绝对值函数最值问题(含答案修改版)
《高中数学》一道解析式中含绝对值的函数的最值问题
《高中数学》一道解析式中含绝对值的函数的最值问题
有很多关于函数的题目,其解析式中含有绝对值,这为我们做题增加了很多困难,首先就是增加了取绝对值而分类讨论的过程。
下面这道题就是这种类型。
其实这种题有个很简便的方法,就是利用绝对值不等式,数轴和距离等知识(比如,此题的参考答案就是这种方法)。
但是我相信很多同学根本不知道这种做法,或者对此有印象但不会用,那么考试时就会失去这题的分数或者因做这题而耽误很长时间。
既然这样,还不如《硬做》,就像我做的那样。
话不多说,看这道题。
下面就是我做的。
取绝对值,根据a的范围分类讨论。
画出分段函数的草图。
绝对值函数最值问题(含答案修改版)
绝对值函数最值问题一、准备在两个小区所在街道上建一所医院,使得两个小区到医院的距离之和最小,问医院应该建在何处?先来证明一个引理:引理:||||||y x y x +≥+……(1),当且仅当0≥xy 时等号成立要证(1)式成立,只需证xy xy xy y x xy y x ≥++≥++||,2||22222也即是,上式显然成立,故原命题得证。
将上式的y y -换成可得||||||y x y x -≥+……(2),当且仅当0≤xy 时等号成立定理:对于任意123,,a a a ……,n a 如果123a a a ≤≤≤……1n n a a -≤, 当n 为奇数时()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 等于123,,a a a ……n a 的中位数时取到,即12n x a +=时有最小值,即是()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……112||||n n n x a x a f a -+⎛⎫+-+-≥ ⎪⎝⎭当n 为偶数时()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 属于123,,a a a ……n a 的中间两个数的范围时取到,即122,n n x a a +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时有最小值。
此时()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1122||||n n n n x a x a f a or f a -+⎛⎫⎛⎫+-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭该定理的证明,只需最小的与最大的结合,在中位数时同时取到最小值。
二、求下列函数的最小值:1、()|2||1|-+-=x x x f()()1|21||2||1|=---≥-+-x x x x ,当且仅当()(),021等号成立≤--x x也即是[]2,1∈x 时等号成立。
微专题24 绝对值函数问题(解析版)
微专题24 绝对值函数问题【题型归纳目录】题型一:含一个绝对值的函数与不等式问题 题型二:含两个绝对值的和的问题 题型三:含两个绝对值的差的问题 题型四:含多个绝对值的问题 【典型例题】题型一:含一个绝对值的函数与不等式问题 例1.不等式|23|5x -<的解集为( ) A .(1,4)- B .(-∞,1)(4-⋃,)+∞C .(,4)-∞D .(1,)-+∞【解析】解:|23|5x -<, 5235x ∴-<-<,解得:14x -<<, 故选:A .例2.不等式|1|3x -<的解集是( ) A .(-∞,2)(4-⋃,)+∞ B .(2,4)-C .(1,4)D .(-∞,1)(4⋃,)+∞【解析】解:|1|3x -<,313x ∴-<-<,24x ∴-<<, 故不等式的解集是(2,4)-, 故选:B .例3.若不等式|2|3a x x -+对任意[0x ∈,2]恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .(1,3)-B .[1-,3]C .(1,3)D .[1,3]【解析】解:由不等式|2|3a x x -+对任意[0x ∈,2]上恒成立,可得()|2|f x a x =-的图象在[0x ∈,2]上恒位于直线3y x =+的下方或在直线3y x =+上, 如图所示:∴02(2)|4|5af a ⎧<⎪⎨⎪=-⎩①,或02(2)|4|5(0)||3a f a f a ⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩②.由①可得10a -<,由②可得03a ,故实数a 的取值范围是{|10a a -<,或者03}[1a =-,3],故选:B .变式1.已知t 为常数,函数2|4|y x x t =--在区间[0,6]上的最大值为10,则t = 2或6 . 【解析】解:函数22|4||(2)4|y x x t x t =--=---在区间[0,6]上的最大值为10, 故有2(62)410t ---=,或410t +=,求得2t =,或6t =, 故答案为:2或6.变式2.已知不等式|3|1x a x ->-对任意(0,2)x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是 (,3)[7-∞,)+∞【解析】解:|3|1x a x ->-等价于31x a x ->-或31x a x -<-,解得12a x ->或14a x +<, 当1124a a -+<,即3a <时,不等式解集为R ,显然符合题意. 当3a 时,(0,2)(⊆-∞,11)(42a a +-⋃,)+∞, 所以124a +或102a -,解得7a 或1a (舍去), 综上,实数a 的取值范围是7a 或3a <. 故答案为:(,3)[7-∞,)+∞.变式3.已知a R ∈,函数4()||f x x a a x =+-+在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是 (-∞,9]2. 【解析】解:由题可知4||5x a a x +-+,即4||5x a a x+--,所以5a , 又因为4||5x a a x+--, 所以455a x a a x -+--, 所以4255a x x-+,又因为14x ,445x x +, 所以254a -,解得92a, 故答案为:(-∞,9]2.变式4.若函数4||y a x a x=-+-在区间[1,4]上的最小值是4,实数a 的取值范围是 [4.5,)+∞ . 【解析】解:由4y x x=+在[1,2)递减,[2,4]递增, 可得4y x x=+的最小值为4,最大值为5, 函数4||y a x a x=-+-的最值在顶点或区间的端点处取得, 若f (1)取得最小值4,即|5|4a a --=,可得 4.5a =, 即有4() 4.5| 4.5|f x x x=-+-,且此时f (1)f =(2)f =(4)取得最小值,成立; 若f (2)取得最小值4,即|4|4a a --=,即有4a ;此时f (1)|5|a a =--,f (4)|5|a a =--,f (2)4=,由f (2)f (1),解得 4.5a ; 当f (4)取得最小值4,即|5|4a a --=,解得 4.5a =,成立. 综上可得a 的范围是[4.5,)+∞. 故答案为:[4.5,)+∞.题型二:含两个绝对值的和的问题例4.不等式|1||2|4x x -++的解集是( ) A .53(,)22-B .53[,]22-C .3[2,]2-D .5[,1)2-【解析】解:令()|1||2|f x x x =-++, 则21,2()3,2121,1x x f x x x x ---⎧⎪=-<<⎨⎪+⎩,∴当2x -时,|2||1|4214x x x ++-⇔--,522x ∴--; 当21x -<<时,有34恒成立,当1x 时,|2||1|4214x x x ++-⇔+,312x∴. 综上所述,不等式|2||1|4x x ++-的解集为5[2-,3]2.故选:B .例5.不等式2|1||2|2x x a a ++--恒成立,则a 的取值范围是( ) A .(,3)-∞B .(3,)+∞C .[1-,3]D .(-∞,1][3-,)+∞【解析】解:|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-++-=,|1||2|x x ∴++-的最小值为3,2|1||2|2x x a a ++--恒成立,∴只需223a a -,13a ∴-,a ∴的取值范围为[1-,3].故选:C .例6.若关于x 的不等式|2||1|x x a -+-在R 上恒成立,则a 的最大值是( ) A .0B .1C .1-D .2【解析】解:由绝对值的性质得()|2||1||(2)(1)|1f x x x x x =-+----=,所以()f x 最小值为1,从而1a ,解得1a , 因此a 的最大值为1. 故选:B .变式5.若关于x 的不等式|2|||x x a a -+-在R 上恒成立,则a 的最大值是( )A .0B .1C .1-D .2【解析】解:化简得:|2||||(2)()||2|x x a x x a a a -+----=-,当20a -,即2a 时,上式化为2a a -,实数a 无解;当20a -,即2a 时,上式化为2a a -,解得22a ,解得1a , 综上,实数a 的范围为1a , 则实数a 的最大值为1. 故选:B .变式6.不等式|1||24|6x x ++->的解集为 (-∞,1)(3-⋃,)+∞ . 【解析】解:由于33,1|1||24|5,1233,2x x x x x x x x -<-⎧⎪++-=--<⎨⎪-⎩,故当1x <-时,不等式即336x ->,解得1x <-. 当12x -<时,不等式即56x ->,解得x 无解.当2x 时,不等式即336x ->,解得3x >. 综上可得,不等式的解集为(-∞,1)(3-⋃,)+∞, 故答案为(-∞,1)(3-⋃,)+∞.变式7.关于x 的不等式|2||8|x x a -+-在R 上恒成立,则a 的最大值为 6 . 【解析】解:由绝对值的性质得()|2||8||(2)(8)|6f x x x x x =-+----=,所以()f x 最小值为6,从而6a ,解得6a , 因此a 的最大值为6. 故答案为:6.变式8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x 时,1()(|||2|3||)2f x x a x a a =-+--.若集合{|(1)()0x f x f x -->,}x R ∈=∅,则实数a 的取值范围为 1(,]6-∞ .【解析】解:若{|(1)()0x f x f x -->,}x R ∈=∅, 则等价为(1)()0f x f x --恒成立,即(1)()f x f x -恒成立, 当0x 时,1()(|||2|3||)2f x x a x a a =-+--.若0a ,则当0x 时,1()(23)2f x x a x a a x =-+-+=,()f x 是奇函数,∴若0x <,则0x ->,则()()f x x f x -=-=-,则()f x x =,0x <,综上()f x x =,此时函数为增函数,则(1)()f x f x -恒成立, 若0a >,若0x a 时,1()[(2)3]2f x x a x a a x =-+---=-;当2a x a <时,1()[(2)3]2f x x a x a a a =----=-;当2x a >时,1()(23)32f x x a x a a x a =-+--=-.