初中数学变式训练

合集下载

人教版初中数学中考练本中考真题中的教材变式题(一题多变)

（2）解：连接AQ，CQ.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABQ＝∠CBQ＝45°，∠ABF＝90°.
∵BQ＝BQ，∴△ABQ≌△CBQ（SAS），
∴QA＝QC，∠BAQ＝∠BCQ.
∵EQ垂直平分线段AF，∴QA＝QF，
∴QC＝QF，∴∠QFC＝∠QCF，
∴∠QFC＝∠BAQ.
∵∠QFC＋∠BFQ＝180°，
∴AB＝BC，
∠B＝∠BCD＝90°.
∵CF平分∠DCH，
∴∠ECF＝135°.
∵AG＝CE，∴BG＝BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°＝∠ECF.
∵AE⊥EF，∴∠AEB＋∠FEC＝90°.
∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，
∴△GAE≌△CEF，∴AE＝EF.
的中点G，连接EG.）
变式1：（2022·泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，E是边AB上的点，且
BE＝2AE，过点E作DE的垂线，交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于
点M，连接DF，交边BC于点N，则MN的长为（
B ）
D.1
变式2：（2022·呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题.
∵CE⊥BF，∴∠BOE＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.
∵∠DAB＝90°＝∠CME，
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
变式3：（2020·鞍山）在矩形ABCD中，E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作
BF⊥AE于点G，交直线CD于点F.
（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰
变式3：（2022·兰州）综合与实践

初中数学“变式训练”的方法与思维

初中数学“变式训练”的方法与思维培养和发展学生的数学思维是新课程理念下的重要目标。

如何培养学生良好的数学思维呢？经过教学实践发现，合理利用变式训练能有效激活学生数学思维。

那么，什么是变式训练呢？所谓变式训练，就是保持原命题的本质不变，不断变换原命题的条件，或结论，或形式，或空间，或内容，或图形等，产生新的情境，引导学生从不同的角度，用不同的思维去探究问题，从而提高对事物认知能力。

也就是通过一个问题的变式，解决一类问题的变化，逐步养成深入反思数学问题的习惯，善于抓住数学问题的本质和规律，探索相关数学问题间的内涵联系以及外延关系，进而培养数学创新思维的能力。

当然变式不是盲目的变，应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变式。

1 多题一解，求同存异，通过变式让学生理解数学练习的内在联系许多数学练习看似不同，但它们的内在本质（或者说是解题的思路，方法是一样的），这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集，比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法。

例1：已知二次函数的图像经过A（-3，0）、B（1，0）、C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式。

变式1：已知二次函数的图像经过一次函数y=-x-3的图像与x轴、y轴的交点A、C，并且经过点B（1，0），求这个二次函数的解析式。

变式2：已知抛物线经过两点B（1，0）、C（0，-3）。

且对称轴是直线x=-1，求这条抛物线的解析式。

变式3：已知一次函数的图像经过点（1，0），且在y轴上的截距是-1，它与二次函数的图像相交于A（1，m）、B（n，4）两点，又知二次函数的对称轴是直线x=2，求这两个函数的解析式。

变式题的教学，先让学生议练，教师在知识的转折点上提出一些关键性的问题进行点拨，在思路上为学生扫除障碍。

对变式1，先让学生比较它与例题的已知条件有什么不同？再思考怎样转化为例题求解，然后讨论怎样求A、C两点的坐标。

初中数学课堂变式训练的有效设计——以“列一元一次方程解行程应用题”为例

跑步，东的速度是３０／ｉ，明的速度是小２ｍｍｎ小２０ｍｍｎ如果两人从同一起点同时反向出发，８０／ｉ，问
变式练习的设计可以从不同的维度人手，笔者以一跑道问题为例展示讨论。
例２：东与小明在４０环形跑道上训练跑小０ｍ步，小东的速度是３０／ｉ，明的速度是２０ｍ／２ｍｍｎ小８０ｍｎ如果两人从同一起点同时反向出发，ｉ，问几分钟
３０００立方米，如果同时进水，问几小时可以将池请
１８０
生形成相关技能。只要我们充分理解变式训练的相关心理机制，切合把握数学新课程的原则，教学设计
就会如鱼得水，课堂互动也能游刃有余，教学质量才能稳中有升。
［参考文献】
［］１王守恒．教育学新论［．Ｍ］中国科学技术大学出版社，０．２４０
机械地应付教师布置的任务而变通能力不强。我们认为，念、概定理与推理过程的学习是数学思维的基本形式，这些解决问
题的策略可以应用于所有的相关情境中。本文结合教学实例提出了数学课堂变式训练的操作方法，以期让学生不被教师的
主观臆断所局限。让学生跳出思维的牢笼获取问题解决的“ 真经” 从而在更广阔的视野中获取数学营养而成为创新型的，
基于变式训练的初中数学教学模型根据美国心理学家安德森的认知理论，结合数学教学实践，我们试图重新架构初中数学教学的程

初中数学中的几道变式训练题

初中数学中的几道变式训练题一、已知：点O是等边△ABC内一点,OA=4，OB=5，OC=3求∠AOC的度数。

变式1：在△ABC中，AB=AC，∠OA=4，OB=6，OC=2求∠AOC的度数。

变式2：如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135°试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角形各内角的度数;若不能,请说明理由.(2)如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时, 以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形?二、已知：C为AB上一点，△ACM和△CBN为等边三角形（如图所示）求证：AN=BMAB COACAB CO（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质）探索一：设CM 、CN 分别交AN 、BM 于P 、Q ，AN 、BM 交于点R 。

