初中数学将军饮马问题----两线段和最小值专题讲解训练
将军饮马问题例题讲解及答案
将军饮马问题路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.3.已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，由三角形的三边关系知︱P´A-P´B︱<AB，即︱P´A-P´B︱<︱PA-PB︱4. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交于点P，点P即为所求；理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需︱PA-PB´︱值最大，从而转化为模型3.典型例题1-1x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分如图，直线y=23别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线，OP为△CDD'的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.【解答】连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P ，此时PC+PD 值最小．令y=23x+4中x=0，则y=4， ∴点B 坐标（0，4）；令y=23x+4中y=0，则23x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A 的坐标为（﹣6，0）．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴CD 为△BAO 的中位线， ∴CD ∥x 轴，且CD=21AO=3，∵点D ′和点D 关于x 轴对称，∴O 为DD ′的中点，D ′（0，-1），∴OP 为△CDD ′的中位线，∴OP=21CD=23，∴点P 的坐标为（﹣32，0）．在Rt △CDD ′中，CD ′=22D D CD '+=2243+=5，即PC+PD 的最小值为5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C 、点P 坐标；若题型变化，C 、D 不是AB 和OB 中点时，则先求直线CD ′的解析式，再求其与x 轴的交点P 的坐标.典型例题1-2如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，1），点B的坐标为（32，﹣2），点P 在直线y=﹣x 上运动，当|PA ﹣PB|最 大时点P 的坐标为_________，|PA ﹣PB|的最大值是_________.【分析】符合基本模型4的特征，作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，连接BC ，可得直线BC 的方程；求得BC 与直线y=﹣x 的交点P 的坐标；此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值.【解答】作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，易得C 的坐标为（﹣1，0）；连接BC ，可得直线BC的方程为y=﹣54x ﹣54，与直线y=﹣x 联立解得交点坐标P 为（4，﹣4）；此时|PA﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，最大值BC=2223)2()1(−++=241；【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.变式训练1-1已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5，0），OB=4√5，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1），当CP+DP 最短时，点P 的坐标为（ ）A ．（0，0）B ．（1，12）C ．（65，35）D ．（107，57）变式训练1-2如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=2，BD=2√3,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为__________.变式训练1-3如图，已知直线y=12x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=12x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标.1.已知：如图，A为锐角∠MON外一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小.解：过点A作AQ⊥ON于点Q，AQ与OM相交于点P，此时，AP+PQ最小；理由：AP+PQ≧AQ，当且仅当A、P、Q三点共线时，AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当AQ⊥ON时，AQ最小.2.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小.解：作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小；理由：由轴对称的性质知AP=A′P，要使AP+PQ最小，只需A′P+PQ最小，从而转化为拓展模型13.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使△APQ的周长最小解：分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对称点A2，连接 A1A2交OM于点P，交ON于点Q，点P和点Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值即为线段A1A2的长度；理由：由轴对称的性质知AP=A1P，AQ=A2Q，△APQ的周长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当A1、P、Q、A2四点共线时，其值最小.4. 已知：如图，A、B为锐角∠MON内两个定点；要求：在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使四边形APQB的周长最小解：作点A关于直线OM的对称点A´，作点B关于直线ON的对称点B´，连接A´B´交OM于P，交ON于Q，则点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的最小值即为线段AB和A´B´的长度之和；理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA´,将QB转化为QB´，当A´、P、Q、B´四点共线时，PA´+PQ+ QB´的值最小，即PA+PQ+ QB的值最小.5.搭桥模型已知：如图，直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定点，（直线AB不与m垂直）要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小.分析：PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A′，使得AA′=PQ，连接A′B交直线n于点Q，过点Q作PQ⊥n，交直线m于点P，线段PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ最小.理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′=PA，当B、Q、A′三点共线时，QA′+BQ最小，即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小.6.已知：如图，定点A、B分布于直线l两侧，长度为a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至A´，使AA´=PQ=a,连接A´B交直线l于点Q，在l上截取PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为A´B+PQ，即A´B+a理由：易知四边形APQA´为平行四边形，则PA=QA´，当A´、Q、B三点共线时，QA´+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.7.已知：如图，定点A、B分布于直线l的同侧，长度a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ 的位置，使得四边形APQB 周长最小分析：AB 长度确定，只需AP+PQ+QB 最小，通过作A 点关于l 的对称点，转化为上述模型3解：作A 点关于l 的对称点A ´，将点A ´沿着平行于l的方向，向右移至A ´´，使A ´A ´´=PQ=a ，连接A ´´B交l 于Q ，在l 上截取QP=a （P 在Q 左边），线段PQ 即为所求，此时四边形APQB 周长的最小值为A ´´B+AB+PQ ，即A ´´B+AB+a典型例题2-1如图，在矩形ABCD 中，AB=10，BC=5，若点M 、N 分别是线段AC 、AB 上的两个动点，则BM+MN 的最小值为 ．【分析】符合拓展模型2的特征，作点B 关于AC 的对称点E ，再过点E 作AB 的垂线段，该垂线段的长即BM+MN 的最小值，借助等面积法和相似可求其长度.【解答】作点B 关于AC 的对称点E ，再过点E 作EN ⊥AB 于N ，则BM+MN=EM+MN ，其最小值即EN 长；∵AB=10，BC=5，∴AC=22BC AB +=55，等面积法求得AC 边上的高为55510⨯=25，∴BE=45， 易知△ABC ∽△ENB ，∴，代入数据解得EN=8． 即BM+MN 的最小值为8．【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解.典型例题2-2如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP=，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ）A ．B ．C ．6D ．3【分析】符合拓展模型3的特征；作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，此时△PMN周长最小，其值为CD长；根据对称性连接OC、OD，分析条件知△OCD是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD. 【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=OC=，CH=OH=，∴CD=2CH=3．即△PMN周长的最小值是3；故选：D．【小结】根据对称的性质，发现△OCD是顶角为120°的等腰三角形，是解题的关键，也是难点.典型例题2-3如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．（1）请直接写出点A坐标为，点B坐标为；（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P的坐标.【分析】（1）解直角三角形求出OD，BD的长即可解决；（2）符合“搭桥模型”的特征；首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，PM是定值，PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，此时P点为直线OB与EF的交点，结合OB的解析式可得P点坐标；【解答】（1）在Rt△ADO中，∵∠A=60°，AD=2，∴OD=2•tan60°=2，∴A（﹣2，2），∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）（2）如图，连接OP．∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=，∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形,∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小，∵直线OB的解析式为y=x，∴P（2，）．【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边形）的方法，转化为基本模型.典型例题2-4如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．（1）求C、D两点的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．【分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、F点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标.【解答】（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4,∴C点的坐标是（0，2），D点的坐标是（4，0），（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，4a-2b+c=0由题意，得 16a+4b+c=0c=4解得a=-12，b=1，c=4，∴所求抛物线的解析式为y=-12x²+x+4；（3）只需AF+CE最短，抛物线y=-12x²+x+4的对称轴为x=1，将点A向上平移至A1（﹣2，1），则AF=A1E，作A1关于对称轴x=1的对称点A2（4，1），连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，可求得A2C的解析式为y=-14x+2，当x=1时，y=74，∴点E的坐标为(1,74)，点F的坐标为(1,34)．【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”；其中，作对称和平移的顺序可互换.变式训练2-1几何模型：条件：如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交l于点P，即为所求.（不必证明）模型应用：（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点A（0，﹣1）和B（2，﹣1），P为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是，此时PA+PB= ．（2）如图3，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是．（3）如图4，在菱形ABCD中，AB=10，∠DAB=60°，P是对角线AC上一动点，E，F分别是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是．（4）如图5，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E．F分别是AG，AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是．变式训练2-2如图，矩形ABCD中，AD=15，AB=10，E为AB边上一点，且DE=2AE，连接CE与对角线BD交于F；若P、Q分别为AB边和BC边上的动点，连接EP、PQ和QF；则四边形EPQF周长的最小值是___________.变式训练2-3如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ．变式训练2-4如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．1.要在街道旁建奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？小聪以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A点坐标为（0，3），B点坐标为（6，5），则A、B两点到奶站距离之和的最小值是．2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）A ．（0，）B ．（0，）C ．（0，2）D ．（0，）3.如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，动点P 满足S △PAB =31S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA+PB 的最小值为（ ）A ．B ．C ．5D ．4.已知抛物线y=x 2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（，3），P 是抛物线y=x 2+1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65.如图，点A （a ，3），B （b ，1）都在双曲线y=上，点C ，D ，分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．6.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D 、E 分别是AB 、BC 边上的动点，则AE+DE 的最小值为（ ）A ．B ．C ．5D ．7.如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的动点，则DA+DE 的最小值为 ．8.如图，等腰△ABC 的底边BC=20，面积为120，点F 在边BC 上，且BF=3FC ，EG 是腰AC 的垂直平分线，若点D 在EG 上运动，则△CDF 周长的最小值为 ．9.如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=120°，M 是BC 边的一个三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当PB+PM 的值最小时，PM 的长是（ ）A．B．C．D．10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．B．C．D．611.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN 的最小值是（）A．6B．10 C．2D．212.如图，△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的任意点，则PE+PF的最小值是．13.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．（1）用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．15.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出 PM+PQ+QN 和的最小值．16.如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND 长度的最大值；（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．17.如图1，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）若抛物线过点T（1，﹣），求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在（1）的条件下，点P的坐标为（﹣1，1），点Q（6，t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2，问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM 的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．18.如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），P是第一象限内抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．19.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：x=，y=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为；②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：；拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数y=x（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．20.如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．21.如图①，在平面直角坐标系中，OA=6，以OA为边长作等边三角形ABC，使得BC∥OA，且点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在图①中，假设一动点P从点B出发，沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动，同时另一动点Q从O点出发，沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动，当点P 运动到A点时，P、Q都同时停止运动，在P、Q的运动过程中，是否存在时间t，使得PQ⊥AB，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）在BC边上取两点E、F，使BE=EF=1个单位，试在AB边上找一点G，在抛物线的对称轴上找一点H，使得四边形EGHF的周长最小，并求出周长的最小值．。
“将军饮马”解决线段最值问题
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
针对训练 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点G，H分别是边BC、 CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为_2__5___1_0_．
第8题图
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
针对训练 5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一 点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为( A ) A. 13 B. 13 C. 7 D.3
2
第4题图
类微型专4 题异侧利差用最“大将值军问饮题 马”解决线段最值问题
利用“将军饮马”解决线段最值问题
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题 模型一 “一线两点”型(一动点＋两定点)
类型1 异侧线段和最小值问题 【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．
【解决思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．连接AB交 直线l 于点P，点P即为所求．
且AC＝12.点P在正菱方形形的边上，则满足PE＋PF＝9的点P的个数是( D )
A. 0
B. 4
C. 6
D. 8
类型微3 专同题侧差利最用大“值将问军题饮马”解决线段最值问题
【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 【解决思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P三点 共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的 交点即为点P.
