高中数学必修5 用构造法求数列的通项公式
(完整版)用构造法求数列的通项公式汇总
用构造法求数列的通项公式上海外国语大学嘉定外国语实验学校 徐红洁在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。
但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。
而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。
对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。
下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一．利用倒数关系构造数列。
例如：中，若求a n }{n a 数列),(411,211N n a a a nn ∈+==++4,n n nn b b a b ==+1,1则设即＝４，n n b b -+1｝是等差数列。
n b {∴可以通过等差数列的通项公式求出,然再求后数列{ a n }的通项。
n b 练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足求a n),(,311,2111N n a a a nn ∈+==+2)数列{ a n }中，求a n 通项公式。
,22,111+==+n nn a a a a 3)数列{ a n }中,求a n .),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且二．构造形如的数列。
2n n a b =例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52211∈-==+ 解：设4,4,112-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则),71(,429429429)4()1(25254}{2211N n n n a na n nb a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-⋅-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列练习：已知正数数列{ a n }中，,),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-求数列{ a n }的通项公式。
用构造法求数列的通项公式
用构造法求数列的通项公式 求数列的通项公式是高考重点考查的内容;作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解;但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列;之后再应用各自的通项公式求解;体现化归思想在数列中的具体应用 例1:06年福建高考题数列{}=+==+n n n n a a a a a 则中12,1,11A ．n 2B ．12+nC ．12-nD ．12+n解法1：121+=+n n a a又211=+a{}1+n a 是首项为2公比为2的等比数列12,22211-=∴=⋅=+-n n n n n a a ;所以选C解法2归纳总结：若数列{}n a 满足q p q pa a n n ,1(1≠+=+为常数;则令)(1λλ+=++n n a p a 来构造等比数列;并利用对应项相等求λ的值;求通项公式..例2：数列{}n a 中;n n n a a a a a 23,3,11221-===++;则=n a ..解：)(2112n n n n a a a a -=-+++212=-a a {}1--∴n n a a 为首项为2公比也为2的等比数列..112--=-n n n a a ;n>1n>1时显然n=1时满足上式小结：先构造{}n n a a --1等比数列;再用叠加法;等比数列求和求出通项公式;例3：已知数列{}n a 中)3(,32,2,52121≥+===--n a a a a a n n n 求这个数列的通项公式.. 解：2132--+=n n n a a a又{}121,7-+=+n n a a a a 形成首项为7;公比为3的等比数列;则2137--⨯=+n n n a a ………………………①又)3(3211-----=-n n n n a a a a ;13312-=-a a ;{}13--n n a a 形成了一个首项为—13;公比为—1的等比数列则21)1()13(3---⋅-=-n n n a a ………………………②①+⨯3②11)1(13374---⋅+⨯=n n n a小结：本题是两次构造等比数列;属于构造方面比较级;最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式..例4：设数列{}n a 的前项和为n n n n S a S =-22,若成立;1求证：{}12-⋅-n n n a 是等比数列..2求这个数列的通项公式证明：1当2,)1(2,1111=∴-=-⋅=a a b a b n又n n n S b a b ⋅-=-⋅)1(2 ………………………①111)1(2+++⋅-=-⋅∴n n n S b a b ………………………②②—①11)1(2++⋅-=-⋅-⋅n n n n a b a b a b当2=b 时;有n n n a a 221+=+又12111=--a{}12-⋅-∴n n n a 为首项为1;公比为2的等比数列; 2小结：本题构造非常特殊;要注意恰当的化简和提取公因式;本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力;同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用..例5：数列{}n a 满足111232,3++⋅+==n n n a a a ;则=n aA ．n n 2)13(⋅-B ．12)36(-⋅-n nC ．12)12(3+⋅-n nD ．12)23(-⋅-n n解：322,2321111+=∴⨯+=++++n n n n n n n a a a a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴n na 2构成了一个首项这23;公差为3的等差数列; 112)36()233(22--⨯-=-⋅⨯=n n n n n a 所以选B.. 