即当0x 时,函数的最小值为a -, 由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 当0x <时,()f x 的最大值为a , 作出函数的图象如图: 由于x R ∀∈,(1)()f x f x -,故函数(1)f x -的图象不能在函数()f x 的图象的上方,结合图可得133a a -,即61a ,求得106a <, 综上16a, 故答案为:(-∞,1]6题型三:含两个绝对值的差的问题例7.若存在实数x 使得不等式2|1||1|3x x a a +---成立,则实数a 的取值范围为( ) A .(-∞317317][2-+,)+∞ B .(-∞,2][1-,)+∞C .[1,2]D .(-∞,1][2,)+∞【解析】解:令2,1()|1||1|2,112,1x f x x x x x x --⎧⎪=+--=-<<⎨⎪⎩,则2()2f x -,即2|1||1|2x x -+--,若存在实数x 使得不等式2|1||1|3x x a a +---成立, 则232a a --, 解得2a 或1a . 故选:D .例8.若关于x 的不等式2|1||2|2x x a a +-->+有实数解,则实数a 的取值范围为( ) A .(3,1)-B .(1,3)-C .(-∞,3)(1-⋃,)+∞D .(-∞,1)(3-⋃,)+∞【解析】解:|1||2||(1)(2)|3x x x x +--+--=,3|1||2|3x x ∴-+--,由不等式2|1||2|2x x a a +-->+有实数解, 知232a a >+,解得31a -<<.故选:A .例9.若关于x 的不等式2|1||2|4x x a a +--<-有实数解,则实数a 的取值范围为( )A .(-∞,1)(3⋃,)+∞B .(1,3)C .(-∞,3)(1--⋃,)+∞D .(3,1)--【解析】解:|1||2|x x +--表示数轴上的x 对应点到1-的距离减去它到2的距离,它的最大值为3,最小值等于3-,243a a ->-,2430a a -+>,3a ∴>,或1a <,故实数a 的取值范围为(-∞,1)(3⋃,)+∞,故选:A .变式9.对所有的x R ∈,不等式2|20||5|2x x a a ---+恒成立,实数a 的取值范围是 (-∞,5][3-,)+∞【解析】解:|20||5|15x x ---,对所有的x R ∈,不等式2|20||5|2x x a a ---+恒成立,则2215a a +,解得5a -或3a .故答案为(-∞,5][3-,)+∞.变式10.关于x 的不等式2|3||1|5x x a a +---的解集不是∅,则实数a 的取值范围为 (-∞,1][4,)+∞ .【解析】解:|3||1||(3)(1)|4x x x x +---+--=-, (|3||1|)4min x x ∴+--=-.不等式2|3||1|5x x a a +---的解集不是∅,∴只需25(|3||1|)4min a a x x -+--=-,2540a a ∴-+,4a ∴或1a ,a ∴的取值范围为(-∞,1][4,)+∞.故答案为:(-∞,1][4,)+∞. 题型四:含多个绝对值的问题例10.设函数()|1||2||2018||1||2||2018|()f x x x x x x x x R =++++⋯+++-+-+⋯+-∈,下列四个命题中真命题的序号是( ) (1)()f x 是偶函数;(2)当且仅当0x =时,()f x 有最小值; (3)()f x 在(0,)+∞上是增函数;(4)方程2(55)(2)f a a f a -+=-有无数个实根 A .(1)(4)B .(1)(2)C .(1)(2)(3)D .(2)(3)(4)【解析】解:()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =++++⋯+++-+-+⋯+-,()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x ∴-=-++-++⋯+-++--+--+⋯+-- |1||2||2018||1||2||2018|()x x x x x x f x =-+-+⋯+-+++++⋯++=, ()f x ∴为偶函数,故(1)正确.根据绝对值的几何意义可得()(|1||1|)(|2||2|)(|3||3|)(|2018||2018|)f x x x x x x x x x =++-+++-+++-+⋯+++- 2018(24036)2464036201820192++++⋯+==⨯,当且仅当11x -时,取等号.故(2)错误;由于1()2f f =(1),显然函数()f x 在(0,)+∞上不是增函数,故(3)不正确;由于2(55)(2)f a a f a -+=-,且函数()f x 为偶函数,2552a a a ∴-+=-,或255(2)a a a -+=--,或21551121a a a ⎧--+⎨--⎩. 解得1a =,或3a =,或32a =或13a ,故方程2(55)(2)f a a f a -+=-有无数个实根,故(4)正确. 故答案为:(1)(4) 故选:A .例11.若|1||2||10||11|x x x x m -+-+-+-对一切x R ∈恒成立,则实数m 的取值范围为 (-∞,18] . 【解析】解:244,(1)222,(12)|1||2||10||11|18,(210)22,(1011)424,(11)x x x x x x x x x x x x x -⎧⎪-<⎪⎪-+-+-+-=<⎨⎪-<⎪->⎪⎩,可得|1||2||10||11|18x x x x -+-+-+-,若|1||2||10||11|x x x x m -+-+-+-对一切x R ∈恒成立,则实数m 的取值范围为(-∞,18]. 故答案为:(-∞,18].例12.已知函数()|1||21||31||1001|f x x x x x =-+-+-+⋯+-,则当x = 171时,()f x 取得最小值. 【解析】解:()|1||21||31||1001|f x x x x x =-+-+-+⋯+- 111|1|2||3||100||23100x x x x =-+-+-+⋯+-111111|1|||||||||||||22333100x x x x x x x =-+-+-+-+-+-+⋯+-共有1(1100)10050502+⨯⨯=项 又||||||x a x b a b -+--(注:||x a -为x 到a 的距离⋯||||x a x b -+-即为x 到a 的距离加上x 到b 的距离,当x 在a ,b 之间时,||||x a x b -+-最小且值为a 到b 的距离) 所以()f x 的5050项 前后对应每两项相加,使用公式||||||x a x b a b -+--111()(1)()1002100f x -+-+⋯+⋯当x 在每一对a ,b 之间时,等号成立 由于170(170)24852⨯+⨯= 171(711)25562⨯+⨯= 所以()f x 最中间的两项(第2525,2526项)是1||71x - 所以11111()(1)()()10021007171f x -+-+⋯+- 当171x =时等号成立 则当171x =时()f x 取得最小值 变式11.已知函数()|1||21||31|f x x x x =-+-+-.则f (2)= 9 ,()f x 的最小值为 . 【解析】解:(1)f (2)|21||221||321|9=-+⨯-+⨯-= (2)136,3111,()32141,1263,1x x x f x x x x x ⎧-⎪⎪⎪<⎪=⎨⎪-<⎪⎪⎪->⎩, 由()f x 单调性知,最小值为1.变式12.已知函数()|1||2||3||20|f x x x x x =-+-+-+⋯+-,x N +∈且120x .(1)分别计算f (1),f (5),(20)f 的值;(2)当x 为何值时,()f x 取得最小值?最小值是多少? 【解析】解:(1)由()|1||2||3||20|f x x x x x =-+-+-+⋯+-, 得f (1)19(119)012191902⨯+=+++⋯+==;f (5)15(115)43210121510101201302⨯+=+++++++⋯+=+=+=; 19(191)(20)19181732101902f ⨯+=+++⋯++++==. (2)设x 是1~20中的某一整数,则()(1)(2)321012(20)f x x x x =-+-+⋯+++++++⋯+- (1)[1(1)](20)[1(20)]22x x x x -+--+-=+222121399(242420)21210()224x x x x x =-+=-+=-+. 因为x N +∈,所以当10x =或11时,()f x 取最小值, (10)(11)100f f ==,即最小值是100.【过关测试】 一、单选题1.(2022·安徽·芜湖一中高一阶段练习)已知集合{}21A x x =-≤,{}1,2,3,4B =,则A B =( ) A .{}4 B .{}3,4 C .{}2,3,4 D .{}1,2,3【答案】D【解析】因为{}{}{}2112113A x x x x x x =-≤=-≤-≤=≤≤,故{}1,2,3A B =. 故选:D.2.(2022·江苏·扬州市邗江区蒋王中学高一阶段练习)设a ∈R ,若不等式22112480x x ax x x x-+++-+≥恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .[]1,5- B .[]1,6- C .[]2,6- D .[]2,2-【答案】C【解析】由题意可得()221142+++8a x x x x x-≤-,且0x ≠. 当0x >时,可得2211842+++a x x x x x-≤-, 由绝对值三角不等式可得222211811888++++++=2+22x x x x x x x x x x x x x x-≥-≥⋅, 当且仅当=2x 时,等号成立,所以,428a -≤,可得2a ≥-;当<0x 时,可得222211811842++a x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-≥--+---=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为()222211811888++2228x x x x x x x x x x x x x x--≥-++-=-+≥-⋅=--, 当且仅当=2x -时,等号成立,故428a -≥-,解得6a ≤.综上所述,26a -≤≤.故选:C.3.(2022·河南·新密市第一高级中学高一阶段练习)设a ,b 是实数,集合{}1,A x x a x R =-<∈,{}|||3,B x x b x R =->∈,且A B ⊆,则a b -的取值范围为( )A . []0,2B .[]0,4C .[)2,+∞D .[)4,+∞ 【答案】D【解析】集合{}{}1,|11A x x a x R x a x a =-<∈=-<<+,{}{3,|3B x x b x R x x b =-∈=<-或}3x b >+ 又A B ⊆,所以13a b +≤-或13a b -≥+即4a b -≤-或4a b -≥,即4a b -≥所以a b -的取值范围为[)4,+∞故选:D4.