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折叠几何综合专题---16道题目(含答案)

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初中折叠的练习题

初中折叠的练习题

初中折叠的练习题练习一：折叠长方形1. 折叠一张纸使两个对边平行，并用手指沿着对角线将纸折叠。

展开后纸上留下了一条明显的线。

解析：这条线是纸张对角线的痕迹。

折叠纸张时，我们将纸张沿对角线对折，使两侧的边缘完全重合。

在对角线折叠后，我们可以观察到两侧边缘的堆叠，形成一条明显的线。

练习二：折叠正方形1. 以一张方形纸为例，将其对折并展开，然后将四个顶点分别折叠至纸的中心点。

解析：这个过程中我们可以观察到纸张被分割成四块相等的小正方形，并且每个小正方形都是对称堆叠的。

这种折叠方法可以用于制作纸盒等日常用品。

练习三：折叠三角形1. 将一张纸对折，使两个对边边缘完全重合，并展开。

然后将纸的两个顶点分别折叠至纸的中心点。

解析：我们可以观察到纸的折痕形成了一个等边三角形。

在这个过程中，我们将纸的两个顶点折叠至中心点，形成了一个对称三角形。

这种折叠方法可以用于制作纸飞机等游戏工具。

练习四：折叠多边形1. 以一个等边三角形为例，将其两边的顶点向内折叠至底边的中点。

解析：在这个过程中，我们可以观察到折叠后的形状是一个小等边三角形，它嵌套在原始的等边三角形内部。

这样的折叠方法可以被应用于设计艺术、3D模型制作等方面。

练习五：折叠圆1. 以一个正方形纸为例，将其对角线相交的两个顶点折叠至纸的中心点，并展开。

解析：在这个过程中，我们可以观察到折叠后的形状是一个小圆，它完美地嵌套在原始的正方形内部。

这里展示了如何利用纸张折叠技巧来近似表示一个圆。

练习六：折叠动物1. 以一张正方形纸为例，按照特定的折叠方式，可以将其折叠成各种动物形状，例如鸟、狗等。

解析：这个练习是一个创意练习，通过特定的折叠方式，我们可以将纸张折叠成各种动物形状。

这个过程需要一定的想象力和手工技巧，可以激发创造力和动手能力。

练习七：折叠建筑1. 以一个长方形纸为例，按照特定的折叠方式，可以将其折叠成各种建筑形状，例如房屋、桥梁等。

解析：这个练习是一个设计练习，通过特定的折叠方式，我们可以将纸张折叠成各种建筑形状。

中考数学几何图形折叠试题典题及解答

中考数学几何图形折叠试题典题及解答

中考数学几何图形折叠试题典题及解答一、选择题1.德州市如图,四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF．若CD＝6,则AF等于A．4B．3C．4D．82.江西省如图,将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,若∠DBC＝°,则在不添加任何辅助线的情况下,图中45°的角虚线也视为角的边有A．6个B．5个C．4个D．3个3.乐山市如图,把矩形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的P点处,若∠FPH＝90°,PF＝8, PH＝6,则矩形ABCD的边BC长为Ａ．20 Ｂ．22Ｃ．24 Ｄ．304.绵阳市当身边没有量角器时,怎样得到一些特定度数的角呢动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图,已知矩形ABCD,我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：1以点A所在直线为折痕,折叠纸片,使点B落在AD上,折痕与BC交于E；2将纸片展平后,再一次折叠纸片,以E所在直线为折痕,使点A落在BC上,折痕EF交AD于F．则∠AFE =A．60° B．° C．72° D．75°5. 绍兴市学习了平行线后,小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的如图1～4 .从图中可知,小敏画平行线的依据有①两直线平行,同位角相等；②两直线平行,内错角相等；③同位角相等,两直线平行；④内错角相等,两直线平行．A．①② B．②③C．③④D．①④6.贵阳市如图6-1所示,将长为20cm,宽为2cm的长方形白纸条,折成图6-2所示的图形并在其一面着色,则着色部分的面积为A．34cm2 B．36cm2C．38cm2 D．40cm2二、填空题7.成都市如图,把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点C,D分别落在C′,D′的位置上,EC′交AD于点G．已知∠EFG＝58°,那么∠BEG °．8. 苏州市如图,将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点A′处,已知∠1+∠2=100°,则∠A的大小等于______ ______度．三、解答题9.荆门市如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O0,0,A4,0,C0,3,点P是OA边上的动点与点O、A不重合．现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合．设Px,0,E0,y,求y关于x的函数关系式,并求y的最大值；如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；在2的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使△PEQ是以P E为直角边的直角三角形若不存在,说明理由；若存在,求出点Q的坐标．10. 济宁市如图,先把一矩形ABCD纸片对折,设折痕为MN,再把B点叠在折痕线上,得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上,得折痕PQ.求证：△PBE∽△QAB；你认为△PBE和△BAE相似吗如果相似给出证明,如不相似请说明理由；如果沿直线EB折叠纸片,点A是否能叠在直线EC上为什么11.威海市如图,四边形ABCD为一梯形纸片,AB∥CD,AD＝BC．翻折纸片AB CD,使点A与点C重合,折痕为EF．已知CE⊥AB．1求证：EF∥BD；2若AB＝7,CD＝3,求线段EF的长．12. 烟台市生活中,有人喜欢把传送的便条折成形状,折叠过程是这样的阴影部分表示纸条的反面：如果由信纸折成的长方形纸条图①长为2 6 cm,宽为xcm,分别回答下列问题：为了保证能折成图④的形状即纸条两端均超出点P,试求x 的取值范围．2如果不但要折成图④的形状,而且为了美观,希望纸条两端超出点P的长度相等,即最终图形是轴对称图形,试求在开始折叠时起点M与点A的距离用x表示．13. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C与A重合,点D落到D′处,折痕为EF．1求证：△ABE≌△AD′F；2连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形证明你的结论．14.孝感市在我们学习过的数学教科书中,有一个数学活动,其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开如图1；第二步：再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN如图2.请解答以下问题：1如图2,若延长MN交BC于P,△BMP是什么三角形请证明你的结论．2在图2中,若AB=a,BC=b,a、b满足什么关系,才能在矩形纸片ABCD上剪出符合1中结论的三角形纸片BM P3设矩形ABCD的边AB=2,BC=4,并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM′为y=kx,当∠M′BC=60°时,求k的值.此时,将△ABM′沿BM′折叠,点A是否落在EF上E、F分别为AB、CD中点为什么15.邵阳市如图①,△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC沿着一条直线折叠后,使点A与点C重合图②．1在图①中画出折痕所在的直线l．设直线l与AB,AC分别相交于点D,E,连结CD．画图工具不限,不要求写画法2请你找出完成问题1后所得到的图形中的等腰三角形．不要求证明16.济宁市如图,先把一矩形ABCD纸片对折,设折痕为MN,再把B点叠在折痕线上,得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上,得折痕PQ.求证：△PBE∽△QAB；你认为△PBE和△BAE相似吗如果相似给出证明,如补相似请说明理由；3如果直线EB折叠纸片,点A是否能叠在直线EC上为什么17.临安市如图,△OAB 是边长为的等边三角形,其中O是坐标原点,顶点B在y轴正方向上,将△OAB 折叠,使点A落在边OB上,记为A′,折痕为EF.1当A′E18.南宁市如图,在锐角△ABC中,BC=9,AH⊥BC于点H,且AH=6,点D为AB 边上的任意一点,过点D作DE∥BC,交AC于点E．设△ADE的高AF为x0＜x＜6,以DE为折线将△ADE翻折,所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上．1分别求出当0＜x≤3与3＜x＜6时,y与x的函数关系式；2当x取何值时,y的值最大最大值是多少19.宁夏回族自治区如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,连结AE．证明：1BF=DF；2AE∥BD．参考答案一、二、°三、9. 解：1由已知PB平分∠APD,PE平分∠OPF,且PD、PF重合,则∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°,∴∠OPE=∠PBA．∴Rt△POE∽Rt△BPA．∴.即．∴．且当x=2时,y 有最大值．由已知,△PAB、△POE均为等腰直角三角形,可得P1,0,E0, 1,B4,3．……6分设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c,则∴y=．由2知∠EPB=90°,即点Q与点B重合时满足条件．直线PB为y=x－1,与y轴交于点0,－1．将PB向上平移2个单位则过点E0,1,∴该直线为y=x＋1．由得∴Q5,6．故该抛物线上存在两点Q4,3、5,6满足条件．10. 证明：1∵∠PBE＋∠ABQ＝180°－90°＝90°,∠PBE＋∠PEB＝90°,∴∠ABQ＝∠PEB.又∵∠BPE＝∠AQB＝90°,∴△PBE～△QAB.2∵△PBE～△QAB,∴∵BQ＝PB,∴.又∵∠ABE＝∠BPE＝90°,∴△PBE～△BAE.3点A能叠在直线EC上.由2得,∠AEB＝∠CEB,∴EC 和折痕AE重合.11. 解：1证明：过C点作CH∥BD,交AB的延长线于点H；连结AC,交EF于点K,则AK＝CK．∵AB∥CD,∴BH＝CD,BD＝CH．∵AD＝BC,∴AC＝BD＝CH．∵CE⊥AB,∴AE＝EH．∴EK是△AHC的中位线．∴EK∥CH．∴EF∥BD．2解：由1得BH∥CD,EF∥BD,∴∠AEF＝∠ABD．∵AB＝7,CD＝3,∴AH＝10．∵AE＝CE,AE＝EH,∴AE＝CE＝EH＝5.∵CE⊥AB,∴CH＝5＝BD．∵∠EAF＝∠BAD,∠AEF＝∠ABD,∴△AFE∽△ADB．∴.∴．12. 解：1由折纸过程知0＜5x＜26,,0＜x ＜. 2图④为轴对称图形,∴AM ＝.即点M与点A的距离是1 3－xcm.13. 证明：⑴由折叠可知：∠D＝∠D′,CD＝AD′,∠C＝∠D′AE．∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B＝∠D,AB＝CD,∠C＝∠BAD．∴∠B＝∠D′,AB＝AD′,∠D′AE＝∠BAD,即∠1＋∠2＝∠2＋∠3．∴∠1＝∠3．∴△ABE ≌△AD′F．⑵四边形AECF是菱形．由折叠可知AE＝EC,∠4＝∠5．∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC．∴∠5＝∠6．∴∠4＝∠6．∴AF＝AE．∵AE＝EC, ∴AF＝EC．又∵AF∥EC,∴四边形AECF是平行四边形．∵AF＝AE,∴四边形AECF是菱形．14. 解：1△BMP是等边三角形.证明：连结AN.∵EF垂直平分AB,∴AN = BN.由折叠知 AB = BN ,∴AN = AB = BN, ∴△ABN为等边三角形.∴∠ABN =60°. ∴∠PBN =30°.又∵∠ABM =∠NBM =30°,∠BNM =∠A =90°.∴∠BPN =60°.∠MBP =∠MBN +∠PBN =60°.∴∠BMP =60°∴∠MBP =∠BMP =∠BPM =60°.∴△BMP为等边三角形 .2要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP,则BC ≥BP.在Rt△BNP中, BN = BA =a,∠PBN =30°,∴BP =. ∴b≥. ∴a≤b .∴当a≤b时,在矩形上能剪出这样的等边△BM P.3∵∠M′BC =60°, ∴∠ABM′=90°－60°=30°.在Rt△ABM′中,tan ∠ABM′ =. ∴tan30°= . ∴AM′ =.∴M′,2. 代入y=kx中 ,得k==.设△ABM′沿BM′折叠后,点A落在矩形ABCD内的点为A′.过A′作AH ⊥BC交BC于H.∵△A′BM′ ≌△ABM′, ∴∠A′BM′=∠ABM′=3 0°, A′B = AB =2.∴∠A′BH＝∠M′BH－∠A′BM′=30°.在Rt△A′BH 中,A′H =A′B =1 ,BH=,∴.∴A'落在EF上.图2图315.解：1如图.等腰三角形DAC.16.1证明：∵∠PBE＋∠ABQ＝180°-90°＝90°,∠PBE＋∠PEB＝90°,∴∠ABQ＝∠PEB.又∵∠BPE＝∠AQB,∴△PBE∽△QAB.2∵△PBE∽△QAB,∴.∵BQ＝PB,∴.又∵∠ABE＝∠BPE＝90°,∴△PBE～△BAE.3点A能折叠在直线EC上.由2得,∠AEB＝∠CEB,∴EC和折痕AE重合.17. 解：1由已知可得∠A'OE=60o , A'E=AE.由A′E设A′的坐标为0,b,则AE=A'E=b,OE=2b.∵b+2b=2+,∴b=1.∴A'、E的坐标分别是0,1与,1.2因为A'、E在抛物线上,所以所以函数关系式为y=.由=0得,.与x轴的两个交点坐标分别是-,0与,0. 3不可能使△A'EF成为直角三角形.∵∠FA'E=∠FAE=60o,若△A'EF成为直角三角形,只能是∠A'EF=90o或∠A'FE=90o.若∠A'EF=90o,利用对称性,则∠AEF=90o, A'、E、A 三点共线,O与A重合,与已知矛盾.同理若∠A'FE=90o也不可能.所以不能使△A′EF成为直角三角形.18. 解：1①当0＜x≤3时,由折叠得到的△A'ED落在△ABC内部如图101,重叠部分为△A'ED.∵DE∥BC,∴∠ADE＝∠B,∠AED＝∠C.∴△ADE∽△ABC.∴. ∴,即.又∵FA'=FA=x,∴y=DE·A'F=·x·x.∴0＜x≤3.②当3＜x＜6时,由折叠得到的△A'ED有一部分落在△ABC外,如图102,重叠部分为梯形EDPQ.∵FH＝6－AF＝6－x,A'H＝A'F－FH＝x-6-x=2x-6,又∵DE∥PQ,∴△A'PQ∽△A'DE.∴.∴∴.2当0＜x≤3时,y 的最大值；当3＜x＜6时,由,可知当x=4时,y的最大值y2=9.∵y1＜y2,∴当x=4时,y有最大值y最大＝9．19. 证明：1能正确说明∠ADB=∠EBD或△ABF≌△ED F,∴BF=DF.2能得出∠AEB=∠DBE或∠EAD=∠BDA,∴AE∥BD.。

折叠几何综合专题---16道题目(含答案)

折叠几何综合专题---16道题目(含答案)

01如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E 处，过点E作EG // CD交AF于点G,连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形;⑵探究线段EG, GF，AF之间的数量关系，并说明理由;⑶若AG= 6, EG = 2 5，求BE的长.B EC(1)证明：由折叠性质可得，EF = FD ，/ AEF =Z ADF = 90°/ EFA =Z DFA , EG = GD , T EG //DC ,「. / DFA =Z EGF ,•••/EFA =Z EGF ，二 EF = EG = FD = GD ,二四边形 EFDG 是菱形;1⑵解：EG 2 = 2GF • AF.理由如下：如解图，连接ED ，交AF 于点H ,T 四边形EFDG 是菱形，1 1• DE 丄AF , FH =GH = qGF , EH = DH = qDE ,T / FEH = 90° — / EFA =Z FAE , / FHE = Z AEF = 90°⑶解：T AG = 6, EG = 2 5, EG 2 = 2AF -GF , • (2 5)2 = ；(6 + GF) GF ,解得 GF = 4 或 GF =— 10(舍),• GF = 4,二 AF = 10. T DF = EG = 2 5,二 AD = BC = AF 2 — DF 2 = 4 5, DE = 2EH = 2 EG 2 —(；GF ) 2= 8,T / CDE + / DFA = 90° / DAF + / DFA = 90°• / CDE = / DAF , T / DCE =/ ADF = 90° ,• Rt A DCE s Rt △ ADF , • DC =器,即畀玄,• EC =855 , • BE = BC -EC =55 02如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 对折，点C 落在E 处，BE • Rt A FEH s Rt △ FAE , • E F _ FH • A F = EF,即 EF 2 FH AF , 又T FH = ^GF , EG = EF , • EG 2= *GF • AF ;H E与AD相交于点F，若DE = 4, BD = 8.(1)求证：AF = EF;⑵求证：BF平分/ ABD.DC证明：（1）在矩形ABCD 中，AB = CD，/ A=Z C = 90°•••△BED是厶BCD对折得到的，••• ED= CD，/ E=Z C,••• ED = AB,/ E=Z A, （2 分）又•：广 AFB=Z EFD ,•△ ABB A EDF（AAS）,•AF= EF; （4 分）（2）在Rt A BCD 中，T DC = DE =4,DC 1…sin / CBD =BD=2,•/ CBD = 30° （5 分）•/ EBD=Z CBD = 30°•/ ABF= 90°-30° >2= 30°, （7 分）•/ ABF=/ EBD ,•BF 平分/ ABD.（8 分）03把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合(E、F两点均在BD上)，折痕分别为BH DG(1) 求证：△ BHE^A DGF(2) 若AB= 6cm, BC= 8cm,求线段FG的长。

几何中的折叠问题(解析版)

几何中的折叠问题(解析版)