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
针对训练
7. 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
(2017.27；针对几何图形操作探究型问题和二次函数综合题设置此微专题)
模型一 “一线两点”型(一动点＋两定点)
类型一 异侧线段和最小值问题 问题： 两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小． 解决思路
根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．连接AB交直线l 于点P，点P 即为所求．
13 一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为____2____．
第4题图
类型四 异侧差最大值问题 问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 解决思路 将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决．
针对训练 5. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD 上的动点，则|PA－PB|的最大值为___4_____．
针对训练 7. 如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D， M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是___2__2___．
第7题图
模型三 “两点两线”型(两动点+两定点)
问题：点P、Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边 形PQNM的周长最小． 解决思路
第5题图
模型二 “一点两线”型(两动点+一定点)
类型一 周长最小型 问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN 的周长最小． 解决思路 要使△PMN的周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条 线段转化到同一直线上即可．
针对训练 6. 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB， 且OP＝6，则△PMN周长的最小值为____6____．
中考数学专题利用”将军饮马“解决线段最值问题
针对训练 2. 在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O为坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴 的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点，且E、F为边OA上的两个动点，且 EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．
在平面直角坐标系中矩形oacb的顶点o为坐标原点顶点ab分别在x轴y轴轴的正半轴上oa3ob4d为边ob的中点且ef为边oa上的两个动点且ef2当四边形cdef的周长最小时求点ef的坐标
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
模型一 “一线两点”型(一个动点＋两个定点) (1)异侧线段和最小值问题 模型分析
5. 如图，抛物线的顶点D(-1，4)，抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交 于点C(0，3)．已知点E(0，-3)，点F为抛物线对称轴上一动点，当△CEF的周长取得 最小值时，点F的坐标为___________．
第5题图
(3)同侧线段差最大值问题
模型分析 问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA-PB|的值最大． 解题思路：当A、B、P三点不共线时，根据三角形任意两边之差小于第三边可得|PAPB|<AB，当A、B、P三点共线时，|PA-PB|＝AB，则|PA-PB|的最大值为线段AB的 长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.
针对训练 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点G、H分别是边BC、 CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为________．
第1题图
中考最短路径问题专题训练(将军饮马-胡不归-瓜豆原理-辅助圆-费马点)
最短路径问题专题训练一、将军饮马问题特征：定直线上找一动点到两定点距离之和最小. 解法:做不动点对称点 如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？例1.（一动点两定点）如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．例2.（一定点两动点）如图，点P 是△AOB 内任意一点，△AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．例3.（一定点两动点）已知P 为△AOB 内部一定点，在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。
二、费马点问题若点P 满足∠PAB =∠BPC =∠CPA =120°，则PA +PB +PC 值最小，P 点称为该三角形的费马点． 在∠ABC 内找一点P ，使得PA +PB +PC 最小．PBAP OBAMNP'M NAPOOPBMABCDMN例1.如图，在△ABC 中，△BAC =90°，AB =AC =1，P 是△ABC 内一点，求P A +PB +PC 的最小值．例2.如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．三、胡不归问题从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V 的值最小．ABCPCABCDME2驿道2MM【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．【问题解决】构造射线AD 使得sin △DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH △AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．例1. 如图，△ABC 中，AB =AC =10，tanA =2，BE △AC 于点E ，D 是线段BE上的一个动点，则CD 的最小值是_______．例2. 如图，平行四边形ABCD 中，△DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD上的一动点，则PB 的最小值等于________．总结：在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．四、瓜豆原理引例：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，Q 为AP 中点． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？考虑到Q 点始终为AP 中点，连接AO ，取AO 中点M ，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是OP 一半，ABCDEABCDP任意时刻，均有△AMQ △△AOP ，QM :PO =AQ :AP =1:2． 【模型总结】为了便于区分动点P 、Q ，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）．【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： ∠P AQ =∠OAM ；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP :AQ =AO :AM ，也等于两圆半径之比． 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与P 的关系相当于旋转+伸缩．例1 如图，点P （3,4），圆P 半径为2，A （2.8,0），B （5.6,0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．例2 如图，正方形ABCD 中，25AB ，O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．五、辅助圆（轨迹圆/隐圆） 定直线对定角/四点共圆例1 如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，△APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．例2 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，△A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．O yxA BCM POABCDEF例3 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，BC =42 ，点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为__________．