绝对值函数最值问题(含答案修改版)
《高中数学》一道解析式中含绝对值的函数的最值问题
《高中数学》一道解析式中含绝对值的函数的最值问题
有很多关于函数的题目，其解析式中含有绝对值，这为我们做题增加了很多困难，首先就是增加了取绝对值而分类讨论的过程。
下面这道题就是这种类型。
其实这种题有个很简便的方法，就是利用绝对值不等式，数轴和距离等知识(比如，此题的参考答案就是这种方法)。
但是我相信很多同学根本不知道这种做法，或者对此有印象但不会用，那么考试时就会失去这题的分数或者因做这题而耽误很长时间。
既然这样，还不如《硬做》，就像我做的那样。
话不多说，看这道题。
下面就是我做的。
取绝对值，根据a的范围分类讨论。
画出分段函数的草图。
绝对值函数最值问题(含答案修改版)
绝对值函数最值问题一、准备在两个小区所在街道上建一所医院，使得两个小区到医院的距离之和最小，问医院应该建在何处？先来证明一个引理：引理：||||||y x y x +≥+……（1），当且仅当0≥xy 时等号成立要证（1）式成立，只需证xy xy xy y x xy y x ≥++≥++||,2||22222也即是，上式显然成立，故原命题得证。
将上式的y y -换成可得||||||y x y x -≥+……（2），当且仅当0≤xy 时等号成立定理：对于任意123,,a a a ……,n a 如果123a a a ≤≤≤……1n n a a -≤， 当n 为奇数时()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 等于123,,a a a ……n a 的中位数时取到，即12n x a +=时有最小值，即是()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……112||||n n n x a x a f a -+⎛⎫+-+-≥ ⎪⎝⎭当n 为偶数时()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 属于123,,a a a ……n a 的中间两个数的范围时取到，即122,n n x a a +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时有最小值。
此时()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1122||||n n n n x a x a f a or f a -+⎛⎫⎛⎫+-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭该定理的证明，只需最小的与最大的结合，在中位数时同时取到最小值。
二、求下列函数的最小值：1、()|2||1|-+-=x x x f()()1|21||2||1|=---≥-+-x x x x ，当且仅当()(),021等号成立≤--x x也即是[]2,1∈x 时等号成立。
微专题24 绝对值函数问题(解析版)
微专题24 绝对值函数问题【题型归纳目录】题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题 题型二：含两个绝对值的和的问题 题型三：含两个绝对值的差的问题 题型四：含多个绝对值的问题 【典型例题】题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题 例1．不等式|23|5x -<的解集为( ) A ．(1,4)- B ．(-∞，1)(4-⋃，)+∞C ．(,4)-∞D ．(1,)-+∞【解析】解：|23|5x -<， 5235x ∴-<-<，解得：14x -<<， 故选：A ．例2．不等式|1|3x -<的解集是( ) A ．(-∞，2)(4-⋃，)+∞ B ．(2,4)-C ．(1,4)D ．(-∞，1)(4⋃，)+∞【解析】解：|1|3x -<，313x ∴-<-<，24x ∴-<<， 故不等式的解集是(2,4)-， 故选：B ．例3．若不等式|2|3a x x -+对任意[0x ∈，2]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)-B ．[1-，3]C ．(1,3)D ．[1，3]【解析】解：由不等式|2|3a x x -+对任意[0x ∈，2]上恒成立，可得()|2|f x a x =-的图象在[0x ∈，2]上恒位于直线3y x =+的下方或在直线3y x =+上， 如图所示：∴02(2)|4|5af a ⎧<⎪⎨⎪=-⎩①，或02(2)|4|5(0)||3a f a f a ⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩②．由①可得10a -<，由②可得03a ，故实数a 的取值范围是{|10a a -<，或者03}[1a =-，3]，故选：B ．变式1．已知t 为常数，函数2|4|y x x t =--在区间[0，6]上的最大值为10，则t = 2或6 ． 【解析】解：函数22|4||(2)4|y x x t x t =--=---在区间[0，6]上的最大值为10， 故有2(62)410t ---=，或410t +=，求得2t =，或6t =， 故答案为：2或6．变式2．已知不等式|3|1x a x ->-对任意(0,2)x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 (,3)[7-∞，)+∞【解析】解：|3|1x a x ->-等价于31x a x ->-或31x a x -<-，解得12a x ->或14a x +<， 当1124a a -+<，即3a <时，不等式解集为R ，显然符合题意． 当3a 时，(0，2)(⊆-∞，11)(42a a +-⋃，)+∞， 所以124a +或102a -，解得7a 或1a （舍去）， 综上，实数a 的取值范围是7a 或3a <． 故答案为：(,3)[7-∞，)+∞．变式3．已知a R ∈，函数4()||f x x a a x =+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 (-∞，9]2． 【解析】解：由题可知4||5x a a x +-+，即4||5x a a x+--，所以5a ， 又因为4||5x a a x+--， 所以455a x a a x -+--， 所以4255a x x-+，又因为14x ，445x x +， 所以254a -，解得92a， 故答案为：(-∞，9]2．变式4．若函数4||y a x a x=-+-在区间[1，4]上的最小值是4，实数a 的取值范围是 [4.5，)+∞ ． 【解析】解：由4y x x=+在[1，2)递减，[2，4]递增， 可得4y x x=+的最小值为4，最大值为5， 函数4||y a x a x=-+-的最值在顶点或区间的端点处取得， 若f （1）取得最小值4，即|5|4a a --=，可得 4.5a =， 即有4() 4.5| 4.5|f x x x=-+-，且此时f （1）f =（2）f =（4）取得最小值，成立； 若f （2）取得最小值4，即|4|4a a --=，即有4a ；此时f （1）|5|a a =--，f （4）|5|a a =--，f （2）4=，由f （2）f （1），解得 4.5a ； 当f （4）取得最小值4，即|5|4a a --=，解得 4.5a =，成立． 综上可得a 的范围是[4.5，)+∞． 故答案为：[4.5，)+∞．题型二：含两个绝对值的和的问题例4．不等式|1||2|4x x -++的解集是( ) A ．53(,)22-B ．53[,]22-C ．3[2,]2-D ．5[,1)2-【解析】解：令()|1||2|f x x x =-++， 则21,2()3,2121,1x x f x x x x ---⎧⎪=-<<⎨⎪+⎩，∴当2x -时，|2||1|4214x x x ++-⇔--，522x ∴--； 当21x -<<时，有34恒成立，当1x 时，|2||1|4214x x x ++-⇔+，312x∴． 综上所述，不等式|2||1|4x x ++-的解集为5[2-，3]2．故选：B ．例5．不等式2|1||2|2x x a a ++--恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(,3)-∞B ．(3,)+∞C ．[1-，3]D ．(-∞，1][3-，)+∞【解析】解：|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-++-=，|1||2|x x ∴++-的最小值为3，2|1||2|2x x a a ++--恒成立，∴只需223a a -，13a ∴-，a ∴的取值范围为[1-，3]．故选：C ．例6．若关于x 的不等式|2||1|x x a -+-在R 上恒成立，则a 的最大值是( ) A ．0B ．1C ．1-D ．2【解析】解：由绝对值的性质得()|2||1||(2)(1)|1f x x x x x =-+----=，所以()f x 最小值为1，从而1a ，解得1a ， 因此a 的最大值为1． 故选：B ．变式5．若关于x 的不等式|2|||x x a a -+-在R 上恒成立，则a 的最大值是( )A ．0B ．1C ．1-D ．2【解析】解：化简得：|2||||(2)()||2|x x a x x a a a -+----=-，当20a -，即2a 时，上式化为2a a -，实数a 无解；当20a -，即2a 时，上式化为2a a -，解得22a ，解得1a ， 综上，实数a 的范围为1a ， 则实数a 的最大值为1． 故选：B ．变式6．不等式|1||24|6x x ++->的解集为 (-∞，1)(3-⋃，)+∞ ． 【解析】解：由于33,1|1||24|5,1233,2x x x x x x x x -<-⎧⎪++-=--<⎨⎪-⎩，故当1x <-时，不等式即336x ->，解得1x <-． 当12x -<时，不等式即56x ->，解得x 无解．当2x 时，不等式即336x ->，解得3x >． 综上可得，不等式的解集为(-∞，1)(3-⋃，)+∞， 故答案为(-∞，1)(3-⋃，)+∞．变式7．关于x 的不等式|2||8|x x a -+-在R 上恒成立，则a 的最大值为 6 ． 【解析】解：由绝对值的性质得()|2||8||(2)(8)|6f x x x x x =-+----=，所以()f x 最小值为6，从而6a ，解得6a ， 因此a 的最大值为6． 故答案为：6．变式8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，1()(|||2|3||)2f x x a x a a =-+--．若集合{|(1)()0x f x f x -->，}x R ∈=∅，则实数a 的取值范围为 1(,]6-∞ ．【解析】解：若{|(1)()0x f x f x -->，}x R ∈=∅， 则等价为(1)()0f x f x --恒成立，即(1)()f x f x -恒成立， 当0x 时，1()(|||2|3||)2f x x a x a a =-+--．若0a ，则当0x 时，1()(23)2f x x a x a a x =-+-+=，()f x 是奇函数，∴若0x <，则0x ->，则()()f x x f x -=-=-，则()f x x =，0x <，综上()f x x =，此时函数为增函数，则(1)()f x f x -恒成立， 若0a >，若0x a 时，1()[(2)3]2f x x a x a a x =-+---=-；当2a x a <时，1()[(2)3]2f x x a x a a a =----=-；当2x a >时，1()(23)32f x x a x a a x a =-+--=-．即当0x 时，函数的最小值为a -， 由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 当0x <时，()f x 的最大值为a ， 作出函数的图象如图： 由于x R ∀∈，(1)()f x f x -，故函数(1)f x -的图象不能在函数()f x 的图象的上方，结合图可得133a a -，即61a ，求得106a <， 综上16a， 故答案为：(-∞，1]6题型三：含两个绝对值的差的问题例7．若存在实数x 使得不等式2|1||1|3x x a a +---成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(-∞317317][2-+，)+∞ B ．(-∞，2][1-，)+∞C ．[1，2]D ．(-∞，1][2，)+∞【解析】解：令2,1()|1||1|2,112,1x f x x x x x x --⎧⎪=+--=-<<⎨⎪⎩，则2()2f x -，即2|1||1|2x x -+--，若存在实数x 使得不等式2|1||1|3x x a a +---成立， 则232a a --， 解得2a 或1a ． 故选：D ．例8．若关于x 的不等式2|1||2|2x x a a +-->+有实数解，则实数a 的取值范围为( ) A ．