几何中的折叠问题一、单选题1如图，在菱形ABCD中，AD=5，tan B=2，E是AB上一点，将菱形ABCD沿DE折叠，使B、C的对应点分别是B 、C ，当∠BEB =90°时，则点C 到BC的距离是()A.5+5B.25+2C.6D.35【答案】D【分析】过C作CH⊥AD于H，过C 作C F⊥AD于F，由菱形性质和正切定义求出HD=5，HC=25，再由折叠证明∠BED=∠B ED=135°，得到∠EDC=∠EDC =45°，从而得到△CHD≌△DFC ，则C F= HD=5，则问题可解．【详解】解：过C作CH⊥AD于H，过C 作C F⊥AD于F，由已知，AD=5，tan B=2，=2，∴CD=5，tan∠CDH=HCHD∴设HD=x，则HC=2x，∴在Rt△HDC中，HC2+HD2=CD2，2x2+x2=52，解得x=5，∴HD=5，HC=25，由折叠可知，∠BED=∠B ED，∠EDC=∠EDC ，CD=C D∵∠BEB =90°，∴∠BED=∠B ED=135°，∵AB∥DC，∴∠EDC=180°-∠BED=45°，∴∠EDC=∠EDC =45°∴∠CDC =90°∵∠CHD =∠C AD =90°，∴∠CDH +C DF =90°，∵∠CDH +∠HCD =90°，∴∠C DF =∠HCD ，∴△CHD ≌△DFC ，∴C F =HD =5，∴点C 到BC 的距离是C F +CH =5+25=35．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及正切定义的应用，解答关键是根据折叠的条件推出∠BED =∠B ED =135°．2如图，将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，展开后得到折痕l 与BC 交于点P ，且点P 到AB 的距离为3cm ，点Q 为AC 上任意一点，则PQ 的最小值为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.3.5cm【答案】C【分析】由折叠可得：PA 为∠BAC 的角平分线，根据垂线段最短即可解答．【详解】解：∵将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，∴PA 为∠BAC 的角平分线，∵点Q 为AC 上任意一点，∴PQ 的最小值等于点P 到AB 的距离3cm ．故选C ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键．3如图，在▱ABCD 中，BC =8,AB =AC =45，点E 为BC 边上一点，BE =6，点F 是AB 边上的动点，将△BEF 沿直线EF 折叠得到△GEF ，点B 的对应点为点G ，连接DE ，有下列4个结论：①tan B =2；②DE =10；③当GE ⊥BC 时，EF =32；④若点G 恰好落在线段DE 上时，则AF BF=13．其中正确的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，利用三线和一以及正切的定义，求出tan B ，即可判断①；过点D 作DK ⊥BC 于点K ，利用勾股定理求出DE ，判断②；过点F 作FM ⊥BC 于点M ，证明△EMF 为等腰直角三角形，设EM =FM =x ，三角函数求出BM 的长，利用BE =BM +EM ，求出x 的值，进而求出EF 的长，判断③；证明△AND ∽△CNE ，推出∠ENC =∠ECN ，根据折叠的性质，推出EF ∥CA ，利用平行线分线段成比例，即可得出结论，判断④．【详解】解：①过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵BC =8,AB =AC =45，∴BH =12BC =4，∴AH =AB 2-BH 2=8，∴tan B =AH BH =2；故①正确；②过点D 作DK ⊥BC 于点K ，则：四边形AHKD 为矩形，∴DK =AH =8，HK =AD =BC =8，∵BE =6，∴CE =2，∵CH =12BC =4，∴CK =4，∴EK =CE +CK =6，∴DE =EK 2+DK 2=10；故②正确；③过点F 作FM ⊥BC 于点M ，∵GE ⊥BC ，∴∠BEG =90°，∵翻折，∴∠BEF =∠GEF =45°，∴∠EFM =∠BEF =45°，∴EM =FM ，设EM =FM =x ，∵tan B =FM BM =2，∴BM =12FM =12x ，∴BE =BM +EM =12x +x =6，∴x =4，∴EM =FM =4，∴EF =2EM =42；故③错误；④当点G 恰好落在线段DE 上时，如图：设AC 与DE 交于点N ，∵▱ABCD ，∴AD ∥BC ，∴△AND ∽△CNE ，∴EN DN =CE AD =28=14，∴EN DE =15，∴EN =15DE =2=CE ，∴∠ENC =∠ECN ，∴∠BEN =∠ENC +∠ECN =2∠ECN ，∵翻折，∴∠BEN =2∠BEF ，∴∠BEF =∠ECN ，∴EF ∥AC ，∴AF BF =CE BE=26=13；故④正确，综上：正确的是①②④；故选D ．【点睛】本题考查平行四边形的折叠问题，同时考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度较大，是中考常见的压轴题，熟练掌握相关性质，添加合适的辅助线，构造特殊三角形，是解题的关键．4如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，将劣弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，连接CD ，若∠ABC =α0°<α<45° ，则下列式子正确的是()A.sin α=BC AB B.sin α=CD AB C.cos α=AD BD D.cos α=CD BC 【答案】B【分析】连AC ，由AB 是⊙O 的直径，可知∠ACB =90°，由折叠，AC 和CD 所在的圆为等圆，可推得AC =CD ，再利用正弦定义求解即可．【详解】解：连AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，由折叠，AC 和CD所在的圆为等圆，又∵∠CBD =∠ABC ，∴AC 和CD 所对的圆周角相等，∴AC =CD ，∴AC =CD ，在Rt △ACB 中，sin α=AC AB =CD AB，故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角、弦、弧之间的关系以及正弦、余弦定义，解答关键是通过折叠找到公共的圆周角推出等弦．5如图，在平面直角坐标系中，OA 在x 轴正半轴上，OC 在y 轴正半轴上，以OA ，OC 为边构造矩形OABC ，点B 的坐标为8,6 ，D ，E 分别为OA ，BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点F 恰好落在CD 上，则点F 的坐标为()A.3213,3013B.3013,3213C.3013,2013D.2013,3013【答案】A【分析】先求得直线CD 的解析式，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，过点F 作FN ⊥OC 于点N ，设点F m ,-32m +6 ，在Rt △EMF 中，再利用勾股定理得到关于m 的方程，解方程即可．【详解】解：∵点B 的坐标为8,6 ，四边形OABC 是矩形，D ，E 分别为OA ，BC 的中点，∴C 0,6 ，D 4,0 ，E 4,6 ，由折叠的性质可得：EF =BE =4，设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则6=b 4k +b =0 ，解得：k =-32b =6 ，∴直线CD 的解析式为y =-32x +6，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，过点F 作FN ⊥OC 于点N ，设点F m,-32m+6，则MF=CN=6--32m+6=32m，EM=4-m，在Rt△EMF中，EM2+MF2=EF2，∴4-m2+32m2=42，解得：m=3213或m=0(不合题意，舍去)，当m=3213时，y=-32×3213+6=3013，∴点F的坐标为3213,30 13，故选：A．【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了求一次函数解析式，勾股定理，翻折的性质，矩形的性质，中点的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．6综合与实践课上，李老师让同学们以矩形纸片的折叠为主题开展数学活动．如图，将矩形纸片ABCD对折，折痕为EF，再把点A折叠在折痕EF上，其对应点为A ，折痕为DP，连接A B，若AB=2，BC =3，则tan∠A BF的值为()A.33B.3 C.32D.12【答案】A【分析】先证明EF=AB=CD=2，CF=BF=DE=32，∠DEA=90°，∠A FB=90°，AD=A D=3，可得A E=A D2-DE2=32，AF=2-32=12，再利用正切的定义求解即可.【详解】解：∵矩形纸片ABCD对折，折痕为EF，AB=2，BC=3，∴EF=AB=CD=2，CF=BF=DE=32，∠DEA=90°，∠A FB=90°，由折叠可得：AD=A D=3，∴A E=A D2-DE2=32，∴A F=2-32=12，∴tan ∠A BF =1232=33.故选A 【点睛】本题考查的是轴对称的性质,矩形的性质,勾股定理的应用,求解锐角的正切,熟记轴对称的性质是解本题的关键.7如图，矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，P 是边BC 中点，将顶点D 折叠至线段AP 上一点D ，折痕为EF ，此时，点C 折叠至点C ．下列说法中错误的是()A.cos ∠BAP =45B.当AE =53时，D E ⊥AP C.当AE =18-65时，△AD E 是等腰三角形D.sin ∠DAP =45【答案】C 【分析】根据矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质计算判断即可．【详解】∵矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，P 是边BC 中点，∴BP =12BC =32，∠B =90°，∴AP =AB 2+BP 2=22+32 2=52，∴cos ∠BAP =AB AP =252=45，故A 正确；∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴sin ∠DAP =sin ∠APB =cos ∠BAP =45，故D 正确；设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD -DE =3-x ，sin ∠DAP =45，∵D E ⊥AP ，∴sin ∠DAP =D E AE =x 3-x =45，解得x =43，∴AE =AD -DE =3-x =53，故B 正确；当D E =AE 时，∴x =3-x ，解得x =32；此时D ,A 重合，三角形不存在，不符合题意；当D E =AD 时，过点D 作D N ⊥AD 于点N ，则AN =NE ；∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴cos ∠DAP =cos ∠APB =3252=35，设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD -DE =3-x ，D E =AD =x ，∴AN AD =AN x =35，解得AN =35x ；∴AE =AD -DE =3-x =2AN =65x ，解得x =1511；∴AE =65×1511=1811；当AE =AD 时，过点D 作D H ⊥AD 于点H ，设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD =AD -DE =3-x ，∴D H =AD sin ∠DAP =453-x ，AH =AD cos ∠DAP =353-x ，∴HE =AE -AH =3-x -353-x =253-x ，根据勾股定理，得HE 2+D H 2=D E 2，∴253-x 2+453-x2=x 2解得x =65-12；∴AE =3-x =15-65；综上所述，AE =15-65或AE =1811，故C 错误，故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握三角函数，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质是解题的关键．8如图，AB 为半圆O 的直径，点O 为圆心，点C 是弧上的一点，沿CB 为折痕折叠BC 交AB 于点M ，连接CM ，若点M 为AB 的黄金分割点(BM >AM )，则sin ∠BCM 的值为()A.5-12B.5+12C.5-14D.12【答案】A【分析】过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM ，BM′，根据折叠的性质可得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，从而可得∠BDM=90°，再根据黄金分割的定义可得BMAB =5-12，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而证明A字模型相似三角形△DBM∽△CBA，进而利用相似三角形的性质可得DMAC=BMAB=5-12，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得：∠A=∠AMC，从而可得CA=CM，再在Rt△CDM中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【详解】解：过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM ，BM′，由折叠得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，∴∠BDM=90°，∵点M为AB的黄金分割点(BM>AM)，∴BMAB =5-12，∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠MDB，∵∠DBM=∠CBA，∴△DBM∽△CBA，∴DMAC =BMAB=5-12，∵四边形ACM′B是半⊙O的内接四边形，∴∠A+∠CM′B=180°，∵∠AMC+∠CMB=180°，∠CMB=∠CM′B，∴∠A=∠AMC，∴CA=CM，在Rt△CDM中，sin∠BCM=DMCM=DMAC=5-12．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换(折叠问题)，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二、填空题9如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，折痕为EF，折叠后，EC的对应边EH经过点A，CD的对应边HG交BA的延长线于点P．若PA=PG，AH=BE，CD=3，则BC的长为．【答案】43【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接PF ，设BC =2x ，AH =BE=a ，证明Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ，求得FA =FG =FD =x ，由折叠的性质求得BE =12x ，在Rt △ABE 中，利用勾股定理列式计算，即可求解．【详解】解：连接PF ，设BC =2x ，AH =BE =a ，由矩形的性质和折叠的性质知FG =FD ，∠G =∠FAP =90°，AB =CD =3，AD =BC ，∵PA =PG ，PF =PF ，∴Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ，∴FA =FG =FD =12AD =12BC =x ，由矩形的性质知：AD ∥BC∴∠AFE =∠FEC ，折叠的性质知：∠FEA =∠FEC ，∴∠FEA =∠AFE ，∴AE =FA =x ，由折叠的性质知EC =EH =AE +AH =x +a ，∴BC =BE +EC =a +x +a =2x ，∴a =12x ，即BE =12x ，在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，即32+12x2=x 2，解得x =23，∴BC =2x =43，故答案为：4310如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =6，M 为AD 的中点，N 为BC 边上一动点，把矩形沿MN 折叠，点A ，B 的对应点分别为A ，B ，连接AA '并延长交射线CD 于点P ，交MN 于点O ，当N 恰好运动到BC 的三等分点处时，CP 的长为．【答案】1或5【分析】分两种情况：①当CN =2BN 时．过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形；②当BN =2CN 时，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，根据矩形的性质得GM =AM -AG =1.再由折叠的性质可得∠AOM =90°，然后根据相似三角形的判定与性质可得答案．【详解】解：①当CN =2BN 时．如图1，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，∴NG =AB =3，AG =BN =2．∵M 为AD 的中点，∴AM =3，∴GM =AM -AG =1．由折叠A 与A 对应，∴∠AOM =90°，∵∠MAO +∠APD =90°，∠MAO +∠AMO =90°，∴∠AMO =∠APD ，即∠GMN =∠APD ．又∵∠NGM =∠ADP =90°，∴△ADP ∽△NGM ，∴NG AD=GM DP =12，解得DP =2，∴CP =CD -DP =1．②当BN =2CN 时，如图2，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，∴NG =AB =3，AG =BN =4．∵M 为AD 的中点，∴AM =3，∴GM =AG -AM =1．由折叠A 与A 对应，∴∠AOM =90°∠MAO +∠AMO =90°，∠MAO +∠APD =90°，∴∠AMO =∠APD ，即∠GMN =∠APD ．又∠ADP =∠NGM =90°，∴△ADP ∽△NGM ，∴NG AD=GM DP =12，解得DP =2，∴CP =CD +DP =5．综上，CP 的长为1或5．故答案为：1或5．【点睛】此题考查的是翻折变换-折叠问题、矩形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．11如图，DE 平分等边△ABC 的面积，折叠△BDE 得到△FDE ,AC 分别与DF ,EF 相交于G ,H 两点．若DG =m ,EH =n ，用含m ,n 的式子表示GH 的长是．【答案】m 2+n 2【分析】先根据折叠的性质可得S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°，从而可得S △FHG =S △ADG +S △CHE ，再根据相似三角形的判定可证△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，根据相似三角形的性质可得S △ADG S △FHG =DG GH2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2，然后将两个等式相加即可得．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C =60°，∵折叠△BDE 得到△FDE ，∴△BDE ≌△FDE ，∴S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°=∠A =∠C ，∵DE 平分等边△ABC 的面积，∴S 梯形ACED =S △BDE =S △FDE ，∴S △FHG =S △ADG +S △CHE ，又∵∠AGD =∠FGH ,∠CHE =∠FHG ，∴△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，∴S △ADG S △FHG =DG GH 2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2，∴S △ADG S △FHG +S △CHE S △FHG =m 2+n 2GH 2=S △ADG +S △CHE S △FHG =1，∴GH 2=m 2+n 2，解得GH =m 2+n 2或GH =-m 2+n 2(不符合题意，舍去)，故答案为：m 2+n 2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．12在矩形ABCD 中，点E 为AD 边上一点(不与端点重合)，连接BE ，将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，连接并延长EF ，BF 分别交BC ，CD 于G ，H 两点.若BA =6，BC =8，FH =CH ，则AE 的长为．【答案】92【分析】连接GH ，证明Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL )，可得FG =CG ，设FG =CG =x ，在Rt △BFG 中，有62+x 2=(8-x )2，可解得CG =FG =74，知BG =254，由矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，得∠AEB =∠FEB ，可得∠FEB =∠EBG ，EG =BG =254，故EF =EG -FG =92，从而得到AE =92．【详解】连接GH ，如图：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，∵将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，∴BF =AB =6,AE =EF ,∠BFE =∠A =90°，∴∠GFH =90°=∠C ，∵GH =GH ,FH =CH ，∴Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL )，∴FG =CG ，设FG =CG =x ，则BG =BC -CG =8-x在Rt △BFG 中，BF 2+FG 2=BG 2∴62+x 2=(8-x )2，解得：x =74，∴CG =FG =74，∴BG =8-x =25x，∵将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，∴∠AEB =∠FEB ，∵AD ⎳BC ，∴∠AEB =∠EBG ，∴∠FEB =∠EBG ，∴EG =BG =254，∴AE =92，故答案为：92．【点睛】本题考查矩形中的翻折变换，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，掌握相关知识是解题的关键．13如图，在矩形ABCD 中，AD =23，CD =6，E 是AB 的中点，F 是线段BC 上的一点，连接EF ，把△BEF 沿EF 折叠，使点B 落在点G 处，连接DG ，BG 的延长线交线段CD 于点H ．给出下列判断：①∠BAC =30°；②△EBF ∽△BCH ；③当∠EGD =90°时，DG 的长度是23 ④线段DG 长度的最小值是21-3；⑤当点G 落在矩形ABCD 的对角线上，BG 的长度是3或33；其中正确的是．(写出所有正确判断的序号)【答案】①②③【分析】利用正切函数的定义即可判断①正确；利用同角的余角相等推出∠HBC =∠BEF ，可判断②正确；推出点D 、G 、F 三点共线，证明Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ，可判断③正确；当点D 、G 、E 三点共线，线段DG 长度的最小值是21-3，由于F 是线段BC 上的一点，不存在D 、G 、E 三点共线，可判断④不正确；证明△BGE 是等边三角形，可判断⑤．【详解】解：连接AC ，∵矩形ABCD 中，AD =23，CD =6，∴tan ∠ACD =AD CD=236=33，∴∠ACD =30°，∴∠BAC =30°，故①正确；由折叠的性质知EF 是BG 的垂直平分线，∴∠HBC +∠BFE =90°=∠BEF +∠BFE ，∴∠HBC =∠BEF ，∴△EBF ∽△BCH ，故②正确；由折叠的性质知∠EGF =∠ABC =90°，∵∠EGD =90°，∴点D 、G 、F 三点共线，连接DE ，在Rt △EAD 和Rt △EGD 中，AE =BE =EG ，DE =DE ，∴Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ，∴DG =AD =23，故③正确；∵AE =BE =EG ，∴点A 、G 、B 都在以E 为圆心，3为半径的圆上，DE =23 2+32=21，∴当点D 、G 、E 三点共线，线段DG 长度的最小值是21-3，但F 是线段BC 上的一点，∴D 、G 、E 三点不可能共线，故④不正确；当点G 落在矩形ABCD 的对角线AC 上时，由折叠的性质知BE =EG ，∵E 是AB 的中点，由①知∠BAC =30°，∴BE =EG =EA ，∠BAC =∠EGA =30°，∴∠BEG =∠BAC +∠EGA =60°，∴△BGE 是等边三角形，∴BG 的长度是3；由于F 是线段BC 上的一点，则点G 不会落在矩形ABCD 的对角线BD 上，故⑤不正确；综上，①②③说法正确，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，正切函数，相似三角形的判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．14如图，将矩形ABCD沿BE折叠，点A与点A 重合，连接EA 并延长分别交BD、BC于点G、F，且BG=BF．(1)若∠AEB=55°，则∠GBF=；(2)若AB=3，BC=4，则ED=．【答案】40°/40度5-10/-10+5【分析】(1)先证明∠DEF=180°-2×55°=70°，∠BFG=∠DEF=70°，利用BG=BF，可得答案；(2)如图，过F作FQ⊥AD于Q，可得CF=DQ，FQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG，∠DEG=∠BFG，而∠DGE=∠BGF，则∠DEG=∠DGE，设DE=DG=x，而BD=32+42=5，则BG=BF=5-x，CF=4-5-x=1，再求解EF=12+32=10，由折叠可得：A E=AE=4 =x-1，EQ=x-x-1-x，AF=10-4+x，利用cos∠BFA=cos∠FEQ，再建立方程求解即可．【详解】解：(1)∵∠AEB=55°，结合折叠可得：∠AEB=∠A EB=55°，∴∠DEF=180°-2×55°=70°，∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠BFG=∠DEF=70°，∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG=70°；∴∠GBF=180°-2×70°=40°；故答案为：40°．(2)如图，过F作FQ⊥AD于Q，∴四边形FCDQ是矩形，则CF=DQ，FQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG，∠DEG=∠BFG，而∠DGE=∠BGF，∴∠DEG=∠DGE，∴设DE=DG=x，∵矩形ABCD，AB=3，BC=4，∴BD=32+42=5，∴BG=BF=5-x，∴CF=4-5-x=x-1，∴EQ=x-x-1=1，∴EF=12+32=10，由折叠可得：A E=AE=4-x，∴AF =10-4+x，∵∠QEF=∠BFA ，∴cos∠BFA =cos∠FEQ，∴EQEF=A FBF，∴110=10-4+x5-x，解得：x=5-10，经检验符合题意；∴DE=5-10．故答案为：5-10．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用以上知识解题是关键．三、解答题15综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展实践活动．(1)操作判断操作一：如图(1)，正方形纸片ABCD，点E是BC边上(点E不与点B，C重合)任意一点，沿AE折叠△ABE到△AFE，如图(2)所示；操作二：将图(2)沿过点F的直线折叠，使点E的对称点G落在AE上，得到折痕MN，点C的对称点记为H，如图(3)所示；操作三：将纸片展平，连接BM，如图(4)所示．根据以上操作，回答下列问题：①B，M，N三点(填“在”或“不在”)一条直线上；②AE和BN的位置关系是，数量关系是；③如图(5)，连接AN，改变点E在BC上的位置，(填“存在”或“不存在”)点E，使AN平分∠DAE．(2)迁移探究苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片ABCD，AB=4，BC=6，按照(1)中的方式操作，得到图(6)或图(7)．请完成下列探究：①当点N在CD上时，如图(6)，BE和CN有何数量关系？并说明理由；②当DN的长为1时，请直接写出BE的长．【答案】(1)①在，②AE⊥BN，相等；③不存在；(2)①BECN =23，理由见解析；②BE=2或165．【分析】(1)①E的对称点为E ，BF⊥EE ，MF⊥EE ，即可判断；②由①AE⊥BN，由同角的余角相等得∠BAE=∠CBN，由AAS可判定△ABE≌△BCN，由全等三角形的性质即可得证；③由AAS可判定△DAN≌△MAN，由全等三角形的性质得AM=AD，等量代换得AB=AM，与AB>AM矛盾，即可得证；(2)①由(1)中的②可判定△ABE∽△BCN，由三角形相似的性质即可求解；②当N在CD上时，△ABE∽△BCN，由三角形相似的性质即可求解；当N在AD上时，同理可判定△ABE∽△NAB，由三角形相似的性质即可求解．【详解】(1)解：①E的对称点为E ，∴BF⊥EE ，MF⊥EE ，∴B、F、M共线，故答案为：在；②由①知：B、F、M共线，N在FM上，∴AE⊥BN，∴∠AMB=90°，∴∠ABM+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCN=90°，AB=BC，∴∠CBN+∠ABM=90°，∴∠BAE=∠CBN，在△ABE和△BCN中，∠BAE=∠CBN ∠ABC=∠BCN AB=BC，∴△ABE≌△BCN(AAS)，∴AE=BN，故答案为：相等；③不存在，理由如下：假如存在，∵AN平分∠DAE，∴∠DAN=∠MAN，∵四边形ABCD是正方形，AM⊥BN，∴∠D=∠AMN=90°，在△DAN和△MAN中，∠D=∠AMN∠DAN=∠MAN AN=ANN∴△DAN≌△MAN(AAS)，∴AM=AD，∵AD=AB，∴AB=AM，∵AB是Rt△ABM的斜边，∴AB>AM，∴AB =AM 与AB >AM 矛盾，故假设不成立，所以答案为：不存在；(2)解：①BE CN=23，理由如下：由(1)中的②得：∠BAE =∠CBN ，∠ABE =∠C =90°，∴△ABE ∽△BCN ，∴BE CN =AB BC=23；②当N 在CD 上时，CN =CD -DN =3，由①知：△ABE ∽△BCN ，∴BE CN =AB BC =23，∴BE =23CN =2，当N 在AD 上时，AN =AD -DN =5，∵∠BAE =∠CBN =∠ANB ，∠ABE =∠BAN =90°，∴△ABE ∽△NAB ，∴BE AB =AB AN ，∴BE 4=45，∴BE =165，综上所述：BE =2或165．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质，“十字架”典型问题的解法是解题的关键．16在矩形ABCD 中，AD =2AB =8，点P 是边CD 上的一个动点，将△BPC 沿直线BP 折叠得到△BPC ．(1)如图1，当点P 与点D 重合时，BC ′与AD 交于点E ，求BE 的长度；(2)当点P 为CD 的三等分点时，直线BC ′与直线AD 相交于点E ，求DE 的长度；(3)如图2，取AB 中点F ，连接DF ，若点C ′恰好落在DF 边上时，试判断四边形BFDP 的形状，并说明理由．【答案】(1)BE 的长度为5；(2)DE 的长度为113或83;(3)四边形BFDP 是平行四边形(理由见解析)【分析】本题利用了折叠的知识(折叠后的两个图形全等)以及矩形的性质(矩形的对边相等，对角相等)，以及平行四边形的判定有关知识．(1)利用矩形性质和折叠的性质可推出BE=DE，设BE=x,则DE=x,AE=8-x,利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；(2)设DE=m,则AE=m+8，设BE交CD于G，可证得△AEB∽△CBG，得出CGAB =BCAE，即CG4=8m+8，求得CG=32m+8，分两种情况：当PC=13CD=43时，当PC=23CD=83时，分别添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形性质建立方程求解即可得出答案；(3)由中点定义可得AF=BF，过点C 作C M∥AD交AB于点M，过点F作FN⊥BC 于点N，由矩形性质和翻折的性质可得∠C BP=∠CBP=12∠C BC，可证得△FC M∽△FDA，得出FMAF=C MAD，再证得△BFN∽△BC M，进而推出FM=FN，利用角平分线的判定定理可得∠BC F=∠MC F=12∠BC M推出∠BC F=∠C BP，再由平行线的判定定理可得DF∥BP，运用平行四边形的判定定理即可证得四边形BFDP是平行四边形．【点睛】点睛片段【详解】(1)解：∵AD=2AB=8，∴AB=4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，由折叠得：∠DBC=∠DBC ，∴∠ADB=∠DBC ，即∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，设BE=x，则DE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，∴(8-x)2+42=x2，解得：x=5，∴BE的长度为5；(2)设DE=m，则AE=m+8，设BE交CD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=8，CD=AB=4，AD∥BC，∠A=∠BCG=90°，∴∠AEB=∠CBG，∴△AEB∽△CBG，∴CG AB =BCAE，即CG4=8m+8，∴CG=32m+8，当PC=13CD=43时，BP=BC2+PC2=82+432=4373，连接CC ，过点C 作C H⊥CD于点H，如图，∵将△BPC沿直线BP折叠得到△BPC ，∴CC ⊥BP，△BPC ≌△BPC，∴S四边形BCPC =2S△BPC，∴1BP⋅CC =2×1BC⋅PC，即12×4373CC =2×12×8×43，∴CC =163737，∵∠C CH +∠BPC =90°，∠PBC +∠BPC =90°，∴∠C CH =∠PBC ，∵∠CHC =∠BCP =90°，∴△CC H ∽△BPC ，∴C H PC =CH BC =CC BP ，即CH 43=CH 8=1637374373，∴C H =1637，CH =9637，∵∠C HG =∠EDG =90°，∴C H ∥AE ，∴∠GC ′H =∠AEB ，∴△C GH ∽△EBA ，∴GH AB =C H AE ，即GH 4=1637m +8，∴GH =6437(m +8)，∵CH +GH =CG ，∴9637+6437(m +8)=32m +8，解得：m =113，经检验，m =113是该方程的解，∴DE =113；当PC =23CD =83时，BP =BC 2+PC 2=82+83 2=8103，连接CC ，过点C 作C H ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，作C G ⊥AD 于点G ，如图，同理可得：CC =8105，同理△CC H ∽△BPC ，∴C H PC =CH BC =CC BP ，即CH 83=CH 8=81058103，∴C H =85，CH =245，∴DH =CH -CD =245-4=45，∵∠HDG =∠H =∠C GD =90°，∴四边形DGC H 是矩形，∴C G =DH =45，DG =C H =85，∵∠C GE =∠A =90°，∠C EG =∠BEA ，∴△C EG ∽△BEA ，∴EG AE =C G AB =454=15，∴AE =5EG ，∵AE +EG =AG =AD -DG =8-85=325，∴5EG +EG =325，∴EG =1615，∴DE =DG +EG =85+1615=83，综上所述，DE 的长度为113或83；(3)四边形BFDP 是平行四边形，理由如下：∵点F 是AB 的中点，∴AF =BF ，过点C 作C M ∥AD 交AB 于点M ，过点F 作FN ⊥BC 于点N ，如图，则∠FC M =∠ADF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ,AB ∥CD ，∴C M ∥BC ，∴∠BC M =∠C BC ，由翻折得：∠C BP =∠CBP =12∠C BC ，BC =BC =8，∵C M ∥AD ，∴△FC M ∽△FDA ，∴FM AF =C M AD ，∴FM BF =C MBC ，∵∠BNF =∠BMC =90°，∠FBN =∠C BM ，∴△BFN ∼△BC M∴FN BF =C MBC ，∴FM BF =FN BF ，∴FM =FN ，又∵FM ⊥C M ，FN ⊥C B ，∴∠BC F =∠MC F =12∠BC M ，∴∠BC F =∠C BP ，∴DF ∥BP ，∴四边形BFDP 是平行四边形．17矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，点E 为对角线AC 上一点，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，EG ⊥AC 交边BC 于点G ，将△AEF 沿AC 折叠得△AEH ，连接HG ．(1)如图1，若点H 落在边BC 上，求证：AH =CH ；(2)如图2，若A ，H ，G 三点在同一条直线上，求HG 的长；(3)若△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形，求EF 的长．【答案】(1)见解析(2)HG =94(3)EF =103或4【分析】(1)根据矩形的性质和翻折的性质证明∠ACH =∠HAC ，即可解决问题；(2)结合(1)的方法AG =CG ，解Rt △AEG ，Rt △HEG 分别求得EG ,HG ；(3)当△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当EG =EH ，②当EG =HG ，结合(2)的方法，利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质即可解决问题．【详解】(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ．∴∠DAE =∠ACH .∵△AHE 由△AFE 折叠得到，∴∠HAC =∠DAE ，∴∠HAC =∠ACH ，∴AH =CH ；(2)∵矩形ABCD 中，AB =6,AD =8．∴AC =10.当A ，H ，G 三点在同一条直线上时，∠EHG =90°．同(1)可得AG =CG ．又∵EG ⊥AC ，∴AE =12AC =5．∵∠AEH +∠HEG =90°，∠AEH +∠HAE =90°，∴∠HEG =∠HAC =∠CAD ．∵在Rt △AEG 中，tan ∠EAG =EG AE =34，∴EG =34AE =154．∵在Rt △HEG 中，sin ∠HEG =HG EG =35，∴HG =35EG =94．(3)①若EH =EG ，如图3①设EF =EH =EG =x ，∵EF ⊥AD ，∴EF ∥CD ，∴△AEF ∽△ACD ，∴AE AC =AF AD =EF CD ∴AE 10=AF 8=x 6∴AE =53x ,AF =43x ，∴AH =AF =43x ，∵∠AHE =∠CEG =90°，∠HAE =∠GCE ，EH =EH ，∴△AHE ≌△CGE AAS ，∴AH =CE ，∴43x =10-53x ，∴x =103∴EF =103．②若HG =GE ，如图3②．(图3②)过点G 作GM ⊥HE ，设EF =a ,∵EC =10-53a ，∵∠AHE =∠CEG =90°，∠HAE =∠GCE ，∴△AHE ∽△CGE ，∴EG =34EC =3410-53a =152-54a ，∵∠GME =∠EHA ，∠MGE =90°-∠MEG =∠HAE ，∴△MGE ∽△HEA ，∴ME AH =EG AE ，∵AH AE =AD AC =45，∴AH =45AE ，∴ME =45EG =45152-54a =6-a ，∴HE =2ME =12-2a =EF ，∴12-2a =a ，∴a =4，∴EF =4，综上，EF =103或4．【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，翻折的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．18综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片ABCD，组织同学们进行折纸探究活动．【初步尝试】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，沿过点A与点E所在的直线折叠，点B落在点B 处，连接 B C，如图1，请直接写出∠AEB 与∠ECB 的数量关系．【能力提升】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，沿过点A与BE上的点G所在的直线折叠，使点B落在EF上的点P处，连接PD，如图2，猜想∠APD的度数，并说明理由．【拓展延伸】在图2的条件下，作点A关于直线CP的对称点A ，连接PA ，BA ，AC，如图3，求∠PA B的度数．【答案】初步尝试：∠AEB =∠ECB ；能力提升：猜想：∠APD=60°，理由见解析；拓展延伸：∠PA B=15°【分析】初步尝试：连接BB ，由折叠的性质可知，BE=CE，BE=BE ，∠AEB=∠AEB ，BB ⊥AE，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出∠BB C=90°，推出AE∥CB ，即可得出答案；能力提升：根据正方形的性质和折叠的性质，易证△AFP≌△DFP SAS，从而证明△APD是等边三角形，即可得到答案；拓展延伸：连接A C、AA ，由(2)得△APD是等边三角形，进而得出∠PDC=30°，再结合等边对等角的性质和三角形内角和定理，求得∠PAC=15°，∠ACP=30°，由对称性质得：AC=A C，∠ACP=∠A CP=30°，证明△AA B≌△CA B SSS，得到∠CA B=30°，再由∠CA P=∠CAP=15°，即可求出∠PA B的度数．【详解】解：初步尝试：∠AEB =∠ECB ，理由如下：如图，连接BB ，由折叠的性质可知，BE=CE，BE=BE ，∠AEB=∠AEB ，BB ⊥AE，∴BE=CE=BE ，∴∠EBB =∠EB B，∠ECB =∠EB C，∵∠EBB +∠EB B+∠EB C+∠ECB =2∠EB B+∠EB C=180°，∴∠BB C=90°，即BB ⊥CB ，∴AE∥CB ，∴∠AEB=∠ECB ，∴∠AEB =∠ECB ；解：能力提升：猜想：∠APD=60°，理由如下：理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ADC=90°，由折叠性质可得：AF =DF ，EF ⊥AD ，AB =AP ，在△AFP 和△DFP 中，AF =DF∠AFP =∠DFP =90°FP =FP，∴△AFP ≌△DFP SAS ，∴AP =PD ，∴AP =AD =PD ，∴△APD 是等边三角形，∴∠APD =60°；解：拓展延伸：如图，连接A C 、AA ，由(2)得△APD 是等边三角形，∴∠PAD =∠PDA =∠APD =60°，AP =DP =AD ，∵∠ADC =90°，∴∠PDC =30°，又∵PD =AD =DC ，∴∠DPC =∠DCP =12×180°-30° =75°，∠DAC =∠DCA =45°，∴∠PAC =∠PAD -∠DAC =60°-45°=15°，∠ACP =∠DCP -∠DCA =75°-45°=30°，由对称性质得：AC =A C ，∠ACP =∠A CP =30°，∴∠ACA =60°，∴△ACA 是等边三角形，在△AA B 与△CA B 中，A A =A CA B =A B AB =BC，∴△AA B ≌△CA B SSS ，∴∠AA B =∠CA B =12∠AA C =30°，又∵∠CA P =∠CAP =15°，∴∠PA B =∠CA B -∠CA P =15°．【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．19综合与实践数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片ABCD 对折，使得点A ，D 重合，点B ，C 重合，折痕为EF ，展开后沿过点B 的直线再次折叠纸片，点A 的对应点为点N ，折痕为BM ． (1)如图(1)若AB =BC ，则当点N 落在EF 上时，BF 和BN 的数量关系是，∠NBF 的度数为．思考探究：(2)在AB=BC的条件下进一步进行探究，将△BMN沿BN所在的直线折叠，点M的对应点为点M ．当点M 落在CD上时，如图(2)，设BN，BM 分别交EF于点J，K．若DM =4，请求出三角形BJK的面积．开放拓展：(3)如图(3)，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=4，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为BM，点A的对应点为点N，展开后再将四边形ABNM沿BN所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点M ，连接CP，DP，若PC=PD，请直接写出AM的长．(温馨提示：12+3=2-3，12+1=2-1)【答案】(1)BF=12BN，60°(2)2+2(3)4-23【分析】(1)根据折叠的性质得：AB=BN，BF=CF=12BC，根据直角三角形的性质可得∠BNF=30°，由直角三角形的两锐角互余可得结论；(2)由折叠得：BM=BM ，证明Rt△ABM≌Rt△CBM (HL)，可知AM=CM ，∠ABM=∠CBM ，得△BFJ是等腰直角三角形，再证明四边形ABCD是正方形，分别计算BF=FJ=12BC=2+2，JK=2，由三角形面积公式可得结论；(3)如图(3)，过点P作PG⊥BC于G，PH⊥CD于H，根据等腰三角形的三线合一可得DH=CH=12CD=12AB=1，由折叠的性质和矩形的性质可得PG=CH=1，BN=BP=AB=2，∠NBP=∠ABN，设PL=x，则M L=2x，M P=3x，根据NL=233=NM +M L，列方程可解答．【详解】(1)解：由折叠得：AB=BN，BF=CF，∠BFN=90°，∵AB=BC，∴BF=12BN，∴∠BNF=30°，∴∠NBF=90°-30°=60°，故答案为：BF=12BN，60°；(2)由折叠得：BM=BM ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，∵AB=BC，∴Rt△ABM≌Rt△CBM (HL)，∴AM=CM ，∠ABM=∠CBM ，∴∠ABM=∠MBN=∠NBM =∠CBM ，∴∠FBJ=45°，∴△BFJ是等腰直角三角形，∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴矩形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠D=90°，∴DM=DM =4，∴MM =42，∵AM=MN=M N=CM ，∴CM =22，∴BC =CD =4+22，∴BF =FC =2+2，∵FK ∥CM ，∴BK =KM ，∴FK =12CM =2，∵△BFJ 是等腰直角三角形，∴BF =FJ =12BC =2+2，∴JK =2+2-2=2，∴S △BJK =12⋅JK ⋅BF =12×2×(2+2)=2+2；(3)如图，过点P 作PG ⊥BC 于G ，PH ⊥CD 于H ，∵PC =PD ，∴DH =CH =12CD =12AB =1，∵∠PGC =∠PHC =∠BCH =90°，∵四边形PGCH 是矩形，∴PG =CH =1，由折叠得：BN =BP =AB =2，∠NBP =∠ABN ，Rt △BPG 中，∠PBG =30°，∴∠ABN =∠NBP =90°-30°2=30°，延长NM ，BP 交于L ，Rt △BNL 中，BN =2，∠NBL =30°，∴NL =2×33=233，Rt △M PL 中，∠M LP =90°-30°=60°，∴∠PM L =30°，设PL =x ，则M L =2x ，M P =3x ，∵NL =233=NM +M L ，∴3x +2x =233，∴x =433-2，∴AM =3x =3×433-2 =4-23．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，三角函数等知识，掌握折叠的性质和正确作辅助线是解题的关键，题目具有一定的综合性，比较新颖．20综合与实践综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断如图1，先用对折的方式确定矩形ABCD 的边AB 的中点E ，再沿DE 折叠，点A 落在点F 处，把纸片展平，延长DF ，与BC 交点为G ．。