(2022·浙江·温州中学高一期中)已知函数()()122021122021f x x x x x x x x R =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-∈,且实数a 满足()()221f a a f a --=+,则实数a 的取值范围为( )A .3a =或1a =11315a --≤≤B .3a =或1a =C .3a =或1a =-D .3a =或1a =或1a =-【答案】A【解析】因为函数()f x 的定义域为R ,而()()f x f x -=,所以函数()f x 为偶函数,又112x x ++-≥,当且仅当11x -≤≤时取等号, 224x x ++-≥,当且仅当22x -≤≤时取等号,……202120214042x x ++-≥,当且仅当20212021x -≤≤时取等号,所以()()1220211220212122021f x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-≥+++,当且仅当11x -≤≤时取等号,当12x ≤≤时,()()122021122021=2222021f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-+++,当23x ≤≤时,()()122021122021=4232021f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-+++,…… 当20202021x ≤≤时,()122021122021=404022021f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-+⨯, 当2021x >时,()122021122021=4042f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-,故函数()f x 在[)1,+∞上递增,再根据函数()f x 为偶函数,所以()f x 在(],1-∞-上递增,因此()()221f a a f a --=+可等价于221a a a --=+或()221a a a --=-+或2121111a a a ⎧-≤--≤⎨-≤+≤⎩,解得1a =-或3a =或1a =11315a --≤≤ 故选:A .5.(2022·江苏·海安高级中学高一阶段练习)若不等式21x x a +--≤对一切x R ∈恒成立.则实数a 的取值范围为( )A .3a >B .3a <C .3a ≥D .3a ≤【答案】C 【解析】设21y x x =+--,当21x -≤≤时,()2121y x x x =++-=+;当1x >时,()()213y x x =+--=;当<2x -时,()()213y x x =-++-=-, 故21y x x =+--有最大值3. 21x x a +--≤对一切x ∈R 恒成立,则a 必大于等于21y x x =+--的最大值3.故取值范围为[)3,+∞.故选:C .6.(2022·全国·高一课时练习)已知函数()()1,f x ax b a b R x =++∈,当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,设()f x 的最大值为(),M a b ,则(),M a b 的最小值为( )A .18B .14C .12D .1【答案】B【解析】函数()()1,f x ax b a b R x =++∈,当1[2x ∈,2]时,()f x 的最大值为(,)M a b , 可得1(,)(2)|2|2M a b f a b ≥=++,11(,)()|2|22M a b f a b ≥=++,(,)(1)|1|M a b f a b ≥=++,可得1(3M a ,2)(3b M a +,)(b M a +,211124)1336333b a b a b a b ≥++++++++ 211124113363332a b a b a b ≥+++++---=, 即()12,2M a b ≥,即有()1,4M a b ≥,则(,)M a b 的最小值为14, 故选:B 7.(2022·浙江杭州·高一期末)当[1,1]x ∈-时,不等式2||||1ax b x c ++≤恒成立,则||||||a b c ++的最大值为( )A .18B .17C .16D .15【答案】B【解析】因为[1,1]x ∈-, 所以[0,1]x ∈, 当0x =时,可得1c ≤①, 当12x =时,可得142a b c ++≤②, 当1x =时,可得1a b c ++≤③, 由①②③可得114()()84222a b a c a b c c =++-++-≤, 134()()84244a b b c a b c c =++-++-≤, 所以88117a b c ++≤++=,故选:B8.(2022·江苏省太湖高级中学高一期中)设{}|22A x x =-≥,{}|1B x x a =-<,若A B ⋂=∅,则a 的取值范围为( )A .1a <B .01a <≤C .1a ≤D .03a <≤【答案】C 【解析】由22x -≥得22x -≤-或22x -≥,解得0x ≤或4x ≥,所以(][),04,A =-∞⋃+∞, 由1x a -<得1a x a -<-<,解得11a x a -<<+,所以()1,1B a a =-+.当0a ≤时,B =∅,A B ⋂=∅,符合题意. 当0a >时,由于A B ⋂=∅,所以1014a a -≥⎧⎨+≤⎩,解得01a <≤. 综上所述,a 的取值范围是1a ≤.故选:C9.(2022·辽宁·沈阳二中高一阶段练习)已知函数()1f x mx x =--(0m >),若关于x 的不等式()0f x <的解集中的整数恰有3个,则实数m 的取值范围为( )A .01m <≤B .4332m ≤<C .312m <<D .322m ≤< 【答案】B【解析】()0f x <可化为1mx x <-,作函数y mx =与函数1y x =-的图象如下,结合图象可知,关于x 的不等式()0f x <的解集中的3个整数解为0,1-,2-; 故只需使221331m m ⎧-<--⎪⎨-≥--⎪⎩,解得4332m ≤<; 故选:B .二、多选题10.(2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期中)定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩,若函数{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+,且()f x 在区间[,]m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则区间[,]m n 长度可以是( ) A .74B .72C .114D .1【答案】AD 【解析】令23333x x x -+≤--+①,当3x ≥时,不等式可整理为2230x x --≤,解得13x -≤≤,故3x =符合要求,当3x <时,不等式可整理为2430x x -+≤,解得13x ≤≤,故13x ≤<,所以不等式①的解为13x ≤≤; 由上可得,不等式23333x x x -+>--+的解为1x <或3x >,所以()233,1333,13x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--+⎪⎩或, 令23334x x -+=,解得32x =,令27334x x -+=,解得52x =或12,令3334x --+=,解得34x =或214,令7334x --+=,解得74x =或174,所以区间[],m n 的最小长度为1,最大长度为74. 故选:AD.11.(2022·江苏·靖江高级中学高一阶段练习)若R x ∃∈,使得|21||32|x x m +--<成立是假命题,则实数m 可能取值是( )A .5B .4C .4-D .5-【答案】CD【解析】因为R x ∃∈,使得|21||32|x x m +--<成立是假命题,所以R x ∀∈,都有|21||32|x x m +--≥.记()|21||32|f x x x =+--,只需()min m f x ≤. ()34,213=|2+1||32|=42,<2214,<2x f x x x x x x ≥----≤--⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩, 所以()min 4f x =-,所以4m ≤-.对照四个选项,C 、D 符合题意.故选:CD12.(2022·辽宁·沈阳市第五中学高一阶段练习)下面命题中正确的为( )A .不等式|1||2|3x x ++->的解集为RB .不等式|1||2|3x x ++-≥的解集为RC .不等式|1||2|5++->x x 的解集为(2,3)x ∈-D .不等式|1||2|5++->x x 的解集为(,2)(3,)x ∈-∞-⋃+∞【答案】BD【解析】对于A ,当0x =时,|1||2|3x x ++-=,故选项A 错误;对于B ,因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥---=,即不等式|1||2|3x x ++-≥恒成立,所以不等式|1||2|3x x ++-≥的解集为R ,故选项B 正确;对于C ,不等式|1||2|5++->x x ,当1x <-时,则125x x --+->,解得<2x -;当12x -≤≤时,则125x x ++->,解得x ∈∅;当2x >时,则125x x ++->,解得3x >.综上所述,不等式|1||2|5++->x x 的解集为(,2)(3,)x ∈-∞-⋃+∞,故选项C 错误,D 正确.. 故选:BD.三、填空题13.(2022·天津市汇文中学高一阶段练习)关于x 的不等式|x -2|+|x +1|≤10的解集为___________.【答案】911,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】当x >2时,原不等式可化为:(x -2)+x +1≤10,解得2<x ≤112;当-1≤x ≤2时,原不等式可化为:-(x -2)+x +1≤10,即3≤10,所以-1≤x ≤2;当x <-1时,原不等式可化为:-(x -2)-(x +1)≤10,即-2x ≤9,解得92-≤x <-1. 综上所述,原不等式的解集是911,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为:911,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.14.(2022·全国·高一专题练习)不等式122x x x -+-<+的解集为_________. 【答案】153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ 【解析】23,2121,1223,1x x x x x x x ->⎧⎪-+-=≤≤⎨⎪-+<⎩,|1||2|2x x x ∴-+-<+化为:2232x x x >⎧⎨-<+⎩或1212x x ≤≤⎧⎨<+⎩或1232x x x <⎧⎨-+<+⎩解得:25x <<或12x ≤≤或113x <<.∴不等式|1||2|2x x x -+-<+的解集为:153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭故答案为:153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭15.(2022·全国·高一专题练习)设1234T x x x x =-+-+-+-,如果x 可取任意实数值,那么T 的最小值是_____.【答案】4【解析】根据绝对值的几何意义可知,可转化为在数轴上有A B C D ,,,四点,其对应的值分别为1234,,,,求一点M ,使得MA MB MC MD +++最小,当M 在线段AD 上时,MA MD +的最小值为3,当M 在线段BC 上时,MB MC +的最小值为1, 故当M 在线段BC 上时,MA MB MC MD +++的最小值是4.故答案为:4.16.(2022·全国·高一专题练习)不等式12x x m -++≥恒成立,则m 的取值范围是_________.