小结：构造等比数列;注意形n n a 2;当1+→n n 时;变为112++n n a .. 例6：已知函数)0(,)2()(2≥+=x x x f ;又数列{}n a 中21=a ;其前n 项和为,n S )(*∈N n ;对所有大于1的自然数n 都有)(1-=n n S f S ;求数列{}n a 的通项公式.. 解：2112)2()(,)2()(+==+=--n n n S S f S x x f{}n S ∴是首项为2;公差为2的等差数列.. 22,22)!(2n S n n S n n =∴=-+=..2≥n 时;24)1(22221-=--=-=-n n n S S a n n n且当1=n 时;21421-⨯==a 符合条件∴通项公式为24-=n a n例7：2006山东高考题已知21=a ;点1,+n n a a 在函数x x x f +=2)(的图象上;其中 ,3,2,1=n 求数列{}n a 的通项公式..解：x x x f 2)(2+=又),(1+∴n n a a 在函数图象上{})1lg(+n a 是首项为3lg 公比为2的等比数列 小结：前一个题构造出n S 为等差数列;并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式;后一个题构造(){}1lg +n a 为等比数列;再利用对数性质求解..数列与函数的综合运用是当今高考的重点与热点;因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识;以它的概念与性质为纽带;架起函数与数列的桥梁;揭示它们之间内在联系;从而有效地解决数列问题..例8：2007天津高考题已知数列{}n a 满足n n n n a a a 2)2(,2111⋅-++==++λλλ;*N n ∈其中0>λ;求数列的通项公式方法指导：将已知条件中的递推关系变形;应用转化成等差数列形式;从而为求{}n a 的通项公式提供方便;一切问题可迎刃而解..解：)0*,(,2)2(11>∈⋅-++=++λλλλN n a a n n n n,1)2()2(111+-=-∴+++n n n n n n a a λλλλ.. 所以02,1)2()2(1111=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++λλλλλλa a a n n n n n n 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n n a )2(λλ为等差数列;其首项为0;公差为1； 例9：数列{}n a 中;若21=a ;n n n a a a 311+=+;则=4a A ．192B ．1516C ．58D ．43 解：31311,3111+=+=∴+=++n n n n n n n a a a a a a a 又⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴=n a a 1,2111是首项为21公差3的等差数列.. 19254624=-⨯=∴a 所以选A 变式题型：数列{}n a 中;n n n a a a a 312,211+==+;求=n a 解：nn n n n n n a a a a a a a 121232311,31211⋅+=+=∴+=++ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∴31n a 是首项为25-公比为21的等比数列 小结:)(1n n a f a =+且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数成等比数列;发散之后;两种构造思想相互联系;相互渗透;最后融合到一起..总之;构造等差数列或等比数列来求数列的通项公式;是求通项公式的重要方法也是高考重点考查的思想;当然题是千变万化的;构造方式也会跟着千差万别;要具体问题具体分析;需要我们反复推敲归纳;从而确定其形式;应该说构造方法的形成是在探索中前进;在前进中探索..。
高中数学 构造法求通项公式课件 新人教A版必修5
pan 1 r 1 q (4)形如an1 ( p, q, r为非零常数)的，将其变形为 qan r an+1 p an p
3、已知数列的递推公式求通项：
变式2：已知数列a n 满足a n+1 =2a n +3n，且a1 1 ． 求数列a n 的通项公式． a n+1 an n n 解：a n+1 =2a n +3 两边除以3 得 n =2 n +1 3 3 a n+1 2 a n
_____ n an中，a1 1, an1 an 2n 1 ，则 an
2
3、在数列
1 an a1 , n 1 an n 1 an1 (n 2),则 4、数列 an 中，若 2
1 n n 1_ ____
方法归纳
1、观察法
例2、数列an 中，a1 =3，an+1 =2an +3,求通项an .
分析：变形得an+1 +t =2（an +t）且2t-t=3，构造得 数列an 3为等比数列．
方法归纳
3、已知数列的递推公式求通项：
例2、数列an 中，a1 =3，an+1 =2an +3,求通项an . 解：令an+1 +t=2（an +t） 且2t-t=3，得t=3
2、由an与sn的关系求an
(1)已知sn 求a n时，要分n=1和n 2两种情况讨论，然后 验证两种情况可否统一的解析式表示，若不能则用分段 s1 ，n 1 函数的形式表示为a n ; sn sn 1 , n 2
（2）当an与sn 在同一关系式中
高中数学必修5用构造法求数列的通项公式
用结构法求数列的通项公式在高中数学教材中，有好多已知等差数列的首项、公比或公差 (或许经过计算能够求出数列的首项 ,公比 ),来求数列的通项公式。
但实质上有些数列其实不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式 ,要求出数列的通项公式。
而这些题目常常能够用结构法，依据递推公式结构出一个新数列，进而间接地求出原数列的通项公式。
关于不一样的递推公式，我们自然能够采纳不一样的方法结构不一样的种类的新数列。
下边给出几种我们常有的结构新数列的方法：一．利用倒数关系结构数列。
比如：数列 { a n } 中，若 a12,114(n N ), 求a n an 1an设b n 1 , 则b n 1b n+4,a n即 b n 1b n＝４，{b n｝是等差数列。
能够经过等差数列的通项公式求出b n,然再求后数列{ a n}的通项。
练习： 1)数列 { a n } 中， a n≠0，且知足a111N ), 求a n , a n11, (n23a nn}中， a11, a n 2a n n通项公式。