问此题中还有其他的边相等以及特殊角、特殊图形吗？给予证明。

探索二：△ACM 和△BCN 如在AB 两旁，其它条件不变，AN=BM 成立吗？探索三：△ACM 和△BCN 分别为以AC 、BC 为底且顶角相等的等腰三角形，其它条件不变，AN=BM 成立吗？探索四：A 、B 、C 三点不在一条直线上时，其它条件不变，AN=BM 成立吗？三、轴对称：已知直线l 及同侧两点A 、B ，试在直线l 上选一点C ，使点C 到点A 、B 的距离和最小。

变式1：如图，请你设计出两种方案的路线和最短的行走路线（画图并说明理由）方案1：小华由家先去河边，再去姥姥家；MACBBAl方案2：小华由家先去姥姥家，再去河边；变式2：已知: AB 、AC 表示两条交叉的小河, P 点是河水化验室, 现想从P 点出发, 先到AB 河取点水样, 然后再到AC 河取点水样, 最后回到P 处化验河水, 怎么走路程最短呢？实验员小王说:“我从P 点笔直向A 走, 同时取好两河水样再原路返回, 这样走, 路最近。

初中数学变式训练题2

初中数学变式教学研究-----------10道变式题1：平面直角坐标系中，已知A(4,0)，B （0,3），点C 是坐标轴上的点，并且△ABC 为直角三角形，请求出满足要求的所有点C 的坐标 .答案（0，0）（49-，0）（0，316-）变式1：平面直角坐标系中，已知A(6,3)，B （1,3），点C 是坐标轴上的点，并且△ABC 为直角三角形，请求出满足要求的所有点C 的坐标 .答案（1，0）（6，0）变式2：平面直角坐标系中，已知A(0,2)，B （5, 2），点C 是x 轴上的点，并且△ABC 为直角三角形，请求出满足要求的所有点C 的坐标 .答案（0，0）（1，0）（4，0）（5，0）变式3：平面直角坐标系中，已知A(2,2)，B （-2,2），点C 是坐标轴上的点，若△ABC 为直角三角形，则满足要求的所有点C 有个.答案 8个2.平面直角坐标系中，已知A(4,0)，B （0,3），点C 是坐标轴上的点，并且△ABC 为直角三角形，请求出满足要求的所有点C 的坐标 .答案（0，0）（49-，0）（0，316-）变式1：平面直角坐标系中，已知A(1,0)，B （5, 0），点C 是直线2y x =-上的点，若△ABC 为直角三角形，则点C 的坐标为 .答案（1，-1）（5，3）（275-，271-）（275+，271+）变式2：平面直角坐标系中，已知A(-2,0)，B （2, 0），点C 是双曲线上的点，若△ABC 为直角三角形，则满足要求的点C 的个数为个.答案 3变式3：平面直角坐标系中，已知A(3,0)，B （0, 4），点C 是抛物线的对称轴上的点，若△ABC 为直角三角形，则点C 的坐标为 .答案（4，2）（4，7）（4，）3．平面直角坐标系中，已知A(4,0)，B （0,3），点C 是坐标轴上的点，并且△ABC 为直x y 2=1682+-=x x y 43角三角形，请求出满足要求的所有点C 的坐标 .答案（0，0）（49-，0）（0，316-）变式1：平面直角坐标系中，已知A(4,0)，B （0,3），点C 是坐标轴上的点，点D 在平面直角坐标系内，使 A 、B 、C 、D 为矩形，则点C 的坐标为 .答案（0，0）（49-，0）（0，316-）变式2：平面直角坐标系中，已知A(0,2)，B （5, 2），点C 是x 轴上的点，点D 在第一象限内，使 A 、B 、C 、D 为矩形，则点D 的坐标为 .答案（1，4）（4，4）变式3：平面直角坐标系中，已知A(1,0)，B （5, 0），点C 是直线2y x =-上的点，点C 是坐标轴上的点，点D 在平面内，使 A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为矩形，则点C 的坐标为 .答案（1，-1）（5，3）（275-，271-）（275+，271+）4：直角梯形ABCD 中，AD=1， BC=4 ， DC =4。

浅谈初中数学教学中的变式训练

浅谈初中数学教学中的变式训练松江区茸一中学沈菊华素质教育是以培养具有创造性思维和创造能力的人才为目标而进行的创新教育为归宿的教育。

在课堂教学中落实素质教育，就要贯穿“学生为主体，训练为主线，能力为主攻”的原则。

现代数学课程标准指出：数学教学不仅仅要使学生获得数学基础知识,基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质,要通过各种途径，让学生体会数学思考和创造的过程，增强学习的兴趣和自信心,不断提高自主学习的能力。

所以加强在教学中注重变式训练，可以促使学生的思维向多层次、多方向发散，帮助学生在问题的解答过程中去寻找解类似问题的思路、方法，有意识地展现教学过程中教师与学生数学思维活动的过程，充分调动学生学习的积极性、主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。

所谓数学变式训练，即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化，使其条件或形式发生变化，而本质特征却不变。

数学教学，使学生理解知识仅仅是一个方面，更主要的是要培养学生的思维能力，掌握数学的思想和方法。

.变式其实就是创新。

当然变式不是盲目的变，应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变式。

实施变式训练应抓住思维训练这条主线，恰当的变更问题情境或改变思维角度，培养学生的应变能力，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法。

通过多问、多思、多用等激发学生思维的积极性和深刻性。

下面本人结合理论学习和数学课堂教学的实践，谈谈在数学教学中如何进行变式训练培养学生的思维能力。

一、在形成数学概念的过程中，利用变式启发学生积极参与观察、分析、归纳，培养学生正确概括的思维能力。

从培养学生思维能力的要求来看，形成数学概念，提示其内涵与外延，比数学概念的定义本身更重要。

在形成概念的过程中，可以利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，让学生自己去“发现”、去“创造”，通过多样化的变式提高学生学习的积极性，培养学生的观察、分析以及概括能力。