例4 如图，∠A O B =45°，边O A 、OB 上分别有两个动点C 、D ，连接C D ,以CD 为直角边作等腰Rt △CDE ，且CD =CE ，当CD 长保持不变且等于2cm 时，OE 最大值为__________．综合练习1. 如图，菱形ABCD 中，AB =2，△A =120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为__________．2. 如图，在Rt △ABC 中，△C =90°，AB =17，AC =8，D 为AB 边上的一动点，E 、F 分别为AC 、BC 上两点，且DE △DF ，则EF 的最小值为__________．3. 如图，△MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =2，BC =1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为__________．4. 已知正方形ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为 2 +6,则正方形的边长 .5. 如图，在四边形ABCD 中，AB =2，BC =5，若AC =AD 且△ACD =60°，则当对角线BD 取得最大值时，对角线AC 的长是_________．lPO CBA A'NMABCD6. 在等边△ABC 中，AB =4，点D 是BC 的中点，连接AD ，P 为AD 上一动点，则CP +12BP 最小值为____．7. 如图，在等腰直角△ABC 中，BC =8，D 为BC 中点，E 为DC 中点，P 为AD 上一动点，则2PE +2AP 的最小值________．8. 如图，在△ABC 中，AB =AC =10，tan △A =2，BE △AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +55BD 的最小值为________．9.如图，已知正方形ABCD 的边长为4.点M 和N 分别从B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动.连接AM 和BN ，交于点P ，则PC 长的最小值为________．10. 如图，AC 为边长为4的菱形ABCD 的对角线，∠ABC =60°，点M 和N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CA 运动.连接AM 和BN ，交于点P ，则PC 长的最小值为________．11. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF .连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H .若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．。
将军饮马问题----两线段和最小值专题讲解训练
化同侧为异侧——轴对称变换 1.知识方面： 化折线为直线——“两点之间、线段最短”
轴对称变换
两点之间 线段最短 轴对称变换 平移变换 平移变换
“引圆”法解决最值问题。
2.数学思想： “转化”思想、“数形结合”思想。
图9
图10
2．如图11，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠， 使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3． （1）求MP的值； （2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时， △MEF的周长最小？ （3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当 四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）
两点之间线段最短轴对称变换平移变换轴对称变换平移变换化同侧为异侧轴对称变换化折线为直线两点之间线段最短2
将军饮马问题 ----两线段和最小值专题
L/O/G/O
1、平移
2、旋转
3、轴对称
L/O/G/O 三种变换的本质相同：
都是转化为全等，进而有对应边相等、对应角相等。
(“将军饮马”问题) 在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一 位将军向他请教了一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马， 然后再去B地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？ 在图2中呢？
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8 图3
(“将军饮马”问题) 在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一 位将军向他请教了一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马， 然后再去B地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？ 在图2中呢？
图1
（“过桥问题”—北师大版数学教材八年级下册第90页第18题改编.） 如图4，甲、乙两个单位分别位于一条河流的两旁A处与B 处，现准备合作修建一座桥.桥建在何处才能使由甲到乙的路 线最短？（注意：桥必须与河流两旁垂直，桥宽忽略不计） 转化思想
专题64 将军饮马模型与最值问题(解析版)
专题64 将军饮马模型与最值问题【模型引入】 什么是将军饮马？“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【模型描述】如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？这个问题的难点在于P A +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】作点A 关于直线的对称点A ’，连接P A ’，则P A ’=P A ，所以P A +PB =P A ’+PB当A ’、P 、B 三点共线的时候，P A ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）AB 将军军营河【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．【精典例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P ’P ’’长，连接OP ’、OP ’’，可得△OP ’P ’’为等边三角形，所以P ’P ’’=OP ’=OP =8．BBP OBAMNP''A【模型】二、两定两动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。
2024成都中考数学二轮复习专题：将军饮马求最小值1-对称【含答案】
将军饮马求最值1--对称内容导航方法点拨一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’例题演练题组1：两定点一动点问题例1．已知，如图1，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，在抛物线第一象限的图象上存在一点B，x轴上存在一点C，使∠ACB＝90°，AC＝BC，抛物线的顶点为D．（1）求直线AB的解析式；（2）如图2，若点E是AB上一动点（点A、B除外），连接CE，OE，当EC+OE的值最小时，求△BDE的面积；【解答】解：（1）由题意A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）设C（m，0），则B（m，m+1），把点B坐标代入抛物线的解析式得到：m+1＝m2﹣2m﹣3，解得m＝4或﹣1（舍弃），∴C（4，0），B（4，5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，∴，∴直线AB的解析式为y＝x+1．（2）如图1中，如图作点C关于直线AB的对称点C′，连接OC′交直线AB于E，连接EC、EO，此时EO+EC的值最小．∵C（4，0），CC′关于直线AB对称，∴C′（﹣1，5），∴直线OC′的解析式为y＝﹣5x，由，解得，∴E（﹣，），∵D（1，﹣4），＝9×（4+）﹣×3×9﹣×（1+）（4+）﹣×（4+）（5﹣）＝12.5．∴S△BDE练1.1如图，已知抛物线y＝x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；【解答】解：（1）对于抛物线y＝x2+3x﹣8，令y＝0，得到x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，∴B（﹣8，0），A（2，0），令x＝0，得到y＝﹣8，∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8）＝S△FNB+S△FNC＝•FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣∴S△FBC2（m+4）2+32，∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F（﹣4，﹣12），∵抛物线的对称轴x＝﹣3，点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，设直线AF的解析式为y＝ax+b，则有，解得，∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4，∴P（﹣3，﹣10），∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．题组2：两动点一定点问题例2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝mx+n相交于点A（1，8）和点B（5，4）．