题存在温度应力 [例6-2-6] 如图，1、2号杆的尺寸及 材料都相同，当结构温度由T1变到T2 时,求各杆的温度内力。（各杆的线 膨胀系数分别为αi； △T= T2 -T1) 解: (1)以铰A为研究对象，列平衡方程:
4 FN 1 FN 2 P 0
4 FN 1 FN 2
（2）列变形几何相容方程
l1 l 2
（3）由物理方程得补充方程：
l1 F N 1l1 E 1 A1 FN 2 l 2 E 2 A2 l2
12
（4） 解平衡方程和补充方程，得:
FN 1 0.07 P ; FN 2 0.72 P
(2)
2 ( l 2 ) l1 l 3
(3)
FN3 B
(3) 物理方程:
F N1 l1 l1 a 1 Tl E1 A1 F N2 l 2 l2 a 2 Tl E 2 A2 F N3 l 3 l3 a 3 Tl E 3 A3 (4) (5) (6)
l1 F N 1l1 E 1 A1
FN 3 l 3 E 3 A3
FN1
FN3
a a A
A1 FN2
l3
FN 3l3 E 3 A3
(3)
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
F N 1l1 E1 A1
2
cos a
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
FN 1 FN 2 E1 A1 F cos a 2 E1 A1 cos a E 3 A3
3
F
; FN 3
E 3 A3 F
3
2 E1 A1 cos a E 3 A3
7
[例6-2-2] 两端固定直杆受轴向外力 F 作用，截面 尺寸如图所示，求两端反力。
RA
A
C
解: 放松B端，加支反力RA、RB
则 ， R A RB F 0 (1)
变形协调条件 : l总 0
2 EA a
4
静定基、基本静定系（相当系统） 静定基：解除超静定结构的多余约束后得到的静 定结构，称为原超静定系统的静定基，同一问题静定 基可以有不同的选择，主要是便于计算系统的变形和 位移。
F1 F2
F1 R
F2
F1
F2 R
相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束 力，这样的系统称为原超静定系统的相当系统。
21
F
Δl1 Δl2－δ Δl3
联解（1）－（6）式得:
F N 1 8 kN , F N 2 10 kN , F N 3 22 kN
（4）三杆应力分别为:
FN 1 ' 40 MPa A1
''
'''
FN 2 100 MPa A2
FN 3 73 . 3 MPa A3