中考数学折叠,旋转问题专题含答案

中考数学折叠,旋转问题专题含答案

【经典例题1】如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．（1）求⊙O的半径；（2）点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．【解析】（1）连接AO，如右图1所示，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG＝＝4，∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴（3k）2+42＝（5k）2，解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），∴5k＝5，即⊙O的半径是5；（2）如图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO•sin60°＝5×，∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC＝＝，即图中阴影部分的面积是：．练习1-1如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB 的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（）A．AC＝CD B．+＝C．OD⊥AB D．CD平分∠ACB 【解析】A、过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；B、∵AC＝CD'，∴，由折叠得：，∴＝，故②正确；C、∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，故③正确；D、延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：D．练习1-2如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将在沿AC 折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是（）A．6B．C．2D．4【解析】如图，延长BO交⊙O于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB 于H．∵AD＝DB，∴OD⊥AB，∴∠ADO＝90°，∵OA＝2，AD＝DB＝4，∴OD＝＝2，∵BE是直径，∴∠BAE＝90°，∵AD＝DB，EO＝OB，∴OD∥AE，AE＝2OD＝4，∴AE＝AD，∴＝，∴＝，∴∠CAE＝∠CAH＝45°，∴∠BOC＝2∠CAB＝90°，∴BC＝OC＝2，∵CH⊥AB，∴∠CAH＝∠ACH＝45°，∴AH＝CH，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，在Rt△BCH中，∵CH2+BH2＝BC2，∴x2+（8﹣x）2＝（2）2，∴x＝6或2（舍弃），在Rt△ACH中，∵AC＝，∴AC＝6．故选：A．练习1-3在扇形AOB中，∠AOB＝75°，半径OA＝12，点P为AO上任一点（不与A、O重合）．（1）如图1，Q是OB上一点，若OP＝OQ，求证：BP＝AQ．（2）如图2，将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'．①若点O'落在上，求的长．②当BO'与扇形AOB所在的圆相切时，求折痕的长．（注：本题结果不取近似值）【解析】（1）证明：∵BO＝AO，∠O＝∠O，OP＝OQ，∴△BOP≌△AOQ（SAS）．∴BP＝AQ．（2）解：①如图1，点O'落在上，连接OO'，∵将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'，∴OB＝O'B，∵OB＝OO'，∴△BOO'是等边三角形，∴∠O'OB＝60°．∵∠AOB＝75°，∴∠AOO'＝15°．∴的长为．②BO'与扇形AOB所在的圆相切时，如图2所示，∴∠OBO'＝90°．∴∠OBP＝45°．过点O作OC⊥BP于点C，∵OA＝OB＝12，∠COB＝∠OBP＝45°，∴．又∵∠AOB＝75°，∠COB＝45°，∴∠POC＝30°，∴．∴．∴折痕的长为．旋转类【经典例题2】如图1，在锐角△ABC中，AB=5，AC=42，∠ACB=45∘. 计算：求BC的长；操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.如图2，当点C1在线段CA的延长线上时。

中考数学折叠专项训练试题（含答案）

中考数学折叠专项训练试题（含答案）

中考数学折叠专项训练试题（含答案）中考数学折叠专项训练试题附参考答案一．选择题（共9小题）1．（2013?贵港）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE 上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定；矩形的性质．专题：压轴题．分析：由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF=FM=DF；易求得∠BFE=∠BFN，则可得BF⊥EN；易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；易求得BM=2EM=2DE，即可得EB=3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF，由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，即FM⊥BE，CF⊥BC，∵BF平分∠EBC，∴CF=MF，∴DF=CF；故①正确；∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，∴∠BFM=∠BFC，∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，∴∠BFE=∠BFN，∵∠BFE+∠BFN=180°，∴∠BFE=90°，即BF⊥EN，故②正确；∵在△DEF和△CNF中，，∴△DEF≌△CNF（ASA），∴EF=FN，∴BE=BN，但无法求得△BEN各角的度数，∴△BEN不一定是等边三角形；故③错误；∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM=BC=AD=2DE=2EM，∴BE=3EM，∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF；故④正确．故选B．点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，将矩形ABCD的一个角翻折，使得点D恰好落在BC边上的点G处，折痕为EF，若EB为∠AEG的平分线，EF和BC的延长线交于点H．下列结论中：①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF；④△BEG和△HEG的面积相等；⑤若，则．以上命题，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：①根据平角的定义，折叠的性质和角平分线的性质即可作出判断；②根据折叠的性质和等腰三角形的性质可知DE≠CH；③无法证明BE=EF；④根据角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形中线的性质可得△BEG和△HEG的面积相等；⑤过E点作EK⊥BC，垂足为K．在RT△EKG中利用勾股定理可即可作出判断．解答：解：①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF，∵EB为∠AEG的平分线，∴∠AEB=∠GEB，∵∠AED=180°，∴∠BEF=90°，故正确；②可证△EDF∽△HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故错误；③只可证△EDF∽△BAE，无法证明BE=EF，故错误；④可证△GEB，△GEH是等腰三角形，则G是BH边的中线，∴△BEG和△HEG的面积相等，故正确；⑤过E 点作EK ⊥BC ，垂足为K ．设BK=x ，AB=y ，则有y 2+（2y ﹣2x ）2=（2y ﹣x ）2，解得x 1=y （不合题意舍去），x 2=y ．则，故正确．故正确的有3个．故选B ．点评：本题考查了翻折变换，解答过程中涉及了矩形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．3．（2012?遵义）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于F 点，若CF=1，FD=2，则BC 的长为（）A ．3B ．2C ．2D ．2考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先过点E 作EM ⊥BC 于M ，交BF 于N ，易证得△ENG ≌△BNM （AAS ），MN 是△BCF 的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN ，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF 的值，又由勾股定理，即可求得BC 的长．解答：解：过点E 作EM ⊥BC 于M ，交BF 于N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC ，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME 是矩形，∴AE=BM ，由折叠的性质得：AE=GE ，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM ，∵∠ENG=∠BNM ，∴△ENG ≌△BNM （AAS ），∴NG=NM ，∴CM=DE ，∵E 是AD 的中点，∴AE=ED=BM=CM ，∵EM ∥CD ，∴BN ：NF=BM ：CM ，∴BN=NF，∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣=，∴BF=2BN=5，∴BC===2．故选B．点评：此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．4．如图，两个正方形ABCD和AEFG共顶点A，连BE，DG，CF，AE，BG，K，M分别为DG和CF的中点，KA的延长线交BE于H，MN⊥BE于N．则下列结论：①BG=DE 且BG⊥DE；②△ADG和△ABE的面积相等；③BN=EN，④四边形AKMN为平行四边形．其中正确的是（）A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④考点：正方形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定．专题：证明题．分析：充分利用三角形的全等，正方形的性质，平行四边形的性质依次判断所给选项的正误即可．解答：解：由两个正方形的性质易证△AED≌△AGB，∴BG=DE，∠ADE=∠ABG，∴可得BG与DE相交的角为90°，∴BG⊥DE．①正确；如图，延长AK，使AK=KQ，连接DQ、QG，∴四边形ADQG是平行四边形；作CW⊥BE于点W，FJ⊥BE于点J，∴四边形CWJF是直角梯形；∵AB=DA，AE=DQ，∠BAE=∠ADQ，∴△ABE≌△DAQ，∴∠ABE=∠DAQ，∴∠ABE+∠BAH=∠DAQ+∠BAH=90°．∴△ABH是直角三角形．易证：△CWB≌△BHA，△EJF≌△AHE；∴WB=AH，AH=EJ，∴WB=EJ，又WN=NJ，∴WN﹣WB=NJ﹣EJ，∴BN=NE，③正确；∵MN是梯形WGFC的中位线，WB=BE=BH+HE，∴MN=（CW+FJ）=WC=（BH+HE）=BE；易证：△ABE≌△DAQ（SAS），∴AK=AQ=BE，∴MN∥AK且MN=AK；四边形AKMN为平行四边形，④正确．S△ABE=S△ADQ=S△ADG=S?ADQG，②正确．所以，①②③④都正确；故选D．点评：当出现两个正方形时，一般应出现全等三角形．图形较复杂，选项较多时，应用排除法求解．5．（2012?资阳）如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=，则四边形MABN的面积是（）A．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先连接CD，交MN于E，由将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，即可得MN⊥CD，且CE=DE，又由MN∥AB，易得△CMN∽△CAB，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比，即可得，又由MC=6，NC=，即可求得四边形MABN的面积．解答：解：连接CD，交MN于E，∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D 处，∴MN⊥CD，且CE=DE，∴CD=2CE，∵MN∥AB，∴CD⊥AB，∴△CMN∽△CAB，∴，∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=，∴S△CMN=CM?CN=×6×2=6，∴S△CAB=4S△CMN=4×6=24，∴S四边形MABN=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6=18．故选C．点评：此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，解此题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．6．如图，D是△ABC的AC边上一点，AB=AC，BD=BC，将△BCD沿BD折叠，顶点C 恰好落在AB边的C′处，则∠A′的大小是（）A．40°B．36°C．32°D．30°考点：翻折变换（折叠问题）．分析：连接C'D，根据AB=AC，BD=BC，可得∠ABC=∠ACB=∠BDC，然后根据折叠的性质可得∠BCD=∠BC'D，继而得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，根据四边形的内角和求出各角的度数，最后可求得∠A的大小．解答：解：连接C'D，∵AB=AC，BD=BC，∴∠ABC=∠ACB=∠BDC，∵△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，∴∠BCD=∠BC'D，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，∵四边形BCDC'的内角和为360°，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D==72°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=36°．故选B．点评：本题考查了折叠的性质，解答本题的关键是掌握翻折前后的对应角相等，注意本题的突破口在于得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，根据四边形的内角和为360°求出每个角的度数．7．（2012?舟山）如图，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得△AB′D，则△ABC与△AB′D重叠部分的面积为（）A．B．C．3﹣D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，由△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，利用等腰三角形的性质，即可求得AC的长，又由折叠的性质，易得∠CDB′=90°，∠B′=30°，B′C=AB′﹣AC=2﹣2，继而求得CD与B′D的长，然后求得高DE的长，继而求得答案．解答：解：过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，∵△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，∴AC=BC，∴AF=AB=，∴AC===2，由折叠的性质得：AB′=AB=2，∠B′=∠B=30°，∵∠B′CD=∠CAB+∠B=60°，∴∠CDB′=90°，∵B′C=AB′﹣AC=2﹣2，∴CD=B′C=﹣1，B′D=B′C?cos∠B′=（2﹣2）×=3﹣，∴DE===，∴S阴影=AC?DE=×2×=．故选A．点评：此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．8．（2013?定海区模拟）如图，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=，点D在BC 边上，把△ABC沿AD翻折，使AB与AC重合，得△AED，则BD的长度为（）A．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：作CF⊥AB于点F，利用三线合一定理即可求得BF的长，然后证明△CDE是直角三角形，BD=x，则CD=DE=2﹣x，利用三角函数即可得到关于x的方程，解方程即可求解．解答：解：作CF⊥AB于点F．∵∠CAB=∠B∴AC=BC，∴BF=AB=，在直角△BCF中，BC==2，在△CDE中，∠E=∠B=30°，∠ECD=∠CAB+∠B=60°，DE=BD，∴∠CDE=90°，设BD=x，则CD=DE=2﹣x，在直角△CDE中，tanE===tan30°=，解得：x=3﹣．故选B．点评：本题考查了图形的折叠，以及三线合一定理、三角函数，正确理解折叠的性质，找出图形中相等的线段、相等的角是关键．9．（2013?绥化）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，将△ADB 沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（）A．1B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：先根据勾股定理计算出AB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC=30°，在根据折叠的性质得BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，由于AD⊥ED得BC∥DE，所以∠CBF=∠BED=30°，在Rt△BCF中可计算出CF=，BF=2CF=，则EF=2﹣，在Rt△DEF中计算出FD=1﹣，ED=﹣1，然后利用S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE=2S△ABD+S△ADE计算即可．解答：解：∵∠C=90°，AC=，BC=1，∴AB==2，∴∠BAC=30°，∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，∵AD⊥ED，∴BC∥DE，∴∠CBF=∠BED=30°，在Rt△BCF中，CF==，BF=2CF=，∴EF=2﹣，在Rt△DEF中，FD=EF=1﹣，ED=FD=﹣1，∴S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE=2S△ABD+S△ADE=2×BC?AD+AD?ED=2××1×（﹣1）+×（﹣1）（﹣1）=1．故选A．点评：本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．。

中考几何——折叠专项

中考几何——折叠专项

中考几何——折叠专项【一，折叠与平行线性质结合求角度】1．如图，矩形纸片ABCD ，M 为AD 边的中点将纸片沿BM 、CM 折叠，使A 点落在1A 处，D 点落在1D 处，若130∠=︒，则(BMC ∠= )A ．75︒B ．150︒C ．120︒D ．105︒2．将长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，若35ABC ∠=︒，则DBE ∠的度数为( )A ．55︒B ．50︒C ．45︒D ．60︒3．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EC ，ED 为折痕，折叠后点A '，B '，E 在同一直线上，则CED ∠的度数为( )A ．75︒B ．95︒C ．90︒D ．60︒4．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠( )A ．若132∠=∠，则1108∠=︒B ．若122∠=∠，则198∠=︒C ．若12∠=∠，则155∠=︒D ．若1122∠=∠，则140∠=︒5．如图，将对边平行的纸带按如图所示进行折叠，已知165∠=︒，则2∠的大小为( )A ．115︒B ．65︒C ．55︒D ．50︒6．如图①，在长方形ABCD 中，E 点在AD 上，并且30ABE ∠=︒，分别以BE 、CE 为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中AED n ∠=︒，则BCE ∠的度数为( )度．A ．602n+ B ．60n +C ．302n +D ．30n +7．小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），AOB∠的度数是．8．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A与点A'重合（点A在BC边上），点∠+∠=︒．B落在点B'的位置上，若40∠'=︒，则12DEA9．如图1，长方形ABCD沿着直线DE和EF折叠，使得AB的对应点A'，B'和点E在同一条直线上．（1）求DEF∠的度数；（2）如图2，若再次沿着直线EM和EN折叠使得A、B的对应点A''、B''分别落在DE和EF上，34∠的度数．∠=︒，求BENAEM10．如图a是长方形纸带（提示：//)AD BC，将纸带沿EF折叠成图b，再沿GF折叠成图c．（1）若20DEF ∠=︒，则图b 中EGB ∠= ，CFG ∠= ； （2）若20DEF ∠=︒，则图c 中EFC ∠= ； （3）若DEF α∠=，把图c 中EFC ∠用α表示为 ；（4）若继续按EF 折叠成图d ，按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住EFG ∠，整个过程共折叠了9次，问图a 中DEF ∠的度数是 ．【二.折叠和三角形内角和，外角和结合求角度】1．如图，三角形纸片ABC 中，80A ∠=︒，60B ∠=︒，将纸片的角折叠，使点C 落在ABC ∆内，若30α∠=︒，则β∠的度数是( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒2．如图，65A ∠=︒，75B ∠=︒，将纸片的一角折叠，使点C 落在ABC ∆外，若218∠=︒，则1∠的度数为( )A ．50︒B ．98︒C ．75︒D ．80︒3．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在ABC ∆外的A '处，折痕为DE ．如果A α∠=，CEA β∠'=，BDA γ'∠=，那么α，β，γ三个角的关系是 ．4．如图，将ABC ∆纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A '处，且A B '平分ABC ∠，A C '平分ACB ∠，若1288∠+∠=︒，则BA C '∠的度数是 ．5．将纸片ABC ∆沿DE 折叠使点A 落在A '处的位置．（1）如果A '落在四边形BCDE 的内部（如图1)，A ∠'与12∠+∠之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A '落在四边形BCDE 的外部（如图2)，这时A ∠'与1∠、2∠之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．6．动手操作：一个三角形的纸片ABC，沿DE折叠，使点A落在点A'处．观察猜想（1）如图1，若40∠+∠=︒；∠=︒，则12A若55∠+∠=︒；∠=︒，则12A若A n∠+∠=︒．∠=︒，则12探索证明：（2）利用图1，探索1∠、2∠与A∠有怎样的关系？请说明理由．拓展应用（3）如图2，把ABC∠，若12108∠+∠=︒，利∠，CA'平分ACB∆折叠后，BA'平分ABC用（2）中结论求BAC∠'的度数．【三.折叠和勾股定理结合求边长】1．如图，矩形纸片ABCD中，4AB=，3AD=，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为()A．1 B．43C．32D．22．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C'处，点B落在点B'处，其中9AB=，6BC=，则FC'的长为()A．103B．4 C．4.5 D．53．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边6AB=，8BC=，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD=．4.如图，矩形ABCD中，AD=5,AB=7.点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D/落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为5.如图，将正方形纸片ABCD 沿MN 折叠，使点D 落在边AB 上，对应点为D ’，点C 落在C ’处.若AB=6，AD ’=2，则折痕MN 的长为 .6．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将ADE ∆沿AE 折叠后得到AFE ∆，且点F 在矩形ABCD 内部．将AF 延长交边BC 于点G ．若1CG GB k =，则ADAB= 用含k 的代数式表示）．7．如图，在矩形纸片ABCD 中，6AB =，10BC =，点E 在CD 上，将BCE ∆沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将ABG ∆沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，①45EBG ∠=︒；②DEF ABG ∆∆∽；③32ABG FGH S S ∆∆=；④AG DF FG +=．则下列结论正确的有( )A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③8.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △A B G =S △F G H ；④AG+DF=FG ．其中正确的是．9.如图，长方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于点F ，连接EF ．若AB=6，BC=8，则DF 的长为( )10.如图，在矩形ABCD 中，AD=5，AB=8，点E 为射线DC 上一个动点，把△ADE 沿直线AE 折叠，当点D 的对应点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，则DE 的长为多少？【四.折叠综合证明类型题】FEDB CA1.综合与实践：折纸中的数学数学活动课上，老师组织各学习小组同学动手操作，大胆猜想并加以验证．动手操作：如图，将长与宽的比是2：1 的矩形纸片ABCD 对折，使得点B 与点A 重合，点C 与点D 重合，然后展开，得到折痕EF，BC 边上存在一点G，将角B 沿GH 折叠，点B落到AD 边上的点B′处，点B 在AB 边上；将角C 沿GD 折叠，点C 恰好落到B′G 上的点C′处，HG 和DG 分别交EF 于点M 和点N，B′G 交EF 于点O，连接B′M，B′N．提出猜想：①“希望”小组猜想：HG⊥DG；②“奋斗”小组猜想：B′N⊥DG；③“创新”小组猜想：四边形B′MGN 是矩形．独立思考：（1）请你验证上述学习小组猜想的三个结论；（写出解答过程）（2）假如你是该课堂的一名成员，请你在现有图形中，找出一个和四边形B′MGN 面积相等的四边形．（直接写出其名称，不必证明）2.探究学习：矩形折纸中的数学动手操作：如图1，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AB=3cm，AD=4cm，点E,F 分别在AD，BC 边上，连接BE,DF,且BE∥DF。