（1）求抛物线和直线AB的解析式．（2）如图1，直线AB上方的抛物线上有一点P，过点P作PQ垂直于AB所在直线，垂足为Q，在x轴正半轴和y轴正半轴上分别有两个动点M和N，连接PN，NM，MB，BP．当线段PQ的长度最大时，求四边形PNMB周长的最小值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝mx+n相交于点A（1，8）和点B（5，4）．∴，，解得，，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+5x+4，直线y解析式为＝﹣x+9．（2）如图1中，设直线AB与x轴交于点F，与y轴交于点E，则E（0，9），F（9，0），连接PE、PF、PO．当PQ最大时，△PEF的面积最大，设P（m，﹣m2+5m+4）＝S△POE+S△POF﹣S△EOF＝×9×m+×9×（﹣m2+5m+4）﹣×9×9＝﹣（m﹣3）∵S△PEF2+18，∵﹣＜0，∴m＝3时，△PEF的面积最大值为18，此时P（3，10），作点P关于y轴的对称点P′，B关于x轴的对称点B′，连接P′B，与y轴交于点N，与x轴交于点M，此时四边形PNMB的周长最小．理由：四边形PNMB周长＝PN+MN+MB+PB＝P′N+MN+MB′+PB＝P′B′+PB，∵PB是定长，两点之间线段最短，∴此时四边形PNMB周长最小．∵P′（﹣3，10），B′（5，﹣4），∴P′B′＝＝2，∵PB＝＝2，∴四边形PNMB周长的最小值为2+2．练2.1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3，分别交x轴于A、B两点，交y 轴交于C点，顶点为D．（1）如图1，连接AD，R是抛物线对称轴上的一点，当AR⊥AD时，求点R的坐标；（2）在（1）的条件下．在直线AR上方，对称轴左侧的抛物线上找一点P，过P作PQ⊥x轴，交直线AR于点Q，点M是线段PQ的中点，过点M作MN∥AR交抛物线对称轴于点N，当平行四边形MNRQ周长最大时，在抛物线对称轴上找一点E，y轴上找一点F，使得PE+EF+FA最小，并求此时点E、F的坐标．【解答】解：（1）对于抛物线y＝﹣x2+x+3，令y＝0，得﹣x2+x+3＝0，解得x＝﹣2或6，∴B（﹣2，0），A（6，0），∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴抛物线顶点D坐标为（2，4），对称轴x＝2，设直线AD的解析式为y＝kx+b则有，解得，∴直线AD的解析式为y＝﹣x+6，∵AR⊥AD，∴直线AR的解析式为y＝x﹣2，∴点R坐标（2，﹣）．（2）如图1中，设P（m，﹣m2+m+3），则Q（m，m﹣2），M（m，﹣m2+m+），由（1）可知tan∠DAB＝＝，∴∠DAB＝60°，∵∠DAQ＝90°，∴∠BAQ＝30°，∴平行四边形MNRQ周长＝2（﹣m2+m+﹣m+2）+2（2﹣m）÷cos30°＝﹣m2﹣m+，∴m＝﹣时，平行四边形MNRQ周长最大，此时P（﹣，），如图2中，点P关于对称轴的对称点为M，点M关于y轴的对称点为N，连接AN交y轴于F，连接FM交对称轴于E，此时PE+EF+AF最小．理由：PE+EF+AF＝EM+FE+AF＝FM+AF＝FN+AF＝AN，根据两点之间线段最短，可知此时PE+EF+AF最小．∵M（，），N（﹣，），∴直线AN的解析式为y＝﹣x+，∴点F坐标（0，），∴直线FM的解析式为y＝x+，∴点E坐标（2，）．题组3：线段之差的最大值问题例3．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象交于A，B两点，点C是二次函数图象的顶点，P是x轴下方线段AB上一点，过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为E，平行线交直线BC于F．（1）当△PEF面积最大时，在x轴上找一点H，使|BH﹣PH|的值最大，求点H的坐标和|BH﹣PH|的最大值；【解答】解：（1）设点P（m，﹣m+1），则点E（m，0），联立两个函数表达式得，解得，即点A、B的坐标分别为（0，1）、（6，﹣5），由抛物线的表达式知，点C（2，3），由B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣2x+7，当y＝﹣2x+7＝﹣m+1时，x＝，故点F（，﹣m+1），△PEF面积＝×PE•PF＝×（m﹣1）（﹣m）＝﹣（m﹣1）（m﹣6），∵﹣＜0，故△PEF面积有最大值，此时m＝（1+6）＝，故点P（，﹣），当P、B、H三点共线时，|BH﹣PH|的值最大，即点H为直线AB与x轴的交点，故点H（1，0），则|BH﹣PH|的最大值＝BH﹣PH＝BP＝＝；练3.1已知抛物线ω：y＝﹣x2﹣x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D点为抛物线的顶点，E为抛物线上一点，点E的横坐标为﹣5．（1）如图1，连接AD、OD、AE、OE，求四边形AEOD的面积．（2）如图2，连接AE，以AB，AE为边作▱AEFB，将抛物线w与▱AEFB一起先向右平移6个单位长度，再向上平移m个单位长度，得到抛物线w′和▱A′E′F′B′，在向上平移的过程中▱AEFB与▱A′E′F′B′重叠部分的面积为S，当S取得最大值时，E′F′与BF交于点Q，在直线A′B′上有两动点P，H，且PH＝2（P在H的右边），当|PQ﹣HC|取得最大值时，求点P的坐标．【解答】解：（1）令﹣x2﹣x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0）当x＝﹣＝﹣1时，y＝，即D（﹣1，），当x＝﹣5时，y＝，即E（﹣5，﹣）＝S△AOE+S△AOD＝•AD•（y D﹣y E）＝×4×（）＝16；∴S四边形AEOD（2）如图1，延长FE′交x轴于点H，由平移可知：F（1，），FH⊥x轴，FE′＝m，FH＝，∴BH＝1，△FHB∽FE′Q，∴＝，即＝，∴E′Q＝，由平移可知，重叠部分四边形为平行四边形，S重叠四边形＝E′Q•HE′＝（）＝m2+m，当m＝＝时，平行四边形的面积有最大值，此时y Q＝﹣当y＝﹣时，即Q是线段FB的中，∴x Q＝＝，即Q（，）．如图2，作点Q关于直线A′B′的对称点Q′，将线段CH向右平移两个单位使点H与点P重合，点C的对应点为C′，延长Q′C′交直线A′B′于点N，当P在N点时，|PQ﹣HC|取得最大值．则＝，则Q′（，），C′（2，4），y Q′C′＝﹣，当y＝时，解得x＝，所以当P（，）时，|PQ﹣HC|取得最大值；练3.2如图1，二次函数y＝的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C，直线l是它的对称轴．（1）求直线l与直线AC交点的坐标；（2）如图2，在直线AC上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，与直线AC交于点E，过点P作直线AC的垂线，垂足为点F，当△PEF的周长最大时，在对称轴l 上找点M，使得|BM﹣PM|的值最大，求出|BM﹣PM|的最大值，并求出对应的点M的坐标；【解答】解：（1）在y＝中，令y＝0，则＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1∴A（﹣4，0），B（1，0）令x＝0，得y＝，∴C（0，）设直线AC解析式为y＝kx+b，则，解得∴直线AC解析式为y＝x+，∵直线l解析式为x＝﹣，将x＝﹣代入y＝x+中，得y＝×（﹣）+＝，∴直线l与直线AC交点的坐标为（﹣，）；（2）∵PD⊥OA，PF⊥AC∴∠EDA＝∠PFE＝90°；∵∠PEF＝∠AED∴∠EAD＝∠EPF∵OC＝，OA＝4∴tan∠EPF＝tan∠EAD＝；∴∠EPF＝30°∴sin∠EPF＝，cos∠EPF＝，∴EG＝PE，PF＝PE，∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PE∴当PE取得最大值时，△PEF的周长最大；设点P（t，﹣t2﹣t+），则点E（t，t+），∵点P在点E的上方，∴PE＝﹣t2﹣t+﹣（t+）＝﹣t2﹣t＝﹣（t+2）2+，∴当t＝﹣2时，PE取得最大值，此时△PEF的周长取得最大值；∴P（﹣2，2），E（﹣2，）；∵B（1，0）与A（﹣4，0）关于直线l对称，连接AM，AP，∴AM＝BM|BM﹣PM|的值最大，即|AM﹣PM|的值最大，当P、M、A三点共线时，|AM﹣PM|＝AP最大，∵AP＝＝＝4∴|BM﹣PM|的最大值＝4；设直线AP解析式为y＝k′x+b′，将A（﹣4，0），P（﹣2，2）代入得解得：∴直线AP解析式为y＝x+4，令x＝﹣，得y＝，∴M（﹣，）；练3.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D．（1）求直线BC的解析式；（2）点E（m，0），F（m+2，0）为x轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线于点E′，F′，交BC于点M，N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使|RF′﹣RE′|的值最大，请求出R点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值；【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解方程得：x＝6或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（6，0），又y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，又顶点C（2，4），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，代入B、C两点坐标得：，解得：，∴y＝﹣x+6；（2）如图1，∵点E（m，0），F（m+2，0），∴E′（m，﹣m2+m+3），F′（m+2，﹣m2+4），∴E′M＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+6）＝﹣m2+2m﹣3，F′N＝﹣m2+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+m，∴E′M+F′N＝﹣m2+2m﹣3+（﹣m2+m）＝﹣m2+3m﹣3，当m＝﹣＝3时，E′M+F′N的值最大，∴此时，E′（3，）F′（5，），∴直线E′F′的解析式为：y＝﹣x+，∴R（0，），根据勾股定理可得：RF′＝10，RE′＝6，∴|RF′﹣RE′|的值最大值是4；。