2)数列 { a1a n, 求a 2n}中 , a11, a n0,且a n2a n a n 1a n1 0(nn3)数列 { a2, n N ), 求 a .二．结构形如 b n a n2的数列。
例：正数数列 { a n } 中，若 a15, a n 12a n24(n N ), 求a n解：设 b n a n 2 , 则b n1bn4,即b n1b n4数列 { b n } 是等差数列，公差是4， b1225 a1b n25(n 1)( 4)294n即 a n 24n29a n294n , (1n7, n N )练习：已知正数数列 { a n } 中， a1 2, a n 2 a n 1 (n2, n N ) ,求数列 { a n } 的通项公式。
三．结构形如 b n lg a n的数列。
例：正数数列 { a} 中，若 a =10,且lg a n lg a n 1 , (n2, n N ), 求a .n11n2解：由题意得：lg a n1，可设 b n lg a n，lg a n 12即b n1,bn 12b n是等比数列，公比为1， b1 lg 10 12b n 1 (1) n 1(1)n 1 ,(n N) .22(1) n 1 , a n( 1 )n 1即 lg a n10 22练习：（选自 2002 年高考上海卷）数列 { a n } 中，若 a1=3, a n 1a n2 ,n 是正整数，求数列 { a n } 的通项公式。
用构造法求数列通项公式
用构造法求数列的通项公式摘要:数列问题以其多变的形式和灵活的求解方法备受高考命题者的青睐,历年来都是高考命题的热点,求数列的通项公式更是高考重点考查的内容,作为常归的等差数列或等比数列可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造来形成等差数列或等比数列,之后再应用各自的通项公式求解。
关键词:归纳猜想构造例1.(2006年福建高考题)在数列{an｝中,a1=1,an+1=2an+1,则an等于()a.2nb.2n+1c.2n-1d.2n-1解:an+1=2an+1,所以an+1+1=2an+2=2(an+1),所以■=2,又a1+1=2,{an+1｝是首项为2公比为2的等比数列an+1=2·2n-1=2n,所以an=2n-1,所以选c.归纳小结若数列{an｝满足an+1=pan+q(p≠1,q为常数),则令an+1+?姿=p(an+?姿)来构造等比数列,并利用对应项相等求?姿的值,求通项公式.例2.在数列{an｝中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,则an= . 解:an+2-an+1=2(an+1-an),因为a2-a1=2,所以{an-an-1｝为首项为2公比也为2的等比数列,an-an+1=2n-1,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=■=2n-1.归纳小结:先构造{an-1-an｝等比数列,这是化归思想的具体应用,再用叠加法求出通项公式,当然本题也利用了等比数列求和公式。
例3.(必修5教材69页)已知数列{an｝中a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),求这个数列的通项公式.解:因为an=2an+3an-2,所以an+an-1=3(an-1+an-2),又a1+a2=7,{an+an-1｝形成首项为7,公比为3的等比数列,则an+an-1=7×3n-2,①又an-3an-1=-(an-1-3an-2),a2-3a1=-13,{an-3an-1｝形成了一个首项为-13,公比为-1的等比数列,则an-3an-1=(-13)·(-1)n-2,②①×3+②得4an=7×3n-1+13·(-1)n-1,所以an=■×3n-1+■(-1)n-1.归纳小结:本题是两次构造等比数列,属于构造方面比较级,最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。
求数列通项公式的三种常用方法
在数列问题中，求数列的通项公式问题比较常见，但有些求数列的通项公式的问题较为复杂，利用等差、等比数列公式很难直接求得结果，需要采用一些方法，如累加法、累乘法和构造法，才能使问题得解.下面我们来探讨一下累加法、累乘法和构造法在解题中的应用.一、累加法有些数列的递推式可以转化为a n +1=a n +f (n )或a n +1-a n =f ()n 的形式，我们就可以采用累加法来求解，将n =1，2，3，…，n 时f (n )的式子表示出来，然后将左边与左边的式子相加，右边与右边的式子相加，通过正负抵消求出a n ，便可得到数列的通项公式.累加法也称为逐差相加法，这种方法是比较简单、比较基础的，操作起来也比较容易.例1.设数列{}a n 满足a 1=1，且a n +1=a n +n +1(n ∈N *)，则数列{}a n 的通项公式为_____.分析：题目中给出的递推式形如a n +1=a n +f (n )，可运用累加法来求解，逐一列出各项，并将其累加，便可求出数列的通项公式.解：由题意知a 2=a 1+2，a 3=a 2+3，a 4=a 3+4，…，a n =a n -1+n (n ≥2)，将以上各式进行相加可得a n =a 1+2+3+…+n ，又a 1=1，所以a n =1+2+3+…+n =n 2+n 2(n ≥2)，当n =1时也满足上式，所以数列{}a n 的通项公式为a n =n 2+n 2(n ∈N *).在运用累加法求和时，很多同学们经常忽略了n =1的情况，因此在求出了a n 之后，必须要检验a 1是否满足所求的通项公式.二、累乘法当遇到形如a n +1a n=f ()n 或a n +1=f ()n a n 的递推式，我们可以采用累乘法来求解.首先列出n =1，2，3，…，n 时f (n )的表达式，然后将每项的左边与左边，右边与右边相乘，通过约分就可以求出a n .需要注意的是，在使用这种方法求数列的通项公式时，不要把a n 与f ()n 、f ()n -1、f ()n +1的对应项弄混.例2.设数列{}a n 满足a 1=1，且a n =n -1n a n -1(n ≥2)，则数列{}a n 的通项公式为_____.分析：题目中给出的递推公式为a n =n -1n an -1，即a n a n -1=n -1，形如a n +1a n =f ()n ，运用累乘法求解比较简便.解：∵a n =n -1n a n -1(n ≥2)，∴a n -1=n -2n -1a n -2，a n -2=n -3n -2a n -3，…，a 2=2a 1.