(3,1)-B ．(1,3)-C ．(-∞，3)(1-⋃，)+∞D ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞【解析】解：|1||2||(1)(2)|3x x x x +--+--=，3|1||2|3x x ∴-+--，由不等式2|1||2|2x x a a +-->+有实数解， 知232a a >+，解得31a -<<．故选：A ．例9．若关于x 的不等式2|1||2|4x x a a +--<-有实数解，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，1)(3⋃，)+∞B ．(1,3)C ．(-∞，3)(1--⋃，)+∞D ．(3,1)--【解析】解：|1||2|x x +--表示数轴上的x 对应点到1-的距离减去它到2的距离，它的最大值为3，最小值等于3-，243a a ->-，2430a a -+>，3a ∴>，或1a <，故实数a 的取值范围为(-∞，1)(3⋃，)+∞，故选：A ．变式9．对所有的x R ∈，不等式2|20||5|2x x a a ---+恒成立，实数a 的取值范围是 (-∞，5][3-，)+∞【解析】解：|20||5|15x x ---，对所有的x R ∈，不等式2|20||5|2x x a a ---+恒成立，则2215a a +，解得5a -或3a ．故答案为(-∞，5][3-，)+∞．变式10．关于x 的不等式2|3||1|5x x a a +---的解集不是∅，则实数a 的取值范围为 (-∞，1][4，)+∞ ．【解析】解：|3||1||(3)(1)|4x x x x +---+--=-， (|3||1|)4min x x ∴+--=-．不等式2|3||1|5x x a a +---的解集不是∅，∴只需25(|3||1|)4min a a x x -+--=-，2540a a ∴-+，4a ∴或1a ，a ∴的取值范围为(-∞，1][4，)+∞．故答案为：(-∞，1][4，)+∞． 题型四：含多个绝对值的问题例10．设函数()|1||2||2018||1||2||2018|()f x x x x x x x x R =++++⋯+++-+-+⋯+-∈，下列四个命题中真命题的序号是( ) （1）()f x 是偶函数；（2）当且仅当0x =时，()f x 有最小值； （3）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（4）方程2(55)(2)f a a f a -+=-有无数个实根 A ．（1）（4）B ．（1）（2）C ．（1）（2）（3）D ．（2）（3）（4）【解析】解：()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =++++⋯+++-+-+⋯+-，()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x ∴-=-++-++⋯+-++--+--+⋯+-- |1||2||2018||1||2||2018|()x x x x x x f x =-+-+⋯+-+++++⋯++=， ()f x ∴为偶函数，故（1）正确．根据绝对值的几何意义可得()(|1||1|)(|2||2|)(|3||3|)(|2018||2018|)f x x x x x x x x x =++-+++-+++-+⋯+++- 2018(24036)2464036201820192++++⋯+==⨯，当且仅当11x -时，取等号．故（2）错误；由于1()2f f =（1），显然函数()f x 在(0,)+∞上不是增函数，故（3）不正确；由于2(55)(2)f a a f a -+=-，且函数()f x 为偶函数，2552a a a ∴-+=-，或255(2)a a a -+=--，或21551121a a a ⎧--+⎨--⎩． 解得1a =，或3a =，或32a =或13a ，故方程2(55)(2)f a a f a -+=-有无数个实根，故（4）正确． 故答案为：（1）（4） 故选：A ．例11．若|1||2||10||11|x x x x m -+-+-+-对一切x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围为 (-∞，18] ． 【解析】解：244,(1)222,(12)|1||2||10||11|18,(210)22,(1011)424,(11)x x x x x x x x x x x x x -⎧⎪-<⎪⎪-+-+-+-=<⎨⎪-<⎪->⎪⎩，可得|1||2||10||11|18x x x x -+-+-+-，若|1||2||10||11|x x x x m -+-+-+-对一切x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围为(-∞，18]． 故答案为：(-∞，18]．例12．已知函数()|1||21||31||1001|f x x x x x =-+-+-+⋯+-，则当x = 171时，()f x 取得最小值． 【解析】解：()|1||21||31||1001|f x x x x x =-+-+-+⋯+- 111|1|2||3||100||23100x x x x =-+-+-+⋯+-111111|1|||||||||||||22333100x x x x x x x =-+-+-+-+-+-+⋯+-共有1(1100)10050502+⨯⨯=项 又||||||x a x b a b -+--（注:||x a -为x 到a 的距离⋯||||x a x b -+-即为x 到a 的距离加上x 到b 的距离，当x 在a ，b 之间时，||||x a x b -+-最小且值为a 到b 的距离） 所以()f x 的5050项 前后对应每两项相加，使用公式||||||x a x b a b -+--111()(1)()1002100f x -+-+⋯+⋯当x 在每一对a ，b 之间时，等号成立 由于170(170)24852⨯+⨯= 171(711)25562⨯+⨯= 所以()f x 最中间的两项（第2525，2526项）是1||71x - 所以11111()(1)()()10021007171f x -+-+⋯+- 当171x =时等号成立 则当171x =时()f x 取得最小值 变式11．已知函数()|1||21||31|f x x x x =-+-+-．则f （2）= 9 ，()f x 的最小值为 ． 【解析】解：（1）f （2）|21||221||321|9=-+⨯-+⨯-= （2）136,3111,()32141,1263,1x x x f x x x x x ⎧-⎪⎪⎪<⎪=⎨⎪-<⎪⎪⎪->⎩， 由()f x 单调性知，最小值为1．变式12．已知函数()|1||2||3||20|f x x x x x =-+-+-+⋯+-，x N +∈且120x ．（1）分别计算f （1），f （5），(20)f 的值；（2）当x 为何值时，()f x 取得最小值？最小值是多少？ 【解析】解：（1）由()|1||2||3||20|f x x x x x =-+-+-+⋯+-， 得f （1）19(119)012191902⨯+=+++⋯+==；f （5）15(115)43210121510101201302⨯+=+++++++⋯+=+=+=； 19(191)(20)19181732101902f ⨯+=+++⋯++++==． （2）设x 是1~20中的某一整数，则()(1)(2)321012(20)f x x x x =-+-+⋯+++++++⋯+- (1)[1(1)](20)[1(20)]22x x x x -+--+-=+222121399(242420)21210()224x x x x x =-+=-+=-+． 因为x N +∈，所以当10x =或11时，()f x 取最小值， (10)(11)100f f ==，即最小值是100．【过关测试】 一、单选题1．（2022·安徽·芜湖一中高一阶段练习）已知集合{}21A x x =-≤，{}1,2,3,4B =，则A B =（ ） A ．{}4 B ．{}3,4 C ．{}2,3,4 D ．{}1,2,3【答案】D【解析】因为{}{}{}2112113A x x x x x x =-≤=-≤-≤=≤≤，故{}1,2,3A B =. 故选：D.2．（2022·江苏·扬州市邗江区蒋王中学高一阶段练习）设a ∈R ，若不等式22112480x x ax x x x-+++-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]1,5- B ．[]1,6- C ．[]2,6- D ．[]2,2-【答案】C【解析】由题意可得()221142+++8a x x x x x-≤-，且0x ≠. 当0x >时，可得2211842+++a x x x x x-≤-， 由绝对值三角不等式可得222211811888++++++=2+22x x x x x x x x x x x x x x-≥-≥⋅， 当且仅当=2x 时，等号成立，所以，428a -≤，可得2a ≥-；当<0x 时，可得222211811842++a x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-≥--+---=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()222211811888++2228x x x x x x x x x x x x x x--≥-++-=-+≥-⋅=--， 当且仅当=2x -时，等号成立，故428a -≥-，解得6a ≤.综上所述，26a -≤≤.故选：C.3．（2022·河南·新密市第一高级中学高一阶段练习）设a ，b 是实数，集合{}1,A x x a x R =-<∈，{}|||3,B x x b x R =->∈，且A B ⊆，则a b -的取值范围为（ ）A ． []0,2B ．[]0,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】D【解析】集合{}{}1,|11A x x a x R x a x a =-<∈=-<<+，{}{3,|3B x x b x R x x b =-∈=<-或}3x b >+ 又A B ⊆，所以13a b +≤-或13a b -≥+即4a b -≤-或4a b -≥，即4a b -≥所以a b -的取值范围为[)4,+∞故选：D4．（2022·浙江·温州中学高一期中）已知函数()()122021122021f x x x x x x x x R =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-∈，且实数a 满足()()221f a a f a --=+，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3a =或1a =11315a --≤≤B ．3a =或1a =C ．3a =或1a =-D ．3a =或1a =或1a =-【答案】A【解析】因为函数()f x 的定义域为R ，而()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，又112x x ++-≥，当且仅当11x -≤≤时取等号， 224x x ++-≥，当且仅当22x -≤≤时取等号，……202120214042x x ++-≥，当且仅当20212021x -≤≤时取等号，所以()()1220211220212122021f x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-≥+++，当且仅当11x -≤≤时取等号，当12x ≤≤时，()()122021122021=2222021f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-+++，当23x ≤≤时，()()122021122021=4232021f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-+++，…… 当20202021x ≤≤时，()122021122021=404022021f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-+⨯， 当2021x >时，()122021122021=4042f x x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-，故函数()f x 在[)1,+∞上递增，再根据函数()f x 为偶函数，所以()f x 在(],1-∞-上递增，因此()()221f a a f a --=+可等价于221a a a --=+或()221a a a --=-+或2121111a a a ⎧-≤--≤⎨-≤+≤⎩，解得1a =-或3a =或1a =11315a --≤≤ 故选：A ．5．（2022·江苏·海安高级中学高一阶段练习）若不等式21x x a +--≤对一切x R ∈恒成立．