13.4最短路径问题将军饮马专题训练人教版八年级上册2024—2025学年八年级上册
13.4最短路径问题将军饮马专题训练人教版八年级上册2024—2025学年八年级上册一．将军饮马：线段和的最小值例1．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？请你用所学的数学知识在图2中画出．例2．已知x+y＝7，且x，y均为正数，则的最小值是．变式1．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，2），B（2，1），点P（x，0）是x轴上的一个动点．结合图形得出式子的最小值是（）A．3B．C．5D．变式2．如图，牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处到河岸的距离分别是AC＝300m，BD＝500m，且C，D两地之间的距离为600m．牧童从A处将马牵到河边去饮水，再牵回家，他至少要走的路程是（）A．1400m B．（500+300）mC．1000m D．（300+100）m变式4．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（）A．12B．6C．7D．8变式5．如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（）A．2B．12C．5D．7二．选址造桥例3．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A．B．C．D．变式1．河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置．请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．变式2．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）三．线段差最大例4．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|PA﹣PB|的最大值为．变式1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则P A﹣PB的最大值为（）A．12cm B．8cmC．6cm D．2cm四．角中对称问题例5．如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（）A．B．C．D．变式1．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若PN+PM+MN的最小值是8cm，求∠AOB的度数．变式2．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2．连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝6，求则△PMN的周长．变式3．如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，求MP+PQ+QN的最小值课后练习1．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，EF垂直平分BC，P为直线EF上任意一点，则AP+BP的最小值是．2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC 上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是．3．如图，过边长为2的等边三角形ABC的顶点C作直线l⊥BC，然后作△ABC关于直线l对称的△A′B′C，P为线段A′C上一动点，连接AP，PB，则AP+PB的最小值是（）A．4B．3C．2D．2+4．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．3B．C．D．65．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°6．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC 最小时，∠PBC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．如图，直线y＝x+8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣3，0）B．C．（﹣2，0）D．（﹣1，0）8．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（）A．35B．40C．50D．609．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，EF是BC 的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则P A+PB的最小值是（）A．6B．8C．10D．1210．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（）A．2B．4C．6D．811．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上的点，当△PMN的周长最小时，∠MPN＝100°，求∠AOB．12．如图，在锐角△ABC中，∠C＝40°；点P是边AB上的一个定点，点M、N分别是AC 和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，求∠MPN的度数13．如图，∠AOB＝30°，点P在OB上且OP＝2，点M、N分别是OA、OB上的动点，求PM+MN的最小值14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在BC上且BD＝1，AD＝4，点E、F分别为边AC、AB上的动点，求△DEF的周长的最小值为．15．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝30°，点P为边AB上的一定点，连接CP，CP＝4，M，N分别为边AC和BC上的两动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值为；当△PMN周长的最小值时，∠MPN的度数为．16．如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，点M在边BC上，且BM＝1，点N 是直线AC上一动点，点P是边AB上一动点，求PM+PN的最小值.17．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D是线段BF上的动点，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接BE，求△ABE周长的最小值。
微专题 利用”将军饮马“解决线段最值问题-学生
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
针对训练 6. (2018陕西副题14题3分)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC 的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM-PO的最大值为 ________．
第6题图
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(4)异侧线段差最大值问题 模型分析 问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 解题思路：将异侧点转化为同侧，同“3.同侧线段差最大值问题”即可解决．
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针对训练 2. 如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、 N分别是AD、AB上的动点，则BM＋MN的最小值是________．
第2题图
第3题图
3. 如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM
3. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AB边上的一点，且AE＝1， 点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为________．
第3题图
第4题图
4. 如图，AB是 e O的直径，AB＝8 cm， ¼AC＝ C»D ＝ B»D ，M是AB上一动点，则CM ＋DM的最小值是________．
(3)同侧线段差最大值问题
模型分析 问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA-PB|的值最大． 解题思路：当A、B、P三点不共线时，根据三角形任意两边之差小于第三边可得|PAPB|<AB，当A、B、P三点共线时，|PA-PB|＝AB，则|PA-PB|的最大值为线段AB的 长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.