【答案】3m ≤ 【解析】12123y x x x x =-++≥---=,即函数的最小值是3,若不等式12x x m -++≥恒成立,则3m ≤.故答案为:3m ≤四、解答题17.(2022·广东实验中学附属天河学校高一阶段练习)已知集合{}|123A x x x =-+-<,{}2|4B x x ax =+≤,A B ⋂=∅,求a 的取值范围. 【解析】123x x -+-<表示数轴上的点x 到1与2的距离之和小于3,∴03x <<,∴()0,3A =,{}2|4B x x ax =+≤,A B ⋂=∅,∴24x ax +≤在()0,3上无解,即4≥+a x x 在()0,3上无解, ∴ ()0,3x ∀∈,4a x x <+恒成立, 444x x x x+≥⋅,当且仅当2x =时,等号成立,4a <, ∴a 的取值范围为(),4-∞18.(2022·湖北武汉·高一期中)已知函数()21f x x x =-++.(1)求不等式()4f x ≥的解集;(2)当R x ∈时,若()2f x m m ≥-恒成立,求实数m 的取值范围.【解析】(1)由于()21,1213,1221,2x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≥⎩,当1x <-时,214x -+≥,解得32x ≤-,此时32x ≤-; 当12x -≤<时,34≥不成立,此时无解;当2x ≥时,214x -≥,解得52x ≥,此时52x ≥. 综上:()4f x ≥的解集为35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. (2)∵()()()21213f x x x x x =-++≥--+=,当且仅当[]1,2x ∈-时等号成立∴23m m -≤,即230m m --≤113113m -+≤≤ ∴m 的取值范围是113113⎡-+⎢⎣⎦. 19.(2022·四川·成都铁路中学高一阶段练习)已知函数()|1|||f x x x a =-+-(1)若函数()f x 的值域为[2,)+∞,求实数a 的值(2)若(2)(2)f a f -≥,求实数a 的取值范围.【解析】(1)函数()|1||||1()||1|f x x x a x x a a =-+----=-,当()()10x x a --≤时,等号成立,|1|2a ∴-=,解得=3a 或1a =-.(2)由(2)(2)f a f -≥,可得3121a a ---≥,则13(1)(2)1a a a ≤---≥⎧⎨⎩或1<23(1)(2)1a a a ≤---≥⎧⎨⎩或>23(1)(2)1a a a ⎧⎨---≥⎩, 解得:0a ≤或322a ≤≤或2a >.综上,a 的范围是:3(,0],2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭. 20.(2022·浙江·高一阶段练习)已知a ,b ,c ∈R ,函数2y ax bx c =++.(1)若1a =,关于x 的不等式222430ax bx c x x ++≤--对任意x ∈R 恒成立,求b ,c 的值; (2)若a ,*b ∈N ,1c =,关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根,且均大于1-小于0,求a b +的最小值.【解析】(1)由224300x x --=,解得5x =或3x =-,则当5x =或3x =-时,2550930a b c a b c ⎧++≤⎪⎨-+≤⎪⎩,即2550930a b c a b c ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩,由1a =,解得215b c =-⎧⎨=-⎩,∴2b =-,15c =-;(2)由题意得2Δ4010200b ac b a a b c c ⎧=->⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-+>⎪>⎪⎩,∴2241ba b a a b⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪+>⎪⎪⎩,由244b a >≥得3b ≥,若3b =,∴329413a a a ⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪+>⎪⎪⎩,则924<<a ,无解,若4b =,∴2414aa a >⎧⎪<⎨⎪+>⎩,则34a <<,无解,若5b =,∴5225415a a a ⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪+>⎪⎪⎩,则2544a <<,∴5a =或6a =,显然5a =时,a b +更小,为10,若6b ≥,由1a b +>,得2111a b b +>-≥,∴a b +的最小值为10,当5a =,5b =时取得.21.(2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习)(1)求不等式2421x x x -++≥-的解集;(2)若不等式2321x x x mx ++--≥的解集包含(]0,1,求实数m 的取值范围;(3)已知2214x a x a -+-+≥在R x ∈时恒成立,求a 的取值范围.【解析】(1)①当1x ≥时不等式为2422x x x -++≥-解得:12x ≤≤②当1x <时,不等式为2422x x x -++≥-3171x -≤≤ 综上得:不等式的解集为:3172x x ⎧⎫-⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭∣(2)2321x x x mx ++--≥的解集包含(]0,1,故原不等式转化为:231x x mx ++≥在(]0,1恒成立,即13x m x ++≥在(]0,1恒成立,而对勾函数13y x x =++在区间(]0,1上单调递减,∴当1x =时,13y x x =++有最小值5,5m ∴≤.(3)()()222212121x a x a x a x a a a -+-+≥---+=-+, 2214x a x a ∴-+-+≥恒成立化为:2214a a -+≥,解得3a ≥或1a ≤-.。
绝对值最值问题例题
绝对值最值问题例题一、选择题(每题3分,共15分)若∣x−3∣+∣x+5∣的最小值为a,则a等于:A. 2B. 6C. 8D. 10函数f(x)=∣2x−1∣+∣x+2∣的最大值为:A. 3B. 5C. 7D. 9对于任意实数x,不等式∣x+1∣−∣x−3∣≤a恒成立,则实数a的取值范围是:A. a≥4B. a≥−4C. −4≤a≤4D. a≤4已知∣x−4∣+∣3−x∣=7,则x的取值范围是:A. x≤−3或x≥7B. −3≤x≤7C. x=−3或 x=7D. 无法确定下列函数中,其值域为[0,+∞)的是:A. y=∣x+1∣B. y=x2−4x+4C. y=x2−1D. y=∣x∣−1二、填空题(每题5分,共20分)函数f(x)=∣2x−3∣−∣x+1∣的最大值为____。
已知∣x−2∣+∣y−3∣=5,则2x+y的最大值为____,最小值为____。
若∣x−a∣+∣x+2∣≥6对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是____。
已知∣x−1∣+∣x−4∣=5,则x2+x21的值为____。
三、解答题(每题15分,共60分)求函数f(x)=∣x−1∣+∣2x+1∣的最小值,并指出此时x的取值范围。
已知∣x−3∣−∣x+1∣≤a的解集为全体实数,求实数a的取值范围。
已知∣x−4∣+∣3−2x∣≤a有解,求实数a的最小值。
已知∣x−1∣+∣x−2∣+∣x−3∣+⋯+∣x−10∣=55,求x的值。
参考答案及解析C。
由绝对值的三角不等式∣a∣+∣b∣≥∣a−b∣,得∣x−3∣+∣x+5∣≥∣(x−3)−(x+5)∣=8,当且仅当(x−3)(x+5)≤0时取等号,即−5≤x≤3。
C。
分情况讨论:当x≤−21时,f(x)=−(2x−1)−(x+2)=−3x−1;当−21<x<21时,f(x)=−(2x−1)+(x+2)=−x+3;当x≥21时,f(x)=(2x−1)+(x+2)=3x+1。
易知f(x)在(−∞,−21]上单调递减,在[−21,21]上单调递减,在[21,+∞)上单调递增,故f(x)的最大值为f(21)=25和f(+∞)=+∞中的较大者,即f(x)max=7。
绝对值求最大值和最小值的例题
绝对值求最大值和最小值的例题
【原创版】
目录
1.绝对值的概念和性质
2.绝对值在求最大值和最小值问题中的应用
3.例题解析
正文
一、绝对值的概念和性质
绝对值是一个数到 0 的距离,表示为|a|,它永远是非负的。
对于实数 a,其绝对值可以表示为:
当 a≥0 时,|a|=a;
当 a<0 时,|a|=-a。
二、绝对值在求最大值和最小值问题中的应用
在数学问题中,求最大值和最小值是非常常见的。
利用绝对值的性质,可以简化这类问题的求解过程。
1.求最大值问题
假设有一个实数集合 A,求 A 中的最大值。
我们可以通过求 A 中每个元素的绝对值,然后比较这些绝对值的大小,找到最大值。
2.求最小值问题
同样,假设有一个实数集合 A,求 A 中的最小值。
我们可以通过求 A 中每个元素的绝对值,然后比较这些绝对值的大小,找到最小值。
三、例题解析
例题:求下列集合中的最大值和最小值。
集合 A={-3, 2, -5, 1, -1}
1.求最大值
首先,求集合 A 中每个元素的绝对值:|-3|=3, |2|=2, |-5|=5,
|1|=1, |-1|=1。
比较这些绝对值,可以发现 5 是最大值,对应的元素是 -5。
因此,集合 A 中的最大值是 -5。
2.求最小值
首先,求集合 A 中每个元素的绝对值:|-3|=3, |2|=2, |-5|=5,
|1|=1, |-1|=1。
比较这些绝对值,可以发现 1 是最小值,对应的元素是 1 和-1。
探索绝对值的最值问题
探究四
问题:当x= 时, ∣x-1∣+ ∣x-2∣+ ∣x- 3∣+ ∣x-4∣有最小值,最小值是多少? 同样,我们可以分为∣x-1∣+ ∣x-4∣和 ∣x -2∣+ ∣x-3∣两组 当1≤x≤4时, ∣x-1∣ + ∣x-4∣有最小值为3. 当2≤x≤3时, ∣x-2∣ + ∣x-3∣有最小值为1. 二者同时取最小值的条件是2≤x≤3 因此,当2≤x≤3时, ∣x-1∣+ ∣x-2∣+ ∣x- 3∣+ ∣x-4∣有最小值,最小值是4
⑵当n为偶数时
当
a
n 2
x a n1 时Biblioteka 原式有最小值. 2拓展延伸一
问题:当x= 时, ∣x-1∣+ ∣x-2∣+ ∣x- 3∣+...+ ∣x-2012∣有最小值,最小值是多少? 当1006≤x≤1007时,原式有最小值. 它的最小值 (1007-1006)+(1008-1005)+(1009-1004)+...+ (2012-1) =1+3+5+7+...+2011 =10062
3、∣x-1∣ + ∣x-2∣表示的意义又是什么?
问题解决
解:设A:1,B:2,M:x 则AM=∣x-1∣,BM= ∣x-2∣ AM+BM= ∣x-1∣+ ∣x-2∣ 如图,易知当点M在AB上时,AM+BM有 最小值 因此,当1≤x≤2时, ∣x-1∣+ ∣x-2∣ 有最小值,最小值是1(AB=1) 注:也可用分类讨论的方法求∣x-1∣+ ∣x -2∣的最小值
知识准备
1、∣a∣表示的意义是什么? ∣a∣的意义:在数轴上表示数a的点到原点的距离 2、∣a∣是什么数?最小是多少? ∣a∣是非负数,即∣a∣≥0,最小值是0 3、你知道∣x+2∣表示的意义吗?它的最小值 是多少? ∣x+3∣的意义:在数轴上表示数x的点到表示3的 点的距离;最小值是0.