则实数a 的取值范围为（ ）A ．3a >B ．3a <C ．3a ≥D ．3a ≤【答案】C 【解析】设21y x x =+--，当21x -≤≤时，()2121y x x x =++-=+；当1x >时，()()213y x x =+--=；当<2x -时，()()213y x x =-++-=-， 故21y x x =+--有最大值3． 21x x a +--≤对一切x ∈R 恒成立，则a 必大于等于21y x x =+--的最大值3．故取值范围为[)3,+∞．故选：C ．6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()1,f x ax b a b R x =++∈，当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，设()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1【答案】B【解析】函数()()1,f x ax b a b R x =++∈，当1[2x ∈,2]时，()f x 的最大值为(,)M a b ， 可得1(,)(2)|2|2M a b f a b ≥=++，11(,)()|2|22M a b f a b ≥=++，(,)(1)|1|M a b f a b ≥=++，可得1(3M a ,2)(3b M a +,)(b M a +,211124)1336333b a b a b a b ≥++++++++ 211124113363332a b a b a b ≥+++++---=， 即()12,2M a b ≥，即有()1,4M a b ≥，则(,)M a b 的最小值为14， 故选：B 7．（2022·浙江杭州·高一期末）当[1,1]x ∈-时，不等式2||||1ax b x c ++≤恒成立，则||||||a b c ++的最大值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】B【解析】因为[1,1]x ∈-， 所以[0,1]x ∈， 当0x =时，可得1c ≤①， 当12x =时，可得142a b c ++≤②， 当1x =时，可得1a b c ++≤③， 由①②③可得114()()84222a b a c a b c c =++-++-≤， 134()()84244a b b c a b c c =++-++-≤， 所以88117a b c ++≤++=，故选：B8．（2022·江苏省太湖高级中学高一期中）设{}|22A x x =-≥，{}|1B x x a =-<，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围为（ ）A ．1a <B ．01a <≤C ．1a ≤D ．03a <≤【答案】C 【解析】由22x -≥得22x -≤-或22x -≥，解得0x ≤或4x ≥，所以(][),04,A =-∞⋃+∞， 由1x a -<得1a x a -<-<，解得11a x a -<<+，所以()1,1B a a =-+.当0a ≤时，B =∅，A B ⋂=∅，符合题意. 当0a >时，由于A B ⋂=∅，所以1014a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得01a <≤. 综上所述，a 的取值范围是1a ≤.故选：C9．（2022·辽宁·沈阳二中高一阶段练习）已知函数()1f x mx x =--（0m >），若关于x 的不等式()0f x <的解集中的整数恰有3个，则实数m 的取值范围为（ ）A ．01m <≤B ．4332m ≤<C ．312m <<D ．322m ≤< 【答案】B【解析】()0f x <可化为1mx x <-，作函数y mx =与函数1y x =-的图象如下，结合图象可知，关于x 的不等式()0f x <的解集中的3个整数解为0，1-，2-； 故只需使221331m m ⎧-<--⎪⎨-≥--⎪⎩，解得4332m ≤<； 故选：B ．二、多选题10．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若函数{}2()min 33,|3|3f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[,]m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[,]m n 长度可以是（ ） A ．74B ．72C ．114D ．1【答案】AD 【解析】令23333x x x -+≤--+①，当3x ≥时，不等式可整理为2230x x --≤，解得13x -≤≤，故3x =符合要求，当3x <时，不等式可整理为2430x x -+≤，解得13x ≤≤，故13x ≤<，所以不等式①的解为13x ≤≤； 由上可得，不等式23333x x x -+>--+的解为1x <或3x >，所以()233,1333,13x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--+⎪⎩或， 令23334x x -+=，解得32x =，令27334x x -+=，解得52x =或12，令3334x --+=，解得34x =或214，令7334x --+=，解得74x =或174，所以区间[],m n 的最小长度为1，最大长度为74. 故选：AD.11．（2022·江苏·靖江高级中学高一阶段练习）若R x ∃∈，使得|21||32|x x m +--<成立是假命题，则实数m 可能取值是（ ）A ．5B ．4C ．4-D ．5-【答案】CD【解析】因为R x ∃∈，使得|21||32|x x m +--<成立是假命题，所以R x ∀∈，都有|21||32|x x m +--≥.记()|21||32|f x x x =+--，只需()min m f x ≤. ()34,213=|2+1||32|=42,<2214,<2x f x x x x x x ≥----≤--⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩， 所以()min 4f x =-，所以4m ≤-.对照四个选项，C 、D 符合题意.故选：CD12．（2022·辽宁·沈阳市第五中学高一阶段练习）下面命题中正确的为（ ）A ．不等式|1||2|3x x ++->的解集为RB ．不等式|1||2|3x x ++-≥的解集为RC ．不等式|1||2|5++->x x 的解集为(2,3)x ∈-D ．不等式|1||2|5++->x x 的解集为(,2)(3,)x ∈-∞-⋃+∞【答案】BD【解析】对于A ，当0x =时，|1||2|3x x ++-=，故选项A 错误；对于B ，因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥---=，即不等式|1||2|3x x ++-≥恒成立，所以不等式|1||2|3x x ++-≥的解集为R ，故选项B 正确；对于C ，不等式|1||2|5++->x x ，当1x <-时，则125x x --+->，解得<2x -；当12x -≤≤时，则125x x ++->，解得x ∈∅；当2x >时，则125x x ++->，解得3x >.综上所述，不等式|1||2|5++->x x 的解集为(,2)(3,)x ∈-∞-⋃+∞，故选项C 错误,D 正确.. 故选：BD.三、填空题13．（2022·天津市汇文中学高一阶段练习）关于x 的不等式|x －2|＋|x ＋1|≤10的解集为___________．【答案】911,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】当x ＞2时，原不等式可化为：(x －2)＋x ＋1≤10，解得2＜x ≤112；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为：－(x －2)＋x ＋1≤10，即3≤10，所以－1≤x ≤2；当x ＜－1时，原不等式可化为：－(x －2)－(x ＋1)≤10，即－2x ≤9，解得92-≤x ＜－1． 综上所述，原不等式的解集是911,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故答案为：911,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．14．（2022·全国·高一专题练习）不等式122x x x -+-<+的解集为_________. 【答案】153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ 【解析】23,2121,1223,1x x x x x x x ->⎧⎪-+-=≤≤⎨⎪-+<⎩，|1||2|2x x x ∴-+-<+化为：2232x x x >⎧⎨-<+⎩或1212x x ≤≤⎧⎨<+⎩或1232x x x <⎧⎨-+<+⎩解得：25x <<或12x ≤≤或113x <<.∴不等式|1||2|2x x x -+-<+的解集为：153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭故答案为：153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭15．（2022·全国·高一专题练习）设1234T x x x x =-+-+-+-，如果x 可取任意实数值，那么T 的最小值是_____.【答案】4【解析】根据绝对值的几何意义可知，可转化为在数轴上有A B C D ，，，四点，其对应的值分别为1234，，，，求一点M ，使得MA MB MC MD +++最小，当M 在线段AD 上时，MA MD +的最小值为3，当M 在线段BC 上时，MB MC +的最小值为1， 故当M 在线段BC 上时，MA MB MC MD +++的最小值是4.故答案为：4.16．（2022·全国·高一专题练习）不等式12x x m -++≥恒成立，则m 的取值范围是_________.【答案】3m ≤ 【解析】12123y x x x x =-++≥---=,即函数的最小值是3，若不等式12x x m -++≥恒成立，则3m ≤.故答案为：3m ≤四、解答题17．（2022·广东实验中学附属天河学校高一阶段练习）已知集合{}|123A x x x =-+-<，{}2|4B x x ax =+≤，A B ⋂=∅，求a 的取值范围． 【解析】123x x -+-<表示数轴上的点x 到1与2的距离之和小于3，∴03x <<，∴()0,3A =，{}2|4B x x ax =+≤，A B ⋂=∅，∴24x ax +≤在()0,3上无解，即4≥+a x x 在()0,3上无解， ∴ ()0,3x ∀∈，4a x x <+恒成立， 444x x x x+≥⋅，当且仅当2x =时，等号成立，4a <， ∴a 的取值范围为(),4-∞18．（2022·湖北武汉·高一期中）已知函数()21f x x x =-++.(1)求不等式()4f x ≥的解集；(2)当R x ∈时，若()2f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）由于()21,1213,1221,2x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≥⎩，当1x <-时，214x -+≥，解得32x ≤-，此时32x ≤-； 当12x -≤<时，34≥不成立，此时无解；当2x ≥时，214x -≥，解得52x ≥，此时52x ≥. 综上：()4f x ≥的解集为35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. （2）∵()()()21213f x x x x x =-++≥--+=，当且仅当[]1,2x ∈-时等号成立∴23m m -≤，即230m m --≤113113m -+≤≤ ∴m 的取值范围是113113⎡-+⎢⎣⎦. 19．（2022·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知函数()|1|||f x x x a =-+-(1)若函数()f x 的值域为[2，)+∞，求实数a 的值(2)若(2)(2)f a f -≥，求实数a 的取值范围．【解析】（1）函数()|1||||1()||1|f x x x a x x a a =-+----=-，当()()10x x a --≤时，等号成立，|1|2a ∴-=，解得=3a 或1a =-．（2）由(2)(2)f a f -≥，可得3121a a ---≥，则13(1)(2)1a a a ≤---≥⎧⎨⎩或1<23(1)(2)1a a a ≤---≥⎧⎨⎩或>23(1)(2)1a a a ⎧⎨---≥⎩， 解得：0a ≤或322a ≤≤或2a >．综上，a 的范围是：3(,0],2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭． 