专题02 将军饮马模型(解析版)-初中数学几何专题之冲刺2022年满分突破大全
∴∠EON'＝60°，
∴ON'＝ON＝4，
在Rt△N'OE中，∠EN'O＝30°，
根据30°角所对的直角边是斜边的一半可知OE＝2，
则EN'＝2 ，OM＝OM'＝12，
∴EM′＝OE+OM′＝12+2＝14，
则N′M＝ ＝ ＝4 ．
故答案为：4 ．
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 ．
解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：
解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
方法点拨
一、题型特征：
①AP+PB或者AM+MN+AN
先作射线ON'与射线ON关于OA对称，
由对称的性质可知∠AON'＝20°，PN＝PN'，
同理作射线OM'与射线OM关于OB对称，
同理∠BOM'＝50°，QM＝QM′，
当N'、P、Q、M'四点共线时，MQ+PQ+NP最小，
则∠N′OM′＝∠N′OP+∠AOB+∠BPM′＝20°+50°+50°＝120°，
②两定点一动点或一定点两动点
③动点的运动轨迹为直线
二、模型本质：两点之间，线段最短。
中考数学函数压轴题：将军饮马问题的应用----最短路径最小值问题专题训练.doc
最短路径最小值问题专题训练“将军饮马”这个问题早在古罗马时代就有了，传说古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛 名的学者，名叫海伦。
有一天，有位罗马将军前來向他求教一个百思不得其解的问题：如 图，将军从A 地出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有很多走法。
问走什么样 的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思考，便作了完善的冋答。
这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题广为流传。
河流事实上，不仅将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要 遇到这样的问题。
古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走 冤枉路。
我们把这类求近道的问题统称“最短路线问题”。
另外，从某种意义上说，一笔 画问题也属于这类问题。
看来最短路线问题在生产、科研和日常牛•活中确实重要且应用广 泛。
这个问题在我们中考中也是常考的热点问题，因此，我们要掌握其分析解决的方法。
下面我就几个例题来具体分析解决。
【典例探究】将军饮马问题的应用(•梧州)如图,抛物线y=ax2+bx - 4 (aHO)与x轴交于A (4, 0)、B ( - 1, 0)两点，过点A的直线y二・x+4交抛物线于点C.(1)求此抛物线的解析式；(2)在直线AC上有一动点E,当点E在某个位置时，使ABDE的周长最小，求此时E点坐标；(3)当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A-C-B-D-A上运动吋，是否存在使△ BDE 为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线解析式；(2)先判断出周长最小时BE丄AC,即作点B关于直线AC的对称点F,连接DF,交AC于点E,联立方程组即可；(3)三角形BDE是直角三角形时，由于BD>BG,因此只有ZDBE二90°或ZBDE二90°,两种情况，利用直线垂直求出点E坐标.【解答】解：(1) •・•抛物线y=ax2+bx - 4 (aHO)与x轴交于A (4, 0)、B (- 1, 0)两点,16a+4b- 4=0a~ b- 4二0・・・严，[b二 _ 3・••抛物线解析式为尸/・3%・4,(2)如图1,由(1)得，抛物线解析式为y=x2 - 3x - 4①,・・・D (0,・4),•・•点C是直线y二・x+4②与抛物线的交点，・••联立①②解得，(舍)或(X=_ 2,[尸0 1尸6AC ( - 2, 6),VA (4, 0),・•.直线AC解析式为y= - x+4,•・•直线BF丄AC,且B ( - 1, 0),・・・直线BF解析式为y=x+l,设点F (m, m+1),AG (匹丄，时^),2 2•・•点G在直线AC上,-罗+4罟'111=4,・・・F (4, 5),VD (0, - 4),・•・直线DF解析式为y二2x・4,4・・•直线AC解析式为尸・x+4,・・・直线DF和直线AC的交点E (上殳—),13 13(3) TBD二VI?,由(2)有，点B到线段AC的距离为BG二丄BF二丄X5｛去宝2>BD,2 2 2A ZBED不可能是直角，VB (・ 1, 0), D (0,・4),・•・直线BD解析式为y=・4x+4,V ABDE为直角三角形，・••①ZBDE=90° ,・・・BE丄BD交AC于B,・・・直线BE解析式为y二丄x+丄，4 4•・•点E在直线AC： y二・x+4的图象上，・・・E (3, 1),② ZBDE=90° ,・・・BE丄BD交AC于D,・・・直线BE的解析式为y二丄x・4,4•・・点E在抛物线y=x2・3x・4上，・・・直线BE与抛物线的交点为（0, -4）和（丄色，-里），4 16・・.E （丄色,■里）,4 16即：满足条件的点E的坐标为E （3, 1）或（丄色，・里）.4 16【方法突破】对于这种涉及求线段和的最小值问题或是求在运动过程中三角形的周长的最小的问题通常都属于将军饮马问题.常见模型：在直线同一侧有两个点A,B,在直线上找一点使得所找点与已知A, B两点距离和最小，通常是过其中一个点作已知直线的对称点，然后连接另一点，与直线的交点即为所求的点。
初中数学将军饮马五大模型七类题型及答案
将军饮马五大模型七类题型(模型梳理与题型分类讲解)第一部分【知识点归纳】【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。
【方法原理】1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.【基本模型】【模型一：两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小(同侧转化为异侧)；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
使△P AB 的周长最小。
图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。
使四边形P AQB的周长最小。
图4【模型五：一定两动(垂线段最短)型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A 与点P到射线OM的距离之和最小。
图5【模型六：一定两动，找(作)对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小。
图6【题型目录】【题型1】两定一动型.......................................................3;【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型...................................6;【题型3】一定两动(垂线段最短)型.........................................9；【题型4】两定两动型.......................................................12;【题型5】一定两动(等线段)转化型.........................................14;【题型6】直通中考.........................................................18;【题型7】拓展延伸.........................................................21;第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】两定一动型；1.(23-24八年级上·河北廊坊·期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，AC=16，BC=20，将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合．(1)线段CD的长是；(2)若点E是射线BM上一动点，则△CDE周长的最小值是．2.