将上述n -1个式子相乘后可得a n =a 1⋅12⋅23⋅34⋅…⋅n -1n =a1n =1n，当n =1时，a 1=1，满足上式，∴a n =1n(n ∈N *).三、构造法对于一些形如a n +1=pa n +q (p ≠0、1,q ≠0)的递推式，我们一般采用构造法来求数列的通项公式.可首先设a n +c =k (a n -1+c )，然后利用待定系数法求出相关k ,c 的值，这样便构造出等比数列{}a n +c ，运用等比数列的通项公式求得{}a n +c 的通项公式，进而得到{}a n 的通项公式.例3.已知数列{}a n 满足a 1=1，且a n +1=3a n +2，则数列{}a n 的通项公式为_____.分析：题目中给出的递推式形如a n +1=pa n +q ，结合已知条件可构造出新的等比数列，然后利用等比数列的通项公式来求解.解：∵a n +1=3a n +2，∴a n +1+1=3a n +2+1，即a n +1+1=3a n +3=3(a n +1)，∴a n +1+1a n +1=3，∴数列{}a n +1为q =3的等比数列，又a 1+1=2，∴a n +1+1=2∙3n -1，∴a n =2∙3n -1-1(n ∈N *).以上三种方法都是求数列通项公式的常用方法，同学们要扎实掌握.求数列的通项公式问题并没有同学们想象中的那么难，只要同学们能够熟练掌握常用的解题方法和技巧，学会举一反三，就能在掌握精髓的基础之上破解此类问题.（作者单位：安徽省宣城中学）方法集锦47Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
构造法求递推数列的通项公式
巧用构造法求递推数列的通项公式蒋明权利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值，自从二十世纪八十年代以来，一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一。
本文想介绍一下利用构造法求递推数列的通项公式的方法和策略，希望能抛砖引玉。
一、构造等差数列法例1.在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项公式a n 。
解：对原递推式两边同除以n n n ()()++12可得：a n n a n nn n +++=++12112()()()① 令b a n nn n =+()1② 则①即为b b n n +=+12，则数列{b n }为首项是b a 1111132=+=()×，公差是b b n n +-=12的等差数列，因而b n n n =+-=-3221212()，代入②式中得a n n n n =+-12141()()。
故所求的通项公式是a n n n n =+-12141()() 二、构造等比数列法1.定义构造法 利用等比数列的定义q a a n n=+1，通过变换，构造等比数列的方法。
例2.设在数列{a n }中，a a a a n n n 112222==++，，求{a n }的通项公式。
解：将原递推式变形为a a a n n n++=+12222()① a a a n n n+-=-12222()② ①/②得：a a a a n n n n +++-=+-1122222[]， 即lg lg[]a a a a n n n n +++-=+-1122222③ 设b a a n n n =+-lg[]22④ ③式可化为a a n n +=12，则数列{b n }是以b 1＝lg[]lg lg()a a 11222222221+-=+-=+为首项，公比为2的等比数列，于是b n n n =+=+-22122211lg()lg()×，代入④式得：a a n n +-22＝()212+n ，解得a n n n=+++-221121122[()]()为所求。
(完整版)用构造法求数列的通项公式汇总
用构造法求数列的通项公式上海外国语大学嘉定外国语实验学校 徐红洁在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。
但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。
而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。
对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。
下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一．利用倒数关系构造数列。
例如：}{n a 数列中，若),(411,211N n a a a nn ∈+==+求a n n n nn b b a b ==+1,1则设+4, 即n n b b -+1＝４， n b {∴｝是等差数列。
可以通过等差数列的通项公式求出n b ,然再求后数列{ a n }的通项。
练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足),(,311,2111N n a a a nn ∈+==+求a n 2)数列{ a n }中，,22,111+==+n nn a a a a 求a n 通项公式。
3)数列{ a n }中,),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且求a n . 二．构造形如2n n a b =的数列。
例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52211∈-==+ 解：设4,4,112-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则),71(,429429429)4()1(25254}{2211N n n n a na n nb a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-⋅-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列练习：已知正数数列{ a n }中，),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-, 求数列{ a n }的通项公式。
构造法求数列通项
构造法求数列通项
一、构造等差数列法
例1. 在数列{a n}中，，求通项公式a n。
解：对原递推式两边同除以可得：