绝对值函数基础练习题(含答案解析)
绝对值函数基础练习题(含答案解析)
绝对值函数是数学中的一种基本函数,它表示一个数与零的距离。
下面是一些绝对值函数的基础练题,每个题目都包含了答案和解析。
1. 求解以下绝对值方程:
a) |2x - 3| = 5
b) |4 - 3x| = 7
答案解析:
a) 2x - 3 = 5 或者 2x - 3 = -5
解得 x = 4 或者 x = -1
b) 4 - 3x = 7 或者 4 - 3x = -7
解得 x = -1 或者 x = 11/3
2. 求解以下绝对值不等式:
a) |3x + 2| > 10
b) |5 - 2x| ≤ 8
答案解析:
a) 3x + 2 > 10 或者 3x + 2 < -10
解得 x > 8/3 或者 x < -4
b) 5 - 2x ≤ 8 或者 5 - 2x ≥ -8
解得x ≤ -1/2 或者x ≥ 13/2
3. 求以下函数的定义域:
a) f(x) = |x - 1|
b) g(x) = |2x + 3|
答案解析:
a) f(x) = |x - 1| 为一个绝对值函数,对于任意实数 x,f(x) 都有定义。
因此,f(x) 的定义域为所有实数。
b) g(x) = |2x + 3| 为一个绝对值函数,对于任意实数 x,g(x) 都有定义。
因此,g(x) 的定义域为所有实数。
以上就是绝对值函数基础练题的答案解析部分。
希望这些练题能够帮助你更好地理解和应用绝对值函数。
绝对值的题目及答案
绝对值的题目及答案绝对值是数学中的一个重要概念,指数值与零点的距离,一般用两个竖线表示。
在日常生活中,绝对值常用于计算温度、距离等物理量,也可用于求解方程、不等式等数学问题。
下面列举几个绝对值的题目及答案:题目一:求 |-5| + |3|解答:根据绝对值的定义,|-5| = 5,|3| = 3,所以 |-5| + |3| = 5 + 3 = 8。
题目二:求解方程 |2x - 1| = 5解答:根据绝对值的定义,当 2x - 1 > 0 时,|2x - 1| = 2x - 1;当 2x - 1 < 0 时,|2x - 1| = -(2x - 1) = -2x + 1。
根据以上推理,可以列出如下的方程:2x - 1 = 5 时,解得 x = 3。
-2x + 1 = 5 时,解得 x = -2。
所以方程 |2x - 1| = 5 的解为 x = 3 或 x = -2。
题目三:求解不等式 |x - 3| < 4解答:根据绝对值的定义,当 x - 3 > 0 时,|x - 3| = x - 3;当 x - 3 < 0 时,|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3。
根据以上推理,可以列出如下的不等式:x - 3 < 4 时,解得 x < 7。
-x + 3 < 4 时,解得 x > -1。
所以不等式 |x - 3| < 4 的解为 -1 < x < 7。
除了上述题目外,还有很多与绝对值相关的问题,如求绝对值函数的图像、讨论绝对值不等式的解集等等。
在解决这些问题时,需要深入理解绝对值的概念,掌握相关的计算方法,才能做出准确的答案。
综上所述,绝对值是数学中重要的概念之一,广泛应用于各种问题中。
通过练习多个绝对值的题目,不仅可以提高自己的数学水平,还能训练自己的思维能力和解决问题的能力。
因此,在学习数学时,应该多关注绝对值,并勤加练习。
含绝对值函数的最值问题
专题三: 含绝对值函数的最值问题1. 已知函数2()2||f x x x a =--(0>a ),若对任意的[0,)x ∈+∞,不等式(1)2()f x f x -≥恒成立,求实数a 的取值范围. 不等式()()12f x f x -≥化为*)对任意的[)0,x ∈+∞恒成立因为0a >,所以分如下情况讨论:①当0x a ≤≤时,不等式(*)24120[0,]x x a x a ++-≥∀∈对恒成立②当1a x a <≤+时,不等式(*)即24160(,1]x x a x a a -++≥∀∈+对恒成立由①知102a <≤,2()416(,1]h x x x a a a ∴=-+++在上单调递减 2.已知函数f (x )=|x -a |,g (x )=x 2+2ax +1(a 为正数),且函数f (x )与g (x )的图象在y 轴上的截距相等.(1)求a 的值;(2)求函数f (x )+g (x )的最值.【解析】(1)由题意f (0)=g (0),∴|a |=1.又∵a >0,∴a =1.(2)由题意f (x )+g (x )=|x -1|+x 2+2x +1.当x ≥1时,f (x )+g (x )=x 2+3x 在[1,+∞)上单调递增,当x <1时,f (x )+g (x )=x 2+x +2在⎣⎡⎭⎫-12,1上单调递增,在(-∞,12-]上单调递减. 因此,函数f (x )+g (x )在(-∞,12-]上单调递减,在⎣⎡⎭⎫-12,+∞上单调递增. 所以,当x =12-时,函数f (x )+g (x )的最小值为74;函数无最大值. 5.已知函数2()2f x x x x a =+-,其中a R ∈.2min ()4120[0,]()(0)120102g x x x a a g x g a a =++-≥∴==-≥∴<≤在上单调递增只需(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若不等式4()16f x ≤≤在[1,2]x ∈上恒成立,求a 的取值范围.6.设函数b a x x x f +-=||)(, ,a b R ∈(1)若11,4a b ==-,求函数()f x 的零点; (2)若函数)(x f 在]1,0[上存在零点,求实数b 的取值范围.解:(Ⅰ)分类讨论解得:11,22x x ==...................................................4分 (Ⅱ)函数)(x f 在]1,0[上存在零点,即||x x a b -=-,[0,1]x ∈上有解,令()||g x x x a =-,只需{|(),[0,1]}b y y g x x -∈=∈..................................................5分 当0a ≤时,2()()g x x x a x ax =-=-,在]1,0[递增,所以()[0,1]g x a ∈-,即10a b -≤≤...............................................................................7分 当1a ≥时,2()()g x x a x x ax =-=-+,对称轴2a x = 又当2a ≥ ()g x 在]1,0[递增,所以()[0,1]g x a ∈-,即10ab -≤≤当12a << ()g x 在[0,]2a 递增,[,1]2a 递减,且所以2()[0,]4a g x ∈,即204ab -≤≤ ...............................................................................................................................................10分当01a <<时,22 [0,]()() [,1]x ax x a g x x a x x ax x a ⎧-+∈⎪=-=⎨-∈⎪⎩ 易知,()g x 在[0,]2a 递增,[,]2a a 递减,[,1]a 递减,所以min ()0f x =, 2max (){(),(1)}{,1}4a f x f a f a ==-,当01)a <≤,max ()(1)1f x f a ==-,所以()[0,1]g x a ∈-,即10a b -≤≤当1)1a <<,2max ()()4a f x f a ==,所以2()[0,]4a g x ∈,即204a b -≤≤ .....................................................................................................................................................14分综上所述:当1)a ≤时,10a b -≤≤当1)2a <<,204a b -≤≤ 当2a ≥,10a b -≤≤........................................................................................15 分7.已知函数()()243f x x a x a =+-+-.(I )若()f x 在区间[]0,1上不单调,求a 的取值范围;(II )若对于任意的(0,4)a ∈,存在[]00,2x ∈,使得()0f x t ≥,求t 的取值范围. 解:401242a a -<-<⇒<<……5分 (II ) 解法:()()()()||12113f x x a x x x a =-+--=-+-⎡⎤⎣⎦ ……9分 Q 011x -≤,{}03max 1,3x a a a +-≤-- ……………13分且上述两个不等式的等号均为0x =或2时取到,故()max 1,24||3,02a a f x a a -≤<⎧=⎨-<<⎩ 故()max ||1f x ≥,所以1t ≤……15分 、8.已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-.(Ⅰ)若当x ∈R 时,不等式()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围;(Ⅱ)求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[2,2]-上的最大值.解:(1)不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立,即2(1)|1|x a x --≥(*)对x ∈R 恒成立,①当1x =时,(*)显然成立,此时a ∈R ;②当1x ≠时,(*)可变形为21|1|x a x -≤-,令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 因为当1x >时,()2x ϕ>,当1x <时,()2x ϕ>-,所以()2x ϕ>-,故此时2a -≤. 综合①②,得所求实数a 的取值范围是2a -≤.(2)因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥…10分 ①当1,22a a >>即时,结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减,在[1,2]上递增, 且(2)33,(2)3h a h a -=+=+,经比较,此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ②当01,22a a 即0≤≤≤≤时,结合图形可知()h x 在[2,1]--,[,1]2a -上递减, 在[1,]2a --,[1,2]上递增,且(2)33,(2)3h a h a -=+=+,2()124a a h a -=++, 经比较,知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ③当10,02a a -<<即-2≤≤时,结合图形可知()h x 在[2,1]--,[,1]2a -上递减, 在[1,]2a --,[1,2]上递增,且(2)33,(2)3h a h a -=+=+,2()124a a h a -=++, 经比较,知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. ④当31,222a a -<-<-即-3≤≤时,结合图形可知()h x 在[2,]2a -,[1,]2a -上递减, 在[,1]2a ,[,2]2a -上递增,且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥, 经比较,知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. 当3,322a a <-<-即时,结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减,在[1,2]上递增, 故此时()h x 在[2,2]-上的最大值为(1)0h =.综上所述,当0a ≥时,()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +;当30a -<≤时,()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +;当3a <-时,()h x 在[2,2]-上的最大值为0.。
