《材料力学》第6章 简单超静定问题 习题解

第六章 简单超静定问题 习题解[习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。

设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则：B BD R N = F R N B CD += F R N B AC 3+=变形谐调条件为：0=∆l02=⋅+⋅+⋅EA aN EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N03)(2=++++F R F R R B B B45FR B -=（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45FN BD-= 445F F F N CD -=+-=47345FF F N AC=+-= 轴力图如图所示。

[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积分别为21100mm A =，22150mm A =，23200mm A =。

试求各杆的轴力。

解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。

∑=0X030cos 30cos 01032=-+-N N N0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1)∑=0Y030sin 30sin 0103=-+F N N2013=+N N (2)变形谐调条件：设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知：00130cos 30sin x y l δδ+=∆x l δ=∆200330cos 30sin x y l δδ-=∆03130cos 2x l l δ=∆-∆2313l l l ∆=∆-∆设l l l ==31，则l l 232=223311233EA l N EA lN EA l N ⋅⋅=- 22331123A N A N A N =- 15023200100231⨯=-N N N23122N N N =-21322N N N -= (3)(1)、(2)、(3)联立解得：kN N 45.81=；kN N 68.22=；kN N 54.111=（方向如图所示，为压力，故应写作：kN N 54.111-=）。

[习题6-3] 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。

如果荷载F 作用在A 点，试求这四根支柱各受多少力。

解：以刚性板为研究对象，则四根柱子对它对作用力均铅垂向上。

分别用4321,,,N N N N 表示。

由其平衡条件可列三个方程：0=∑Z04321=-+++F N N N N F N N N N =+++4321 (1)0=∑xM0222242=-⋅a N a N 42N N = (2)0=∑yM0222231=⋅-⋅+⋅a N e F a N aFeN N 231-=- (3)由变形协调条件建立补充方程EAN EA l N EA l N 2312=+2312N N N =+。

（4）(1)、（2）、（3）、（4）联立，解得：442F N N == F a e N )241(1-=F ae N )241(3+=[习题6-4] 刚性杆AB 的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD 和EF 使该刚性杆处于水平位置，如所示。

如已知kN F 50=，两根钢杆的横截面面积21000mm A =，试求两杆的轴力和应力。

解：以AB 杆为研究对象，则：0=∑AM0350221=⨯-⋅+⋅a a N a N 150221=+N N (1)变形协调条件：122l l ∆=∆EAlN EA l N 122= 122N N = (2)(1)、(2)联立，解得：kN N 301= kN N 602=MPa mm NA N 30100030000211===σ MPa mm NA N 60100060000222===σ[习题6-5] 图示刚性梁受均布荷载作用，梁在A 端铰支，在B 点和C 点由两根钢杆BD 和CE 支承。

已知钢杆BD 和CE 的横截面面积22200mm A =和21400mm A =，钢杆的许用应力MPa 170][=σ，试校核该钢杆的强度。

解：以AB 杆为研究对象，则：0=∑AM023)330(3121=⨯⨯-⨯+⨯N N 135321=+N N (1)变形协调条件：3121=∆∆l l 123l l ∆=∆112238.1EA lN EA l N ⨯=⋅40032008.112N N =⋅ 212.1N N = (2)(1)、（2）联立，解得：kN N 571.381=（压）；kN N 143.322=（拉）故可记作：kN N 571.381-=；kN N 143.322= 强度校核： MPa MPa mmNA N 170][4275.9640038571||||2111=<===σσ，符合强度条件。

MPa MPa mm N A N 170][715.160200321432122=<===σσ，符合强度条件。

[习题6-6] 试求图示结构的许可荷载[F]。

已知杆AD ，CE ，BF 的横截面面积均为A ，杆材料的许用应力为][σ，梁AB 可视为刚体。

解：以AB 杆为研究对象，则：∑=0Y0321=-++F N N NF N N N =++321 (1)∑=0AM0232=⋅-⋅+⋅a F a N a N F N N =+322 (2)变形协调条件： 2132l l l ∆+∆=∆EAlN EA l N EA l N 21322+=⋅ 2134N N N += (3)(1)(2)(3)联立，解得： 5221F N N ==；53FN = 强度条件： ][5221σσσ≤==AFA A F ][5.22][5σσ=≤][53σσ≤=AF][5σA F ≤故：A F ][5.2][σ=[习题6-7] 横截面积为mm mm 250250⨯的短木柱，用四根mm mm mm 54040⨯⨯的等边角钢加固，并承受压力F ，如图所示。

已知角钢的许用应力MPa s 160][=σ，弹性模量GPa E s 200=；木材的许用应力MPa w 12][=σ，弹性模量GPa E w 10=。

试求短木柱的许可荷载[F]。

解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件：（1）由木柱与角钢间的变形相容条件，有（2）由物理关系：（3）式（3）代入式（2），得（4）解得：代入式（1），得：（2）许可载荷 由角钢强度条件由木柱强度条件：故许可载荷为：[习题6-8] 水平刚性横梁AB 上部由于某1杆和2杆悬挂，下部由铰支座C 支承，如图所示。