①
令②
则①即为，则数列{b n}为首项是，公差是的等差数列，因而，代入②式中得。
故所求的通项公式是
二、构造等比数列法
1. 定义构造法
利用等比数列的定义，通过变换，构造等比数列的方法。
例2. 设在数列{a n}中，，求{a n}的通项公式。
解：将原递推式变形为
①
②
①/②得：，
即③
设④
③式可化为，则数列{b n}是以b1＝为首项，公比为2的等比数列，于是，代入④式得：
＝，解得为所求。
2. （A、B为常数）型递推式
可构造为形如的等比数列。
例3. 已知数列，其中，求通项公式。
解：原递推式可化为：，则数列是以为首项，公比为3的等比数列，于是，故。
3. （A、B、C为常数，下同）型递推式
可构造为形如的等比数列。
例4. 已知数列，其中，且，求通项公式a n。
解：将原递推变形为，设b n＝。
①
得②
设②式可化为，比较得于是有
数列是一个以为首项，公比是－3的等比数列。
所以，即，代入①式中得：
为所求。
4. 型递推式
可构造为形如的等比数列。
例5. 在数列中，，求通项公式。
解：原递推式可化为，比较系数可得：，
，上式即为是一个等比数列，首项
，公比为。
所以。
即，故为所求。
构造法求数列的通项公式
构造法求数列的通项公式高松茂（河北省河间市第一中学河北沧州 062450）中图分类号：G633.6 文献标识码：A 数列问题中的构造新数列是近几年高考题的热点，根据数列已知的递推关系式的特点，选择适当的方法求数列的通项公式是重点，也是难点。
这类题目考生不容易掌握，有时甚至无从下手。
在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出数列相邻两项递推关系的题型，我们选择“构造法”进行推导，往往给人耳目一新的感觉。
现通过几个具体问题的分析谈谈常用的构造数列的方法。
一、构造等差数列【案例1】在数列■【分析】根据数列已知的递推关系式的特点进行适当的转化，可知数列■是等差数列。
【解析】■数列■是以1为首项，以1为公差的等差数列.■【小结】解题关键是发现数列递推关系中与的关系，构造出等差数列，求出数列{}的通项公式。
二、构造等比数列【案例2】在数列{an}中，a1=1，an=3an-1+2n，求数列{an}的通项公式 .【分析】根据数列已知的递推关系式的特点，可知数列{an+ k.2n}是公比为3的等比数列。
由an+ k.2n=3（an-1+ k.2n-1）■得k=2，于是数列{an+ 2.2n}，即数列{an+2n+1}是以a1+22为首项，以3为公比的等比数列。
【解析】■数列{an+ 2n+1}是以5为首项，以3为公比的等比数列.■【小结】若数列的递推关系可化为“an= qan+1+bn”型，则求数列{an}的通项一般可以采用“构造等比数列法”，由■确定k，于是数列{an+ k.bn}是以a1+ k.b为首项，以q为公比的等比数列，求出数列{an}的通项公式。
【案例3】设数列{an}满足a1=3,an+1=2an-n+1，求数列{an}的通项公式.【解析】不妨设■上式与已知递推关系式an+1=2an-n+1等价，比较系数得A=-1,B=0■是首项为2，公比为2的等比数列.【小结】若数列的递推关系式可以化为■型,其中f(n)可以是非零常数、关于n指数式、关于n的一次式等，则数列可以通过待定系数法构造新数列。
人教A版必修5第二章数列章末总结之通项公式的求法
{an
4n
6}是以a1
4
6
3为首项，1 为公比的等比数列 2
an
4n
6
3
(
1 2
)n1
an
3 ( 1 )n1 2
4n
6
思考：如果 f (n) 是一个二次式，应当如何进行构造？
解：当 n 2时， an 3an1 2n
等式两边同时除以 2n ，则原式可化为
an 2n
3an1 2n 3
1
3 2
人教A版必修5第二章章末总结
数列通项公式的求法
课题导入
在进行数列问题的讨论时，数列的通项公式的 讨论与求解是我们解题的关键环节，如何能正 确的求出数列的通项公式？我们这节主要学习 一下数列的通项公式的求法
目标引领
1：掌握求数列通项公式的方法和技巧 2：能根据数列的前N项和求出数列的 通项公式 3：能利用所给的递推公式求出数列的 通项公式
=2 (2an1 an 2 an1) (am1 an )
则数列 bn 是以 b1 a2 a1 1 公差为2的等差数列
（2）由（1）可得 bn an1 an 1 (n 1) 2 2n 1 利用前面所学的累加法可得
a2 a1 1
a3 a2 3 a4 a3 5
an1
• 往利用累乘法求其通项公式。
解：因为当
n
2
时，
an an1
2n1
则 a2 2, a3 22 , a4 23, , an 2n1
a1
a2
a3
an1
把各个式子相乘可以得到：
a2 a3 a4 an 21 22 2n1
a1 a2 a3
an1
即 an
2123 (n1)
构造法求数列通项
在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，在老教材中，可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想，然后借助于数学归纳法予以证明，但新教材中，由于删除了数学归纳法（理科生才作要求），因而我们遇到这类问题，就要避免用数学归纳法。
这里我向大家介绍一种解题方法——构造法求通项公式。
下面仅介绍构造法的四种类型
1、构造等差数列或等比数列（直接构造法）
由于等差数列与等比数列的通项公式我们比较熟悉，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
常见的形如：（待定系数法）m ka a n n +=+1(k 、m 为常数)
2、构造差式与和式（累加法）
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
构造出的差式形如：a n+1-a n = 含n 的表达式 （注意系数是相同的）
例1 数列中，，且，（n ∈N*），求通项公式a n .
解：∵
∴
（n ∈N*）
3、构造商式与积式（累乘法）
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
构造出的商式是形如：a n+1／a n = 含n 的表达式
4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决. 例2 设正项数列满足，（n ≥2）.求数列的通项公式.
解： 两边取对数得：，，设，则
是以2为公比的等比数列，.
，，，
∴
例3 已知数列中，，n≥2时，求通项公式.
解：∵，两边取倒数得.
可化为等差数列关系式.