初三几何翻折练习题

初三几何翻折练习题

初三几何翻折练习题翻折几何是初中数学中的重要知识点之一，它既有理论基础，也有实际应用。

通过翻折几何的学习，可以培养学生的观察力、思维能力和创造力。

下面，我们将介绍一些初三几何翻折练习题，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

1. 长方形翻折练习将一张纸沿着AB和CD两边对折，将得到一个正方形，记作EFGH。

接下来，将纸沿着FE和GH两边对折，再将其展开，你会发现得到的是什么图形？请给出理论解释。

解析：经过两次对折后，纸张被完全折叠成原来的形状。

即纸张经过对折后与原来的图形完全重合。

2. 正六边形翻折练习请用翻折的方法，将一个正六边形折叠成一个正三角形，并给出详细步骤。

解析：将正六边形的一个顶点A与相对的边BC中点O连接，再将AO对折成与BC相等的一条线段，记作M。

接下来，将B、M、O三点依次连接，得到一个正三角形。

3. 矩形翻折练习给定一个矩形ABCD，其中AB=4cm，BC=6cm。

请用翻折的方法，将矩形折叠成一个正方形，并给出详细步骤。

解析：将矩形的一个顶点A与相对的边BC中点O连接，再将AO对折成与BC相等的线段，记作M。

接下来，将A、B、M三点依次连接，得到一个正方形。

4. 圆形翻折练习给定一个圆形O，半径为5cm。

请用翻折的方法，将圆形折叠成一个正方形，并给出详细步骤。

解析：将圆形的直径DE对折，记作F。

然后利用点F为中心，FO为半径画圆得到一个正方形。

通过以上几个例题的翻折练习，同学们可以更好地理解和掌握几何翻折的方法和技巧。

在实际操作中，同学们还可以尝试其他形状的翻折练习，如三角形、梯形等，以提升自己的几何思维能力。

总结初三几何翻折练习题是一个既有趣又具有教育意义的活动。

通过这些翻折练习，同学们不仅可以锻炼自己的观察力和思维能力，还可以加深对几何知识的理解和应用。

因此，在学习初三几何课程的过程中，我们应该注重对翻折几何的训练和巩固。

希望同学们通过这些练习，能够更好地掌握几何翻折的方法和技巧，为未来学习打下坚实的基础。

九思中考折叠综合题专题训练(附答案)

九思中考折叠综合题专题训练(附答案)

九思中考折叠综合题专题训练主编：马伊洛九思教育荣誉出品一、关系探究： 例：（辽宁锦州）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A 重合，将此三角板绕点A 旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC 、DC 于点E 、F ，连结EF ．（1）猜想BE 、EF 、DF 三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）在图1中，过点A 作AM ⊥EF 于点M ，请直接．．写出AM 和AB 的数量关系； （3）如图2，将Rt △ABC 沿斜边AC 翻折得到Rt △ADC ，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，∠EAF ＝12∠BAD ，连接EF ，过点A 作AM ⊥EF 于点M ．试猜想AM 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想．答案如下：（1）证：作AH ⊥EF ， ∵∠EAFA=45°，∴∠EAH+∠HAF=45° ∵∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠BAE=∠EAH ∠HAF=∠DAF ∴△ABE ≌△EAH △HAF 全等与△DAF ∴BE=EH DF=HF ∴BE+DF=EH+HF ∴BE+DF=EF （2）AB=AM（3）猜想：AB=AM ， 理由如下：∵∠EAF=1/2∠BAD 且△BAC 折叠 ∴∠BAC=∠CAD ∴∠BAC=1/2∠BAD ∴∠EAF=∠BAC=∠CAD ∴∠BAE+∠EAC=∠EAM+∠MAF ∵旋转 ∴∠BAC=∠MAF ∴∠BAE=∠EAM ∵∠ABE=∠AME==90°， ∠BAE=∠EAM AE=AE ， ∴△ABE ≌△EAM ∴AB=AM图1 A D FB C E A B CE MF D 图2对应练习： 1、（浙江衢州）（1）如图1，在等边△ABC 中，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结AM ，以AM 为边作等边△AMN ，连结CN ．求证：∠ABC ＝∠ACN ．（2）如图2，在等边△ABC 中，点M 是BC 延长线上的任意一点（不含端点C ），其它条件不变，（1）中结论∠ABC ＝∠ACN 还成立吗？请说明理由．（3）如图3，在等腰△ABC 中，BA ＝BC ，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结AM ，以AM 为边作等腰△AMN ，使顶角∠AMN ＝∠ABC ，连结CN ．试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由．答案如下：（1） 证：∵等边△ABC,等边△AMN ∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60° ∴∠BAM=∠CAN∴△BAM ≌△CAN （SAS ） ∴∠ABC=∠ACN（2） （1）结论∠ABC=∠ACN 仍成立理由如下：∵等边△ABC,等边△AMN ∴AB=AC, AM=AN, ∠BAC=∠MAN=60°∴∠BAM=∠CAN ∴△BAM ≌△CAN ∴∠ABC=∠CAN （3） ∠ABC=∠CAN 仍然成立．理由如下：∵BA=BC,MA=MN,顶角∠ABC=∠AMN,∴底角∠BAC=∠MAN,∴△ABC ∽△AMN, 又∵∠BAM=∠BAC ﹣∠MAC,∠CAN=∠MAN ﹣∠MAC,∴∠BAM=∠CAN,∴△BAM ∽△CAN,∴∠ABC=∠ACN ．图1 图2 图3A AA B B B C M N N C M M CN2、（北京模拟）在△ABC 和△ADC 中，AB ＝2AC ，AD ＝BD ，∠ACD ＝90°． （1）如图1，求证：∠BAC ＝2∠ABD ； （2）如图2，当∠BAC ＝120°时，设AD 与BC 的交点为O ，将△ADC 沿CD 所在直线折叠，得到△EDC ，连接OE ，射线OM 交DE 于M ，交BD 的延长线于N ，若∠EON ＝∠ABD ，求线段OM 与MN 的数量关系．答案如下：（1） 证：∵AD=BD ∴∠DAB=∠DBA ∵∠ACD=90°，∴∠ACB+∠BCD=90° 作DH ⊥AB ∴BH=HA ∵AB=2AC ∴AH=AC ∴Rt △AHD ≌Rt △ADC ∴∠BAD=∠DAC ∴∠BAC=2∠BAD ∴∠BAC=2∠ABD（2） OM=3MN 理由如下：∵折叠 ∴△ACD ≌△CED ∵∠BAC=120° ∴∠BAD=60° ∵BD=AD ∴等边△ABD ∴AB=AD ∵AB=2AC ∴AD=2AC ∵∠EON=∠ABD ∴∠EON=60° ∵AE ∥BN ∴∠EDN=60°， ∴∠ACO=30°∴等边△DMN ∴MN=DN ∵tan30°=1/3 ∴DM/OM=1/3 ∴OM=3MN二、材料阅读： 例：阅读材料（江苏盐城）如图①，△ABC 与△DEF 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠EDF ＝90°，且点D 在AB 边上，AB 、EF 的中点均为O ，连结BF 、CD 、CO ，显然点C 、F 、O 在同一条直线上，可证明△BOF ≌△COD ，则BF ＝CD ． 解决问题（1）将图①中的Rt △DEF 绕点O 旋转得到图②，猜想此时线段BF 与CD 的数量关系，并证明你的结论；（2）如图③，若△ABC 与△DEF 都是等边三角形，AB 、EF 的中点均为O ，上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF 与CD 之间的数量关系； （3）如图④，若△ABC 与△DEF 都是等腰三角形，AB 、EF 的中点均为O ，且顶角∠ACB ＝∠EDF ＝α，请直接写出BFCD的值．（用含α的式子表示出来）C C CCAA A AB B BD O O EF E D FO E D FO E FD图①图②图③图④B A BC DA EOB N D MC 图1 图2答案如下：（1） 证：∵△ABC 与△DEF 均为等腰Rt △ ∴∠FED=∠CBD=45° ∵O 为EF 中点∴OE=OF BO=AO 连接CF ∵旋转 ∴BF=CD ∵CD ⊥AB ∴∠BCD=∠CBD=45°∠CAD=∠DCA=45° ∴CD=BD BD=CF（2） 连接AF 、BE 、AE ∵D 为AB 、EF 中点 ∴BO=OA OE=OF 连接CO∵∠CBD=60° ∴∠BCO=30° tan30°=1/3 BO/CO=1/3 CO=3BO ∵∠EFD=60° ∴∠BFE=60°∴∠FBE=30° cos30°=1/2 BF/BO=1/2∴BO=2/3BF 3BO=CO BO=1/3CO ∵CO=CO ∴1/3CO=2/3BF ∴CO=2BF ∴CO=2/3CD ∵cos30°=1/2 ∴CD/CO=1/2 2CD=CO ∴2BF=2/3CD ∴BF=1/3CD（3）∵△ABC 为等腰△ 点O 为底边AB 的中点 ∴OB/OC=tanA/2 ∠BOC=90° ∵△DEF 为等腰△点 O 为EF 中点 ∴OF/DO=tanA/2 ∠DOF=90° ∴OB/OC=OF/OD=tanA/2 ∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF ∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF ∴∠BOF=∠COD 在△BOF 与△COD 中 ∵OB/CO=OF/OD=tanA/2 ∠BOF=∠COD ∴△BOF ∽△COD ∴BF/CD=tanA/2三：综合应用： 例1：（山东德州）（1）如图1，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向△ABC 外做等边△ABD 和等边△ACE ，连接BE ，CD ．请你完成图形，并证明：BE ＝CD ；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）如图2，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向外做正方形ABFD 和正方形ACGE ，连接BE ，CD ．BE 与CD 有什么数量关系？简单说明理由； （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B ，E 的距离，已经测得∠ABC ＝45°，∠CAE ＝90°，AB ＝BC ＝100米，AC ＝AE ，求BE 的长．（1）证：∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形, ∴AD=AB, AC=AE, ∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB, ∵在△CAD 和△EAB 中, AD=AB,∠CAD=∠EAB,AC=AE ∴△CAD ≌△EAB （SAS ）∴BE=CD ；(2) BE=CD 理由同（1），∵四边形ABFD 和ACGE 均为正方形，∴AD=AB，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠CAD=∠EAB ，∵在△CAD 和△EAB 中，∴△CAD≌△EAB （SAS ），∴BE=CD (3) 由（1）、（2）的解题经验可知，过A 作等腰直角三角形ABD ，∠BAD=90°，则AD=AB=100米，∠ABD=45°，∴BD=100米，连接CD ，则由（2）可得BE=CD ，∵∠ABC=45°，A B C A DFB CE GA EB C 图1 图2 图3∴∠DBC=90°，在Rt△DBC 中，BC=100米，BD=100米，根据勾股定理得：CD==100米，则BE=CD=100米．对应练习：1、（哈尔滨模拟）△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＜60°，D 为BC 延长线上一点，E 为∠ACD 内部一点，且∠ABE ＋∠ECD ＝90°． （1）若∠ABE ＝60°，如图1，直接写出AC 、BE 间的数量关系：___________； （2）若∠ABE ＝45°，如图2，求证：BE ＝2AC ；（3）在（2）的条件下，如图3，将线段BA 沿BE 翻折，翻折后的点A 落在点M 处，且MC ⊥BC ，连接EM ，交BC 的延长线于N ，若CN ＝2，求AN 的长．答案如下： （1） AC=BE（2） 证：∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB ∵∠ABE=45° 且∠ABE+∠ECD=90° ∴∠ABE=∠ECD=90° 作AH ⊥BE EI ⊥BD ∴∠HAB=∠ABH=45°∠ECI=∠CEI=45° ∴CI=EI BH=AH ∴AB=2AH ∴AC=2AH 作EK ⊥AB 的延长线上与K ∴BE=2AB ∴BE=2AC ∠KEA=∠KAE=45° ∴AK=HE ∵∠ABH=∠BAH=45° ∴AH=HE ∵BE=2KE ∴BE=2AB ∴BE=2AC（3）∵翻折 ∴AB=BF 又∵CD=1/2DF ∴AB=1/2BF ∴AN=1/4AB ∵AN=1/2AB ∴AB=4 ∴AN=2÷1/4AB=8例2：（辽宁本溪）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＜45°，点O 为AB 中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O 重合，一边OE 经过点C ，另一边OD 与AC 交于点M ．（1）如图1，当∠A ＝30°时，求证：MC 2＝AM 2＋BC 2； （2）如图2，当∠A ≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；（3）将三角板ODE 绕点O 旋转，若直线OD 与直线AC 相交于点M ，直线OE 与直线BC 相交于点N ，连接MN ，则MN 2＝AM 2＋BN 2成立吗？ 答：___________（填“成立”或“不成立”）．A B C E D A B C E D A B C ED N M 图1图3图2E D CBAMB A BA CEDMC答案如下： （1）证：∵三角板 ∴∠DOE=90° ∴∠DOA+∠EOB=90° 又∵∠ACB=90° ∴∠CAB+∠CBA=90° ∴∠CAO=∠DOA=30° ∠COB=∠CBO=60° ∵∠DOC=90° ∴MO ²+OC ²=MC ² 等量代换 ∴MC ²=AM ²+BC ² （2）（1）中的结论成立 理由如下：∵三角板 ∴∠DOE=90° ∴∠DOA+∠EOB=90° 又∵∠ACB=90° ∴∠CAB+∠CBA=90° ∴∠CAO=∠DOA ∠COB=∠CBO ∵∠DOC=90° ∴MO ²+OC ²=MC ² 等量代换 ∴MC ²=AM ²+BC ² （3）成立四、函数及其他： 例：（浙江杭州）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，对称中心为点P ，点F 为BC 边上一个动点，点E 在AB 边上，且满足条件∠EPF ＝45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC 成轴对称，设它们的面积和为S 1． （1）求证：∠APE ＝∠CFP ；（2）设四边形CMPF 的面积为S 2，CF ＝x ，y ＝S 1S 2； ①求y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围，并求出y 的最大值； ②当图中两块阴影部分图形关于点P 成中心对称时，求y 的值答案如下：（1）证：∵∠EPF=45° ∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135° 而在△PFC 中 由于PF 为正方形ABCD 的对角线 则∠PCF=45° 则∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135° ∴∠APE=∠CFP （2）解：①∵∠APE=∠CFP ，且∠FCP=∠PAE=45° ∴△APE ∽△CPF 则．而在正方形ABCD 中，AC 为对角线 则AC=AB=又∵P 为对称中心 则AP=CP=∴AE=== 过点P 作PH ⊥AB 于点H PG ⊥BC 于点G P 为AC 中点，则PH ∥BC ，且PH=BC=2，同理PG=2 S △APE==×2×= ∵阴影部分关于直线AC 轴对称 ∴△APE 与△APN 也关于直线AC 对称 则S 四边形AEPN=2S △APE=而S2=2S △PFC=2×=2x ∴S1=S 正方形ABCD ﹣S 四边形AEPN ﹣S2=16﹣﹣2x ∴y===+﹣1 ∵E 在AB 上运动，F 在BC 上运动，且∠EPF=45°AB DC MN FEP∴2≤x≤4 令=a 则y=﹣8a2+8a ﹣1 当a== 即x=2时，y 取得最大值 而x=2在x 的取值范围内 代入x=2 则y 最大=4﹣2﹣1=1 ∴y 关于x 的函数解析式为：y=+﹣1（2≤x≤4） y 的最大值为1 ②图中两块阴影部分图形关于点P 成中心对称 而此两块图形也关于直线AC 成轴对称 则阴影部分图形自身关于直线BD 对称则EB=BF 即AE=FC ∴=x 解得x= 代入x= 得y=﹣2对应练习： 1、（辽宁盘锦）如图，四边形ABCD 是正方形，点P 是直线BC 上一点，连接P A ，将线段P A 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ，在直线BA 上取点F ，使BF ＝BP ，且点F 与点E 在BC 同侧，连接EF 、CF ．（1）如图1，当点P 在CB 延长线上时，求证：四边形PCFE 是平行四边形；（2）如图2，当点P 在线段BC 上时，四边形PCFE 是否还是平行四边形？请说明理由； （3）在（2）的条件下，若正方形ABCD 的边长是3，四边形PCFE 的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP 长；若没有，请说明理由．答案如下：（1） 证：连接PF ∵∠ABD=90° ∴Rt △PEB ∵BF=BD ∴∠BFD=∠BPF=45° ∵旋转 ∴AP=PE ∵四边形ABCD 为正方形 ∴∠ABP=∠ABC=90° AB=BC ∴△ABP ≌△BFC ∴AP=FC ∵AP=EP ∴PE=FC ∵∠BFC=∠APC ∴∠APE+∠APC=∠BFC+∠EFB ∴∠EPF=∠PFC ∴FC ∥EP ∴四边形ABCD 为平行四边形（2） 结论：四边形EPCF 是平行四边形，理由如下： ∵四边形ABCD 是正方形 ∴AB=BC∠ABC=∠CBF=90° ∵在△PBA 和△FCB 中，AB=BC ，∠PBA=∠FBC ，BP=BF ，∴△PBA ≌△FBC （SAS ） ∴PA=FC ，∠PAB=∠FCB ∵PA=PE ，∴PE=FC 。

初三几何专题练习折叠问题

初三几何专题练习折叠问题

初三几何专题练习折叠问题折叠问题实际上是轴对称问题的应用，解题关键是抓住对称的性质1)关于同一条直线对称的图形全等； 2)对称轴是轴对称点连线的垂直平分线。

1、矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝5cm ，若将矩形折叠，使B 、D 重合，则折痕EF 长为？2一面积为1的正方形纸片ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 边的中点，将点C 折致MN 上，落在P 点位置，折痕为BQ ，连结PQ 。

1）求MP 的长；2）求证：以PQ 为边长的正方形面积＝313、矩形ABCD 中，AB ＝1，点M 在对角线AC 上，AM ＝41AC ，直线L 过M 点且与AC 垂直与边AD 交于点E 。

1)、若AD ＝3，求证：点B 在直线L 上。

A D CBMN P2)、若L 与BC 交于H ，且把矩形的面积分成72的两部分，求AD 长。

若L 与AD 、AB 交于点E 、G （包括G 与C 重合），设AD长为x （33≤x ≤3）找出x 的取值范围。

4、把矩形纸片放入直角坐标系中，使OA 、OC 与X 轴、Y 轴正半轴重合，连AC 将△ABC 沿AC 翻折，点B 落在该坐标系内，设落点为D ，CD 交X 轴于E ，若CE ＝5，OE 、OC 长是方程x 2＋（m －1）x ＋12＝0的两根，且OC ＞OE ；1）求点D 坐标；2）若点F 是AC 中点，判断（8，－20）是否在过D 、F 两点的直线上。

5、ABCD 为一矩形纸，E 是AB 上一点，且BE ∶AE ＝5∶3，EC ＝15，把△BCE 沿折痕EC 向上翻折，若点B 恰好落在AD 边上，设为F 点； 求：1）AB 与BC 长；2）若☉O 内切于以F 、E 、B 、C 为顶点的四边形，求⊙O 的面积。

6、矩形纸片OABC 放入直角坐标系XOY 中，使OA 、OC 分别与X 轴、Y 轴正半轴上，连结AC 、且AC=45。

Tan ∠1) 求A 、C 两点坐标 2) 求AC 所在直线的解析式3) 将纸片OABC 折叠，使点A 与点C 重合(折痕为EF)，求折叠后纸片重叠部分面积。

初中中考折叠练习题带答案

初中中考折叠练习题带答案

C DE B A 图 折叠剪切问题一、折叠后求度数【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ）A ．600B ．750C ．900D ．950答案：C【2】如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65° 答案：A【3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度.答案：36°二、折叠后求面积 【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10答案：C【5】如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是A ．2B ．4C ．8D ．10答案：B【6】如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。

操作：（1）将AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；（2）将△AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c 。

则△GFC 的面积是（ ）A.1cm 2B.2 cm 2C.3 c m 2D.4 cm 2答案：B图第3题图E A A A B B B C C C G D D DF F F 图图图 第6题图第10题图三、折叠后求长度【7】如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是（ ） （A ）10315- （B ）1053- （C ）535- （D ）20103-答案：D 四、折叠后得图形 【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形答案：D【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ）A. B. C. D.答案：D【10】小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )答案：D【11】将一圆形纸片对折后再对折，得到图1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（ ）答案：C 【12】如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）A BCD EF第7题第8题图第9题图A B C D图3图第12题图答案：C【13】 如图，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边，AD ⊥BC ，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：D五、折叠后得结论【14】亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_______°.”答案：180【15】从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是（ ）A.a 2–b 2 =(a+b)(a-b) Ｂ.(a –b)2 = a 2–2ab+b 2Ｃ.(a+b)2 = a 2 +2ab+ b 2 Ｄ.a 2 + ab = a (a+b) 答案：A【16】如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB ＝a cm ，宽BC ＝b cm ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于（ ）． A ．1:2 B ．2:1 C ．1:3 D ．3:1答案：A六、折叠和剪切的应用【17】将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图）.（1）如果M 为CD 边的中点，求证：DE ∶DM ∶EM=3∶4∶5；（2）如果M 为CD 边上的任意一点，设AB=2a ，问△CMG 的周长是否与点M 的位置有关？若有关，请把△CMG 的周长用含DM 的长x 的代数式表示；若无关，请说明理由.答案：（1）先求出DE=AD 83，AD DM 21=，AD EM 85=后证之.（2）注意到△DEM ∽△CMG ，求出△CMG 的周长等于4a ，从而它与点M 在CD 边上的位置无关.【18】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国的报纸一般都有一个共同的特征:每次对折后,所得的长方形和原长方形相似,问这些报纸的长和宽的比值是多少?第14第15题图（1） 第17题图 （2）ABCDEF MG 第19题图答案：2∶1.【19】用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分,其中M 为AD 的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt △BCE 就是拼成的一个图形.(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt △BCE 外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt △BCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB 和BC 的长分别为a厘米、b 厘米,且a 、b 恰好是关于x 的方程01)1(2=++--m x m x 的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.答案：（1）如图（2）由题可知AB ＝CD ＝AE ，又BC ＝BE ＝AB ＋AE∴BC ＝2AB ， 即a b 2=由题意知 a a 2,是方程01)1(2=++--m x m x 的两根 ∴⎩⎨⎧+=⋅-=+1212m a a m a a消去a ，得 071322=--m m 解得 7=m 或21-=m 经检验：由于当21-=m ，0232<-=+a a ，知21-=m 不符合题意，舍去. 7=m 符合题意.∴81=+==m ab S 矩形答：原矩形纸片的面积为8c m 2.【20】电脑CPU 蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”。

