北师大版三角形的证明复习课件 PPT

B
A E
C D
8.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且
BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是
3
F
.C
G
D
A
EB
9. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交 BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离
相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
从而a2＋b2＝c2， 故可以判定△ABC是直角三角形．
方法总结
运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是 直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大； ②分别用代数方法计算出a2＋b2和c2的值(c边最大)； ③判断a2＋b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角 形；若不相等，则不是直角三角形．
针对训练
第一章 三角形的证明 复习课件
知识框架
三角形 的证明 垂角 直平 平分 分线 线的 的性 性质 质
等腰三角形 等边三角形 直角三角形
等腰三角形的性质 等腰三角形的判定 等边三角形的性质 等边三角形的判定 直角三角形的性质 直角三角形的判定
两个直角三角形全等的判定（HL）
勾股定理 勾股定理的逆定理
【分析】 欲求的线段CD在Rt△ACD中， 但此三角形只知一边，可设法找出另两 边的关系，然后用勾股定理求解．
解：由折叠知：DA＝DB，△ACD为直角三角形． 在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2①， 设CD＝x cm，则AD＝BD＝(8－x)cm， 代入①式，得62＋x2＝(8－x)2， 化简，得36＝64－16x， 所以x＝ 7 ＝1.75，
(2)如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角 所对的边也相等（简写成“_等__角__对__等__边___”）.
二、等边三角形的性质及判定 1.性质 ⑴等边三角形的三边都相等;
⑵等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都 等于___6_0_°___; ⑶是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线;
⑷任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高 互相重合，简称“三线合一”.
(5)在直角三角形中，30°的角所对的直角边等 于斜边的一半. 2.判定 ⑴三条边都相等的三角形是等边三角形. ⑵三个角都相等的三角形是等边三角形. ⑶有一个角是60°的等__腰__三__角__形___是等边三角形.
三、直角三角形 直角三角形的性质定理1 直角三角形的两个锐角_互__余___. 直角三角形的判定定理1 有两个角__互__余__的三角形是直角三角形.
则 1=2= 1 BAC.
2
∵AB=AC, ∴AE⊥BC. ∴ ∠ 2+ ∠ACB=90 °.
A
12 D
∵BD⊥AC, ∴ ∠DBC+ ∠ACB=90 °B .
E
C
∴ ∠ 2= ∠DBC.
∴ ∠BAC= 2∠DBC.
方法总结
等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它 们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形 的特殊情形—等边三角形的性质与判定应用也很广泛， 有一个角是30°的直角三角形的性质是证明线段之间 的倍份关系的重要手段.
针对训练
5.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分
线，AC=5厘米，△ABD的周长等于13厘米，
则△ABC的周长是 18厘米 .
B
A E
D
C
6.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝
EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 ① ② ③ （填序号）.
b8
4
方法总结
在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先 用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简 便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边， 如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰．
针对训练
2．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，
则第三边长的平方是（ D ）
A.25
ห้องสมุดไป่ตู้
B.14
勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是
a,b(且a＞b)，那么，当第三边c是斜边时，c＝__a_2___b_2__；
当a是斜边时，第三边c＝___a_2___b_2 _.
[注意] 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要 分清直角边和斜边．
五、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2＋b2＝ c2 ，
[注意] 运用勾股定理的逆定理时，要防止出现一开始就写 出a2＋b2＝c2之类的错误．
六、逆命题和互逆命题
1．互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命 题的 结论 ，而第一个命题的结论是第二个命题 的 条件 ，那么这两个命题叫做互逆命题．
2．逆命题 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改 成 结论 ，并将结论改成 条件 ，便可以得到原 命题的逆命题．
C.7
D.7或25
考点三 勾股定理的逆定理
例3 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分 别是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)， 判断△ABC是否为直角三角形．
解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1， c2＝(n2＋1)2 ＝n4＋2n2＋1，
腰三角形各边的长. 【分析】要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况.
解：若腰比底边长，设腰长为xcm,则底边长为（x-8)cm，
根据题意得 2x+x-8=20,
解得 x= 28, ∴x-8= 4 ;
3
3
若腰比底边短，设腰长为ycm,则底边长为（y+8)cm,根据题意得
2y+y+8=20,解得y=4, ∴y+8=12,但4+4=8<12,不符合题意.
那么这个三角形是直角三角形． 利用此定理判定直角三角形的一般步骤： (1)确定最大边；
(2)算出最大边的平方与另两边的 平方和 ； (3)比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，
则说明这个三角形是 直角 三角形． 到目前为止判定直角三角形的方法有：
(1)说明三角形中有一个角是直角 ； (2)说明三角形中有两边互相 垂直 ； (3)用勾股定理的逆定理．
到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上. 3．常见的基本作图 (1)过已知点作已知直线的 垂线 ； (2)作已知线段的垂直 平分 线．
4.三角形的三边的垂直平分线的性质： 三角形的三边的垂直平分线相交于一点，且到三个顶点 的距离相等.
八、角平分线的性质与判定
1.性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 2.判定定理： 在一个角的内部，到角两边距离相等的点在角的平 分线. 3.三角形的三条内角平分线的性质： 三角形的三条内角平分线相交于一点，且到三边的 距离相等.
考点讲练
考点一 等腰（等边）三角形的性质与判定
例1 如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.
求证： ∠BAC = 2∠DBC.
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的 性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取 角的数量关系.
A
12 D
B
E
C
证明：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
A
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
E
F
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). B
D
C
∴ EB=FC.
针对训练
7. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是
E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则
∠EBF= 60 度，BE= BF .
解：(1)原命题是真命题． 原命题的逆命题是：如果ab＝0，那么a＝0.逆命题为假． (2)原命题是真命题． 原命题的逆命题是：如果P在线段AB的垂直平分线上，那么 点P到线段AB两端点的距离相等．其逆命题也是真命题．
针对训练
4.写出下列命题的逆命题，并判断其真假： （1）若x=1，则x2=1；（2）若|a|=|b|，则a=b.
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
A
(
∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
34 P
12 B E DFC
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
考点七 本章的数学思想与解题方法
分类讨论思想 例7 等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个等
针对训练
1. 如图，在△ABC中，AB=AC时， (1)∵AD⊥BC， ∴∠B_A__D_= ∠C_A__D__;_B_D__=_C_D__. (2) ∵AD是中线， ∴_A_D__⊥_B_C__; ∠B_A__D__= ∠C_A__D__. (3) ∵ AD是角平分线，
B
∴_A_D__ ⊥_B_C__;_B_D___=_C_D__.
∴ AB =AC，BD=CD.
A
∵ 点C 在AE 的垂直平分线上，
∴ AC =CE,∴AB=AC=CE,
∴ AB+BD=DE.
B DC
E
方法总结
常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的 点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转换来求线段之间 的关系及周长的和差等,有时候与等腰三角形的“三线合一” 结合起来考查.
要点梳理
一、等腰三角形的性质及判定 1.性质 (1)两腰相等; (2)轴对称图形,等腰三角形的顶角平分线所在的直线 是它的对称轴; (3)两个_底__角____相等，简称“等边对等角”;