∴。
高中数学用构造法求数列的通项公式必修五汇编
用构造法求数列的通项公式农安实验中学 赵彦春中心词：归纳，猜想，构造数列问题以其多变的形式和灵活的求解方法倍受高考命题者的青睐,历年来都是高考命题的热点,求数列的通项公式更是高考重点考查的内容，作为常归的等差数列或等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造来形成等差数列或等比数列，之后再应用各自的的通项公式求解。
例1:（06年福建高考题）数列{}=+==+nn n n a a a a a 则中12,1,11( )A ．n2 B ．12+nC ．12-nD ．12+n解：121+=+n n a a)1(22211+=+=+∴+n n n a a a2111=++∴+n n a a 又211=+a{}1+n a 是首项为2公比为2的等比数列12,22211-=∴=⋅=+-n n n n n a a ,所以选C归纳总结：若数列{}n a 满足q p q pa a n n ,1(1≠+=+为常数），则令)(1λλ+=++n n a p a 来构造等比数列，并利用对应项相等求λ的值，求通项公式。
例2：数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,3,11221-===++，则=n a 。
解：)(2112n n n n a a a a -=-+++212=-a a {}1--∴n n a a 为首项为2公比也为2的等比数列。
112--=-n n n a a ，1221211222)()()(21112211-=--=++++=+-++-+-=-----n n n n n n n n n a a a a a a a a小结：先构造{}n n a a --1等比数列，这是化归思想的具体应用，再用叠加法求出通项公式，当然本题也利用了等比数列求和公式。
例3：（必修5教材69页）已知数列{}n a 中)3(,32,2,52121≥+===--n a a a a a n n n 求这个数列的通项公式。
用构造法求数列的通项公式的分类和求解方法
用构造法求数列的通项公式的分类和求解方法分类,求解方法重庆市綦江县东溪中学任德辉求数列的通项公式是近几年高考重点考察的内容，两类特殊数列等差数列和等比数列可以根据公式直接求解，还有些特殊数列可用累加法、累乘法等来直接求解，但有些数列却不能直接求解，它们往往要转化为等差、等比数列和其他数列后再运用各自的通项公式求解，从而体现化归思想在数列中的运用，此时可用构造法求解。
所谓构造法就是在解决某些数学问题中通过对条件和结论的充分剖析，有时会联想出一些适当的辅助模型，以促成命题的转换，产生新的解题方法。
下面就构造法求数列的通项公式的分类和解题方法分别进行论述。
一、用构造法求数列的通项公式依照构造目标数列的不同可以分为构造等差数列、构造等比数列和构造其他数列。
1.构造等差数列例1、（2022湖北）已知数列{an}的前n项和Snan()12n12(n为正整数），令bn2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式。
解：a11,b121a1122n1∵Snan()12，∴Sn1an1()n22nn1n∴2an1an()等式两边都乘以2得2an12an1，12n即bn1bn1，∴数列{bn}是以1为首项公差为1的等差数列，bn2an=n∴annn2n例2、数列an中，若a12，an1an，则a4（）13anA．21683B．C．D．191554分类,求解方法解：an1an13an11,313anan1anan又1111,是首项为公差3的等差数列。
a12an21156n52(n1)33n,anan2226n5a422所以选A645192.构造等比数列例3、(2022上海)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Snn5an85,nN 证明：{an1}是等比数列并求{an}的通项公式证明：当n1时，a1S115a185，a114,a1115当n2时，Sn1n15an185,∴anSnSn115an5an16an5an11，an15(an11)65的等比数列。
怎么利用构造法求数列的通项公式
怎么利用构造法求数列的通项公式用构造法求数列的通项公式求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用。
例1:数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1则an=()a．2nb．2n+1c．2n-1d．2n+1解法1：an+1=2an+1∴an+1+1=2an+2=2(an+1)又a1+1=2an+1+1an+1+1}就是首项为2公比为2的等比数列an+1=2⋅2=2,∴an=2-1,所以选c概括总结：若数列{an}满足用户an+1=pan+q(p≠1,q为常数），则而令an+1+λ=p(an+λ)去结构等比数列，并利用对应项成正比谋λ的值，求通项公式。
例2：数列{an}中，a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an，则an=解：an+2-an+1=2(an+1-an)a2-a1=2∴{an-an-1}领衔项为2公比也为2的等比数列。
an-an-1=2an=(an-an-1)+(an-1-an-2)++(a2-a1)+a1显然n=1时满足上式∴an=2-1小结：先构造{an-1-an}等比数列，再用叠加法,等比数列求和求出通项公式，基准3：未知数列{an}中a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2,(n≥3)谋这个数列的通项公式。
求解：an=2an-1+3an-2∴an+an-1=3(an-1+an-2)又a1+a2=7,{an+an-1}构成首项为7，公比为3的等比数列，则an+an-1=7⨯3………………………①又an-3an-1=-(an-1-3an-2)，a2-3a1=-13，{an-3an-1}形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列则an-3an-1=(-13)⋅(-1)………………………②n-1n-1+13⋅(-1)①⨯3+②4an=7⨯3小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。
高考数列公式总结