绝对值求最大值和最小值的例题
绝对值求最大值和最小值的例题绝对值求最大值和最小值的例题一、概念解释在数学中,绝对值是一个非常重要的概念。
它表示一个数距离零点的距离,无论这个数是正数或者负数。
绝对值通常用来表示距离的绝对量,它的定义如下:如果 x 是一个实数,那么 x 的绝对值表示为 |x|,它的计算公式如下:当x ≥ 0 时,|x| = x;当 x < 0 时,|x| = -x。
举例来说,-5 的绝对值是 |-5| = 5;而 5 的绝对值还是 5。
在实际问题中,经常会遇到需要对绝对值求最大值和最小值的情况,特别是在优化问题中,这个方法非常有用。
二、求最大值和最小值的例题接下来,我们通过例题来演示如何利用绝对值求最大值和最小值。
例题1:已知函数 f(x) = |2x - 3|,求 f(x) 的最大值和最小值。
解析:我们知道 |2x - 3| 表示一个关于 x 的带绝对值的函数。
要求最大值和最小值,可以考虑当 |2x - 3| 取得极值时的 x 值。
由于 |2x - 3| 的图像是关于 x 轴对称的,因此我们只需要考虑 |2x - 3| 在x ≥ 0 区间的情况。
当 2x - 3 ≥ 0 时,有 |2x - 3| = 2x - 3;当 2x - 3 < 0 时,有 |2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x。
我们可以得到两个函数:f1(x) = 2x - 3,x ≥ 0;f2(x) = 3 - 2x,x ≥ 0。
接下来,我们分别对 f1(x) 和 f2(x) 求导,找到导数为 0 的点,并判断极值的情况。
f1'(x) = 2;f2'(x) = -2。
由此我们可以知道,f1(x) 在x ≥ 0 时是单调递增的,而 f2(x) 在x ≥ 0 时是单调递减的。
f(x) = |2x - 3| 在x ≥ 0 区间上的最小值出现在 x = 0 处,最大值是 x 趋向无穷时的极限值。
经过计算和分析,我们可以得出最小值为 3,最大值为正无穷。
含绝对值函数的最值问题.docx
专题三:含绝对值函数的最值问题1.已矢II函a f(x) = x2-2\x-a\ ( a>0 ),若对任意的兀w[0,+oo),不等式/(x-l)>2/(x)恒成立,求实数d的取值范围.不等式 / (兀_ 1) n 2/(兀)化为(x —1) —2 x — \ — ci n 2兀2 _ 4 x _ G即:4 x-a -2 x-(l + «)| < x2 +2%-1 (*)对任意的xw[0,+oo)恒成立因为d〉0,所以分如下情况讨论:①当0<x<a时,不等式(*) x2+4x+l-2a>0X^Vxe[O,a]恒成立•・・g(兀)=/ +牡+1 _2G n 0在[0,町上单调递增•••只需g(兀)mb = g(0) = 1 - 2a A 00 V Q W —2②当acxSa + l 时,不等式(*)即x2 -4x + l + 66t>0对\/xw(a,d + l]恒成立由①知0 < a W ,二/?(x) = x2 -4x + l + 6d在(d,a4-1]上单调递减/.只需"(x)min =力(1 +。
)= a? + 4G— 2 » 0 /. a —2 —或a n V6 — 2vV6-2<- A V6-2<tz<-2 2③当x>a + l时,不等式(*)化为即H + 2a-3巴0对V"(a+,+8)恒成立a 兰-2 - 或a 工- 22.己知函数f[x)=\x—a\y g(x)=x+2ax+\(a为正数),且函数/(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等.⑴求a的值;(2)求函数⑴的最值.【解析]⑴由题意/(0) = g(0),・・・圈=1.又・.・a>0, .S I.⑵由题意几¥)+ g(x) = |x - 11 + x2 3 + 2x + 1.当兀2 1时,/(x) + g(Q = / + 3兀在[1, +oo)上单调递增,当*1时,/W + g(x)=/ +兀+ 2在-* 1)上单调递增,在(-co,3 7所以,当乳=——时,函数fix) + g(x)的最小值为一;函数无最大值. 一丄]上单调递减.2因此,函数./(X)+ £(/)在(- 00,-丄]上单调递减,在-*2 L -+ 00 上单调递增.a < 0 时?Z(a)是方程 a/ + 8x+ 3=5的较小根,故Z(a)=—8 + \/64 4- 8a — 4 + \/16 + 2a②当3 - — ^5即a W-8时丿(a)是方程a/ a+ 8咒+ 3=-5的较大根,故1(a)=—8 — v^64 ~ 32fl. — 4 — J16 ~ 8a , /z 、 -------------------------------- •综上,Z(a)=•\ 当 a V — 8-4--71^2Q ,(-8 < a <0).时丿(°)= - J"-8a =.,在亠 74 - 2a - 2(-a , - 8]上单调递增,当一 8 < a < 0时,/(«)= -4 + >/16 + 2。
关于专题与绝对值函数有关参数最值及范围问题
专题与绝对值函数有关的参数最值及范围问题种类一常数项含参数2﹣5|x ﹣a|+2a1.函数 f〔x〕=x〔Ⅰ〕假设 0<a<3,x∈[a,3] ,求 f〔x〕的单调区间;〔Ⅱ〕假设 a≥0,且存在实数 x1,x2 满足〔x1﹣a〕〔x2﹣a〕≤0,f〔x1〕=f〔x2〕=k.设|x 1﹣x2| 的最大值为 h〔k〕,求 h〔k〕的取值范围〔用 a 表示〕.2 a 0 ,函数 2f (x) x 5| x a| 2a〔Ⅰ〕假设函数f (x) 在[0,3] 上单调,求实数a的取值范围;〔Ⅱ〕假设存在实数x1,x2 ,满足(x1 a) ( x2 a) 0 且f ( x1) f ( x2 ),求当a变化时,x x 的取值范围.1 23. 函数f ( x) 和g( x) 的图象关于原点对称, 2f (x) x 2x .〔1〕假设函数1h( x) f ( x) x 2x a 有四个不同样零点,求实数 a 的取值范围2〔2〕若是关于任意x R,不等式g(x) c f (x) x 1 恒成立,求实数 c 的取值范围5.函数 2f (x) x | x 1 a |,其中a为实常数.〔1 〕判断f (x) 的奇偶性;〔2〕判断错误!未找到引用源。
在错误!未找到引用源。
上的单调性;〔3〕假设对任意x R,使不等式f (x) 2 |x a |恒成立,求a的取值范围.6. 函数 2f (x) x 2| x a|. 〔1〕假设函数y f (x) 为偶函数,求a的值;〔2〕假设1a ,求函数y f (x) 的单调递加区间;2〔3〕a 0时,对任意的x [0, ) ,f (x 1) 2 f (x) 恒成立,求实数a的取值范围.7. 函数,,〔1〕假设,试判断并用定义证明函数的单调性;〔2〕当时,求函数的最大值的表达式;〔3〕可否存在实数,使得有且仅有 3 个不等实根,且它们成等差数列,假设存在,求出所有的值,假设不存在,说明原由 .2 b x8 函数f x x 1 1是定义在a 2, a 上的偶函数,g x f x x t ,其中a, b, t 均为常数。
初一数学绝对值的最值问题
绝对值的最值问题x -a +x -b 的几何意义是数轴上表示数x 的点到表示数a 、数b 两点的距离之和,其中数a 、数b 的对应点为数轴上的一个定点,数x 的对应点为一个动点,可以在数轴上移动.绝对值的最值问题,用零点分段法可以解决,但是会比较繁琐,而采用数形结合的方法,运用绝对值的几何意义求解,往往能取得事半功倍的效果.如计算x -1+x -2的最小值.(1)将使两个绝对值分别为0时的x 值标在数轴上(如图),数轴被分为3个区域;(2)假设代表动点x 的点(图中小黑球)从左到右在数轴上移动,根据绝对值的几何意义,我们可将所求表示为两条线段的和,即S 1+S 2.(3)在3个区域中分别画出线段并比较,可以发现当1≤x ≤2时,两线段和最小,为定值1.若将题目改为计算x -1+x -2+x -3的最小值.我们使用相同的方法进行分析,发现只有当x =2时取得最小值,而不再是在一个范围内取得最小值了.经过总结归纳我们发现了这样的规律:①对于代数式:x -a 1+x -a 2+x -a 3+ +x -a n (a 1≤a 2≤a 3≤ ≤a n ):当n 为奇数时,在12n x a +=处取最小值,即在n 个点的中心点处;当n 为偶数时,在区域122n n a x a +≤≤取最小值,即数轴被n 个点分成1n +段的中心区域.②对于代数式112233n n b x a b x a b x a b x a -+-+-++- 的最值问题,我们先将代数式转化为特殊形式:123n x a x a x a x a -+-+-++- (123n a a a a ≤≤≤≤L ),然后通过上述方法求解.如:111212222222x x x x x x x -++=-++=-+-++.常见题型:绝对值的最值问题易错点:混淆两种情况中考回顾:拓展知识点例1计算下列式子的最小值:(1)212x x -+-(2)241x x -++例2已知759x -≤≤,求x 取何值时13x x --+的最大值与最小值.参考答案1.【答案】(1)当1x =时,212x x -+-取得最小值1(2)当2x =时,241x x -++取得最小值3【考点】绝对值最值问题【解析】结合数轴,利用绝对值的几何意义求解;也可以利用零点分段法.(1)当1x =时,212x x -+-取得最小值1;(2)当2x =时,241x x -++取得最小值3.2.【答案】当53x -≤≤-时,最大值为4;当79x =时,最小值为329-【考点】绝对值最值问题【解析】①数形结合,利用几何意义:13x x --+表示x 到点1和3-的距离差,画出数轴我们会发现当79x =时两者的距离差最小为329-,即()min 32139x x --+=-;当53x -≤≤-时,两者的距离差最大为4,即()max 134x x --+=.②零点分段法:先找零点,根据零点分段,当53x -≤<-时,134x x --+=;当739x -≤≤时,1322x x x --+=--,当79x =有最小值329-;当3x =-有最大值4.综上所得,当53x -≤≤-时,最大值为4;当79x =时,最小值为329-.。
完整版)绝对值练习题(含答案)
完整版)绝对值练习题(含答案)2.3 绝对值一、选择题1.下列说法中正确的个数是(。
)1) 一个正数的绝对值是它本身;2) 一个非正数的绝对值是它的相反数;3) 两个负数比较,绝对值大的反而小;4) 一个非正数的绝对值是它本身。
A。
1个 B。
2个 C。
3个 D。
4个2.若 -│a│ = -3.2,则 a 是(。
)A。
3.2 B。
-3.2 C。
±3.2 D。
以上都不对3.若│a│=8,│b│=5,且 a+b>0,那么 a-b 的值是(。
) A。
3 或 13 B。
13 或 -13 C。
3 或 -3 D。
-3 或 -134.一个数的绝对值等于它的相反数的数一定是(。
)A。
负数 B。
正数 C。
负数或零 D。
正数或零5.当 a<0 时,化简 a+|a| 的结果为(。
)A。
3a/2 B。
0 C。
-1 D。
-2a/3二、填空题6.绝对值小于 5 而不小于 2 的所有整数有_________。
4,-3,-2,2,3,47.绝对值和相反数都等于它本身的数是_________。
8.已知│a-2│+(b-3)+│c-4│=0,则 3a+2b-c=_________。
179.比较下列各对数的大小(用“)”或“〈”填空〉1) -3/2 〈 -3211/1000.2) -1 〈 -1.167.3) -5/369 〈 |-1|。
10.有理数 a,b,c 在数轴上的位置如图所示:试化简:│a+b│-│b-1│-│a-c│-│1-c│=___________。