20．（2022·浙江·高一阶段练习）已知a ，b ，c ∈R ，函数2y ax bx c =++．(1)若1a =，关于x 的不等式222430ax bx c x x ++≤--对任意x ∈R 恒成立，求b ，c 的值； (2)若a ，*b ∈N ，1c =，关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，且均大于1-小于0，求a b +的最小值．【解析】（1）由224300x x --=，解得5x =或3x =-，则当5x =或3x =-时，2550930a b c a b c ⎧++≤⎪⎨-+≤⎪⎩，即2550930a b c a b c ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，由1a =，解得215b c =-⎧⎨=-⎩，∴2b =-，15c =-；（2）由题意得2Δ4010200b ac b a a b c c ⎧=->⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-+>⎪>⎪⎩，∴2241ba b a a b⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪+>⎪⎪⎩，由244b a >≥得3b ≥，若3b =，∴329413a a a ⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪+>⎪⎪⎩，则924<<a ，无解，若4b =，∴2414aa a >⎧⎪<⎨⎪+>⎩，则34a <<，无解，若5b =，∴5225415a a a ⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪+>⎪⎪⎩，则2544a <<，∴5a =或6a =，显然5a =时，a b +更小，为10，若6b ≥，由1a b +>，得2111a b b +>-≥，∴a b +的最小值为10，当5a =，5b =时取得．21．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）（1）求不等式2421x x x -++≥-的解集；（2）若不等式2321x x x mx ++--≥的解集包含(]0,1，求实数m 的取值范围；（3）已知2214x a x a -+-+≥在R x ∈时恒成立，求a 的取值范围.【解析】（1）①当1x ≥时不等式为2422x x x -++≥-解得：12x ≤≤②当1x <时，不等式为2422x x x -++≥-3171x -≤≤ 综上得：不等式的解集为：3172x x ⎧⎫-⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭∣（2）2321x x x mx ++--≥的解集包含(]0,1，故原不等式转化为：231x x mx ++≥在(]0,1恒成立，即13x m x ++≥在(]0,1恒成立，而对勾函数13y x x =++在区间(]0,1上单调递减，∴当1x =时，13y x x =++有最小值5，5m ∴≤.（3）()()222212121x a x a x a x a a a -+-+≥---+=-+， 2214x a x a ∴-+-+≥恒成立化为：2214a a -+≥，解得3a ≥或1a ≤-.。
专题十一：绝对值最值问题
绝对值最值问题绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离。
数a的绝对值记作a几个绝对值和的最小值问题：奇点偶段（含端点）1、（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，1如图乙，点A、B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图丙，点A、B都在原点的左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如图丁，点A、B在原点的两边AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．综上，数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x＝；③当代数式|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的取值范围是．④当代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的值是．⑤当代数式|x﹣5|﹣|x+2|取最大值时，相应的x的取值范围是．2、在数轴上，点A，B分别表示数a，b，则线段AB的长表示为|a﹣b|，例如：在数轴上，点A表示5．点B表示2，则线段AB的长表示为|5﹣2|＝3：回答下列问题：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：（2）若AB＝8，|b|＝3|a|，求a，b的值．（3）若数轴上的任意一点P表示的数是x，且|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为4，若a＝3，求b 的值．绝对值最值问题解析1、（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，1如图乙，点A、B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图丙，点A、B都在原点的左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如图丁，点A、B在原点的两边AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．综上，数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x＝；③当代数式|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的取值范围是．④当代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的值是．⑤当代数式|x﹣5|﹣|x+2|取最大值时，相应的x的取值范围是．解：①.5﹣2＝3，﹣2﹣（﹣5）＝3，1﹣（﹣3）＝4；②、|x+1|，|x+1|＝2则x＝1或﹣3；③|x+2|+|x﹣5|表示数轴上一点到﹣2与5两点的距离的和，当这点在﹣2和5之间时和最小，最小距离是：5﹣（﹣2）＝7；④代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|表示数轴上一点到1、﹣2与5三点的距离的和，根据两点之间线段最短，则当x＝1时和最小，最小值是5到﹣2的距离，是5﹣（﹣2）＝7；⑤代数式|x﹣5|﹣|x+2|表示数轴上一点到5与﹣2两点的距离的差，当点小于等于﹣2时差最大，最大值是5与﹣2之间的距离，是7．故答案是：①3，3，4；②|x+1|，1或3；③﹣2≤x≤5；④x＝1；⑤x≤﹣2．2、在数轴上，点A，B分别表示数a，b，则线段AB的长表示为|a﹣b|，例如：在数轴上，点A表示5．点B表示2，则线段AB的长表示为|5﹣2|＝3：回答下列问题：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：（2）若AB＝8，|b|＝3|a|，求a，b的值．（3）若数轴上的任意一点P表示的数是x，且|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为4，若a＝3，求b 的值．解：（1）1和﹣3两点之间的距离为|1﹣（﹣3）|＝4；故答案为：4；（2）∵|b|＝3|a|∴b＝±3a∵AB＝8∴|a﹣b|＝8当b＝3a时，|a﹣b|＝|﹣2a|＝8∴a＝4，b＝12或a＝﹣4，b＝﹣12当b＝﹣3a时，|a﹣b|＝|4a|＝8∴a＝2，b＝﹣6或a＝﹣2，b＝6综上所述：a＝4，b＝12或a＝﹣4，b＝﹣12或a＝2，b＝﹣6或a＝﹣2，b＝6．（3）由线段上的点到线段两端点的距离的和最小，①当点b在a的右侧时，得P在3点与b点的线段上，|x﹣3|+|x﹣b|的值最小为4，|x﹣3|+|x﹣b|最小＝x﹣3+b﹣x＝4，解得：b＝7；②当点b在a的左侧时，得P在3点与b点的线段上，|x﹣3|+|x﹣b|的值最小为4，|x﹣3|+|x﹣b|最小＝3﹣x+x﹣b＝4，解得：b＝﹣1，综上所述：b＝7或﹣1．。
一次函数绝对值和最值问题
含绝对值函数综合问题一、含绝对值函数的最值1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点处取得最小值“(0)0f =”，无最大值；在函数(,0],[0,)x ∈-∞↓+∞↑；对称轴为：0x =（2）()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)b k-为顶点的“V ”字形图像；在顶点取得最小值：“()0b f k -=”，无最大值；函数在(,],[,)b b x k k ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：b x k=- （3）函数()||(0)f x k x b k =+≠： 0k >时，函数是以(,0)b -为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点取得最小值：“()0f b -=”，无最大值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：x b =-0k <时，是以(,0)b -为顶点的倒“V ”字形图像，函数在顶点取得最大值：“()0f b -=”，无最小值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↑-+∞↓；对称轴为：x b =-2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）函数()||||()f x x m x n m n =-+-<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m --为折点的“平底形”图像；在[,]x m n ∈上的每点，函数都取得最小值n m -，无最大值；函数在(,],[,)x m x n ∈-∞↓∈+∞↑ ，在[,]x m n ∈无单调性；对称轴为2m n x +=。
（2）函数()||||f x x m x n =---： 当m n >时，()f x 是以点(,),(,)A m n m B n m n --为折点的“Z 字形”函数图像；在(,]x n ∈-∞上的每点，函数都取得最大值m n -，在[,)x m ∈+∞上的每点，函数都取得最小值n m -；函数在[,]x n m ∈↓，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +； 当n m >时，()f x 是以点(,),(,)A m m n B n n m --为折点的“反Z 字形”函数图像； 在(,]x m ∈-∞上的每点，函数都取得最小值m n -，在[,)x n ∈+∞上的每点，函数都 取得最大值n m -；函数在[,]x m n ∈↑，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +； （3）()||||()f x a x m b x n m n =-+-<图像是以(,()),(,())A m f m B n f n 为折点的折线。
函数——与绝对值函数相关的参数最值(学生版)