折叠问题练习题(含答案)

折叠问题练习题(含答案)

专题4：折叠问题【典例引领】例：如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（2）（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【强化训练】1、数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题.动手操作：如图1，在直角三角形纸片ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8.将三角形纸片ABC 进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片 ABC 使点 C 与点 A 重合，然后展开铺平，得到折痕 DE ；第二步：将△ABC 沿折痕 DE 展开，然后将△DEC 绕点 D 逆时针方向旋转得到△DFG ，点 E ，C 的对应点分别是点 F ，G ，射线 GF 与边 AC 交于点 M(点 M 不与点 A 重合)，与边 AB 交于点 N ，线段 DG 与边 AC 交于点 P.数学思考：（1）求 DC 的长；（2）在△DEC 绕点 D 旋转的过程中，试判断 MF 与 ME 的数量关系，并证明你的结论；问题解决：（3）在△DEC 绕点 D 旋转的过程中，探究 下列问题：① 如图 2，当 GF ∥BC 时，求 AM 的长；② 如图 3，当 GF 经过点 B 时，AM 的长为③ 当△DEC 绕点 D 旋转至 DE 平分∠FDG 的位置时，试在图 4 中作出此时的△DFG 和射线 GF ，并直接写出 AM 的长（要求：尺规作图 ，不写作法，保留 作图痕迹，标记出所有相应的字母）2．（2016内蒙古包头市）如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB =90°，AC =4，BC =3，E 、F 分别是AC 、AB 边上点，连接EF ．（1）图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF =3S △EDF ，求AE 的长；（2）如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使M F ∥CA ． ①试判断四边形AE M F 的形状，并证明你的结论；②求EF 的长；（3）如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN =1，CE =47，求AFBF 的值．3．如图1，四边形的对角线相交于点，，，，.（1）填空：与的数量关系为；（2）求的值；（3）将沿翻折，得到（如图2），连接，与相交于点.若，求的长.4．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝7，点P是边AC上不与点A、C重合的一点，作PD∥BC交AB边于点D．（1）如图1，将△APD沿直线AB翻折，得到△AP'D，作AE∥PD．求证：AE＝ED；（2）将△APD绕点A顺时针旋转，得到△AP'D'，点P、D的对应点分别为点P'、D'，①如图2，当点D'在△ABC内部时，连接P′C和D'B，求证：△AP'C∽△AD'B；②如果AP：PC＝5：1，连接DD'，且DD'＝√2AD，那么请直接写出点D'到直线BC的距离．专题4：折叠问题【典例引领】例：如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（3）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（4）（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【答案】（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；证明见解答．【分析】（1）由折叠可得AB=AB′，BE=B'E，再根据四边形ABCD是正方形，易证B'E=B'F，即可证明DF+BE=AF；（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；证明图（2）：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，根据CB∥AD，得∠AEB=∠EAD，即可得出∠B′AE=∠DAG，则∠GAF=∠DAE，则∠AGD=∠GAF，即可得出答案BE+DF=AF．【解答】解：（1）由折叠可得AB=AB′，BE=B'E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DC=DF，∠CB'E=45°，∴B'E=B'F，∴AF=AB'+B'F，即DF+BE=AF；（5）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；图（2）的证明：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，∵CB∥AD，∴∠AEB=∠EAD，∵∠BAE=∠B'AE，∴∠B'AE=∠DAG，∴∠GAF=∠DAE，∴∠AGD=∠GAF，∴GF=AF，∴BE+DF=AF；图（3）的证明：在BC上取点M，使BM=DF，连接AM，需证△ABM≌△ADF，∴∠BAM=∠FAD，AF=AM ∵ΔABE≌AB'E∴∠BAE=∠EAB′，∴∠MAE=∠DAE，∵AD∥BE，∴∠AEM=∠DAE，∴∠MAE=∠AEM，∴ME=MA=AF，∴BE﹣DF=AF．【强化训练】1、数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题.动手操作：如图1，在直角三角形纸片ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8.将三角形纸片ABC 进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC 使点C 与点A 重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：将△ABC 沿折痕DE 展开，然后将△DEC 绕点D 逆时针方向旋转得到△DFG，点E，C 的对应点分别是点F，G，射线GF 与边AC 交于点M(点M 不与点A 重合)，与边AB交于点N，线段DG 与边AC 交于点P.数学思考：（1）求DC 的长；（2）在△DEC 绕点D 旋转的过程中，试判断MF 与ME 的数量关系，并证明你的结论；问题解决：（3）在△DEC 绕点D 旋转的过程中，探究下列问题：①如图2，当GF∥BC 时，求AM 的长；②如图3，当GF 经过点B 时，AM 的长为③当△DEC 绕点D 旋转至DE 平分∠FDG 的位置时，试在图 4 中作出此时的△DFG 和射线GF，并直接写出AM 的长（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标记出所有相应的字母）【答案】(1) DC＝5;(2)相等，理由见解析；（3）①AM＝3；②AM＝74；③AM＝10 3√5【分析】（1）理由勾股定理求出BC即可解决问题．（2）结论：MF=ME．证明Rt△DMF≌Rt△DME（HL），即可解决问题．（3）①如图2中，作AH⊥BC于H，交FG于K．由KM∥CH，推出AK AH =AMAC，求出AK，AH即可解决问题．②证明BM=MC，设BM=MC=x，在Rt△ABM中，根据BM2=AB2+AM2，构建方程即可解决问题．③尺规作图如图4-1所示．作DR平分∠CDF，在DR上截取DG=DC，分别以D，G为圆心，DE，CE为半径画弧，两弧交于点F，△DFG即为所求．如图4-1中，连接DM，设DG交AC于T，作TH⊥CD于H，作DK平分∠CDG交TH于K，作KJ⊥DG于J．易证△DEM≌△DHK（AAS），推出EM=HK，只要求出HK即可．【解答】解：（1）如图1中，∵DE⊥AC，∴∠DEC=∠A=90°，∴DE∥AB，∵AE=EC，∴BD=DC，在Rt△ABC中，∵AB=6，AC=8，∴BC=√AB2+BC2=√62+82=10，∴CD=12BC=5．（2）结论：MF=ME．理由：如图1中，连接DM，∵∠DFM=∠DEM=90°，DM=DM，DF=DE，∴Rt△DMF≌Rt△DME（HL），∴MF=ME．（3）①如图2中，作AH⊥BC于H，交FG于K．易知AH=AB⋅ACBC =245，四边形DFKH是矩形，∴DF=KH=3，∴AK=AH-KH=95，∵KM∥CH，∴AKAH =AMAC，∴95245=AM8，∴AM=3．②如图3中，∵DG=DB=DC，∴∠G=∠DBG，∵∠G=∠C ，∴∠MBC=∠C ，∴BM=MC ，设BM=MC=x ，在Rt △ABM 中，∵BM 2=AB 2+AM 2，∴62+（8-x ）2=x 2，∴x=254∴AM=AC-CM=8-254=74．故答案为74.③尺规作图如图4-1所示．作DR 平分∠CDF ，在DR 上截取DG=DC ，分别以D ，G 为圆心，DE ，CE 为半径画弧，两弧交于点F ，△DFG 即为所求．如图4-1中，连接DM ，设DG 交AC 于T ，作TH ⊥CD 于H ，作DK 平分∠CDG 交TH 于K ，作KJ ⊥DG 于J ．易证△DEM ≌△DHK （AAS ），推出EM=HK ，只要求出HK 即可．∵TE ⊥DE ，TH ⊥DC ，DG 平分∠CDE ，∴TE=TH ，设TE=TH=x ，在Rt △TCH 中，x 2+22=（4-x ）2，∴x=32， ∴DT =√32+(32)2=32√5， ∵DK 平分∠CDT ，KJ ⊥DT ，KH ⊥CD ，∴KJ=KH ，设KJ=KH=y ，在Rt △KTJ 中，y 2+(32√5−3)2=(32−y)2∴y =3√5−6，∴EM=3√5−6∴AM =AE −EM =4−(3√5−6)=10−3√5．2．（2016内蒙古包头市）如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB =90°，AC =4，BC =3，E 、F 分别是AC 、AB 边上点，连接EF ．（1）图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF =3S △EDF ，求AE 的长；（2）如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使M F ∥CA ． ①试判断四边形AE M F 的形状，并证明你的结论； ②求EF 的长；（3）如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN =1，CE =47，求AFBF的值．【答案】（1）52；（2）①四边形AE M F 为菱形；②4√109；（3）32． 【分析】试题分析：（1）先利用折叠的性质得到EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，则S △AEF ≌S △DEF ，则易得S △ABC =4S △AEF ，再证明Rt △AEF ∽Rt △ABC ，然后根据相似三角形的性质得到=（）2，再利用勾股定理求出AB即可得到AE 的长；（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF 为菱形；②连结AM 交EF 于点O ，如图②，设AE=x ，则EM=x ，CE=4﹣x ，先证明△CME ∽△CBA 得到==，解出x 后计算出CM=，再利用勾股定理计算出AM ，然后根据菱形的面积公式计算EF ；（3）如图③，作FH ⊥BC 于H ，先证明△NCE ∽△NFH ，利用相似比得到FH ：NH=4：7，设FH=4x ，NH=7x ，则CH=7x ﹣1，BH=3﹣（7x ﹣1）=4﹣7x ，再证明△BFH ∽△BAC ，利用相似比可计算出x=，则可计算出FH 和BH ，接着利用勾股定理计算出BF ，从而得到AF 的长，于是可计算出的值．【解答】（1）如图①，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，∴S△AEF≌S△DEF，∵S四边形ECBF=3S△EDF，∴S△ABC=4S△AEF，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，∵∠EAF=∠BAC，∴Rt△AEF∽Rt△ABC，∴=（）2，即（）2=，∴AE=；（2）①四边形AEMF为菱形．理由如下：如图②，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，∵MF∥AC，∴∠AEF=∠MFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=EM=MF=AF，∴四边形AEMF为菱形；②连结AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，∵四边形AEMF为菱形，∴EM∥AB，∴△CME∽△CBA，∴==，即==，解得x=，CM=，在Rt△ACM中，AM===，∵S菱形AEMF=EF•AM=AE•CM，∴EF=2×=；（6）如图③，作FH⊥BC于H，∵EC∥FH，∴△NCE∽△NFH，∴CN：NH=CE：FH，即1：NH=：FH，∴FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，∵FH∥AC，∴△BFH∽△BAC，∴BH：BC=FH：AC，即（4﹣7x）：3=4x：4，解得x=，∴FH=4x=，BH=4﹣7x=，在Rt△BFH中，BF==2，∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3，∴=．3．如图1，四边形的对角线相交于点，，，，.（1）填空：与的数量关系为；（2）求的值；（3）将沿翻折，得到（如图2），连接，与相交于点.若，求的长.【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2）；（3）1.【分析】（1）在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°；（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出，可得，可得4y2+2xy﹣x2=0，即，求出的值即可解决问题；（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得，可得，即，由此即可解决问题；【解答】（1）如图1中，在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠ABD+∠ADB=∠ACB，∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案为∠BAD+∠ACB=180°．（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴，∴，∴4y2+2xy﹣x2=0，∴，∴（负根已经舍弃），∴．（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，∵△EAD ∽△ACB ，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C ， ∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D ∥BC ， ∴△PA′D ∽△PBC ，∴，∴，即∴PC=1．4．Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝7，点P 是边AC 上不与点A 、C 重合的一点，作PD ∥BC 交AB 边于点D ．（1）如图1，将△APD 沿直线AB 翻折，得到△AP 'D ，作AE ∥PD ．求证：AE ＝ED ； （2）将△APD 绕点A 顺时针旋转，得到△AP 'D '，点P 、D 的对应点分别为点P '、D '， ①如图2，当点D '在△ABC 内部时，连接P ′C 和D 'B ，求证：△AP 'C ∽△AD 'B ；②如果AP ：PC ＝5：1，连接DD '，且DD '＝√2AD ，那么请直接写出点D '到直线BC 的距离．【答案】(1)见解析；（2）①见解析；②点D '到直线BC 的距离为176或536 【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质可得∠EAD ＝∠ADP ＝∠ADP '，即可得AE ＝DE ；（2）①由题意可证△APD ∽△ACB ，可得APAC =ADAB ，由旋转的性质可得AP ＝AP '，AD ＝AD '，∠PAD ＝∠P 'AD '，即∠P 'AC ＝∠D 'AB ，，则△AP 'C ∽△AD 'B ；②分点D '在直线BC 的下方和点D '在直线BC 的上方AP′AC =AD′AB两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求PD ＝356，通过证明△AMD '≌△DPA ，可得AM ＝PD ＝356，即可求点D '到直线BC 的距离．【解答】证明：（1）∵将△APD 沿直线AB 翻折，得到△AP 'D ， ∴∠ADP '＝∠ADP ， ∵AE ∥PD ， ∴∠EAD ＝∠ADP ， ∴∠EAD ＝∠ADP '， ∴AE ＝DE（2）①∵DP ∥BC ，∴△APD∽△ACB，∴APAC =ADAB，∵旋转，∴AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，∴∠P'AC＝∠D'AB，AP′AC =AD′AB，∴△AP'C∽△AD'B②若点D'在直线BC下方，如图，过点A作AF⊥DD'，过点D'作D'M⊥AC，交AC的延长线于M，∵AP：PC＝5：1，∴AP：AC＝5：6，∵PD∥BC，∴APAC =PDBC=56，∵BC＝7，∴PD＝356，∵旋转，∴AD＝AD'，且AF⊥DD'，∴DF＝D'F＝12D'D，∠ADF＝∠AD'F，∵cos∠ADF＝DFAD ＝12D′DAD=√22ADAD√22，∴∠ADF＝45°，∴∠AD'F＝45°，∴∠D'AD＝90°∴∠D'AM+∠PAD＝90°，∵D'M⊥AM，∴∠D'AM+∠AD'M＝90°，∴∠PAD＝∠AD'M，且AD'＝AD，∠AMD'＝∠APD，∴△AD'M≌△DAP（AAS）∴PD＝AM＝356，∵CM＝AM﹣AC＝356﹣3，∴CM ＝176，∴点D '到直线BC 的距离为176若点D '在直线BC 的上方，如图，过点D '作D 'M ⊥AC ，交CA 的延长线于点M ，同理可证：△AMD '≌△DPA ， ∴AM ＝PD ＝356，∵CM ＝AC +AM ， ∴CM ＝3+356＝356，∴点D '到直线BC 的距离为356综上所述：点D '到直线BC 的距离为176或536；。

八年级数学几何折叠问题专项练习题

八年级数学几何折叠问题专项练习题

八年级数学几何折叠问题专项练习题如图，矩形纸片ABCD 中，AD =4cm ，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，AE 交DC 于点O ，若AO =5cm ，则AB 的长为（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm【答案】C ．如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（　D ）A ．2B ．54C ．53D ．75如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为60,2AFG GE BG ∠==，则折痕EF 的长为（ C ）A ．1B C. 2 D ．如图，正方形ABCD 中，AD =4，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 的中点，则△EMN 的周长是 ．如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，1BC =+，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ∆为直角三角形，则BM 的长为 ．【答案】1.如图，在矩形CD AB 中，将C ∠AB 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，C B 的对应边C ''B 交CD 边于点G ．连接'BB 、CC '，若D 7A =，CG 4=，G ''AB =B ，则CC '='BB （结果保留根号）．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么cos ∠EFC 的值是 ．【答案】35.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，点M 是AD 边的中点，连接MC ，将菱形ABCD 翻折，使点A 落在线段CM 上的点E 处，折痕交AB 于点N ，则线段EC 的长为　﹣1　．在三角形纸片ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，点D （不与B ，C 重合）是BC 上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF 的长度为a ，则△DEF 的周长为　3a （用含a 的式子表示）．如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB =3，点E 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B ′处，过点B ′作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于点M ，N ．当点B ′为线段MN 的三等分点时，BE 的长为　或　．如图，1，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F .(1)求证：BDF △是等腰三角形；(2)如图2，过点D 作DG BE ∥，交BC 于点G ，连结FG 交BD 于点O .①判断四边形BFDG 的形状，并说明理由；②若6AB =，8AD =，求FG 的长.【答案】(1)证明见解析;(2)152．【解析】试题分析: （1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；（2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．试题解析：（1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，又AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∴∠DBE=∠ADB，∴DF=BF，∴△BDF是等腰三角形；（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG，又∵FD∥BG，∴四边形BFDG是平行四边形，∵DF=BF，∴四边形BFDG是菱形；②∵AB=6，AD=8，∴BD=10．∴OB=12BD=5．假设DF=BF=x，∴AF=AD﹣DF=8﹣x．∴在直角△ABF中，AB2+A2=BF2，即62+（8﹣x）2=x2，解得x=25 4，即BF=25 4，∴FO==15 4，∴FG =2FO =152．如图1，将ABC ∆纸片沿中位线EH 折叠，使点A 的对称点D 落在BC 边上，再将纸片分别沿等腰BED ∆和等腰DHC ∆的底边上的高线EF ，HG 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将ABCD 纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段_____，_____；:ABCD AEFG S S = 形形______.(2)ABCD 纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ，若5EF =，12EH =，求AD 的长．(3)如图4，四边形ABCD 纸片满足,,,8,10AD BC AD BC AB BC AB CD <⊥== ．小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出,AD BC 的长．【答案】（1）（1）AE ；GF ；1:2；（2）13；（3）按图1的折法，则AD =1，BC =7；按图2的折法，则AD =134 ,BC =374.【解析】试题分析：（1）由图2观察可得出答案为AE ,GF ,由折叠的轴对称性质可得出答案为1：2；（2）由EF 和EH 的长度根据勾股定理可求出FH 的长度，再由折叠的轴对称性质易证△AEH ≌△CGF ；再根据全等三角形的性质可得出AD 的长度；（3）由折叠的图可分别求出AD 和BC 的长度.（3）解：本题有以下两种基本折法，如图1，图2所示.按图1的折法，则AD=1，BC=7.按图2的折法，则AD=134,BC=374.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为▲．【答案】16或如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为▲．【答案】245.如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF =（ ）A ．B ．C ． D．【答案】D .如图，在矩形ABCD 中，AB 4AD 6==形,E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△'EB F ,连接'B D ‘,则'B D ‘的最小值是（ A ）A . 2- B .6 C .2 D .4如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB =1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF =（　B　）[A ．B ．C ．D ．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，E 为CD 上一点，分别以EA ，EB 为折痕将两个角（∠D ，∠C ）向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处．若AD=2，BC =3，则EF 的长为 ．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC 上的点F处.若点D的坐标为(10,8），则点E的坐标为.【答案】（10,3）。

折叠问题专练---由折叠求最值(含答案)

折叠问题专练---由折叠求最值(含答案)