以“变”促教，引领高效教学———例析初中数学变式训练的实施策略

教学篇教学反思•高效课堂以“变”促教，引领高效教学———例析初中数学变式训练的实施策略王福平（甘肃省白银市靖远县第五中学，甘肃白银）摘要：数学作为基础性学科之一在学生的学习生活中占有重要地位，对学生未来的发展起到极其重要的作用。

然而，在实际学习中，许多学生都对数学头疼不已，因此需要教师转变教学的方式方法，激发学生学习的动力。

“变式训练”是数学教学的重要形式，举一反三，“变”的是表象，“不变”的是本质，教师在变式训练中引导学生发现不变的本质，从而能够真正掌握学习的规律，达到触类旁通的效果，教学事半功倍。

因此，如何在教学中开展变式训练，达到以“变”促教的目的是教师需要重点研究的问题。

关键词：初中数学；变式训练；实施策略数学本就千变万化，这也成为部分学生畏惧数学的原因之一。

在实际学习中部分学生进行数学题目的解答时只是简单地套用公式，常常题目一变学生便束手无策，缺乏变通的能力，长此以往数学学习动机必然下降，导致成绩的不理想。

因此，需要教师在平时教学中就注意引导学生进行变式训练，利用好经典的例题加以变动，既能加深学生对知识的掌握又能增强课堂趣味、提高学生的学习兴趣，教师要在“变”中激发学生学习数学的动力，培养学生的数学思维。

一、数值变换数值变换是变式训练中最基本的形式，即在不改变题目形式的情况下进行数值的变换。

但是数值的变换绝不仅仅是改变数字的大小，需要考虑变了之后的教学效果，以数字的改变加深学生对知识的理解，达到巩固提升的效果。

例1：计算12+（-9）×（-2）÷2变式：计算12+（-9）×2÷（-2）例2：已知一个等腰三角形的两条边长分别为3和6，求第三边的长度。

变式：已知一个等腰三角形的两条边长分别为3和5，求第三边的长度。

以上两个变式训练都是通过简单的数值变换达到知识巩固的目的。

其中例1是有理数的混合运算，其中重点在于负数的运算，通过改变符号改变了数的正负，让学生深入掌握负数的运算法则。

初中数学变式练习的设计研究

精神为基本要求，知识变式、目变以题
式、维变式、法变式为基本途径。思方遵
的方式，过对课本原形题目的变式、通引申、移、展、化及建模等步骤的迁拓深
实施来达到目标．
循主体参与、索创新等教学原则．探深入挖掘教材中蕴涵的变式创新因素．努
维能力。高教学质量的有效方法之一．提
一投～眦
一
构的发展是在其认识新知识的过程中伴随着同化和顺应的认知结构不断再
建构的过程．在新水平上对原有认知是
结构进行延伸、组而形成的新系统．改
主要目标，此教师要避免简单的重复因和机械的训练。教给学生解题的方法．而
随着课程改革和素质教育的深化．教育更强调培养学生应变能力、新能创力，注重培养学生的学习向自主型、更能力型、力型、放型转化，而全面智开从减轻学生过重的课业负担．学生从题让海战术中解放出来．这正是当前学校教
力培养学生的求异思维、新意识和创创
造能力．
１．关于《数》学可以从以下几代教
方面进行变式：
① 变数字；（变字母； ⑧变位置； ④

初中数学变式习题的设计

数学变式习题的设计习题是训练学生的思维材料，是教师将自己的思想、方法以及分析问题和解决问题的技能技巧施达于学生的载体。

要想不被千变万化的表象所迷惑，抓住本质的东西，变式教学是一种有效的办法。

通常可以利用习题变式训练学生的思维，使学生在多变的问题中受到磨练，举一反三，加深理解。

如将练习中的条件或结论做等价性变换，变更练习的形式或内容，形成新的练习变式，可有助于学生对问题理解的逐步深化。

下面本人结合理论学习和数学课堂教学的实践，谈谈在数学教学中如何进行变式训练培养学生的思维能力。

一、利用变式来改变题目的条件或结论，培养学生转化、推理、归纳、探索的思维能力。

（一）、一题多问，通过变式培养学生的创新意识和探究、概括能力牛顿说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。

”中学生的想象力丰富，因此，可以通过例题所提供的结构特点，鼓励、引导学生大胆地猜想，以培养学生的创造性思维和发散思维。

例题1．如图（1）已知△ABC中，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和E.求证：△ABD∽△AEC此题是很简单的证明题，将图形变式，添加切线BF，则可变为：[变式训练]1. 如图（2）已知△ABC中，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和E.过B作⊙O的切线交CE延长线与F点.求证：CE:BC=BF:CF本题需证△BEF∽△CBF,若将条件进一步发展，延长AD交BF于N，则有：2. 如图（3）已知△ABC中，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和E.过B作⊙O的切线交CE延长线于F点,交AE延长线于N点.求证：BN·DE=BD·EN本题需证BE平分∠FBC和△ABD∽△CDE，并借助中间比推证，若再将F为BF、CE交点改为F是由C点作切线BN垂线的垂足，则又变为：3. 如图（4）已知△ABC中，∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和E.过B作⊙O的切线交AE延长线于N点,作EF⊥BN.求证：BN·DE=BD·EN本题关键是证BE 平分∠FBC （1）（2）（3）（4）这一组变式训练将问题的条件适当发展，或增添新的条件，不断推出新的结论，能引导学生层层递进，积极探索，深化认识。

