高中数学必修5 用构造法求数列的通项公式

用构造法求数列的通项公式

在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：

一．利用倒数关系构造数列。

例如：}{n a 数列中，若),(41

1,

21

1N n a a a n

n ∈+=

=+求a n

n n n

n b b a b ==

+1,1

则设+4, 即n n b b -+1＝４，

n b {∴｝是等差数列。

可以通过等差数列的通项公式求出n b ,然再求后数列{ a n }的通项。

练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足),(,311

,2

111N n a a a n

n ∈+==+求a n 2)数列{ a n }中，,2

2,111+=

=+n n

n a a a a 求a n 通项公式。 3)数列{ a n }中,),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且求a n . 二．构造形如2

n n a b =的数列。

例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52

2

11∈-==+ 解：设4,4,112

-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则

)

,71(,429429429)4()1(25254}{2

2

11N n n n a n

a n n

b a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-⋅-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列

练习：已知正数数列{ a n }中，),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-,

求数列{ a n }的通项公式。 三．构造形如n n a b lg =的数列。 例：正数数列{ a n }中，若a 1=10,且),,2(,lg 2

1

lg 1N n n a a n n ∈≥=-求a n . 解：由题意得：

n n n n a b a a lg 2

1

lg lg 1=∴=-可设，， 即

,2

1

1=-n n b b 110lg 2

1

1==∴b b n ，是等比数列，公比为

)(,)2

1

()21(111N n b n n n ∈=⋅=∴--.

即1)21

(1

10,)2

1(lg -=∴=-n n n n a a

练习：（选自2002年高考上海卷）

数列{ a n }中，若a 1=3,2

1n n a a =+,n 是正整数，求数列{ a n }的通项公式。 四．构造形如m a b n n +=的数列。

例：数列{ a n }中，若a 1=6,a n+1=2a n +1, 求数列{ a n }的通项公式。 解：a n+1+1=2a n +2, 即a n+1+1=2（a n +1） 设 b n = a n +1, 则b n = 2 b n-1

则数列{ b n }是等比数列，公比是2,首项b １= a １+1＝7,

11271,27--⋅=+⋅=∴n n n n a b 即 1271-⋅=∴-n n a ，)(N n ∈

构造此种数列，往往它的递推公式形如：

的形式和2)1(,1+=+≠+⋅=+n a S c d a c a n n n n 。

如：a n+1＝c a n +d,设可化成a n+1+x=c(a n +x),

a n+1=c a n +(c-1)x

用待定系数法得： (c-1)x ＝d

∴ x=

1

-c d . 又如：Ｓn +a n =n+2, 则 Ｓn-1+a n-1=n+1,

二式相减得：Ｓn －Ｓn-1 +a n －a n-1 =１，即a n +a n －a n-1 =１，

∴ 2 a n －a n-1=１，

a n =21a n-1+2

1.

如上提到b n = a n ＋1

1

-c d = a n –1

练习：1.数列{ a n }满足a n+1=3a n +2, 求a n

2.数列{ a n }满足Ｓn +a n =2n+1,求a n

五．构造形如n n n a a b -=+1的数列。

例：数列{ a n }中，若a 1=１，a ２=3,a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0 (n ∈N),求a n 。

解： a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0得： a n+2 － a n+1 = - 5（a n ＋１ － a n ） 设b n = a n ＋１ －a n ，

则数列{ b n }是等比数列，公比是-5,首项b １= a 2- a 1＝2,

∴a n ＋１ －a n =2?(-5)n-1

即a ２ －a １=2?(-5) a ３ －a ２=2?(-5)２ a ４ －a ３=2?(-5)３

┄

a n －a n －１=2?(-5)n-2

以上各式相加得：a n －a １=2?［（-5）＋(-5)２＋(-5)３＋┄＋（-5）n-1］

即：a n －a １=2?)

5(1511

-----n ）

（

3)5(111---+=∴n n a ，即3

)5(41

---=n n a ，（n )N ∈

当递推公式中，a n ＋１与a n 的系数相同时，我们可构造b n = a n ＋１ －a n ，然后用叠加法

得：b 1+b 2+b 3+b 4+┄+b n = a n -a 1

通过求出数列｛b n ｝前n-1项和的方法，求出数列{ a n }的通项公式。 1) 当递推公式中形如:

a n+1=a n +an+

b ; a n+1=a n +q n (q ≠1) ; a n+1=a n +q n +an+b 等情形时， 可以构造b n = a n ＋１－a n ,得: b n = an+b ； b n = q n ; b n =q n +an+b 。 求出数列前n-1项的和T n-1,

T n-1=

b n n

n a )1(2

)1(-+-; T n-1=q

q q n ---1)1(1；

T n-1=q q q n ---1)1(1+b n n n a )1(2

)1(-+-

即： a n －a １=

b n n

n a )1(2

)1(-+-; a n －a １=q

q q n ---1)

1(1;

a n －a １=

b n n

n a )1(2

)1(-+-+

q q q n ---1)1(1 从而求出 a n =a １+

b n n

n a )1(2

)1(-+-; a n = a １+q

q q n ---1)

1(1;

a n =a １+

b n n

n a )1(2

)1(-+-+

q q q n ---1)1(1。 2）当递推公式中形如: a n+1=a n +

)1(1+n n ；a n+1=a n +)12(121+-n n ）（；a n+1=a n +1

1

++n n 等情形

可以构造b n = a n ＋１－a n ,得:：b n =)1(1+n n ；b n =)12(121+-n n ）（；b n =1

1

++n n

即b n =

111+-n n ；b n =)1

21

121(21+--n n ；b n =n n -+1

从而求出求出数列前n-1项的和T n-1,

T n-1=n 11-；T n-1=)1

21

1(21--

n ；T n-1=1-n 即： a n －a １=n 1

1-;

a n －a １=)1

21

1(21--

n ; a n －a １=1-n