由折叠求最值1．如图，正方形ABCD边长为2，E为AB边的中点，点F是BC 边上一个动点，把△BEF沿EF向形内部折叠，点B的对应点为B′，当B′D的长最小时，BF长为（）A ．B ．﹣1C ．D ．【分析】如图，当E．B′、D共线时，DB′最小，此时DB′=ED ﹣EB′=ED﹣EB，先求出DB′，设BF=x，再根据DF2=DB′2+B′F2=CD2+CF2，列出方程即可解决．【解答】解；如图，当E．B′、D共线时，DB′最小，此时DB′=ED﹣EB′=ED﹣EB．在RT△AED中，∵AD=2，AE=1，∴DE==，∴DB′=DE=EB=﹣1．设BF=x，∵DF2=DB′2+B′F2=CD2+CF2，∴x2+（﹣1）2=22+（2﹣x）2，∴x=．故选：D．2．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD、AD上，则AP+PQ 最小值为．【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长，可得出答案..【解答】解：设BE=x，则DE=3x，∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，∴AE2=BE•DE，即AE2=3x2，∴AE=x，在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB2=AE2+BE2，即32=（x）2+x2，解得x=，∴AE=，DE=，BE=，∴AD=3，如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，则A′A=2AE=3=AD=A′D∴△AA′D是等边三角形，∵PA=PA′，∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小，又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=，故答案是：．3．如图，Rt△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，∠C=90°，AD平分∠BAC，点E为AC上一点，且AE=3CE，在AC上找一点F，AD上找一点P，连接EP、FP，则EP+FP的最小值为 3.6．【分析】如图，作EH⊥AB于H，交AD于G，作F关于AD的对称点F′，连接PF′．因为PF+PE=PE+PF′，根据垂线段最短可知，当F′与H重合，P与G重合时，PE+PF′最短．【解答】解：如图，作EH⊥AB于H，交AD于G，作F关于AD的对称点F′，连接PF′．∵PF+PE=PE+PF′，根据垂线段最短可知，当F′与H重合，P与G重合时，PE+PF′最短．在Rt△ABC中，AC===8，∵AE=3EC，∴AE=6，∵∠EAH=∠BAC，∠EHA=∠C=90°，∴△AEH∽△ABC，∴=，∴=，∴EH=3.6，∴PF+PE的最小值为3.6．故答案为3.6．4．如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=4，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM，射线BN交线段CD于点F，则DF的最大值为（）A ．B ．C ．D．2 【分析】过点A作AH⊥BF于点H，如图1所示：根据矩形的性质得到AB∥DC，由相似三角形的性质得到，推出当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图2所示：由折叠性质得：AD=AH，等量代换得到AH=BC，根据全等三角形的性质得到CF=BH，由勾股定理求得BH==3，即可得到结论．【解答】解：过点A作AH⊥BF于点H，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC，∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴，∵AH≤AN=4，AB=5，∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图2所示：由折叠性质得：AD=AH，∵AD=BC，∴AH=BC，在△ABH和△BFC中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH，由勾股定理得：BH==3，∴DF的最大值=DC﹣CF=2．故选：D．5．如图，在菱形ABCD中，AB=16，∠B=60°，P是AB上一点，BP=10，Q是CD边上一动点，将四边形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，则CQ的长为（）A．10 B．12 C．13 D．14【分析】由A′P=6可知点A′在以P为圆心以PA′为半径的弧上，故此当C，P，A′在一条直线上时，CA′有最小值，过点C作CH⊥AB，垂足为H，先求得BH、HC的长，则可得到PH的长，然后再求得PC的长，最后依据折叠的性质和平行线的性质可证明△CQP为等腰三角形，则可得到QC的长．【解答】解：如图所示：过点C作CH⊥AB，垂足为H．在Rt△BCH中，∠B=60°，BC=16，则BH=BC=8，CH=sin60°•BC=×16=8．∴PH=2．在Rt△CPH中，依据勾股定理可知：PC==14．由翻折的性质可知：∠APQ=∠A′PQ．∵DC∥AB，∴∠CQP=∠APQ．∴∠CQP=∠CPQ．∴QC=CP=14．故选：D．6．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，动点F在边BC上，且不与点B、C重合，将△EBF沿EF折叠，得到△EB′F．（1）当∠BEF=45°时，求证：CF=AE；（2）当B′D=B′C时，求BF的长；（3）求△CB′F周长的最小值．【分析】（1）如图1中，当∠BEF=45°时，易知四边形BEB′F是正方形，推出BF=BE，由AB=BC，即可证明CF=AE=3．（2）如图2中，作B′N⊥BC于N，NB′的延长线交AD于M，作EG⊥MN于G，则四边形MNCD、四边形AEGM都是矩形．由△B′MD≌△B′CN，推出B′M=B′N=8，由AE=MG=3，推出GB′=5，在Rt△EGB′中，EG===12，由△EGB′∽△B′NF ，推出=，由此即可解决问题．（3）如图3中，以E为圆心EB为半径画圆，在Rt△EBC中，∠EBC=90°，EB=13，BC=16，推出EC==5，由△CFB′的周长=CF+FB′+CB′=BF+CF+CB′=BC+CB′=16+CB′，所以欲求△CFB′的周长的最小值，只要求出CB′的最小值即可，因为CB′+EB′≥EC，所以E、B′、C共线时，CB′的值最小．【解答】（1）证明：如图1中，当∠BEF=45°时，易知四边形BEB′F是正方形，∴BF=BE，∵AB=BC，∴CF=AE=3．（2）解：如图2中，作B′N⊥BC于N，NB′的延长线交AD于M，作EG⊥MN于G，则四边形MNCD、四边形AEGM都是矩形．∵B′D=B′C，∴∠B′DC=∠B′CD，∵∠ADC=∠BCD=90°，∴∠B′DM=∠B′CN，∵∠B′MD=∠B′NC=90°，∴△B′MD≌△B′CN，∴B′M=B′N=8，∵AE=MG=3，∴GB′=5，在Rt△EGB′中，EG===12，∵∠EB′G+∠FB′N=90°，∠FB′N+∠B′FN=90°，∴∠EB′G=∠B′FN，∵∠EGB′=∠FNB′=90°，∴△EGB′∽△B′NF，∴=，∴=，∴BF=B′F=．（3）解：如图3中，以E为圆心EB为半径画圆，在Rt△EBC中，∠EBC=90°，EB=13，BC=16，∴EC==5，∵△CFB′的周长=CF+FB′+CB′=BF+CF+CB′=BC+CB′=16+CB′，∴欲求△CFB′的周长的最小值，只要求出CB′的最小值即可，∵CB′+EB′≥EC，∴E、B′、C共线时，CB′的值最小，CB′最小值为5﹣13．∴△CFB′的周长的最小值为3+5．7．问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．探究：请您结合图2给予证明，归纳：圆外一点到圆上各点的最短距离是：这点到连接这点与圆心连线与圆交点之间的距离．图中有圆，直接运用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P 是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是﹣1．图中无圆，构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．解：由折叠知A′M=AM，又M是AD的中点，可得MA=MA'=MD，故点A'在以AD为直径的圆上．如图5，以点M为圆心，MA为半径画⊙M，过M作MH⊥CD，垂足为H，（请继续完成下列解题过程）迁移拓展，深化运用：如图6，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是﹣1．【分析】探究：在⊙O上任取一点C（不为点A、B），连接PC、OC，证得PA＜PC即可得到PA是点P到⊙O上的点的最短距离；图中有圆，直接运用：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可；图中无圆，构造运用：根据题意得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可；迁移拓展，深化运用：根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．【解答】解：探究：如图2，在⊙O上任取一点C（不为点A、B），连接PC、OC．∵PO＜PC+OC，PO=PA+OA，OA=OC，∴PA＜PC，∴PA是点P到⊙O上的点的最短距离．（3分）图中有圆，直接运用：解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，∵AE==，P2E=1，∴AP2=﹣1．故答案为：﹣1；图中无圆，构造运用：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=MD=，∴FM=DM×cos30°=，∴MC==，∴A′C=MC﹣MA′=﹣1．故答案为：﹣1．迁移拓展，深化运用：解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1=∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°﹣90°=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH=AO=AB=1，在Rt△AOD中，OD===，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值=OD﹣OH=﹣1．8．问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．（1）探究：如图2，在⊙O上任取一点C（不为点A、B重合），连接PC、OC．试证明：PA＜PC．（2）直接运用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P 是上的一个动点，连接AP，则AP 的最小值是﹣1．（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′B长度的最小值．解：由折叠知A′M=AM，又M是AD的中点，可得MA=MA′=MD，故点A′在以AD为直径的圆上．（请继续完成解题过程）（4）综合应用：（下面两小题请选择其中一道完成）①如图5，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是﹣1．②如图6，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于﹣3．【分析】（1）利用三角形三边关系结合圆的性质得出答案；（2）直接利用勾股定理得出AO长，进而得出答案；（3）利用已知点A′在以AD为直径的圆上，得出当点A′在BM 上时，A′B长度取得最小值，进而得出BM的长，即可得出答案；（4）①根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小；②作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN 最小，再利用对称确定A′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出A′B的长，然后用A′B的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小值．【解答】（1）证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不为点A、B），连接PC、OC．∵PO＜PC+OC，PO=PA+OA，OA=OC，∴PA＜PC，∴PA是点P到⊙O上的点的最短距离；（2）解：连接AO与⊙O相交于点P，如图3，由已知定理可知，此时AP最短，∵∠ACB=90°，AC=BC=2，BC为直径，∴PO=CO=1，∴AO==，∴AP=﹣1，故答案为：﹣1；（3）解：如图4，由折叠知A′M=AM，又M是AD的中点，可得MA=MA′=MD，故点A′在以AD为直径的圆上，由模型可知，当点A′在BM上时，A′B长度取得最小值，∵边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，∴BM==，故A′B 的最小值为：﹣1；（4）①解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1=∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°﹣90°=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH=AO=AB=1，在Rt△AOD中，OD==，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值=OD﹣OH=﹣1．故答案为：﹣1；②解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图6，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（﹣2，3），∴点A′坐标（﹣2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B==，∴MN=A′B﹣BN﹣A′M=﹣2﹣1=﹣3，∴PM+PN 的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．。

折叠练习(50道含解析)

折叠练习(50道含解析)