2三、解答题11.计算1) │-6.25│+│+2.7│=6.25+2.7=8.95;2) |-8|+|-3|+|-20|=8+3+20=31.12.比较下列各组数的大小:1) -1/2 〈 -2/3 〈 -0.3;2) -2/33 〈 -2 〈 -3/10.13.已知│a-3│+│-b+5│+│c-2│=0,计算 2a+b+c 的值。
a+b+c=0,代入得 2a+b+c=2a-2b+8.14.如果 a、b 互为相反数,c、d 互为倒数,x 的绝对值是1,求代数式 x+(a+b)x-•cd 的值。
绝对值的最值问题(终审稿)
绝对值的最值问题文稿归稿存档编号:[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-【例题1】:求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值,并求出此时x的值分析:先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程可令x+11=0,x-12=0,x+13=0?得x=-11,x=12,x=-13(-13,-11,12是本题零点值)1)当x<-13时,x+11<0,x-12<0,x+13<0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-122)当x=-13时,x+11=-2,x-12=-25,x+13=0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=403)当-13<x<-11时,x+11<0,x-12<0,x+13>0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+144)当x=-11时,x+11=0,x-12=-23,x+13=2,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=255)当-11<x<12时,x+11>0,x-12<0,x+13>0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+366)当x=12时,,x+11=23,x-12=0,x+13=25,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=487)当x>12时,x+11>0,x-12>0,x+13>0,则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12可知:当x<-13时,|x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27当x=-13时,|x+11|+|x-12|+|x+13|=40当-13<x<-11时,|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14 ,25<-x+14 <27当x=-11时,|x+11|+|x-12|+|x+13|=25当-11<x<12时,|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36,25<x+36<48当x=12时?|x+11|+|x-12|+|x+13|= 48当x>12时,|x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25,此时x=-11解:可令x+11=0,x-12=0,x+13=0?得x=-11,x=12,x=-13(-13,-11,12是本题零点值)将-11,12,-13从小到大排列为-13<-11<12可知-11处于-13和12之间,所以当x=-11时,|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小值是25例题4:求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值分析:回顾化简过程如下令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0则零点值为x=1, x=2 ,x=3 ,x=4(1)当x<1时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10(2)当1≤x<2时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8(3)当2≤x<3时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4(4)当3≤x<4时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2(5)当x≥4时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10根据x的范围判断出相应代数式的范围,在取所有范围中最小的值,即可求出对应的x的范围或者取值解:根据绝对值的化简过程可以得出当x<1时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10 >6当1≤x<2时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8?4<2x+8≤6当2≤x<3时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4当3≤x<4时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-24<2x-2<6当x≥4时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10≥6则可以发现代数式的最小值是4,相应的x取值范围是2≤x≤3。
求绝对值、最大值、最小值例题
求绝对值、最大值、最小值例题1、已知关于X的方程X²+aX+4i=0 在区间[1,4]上有实根求a绝对值的最大值和最小值设a=c+di,c、d均为实数,x为实数.代入方程得:x^2+cx+(dx+4)i=0,∴x^2+cx=0,dx+4=0,∴c=-x,d=-4/x.∴|a|^2=c^2+d^2=x^2+16/x^2≥2√16=8,又x^2=1时,x^2+16/x^2=17,x^2=16时,x^2+16/x^2=17,∴|a|的最大值√17,最小值2√2.2、一个n边形有且只有四个内角是钝角,求n的最大值与最小值用不等式的方法来解由于n边形只有四个内角是钝角,则它们的四个外角是锐角,∵多边形外角和是360°(定值)所以恰有4个钝角,外角就只有4个锐角.其他的角是≥90度.外角和=360度.所以≥90度的其他外角最多有3个.n最大是3+4=7.最小n=5.3、求X-1的绝对值-X+3的绝对值的最大值与最小值已知2x/3-1>=x-5-3x/2,求x-1的绝对值-x+3的绝对值的最大值和最小值解不等式得:x≥-24/5|x-1|-|x-3|?还是||x-1|-x+3|?若是前者,可以理解为数轴上某点x(x≥-24/5)到1和3之间的距离差.可画图. 当-24/5≤x<1时,|x-1|-|x-3|=-2当1<x≤3时,|x-1|-|x-3|=x-1+x-3=2x-4,当x=1时,最小,为-2;当x=3时,最大,为2.当x>3时,|x-1|-|x-3|=x-1-x+3=2.∴|x-1|-|x-3|的最小值为-2,最大值为2.若是后者,同样的原理.可以自己解了.4、已知函数f(x)=|x²-x-2|,区间为[-3,3],求函数的最大值和最小值、绝对值f(x)=x^2-x-2=(x-1/2)^2-9/4即此函数是以1/2为对称轴,开口向上的抛物线由图像知,当x=-3时,f(x)有最大值,其值为f(-3)=(-3-1/2)^2-9/4=10f(x)=x^2-x-2=(x-2)(x+1)说明函数的两根分别为x=2或x=-1当函数与x轴相交时,有最小值,其值为f(-1)=f(2)=0。
初一数学绝对值的最值问题
绝对值的最值问题x -a +x -b 的几何意义是数轴上表示数x 的点到表示数a 、数b 两点的距离之和,其中数a 、数b 的对应点为数轴上的一个定点,数x 的对应点为一个动点,可以在数轴上移动.绝对值的最值问题,用零点分段法可以解决,但是会比较繁琐,而采用数形结合的方法,运用绝对值的几何意义求解,往往能取得事半功倍的效果.如计算x -1+x -2的最小值.(1)将使两个绝对值分别为0时的x 值标在数轴上(如图),数轴被分为3个区域;(2)假设代表动点x 的点(图中小黑球)从左到右在数轴上移动,根据绝对值的几何意义,我们可将所求表示为两条线段的和,即S 1+S 2.(3)在3个区域中分别画出线段并比较,可以发现当1≤x ≤2时,两线段和最小,为定值1.若将题目改为计算x -1+x -2+x -3的最小值.我们使用相同的方法进行分析,发现只有当x =2时取得最小值,而不再是在一个范围内取得最小值了.经过总结归纳我们发现了这样的规律:①对于代数式:x -a 1+x -a 2+x -a 3+ +x -a n (a 1≤a 2≤a 3≤ ≤a n ):当n 为奇数时,在12n x a +=处取最小值,即在n 个点的中心点处;当n 为偶数时,在区域122n n a x a +≤≤取最小值,即数轴被n 个点分成1n +段的中心区域.②对于代数式112233n n b x a b x a b x a b x a -+-+-++- 的最值问题,我们先将代数式转化为特殊形式:123n x a x a x a x a -+-+-++- (123n a a a a ≤≤≤≤L ),然后通过上述方法求解.如:111212222222x x x x x x x -++=-++=-+-++.常见题型:绝对值的最值问题易错点:混淆两种情况中考回顾:拓展知识点例1计算下列式子的最小值:(1)212x x -+-(2)241x x -++例2已知759x -≤≤,求x 取何值时13x x --+的最大值与最小值.参考答案1.【答案】(1)当1x =时,212x x -+-取得最小值1(2)当2x =时,241x x -++取得最小值3【考点】绝对值最值问题【解析】结合数轴,利用绝对值的几何意义求解;也可以利用零点分段法.(1)当1x =时,212x x -+-取得最小值1;(2)当2x =时,241x x -++取得最小值3.2.【答案】当53x -≤≤-时,最大值为4;当79x =时,最小值为329-【考点】绝对值最值问题【解析】①数形结合,利用几何意义:13x x --+表示x 到点1和3-的距离差,画出数轴我们会发现当79x =时两者的距离差最小为329-,即()min 32139x x --+=-;当53x -≤≤-时,两者的距离差最大为4,即()max 134x x --+=.②零点分段法:先找零点,根据零点分段,当53x -≤<-时,134x x --+=;当739x -≤≤时,1322x x x --+=--,当79x =有最小值329-;当3x =-有最大值4.综上所得,当53x -≤≤-时,最大值为4;当79x =时,最小值为329-.。
函数的绝对值问题(word文档良心出品)
()f x 的最值问题()f x 的最大值和最小值问题,常用有三种解法:数形结合法.....,以.值.代参..法.和三角不等式.....法.。
1、三角不等式:a b a b a b -≤±≤+≤r r r r2、赋值法:即用给定区间的函数值表示未知的参数,,也称以值代参法;3、数形结合法:分段或分类讨论,结合函数图像计算。
例1、已知2()f x x b =+,[1,2]x ∈-,讨论()()g x f x =的最大值()M b 和最小值()m b 。
解法一、数形结合法一、最小值的讨论1、当图像和X 轴有交点,即(0)(2)0f f ⋅≤,也即40b -≤≤时,最小值为0;2、当图像和X 轴没有交点时①若(0)0f >,即0b >时,整个图像在X 轴上方,最小值为(0)f b =;②若(2)0f <,即4b <-时,整个图像在X 轴下方,最小值为(2)44f b b =+=--;∴ 最小值4,4()0,40,0b b m b b b b --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩二、最大值的讨论1、(0)2f ≥-即2b ≥-时,最大值为(2)f ;(0)2f ≤-即2b ≤-时,最大值为(0)f .∴(2)4,2()(0),2f b b M b f b b b ⎧=+≥-⎪=⎨==-≤-⎪⎩(1(0)f 或(2)f 处,与(1)f -无关。