也谈初中数学中的变式迁移训练

教，促使学生更好地掌握基础知识和基本能力，优化人的素质，完善人格力量，培养和发展学生的创造性思维能力。因此， “ 学习迁移指导法”是合乎时代特征的一种现
代教学方法。
动，再分小组交流、争论，然后全班集中阐述、分析、讨论、质疑，让同学、师生融合在一种求索的意境之中。教师要精心扶植学生发现和提出问题的闪光点．尽量创设质疑提问、发表见解的情境．并热情鼓励学生有根据地 “ 标新立异 ” ，力求使他们的思维发散于不同的方向，从而促进学生求异思维的发展，提高其思维的变通性。
初中生的思维发展具有渐进性，他们思考问题的方法呈单向性，是一种惯性思维。因此，教学中，我们一方面要设置思维定势的正迁移，另一方面又要防止扼杀了创造
考放与辅导
性思维。变式训练可以使思维从模仿向创造转移，实现思
维从单向性向发散性过渡。当然，变式不是盲目地变，而
三、小结比较会择优
实施这一教学方法的基本策略是：在教学过程中，根据学生的实际情况，努力创设一个符合学生心理特点，能
激发学生求知欲的课堂情境，运用迁移规律，坚持由已知到未知，由浅人深，由再造性思维向创造性思维过渡的认
先发展、育人为本、改革创新、促进公平、提高质量” 的２０字工作方针。其中，育人为本是教育改革发展的核心，促进公平和提高质量是教育改革发展的两大工作重点，优先发展和改革创新是实现重要任务的两大重要保证。新的

初中数学教材变式题

变式题1、原题：计算：2)32(-．（9年级上册P5第2（4）题）变式1 填空： 94= ，412= ．变式2 当x 时，式子231-x 在实数范围内有意义？变式3 若23-n 是整数，求正整数n 的值（至少写出3个）．变式4 是否存在正整数n ，使得231+n 是有理数？若存在，求出一个n 的值；若不存在，说明理由．2、原题：四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点，∠AEF = 90︒，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．求证：AE = EF ．（提示：取AB 的中点G ，连结EG ）（8年级下册P122页第15题）变式1 连结AC ，则点A 、E 、C 、F 四点在一个圆上（利用圆周角的性质，结论AE = EF 立即自明）．变式2 连结AH ，则AH = AB + CH ，∠BAE =∠EAH ．变式3 如图，设E 是边BC 上的任意一点，① AE ⊥EF ，② CF 是正方形外角的平分线，③ AE = EF ．则可得 ①② ⇒ ③，①③ ⇒ ②，②③ ⇒ ①，共三个命题，不难证明它们都是正确的．变式4 如图，E 是正方形ABCD 中BC 边上的任意一点，连结AE ，过E 作EF ⊥AE 交CD 于H ，设∠BAE = α，∠EAH = β．求tan α + tan β 的值．变式5 如图，正三角形ABC 中，E 是BC 边（不含端点B 、C ）上任意一点，D 是BC 延长线上一点，F 是∠ACD 的平分线上一点．（1）若∠AEF = 60°，求证：AE = EF ；（2）若将题中的“正三角形ABC ”改为“正多边形A n B n C n D n …X n ”，其它条件不变，请你猜想：当∠A n E n F n= °时，结论A n E n = E n F n 仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）︒⨯-1802nn 变式6 如图，矩形ABCD 中（AB ＜BC ），E 是边BC 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90︒，使EF 交矩形的外角平分线CF 于点F ．（1）试问边BC 上是否存在点E ，使得EF = AE ？说明理由；（2）试探究点E 在边BC 的何处时，使得1=-ABBCAE EF 成立？E α β DA B C HH C E D A B F FD BE C A AB C E FD3、原题：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OC 在x 轴上，边OA 在y 轴上，点D 在边OC 上，将△DBC 沿BD 所在的直线翻折，使点C 落在对角线OB 上的点E 处，直线BD 交y 轴于点F ，线段OA 的长是04822=-+x x 的一个根，且53=∠ABO Sin . 请解答下列问题：（1）求点B 的坐标；（2）求直线BD 的解析式；（3）在x 轴上是否存在一点P ，使△APO 与△AOB 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

变式练习在初中数学课堂中的运用

变式练习在初中数学课堂中的运用【摘要】变式练习在初中数学课堂中的运用对于学生的数学能力提升起着重要的作用。

通过不同形式的变式练习，学生可以更加深入地理解数学知识，提高解决问题的能力。

设计变式练习需要遵循一定的原则，确保能够达到预期的效果。

在实施变式练习时，教师需要根据学生的实际情况灵活调整，以确保教学效果。

通过变式练习，学生不仅能够提升数学能力，还可以培养解决问题的思维方式。

变式练习在初中数学课堂中的运用具有重要的意义。

结合多种形式的变式练习，可以更好地激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果。

通过不断实践和总结，可以更好地应用变式练习，为学生的数学学习带来更大的帮助。

【关键词】变式练习、初中数学、运用、重要性、设计原则、提升、学生、能力、多种形式、实施方法、结论。

1. 引言1.1 引言变式练习在初中数学课堂中的运用，是一种非常重要的教学方法。

通过变式练习，学生可以在不断的重复和巩固中提升他们的数学能力，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