折叠练习（50 道含解析）一．填空题（共50 小题）1．如图，在△ABC 中，CA＝3，CB＝4，AB＝5，点D 是BC 的中点，将△ABC 沿着直线EF 折叠，使点A 与点D 重合，折痕交AB 于点E，交AC 于点F，那么sin∠BED 的值为．2．如图，矩形ABCD中，P为AB上一动点（P与A，B不重合），将△BPC沿CP翻折至△B1PC，BP1 与AD 相交于点E，CB1 与AD 相交于点F，连接BB1 交AD 于Q，若EQ ＝8，QF＝5，BC＝20，则B1F 的长＝，折痕CP 的长＝．3．如图，正方形纸片ABCD 沿直线BE 折叠，点C 恰好落在点G 处，连接BG 并延长，交CD于点H，延长EG交AD于点F，连接FH．若AF＝FD＝6cm，则FH的长为cm．4．如图，已知D 是等边△ABC 边AB 上的一点，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF，点E、F 分别在AC 和BC 上，如果AD：DB＝1：2，则CE：CF 的值为．5．如图，在矩形ABCD 中，AB：BC＝3：4，点E 是对角线BD 上一动点（不与点B，D 重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A，B的对应点G，F分别在直线AD与BC 上，当△DEF 为直角三角形时，CN：BN 的值为．6．如图，已知正方形ABCD 的边长为6，E 为BC 的中点，将△ABE 沿直线AE 折叠后，点B 落在点F 处，AF 交对角线BD 于点G，则FG 的长是．7．如图，在正方形ABCD 中，E，F 分别为BC，CD 的中点，连接AE，BF 交于点G，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF，延长FP 交BA 延长于点Q，若，则AE的值为．8．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 为BC 的中点，点F 在AB 上，AF＝2BF，点G 是AD 边上一点，将△CDE 沿DE 折叠得△C′DE，将△AFG 沿FG 折叠，点A 的对应点A′刚好落在DC′上，则cos∠DA′G＝．9．四边形ABCD 中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝5，AD＝8，P 是AD 边上的一点，连结PC，将△ABP 沿直线BP 对折得到△A'BP，A'点恰好落在线段PC 上，当∠BCP＝∠D 时，△PBC 的面积为．10．如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折，使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交BM 于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE 的长等于．11．如图，在矩形ABCD 中，点N 为边BC 上不与B、C 重合的一个动点，过点N 作MN⊥ BC 交AD 于点M，交BD 于点E，以MN 为对称轴折叠矩形ABNM，点A、B 的对应点分别是G、F，连接EF、DF，若AB＝6，BC＝8，当△DEF 为直角三角形时，CN 的长为．12．如图，在四边形ABCD 中，∠C+∠D＝210°，E、F 分别是AD，BC 上的点，将四边形CDEF 沿直线EF 翻折，得到四边形C′D′EF，C′F 交AD 于点G，若△EFG 有两个角相等，则∠EFG °．13．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若BC＝4，BG＝3，则GE的长为．14．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点D，E 分别在AC，BC 上，且∠CDE＝∠B，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处，CF 与DE 交于点G．下列结论：①AB＝2CF；②若∠ABC＝50°，则∠AFD＝60°；③若AB＝4，则DG•GE＝1；④若AC＝4，BC＝3，则其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）15．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，CD 是△ABC 的中线，E 是AC 上一动点，将△AED 沿ED 折叠，点A 落在点F 处，EF 线段CD 交于点G，若△CEG 是直角三角形，则CE＝．16．如图，在菱形ABCD 中，tan A＝，M，N 分别在边AD，BC 上，将四边形AMNB 沿MN 翻折，使AB 的对应线段EF 经过顶点D，延长NF 交DC 于点H，当EF⊥AD 时，的值为．17．如图，菱形ABCD 的边长为6，∠A＝60°，点O 在AB 上，且BO＝2，点P 是CD 上一动点，将四边形BCPO 沿直线OP 折叠，点B 的对应点是E，连接DE，当DE 的长度最小时，CP 的长为．18．如图在等边△ABC 中，D、E 分别是BC、AC 上的点，且AE＝CD，AD 与BE 相交于F，CF⊥BE．将△ABF 沿AB 翻折，得△ABG，M 为BF 中点，连接GM，若AF＝2，则△BGM 的面积为．19．已知，如图，在矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝12，点E 为线段AB 上一动点（不与点A、点B重合），先将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H，若折叠后，点B 的对应点F 落在矩形ABCD 的对称轴上，则AE 的长是．20．如图，在菱形ABCD 中，M，N 分别在边AD，BC 上，将四边形AMNB 沿MN 翻折，使AB 的对应线段EF 经过顶点D，当EF⊥AD 时的值为．21．已知正方形ABCD 中，AC、BD 交于点＝，连AE，将△ADE 沿AD 翻折，得△ADE′，点F 是AE 的中点，连CF、DF、E′F．若，则四边形CDE′F 的面积是．22．如图：菱形ABCD 中，点E 在边AB 上，将△BCE 沿CE 折叠，点B 对应点为点F 恰好使CF⊥AD，点P 为CD 边上一点，直线BA，PF 交于点G，若，BE＝5，DP＝2，则AG 的长为．23．如图，已知菱形ABCD 中，∠B＝60°，E，F 分别为边AD，边BC 上一点，将四边形ABFE沿EF折叠得四边形EFGH，若GH⊥BC，垂足为点I，DE+CF＝AB，则＝．24．如图，在菱形ABCD 中，AB＝2，∠BAD＝120°，点E，F 分别是边AB，BC 上的动点，沿EF 所在直线折叠△BEF，使点B 的对应点B'始终落在边CD 上，则点A，E 间的距离d 的取值范围是．25．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，tan D＝，点E在BC上运动（不与B，C重合），将四边形AECD 沿直线AE 翻折后，点C 落在C′处，点D′落在D 处，C′D′与AB 交于点F，当C′D'⊥AB 时，CE 长为．26．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在CD 边上，DE＝2，连接BE，F 是BE 边上的一点，过点F 作FG⊥AB 于G，连接DG，将△ADG 沿DG 翻折的△PDG，设EF＝x，当P落在△EBC内部时（包括边界），x的取值范围是．27．在边长为的正方形ABCD 中，点E 是边CD 上一点，连接AE，过点D 作DM⊥AE于点M，连接MC．把△DMC 沿DM 翻折，点C 的对应点为C′，DC′交AE 于点P，连接AC'、BC′，已知S△ABC′＝1，则△PMC'的周长为．28．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为对角线AC 上一点，连接DE，作EF⊥DE 交BC 于点F，且，把△ADE 沿DE 翻折得到△A′DE，边A′D 交EF、AC 分别于点G、H，则△A′FG 的面积为．29．如图，等腰Rt△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以BC 为底边作等腰△DCB，DC ＝DB，CD 与AB 交于E，将△DCB 沿DC 折叠，点B 落到点F 处，连接FD 刚好经过点A，连接FB，分别交AC 于G，交CD 于H．在下列结论中：①∠CBG＝30°；②△FDB 是等腰直角三角形；③FA＝FG；CG．其中正确的结论有．（填写所有正确的序号）．30．如图，平行四边形ABCD 中，多点B 作BE⊥AD 于点E，过点E 作EF⊥AB 于点F，与CD 的延长线交于点G，连接BG，且BE＝BC，BG＝5 ，∠BGF＝45°，EG＝3，若点M是线段BF上的一个动点，将△MEF沿ME所在直线翻折得到△MEF′，连接CF′，则CF′长度的最小值是．31．如图，四边形ABCD 是矩形纸片，AB＝2．对折矩形纸片ABCD，使AD 与BC 重合，折痕为EF；展平后再过点B 折叠矩形纸片，使点A 落在EF 上的点N，折痕BM 与EF 相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN 交BC 于点G．有如下结论：①∠ABN＝60°；②AM＝1；③AB⊥CG；④△BMG 是等边三角形；⑤P 为线段BM 上一动点，H 是BN 的中点，则PN+PH 的最小值．其中正确结论的序号是．32．在直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC在坐标轴上，已知B（4，2），M、N分别是边OC、OA 上的点．将△OMN 沿着直线MN 翻折，点O 的对应点是O′．若O′落在△OAC 内部，过O′作平行于x 轴的直线交CO 于点E，交AC 于点F，若O′是EF 的中点，则O′横坐标x 的取值范围为．33．如图，把正方形纸片对折得到矩形ABCD，点E 在BC 上，把△ECD 沿ED 折叠，使点C 恰好落在AD 上点C′处，点M、N 分别是线段AC′与线段BE 上的点，把四边形ABNM沿NM 向下翻折，点A 落在DE 的中点A′处．若原正方形的边长为12，则线段MN 的长为．34．如图，一张矩形纸片ABCD 中，AB＝3，BC＝6，点E、F 分别在边AD、BC 上，将纸片ABCD 折叠，折痕为EF，使点C 落在边AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分∠DCH；③线段BF 的取值范围≤BF≤3；④当点H与点A重合时，EF＝．以上结论中，正确的是．（填序号）．35．已知如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，连结BE，将△ABE 沿着BE 翻折得到△FBE，EF 交BC 于点H，延长BF、DC 相交于点G，若DG＝16，BC＝24，则FH ＝．36．在矩形ABCD 中，AB＝3，点P 在对角线AC 上，直线l 过点P，且与AC 垂直交AD 边于点E．（1）如图1，若直线l 过点B，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心O 重合，求BC 的长；（2）如图2，若直线l 与AB 相交于点F 且AC，设AD 的长为x，五边形BCDEF 的面积为S，①求S 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；②探索：是否存在这样的x，使得以A 为圆心，以长为半径的圆与直线l 相切？若存在，请求出x 的值若不存在，请说明理由．37．如图，在正方形ABCD 中，AD＝6，点E 是对角线AC 上一点，连接DE，过点E 作EF ⊥ED，连接DF 交AC 于点G，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM．连接DM．交EF 于点N．若AF＝2．则△EMN 的面积是．38．如图，有一直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，CD⊥AB 于点D．F，G 分别是线段AD，BD 上的点，H，Ⅰ分别是线段AC，BC 上的点，沿HF，GI 折叠，使点A，B 恰好都落在线段CD 上的点E 处．当FG＝EG 时，AF 的长是．39．如图，把矩形ABCD 沿EF，GH 折叠，使点B，C 落在AD 上同一点P 处，∠FPG＝90°，△A′EP 的面积是，△D′PH 的面积是，则矩形ABCD 的面积等于．40．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D 为斜边AB 上的一点，连接CD，将△BCD 沿CD 翻折，使点B 落在点E 处，点F 为直角边AC 上一点，连接DF，将△ ADF 沿DF 翻折，点A 恰好与点E 重合．若DC＝5，则AF＝．41．如图，矩形纸片ABCD 中，AB＝8cm，BC＝12cm，将纸片沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的A′处，折痕分别交边AB、AD 于点F、E，且AF＝5．再将纸片沿EH 折叠，使点D落在线段EA′上的D′处，折痕交边CD于点H．连接FD'，则FD'的长是cm．42．如图，在矩形ABCD 中，AB＝3，点E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 所在直线翻折，得到△AFE，点F 恰好是BC 的中点，M 为AF 上一动点，作MN⊥AD 于N，则BM+AN 的最小值为．43．如图，矩形ABCD 与菱形EFGH 的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C 与点O 重合，折痕MN 恰好过点G，，EF＝2，∠H＝120°，则DN 的长为．44．如图，在▱ABCD 中，AB＝6，BC＝6 ，∠D＝30°，点E 是AB 边的中点，点F 是BC 边上一动点，将△BEF 移沿直线EF 折叠，得到△GEF，当FG∥AC 时，BF 的长为．45．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 所在直线翻折后，点A 与点E 重合，且ED 交BC 于点F，连接AE．如果，那的值是．46．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 的对应点为C′，再将所折得的图形沿EF 折叠，使得点D 和点A 重合．若AB＝3，BC＝4，则折痕EF 的长为．47．如图所示，在菱形纸片ABCD 中，AB＝4，∠BAD＝60°，按如下步骤折叠该菱形纸片：第一步：如图①，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 的对应点A′恰好落在边CD 上，折痕EF 分别与边AD、AB 交于点E、F，折痕EF 与对应点A、A′的连线交于点G．第二步：如图②，再将四边形纸片BCA′F 折叠使点C 的对应点C′恰好落在A′F 上，折痕MN 分别交边CD、BC 于点M、N．第三步：展开菱形纸片ABCD ，连接GC ′，则GC ′最小值是．48．如图，在边长为5 的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，连接AE，过D 作DF∥AE 交BC 的延长线于点F，过点C 作CG⊥DF 于点G，延长AE、GC 交于点H，点P 是线段DG上的任意一点（不与点D、点G重合），连接CP，将△CPG沿CP翻折得到△CPG'，连接AG'．若CH＝1，则AG'长度的最小值为．49．如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点M、N 分别在边AB、BC 上，沿直线MN将△ABC折叠，点B落在点P处，如果AP∥BC且AP＝4，那么BN＝．50．如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 上一点，若△ADE 沿直线AE 翻折，使点D 落在BC 边上点D′处．F 为AD 上一点，且DF＝CD'，EF 与BD 相交于点G，AD′与BD 相交于点H．D′E∥BD，HG＝4，则BD＝．折叠练习（50 道含解析）参考答案与试题解析一．填空题（共50 小题）1．如图，在△ABC 中，CA＝3，CB＝4，AB＝5，点D 是BC 的中点，将△ABC 沿着直线EF 折叠，使点A 与点D 重合，折痕交AB 于点E，交AC 于点F，那么sin∠BED 的值为．【分析】先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△AEF，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形，根据相似三角形的性质得到，BH＝，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵△DEF 是△AEF 翻折而成，∴△DEF≌△AEF，∴AE＝DE，∵CA＝3，CB＝4，AB＝5，∴CA2+CB2＝32+42＝52＝AB2，∴△ABC 是直角三角形，∵点D 是BC 的中点，∴CD＝BD＝2，过D 作DH⊥AB 于H，∴∠BHD＝∠C＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BDH∽△BAC，∴＝，∴DH＝，BH＝，∴AH＝，设AE＝DE＝x，则﹣x，在Rt△DEH 中，由勾股定理得，DH2+EH2＝DE2，即）2+（﹣x）2＝x2，解得，∴sin∠BED＝＝，故答案为．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质、勾股定理的逆定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．2．如图，矩形ABCD中，P为AB上一动点（P与A，B不重合），将△BPC沿CP翻折至△B1PC，BP1 与AD 相交于点E，CB1 与AD 相交于点F，连接BB1 交AD 于Q，若EQ ＝8，QF＝5，BC＝20，则B1F 的长＝ 5 ，折痕CP 的长＝．【分析】如图，作∠EFB1 的平分线交EB1 于T，连接TQ．首先证明FB1＝FQ＝5，由△ FTQ≌△FTB1，推出TB1＝TQ，∠TQF＝∠TB1F＝90°，设TB1＝TQ＝x，利用勾股定理求出EB1，TB1，FT，再证明△PCB∽△TFB1，推＝，由此求出PC 即可．【解答】解：如图，作∠EFB1 的平分线交EB1 于T，连接TQ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，∠FQB1＝∠CBB1，由翻折可知：CB＝CB1，∠CB1P＝90°，∴∠CBB1＝∠CB1B，∴∠FQB1＝∠FB1Q，∴FB1＝FQ＝5，∵FQ＝FB1，∠TFQ＝∠TFB1，FT＝FT，∴△FTQ≌△FTB1，∴TB1＝TQ，∠TQF＝∠TB1F＝90°，设TB1＝TQ＝x，在Rt△EFB1 中＝＝12，在Rt△ETQ 中，∵ET2＝EQ2+TQ2，∴（12﹣x）2＝82+x2，解得，∴TB1＝，FT＝＝＝∵AD∥CB，∴∠B1FE＝∠FCB，∵∠PCB＝∠FCB，∠B1FT＝∠B1FE，∴∠PCB＝∠B1FT，∵∠PBC＝∠FB1T，∴△PCB∽△TFB1，∴＝，∴，∴PC＝．故答案为5，．【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．3．如图，正方形纸片ABCD 沿直线BE 折叠，点C 恰好落在点G 处，连接BG 并延长，交CD于点H，延长EG交AD于点F，连接FH．若AF＝FD＝6cm，则FH的长为cm．【分析】先证明Rt△ABF≌Rt△GBF，得到∠AFB＝∠GFB，FA＝FG，再证明Rt△FGH ≌Rt△FDH，得到∠GFH＝∠DFH，于是180°＝90°，根据△ABF∽△DFH，列出比例所以，求出．【解答】解：如图，连接BF．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝AF+FD＝12cm．由折叠可知，BG＝BC＝12cm，∠BGE＝∠BCE＝90°．∴AB＝GB．在Rt△ABF 和Rt△GBF 中BF＝BF，AB＝GB∴Rt△ABF≌Rt△GBF（HL）．∴∠AFB＝∠GFB，FA＝FG，又∵AF＝FD，∴FG＝FD．同理可证Rt△FGH≌Rt△FDH，∴∠GFH＝∠DFH，∴∠BFH＝∠BFG+∠GFH＝180°＝90°，∴∠AFB+∠DFH＝90°．又∵∠AFB+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DFH．又∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF∽△DFH，∴，在Rt△ABF 中，由勾股定理，得，∴，∴FH＝．故答案为．【点评】本题考查了三角形折叠问题，熟练运用三角形全等和勾股定理、相似三角形的性质是解题的关键．4．如图，已知D 是等边△ABC 边AB 上的一点，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF，点E、F 分别在AC 和BC 上，如果AD：DB＝1：2，则CE：CF 的值为4：5 ．【分析】首先证明△ADE∽△BFD，表示出ED，DF，EA，DB，AD，BF，再利用相似三角形的性质解决问题即可．【解答】解：∵△EFC 与△EFD 关于EF 对称，∴∠EDF＝∠ECF＝60°，EC＝ED，FC＝FD，∵∠BDF+∠EDF＝∠BDE＝∠A+∠DEA，∵∠EDF＝∠A＝60°，∴∠BDF＝∠DEA，∴△ADE∽△BFD，设AD＝x，CE＝DE＝a，CF＝DF＝b，∵AD：BD＝1：2，∴DB＝2x，∴AB＝3x＝AC＝BC，∴AE＝3x﹣a，BF＝3x﹣b，∵△ADE∽△BFD，∴＝＝，∴＝＝，由前两项得，2ax＝b（3x﹣a），由后两项得，（3x﹣a）（3x﹣b）＝2x2，即：3x（3x﹣a）﹣b（3x﹣a）＝2x2，∴3x（3x﹣a）﹣2ax＝2x2，∴a＝x，∴＝＝，∴CE：CF＝4：5．故答案为4：5．【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．5．如图，在矩形ABCD 中，AB：BC＝3：4，点E 是对角线BD 上一动点（不与点B，D 重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A，B的对应点G，F分别在直线AD与BC 上，当△DEF 为直角三角形时，CN：BN 的值为．【分析】分两种情况进行讨论：当∠DFE＝90°时，△DEF 为直角三角形；当∠EDF＝90°时，△DEF 为直角三角形，分别判定△DCF∽△BCD，得＝，进而得出CF，根据线段的和差关系可得CN 和BN 的长，于是得到结论．【解答】解：∵AB：BC＝3：4，设AB＝3x，BC＝4x，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD＝AB＝3x，AD＝BC＝4x，分两种情况：①如图所示，当∠DFE＝90°时，△DEF 为直角三角形，∵∠CDF+∠CFD＝∠EFN+∠CFD＝90°，∴∠CDF＝∠EFN，由折叠可得，EF＝EB，BN＝FN，∴∠EFN＝∠EBN，∴∠CDF＝∠CBD，又∵∠DCF＝∠BCD＝90°，∴△DCF∽△BCD，∴＝，＝，∴CF＝x，∴FN＝NB＝＝，∴CN＝CF+NF＝x+x＝x，∴BN＝∴CN：BN＝x：x＝25：7．②如图所示，当∠EDF＝90°时，△DEF 为直角三角形，∵∠CDF+∠CDB＝∠CDF+∠CBD＝90°，∴∠CDF＝∠CBD，又∵∠DCF＝∠BCD＝90°，∴△DCF∽△BCD，∴＝，＝，∴CF＝x，∴NF＝BN＝＝x，∴CN＝NF﹣CF＝x﹣x＝x，∴CN：BN＝7：25，综上所述，CN：BN 的值或，故答案为或．【点评】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是依据相似三角形的对应边成比例列式计算．解题时注意分类思想的运用．6．如图，已知正方形ABCD 的边长为6，E 为BC 的中点，将△ABE 沿直线AE 折叠后，点B 落在点F 处，AF 交对角线BD 于点G，则FG 的长是．【分析】延长AF，EF 分别交CD 于H，M，连接AM，根据折叠的性质得到AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝90°，根据全等三角形的性质得到DM＝FM，设DM＝FM＝x，则CM ＝6﹣x，EM＝3+x，根据勾股定理得到DM＝FM＝2，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：延长AF，EF 分别交CD 于H，M，连接AM，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADC＝90°，∵将△ABE 沿直线AE 折叠后，点B 落在点F 处，∴AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝90°，∴∠ADM＝∠AFM＝90°，AF＝AD，∵AM＝AM，∴Rt△ADM≌Rt△AFM（HL），∴DM＝FM，∵E 为BC 的中点，BC＝CD＝6，∴CE＝3，设DM＝FM＝x，则CM＝6﹣x，EM＝3+x，∵EM2＝CM2+CE2，∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，解得：x＝2，∴DM＝FM＝2，∵∠MFH＝∠ECM＝90°，∠HMF＝∠CME，∴△MFH∽△MCE，∴，∴，∴MH＝2.5，FH＝1.5，∴AH＝6+1.5＝7.5，DH＝4.5，∵AB∥DH，∴△AGB∽△HGD，∴，∴＝，∴AG＝，∴GF＝AF﹣AG＝，故答案为．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．7．如图，在正方形ABCD 中，E，F 分别为BC，CD 的中点，连接AE，BF 交于点G，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF，延长FP 交BA 延长于点Q，若，则AE的值为．【分析】作QT⊥BF 于T．解直角三角形求出AE，BF，再利用相似三角形的性质求出BQ 即可解决问题．【解答】解：作QT⊥BF 于T．∵E，F 分别是正方形ABCD 边BC，CD 的中点，∴CF＝BE，在△ABE 和△BCF 中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF，由翻折的性质可知，∴AB＝BC＝，∴BF＝AE＝＝，∵QT⊥BF，∴BT＝TF＝，∵∠QTB＝∠C＝∠ABC＝90°，∴∠QBT+∠FBC＝90°，∠FBC+∠BFC＝90°，∴∠QBT＝∠BFC，∴△QTB∽△CBF，∴＝，∴＝，∴QB＝1，∴QB+AE＝1+＝，故答案．【点评】本题考查翻折变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．8．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 为BC 的中点，点F 在AB 上，AF＝2BF，点G 是AD 边上一点，将△CDE 沿DE 折叠得△C′DE，将△AFG 沿FG 折叠，点A 的对应点A′刚好落在DC′上，则cos∠DA′G＝．【分析】延长DC'交AB 于K，连接FK，分别过H，E 作DK 的垂线，垂足分别为M，N，利用正方形的性质及轴对称的性质，先证Rt△EBK≌Rt△EC'K，推出BK＝C'K，在Rt△ADK 中，利用勾股定理求出BK，C'K 的长，进一步求出FK 的长，在Rt△KFN 与Rt△KAD 中，利用三角函数求出FN 的长，在Rt△FA'N 中，求出cos∠A'FN 的值，证∠DA'H 与∠A'FN 相等即可．【解答】解：如图，延长DC'交AB 于K，连接EK，分别过H，F 作DK 的垂线，垂足分别为M，N∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝6，∵E，F 分别为BC，AB 的中点，∴BE＝EC＝×6＝3，∵AF＝2BF，∴AF＝4，BF＝2，由翻折知，△DCE≌△DC'E，△AFH≌△A'FH，∴∠EC'D＝∠C＝90°，∠A＝∠HA'F＝90°，AF＝A'F＝4，C'E＝CE＝BE＝3，DC'＝DC＝6，∴∠B＝∠EC'K＝90°，又∵KE＝KE，∴Rt△EBK≌Rt△EC'K（HL），∴KB＝KC'，设KB＝KC'＝x，在Rt△ADK 中，AD＝6，AK＝6﹣x，DK＝6+x，∵DK2＝AD2+AK2，∴（6+x）2＝62+（6﹣x）2，解得，∴BK＝C'K＝，∴DK＝DC'+KC'＝6+＝，FK＝BF﹣BK＝2﹣＝，在Rt△KNF 与Rt△KAD 中，sin∠FKN＝＝，即＝，解得，∵∠DA'H+∠FA'N＝90°，∠FA'N+∠NFA'＝90°，∴∠HA'D＝∠NFA'，在Rt△FA'N 中，cos∠A'FN＝＝＝，即，故答案．【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够作出适当的辅助线，构造和相关角相等的角．9．四边形ABCD 中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝5，AD＝8，P 是AD 边上的一点，连结PC，将△ABP 沿直线BP 对折得到△A'BP，A'点恰好落在线段PC 上，当∠BCP＝∠D 时，△PBC 的面积为．【分析】如图，作CH⊥AD 于H．证明CB＝CP＝CD，设CB＝CP＝CD＝x，证明PH＝CH，设PH＝DH＝y，想办法构建方程组即可解决问题．【解答】解：如图，作CH⊥AD 于H．∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，∠DPC＝∠BCP，∵∠APB＝∠BPC，∠BCP＝∠D，∴∠CBP＝∠BPC，∠CPD＝∠D，∴CB＝CP＝CD，设CB＝CP＝CD＝x，∵CH⊥PD，CP＝CD，∴PH＝CH，设PH＝DH＝y，∵∠A＝∠ABC＝∠AHC＝90°，∴四边形ABCH 是矩形，∴AH＝BC＝x，AB＝CH＝5，则有，解得，＝•PC•BA′＝××5＝，∴S△PBC故答案．【点评】本题考查翻折变换，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．10．如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折，使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交BM 于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE 的长等于．【分析】根据折叠可得ABNM 是正方形，CD＝CF＝5，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF，可求出三角形FNC 的三边为3，4，5，在Rt△MEF 中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证△FNC∽△PGF，三边占比为3：4：5，设未知数，通过PG＝HN，列方程求出待定系数，进而求出PF 的长，然后求PE 的长．【解答】解：过点P 作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，由折叠得：ABNM 是正方形，AB＝BN＝NM＝MA＝5，CD＝CF＝5，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF，∴NC＝MD＝8﹣5＝3，在Rt△FNC 中＝4，∴MF＝5﹣4＝1，在Rt△MEF 中，设EF＝x，则ME＝3﹣x，由勾股定理得，12+（3﹣x）2＝x2，解得，∵∠CFN+∠PFG＝90°，∠PFG+∠FPG＝90°，∴△FNC∽△PGF，∴FG：PG：PF＝NC：FN：FC＝3：4：5，设FG＝3m，则PG＝4m，PF＝5m，∴GN＝PH＝BH＝4﹣3m，HN＝5﹣（4﹣3m）＝1+3m＝PG＝4m，解得：m＝1，∴PF＝5m＝5，∴PE＝PF+FE＝5+＝，故答案为．【点评】考查折叠轴对称的性质，矩形、正方形的性质，直角三角形的性质等知识，知识的综合性较强，是有一定难度的题目．11．如图，在矩形ABCD 中，点N 为边BC 上不与B、C 重合的一个动点，过点N 作MN⊥BC 交AD 于点M，交BD 于点E，以MN 为对称轴折叠矩形ABNM，点A、B 的对应点分别是G、F，连接EF、DF，若AB＝6，BC＝8，当△DEF 为直角三角形时，CN 的长为或．【分析】△DEF 为直角三角形时，可能出现三种情况，分别令不同的内角为直角，画出相应的图形，根据折叠的性质和相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，∴BD＝＝10，由折叠得：BE＝EF，BN＝NF，∠EBF＝∠EFB，∠BEN＝∠FEN，当△DEF 为直角三角形时，（1）当∠DEF＝90°，则∠BEN＝∠FEN＝45°，不合题意；（2）当∠EFD＝90°时，如图1 所示：∵∠EFN+∠DFC＝90°，∠DFC+∠CDF＝90°，∴∠EFN＝∠CDF＝∠EBN，∵tan∠DBC＝＝＝tan∠CDF＝设CN＝x，则BN＝NF＝8﹣x，FC＝x﹣（8﹣x）＝2x﹣8，∴＝解得，即．（3）当∠EDF＝90°时，如图2 所示：易证△BDC∽△DFC，∴CD2＝BC•CF设CN＝x，则BN＝NF＝8﹣x，FC＝（8﹣x）﹣x＝8﹣2x，∴62＝8（8﹣2x）解得，即，综上所述，CN 的长或．故答案为：或．【点评】考查折叠轴对称的性质，进矩形的性质，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质和判定等知识，分情况画出图形进行解答是解决问题的关键．12．如图，在四边形ABCD 中，∠C+∠D＝210°，E、F 分别是AD，BC 上的点，将四边形CDEF 沿直线EF 翻折，得到四边形C′D′EF，C′F 交AD 于点G，若△EFG 有两个角相等，则∠EFG 40°或50 °．【分析】根据题意△EFG 有两个角相等，于是有三种情况，分别令不同的两个角相等，通过折叠和四边形的内角和列方程求出结果即可，最后综合得出答案．【解答】解：（1）当∠FGE＝∠FEG时，设∠EFG＝x，则（180°﹣x）在四边形GFCD 中，由内角和为360°得：（180°﹣x）+2x+∠C+∠D＝360°，∵∠C+∠D＝210°，∴（180°﹣x）+2x＝360°﹣210°，解得：x＝40°，（2）当∠GFE＝∠FEG 时，此时AD∥BC 不合题意舍去，（3）当∠FGE＝∠GFE 时，同理有：x+2x+∠C+∠D＝360°，∵∠C+∠D＝210°，∴x+2x+210°＝360°，解得：x＝50°，故答案为40°或50．【点评】考查轴对称的性质和四边形的内角和为360°，分情况讨论得出不同答案．13．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若BC＝4，BG＝3，则GE的长为．【分析】根据菱形的性质、折叠的性质，以及∠ABC＝120°，可以得到△ABD△BCD 都是等边三角形，根据三角形的内角和和平角的意义，可以找出△BGE∽△DFG，对应边成比例，设AF＝x、AE＝y，由比例式列出方程，解出y 即可．【解答】解：∵菱形ABCD 中，∠ABC＝120°，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝60°，∴AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝3+1＝4，∴∠ADB＝∠ABD＝60°，由折叠得：AF＝FG，AE＝EG，∠EGF＝∠A＝60°，∵∠DFG+∠DGF＝180°﹣60°＝120°，∠BGE+∠DGF＝180°﹣60°＝120°，∴∠DFG＝∠BGE，∴△BGE∽△DFG，∴，设AF＝x＝FG，AE＝y＝EG，则：DF＝4﹣x，BE＝4﹣y，即，当时，即：，当时，即：，∴，解得：y1＝0 舍去，故答案为．【点评】考查菱形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定和性质以及分式方程等知识，根据折叠和菱形等边三角形的性质进行转化，从而得到关于EG 的关系式，是解决问题的关键．14．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点D，E 分别在AC，BC 上，且∠CDE＝∠B，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处，CF 与DE 交于点G．下列结论：①AB＝2CF；②若∠ABC＝50°，则∠AFD＝60°；③若AB＝4，则DG•GE＝1；④若AC＝4，BC＝3，则其中正确的结论是①②③④（填写所有正确结论的序号）【分析】①CF 是Rt△ABC 的中线，即可求解；②∠ABC＝50°，则∠CDG＝40°＝∠GDF，则∠ADF＝80°，即可求解；③CG＝CF＝AB＝1，因为CG⊥DE，则DG•GE＝CG2，即可求解；④△ABC 的高，CG＝AB＝，△ABC∽△EDC，根据相似比等于高的比，即可求解．【解答】解：①∵CF 是Rt△ABC 的中线AB，故①正确；②∠ABC＝50°，∴∠CDG＝40°＝∠GDF，∴∠ADF＝80°，则∠AFD＝180°﹣80°﹣40°＝60°，故②正确；③CG＝CF＝AB＝1，∵CG⊥DE，则DG•GE＝CG2＝1，故正确；④AC＝4，BC＝3，则AB＝5，S△ABC＝AC×BC＝AB×△ABC的高，则△ABC 的高，CG＝AB＝；∵∠CDE＝∠B，则△ABC∽△EDC，根据相似比等于高的比，则，故，故④正确．故答案为①②③④．【点评】本题考查的是翻折变换（折叠问题），涉及到直角三角形中线定理、三角形相似、三角形面积计算等，综合性强、难度较大．15．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，CD 是△ABC 的中线，E 是AC 上一动点，将△AED 沿ED 折叠，点A 落在点F 处，EF 线段CD 交于点G，若△CEG 是直角三角形，则CE＝．【分析】分两种情形：如图 1 中，当∠CEG＝90°时．如图2 中，当∠EGC＝90°时，分别求解即可．【解答】解：如图 1 中，当∠CEG＝90°时．易知∠AED＝∠DEF＝45°，作DH⊥AC 于H．则DH＝EH，在Rt△ABC 中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，AC＝AB•cos30°＝，∵AD＝DB，∴AD＝1，在Rt△ADH 中，AH＝AD•cos30°＝，∴EC＝AC﹣AH﹣EH＝﹣＝．如图2 中，当∠EGC＝90°时，易证点B 与点F 重合，此时，EC＝＝，综上所述，EC 的长为．故答案或．【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．16．如图，在菱形ABCD 中，M，N 分别在边AD，BC 上，将四边形AMNB 沿MN 翻折，使AB 的对应线段EF 经过顶点D，延长NF 交DC 于点H，当EF⊥AD 时，的值为．【分析】如图，由翻折不变性可知：∠A＝∠E，推出tan A＝tan E＝＝，可以假设：DM＝4k，DE＝3k，则EM＝5k，AD＝EF＝CD＝9k．想办法求出DH，CH 即可解决问题．【解答】解：如图，由翻折不变性可知：∠A＝∠E，∴tan A＝tan E＝＝，∴可以假设：DM＝4k，DE＝3k，则EM＝5k，AD＝EF＝CD＝9k．∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠DFH+∠EFN＝180°，∠B＝∠EFN，∴∠A＝∠DFH，∵EF⊥AD，∴∠ADF＝90°，∵AB∥CD，∴∠A+∠ADC＝180°，∴∠A+∠HDF＝90°，∴∠HDF+∠DFH＝90°，∴tan∠DFH＝tan A＝＝，设FH＝3x，则DH＝4x在R△DHF 中，DF＝EF﹣DE＝6k，根据勾股定理得，DH2+FH2＝DF2，∴16x2+9x2＝36k2，∴x＝k∴DH＝k，∴CH＝9k﹣k＝k，∴＝＝．故答案．【点评】本题考查翻折变换，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．17．如图，菱形ABCD 的边长为6，∠A＝60°，点O 在AB 上，且BO＝2，点P 是CD 上一动点，将四边形BCPO 沿直线OP 折叠，点B 的对应点是E，连接DE，当DE 的长度最小时，CP 的长为6﹣．【分析】由折叠可知点E 在以O 为圆心，以BO 长为半径的弧上，故当D，E，O 在一条直线上时，DE 有最小值，过点D 作DH⊥AB，先求得DH、HO 的长，则依据勾股定理可得到DO 的长，然后再求得PD 的长，最后可得到CP 的长．【解答】解：如图所示：过点D 作DH⊥AB，垂足为H．在Rt△ADH 中，∠A＝60°，AD＝6，则AH＝AD＝3，DH＝sin60°•AD＝×6＝3 ．又∵AO＝AB﹣BO＝4，∴OH＝1．在Rt△DOH 中，依据勾股定理可知＝＝2．由翻折的性质可知：∠BOP＝∠EOP．∵DC∥AB，∴∠BOP＝∠DPO，∴∠EOP＝∠DPO，∴DP＝DO＝2，∴CP＝DC﹣DP＝6﹣2，故答案为：6﹣2 ．【点评】本题主要考查的是菱形的性质、勾股定理的应用，翻折的性质、等腰三角形的判定，判断出DE 取得最小值时点E 的位置是解题的关键．18．如图在等边△ABC 中，D、E 分别是BC、AC 上的点，且AE＝CD，AD 与BE 相交于F，CF⊥BE．将△ABF 沿AB 翻折，得△ABG，M 为BF 中点，连接GM，若AF＝2，则△BGM 的面积为．【分析】先证明△ABE≌△CAD 得∠ABE＝∠CAD，则∠BAD＝∠CBE，求出∠BFK＝60 °，由BK⊥DF 可得∠FBK＝30°，得出BF，再证明△ABK≌△BCF，得出AK＝BF，即AF+FK＝BF，得出BF＝2AF＝4，证明△AFH∽△ABK，得＝＝，求出AH、FH 的长，得出GF、BH 的长，求出△BGF 的面积，即可得出△BGM 的面积．【解答】解：过B 作AD 的垂线，垂足为K，连接GF 交AB 于H，如图所示：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，∵在△ABE 和△CAD 中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE＝∠CAD，∵∠ABE+∠CBE＝∠BAD+∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠CBE，∴∠BFK＝∠BAF+∠ABF＝∠CBE+∠ABF＝∠ABC＝60°，∵BK⊥DF，∴∠BKF＝90°，∴∠FBK＝30°，∴FK＝BF，BK＝FK，在△ABK 和△BCF 中，，∴△ABK≌△BCF（AAS），∴AK＝BF，即AF+FK＝BF，∴AF+BF＝BF，∴BF＝2AF＝4，FK＝AF＝2，BK＝2，∴AB＝＝2，由折叠的性质得：AB 垂直平分GF，∴GF＝2FH，∠AHF＝90°＝∠AKB，又∵∠FAH＝∠BAK，∴△AFH∽△ABK，∴＝＝，＝＝，解得：AH＝，FH＝，∴GF＝2FH＝，BH＝AB﹣AH＝，∴△BGF 的面积GF×BH＝××，∵M 为BF 中点，∴△BGM 的面积△BGF 的面积；故答案为：．【点评】本题考查了等边三角形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．19．已知，如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点 E 为线段 AB 上一动点（不与点 A 、点 B 重合），先将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，使点 B 落在点 F 处，CF 交 AD 于点 H ，若折 叠后，点 B 的对应点 F 落在矩形 ABCD 的对称轴上，则 AE的长是 24 ﹣28 或 8﹣．【分析】依据点 B 的对应点 F 落在矩形 ABCD 的对称轴上，分两种情况讨论：F 在横对称轴上与 F 在竖对称轴上，分别求出 BF 的长即可．【解答】解：分两种情况：①当 F 在横对称轴 MN 上，如图所示，此时 CD ＝4，CF ＝BC ＝12，∴FN ＝＝8， ∴MF ＝12﹣8， 由折叠得，EF ＝BE ，EM ＝4﹣BE ，∵EM 2+MF 2＝EF 2，即 ）2＝BE 2，∴BE ＝36﹣24， ∴AE ＝24 ﹣28；。

2024海南中考数学二轮专题训练 几何图形折叠型综合题 (含答案)

2024海南中考数学二轮专题训练 几何图形折叠型综合题 (含答案)

