初中数学之将军饮马的6种模型(培优)

初中数学之将军饮马的六种常见模型

将军饮马问题——线段和最短

一．六大模型

1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。

2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。

3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△P AB的周长最小

4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形P AQB的周长最小。

5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小

6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小

二、常见题目

类型一、三角形

1．如图，在等边△ABC中，AB= 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2，求EM+EC 的最小值

解：∵点C关于直线AD的对称点是点B，

∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，

过点B作BH⊥AC于点H，

则EH = AH–AE = 3–2 = 1，

BH=

在直角△BHE中，BE

2．如图，在锐角△ABC中，AB =BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．

解：作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E长就是BM＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4

3．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值

解：作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N= MB'+MN = MB+MN. B'N的长就是MB+MN的最小值，则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，

∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。∴AN = 1，在直角△AB'N中，根据勾股定理B'N

类型二、正方形

1．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。

即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小。

解：故作点D关于AC的对称点B，连接BM，交AC于点N。则DN＋MN＝BN＋MN＝BM。线段BM的长就是DN＋MN的最小值。在直角△BCM中，CM＝6，BC＝8，则BM＝10。故DN＋ＭＮ的最小值是10

2．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC 上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）

A．B．C．3D．

解：即在AC上求一点P，使PE+PD的值最小。

点D关于直线AC的对称点是点B，连接BE交AC于点P，则BE = PB+PE = PD+PE，BE的长

就是PD+PE的最小值BE=AB =

3．在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.

解：在AC上求一点P，使PB+PQ的值最小

∵点B关于AC的对称点是D点，

∴连接DQ，与AC的交点P就是满足条件的点

DQ = PD+PQ = PB+PQ，故DQ的长就是PB+PQ的最小值

在直角△CDQ中，CQ=1，CD=2，根据勾股定理，得，DQ

4．如图，四边形ABCD是正方形，AB= 10cm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE 的最小值；

解：连接AE，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值在直角△ABE中，求得AE的长为

类型三、矩形

1．如图，若四边形ABCD是矩形，AB = 10cm，BC = 20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PD的最小值；

解：作点C关于BD的对称点C'，过点C'，

作C'B⊥BC，交BD于点P，则C'E就是PE+PC的最小值

直角△BCD中，CH

5

直角△BCH中，BH=85

△BCC'的面积为：BH×CH = 160

∴C'E×BC = 2×160则CE' = 16

类型四、菱形

1．如图，若四边形ABCD是菱形，AB=10cm，∠ABC=45°，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；

解：点C关于BD的对称点是点A，

过点A作AE⊥BC，交BD于点P，

则AE就是PE+PC的最小值

在等腰△EAB中，求得AE的长为52

类型五、直角梯形

1．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上秱动，则当P A+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）

A

2

17

17

B

4

17

17

C

8

17

17

D、3

解：作点A关于BC的对称点A'，连接A'D，交BC于点P

则A'D = P A'+PD = P A+PD A'D的长就是P A+PD的最小值

S△APD = 4

在直角△ABP中，AB = 4，BP = 1，根据勾股定理，得AP

=

∴AP上的高为：2

类型六、圆形

1．已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

解：在直线CD上作一点P，使P A+PB的值最小作点A关于CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点P，则A'B的长就是P A+PB的最小值连接OA'，OB，则∠A'OB=90°，OA' = OB= 4根据勾股定理，

A'B=

2．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则P A＋PB的最小值为( )

A. B C. 1D. 2

解：MN上求一点P，使P A+PB的值最小作点A关于MN的对称点A'，连接A'B，交MN于点P，则点P就是所要作的点A'B的长就是P A+PB的最小值连接OA'、OB，则△OA'B是等腰直角三角形∴

A'B