在数学学习中，变式练习既可以检验学生的掌握情况，又可以帮助学生巩固知识，提高学习效果。

在日常教学中，老师们可以根据学生的实际情况和学习需求，设计不同形式和难度的变式练习，以促进学生的全面发展和提高学生成绩。

变式练习在初中数学课堂中的运用是非常重要的。

通过变式练习的设计与实施，可以有效提升学生的数学能力，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

希望未来在数学教学中能够更加重视变式练习的运用，为学生的数学学习打下扎实的基础。

2. 正文2.1 变式练习在初中数学课堂中的运用的重要性变式练习在初中数学课堂中的运用的重要性是非常显著的。

变式练习可以帮助学生巩固所学的数学知识，加深对数学概念的理解。

通过不断变换题目的形式和要求，学生可以更加全面地掌握知识点，不仅能够掌握解题技巧，还可以深入理解数学原理和定律。

变式练习可以培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

通过不同形式的练习，学生需要思考不同的解题思路和方法，从而锻炼他们的思维灵活性和创造性。

初中数学之变式训练

【模拟试题】一、选择题1. “x 的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（）A. 2x －3≤8B. 2x －3≥8C. 2x －3＜8D. 2x －3＞8 2.下列不等式一定成立的是（）A. 5a ＞4aB. x +2＜x +3C. －a ＞－2aD.a a 24> 3. 如果x ＜－3，那么下列不等式成立的是（）A. x 2＞－3xB. x 2≥－3xC. x 2＜－3xD. x 2≤－3x 4. 不等式－3x +6＞0的正整数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 无数多个 5. 若m 满足|m |＞m ，则m 一定是（）A. 正数B. 负数C. 非负数D. 任意有理数 6. 在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x 满足（）A. －8＜x ＜8B. x ＜－8或x ＞8C. x ＜8D. x ＞87. 若不等式组⎩⎨⎧>≤11x mx 无解，则m 的取值范围是（）A. m ＜11B. m ＞11C. m ≤11D. m ≥118. 要使函数y =（2m －3）x +（3n +1）的图象经过x 、y 轴的正半轴，则m 与n 的取值应为（）A. m ＞23，n ＞－31B. m ＞3，n ＞－3C. m ＜23，n ＜－31D. m ＜23，n ＞－31二、填空题9. 不等式6－2x ＞0的解集是________.10. 当x ________时，代数式523--x 的值是非正数.11. 当m ________时，不等式（2－m ）x ＜8的解集为x ＞m -28.12. 若x =23+a ，y =32+a ，且x ＞2＞y ，则a 的取值范围是________. 13. 已知三角形的两边为3和4，则第三边a 的取值范围是________.14. 不等式组⎩⎨⎧-<+<212m x m x 的解集是x ＜m －2，则m 的取值应为________. 15. 已知一次函数y =（m +4）x －3+n （其中x 是自变量），当m 、n 为________时，函数图象与y 轴的交点在x 轴下方.16. 某种商品的价格第一年上升了10%，第二年下降了（m －5）%（m ＞5）后，仍不低于原价，则m 的值应为________.三、解答题17. 解不等式（组）（1）－2（x －3）＞1 （2）⎪⎩⎪⎨⎧-<-+≤-3314)3(265x x x x18. 画出函数y =3x +12的图象，并回答下列问题：（1）当x 为什么值时，y ＞0？（2）如果这个函数y 的值满足－6≤y ≤6，求相应的x 的取值范围.19. 已知方程组⎩⎨⎧=+-=+2212y x m y x 的解x 、y 满足x +y ＞0，求m 的取值范围.120. 某批发商欲将一批海产品由A 地运往B 地.汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务.已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时、100千米/时.的冷藏费.（1）设该批发商待运的海产品有x （吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y 1（元）和y 2（元），试求y 1和y 2与x 的函数关系式；（2）若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应选择哪个货运公司承担运输业务？21. 某童装厂，现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L 、M 两种型号的童装共50套.已知做一套L 型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元，做一套M 型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，设生产L 型号的童装套数为x （套），用这些布料生产两种型号的童装所获得利润为y （元）.（1）写出y （元）关于x （套）的代数式，并求出x 的取值范围.（2）该厂生产这批童装中，当L 型号的童装为多少套时，能使该厂的利润最大？最大利润是多少？玩数学------------变式训练一1、（2008山东模拟）如图所示，等腰Rt △ABC 中，P 是斜边BC 的中点，以P 为顶点的直角边分别与边AB 、AC 交于点E 、F ，连结EF .当∠EPF 绕顶点P 旋转时（点E 不与A 、B 重合），△PEF 也始终是等腰直角三角形，请说明理由.2、一位同学拿了两块45三角尺MNK △，ACB △做了一个探究活动：将MNK △ 的直角顶点M 放在ABC △的斜边AB 的中点处，设4AC BC ==．BK图（1）N图（2）BN图（3）（1）如图（1），两三角尺的重叠部分为ACM△，则重叠部分的面积为，周长为．（2）将图（1）中的MNK△绕顶点M逆时针旋转45，得到图26（2），此时重叠部分的面积为，周长为．（3）如果将MNK△绕M旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为。