）（项和，则为前为公差则为首项，2≥-=)1-(+=1-11n S S a n S d n a a d a n n n n n ）（项和，则为前为公比则为首项，2≥-=•=1-1-11n S S a n S q a a q a n n n n n n ，递增数列；＞常数数列；，递减数列；＜0,0=0d d d mn m n n a a a BA GB G A +-+=2,2+=推广那么为等差数列，、、设数mn m n n a a a AB AB G B G A +-2•=0±=），推广＞（那么为等比数列，、、设数 第四份：数学必修五第二章《初等数列》公式总结一、基本知识点总结 比较项目 等差数列等比数列补充定义 自第一项起，之后的每一项都 与前一项相减为定值的数列自第一项起，之后的每一项都 与前一项相比为定值的数列等比数列公差可以为0，等比数列每一项与公比均不可为0通项公式增减性质，递增数列；＜＜，＜，摆动数列；＜，递增数列；＞，＞，递减数列＞，＜常数数列，，递减数列，＜＜，＞100010.10,1=1001111q a q q a q a q q a中项公式求和公式 n da n d d n n na a a n S n n )2-(+2=2)1-(+=2)+(=1211)1≠(-1-=-1)-1(=),1=(=111q qqa a q q a S q na S n n n n 性质二、常用结论归纳1.{}{}1-21-2=nnnnnnnn TSbanbaTS项和，那么有的前、分别为等差数列、设2.常见的数列前n项和公式3.裂项相消法的运用公式：)tantan-1)(-tan(=tan-tan)8(!-)!1+(=!•7......................lg-)+lg(=+lg)6()-+(1=++1)5()2+)(1+(1-)1+(121=)2+)(1+(1)4()+1-1(=)+()3.(....................).........1-1(21=•1)2(,+1-+1-=)+)(+(=1)+)(+(=1+1-1=1+1-1+1-1-1+...+41-31+31-21+21-1=)1+(1+)1-(1+...+4•31+3•21+2•11,1+1-1)1+(1,1+1-1=)1+(1=2+1+βαβαβαnnnnnknnknnknkknnnnnnnnnknnkAknnAaadaaCAnBAnBCkCAnBAnkaCAnBAnkannnnnnnnnnnnnnSnnnannnnnnnn三角函数形式：）阶乘数列：（对数形式：根式数列：）（三重分式：分式数列：等差数列：继而求和）（）（的数列裂项公式：到形如受此启发：我们可以得则裂项为方法是项和的前举例：求数列4.构造法求数列通项公式（数量众多，此处仅为举例）(1)构造等比数列：形如qpaann+=1+的数列，可设)+(=+1+kapkann，其中1-=pqk，那么{}kan+是公比为q的等比数列；举例1+2=1+nnaa，1=,1=,2=kqp，则)1+(2=1+1+nnaa，则{}1+n a为公比为2的等比数列.{}项和的前表示数列nn S n 1+21+213222122![(1)43].2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=(2)构造等差数列：形如n n n p q pa a •+=1+的数列，可以等式左右两边同时除以n p 得q p a p a n nn n +=1-1+，故qp a p a n n n n =-1-1+，故数列nnp a 是公差为q 的等差数列.5.累加法与累乘法举例：（1）累加法：左边加左边，右边加右边，最后把左右相同部分消除. 举例：已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
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用构造法求数列的通项公式在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。
但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。
而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。
对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。
下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一．利用倒数关系构造数列。
例如：}{n a 数列中，若),(411,211N n a a a nn ∈+==+求a nn n nn b b a b ==+1,1则设+4, 即n n b b -+1＝４，n b {∴｝是等差数列。
可以通过等差数列的通项公式求出n b ,然再求后数列{ a n }的通项。
练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足),(,311,2111N n a a a nn ∈+==+求a n 2)数列{ a n }中，,22,111+==+n nn a a a a 求a n 通项公式。
3)数列{ a n }中,),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且求a n . 二．构造形如2n n a b =的数列。
例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52211∈-==+ 解：设4,4,112-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则),71(,429429429)4()1(25254}{2211N n n n a na n nb a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-⋅-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列练习：已知正数数列{ a n }中，),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-,求数列{ a n }的通项公式。
三．构造形如n n a b lg =的数列。
例：正数数列{ a n }中，若a 1=10,且),,2(,lg 21lg 1N n n a a n n ∈≥=-求a n . 解：由题意得：n n n n a b a a lg 21lg lg 1=∴=-可设，， 即,211=-n n b b 110lg 211==∴b b n ，是等比数列，公比为)(,)21()21(111N n b n n n ∈=⋅=∴--.即1)21(110,)21(lg -=∴=-n n n n a a练习：（选自2002年高考上海卷）数列{ a n }中，若a 1=3,21n n a a =+,n 是正整数，求数列{ a n }的通项公式。
四．构造形如m a b n n +=的数列。
例：数列{ a n }中，若a 1=6,a n+1=2a n +1, 求数列{ a n }的通项公式。