由于制造误差，杆1和长度短了mm 5.1=δ。

已知两杆的材料和横截面面积均相同，且GPa E E 20021==，A A A ==21。

试求装配后两杆的应力。

解：以AB 梁为研究对象，则：0=∑CM0145sin 2021=⨯+⋅-N N2142N N =…………(1) 变形协调条件： 11AA l -=∆δ1222BB l =∆2111212l l BB AA ∆∆-==δ 2122l l ∆=∆-δEAl N EA l N 22221⋅=-δEAlN EA l N 214=-δ………...(2) (1)、(2)联立，解得：l EA N )162(21+=δ；lEA N )162(42+=δMPa mm mm MPa l E 242.161500)162(5.1102002)162(231=⨯+⨯⨯⨯=+=δσMPa mmmm MPa lE 939.451500)162(5.1102004)162(432=⨯+⨯⨯⨯=+=δσ[习题6-9] 图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离mm 1=δ。

已知上、下两段杆的横截面面积分别为2600mm 和2300mm ，材料的弹性模量GPa E 210=。

试作图示荷载作用下杆的轴力图。

解：设装配后，支座B 的反力为B R （↓），则： B BC R N =40+=B CD R N （D 为60kN 集中力的作用点）100+=B AD R N变形协调条件：δ=∑=ni il1m R R m m kN m kN R B B B 36666262610110600102102.1)100(10600102104.2)40(10300/102102.1----⨯=⨯⨯⨯⋅++⨯⨯⨯⋅++⨯⨯⨯⋅1261202.1964.24.2=++++B B B R R R906-=B R)(15kN R B -=。

故：[习题6-10] 两端固定的阶梯状杆如图所示。

已知AC 段和BD 段的横截面面积为A ，CD 段的横截面面积为2A ；杆的弹性模量为GPa E 210=，线膨胀系数106)(1012--⨯=C l α。

试求当温度升高C 030后，该杆各部分产生的应力。

解：变形协调条件：0=∆l0=∆+∆t N l l04)2(22=⋅∆⋅++a t A E aN EA Na l α 043=⋅∆⋅+a t EANal α 043=⋅∆⋅+t EANl α )(100800/1021030)(101234342260106kN A Am m kN C c tEA N l -=⋅⨯⨯⨯⨯⨯-=∆-=--α MPa kPa ANBD AC 8.100)(100800-=-===σσ MPa kPa ANCD 4.50)(504002-=-==σ[习题6-11] 图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩e M 。

若212d d =，试求固定端的支反力偶矩A M 和B M ，并作扭矩图。

解：把B 支座去掉，代之以约束反力偶 ，其矩为B M ，转向为逆时针方向，则：B BC M T = e B CA M M T -=变形协调条件：A 、B 为两固定端支座，不允许其发生转动，故：0=+=CB AC AB ϕϕϕ02)(21=+-P B P e B GI aM GI a M M0221=+-P BP e B I M I M M式中，241414111632116)2(321321P P I d d d I =⋅===πππ，故： 021622=+-P B P e B I M I M M0216=+-B eB M M M33eB M M =333233ee e A M M M M -=-=（顺时针方向转动） 33eB BC M M T == 3332ee B CA M M M T -=-=AB 轴的轴力图如下：和截面C 的扭转角。

解：把B 支座去掉，代之以约束反力力偶，其矩为B M ，逆时针方向 转动。

，则：B CB M T = e B CA M M T -=变形协调条件：A 、B 为两固定端支座，不允许其发生转动，故：0=+=CB AC AB ϕϕϕ015.0)(=⋅+⋅-P B P e B GI M GI M M02=+-B e B M M M3eB M M =，故：)(267.138.33m kN M M T e B CB ⋅==== )(533.238.3232m kN M M M T e e B CA ⋅-=⨯-=-=-= C 截面左侧的最大切应力： PCACA W T =max,τ 式中，抗扭截面模量)(423906014.3161161333mm d W P =⨯⨯==π MPa mmmmN W T P CA CA8.594239010533.2||36max,=⋅⨯==τ C 截面右侧的最大切应力： PCBCB W T =max,τ MPa mmmm N W T P CB CB9.294239010267.1||36max,=⋅⨯==τ C 截面的转角： PCBCB BC C GI l T ==ϕϕ 式中，444412717006014.3321321mm mm d I P =⨯⨯==π 04236714.0)(01245.01271700/1080100010267.1==⨯⨯⨯⋅⨯===rad mm mm N mm mm N GI l T P CB CB BCC ϕϕ[习题6-13] 一空心圆管套在实心圆杆B 的一端，如图所示。