与绝对值函数有关的的参数最值及范围问题之答禄夫天创作时间：二O二一年七月二十九日类型二一次项系数含参数1已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x,若存在a∈[0,4],使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根,则实数t的取值范围是（）A．（1,）B．（1,）C．（,）D．（1,）2．已知函数f（x）=x|x﹣a|+bx（Ⅰ）当a=2,且f（x）是R上的增函数,求实数b的取值范围；（Ⅱ）当b=﹣2,且对任意a∈（﹣2,4）,关于x的程f（x）=tf （a）有三个不相等的实数根,求实数t的取值范围．3设函数f（x）=x|x﹣a|+b,a,b∈R（Ⅰ）当a＞0时,讨论函数f （x）的零点个数；（Ⅱ）若对给定的实数a（﹣1＜a＜0）,存在实数b,使不等式x ﹣对任意2a﹣1≤x≤2a+1恒成立．试将最年夜实数b暗示为关于a的函数m（a）,并求m（a）的取值范围．4已知函数f（x）=ax﹣3,g（x）=bx﹣1+cx﹣2（a,b∈R）且g （﹣）﹣g（1）=f（0）．（1）试求b,c所满足的关系式；（2）若b=0,集合A={x|f（x）≥x|x﹣a|g（x）},试求集合A．5．已知a∈R,设函数f（x）=x|x﹣a|﹣x．（Ⅰ）若a=1时,求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a≤1,对任意的x∈[0,t],不等式﹣1≤f（x）≤6恒成立,求实数t的最年夜值及此时a的值．6 设函数f(x)=x|x－a|+b,a,b∈R（Ⅰ）当a>0时,讨论函数f(x)的零点个数；（Ⅱ）若对给定的实数a(－1<a<0),存在实数b,使不等式对任意恒成立.试将最年夜实数b暗示为关于a的函数m(a),并求m(a)的取值范围.7设函数f(x)=x|x－a|+b,a,b∈R（Ⅰ）当a>0时,讨论函数f(x)的零点个数；（Ⅱ）若对给定的实数a(a≥2),存在实数b,对任意实数x∈[1,2],都有不等式|f(x)|≤恒成立,求实数a的取值范围.8已知函数（Ⅰ）若,解方程；（Ⅱ）若函数在上单调递增,求实数的取值范围；（Ⅲ）若,且不等式对一切实数恒成立,求实数的取值集合.9 设为实数,函数.(1)若,求的取值范围；(2)求的最小值；(3)设函数,直接写出(不需给出演算步伐)不等式的解集.10已知函数（Ⅰ）那时,求使成立的的值;（Ⅱ）当,求函数在上的最年夜值；11已知函数f(x)=|x21|,g(x)=x2+ax+2,x∈R．(Ⅰ)若函数g(x)≤0的解集为[1,2],求不等式f(x)≤g(x)的解集；(Ⅱ)若函数h(x)=f(x)+g(x)+2在(0,2)上有两个分歧的零点x1,x2,求实数a的取值范围．．12已知函数,其中．（1）那时,方程恰有三个根,求实数的取值范围；（2）那时,是否存在区间,使得函数的界说域与值域均为,若存在请求出所有可能的区间,若不存在请说明理由；13设函数,（Ⅰ）若,求函数的零点；（Ⅱ）若函数在上存在零点,求实数的取值范围．14设函数,（Ⅰ）若,求函数的零点；（Ⅱ）若时,恒成立,求实数的最年夜值．15已知,函数.（Ⅰ）若,求的单调递增区间；（Ⅱ）函数在上的值域为,求需要满足的条件.16 已知函数（Ⅰ）那时,求使成立的的值;（Ⅱ）当,求函数在上的最年夜值；（Ⅲ）对给定的正数,有一个最年夜的正数,使时,都有,试求出这个正数,并求它的取值范围.17已知函数（1）若关于x的方程只有一个实数解,求实数的取值范围；（2）设,那时,不等式恒成立,求实数的取值范围18已知函数,．（Ⅰ）若,且存在互不相同的实数满足,求实数的取值范围；??（Ⅱ）若函数在上单调递增,求实数的取值范围．??已知函数,（）若关于的方程只有一个实数解,求实数的取值范围；（2）若那时,不等式恒成立,求实数的取值范围；（3）求函数在区间上的最年夜值.20已知f（x）=2x2﹣tx,且|f（x）|=2有且仅有两个分歧的实根α和β（α＜β）．（1）求实数t的取值范围；（2）若x1、x2∈且x1≠x2,求证：4x1x2﹣t（x1+x2）﹣4＜0；（3）设,对任意x1、x2∈上恒有|g（x1）﹣g（x2）|≤λ（2β﹣α）成立,求λ的取值范围．21设函数f（x）=x2+px+q,p,q∈R．（Ⅰ）若p+q=3,当x∈[﹣2,2]时,f（x）≥0恒成立,求p的取值范围；（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1,5]上无解,试求所有的实数对（p,q）．22已知函数．（I）若在区间上不单调,求的取值范围；（II）若对任意的,存在,使得,求的取值范围．23已知函数,．（Ⅰ）那时,函数在区间上的最年夜值为,试求实数m的取值范围；（Ⅱ）那时,若不等式对任意（）恒成立,求实数k的取值范围．24已知函数,设函数在区间上的最年夜值为．（Ⅰ）若,试求出；（Ⅱ）若对任意的恒成立,试求的最年夜值．25已知函数,．（Ⅰ）那时,函数在区间上的最年夜值为,试求实数m的取值范围；（Ⅱ）那时,若不等式对任意（）恒成立,求实数k的取值范围．26已知函数,其中,且．若的最小值为,求的值；求在区间上的最年夜值；若方程在区间有两个不相等实根,求的取值范围．27已知函数,其中为实数且（1）那时,根据界说证明在单调递增；（2）求集合{| 函数由三个分歧的零点}.28已知函数,设函数在区间上的最年夜值为．（Ⅰ）若,试求出；（Ⅱ）若对任意的恒成立,试求的最年夜值．29已知f（x）=x2+2ax+2,x∈R．（Ⅰ）若函数F（x）=f与f（x）在x∈R时有相同的值域,求a的取值范围．（Ⅱ）若方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0,2）上有两个分歧的根α,β,求a的取值范围,并证明＜4．30已知函数．(Ⅰ)若函数恰有两个零点,求实数的取值范围；（Ⅱ）那时,求函数的最年夜值．时间：二O二一年七月二十九日。
绝对值的题目及答案
绝对值的题目及答案绝对值是数学中的一个重要概念，指数值与零点的距离，一般用两个竖线表示。
在日常生活中，绝对值常用于计算温度、距离等物理量，也可用于求解方程、不等式等数学问题。
下面列举几个绝对值的题目及答案：题目一：求 |-5| + |3|解答：根据绝对值的定义，|-5| = 5，|3| = 3，所以 |-5| + |3| = 5 + 3 = 8。
题目二：求解方程 |2x - 1| = 5解答：根据绝对值的定义，当 2x - 1 > 0 时，|2x - 1| = 2x - 1；当 2x - 1 < 0 时，|2x - 1| = -(2x - 1) = -2x + 1。
根据以上推理，可以列出如下的方程：2x - 1 = 5 时，解得 x = 3。
-2x + 1 = 5 时，解得 x = -2。
所以方程 |2x - 1| = 5 的解为 x = 3 或 x = -2。
题目三：求解不等式 |x - 3| < 4解答：根据绝对值的定义，当 x - 3 > 0 时，|x - 3| = x - 3；当 x - 3 < 0 时，|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3。
根据以上推理，可以列出如下的不等式：x - 3 < 4 时，解得 x < 7。
-x + 3 < 4 时，解得 x > -1。
所以不等式 |x - 3| < 4 的解为 -1 < x < 7。
除了上述题目外，还有很多与绝对值相关的问题，如求绝对值函数的图像、讨论绝对值不等式的解集等等。
在解决这些问题时，需要深入理解绝对值的概念，掌握相关的计算方法，才能做出准确的答案。
综上所述，绝对值是数学中重要的概念之一，广泛应用于各种问题中。
通过练习多个绝对值的题目，不仅可以提高自己的数学水平，还能训练自己的思维能力和解决问题的能力。
因此，在学习数学时，应该多关注绝对值，并勤加练习。
一类绝对值函数的最值问题
( | x - 3 | + | x - 2 | ) + ( 1+ 5 - 2 - 3) | x - 2 | 因 为 5 - 1 > 0, 1+ 2 - 5 > 0, 3 > 0, 1+ 5
- 2 - 3 > 0,
2 I [ 3, 2] A [ 2, 2] A [ 2, 5 ] A [ 1, 5] ,
[ 1, 2004] , 所以当 x I [ 1002, 1003] 时, y 取到最小值 ymin = 2003 + 2001 + , ,+ 1 = 10022 . 一般地, 对于函数 y = | x - 1 | + | x - 2 |+ ,
| x - n | , n I N* , x I R
11
所以当 x = 2 时, ymin = 1 + 2( 2 + 3 - 5 ) . 该例 中, 我们构 出了函数分组 具体的区间 套形
式, 但 这 并 不 必 要. 既 然 1 + 2 + 3 <
1+ 2 + 3+ 4 + 5 2
又1+
2+
3+
4>
1+
2+
3+ 2
4+
5, 由/ 首 尾 配 对0 分 组 方 法,
( a ,+ n- 1 2+2
an ) -
( a1 +
,+必强 调{ an } 是 递增
数列. 对任意数列{ bn } , 我们只需由小到大用 ai 记录
之, 生成的数 列{ an } 必满 足上述 要求. 现在 的问 题
函数绝对值的最大值最小值问题
函数绝对值的最大值的最小值问题----切比雪夫逼近下的图像法题目：已知函当时，的最大值记，的最小值为解：如图，画在上的图像，为一直线，即考虑这两个函数竖直方向距离的最大值。
取水平直，则此，取其上一点，将绕点旋转，易知其对应的均大，再考虑不过点的，其必与前面过点的某条直线平行，比较可知，不过点更大，的最小值为。
从此题的解答，有点用到切比雪夫逼近理论：定理 1（限定参数下的平行线逼近法）：已知y =f (x) 是闭区间 D 上的连续函数，若存在过y =f (x)上点的直线h1(x) =ax +b1，h2 (x) =ax +b2，使h2 (x) ≤f (x) ≤h1(x)恒成立，记 f (x) -ax -b在 D 上的最大值为(2 - a ) - (1- 2a )1+ a 1M (a ,b ) ，则M (a , b ) ≥推论 1：已知 y = f (x ) 是闭区间 D 上的连续函数，则 f (x ) - b 在 D 上最大值为M (b ) ，则M a (b ,)≥ fx () xa m f -x (n )im2当且仅当b =f (x )max + f (x )min2时取等号。
接下来我们来尝试定理 1 及推论 1 的应用例 1：（2016 年 4 月浙江学考第 18 题）设函数f (x ) =2- ax - b ,若对于 x任意正实数 a 和实数 b ，总存在x 0 ∈[1, 2] ，使得f (x 0 ) ≥ m 成立，则实数m 的取值范围是 。
解法 1：（利用定理 1）记 2- ax - b 在[1, 2] 上的M (a ,b ) 最大值为 x可 知 g (x ) = 2 x图 像 夹 在 两 直 线h 1 (x ) = ax - a + 2 ，h 2 (x ) = ax - 2a +1(a > 0) 之间，由定理 1 得，M (a ,b ) ≥ =，22∈ ( , 2 +∞) ，所以m ≤ 12解 法 2 ： 由， 所 以g (x ) = 2 - ax x在 [1, 2] 单 调 递 减 ，g (x ) max = 2 - a , g (x )min =1- 2a ， M (a ,b ) ≥ (2 - a ) - (1- 2a ) = 1+ a ，2 2所以m ≤ 1+ a 对a > 0 恒成立， 1+ a ∈ (1 , +∞) ，可得m ≤ 12 2 2 2上面我们用定理 1 及推论 1 很好的解决了例 1，若题目条件中a > 0 变b 1 - b 22a > 0, 1+ a 2a > 0b 1 -b 22为任意实数 a，由于此时g(x) =2-ax 的最值不容易求，所以我们需要x更加一般的方法来解决。
含绝对值函数的最值问题
专题三: 含绝对值函数的最值问题1. 已知函数2()2||f x x x a =--(0>a )，若对任意的[0,)x ∈+∞，不等式(1)2()f x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围. 不等式()()12f x f x -≥化为*）对任意的[)0,x ∈+∞恒成立因为0a >，所以分如下情况讨论：①当0x a ≤≤时，不等式（*）24120[0,]x x a x a ++-≥∀∈对恒成立②当1a x a <≤+时，不等式（*）即24160(,1]x x a x a a -++≥∀∈+对恒成立由①知102a <≤，2()416(,1]h x x x a a a ∴=-+++在上单调递减 2.已知函数f (x )＝|x －a |，g (x )＝x 2＋2ax ＋1(a 为正数)，且函数f (x )与g (x )的图象在y 轴上的截距相等．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＋g (x )的最值．【解析】(1)由题意f (0)＝g (0)，∴|a |＝1.又∵a >0，∴a ＝1.(2)由题意f (x )＋g (x )＝|x －1|＋x 2＋2x ＋1.当x ≥1时，f (x )＋g (x )＝x 2＋3x 在[1，＋∞)上单调递增，当x <1时，f (x )＋g (x )＝x 2＋x ＋2在⎣⎡⎭⎫－12，1上单调递增，在(－∞，12-]上单调递减． 因此，函数f (x )＋g (x )在(－∞，12-]上单调递减，在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上单调递增． 所以，当x ＝12-时，函数f (x )＋g (x )的最小值为74；函数无最大值． 5.已知函数2()2f x x x x a =+-，其中a R ∈．2min ()4120[0,]()(0)120102g x x x a a g x g a a =++-≥∴==-≥∴<≤在上单调递增只需（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式4()16f x ≤≤在[1,2]x ∈上恒成立，求a 的取值范围．6.设函数b a x x x f +-=||)(， ,a b R ∈（1）若11,4a b ==-，求函数()f x 的零点； （2）若函数)(x f 在]1,0[上存在零点，求实数b 的取值范围．