解：a n+1+1=2a n +2, 即a n+1+1=2（a n +1） 设 b n = a n +1, 则b n = 2 b n-1则数列{ b n }是等比数列，公比是2,首项b １= a １+1＝7,11271,27--⋅=+⋅=∴n n n n a b 即 1271-⋅=∴-n n a ，)(N n ∈构造此种数列，往往它的递推公式形如：的形式和2)1(,1+=+≠+⋅=+n a S c d a c a n n n n 。
如：a n+1＝c a n +d,设可化成a n+1+x=c(a n +x),a n+1=c a n +(c-1)x用待定系数法得： (c-1)x ＝d∴ x=1-c d . 又如：Ｓn +a n =n+2, 则 Ｓn-1+a n-1=n+1,二式相减得：Ｓn －Ｓn-1 +a n －a n-1 =１，即a n +a n －a n-1 =１，∴ 2 a n －a n-1=１，a n =21a n-1+21.如上提到b n = a n ＋11-c d = a n –1练习：1.数列{ a n }满足a n+1=3a n +2, 求a n2.数列{ a n }满足Ｓn +a n =2n+1,求a n五．构造形如n n n a a b -=+1的数列。
例：数列{ a n }中，若a 1=１，a ２=3,a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0 (n ∈N),求a n 。
解： a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0得： a n+2 － a n+1 = - 5（a n ＋１ － a n ） 设b n = a n ＋１ －a n ，则数列{ b n }是等比数列，公比是-5,首项b １= a 2- a 1＝2,∴a n ＋１ －a n =2?(-5)n-1即a ２ －a １=2?(-5) a ３ －a ２=2?(-5)２ a ４ －a ３=2?(-5)３┄a n －a n －１=2?(-5)n-2以上各式相加得：a n －a １=2?［（-5）＋(-5)２＋(-5)３＋┄＋（-5）n-1］即：a n －a １=2?)5(1511-----n ）（3)5(111---+=∴n n a ，即3)5(41---=n n a ，（n )N ∈当递推公式中，a n ＋１与a n 的系数相同时，我们可构造b n = a n ＋１ －a n ，然后用叠加法得：b 1+b 2+b 3+b 4+┄+b n = a n -a 1通过求出数列｛b n ｝前n-1项和的方法，求出数列{ a n }的通项公式。
1) 当递推公式中形如:a n+1=a n +an+b ; a n+1=a n +q n (q ≠1) ; a n+1=a n +q n +an+b 等情形时， 可以构造b n = a n ＋１－a n ,得: b n = an+b ； b n = q n ; b n =q n +an+b 。
求出数列前n-1项的和T n-1,T n-1=b n nn a )1(2)1(-+-; T n-1=qq q n ---1)1(1；T n-1=q q q n ---1)1(1+b n n n a )1(2)1(-+-即： a n －a １=b n nn a )1(2)1(-+-; a n －a １=qq q n ---1)1(1;a n －a １=b n nn a )1(2)1(-+-+q q q n ---1)1(1 从而求出 a n =a １+b n nn a )1(2)1(-+-; a n = a １+qq q n ---1)1(1;a n =a １+b n nn a )1(2)1(-+-+q q q n ---1)1(1。
2）当递推公式中形如: a n+1=a n +)1(1+n n ；a n+1=a n +)12(121+-n n ）（；a n+1=a n +11++n n 等情形可以构造b n = a n ＋１－a n ,得:：b n =)1(1+n n ；b n =)12(121+-n n ）（；b n =11++n n即b n =111+-n n ；b n =)121121(21+--n n ；b n =n n -+1从而求出求出数列前n-1项的和T n-1,T n-1=n 11-；T n-1=)1211(21--n ；T n-1=1-n 即： a n －a １=n 11-;a n －a １=)1211(21--n ; a n －a １=1-n从而求出 a n =a １+n11-; a n = a １+)1211(21--n ;a n =a １+1-n练习：1）数列{ a n }中，若a 1=1，a n+1-a n =2n, 求通项a n.2）数列{ a n }中，若a 1=1，a n+1-a n =2n , 求通项a n.3) 数列{ a n }中，若a 1=2，n a a n n n -+=+21，求通项a n.六．构造形如nn n a a b 1+=的形式。
例：数列{ a n }中，若a 1=1，n n na a n =++1)1(，求a n. 解：由n n na a n =++1)1(得：11+=+n na a n n∴2112=a a ， 3223=a a ， 4334=a a ，…nn a a n n 11-=- 用累乘法把以上各式相乘得：na a n 11= ∴na n 1=。
当递推公式形如：n n n a q a =+；n n na a n =++1)1(；n n a n na )1(1+=+等形式，我们可以构造nn n a a b 1+=。
可得: n n q b =;1+=n n b n ;n n b n 1+=. 然后用叠乘法得：11321a a b b b b nn =-Λ。
令数列{b n }的前n-1项的积为A n-1,则 2)1(1--=n n n qA ；n A n 11=-;nA n 11=- 从而得到：=1a a n 2)1(-n n q ；=1a a n n 1；=1a a n n1 1a a n =2)1(-n n q ；n a a n 11⋅=；na a n 11⋅=。
练习：1）数列{ a n }中，若a 1=2，n n n a a 2=+，求a n. 七．构造形如n n n ma ab -=+1的形式。
例：数列{ a n }中，a 1=2，S n =4a n-1+1，求a n.解：S n =4a n-1+1，S n-1=4a n-2+1 二式相减：S n -S n-1=4a n-1-4a n-2a n =4a n-1-4a n-2a n -2a n-1=2（a n-1-a n-2）设b n =a n+1-2a n ，当递推公式形如 S n+1=4a n +2;a n+2=pa n+1+qa n (p+q=1) 等形式时，因a n -2a n+1=2(a n+1-2a n );a n+2-a n+1=(p-1)(a n+1-a n ), 我们构造b n =a n+1-2a n ; b n =a n+1-a n , 由等比数列知识得b n =(a 2-a 1)·2n-1; b n =(a 2-a 1)·(p-1)n-1 从而得到a n+1=2a n +(a 2-a 1)2n-1;a n+1=a n (a 2-a 1)(1-q)n-1 由类型四求出a n 。