关于变式训练在初中数学中的应用与思考

关于变式训练在初中数学中的应用与思考摘要:初中是学习发展中的一个关键转折点，从小学到初中这一过程中学生们学习的知识越来越多、越来越抽象。

数学这一学科在所有学科中既是重点又是难点，需要学生在这一阶段培养总结、变通的能力，可以建立自己的知识体系。

变式训练在一定程度上可以帮助学生培养以上能力，并且在素质教育的背景下变式训练越来越受到教育工作者的重视。

变式教育对教学改革和学生能力的培养具有重要作用，在数学教学中也不例外。

关键词:变式训练；初中数学；应用与思考我们现在处于新课程改革下的洪流中，我们在此中稍不谨慎便会被冲到岸边失去竞争力。

在课改下更加强调学生的主体性，要求教师改变以往的刻板教学方法。

不再是教师主讲学生被动接受，要求学生们发散思维，发挥学生的主观能动性。

教师在数学教学过程中应该将变式训练融入其中，培养学生们发散式思维、自主学习的习惯。

让学生在遇到问题时可以进行多方位、多层次的思考，想出多种不同的解题思路。

本文从变式训练的含义、变式训练对初中数学的重要意义及变式训练在初中数学中的应用三大部分论述，具体内容如下。

1.变式训练的含义学习以产生式表征的程序性知识的必要条件，它是指在其他教学条件不变的情况下，变化概念和规则的例证。

简单来说就是学生在学习中学习一个题或者概念可以以此推测出别的类型的题和概念，与我们平常所说的举一反三类似。

一般来说变式训练一般有三种：概念性变式、语言性变式和数学题目变式。

1.变式训练对初中数学的重要意义初中是重要的转折阶段，在这一阶段中学生们学习的内容越来越复杂、越来越多。

在有限的时间里学生要完全掌握这知识有些困难，况且初中数学更加的抽象难懂。

在遇到这些难题时学生们多半会退缩并且会减少对数学的喜爱，学生们会减少对数学的热情以至于会厌烦。

我们都知道兴趣是最好的老师，一旦失去兴趣那么这个学科可能会变成减分项。

而变式训练的运用刚好可以解决此类的问题：变式训练可以帮助学生们培养发散性思维、培养创造力，在学习中锻炼学生们举一反三地能力帮助学生们构建体系。

七年级数学上册精选例题变式全解析

讲次01 有理数的分类及数轴考点一、有理数分类按照整数和分数的分类【注意】0既不是正数也不是负数。

按正数、负数、和零的关系分类有理数分类注意事项：1.无限不循环的小数不是有理数，比如：圆周率。

2.无限循环的小数是有理数，比如：0.6666666…3.如200%，6/3能约分成整数的数不能算做分数考点二、数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。