(2)当X 轴在最高点与最低点中间时,()f x 的最大值有最小值,()f x 的最大值的最小值=落差的一半。
例如:max min ()1()()2f x f x f x ≤⇒-≤ 解法二、以值代参值法: 由(1)1f b -=+,(0)f b =,(2)4f b =+,可画出图像:解法一、三角不等式法对于不单调的函数,讨论最大值时,只需先找到最高点和最低点。
{}()max (2),(0)M b f f ==例2、(15浙江理18)已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈,记(,)M a b 为函数()y f x =在[1,1]-上的最大值.(I ) 证明:当2a ≥时,(,)2M a b ≥;(II )当,a b 满足(,)2M a b ≤时,求a b +的最大值.例3、(2016.4学考18)设函数2()(,)f x ax b a b R x=--∈.若对任意的正实数a 和实数b ,总存在0[1,2]x ∈,使得0()f x ≥m ,则实数m 的取值范围是( )A.(,0]-∞B.1(,]2-∞ C.(,1]-∞ D.(,2]-∞练 习1、(2018届诸暨期末17)已知,a b R ∈,()f x ax b =+,若对于任意的[0,4]x ∈,1()2f x ≤恒成立,则2a b += 。
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绝对值函数最值问题一、准备在两个小区所在街道上建一所医院,使得两个小区到医院的距离之和最小,问医院应该建在何处?先来证明一个引理:引理:||||||y x y x +≥+……(1),当且仅当0≥xy 时等号成立 要证(1)式成立,只需证xy xy xy y x xy y x ≥++≥++||,2||22222也即是,上式显然成立,故原命题得证。
将上式的y y -换成可得||||||y x y x -≥+……(2),当且仅当0≤xy 时等号成立定理:对于任意123,,a a a ……,n a 如果123a a a ≤≤≤……1n n a a -≤, 当n 为奇数时()123||||||fx x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 等于123,,a a a ……n a 的中位数时取到,即12n x a +=时有最小值,即是()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (112)||||n n n x a x a f a -+⎛⎫+-+-≥ ⎪⎝⎭当n 为偶数时()123||||||fx x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 属于123,,a a a ……n a 的中间两个数的范围时取到,即122,n n x a a +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时有最小值。
此时()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (11)22||||n n n n x a x a f a o rf a -+⎛⎫⎛⎫+-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭该定理的证明,只需最小的与最大的结合,在中位数时同时取到最小值。
二、求下列函数的最小值:1、()|2||1|-+-=x x x f()()1|21||2||1|=---≥-+-x x x x ,当且仅当()(),021等号成立≤--x x也即是[]2,1∈x 时等号成立。
1)(≥∴x f2、()|3||2||1|-+-+-=x x x x f()()[]时等号成立。
当且仅当时等号成立当2,0|2|3,1,2|31||3||1|=≥-∈=---≥-+-x x x x x x x()()时等号成立当且仅当22=≥∴x x f2.1、求x 的范围使得函数|1||||2|)(-+++=x x x x f 为增函数(12年北约自招试题)对于绝对值函数(也称“折线函数”)问题,主要有两种解决思路:1、利用绝对值的几何意义(求最值时非常方便),2、找零点直接去绝对值,转化为分段函数。
()[)[)[)[)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∞-∈---∈+-∈++∞∈+=2,130,231,03,113x x x x x x x x x f 由函数解析式易得函数()x f 的单调递增区间为[)+∞,0其函数图象如下:3、 ()|124||63||22|-+-+-=x x x x f()|3|4|2|3|1|2|124||63||22|-+-+-=-+-+-=x x x x x x x f由定理可知,当x 取1,1,2,2,2,3,3,3,3的中位数时,函数有最小值,也即是x=2时,()()6422min =+==f x f4、()|19||3||2||1|-+⋯⋯+-+-+-=x x x x x f (北京高考试题) ()|19||3||2||1|-+⋯⋯+-+-+-=x x x x x f由定理可知,当x 取1,2,3……19的中位数时,函数有最小值,也即是x=10时,()()9010min ==f x f5、 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。
若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点)22(,-,)13(,,)43(,,)32(,-,)54(,,)66(,为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)__________为发行站,使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. (09年上海高考)(),|2||2||3||1||3||4||2||3||4||5||6||6|2||2||3|1||2||3||4||5||6||3||4||6|||x x x x fx y x y x y x y x y x y x y y y x x y y y y =++-+-+-+-+-+++-+-+-+-+-=+++++-+-+--++-+-+-+-+--由于,x y 的取值互不影响,相互独立,故只需找出两列数的中位数即可所以()m in ,f x y =()|2||2||3||3||4||6|m in x x x x x x ++++-+-+-+-()|1||2||3||4||5||6|m in y y y y y y -+-+-+-+-+-+ ()()3,33,4fo r f=三、 ()|12011||13||12||1|-⋯⋯+-+-+-=x x x x x f (11年卓越联盟自主招生试题) 解析:()|1||21||31||20111|111|1|2||3||2011||232011fx x x x x x x x x =-+-+-+⋯⋯-=-+-+-+⋯⋯+-,故只需找出下列数的中位数即可: 2011111221113331111444411112011201120112011g e…^^^^^^……共有()12011201120230662+⨯=个数,所以中位数应该是第20230662023066122+与第的平均数,由以上结论可知,当x 取20230662023066+122第或者第数的值时,函数有最小值(在此我们去前者)。
因为每一行的数值都相同,所以要找中位数,只需找出中位数所在的行数即可。
不妨设中位数为第n 行的最后一个数为20230662第数,则()1202306622n n +=,解得1421.8n ≈,所以中位数介于第1421行最后一个数与第1422行最后一个数之间。
所以该数位于第1422行,取1422n = 所以当11422x =时有最小值此时m in 1123()()(1)(1)(1)1422142214221422f x f ==-+-+-1422142314242011(1)(1)(1)(1)1422142214221422+-+-+-+-…+?…11840864918321422711==四、求方程1210272611=+-+++-+x x x x 的实根的个数(12年北约自招试题)解析:()22116222323|23|x x x x x +-+=+-⨯++=+- ()222710222525|25|x x x x x +-+=+-⨯++=+-则1210272611=+-+++-+x x x x 可化为|23||25|1x x +-++-=由以上结论可知|23||25|21x x +-++-≥≠,所以原方程无解。
五、实数a 使得不等式2|23||2|a a x a x ≥-+-对任意实数x 恒成立,则满足条件的a 所组成的集合 (06莫斯科大学入学考试题)解析:设()|2||32|f x x a x a =-+-,要使得不等式2|23||2|a a x a x ≥-+-对任意实数x 恒成立,只需()2m infx a ≥()2|2||32|2||3||23a a f x x a x a x x =-+-=-+-,无论00a a >≤或者,显然中位数为23a ,所以()m in233a a fx f ⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以21033a a a ≥⇒≥≥六、求|y ||x ||1-y -2x |++的最小值 9.1、求|y ||y x ||1-y -2x |+++的最小值9.2、求|y 2x ||y x ||1-y -2x |++++的最小值 解析: 9、1|2x -y-1||x ||y||2x -1|+|x |2++≥≥,前一个等号是把原式当作关于y 的一个函数f(y),把x 作为常量,先找y的中位数,显然021y x -取或者时有最小值,带入后得到关于x 的一个函数g(x),按照上述方法,再找x 的中位数,即是21=x 时有最小值,带入即可。
9.1、y+13y+11|2x -y-1||x y||y||+y|+|y|=||+|y|223+++≥≥,当且仅当12,33y x ==时等号成立。
鉴于找y 的中位数需要讨论,我们先找x 的中位数,也就是把y 当做常量,x 作为变量,此时中位数为y +12,所以y+13y+1|2x -y-1||x y||y||+y|+|y|=||+|y|22+++≥,这样就转化成只含一个变量的绝对值函数最值问题,再求3y+1||+|y|2的最小值,此时关于y 的零点的中位数为13-,所以y+13y+11|2x -y-1||x y||y||+y|+|y|=||+|y|223+++≥≥,当且仅当12,33y x ==时等号成立。
9.2、我们很容易发现无论把x 作为变量还是把y 作为变量,其零点的中位数都需要分类讨论,在此通过换元转化为我们所熟悉的||||||a u b v c u v ++++的形式即是第九题的形式。
设,2134122u x yx v u x y v u v x y y u v =+=-⎧⎧⇒--=--⎨⎨=+=-⎩⎩原式转化为求函数|341|||||v u u v --++的最小值 因为411|341|||||||||34u v u u v u +--++≥+≥,当1,04u v =-=等号成立所以1|2x -y-1||x y||2x y|4++++≥,当11,42x y ==-时等号成立练习题:求|366||23||325|+-++++-+y x y x y x 的最小值|323||122||32|--+--+-+y x y x y x33323123|1|23224x y y y x y y y ⎛⎫-++-+--≥-+--- ⎪⎝⎭19|1|24y y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭74≥,当且仅当y=1,x=34时等号成立。