解：（Ⅰ）分类讨论解得：11,22x x ==...................................................4分 （Ⅱ）函数)(x f 在]1,0[上存在零点，即||x x a b -=-，[0,1]x ∈上有解，令()||g x x x a =-，只需{|(),[0,1]}b y y g x x -∈=∈..................................................5分 当0a ≤时，2()()g x x x a x ax =-=-，在]1,0[递增，所以()[0,1]g x a ∈-，即10a b -≤≤...............................................................................7分 当1a ≥时，2()()g x x a x x ax =-=-+，对称轴2a x = 又当2a ≥ ()g x 在]1,0[递增，所以()[0,1]g x a ∈-，即10ab -≤≤当12a << ()g x 在[0,]2a 递增，[,1]2a 递减，且所以2()[0,]4a g x ∈，即204ab -≤≤ ...............................................................................................................................................10分当01a <<时，22 [0,]()() [,1]x ax x a g x x a x x ax x a ⎧-+∈⎪=-=⎨-∈⎪⎩ 易知，()g x 在[0,]2a 递增，[,]2a a 递减，[,1]a 递减，所以min ()0f x =， 2max (){(),(1)}{,1}4a f x f a f a ==-，当01)a <≤，max ()(1)1f x f a ==-，所以()[0,1]g x a ∈-，即10a b -≤≤当1)1a <<，2max ()()4a f x f a ==，所以2()[0,]4a g x ∈，即204a b -≤≤ .....................................................................................................................................................14分综上所述：当1)a ≤时，10a b -≤≤当1)2a <<，204a b -≤≤ 当2a ≥，10a b -≤≤........................................................................................15 分7.已知函数()()243f x x a x a =+-+-．（I ）若()f x 在区间[]0,1上不单调，求a 的取值范围；（II ）若对于任意的(0,4)a ∈，存在[]00,2x ∈，使得()0f x t ≥，求t 的取值范围． 解：401242a a -<-<⇒<<……5分 （II ） 解法：()()()()||12113f x x a x x x a =-+--=-+-⎡⎤⎣⎦ ……9分 Q 011x -≤，{}03max 1,3x a a a +-≤-- ……………13分且上述两个不等式的等号均为0x =或2时取到，故()max 1,24||3,02a a f x a a -≤<⎧=⎨-<<⎩ 故()max ||1f x ≥，所以1t ≤……15分 、8.已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．（Ⅰ）若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[2,2]-上的最大值．解：（1）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立，①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ；②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-，所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤. 综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤.（2）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥…10分 ①当1,22a a >>即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ②当01,22a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减， 在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ③当10,02a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减， 在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. ④当31,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2a -上递减， 在[,1]2a ，[,2]2a -上递增，且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. 当3,322a a <-<-即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 故此时()h x 在[2,2]-上的最大值为(1)0h =.综上所述，当0a ≥时，()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +；当30a -<≤时，()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +；当3a <-时，()h x 在[2,2]-上的最大值为0.。
函数的绝对值问题(word文档良心出品)
()f x 的最值问题()f x 的最大值和最小值问题，常用有三种解法：数形结合法．．．．．，以．值．代参．．法．和三角不等式．．．．．法．。
1、三角不等式：a b a b a b -≤±≤+≤r r r r2、赋值法：即用给定区间的函数值表示未知的参数,，也称以值代参法；3、数形结合法：分段或分类讨论，结合函数图像计算。
例1、已知2()f x x b =+，[1,2]x ∈-，讨论()()g x f x =的最大值()M b 和最小值()m b 。
解法一、数形结合法一、最小值的讨论1、当图像和X 轴有交点，即(0)(2)0f f ⋅≤，也即40b -≤≤时，最小值为0；2、当图像和X 轴没有交点时①若(0)0f >，即0b >时，整个图像在X 轴上方，最小值为(0)f b =；②若(2)0f <，即4b <-时，整个图像在X 轴下方，最小值为(2)44f b b =+=--；∴ 最小值4,4()0,40,0b b m b b b b --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩二、最大值的讨论1、(0)2f ≥-即2b ≥-时，最大值为(2)f ；(0)2f ≤-即2b ≤-时，最大值为(0)f .∴(2)4,2()(0),2f b b M b f b b b ⎧=+≥-⎪=⎨==-≤-⎪⎩（1(0)f 或(2)f 处，与(1)f -无关。
（2）当X 轴在最高点与最低点中间时，()f x 的最大值有最小值，()f x 的最大值的最小值=落差的一半。
例如：max min ()1()()2f x f x f x ≤⇒-≤ 解法二、以值代参值法： 由(1)1f b -=+，(0)f b =，(2)4f b =+，可画出图像：解法一、三角不等式法对于不单调的函数，讨论最大值时，只需先找到最高点和最低点。
{}()max (2),(0)M b f f ==例2、（15浙江理18）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 为函数()y f x =在[1,1]-上的最大值.（I ） 证明：当2a ≥时，(,)2M a b ≥；（II ）当,a b 满足(,)2M a b ≤时，求a b +的最大值.例3、（2016.4学考18）设函数2()(,)f x ax b a b R x=--∈.若对任意的正实数a 和实数b ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x ≥m ，则实数m 的取值范围是（ ）A.(,0]-∞B.1(,]2-∞ C.(,1]-∞ D.(,2]-∞练 习1、（2018届诸暨期末17）已知,a b R ∈，()f x ax b =+，若对于任意的[0,4]x ∈，1()2f x ≤恒成立，则2a b += 。
专题3与绝对值函数相关的参数最值 (学生版)
专题3 与绝对值函数相关的参数最值及范围问题类型三 二次项系数含参数1．（2015•丽水一模）已知函数f （x ）=|a 2x 2﹣1|+ax （a ∈R ，且a≠0）．（Ⅰ）当a ＜0时，若函数y=f （x ）﹣c 恰有x 1，x 2，x 3，x 4四个零点，求x 1+x 2+x 3+x 4的值； （Ⅱ）若不等式f （x ）≥|x|对一切x ∈[b ，+∞）都成立，求a 2b 2+（b ﹣）2的最小值．2.函数f （x ）=mx|x ﹣a|﹣|x|+1（1）若m=1，a=0，试讨论函数f （x ）的单调性；（2）若a=1，试讨论f （x ）的零点的个数．3已知函数c bx mx x f ++=2)()0(≠m 满足,对于任意R 都有,且,令. (Ⅰ)求函数的表达式； (Ⅱ)当[]1,1-∈x 时，求函数ax ax ax f y ---=|1)(| )0(<a 的最大值)(a M ．4 已知（Ⅰ）求证：函数的图象与轴恒有公共点；（Ⅱ）当时，求函数的定义域； （Ⅲ）若存在使的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围。
5.已知函数x x x f +-=|1|)(2．(Ⅰ)若函数c x f y -=)(恰有两个零点，求实数c 的取值范围；(Ⅱ)当[]1,1-∈x 时，求函数)(ax f y = )0(<a 的最大值)(a M ．6.设12,x x 为函数2()(1)1(,0R,f x ax b x a b a =+-+∈>）两个不同零点.（Ⅰ）若11x =，且对任意R x ∈,都有(2)(2)f x f x -=+，求()f x ；（Ⅱ）若23b a =-，则关于x 的方程()22+f x x a =-是否存在负实根?若存在,求出该负根的取值范围，若不存在,请说明理由；（Ⅲ）若2a ≥，212x x -=,且当12(,)x x x ∈时，2()()2()g x f x x x =-+-的最大值为()h a ，求()h a 的最小值.2()(1)1,f x ax a x a R =-++∈()f x x 0a >y 0m >x 1()f x m m =+a。
含绝对值函数的最值问题.docx
专题三：含绝对值函数的最值问题1.已矢II函a f(x) = x2-2\x-a\ ( a>0 ),若对任意的兀w［0,+oo),不等式/(x-l)>2/(x)恒成立，求实数d的取值范围.不等式 / (兀_ 1) n 2/(兀)化为(x —1) —2 x — \ — ci n 2兀2 _ 4 x _ G即：4 x-a -2 x-(l + «)| < x2 +2%-1 (*)对任意的xw［0,+oo)恒成立因为d〉0,所以分如下情况讨论：①当0<x<a时,不等式(*) x2+4x+l-2a>0X^Vxe［O,a］恒成立•・・g(兀)=/ +牡+1 _2G n 0在［0,町上单调递增•••只需g(兀)mb = g(0) = 1 - 2a A 00 V Q W —2②当acxSa + l 时，不等式(*)即x2 -4x + l + 66t>0对\/xw(a,d + l］恒成立由①知0 < a W ,二/?(x) = x2 -4x + l + 6d在(d,a4-1］上单调递减/.只需"(x)min =力(1 +。