数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数. 实心点表示包括本数，空心点表示不包括本数。

命题角度一正负数在实际生活中的应用例题1．如果向东走2m 记为2m +，则向西走3m 可记为( ) A ．3m +B ．2m +C ．3m -D ．2m -【解析】若向东走2m 记作+2m ，则向西走3m 记作-3m ，选C ．变式1．如果+20%表示增加20%，那么﹣6%表示（） A ．增加14%B ．增加6%C ．减少6%D ．减少26%【解析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以如果+20%表示增加20%，那么﹣6%表示减少6%．选C ．变式2．四个足球与足球规定质量偏差如下：﹣3，+5，+10，﹣20（超过为正，不足为负）．质量相对最合规定的是（）A ．+10B ．﹣20C ．﹣3D ．+5 【分析】质量偏差越少越好，最符合规定的是﹣3. 【解析】最符合规定的是﹣3，选C . 【小结】本题主要考查负数的意义.变式3．花店、书店、学校依次坐落在一条东西走向的大街上，花店位于书店西边100米处，学校位于书店东边50米处，小明从书店沿街向东走了20米，接着又向西走了–30米，此时小明的位置（） A ．在书店 B ．在花店 C ．在学校D ．不在上述地方【分析】由题意知，可看作书店为原点，花店位于书店西边100米处，即-100米，学校位于书店东边50米处，即+50米，解答出即可．【解析】根据题意：小明从书店沿街向东走了20米，接着又向西走了–30米，即向东走了50米，而学校位于书店东边50米处，故此时小明的位置在学校．选C ．【小结】本题考查类比点的坐标及学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，解题的关键在于对正负坐标的理解．命题角度二有理数的分类例题2．把下列各数填入它所在的数集的括号里．﹣12，+5，﹣6.3，0，﹣1213，245，6.9，﹣7，210，0.031，﹣43，﹣10%正数集合：{…}整数集合：{…}非负数集合：{…}负分数集合：{…}．【解析】正数集合：{+5，245，6.9，210，0.031 …}；整数集合：{+5，0，﹣7，210，﹣43 …}；非负数集合：{+5，0，245，6.9，210，0.031 …}；负分数集合：{﹣12，﹣6.3，﹣1213，﹣10% …}．故答案为{+5，245，6.9，210，0.031…}；{+5，0，﹣7，210，﹣43…}；{+5，0，245，6.9，210，0.031 …}；{﹣12，﹣6.3，﹣1213，﹣10%…}．变式1．所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的分数组成分数集合，请把下列各数填入相应的集合中：－2.5，3.14，－2，＋72，－0.6，0.618，0，－0.101正数集合：{ …}；负数集合：{ …}；分数集合：{ …}；非负数集合：{ …}．【解析】正数集合：{3.14，＋72，0.618，…}；负数集合：{－2.5，－2，－0.6，－0.101，…}；分数集合：{－2.5，3.14，－0.6，0.618，－0.101，…}；非负数集合：{3.14，＋72，0.618，0，…}．变式2．（1）如图，下面两个圈分别表示负数集和分数集，请你把下列各数填入它所在的数集的圈里；2016，﹣15%，﹣0.618，712，﹣9，﹣23，0，3.14，﹣72（2）上图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？（3）列式并计算：在（1）的数据中，求最大的数与最小的数的和．【解析】（1）根据题意如图：（2）这两个圈的重叠部分表示负分数集合；（3）最大数是2016，最小数是72-，∴最大的数与最小的数之和2016(72)1944+-=．命题角度三数轴的三要素及画法例题3．下列数轴画正确的是()A．B．C．D．【解析】A、没有单位长度，故错误；B、没有正方向，故错误；C、原点、正方向、单位长度都符合数轴的条件，故正确；D、数轴的左边单位长度的表示有错误．选C．变式1．下列图中数轴画法不正确．．．的有（）.（1）（2）（3）（4）（5）A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】（1）没有正方向，数轴画法不正确；（2）单位不统一，数轴画法不正确；（3）缺少单位长度，数轴画法不正确；（4）单位不统一，数轴画法不正确；（5）符合数轴的定义，数轴画法正确．选C．变式2．下列各图表示数轴正确的是（）A．B．C．D．【解析】各图表示数轴正确的是：．选C．命题角度四用数轴上的点表示有理数例题4．如图，在数轴上，小手遮挡住的点表示的数可能是（）A．﹣1.5 B．﹣2.5 C．﹣0.5 D．0.5【解析】由数轴可知小手遮挡住的点在-1和0之间，而选项中的数只有-0.5在-1和0之间，所以小手遮挡住的点表示的数可能是-0.5，选C．变式1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3B．2C．1D．－1【解析】数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为-1，选D．【小结】考查有理数与数轴上点关系，任何一个有理数都可以用数轴上点表示，在数轴上，原点左边点表示负数，原点右边点表示正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.变式2．如图，25倒数在数轴上表示的点位于下列两个点之间( )A．点E和点F B．点F和点G C．点F和点G D．点G和点H【解析】25的倒数是52，∴52在G和H之间，选D．变式3．若|a|=﹣a，则实数a在数轴上的对应点一定在（）A．原点左侧B．原点或原点左侧C．原点右侧D．原点或原点右侧【解析】∵|a|=-a，∴a一定是非正数，∴实数a在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧，选B．命题角度五利用数轴表示有理数的大小例题5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（）A．﹣a＜0＜﹣b B．0＜﹣a＜﹣b C．﹣b＜0＜﹣a D．0＜﹣b＜﹣a【解析】根据数轴得出a＜0＜b，求出﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0，即得出答案．∵从数轴可知：a＜0＜b，∴﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0，∴﹣b＜0＜﹣a，变式1．，在数轴上位置如图所示，则，，，的大小顺序是( )A．B．C．D．【分析】从数轴上a b的位置得出b＜0＜a，|b|＞|a|，推出-a＜0，-a＞b，-b＞0，-b＞a，根据以上结论即可得出答案．【解析】从数轴上可以看出b＜0＜a，|b|＞|a |，∴-a＜0，-a＞b，-b＞0，-b＞a，即b＜-a＜a＜-b，选D．变式2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣2 B．a＜﹣3 C．a＞﹣b D．a＜﹣b【解析】试题分析：A．如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；B．如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；C．如图所示：1＜b＜2，则﹣2＜﹣b＜﹣1，又﹣3＜a＜﹣2，故a＜﹣b，故此选项错误；D．由选项C可得，此选项正确．选D．变式3．有理数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )A．m<-1B．n>3C．m<-n D．m>-n【解析】由数轴可得，-1＜m＜0＜2＜n＜3，选项A错误，选项B错误，∴m＞-n，选项C错误，选项D正确命题角度六数轴上的动点问题例题6．如图1，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母m 、n 、p 、q ，如图2，先让圆周上表示m 的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示-2019的点与圆周上重合的点对应的字母是（）A ．mB ．nC ．pD ．q【解析】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，-1，-2，-3，则分别与圆周上表示字母为m ，q ，p ，n 的点重合．2019÷4=504...3，故-2016与n 点重合.变式1．在数轴上，把表示﹣4的点移动1个单位长度后，所得到的对应点表示的数为（） A ．﹣2B ．﹣6C ．﹣3 或﹣5D ．无法确定【分析】分两种情况讨论：把表示﹣4的点向左移动1个单位长度或向右移动1个单位长度，然后根据数轴表示数的方法可分别得到所得到的对应点表示的数．【解析】把表示﹣4的点向左移动1个单位长度为－5，向右移动1个单位长度为－3．选C ．【小结】考查数轴：数轴三要素（正方向、原点和单位长度）；数轴上原点左边点表示负数，右边的点表示正数；左边的点表示的数比右边的点表示的数要小．也考查了分类讨论的思想．变式2．已知数轴上的三点A 、B 、C ，分别表示有理数a 、1、﹣1，那么|a +1|表示为（） A ．A 、B 两点间的距离 B ．A 、C 两点间的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ．A 、C 两点到原点的距离之和【解析】因为1(1)a a +=--，所以1a +表示A 点与C 点之间的距离，选B变式3．如图，半径为1的圆从表示1的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示1的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是（）A．﹣2πB．1﹣2πC．﹣πD．1﹣π【解析】解：∵直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，∴AB之间的距离为圆的周长＝2π，A点在数轴上表示1的点的左边．∴A点对应的数是1﹣2π．选B．讲次02 绝对值与相反数考点一相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）注意：1、通常a与-a互为相反数；2、a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；3、特别注意，0的相反数是0.考点二绝对值正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

初中数学改编题

B M M N
解 (3 )点： B 能叠M 在上 D . .直 . ....线 ............................1 ...分 ..... 由2 ）（得 P M ， ∽ B NM ; B NM D NM N 沿直 M折 N 线叠纸 B 能片叠， M 在上点 D . .直 . ....2 线 .分 ....
证:( 明 1 ) PN M BN 1 Q 8 0 0 90 0 90 0 PN M PM 9N 0 0 ; BN Q PM ...N .......2 .分 ... 又 NP M BQ 9 N 0 0 ; NM ∽ B PN ...Q ....3 .分 ...
片展开
(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得
编
到折痕BM。同时得到了线段BN。
变式一：
沿MN线折叠得折痕MH，点B在直线MD上，利用展开图探究：
题
△BMH是什么三角形并证明你的结论．
一
改编目的：通过对原题的
引申，培养了学生的发散
性思维，识图能力和灵活
运用数学知识解决实际问
题的能力。
原
题
原题出自：人教版八年级（下册）课本115 页教学活动1
大家好
1
原题：如果我们身旁没有量角器或三角尺，需要做600,300,150
课
的角等大小的角，可以采用下面的方法： (1)对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸
片展开
(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得
片展开
(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得
编
到折痕BM。同时得到了线段BN。
变式三：