2024海南中考数学二轮专题训练几何图形折叠型综合题(小题破大题)方法再现：沿图形上一顶点所在的直线折叠1.如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，展开后再折叠，使AD落在对角线BD上，点A的对应点是A′，得折痕DG.若AB＝2，BC＝1，求AG的长．【思维教练】根据折叠的性质求出折叠后对应边的长，再利用勾股定理求解即可．第1题图方法再现：沿特殊四边形的对角线折叠2.如图，把矩形ABCD沿对角线BD折叠使点C落在F处，BF交AD于点E，若AB＝2，AD＝4，求AE的长．【思维教练】根据折叠的性质易得△BEA≌△DEF，再结合勾股定理即可求出AE的长．第2题图方法再现：不沿图形顶点所在的直线折叠3.如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点B 恰好与点D 重合，点C 落在点G 处，若AB ＝8，AD ＝6，求折痕EF 的长．【思维教练】要求EF 的长，过点E 作EM ⊥CD 于点M ，利用折叠的性质及勾股定理求出DE 的长，在Rt △EMF 中利用勾股定理即可求出EF 的长．第3题图模型再现：①轴对称(翻折)型全等模型(见P65微专题)；②斜A 字型相似模型4.如图，将矩形ABCD 沿BE 折叠，使得点C 恰好落在AD 边上的点F 处，延长EF ，交∠ABF 的平分线于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF ＝AN ＋FD 时，求AB BC的值．【思维教练】过点N 作NG ⊥BF 于点G ，证明△NFG ∽△BFA ，则有NG BA ＝FG FA ＝NF BF ＝12，再结合已知，分别用AB ，BC 表示出FG ，FA 的长度，列出等式即可求出AB BC 的值．第4题图(针对训练)1.如图①，在边长为3的正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，且DE＝AF＝1，连接AE，BF交于点G.(1)求证：①△AED≌△BFA；②AE⊥BF；(2)如图②，将△AED沿AE对折，得到△AEH，延长AH交CD于点P.①求四边形DEGF的面积；②求sin∠HPE的值．第1题图2.在矩形ABCD(AB＜AD)中，将△ABE沿AE对折，使AB边落在对角线AC上，点B的对应点为点F，同时将△CEG沿EG对折，使CE边落在EF所在直线上，点C的对应点为点H.(1)如图①，若BE＝CG，求证：△ABE≌△ECG；(2)如图②，若点C的对应点H恰好落在边AD上，连接CH，探究∠EHD和∠EHC的数量关系；四边形AECH是什么特殊四边形？并加以证明；(3)在(2)的条件下，若AB＝3，求EH的长．第2题图3.点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM.(1)①求证：△ADM≌△DCN；②如图①，设CN、DM的交点为H，连接BH，求证：BC＝BH；(2)如图②，将△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延长MA′交DC的延长线于点E，求tan∠DEM的值．第3题图4.如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是CD边上的动点(与C、D点不重合)，将△ADP沿AP翻折，得到△AEP，延长PE交BC于点Q，连接EC、AQ.(1)求证：△ABQ≌△AEQ；(2)若BQ＝DP，求DP的值；(3)当PC＝2DP时，探究线段EC与AQ的位置关系和数量关系，并证明你的结论．第4题图参考答案小题破大题1.解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝1，∠A＝∠C＝90°，∴BD＝5，根据折叠的性质得，DA′＝DA＝1，∠DA′G＝90°，A′G＝AG，∴A′B＝5－1，设AG＝x，则A′G＝x，BG＝2－x，在Rt△A′BG中，A′B2＋A′G2＝BG2，即(5－1)2＋x2＝(2－x)2，解得x＝5－1 2，∴AG的长为5－1 2.2.解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，AD＝4，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，由折叠的性质可得，AB＝CD＝DF＝2，AD＝BC＝BF＝4，∠A＝∠C＝∠F＝90°，∵∠AEB＝∠DEF，∴△BEA≌DEF(AAS)，∴AE＝FE，设AE＝x，则EF＝x，BE＝4－x，在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，即22＋x2＝(4－x)2，解得x＝3 2，∴AE的长为3 2 .3.解：如解图，作EM⊥CD，垂足为点M，设DE＝x，由折叠的性质得∠DEF＝∠BEF，BE＝DE＝x，∴AE＝8－x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，AB∥CD，∴∠DFE＝∠BEF，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE ＝DF ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得(8－x )2＋62＝x 2，解得x ＝254，又∵EM ⊥CD ，∴∠EMD ＝90°，∴四边形AEMD 为矩形，∴AE ＝DM ＝8－254＝74，又∵DF ＝DE ＝254，∴MF ＝DF －DM ＝254－74＝92，又∵ME ＝AD ＝6，∴在Rt △EMF 中，EF ＝ME 2＋MF 2＝62＋（92）2＝152.第3题解图4.解：如解图，过点N 作NG ⊥BF 于点G .∴∠NGF ＝∠A ＝90°.∵∠AFB ＝∠GFN ，∴△NFG ∽△BFA ，∴NG BA ＝FG FA ＝NF BF.由折叠可知BC ＝BF ，∵NF ＝AN ＋FD ，∴NF ＝12AD ＝12BC ＝12BF ，∴NG BA ＝FG FA ＝NF BF ＝12，∴NG ＝12AB .∵BM 为∠ABF 的平分线，∴∠ABN ＝∠GBN .∵BN ＝BN ，∠A ＝∠NGB ＝90°，∴△ABN ≌△GBN (AAS)，∴AB ＝GB ，AN ＝GN ，∴FG ＝BF －BG ＝BC －BA ，FA ＝AN ＋NF ＝NG ＋NF ＝12AB ＋12BC .∵FG FA ＝12，∴BC －AB 12AB ＋12BC ＝12，∴AB BC ＝35.第4题解图针对训练1.(1)证明：①∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ，∠D ＝∠FAB ＝90°，∵DE ＝AF ＝1，∴△AED ≌△BFA (SAS)；②由①知，△AED ≌△BFA ，∴∠EAF ＝∠ABF ，∵∠FAB ＝90°，∴∠ABF ＋∠AFB ＝90°，∴∠EAF ＋∠AFB ＝90°，∴∠AGF ＝90°，∴AE ⊥BF ；(2)解：①在Rt △ADE 中，DE ＝1，AD ＝AB ＝3，∴AE ＝10，S △ADE ＝12AD ×DE ＝32，由(1)知，∠D ＝∠AGF ＝90°，∠FAG ＝∠EAD ，∴△AFG ∽△AED ，∵AF AE ＝110，∴S △AFG S △AED ＝(AF AE)2＝110，∴S △AFG ＝110S △AED ＝320，∴S 四边形DEGF ＝S △ADE －S △AFG ＝2720；②如解图，过点H 作HM ∥AD 交AB 于点M ，交CD 于点N ，∴∠AMH ＝∠HNE ＝90°，∵∠FAB ＝90°，∴∠EHN ＋∠AHM ＝90°，∵∠AHM ＋∠HAM ＝90°，∴∠EHN ＝∠HAM ，∴△EHN ∽△HAM ，∴EH HA ＝NH MA ＝EN HM，由折叠可知，EH ＝DE ＝1，AH ＝AD ＝MN ＝3，设NH ＝x ，∴AM ＝3x ，HM ＝3－x ，由勾股定理得，AH 2＝AM 2＋MH 2，∴9＝(3x )2＋(3－x )2，∴x ＝35或x ＝0(舍)，∴HM ＝3－35＝125，∵CD ∥AB ，∴∠EPA ＝∠PAB ，∴sin ∠HPE ＝sin ∠PAB ＝HM AH ＝45.第1题解图2.(1)证明：∵∠AEB ＝∠AEF ，∠GEF ＝∠GEC ，∴∠AEG ＝12(∠BEF ＋∠CEF )＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠ECG ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°，∠AEB ＋∠CEG ＝90°，∴∠BAE ＝∠CEG ，∵BE ＝CG ，∴△ABE ≌△ECG (AAS)．(2)解：结论：∠EHD ＝2∠EHC ，四边形AECH 是菱形．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠DAE ，∠DHC ＝∠ECH ，由折叠的性质可知EC ＝EH ，∠AEB ＝∠AEH ，∠EHC ＝∠ECH ，∴∠DHC ＝∠EHC ，∴∠EHD ＝2∠EHC ，∴∠DAE ＝∠AEH ，∴AH ＝EH .∵EC ＝EH ，∴AH ＝EC ，∵AH ∥EC ，∴四边形AECH 是平行四边形．又∵AC ⊥EH ，∴四边形AECH 是菱形；(3)解：由菱形的性质和折叠的性质得，AE ＝AH ＝EH ，∴△AEH 是等边三角形，∴∠EAH ＝60°，∵∠BAD ＝90°，∴∠BAE ＝30°，∴AE ＝AB cos30°＝2 3.∴EH ＝AE ＝2 3.3.(1)证明：①∵点M 、N 分别是正方形ABCD 的边AB 、AD 的中点，∴AM ＝DN ，AD ＝DC ，∠A ＝∠CDN ，在△AMD 和△DNC 中，＝DNA ＝∠CDN ＝DC，∴△AMD ≌△DNC (SAS)；②如解图，延长DM 、CB 交于点P ，∵AD ∥BC ，MA ＝MB ，∴易知BP ＝AD ＝BC .∵由(1)可得∠CHP ＝90°，∴BH ＝12PC ＝BC ；第3题解图(2)解：∵将△ADM 沿DM 翻折得到△A ′DM ，∴∠AMD ＝∠DME ，∵AB ∥DC ，∴∠EDM ＝∠AMD ＝∠DME ，∴EM ＝ED .设AD ＝A ′D ＝4a ，则A ′M ＝AM ＝2a ，∴DE ＝ME ＝EA ′＋2a .在Rt △DA ′E 中，A ′D 2＋A ′E 2＝DE 2，∴(4a )2＋A ′E 2＝(EA ′＋2a )2，解得A ′E ＝3a ，∴在Rt △A ′DE 中，tan ∠DEM ＝A ′D A ′E ＝43.4.(1)证明：由折叠的性质可知AE ＝AD ，∠AEP ＝∠D ＝90°.∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AEQ ＝90°.又∵AQ ＝AQ ，∴△ABQ ≌△AEQ (HL)；(2)解：∵BQ ＝DP ，BQ ＝EQ ，DP ＝EP ，∴BQ ＝EQ ＝EP ＝DP ，∵BC ＝CD ，∴CQ ＝CP ，∴∠QPC ＝45°，∵EQ ＝EP ，∴CE ＝EQ ＝EP ，∴∠ECP ＝∠QPC ＝45°，∴CE ⊥PQ ，∵AE ⊥PQ ，∴A 、C 、E 三点共线，∴AC 是PQ 的垂直平分线，在正方形ABCD 中，AE ＝AB ＝1，∴AC ＝2，∴PD ＝CE ＝AC －AE ＝2－1；(3)解：位置关系：EC ∥AQ ；数量关系：EC AQ ＝25(或EC ＝25AQ )．证明：如解图，连接BE .∵PC ＝2DP ，BC ＝CD ＝1，∴PE ＝DP ＝13，PC ＝23.设BQ ＝EQ ＝x ，则QC ＝1－x ，PQ ＝13＋x ，在Rt △PCQ 中，根据勾股定理，得PC 2＋QC 2＝PQ 2，即(23)2＋(1－x )2＝(13＋x )2，解得x ＝12BQ ＝EQ ＝QC ＝12.∴△BEC 是直角三角形，∠BEC ＝90°，即CE ⊥BE .∵AB ＝AE ，BQ ＝EQ ，∴AQ 是BE 的垂直平分线．∴EC ∥AQ ，∴∠AQB ＝∠ECB ，在Rt △BAQ 中，BQ ＝12AB ，∴sin ∠AQB ＝AB AQ ＝255.即BC ＝AB ＝255AQ .∵cos ∠AQB ＝BQ AQ ＝15，∴在Rt △BEC 中，cos ∠ECB ＝EC BC ＝15，即BC ＝5EC .∴255AQ ＝5EC ，即EC AQ ＝25(或EC ＝25AQ )．第4题解图。

(完整)初中几何折叠习题(带图)

(完整)初中几何折叠习题(带图)

图形翻折1、如图，把直角三角形纸片沿着过点B 的直线BE 折叠，折痕交AC 于点E ，欲使直角顶点C 恰好落在斜边AB 的中点上，那么∠A 的度数必须是 ．2、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折痕EF 的长为 ．3、已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，点D 是边AC 上一点，连BD ，若沿直线BD 翻折，点A 恰好落在边BC 上，则AD ：DC= ．A CBEDC BAA ’4、如图，已知边长为6的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC,则CE 的长是( )． (A)31224- (B)24312- (C)18312- (D)31218-5、正方形纸片ABCD 中，边长为4，E 是BC 的中点，折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN （如图）设梯形ADMN 的面积为1S ，梯形BCMN 的面积为2S ，那么1S :2S =6、如图2,把腰长为4的等腰直角三角形折叠两次后,得到一个小三角形的周长是.7、如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，75,ABC ︒∠=将梯形沿直线EF 翻折，使B 点落在线段AD 上，记作'B 点，连结'B B 、交EF 于点O ，若'90B FC ︒∠=，则:EO FO = .A N C DBM 图2B 'OF ED C B A8、等边△OAB 在直角坐标系中的位置如图所示，折叠三角形使点B 与y 轴上的点C 重合，折痕为MN ，且CN 平行于x 轴，则∠CMN = 度．9、有一块矩形的纸片ABCD ，AB=9,AD=6,将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为 ．A B A D B D BFD CE C E C10、如图，有一矩形纸片ABCD ，AB =10，AD =6，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于F ，那么△CEF 的面积是 。

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01如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．(1)证明：由折叠性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD ，∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ，∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形；(2)解：EG 2＝12GF ·AF .理由如下： 如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE ， ∵∠FEH ＝90°－∠EFA ＝∠FAE ，∠FHE ＝∠AEF ＝90°，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF AF ＝FH EF，即EF 2＝FH ·AF ， 又∵FH ＝12GF ，EG ＝EF ，∴EG 2＝12GF ·AF ； (3)解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12AF ·GF ，∴(25)2＝12(6＋GF )·GF ， 解得GF ＝4或GF ＝－10(舍)，∴GF ＝4，∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8，∵∠CDE＋∠DFA＝90°，∠DAF＋∠DFA＝90°，∴∠CDE＝∠DAF，∵∠DCE＝∠ADF＝90°，∴Rt△DCE∽Rt△ADF，∴ECDF＝DEAF，即EC25＝810，∴EC＝855，∴BE＝BC－EC＝1255.02如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F，若DE＝4，BD＝8.(1)求证：AF＝EF；(2)求证：BF平分∠ABD.证明：(1)在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，∵△BED是△BCD对折得到的，∴ED＝CD，∠E＝∠C，∴ED＝AB，∠E＝∠A，(2分)又∵∠AFB＝∠EFD，∴△ABF≌△EDF(AAS)，∴AF＝EF；(4分)(2)在Rt△BCD中，∵DC＝DE＝4，BD＝8，∴sin∠CBD＝DCBD＝12，∴∠CBD＝30°，(5分)∴∠EBD＝∠CBD＝30°，∴∠ABF＝90°－30°×2＝30°，(7分)∴∠ABF＝∠EBD，∴BF平分∠ABD.(8分)03把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG。

（1）求证：△BHE≌△DGF；（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG的长。

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠BDC，∵△BEH是△BAH翻折而成，∴∠1=∠2，，∠A=∠HEB=90°，AB=BE，∵△DGF是△DGC翻折而成，∴∠3=∠4，∠C=∠DFG=90°，CD=DF，∴△BEH与△DFG中，∠HEB=∠DFG，BE=DF，∠2=∠3，∴△BEH≌△DFG，（2）∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，∴BD= = =10，∵由（1）知，BD=CD，CG=FG，∴BF=10-6=4cm，设FG=x，则BG=8-x，在Rt△BGF中，BG2=BF2+FG2，即（8-x）2=42+x2，解得x=3，即FG=3cm．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及矩形的性质，全等三角形的判定，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．04把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B 和顶点D重合，折痕为EF．若BF=4，FC=2，则∠DEF 的度数是．考点：翻折变换（折叠问题）。

专题：计算题。

分析：根据折叠的性质得到DF=BF=4，∠BFE=∠DFE，在R t△DFC中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠FDC=30°，则∠DFC=60°，所以有∠BFE=∠DFE=（180°﹣60°）÷2，然后利用两直线平行内错角相等得到∠DEF的度数．解答：解：∵矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF，∴DF=BF=4，∠BFE=∠DFE，在Rt△DFC中，FC=2，DF=4，∴∠FDC=30°，∴∠DFC=60°，∴∠BFE=∠DFE=（180°﹣60°）÷2=60°，∴∠DEF=∠BFE=60°．故答案为60．点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了矩形的性质和含30°的直角三角形三边的关系．05如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）A． 6 B．12 C．2 D． 4考点：翻折变换（折叠问题）．分析：设BE=x，表示出CE=16﹣x，根据翻折的性质可得AE=CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，再根据翻折的性质可得∠AEF=∠CEF，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE=∠CEF，然后求出∠AEF=∠AFE，根据等角对等边可得AE=AF，过点E作EH⊥AD于H，可得四边形ABEH是矩形，根据矩形的性质求出EH、AH，然后求出FH，再利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：设BE=x，则CE=BC﹣BE=16﹣x，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE=CE=16﹣x，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即82+x2=（16﹣x）2，解得x=6，∴AE=16﹣6=10，由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=10，过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，∴EH=AB=8，AH=BE=6，∴FH=AF﹣AH=10﹣6=4，在Rt△EFH中，EF===4．故选D．点评：本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口．06如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CD均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF=第1题图分析：根据四边形ABCD是矩形，得出∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠DBF=∠FBC=∠DBC，再根据∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°，得出∠EBD+∠DBF=45°，从而求出答案．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，根据折叠可得∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠DBF=∠FBC=∠DBC，∵∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°，∴∠EBD+∠DBF=45°，即∠EBF=45°，故答案为：45°．点评：此题考查了角的计算和翻折变换，解题的关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的，再进行计算，是一道基础题．07如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为（）A．4B．3C．D．5考点：翻折变换（折叠问题）．分析：先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF，在直角三角形C′BF 中，运用勾股定理BF2+BC′2=C′F2求解．解答：解：∵点C′是AB边的中点，AB=6，∴BC′=3，由图形折叠特性知，C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF，在直角三角形C′BF中，BF2+BC′2=C′F2，∴BF2+9=（9﹣BF）2，解得，BF=4，故选：A．点评：本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．08如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE=BE，则长AD 与宽AB的比值是．考点：翻折变换（折叠问题）分析：由AE=BE，可设AE=2k，则BE=3k，AB=5k．由四边形ABCD是矩形，可得∠A=∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5k，AD=BC．由折叠的性质可得∠EFC=∠B=90°，EF=EB=3k，CF=BC，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE．在Rt△AEF中，根据勾股定理求出AF==k，由cos∠AFE=cos∠DCF得出CF=3k，即AD=3k，进而求解即可．解答：解：∵AE=BE，∴设AE=2k，则BE=3k，AB=5k．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5k，AD=BC．∵将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，∴∠EFC=∠B=90°，EF=EB=3k，CF=BC，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠DCF=∠AFE，∴cos∠AFE=cos∠DCF．在Rt△AEF中，∵∠A=90°，AE=2k，EF=3k，∴AF==k，∴=，即=，∴CF=3k，∴AD=BC=CF=3k，∴长AD与宽AB的比值是=．故答案为．点评：此题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理以及三角函数的定义．解此题的关键是数形结合思想与转化思想的应用．09如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB=t，那么△EFG的周长为2t （用含t的代数式表示）．考点：翻折变换（折叠问题）分析：根据翻折的性质可得CE=C′E，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠EBC′=30°，然后求出∠BGD′=60°，根据对顶角相等可得∠FGE=∠∠BGD′=60°，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFG=∠FGE，再求出∠EFG=60°，然后判断出△EFG是等边三角形，根据等边三角形的性质表示出EF，即可得解．解答：解：由翻折的性质得，CE=C′E，∵BE=2CE，∴BE=2C′E，又∵∠C′=∠C=90°，∴∠EBC′=30°，∵∠FD′C′=∠D=90°，∴∠BGD′=60°，∴∠FGE=∠∠BGD′=60°，∵AD∥BC，∴∠AFG=∠FGE=60°，∴∠EFG=（180°﹣∠AFG）=（180°﹣60°）=60°，∴△EF G是等边三角形，∴AB=t，∴EF=t÷=t，∴△EFG的周长=3×t=2t．故答案为：2t．10如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．（1）求证：△EDF≌△CBF；（2）求∠EB C．（第1题图）考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质分析：（1）首先根据矩形的性质和折叠的性质可得DE=BC，∠E=∠C=90°，对顶角∠DFE=∠BFC，利用AAS可判定△DEF≌△BCF；（2）在Rt△ABD中，根据AD=3，BD=6，可得出∠ABD=30°，然后利用折叠的性质可得∠DBE=30°，继而可求得∠EBC的度数．解答：（1）证明：由折叠的性质可得：DE=BC，∠E=∠C=90°，在△DEF和△BCF中，，∴△DEF≌△BCF（AAS）；（2）解：在Rt△ABD中，∵AD=3，BD=6，∴∠ABD=30°，由折叠的性质可得；∠DBE=∠ABD=30°，∴∠EBC=90°﹣30°﹣30°=30°．点评：本题考查了折叠的性质、矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．11如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④解答：解：∵AE=AB，∴BE=2AE，由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°，∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=（180°﹣∠AEP）=（180°﹣60°）=60°，∴∠EFB=90°﹣60°=30°，∴EF=2BE，故①正确；∵BE=PE，∴EF=2PE，∵EF＞PF，∴PF＞2PE，故②错误；由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°，∴BE=2EQ，EF=2BE，∴FQ=3EQ，故③错误；由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°，∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°，∴△PBF是等边三角形，故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．点评：本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键．12已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（第6题图）（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、O A．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．解答：解：（1）如图1，①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠PO C．∵∠D=∠C，∠APD=∠PO C．∴△OCP∽△PD A．②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴====．∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8．设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42．解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10．∴边AB的长为10．（2）如图1，∵P是CD边的中点，∴DP=D C．∵DC=AB，AB=AP，∴DP=AP．∵∠D=90°，∴sin∠DAP==．∴∠DAP=30°．∵∠DAB =90°，∠PAO =∠BAO ，∠DAP =30°，∴∠OAB =30°． ∴∠OAB 的度数为30°．（3）作MQ ∥AN ，交PB 于点Q ，如图2．∵AP =AB ，MQ ∥AN ， ∴∠APB =∠ABP ，∠ABP =∠MQP ∴∠APB =∠MQP ．∴MP =MQ ． ∵MP =MQ ，ME ⊥PQ ，∴PE =EQ =PQ ．∵BN =PM ，MP =MQ ，∴BN =QM ．∵MQ ∥AN ，∴∠QMF =∠BNF ．在△MFQ 和△NFB 中，．∴△MFQ ≌△NF B ．∴QF =BF ．∴QF =Q B ．∴EF =EQ +QF =PQ +QB =P B ．由（1）中的结论可得：PC =4，BC =8，∠C =90°． ∴PB ==4．∴EF =PB =2．∴在（1）的条件下，当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度不变，长度为2．13如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE =3， 点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B ′处，若△CDB ′恰为等腰三角形，则 DB ′的长为 .EF CDBA 第15题B【分析】若△CD B '恰为等腰三角形，判断以CD 为腰或为底边分为三种情况：①DB ′=DC ；②CB ′=CD ；③CB ′=DB ′，针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解. 16或54【解析】本题考查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用，以及分类讨论思想..根据题意，若△CD B '恰为等腰三角形需分三种情况讨论：（1）若DB ′=DC 时，则DB ′=16（易知点F 在BC 上且不与点C 、B 重合） ；（2）当CB ′=CD 时，∵EB =EB ′，CB =CB ′∴点E 、C 在BB ′的垂直平分线上，∴EC 垂直平分BB ′，由折叠可知点F 与点C 重合，不符合题意，舍去；（3）如解图，当CB ′=DB ′时，作BG ⊥AB 与点G ，交CD 于点H .∵AB ∥CD ， ∴B ′H ⊥CD ，∵CB ′=DB ′，∴DH =21CD =8，∴AG =DH =8，∴GE =AG －AE =5，在Rt △B ′EG 中，由勾股定理得B ′G =12，∴B ′H =GH －B ′G =4.在Rt △B ′DH 中，由勾股定理得DB ′=54，综上所述DB ′=16或54.FG B'HDAB CE14如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE 与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为▲ ．【答案】245. 【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；折叠对称的性质；勾股定理，全等三角形的判定和性质；方程思想的应用.【分析】如答图，∵四边形ABCD 是矩形，∴90,6,8D A C AD BC CD AB ∠=∠=∠=︒==== . 根据折叠对称的性质，得ABP EBP ∆∆≌， ∴,90,8EP AP E A BE AB =∠=∠=︒== .在ODP ∆和OEG ∆中，∵D EOD OE DOP EOG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ODP ∆≌()OEG ASA ∆.∴,OP OG PG GE == .∴DG EP =. 设AP EP x ==，则6,PD GE x DG x ==-= ，∴()8,862CG x BG x x =-=--=+ .在Rt BCG ∆中，根据勾股定理，得222BC CG BG +=，即()()222682x x +-=+.解得245x =. ∴AP 的长为245.15如图，将ABCD Y 沿过点A 的直线折叠，使点D 落到AB 边上的点'D 处，折痕交CD 边于点E ，连接BE.（1）求证：四边形'BCED 是平行四边形； （2）若BE 平分∠ABC ，求证：222AB AE BE =+.【答案】证明：（1）如答图，∵将ABCD Y 沿过点A 的直线AE 折叠，∴',12DE D E =∠=∠ .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB . ∴13∠=∠.∴23∠=∠. ∴''D E AD =.∴'DE AD =.∵ABCD Y ，∴DC AB =.∴'B EC D =.∴EC 'B D . ∴四边形'BCED 是平行四边形.（2）如答图，∵BE 平分∠ABC ，∴45∠=∠.∵四边形'BCED 是平行四边形，∴'ED ∥CB . ∴46∠=∠.∴56∠=∠.由（1）23∠=∠，∴263590∠+∠=∠+∠=︒，即90AEB ∠=︒.∴在Rt ABE V 中，由勾股定理，得222AB AE BE =+.【考点】折叠问题；折叠对称的性质；平行四边形的判定和性质；平行的性质；等腰三角形的判定；三角形内角和定理；勾股定理.【分析】（1）要证四边形'BCED 是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，一方面，由四边形ABCD 是平行四边形可有EC ∥'B D ；另一方面，由折叠对称的性质、平行的内错角相等性质、等腰三角形的等角对等边的性质可得'B EC D =，从而得证.（2）要证222AB AE BE =+，根据勾股定理，只要ABE V 的90AEB ∠=︒即可，而要证90AEB ∠=︒，一方面，由BE 平分∠ABC 可得45∠=∠（如答图，下同）；另一方面，由'ED ∥CB 可得46∠=∠，从而得到56∠=∠，结合（1）23∠=∠即可根据三角形内角和定理得到90AEB ∠=︒，进而得证.16如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在平面上的F 点处，DF 交BC 于点E ．（1）求证：△DCE ≌△BFE ；（2）若CD =2，∠ADB =30°，求BE 的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．全等三角形的判定与性质．。

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