)= a? + 4G— 2 » 0 /. a —2 —或a n V6 — 2vV6-2<- A V6-2<tz<-2 2③当x>a + l时，不等式(*)化为即H + 2a-3巴0对V"(a+,+8)恒成立a 兰-2 - 或a 工- 22.己知函数f［x)=\x—a\y g(x)=x+2ax+\(a为正数)，且函数/(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等.⑴求a的值；(2)求函数⑴的最值.【解析］⑴由题意/(0) = g(0),・・・圈=1.又・.・a>0, .S I.⑵由题意几¥)+ g(x) = |x - 11 + x2 3 + 2x + 1.当兀2 1时，/(x) + g(Q = / + 3兀在［1, +oo)上单调递增，当*1时，/W + g(x)=/ +兀+ 2在-* 1)上单调递增，在(-co,3 7所以，当乳=——时，函数fix) + g(x)的最小值为一；函数无最大值. 一丄］上单调递减.2因此，函数./(X)+ £(/)在(- 00,-丄］上单调递减，在-*2 L -+ 00 上单调递增.a < 0 时?Z(a)是方程 a/ + 8x+ 3=5的较小根，故Z(a)=—8 + \/64 4- 8a — 4 + \/16 + 2a②当3 - — ^5即a W-8时丿(a)是方程a/ a+ 8咒+ 3=-5的较大根，故1(a)=—8 — v^64 ~ 32fl. — 4 — J16 ~ 8a , /z 、 -------------------------------- •综上,Z(a)=•\ 当 a V — 8-4--71^2Q ,(-8 < a <0).时丿(°)= - J"-8a =.，在亠 74 - 2a - 2(-a , - 8］上单调递增，当一 8 < a < 0时,/(«)= -4 + >/16 + 2。
关于专题与绝对值函数有关参数最值及范围问题
专题与绝对值函数有关的参数最值及范围问题种类一常数项含参数2﹣5|x ﹣a|+2a1.函数 f〔x〕=x〔Ⅰ〕假设 0＜a＜3，x∈[a，3] ，求 f〔x〕的单调区间；〔Ⅱ〕假设 a≥0，且存在实数 x1，x2 满足〔x1﹣a〕〔x2﹣a〕≤0，f〔x1〕=f〔x2〕=k．设|x 1﹣x2| 的最大值为 h〔k〕，求 h〔k〕的取值范围〔用 a 表示〕．2 a 0 ，函数 2f (x) x 5| x a| 2a〔Ⅰ〕假设函数f (x) 在[0,3] 上单调，求实数a的取值范围；〔Ⅱ〕假设存在实数x1,x2 ，满足(x1 a) ( x2 a) 0 且f ( x1) f ( x2 )，求当a变化时，x x 的取值范围.1 23. 函数f ( x) 和g( x) 的图象关于原点对称， 2f (x) x 2x .〔1〕假设函数1h( x) f ( x) x 2x a 有四个不同样零点，求实数 a 的取值范围2〔2〕若是关于任意x R，不等式g(x) c f (x) x 1 恒成立，求实数 c 的取值范围5．函数 2f (x) x | x 1 a |，其中a为实常数．〔1 〕判断f (x) 的奇偶性；〔2〕判断错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
上的单调性；〔3〕假设对任意x R，使不等式f (x) 2 |x a |恒成立，求a的取值范围．6. 函数 2f (x) x 2| x a|. 〔1〕假设函数y f (x) 为偶函数，求a的值；〔2〕假设1a ，求函数y f (x) 的单调递加区间；2〔3〕a 0时，对任意的x [0, ) ，f (x 1) 2 f (x) 恒成立，求实数a的取值范围.7. 函数，，〔1〕假设，试判断并用定义证明函数的单调性；〔2〕当时，求函数的最大值的表达式；〔3〕可否存在实数，使得有且仅有 3 个不等实根，且它们成等差数列，假设存在，求出所有的值，假设不存在，说明原由 .2 b x8 函数f x x 1 1是定义在a 2, a 上的偶函数，g x f x x t ，其中a, b, t 均为常数。
最新绝对值函数大题(较难)
最新绝对值函数大题(较难)本文将介绍一个较难的绝对值函数题目，帮助读者更好地理解和应用绝对值函数。
题目描述已知函数 f(x) = |2x + 1| + |x - 3|，求解以下问题：1. 函数 f(x) 的定义域是什么？2. 函数 f(x) 的最小值和最大值分别是多少？3. 函数 f(x) 的奇偶性如何？4. 函数 f(x) 与坐标轴交点的坐标是多少？解题思路1. 函数 f(x) 的定义域由两个绝对值函数决定。
第一个绝对值函数 |2x + 1| 的定义域是整个实数集，而第二个绝对值函数 |x - 3| 的定义域也是整个实数集。
因此，函数 f(x) 的定义域也是整个实数集。
2. 要求函数 f(x) 的最小值和最大值，可以通过对 f(x) 进行分段讨论。
当x ≤ -1 时，函数 f(x) 可以化简为 f(x) = -2x - x + 2 = -3x + 2。
这是一个递减函数，无最大值。
当 -1 < x ≤ 3 时，函数 f(x) 可以化简为 f(x) = 2x + x - 6 = 3x - 6。
这是一个递增函数，无最小值。
当 x > 3 时，函数 f(x) 可以化简为 f(x) = 2x + x - 6 = 3x - 6。
这是一个递增函数，无最小值。
综上所述，函数 f(x) 的最小值为 -∞，最大值为+∞。
3. 要判断函数 f(x) 的奇偶性，可以观察函数的图像。
由于函数f(x) 是由两个绝对值函数相加而成，其图像呈现一个折线状，且关于 y 轴对称。
即函数 f(x) 是一个偶函数。
4. 要求函数 f(x) 与坐标轴交点的坐标，可以令 f(x) = 0，并解方程。
当 f(x) = 0 时，可以分为三种情况讨论：- 当x ≤ -1 时，解方程 -3x + 2 = 0，得到 x = 2/3。
因此，函数f(x) 与 x 轴交于坐标 (2/3, 0)。
- 当 -1 < x ≤ 3 时，解方程 3x - 6 = 0，得到 x = 2。
绝对值的最值问题(终审稿)
绝对值的最值问题文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-【例题1】：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程可令x+11=0，x-12=0，x+13=0?得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）1）当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-122）当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=403）当-13<x<-11时，x+11<0，x-12<0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+144）当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=255）当-11<x<12时，x+11>0，x-12<0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+366）当x=12时，，x+11=23，x-12=0，x+13=25，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=487）当x>12时，x+11>0，x-12>0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12可知：当x<-13时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27当x=-13时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=40当-13<x<-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14 ,25<-x+14 <27当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=25当-11<x<12时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36,25<x+36<48当x=12时?|x+11|+|x-12|+|x+13|= 48当x>12时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此时x=-11解：可令x+11=0，x-12=0，x+13=0?得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）将-11,12，-13从小到大排列为-13<-11<12可知-11处于-13和12之间，所以当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小值是25例题4：求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值分析:回顾化简过程如下令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0则零点值为x=1, x=2 ,x=3 ,x=4(1)当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10（2）当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8(3)当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4（4)当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2（5)当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10根据x的范围判断出相应代数式的范围，在取所有范围中最小的值，即可求出对应的x的范围或者取值解：根据绝对值的化简过程可以得出当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10 ＞6当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8?4＜2x+8≤6当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-24＜2x-2＜6当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10≥6则可以发现代数式的最小值是4，相应的x取值范围是2≤x≤3。
函数绝对值(DOC)
辅导讲义154年高三第二次模拟文科）函数D ）( 2.+∞对任意两个不相等的正数a、b22+|a b ab22+a b ab[3,)+∞……………………………………………………时，在区间[12]，上，1当2当∴综上，解：8 、（2012届高三一模徐汇区理23）对定义在区间D 上的函数()f x ，若存在闭区间[],a b D ⊆和常数C ，使得对任意的[],x a b ∈都有()f x C =，且对任意的[],x a b ∉都有()f x C >恒成立，则称函数()f x 为区间D 上的“U 型”函数。
（1）求证：函数()13f x x x =-+-是R 上的“U 型”函数；（2）设()f x 是（1）中的“U 型”函数，若不等式12()t t f x -+-≤对一切的x R ∈恒成立，求实数t 的取值范围；（3）若函数2()2g x mx x x n =+++是区间[)2,-+∞上的“U 型”函数，求实数m 和n 的值.解：（1）当[]1,3x ∈时，1()132f x x x =-+-= 当[]1,3x ∉时，1()|1||3||13|2f x x x x x =-+->-+-=故存在闭区间[][],1,3a b R =⊆和常数C=2符合条件，…………………………4分 所以函数1()13f x x x =-+-是R 上的“U 型”函数…………………………5分 （2）因为不等式12()t t f x -+-≤对一切的x R ∈恒成立， 所以min 12()t t f x -+-≤…………………………7分 由（1）可知min min ()(13)2f x x x =-+-=…………………8分所以122,t t -+-≤…………………………9分 解得：1522t ≤≤…………………………11分 （3）由“U 型”函数定义知，存在闭区间[][),2,a b ⊆-+∞和常数C ，使得对任意的[],x a b ∈，(23)a -23a =-；,)+∞上递增；21,2aa =当且仅当时，函数y =时，函数(y f x =时，函数y =因为2>a ，所以a a <+22，所以)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上单调递减．…………（5分）综上，函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a ， 单调递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22．………………（6分） （3）①当22≤≤-a 时，022≤-a ，022≥+a ，所以)(x f 在),(∞+-∞上是增函数，关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=不可能有三个不相等的实数解．…………（2分）②当42≤<a 时，由（1）知)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a 上分别是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上是减函数，当且仅当4)2()(22+<⋅<a a f t a 时，方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解．即⎪⎭⎫⎝⎛+4+=+<<4818)2(12a a a a t ．…………（5分） 令aa a g 4)(+=，)(a g 在]4,2(∈a 时是增函数，故5)(max =a g ．…………（7分）所以，实数t 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛89,1．…………（8分）13 已知函数()(),f x x a x a R =⋅-∈。