初中数学几何专题-对角互补模型变式训练题

FE D A 对角互补模型变式一、基本图形如图，点D 为△ABC 外一点，连接BD ，CD ，过点A 作AE ⊥BD 交BD 延长线于点E ，作AF ⊥CD 于点F .①AB ＝AC （可换为“点A 在线段BC 中垂线上”或“∠ABC ＝∠ACB ”）②∠BAC ＝∠BDC （可换为“∠ABD ＝∠ACD ”或“∠BAC ＋∠EDF ＝180°”） ③AD 平分∠EDF （可换为“∠ADC ＝90°－12∠BDC ”或“AE ＝AF ”）④CD －BD ＝2DE （可换为“CD －BD ＝2DF ”或“CD ＋BD ＝2BE ”或“CD ＋BD ＝2CF ”） ⑤∠ADC ＝∠ABC （可换为“∠BAD ＝∠BCD ”或“∠ADE ＝∠ACB ”）结论如下：（1）若①②成立，则③④⑤成立；（2）若①③成立，则②④⑤成立；（3）若②③成立，则①④⑤成立；（4）若③④成立，则①②⑤成立；（5）若①④成立，则③④⑤成立；（6）若①⑤成立，则②③④成立. （7）若②④成立，则①③⑤成立；注：（1）-（3）要熟知，（4）（5）（6）要会，（7）能懂即可，不要求掌握.二、应用举例【例】1、（2015年武昌7校八上期中）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ，∠ABD ＝60°，∠ADB ＝78°，∠BDC ＝24°，则∠DBC ＝（） A .18° B .20° C .25° D .15°A BCD2、如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ，E 在边AB 上，连接DE ，CE . （1）如图1，若AD ∥BC ，∠AED ＝∠ACD ，求证：DC ＝DE ；（2）如图2，若DC ＝DE ，∠CDE ＝∠BAC ，求证：AD ∥BC .图1图2EDCBAABCDE【练】1、在四边形ABCD 中，连接AC 、BD ，若∠ACD ＝∠ADC ＝α，∠ACB ＝∠ADB ，则∠CBD ＝__________.AD2、如图，点C 为△ABD 外一点，连接CA ，CD .（1）如图1，若∠B ＝∠C ，∠ADB ＝90°﹣12∠BDC ，求证：AB ＝AC ；（2）如图2，若∠B ＝∠C ，AB ＝AC ，请探究∠ADB 与∠BDC 的数量关系；（3）如图3，若AB ＝AC ，∠ADB ＝90°﹣12∠BDC ，求证：∠B ＝∠C .图3图2图1ABDABD D BA【例】1、（2015武昌八上期末、2016洪山八上期中）已知△ABC 和△DEF 为等腰三角形，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠BAC ＝∠EDF ，点E 在AB 上，点F 在射线AC 上. （1）如图1，若∠BAC ＝60°，点F 与点C 重合，求证：AF ＝AE ＋AD ；（2）如图2，若AD ＝AB ，求证：AF ＝AE ＋BC .图1图2FE DC BAF ( )E DC BA2、如图，点A 是线段BC 的垂直平分线上一点，D 为△ABC 外一点，连接DA 、DB 、DC . （1）过点A 作AE ⊥BD 交BD 延长于点E ，若∠BDC ＝∠BAC ，BE ＝5，求BD ＋CD 的值；（2）若∠DAB ＝∠DCB ，∠BDC ＝60°，求证：AD ＋BD ＝CD .E AB DDA【练】1、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外一点，且∠ABD ＝∠ACD ＝60°，求证：BD ＋DC ＝AB .DCBA2、（2015七一八上10月）如图，BD ＝CD . （1）如图，若AD 平分∠BAC 的外角，①求证：∠ABD ＝∠ACD ；②试探究∠BAD 与∠BCD 的关系并证明；（2）如图，若∠ADB ＝∠ACB ，求证：AD 平分∠BAC 的外角.EDC B AEDCB A【例】1、（2016年勤学早八上轴对称周练）如图1，A 是OB 的垂直平分线上一点，P 为y 轴上一点且∠OPB ＝∠OAB . （1）若∠AOB ＝60°，PB ＝4，求点P 坐标；（2）在（1）的条件下，求证：P A ＋PO ＝PB ；（3）如图2，若点A 是OB 的垂直平分线上一点，已知A （2，5），求PO ＋PB 的值.图2图12、如图，在平面直角坐标中，点A 、B 分别在x 轴负半轴和正半轴上，且关于y 轴对称，点C 在y 轴正半轴，连接AC ，BC ，BD . （1）若∠ACD ＝2∠ABD ，求证：AC ＝CD ；（2）在（1）的条件下，若点E 、F 分别在AC 的延长线和CB 的延长线上，且DE ＝DF ，求CF －CE CO的值.【练】1、如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（1 ，0），点C 的坐标是(1，0)，点D 为y 轴上一点，点A 为第二象限内一动点，且∠BAC ＝2∠BDO ，过D 作DM ⊥AC 于M . （1）求证：∠ABD ＝∠ACD ；（2）若点E 在BA 延长线上，求证：AD 平分∠CAE ；（3）当A 点运动时，AC －ABAM的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由.2、如图，在平面直角坐标系中，OA ＝OB ＝OC ＝2，点P 从C 点出发沿y 轴正方向以1个单位／秒的速度向上运动，连接P A 、PB ，D 为AC 的中点.（1）如图1，设点P 运动时间为t 秒，问：当t 为何值时，DP 与DB 垂直且相等；（2）如图2，若P A ＝AB ，在第一象限内有一动点Q ，连QA 、QB 、QP ，且∠PQA ＝60°，问：当Q 在第一象限内运动时，∠APQ ＋∠ABQ 的度数和是否会发生改变？若不改变，请说明理由并求这个不变的值.图1图2。