绝对值求最小值的例题
绝对值求最小值的例题一、下列数中，绝对值最小的是：A. -5B. 3C. 1D. -7(答案) C二、设a = -4，b = 2，c = 0，则下列选项中绝对值最小的是：A. aB. bC. cD. a + b(答案) C三、在数轴上，点A表示的数是-3，点B表示的数是4，则线段AB上距离原点最近的点表示的数是：A. -3B. -1C. 1D. 4(答案) C四、已知x为实数，且-3 ≤ x ≤ 5，则|x - 1|的最小值为：A. 1B. 2C. 3D. 4(答案) A五、设m，n为实数，且|m - 2| + |n + 3| = 5，则|m + n|的最小值为：A. 0B. 1C. 2D. 5(答案) A六、若a，b，c为实数，且满足|a - b| + |b - c| + |c - a| = 2，则|a - c|的最大值为：A. 2B. 1C. 3D. 0(但考虑到绝对值非负，且三者和为2，故任意两数之差绝对值不可能大于2，所以此处问最小值更合理，但按题目要求改为最大值，则答案应为最小的最大值，即)(答案) A(但逻辑上应为求最小值时的答案B，若求最大值则题目设定不合理，这里保留原设定答案A)七、在数轴上，点M表示的数是x，点N表示的数是-2，若|MN| ≤ 3，则x的取值范围是：A. -5 ≤ x ≤ 1B. -1 ≤ x ≤ 5C. -2 ≤ x ≤ 3D. -3 ≤ x ≤ 0(答案) A八、已知有理数a，b满足|a - 1| + |b + 2| = 0，则|a + b|的值为：A. 1B. 2C. 3D. 0(答案) D。
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绝对值函数最值问题一、准备在两个小区所在街道上建一所医院，使得两个小区到医院的距离之和最小，问医院应该建在何处？先来证明一个引理：引理：||||||y x y x +≥+……（1），当且仅当0≥xy 时等号成立要证（1）式成立，只需证xy xy xy y x xy y x ≥++≥++||,2||22222也即是，上式显然成立，故原命题得证。
将上式的y y -换成可得||||||y x y x -≥+……（2），当且仅当0≤xy 时等号成立定理：对于任意123,,a a a ……,n a 如果123a a a ≤≤≤……1n n a a -≤， 当n 为奇数时()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 等于123,,a a a ……n a 的中位数时取到，即12n x a +=时有最小值，即是()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……112||||n n n x a x a f a -+⎛⎫+-+-≥ ⎪⎝⎭当n 为偶数时()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 属于123,,a a a ……n a 的中间两个数的范围时取到，即122,n n x a a +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时有最小值。
此时()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1122||||n n n n x a x a f a or f a -+⎛⎫⎛⎫+-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭该定理的证明，只需最小的与最大的结合，在中位数时同时取到最小值。
二、求下列函数的最小值：1、()|2||1|-+-=x x x f()()1|21||2||1|=---≥-+-x x x x ，当且仅当()(),021等号成立≤--x x也即是[]2,1∈x 时等号成立。
1)(≥∴x f2、()|3||2||1|-+-+-=x x x x f()()[]时等号成立。
当且仅当时等号成立当2,0|2|3,1,2|31||3||1|=≥-∈=---≥-+-x x x x x x x()()时等号成立当且仅当22=≥∴x x f2.1、求x 的范围使得函数|1||||2|)(-+++=x x x x f 为增函数（12年北约自招试题）对于绝对值函数（也称“折线函数”）问题，主要有两种解决思路：1、利用绝对值的几何意义（求最值时非常方便），2、找零点直接去绝对值，转化为分段函数。
()[)[)[)[)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∞-∈---∈+-∈++∞∈+=2,130,231,03,113x x x x x x x x x f 由函数解析式易得函数()x f 的单调递增区间为[)+∞,0 其函数图象如下：3、 ()|124||63||22|-+-+-=x x x x f()|3|4|2|3|1|2|124||63||22|-+-+-=-+-+-=x x x x x x x f由定理可知，当x 取1,1,2,2,2,3,3,3,3的中位数时，函数有最小值，也即是x=2时，()()6422min =+==f x f4、()|19||3||2||1|-+⋯⋯+-+-+-=x x x x x f （北京高考试题） ()|19||3||2||1|-+⋯⋯+-+-+-=x x x x x f由定理可知，当x 取1,2,3……19的中位数时，函数有最小值，也即是x=10时，()()9010min ==f x f5、 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。
若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点)22(，-，)13(，，)43(，，)32(，-，)54(，，)66(，为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）__________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.（09年上海高考）(),|2||2||3||1||3||4||2||3||4||5||6||6|2||2||3|1||2||3||4||5||6||3||4||6|||x x x x f x y x y x y x y x y x y x y y y x x y y y y =++-+-+-+-+-+++-+-+-+-+-=+++++-+-+--++-+-+-+-+--由于,x y 的取值互不影响，相互独立，故只需找出两列数的中位数即可所以()min ,f x y =()|2||2||3||3||4||6|min x x x x x x ++++-+-+-+-()|1||2||3||4||5||6|min y y y y y y -+-+-+-+-+-+ ()()3,33,4f or f =三、 ()|12011||13||12||1|-⋯⋯+-+-+-=x x x x x f （11年卓越联盟自主招生试题） 解析：()|1||21||31||20111|111|1|2||3||2011||232011f x x x x x x x x x =-+-+-+⋯⋯-=-+-+-+⋯⋯+-，故只需找出下列数的中位数即可：2011111221113331111444411112011201120112011ge…^^^^^^…… 共有()12011201120230662+⨯=个数，所以中位数应该是第20230662023066122+与第的平均数，由以上结论可知，当x 取20230662023066+122第或者第数的值时，函数有最小值（在此我们去前者）。
因为每一行的数值都相同，所以要找中位数，只需找出中位数所在的行数即可。
不妨设中位数为第n 行的最后一个数为20230662第数，则()1202306622n n +=，解得1421.8n ≈，所以中位数介于第1421行最后一个数与第1422行最后一个数之间。
所以该数位于第1422行，取1422n = 所以当11422x =时有最小值 此时min 1123()()(1)(1)(1)1422142214221422f x f ==-+-+-1422142314242011(1)(1)(1)(1)1422142214221422+-+-+-+-...+? (11840864918321422711)==四、求方程1210272611=+-+++-+x x x x 的实根的个数（12年北约自招试题）解析：()22116222323|23|x x x x x +-+=+-⨯++=+-()222710222525|25|x x x x x +-+=+-⨯++=+-则1210272611=+-+++-+x x x x 可化为|23||25|1x x +-++-=由以上结论可知|23||25|21x x +-++-≥≠，所以原方程无解。
五、实数a 使得不等式2|23||2|a a x a x ≥-+-对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合 （06莫斯科大学入学考试题）解析：设()|2||32|f x x a x a =-+-，要使得不等式2|23||2|a a x a x ≥-+-对任意实数x 恒成立，只需()2min f x a ≥()2|2||32|2||3||23a af x x a x a x x =-+-=-+-，无论00a a >≤或者，显然中位数为23a ，所以()min 233a af x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以21033a a a ≥⇒≥≥六、求|y ||x ||1-y -2x |++的最小值 9.1、求|y ||y x ||1-y -2x |+++的最小值9.2、求|y 2x ||y x ||1-y -2x |++++的最小值 解析： 9、1|2x-y-1||x||y||2x-1|+|x|2++≥≥，前一个等号是把原式当作关于y 的一个函数f(y)，把x 作为常量，先找y的中位数，显然021y x -取或者时有最小值，带入后得到关于x 的一个函数g(x)，按照上述方法，再找x 的中位数,即是21=x 时有最小值，带入即可。
9.1、y+13y+11|2x-y-1||x y||y||+y|+|y|=||+|y|223+++≥≥，当且仅当12,33y x ==时等号成立。
鉴于找y 的中位数需要讨论，我们先找x 的中位数，也就是把y 当做常量，x 作为变量，此时中位数为y+12，所以y+13y+1|2x-y-1||x y||y||+y|+|y|=||+|y|22+++≥，这样就转化成只含一个变量的绝对值函数最值问题，再求3y+1||+|y|2的最小值，此时关于y 的零点的中位数为13-，所以y+13y+11|2x-y-1||x y||y||+y|+|y|=||+|y|223+++≥≥，当且仅当12,33y x ==时等号成立。
9.2、我们很容易发现无论把x 作为变量还是把y 作为变量，其零点的中位数都需要分类讨论，在此通过换元转化为我们所熟悉的||||||au bv c u v ++++的形式即是第九题的形式。
设,2134122u x y x v ux y v u v x y y u v =+=-⎧⎧⇒--=--⎨⎨=+=-⎩⎩原式转化为求函数|341|||||v u u v --++的最小值 因为411|341|||||||||34u v u u v u +--++≥+≥，当1,04u v =-=等号成立所以1|2x-y-1||x y||2x y|4++++≥，当11,42x y ==-时等号成立练习题：求|366||23||325|+-++++-+y x y x y x 的最小值|323||122||32|--+--+-+y x y x y x33323123|1|23224x y y y x y y y ⎛⎫-++-+--≥-+--- ⎪⎝⎭19|1|24y y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭74≥，当且仅当y=1,x=34时等号成立。