(22-23八年级上·广西南宁·期末)如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB 的长为．3.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)如图，在△ABC中，AB=AC．在AB、AC上分别截取AP、PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点AQ，使AP=AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于12R，作射线AR，交BC于点D．已知BC=5，AD=6．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为．【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型；4.(23-24七年级下·陕西西安·期末)如图，在锐角△ABC中，∠ABC=30°，AC=4，△ABC的面积为5，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，连接P1P2，PP3，则2P1P2+ PP3的最小值为．5.(23-24八年级上·北京海淀·期中)如图，已知∠MON=30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP=a，当△P AB的周长最小时，∠APB=度，△P AB的周长的最小值是．6.(22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末)如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α=()A.30°B.45°C.60°D.90°【题型3】一定两动型(垂线段最短)；7.(2024八年级上·全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A.2.4B.3C.4D.58.(23-24七年级下·广东深圳·期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点D为垂足，E、F分别是AD、AB上的动点．若AB=6，△ABC的面积为12，则BE+EF的最小值是()A.2B.4C.6D.89.(23-24八年级·江苏·假期作业)如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．【题型4】两定两动型；10.(22-23八年级上·湖北武汉·期末)如图，∠AOB=20°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM=α，∠OQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是()A.β-α=30°B.β+α=210°C.β-2α=30°D.β+α=200°【题型5】一定两动(等线段)转化型；11.(23-24九年级下·广西南宁·开学考试)如图，△ABC是等边三角形，AB=4．过点A作AD⊥BC于点D，点P是直线AD上一点，以CP为边，在CP的下方作等边△CPQ，连接DQ，则DQ的最小值为．12.(23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，BC=10，D、E分别是AB、BC上的动点，且CE=BD，连接AE、CD，则AE+CD的最小值为．13.(2024·安徽合肥·二模)如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，AB=8，O是AC的中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，OE的最小值为()A.42B.433 C.32D.2第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型6】直通中考14.(2023·辽宁锦州·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD、AE，使AD=AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+12AP的最小值是．15.(2020·新疆·中考真题)如图，在△ABC中，∠A=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为．【题型7】拓展延伸16.(2024·辽宁葫芦岛·二模)在△ABC中，∠ABC=60°，BC=4，AC=5，点D，E在AB，AC边上，且AD=CE，则CD+BE的最小值是．17.(23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习)如图，等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，点N为BD上一点，点M为BC上一点，且BN=MC，若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是．将军饮马五大模型七类题型(模型梳理与题型分类讲解)第一部分【知识点归纳】【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。
八年级数学上册最短路径问题(将军饮马)专项训练(含解析)
最短路径问题（将军饮马）专项训练一、单选题1．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =，60ABC S =△，D 是BC 中点，EF 垂直平分AB ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．132．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上，点P 也在小正方形的顶点上．某人从点P 出发，沿图中已有的格点所连线段走一周（即不能直接走线段AC 且要回到P ），则这个人所走的路程最少是（ ）A ．7B ．14C ．10D ．不确定3．如图，在等边△ABC 中，AB ＝2，N 为AB 上一点，且AN ＝1，AD ＝3，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连接BM 、MN ，则BM+MN 的最小值是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．34．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则BQ+QP 的最小值是（ ）A．4 B．5 C．6 D．75．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145°B．152°C．158°D．160°6．图1为某四边形ABCD纸片，其中∠B=70°，∠C=80°．若将CD迭合在AB上，出现折线MN，再将纸片展开后，M、N两点分别在AD、BC上，如图2所示，则∠MNB的度数为（）度.A．90 B．95 C．100 D．1057．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（）A．15 B．17 C．18 D．208．平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－1)三点，D(1，m)是一个动点，当△ACD 的周长最小时，则△ABD的面积为（）A．13B．23C．43D．839．如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（）A ．15°B ．22.5°C ．30°D ．45°10．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，AB =8，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则PQ +BQ 的最小值是A ．4B ．5C ．6D ．711．如图，锐角三角形ABC 中，∠C ＝45°，N 为BC 上一点，NC ＝5，BN ＝2，M 为边AC 上的一个动点，则BM ＋MN 的最小值是（ ）A ．29B ．21C ．74D ．4512．如图是一块长，宽，高分别是6cm ，4cm 和3cm 的长方体纸盒子，一只老鼠要从长方体纸盒子的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）A ．(3213cm +B 85cmC 97cmD 109cm13．如图，ABC ∆是等边三角形，2AB =，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，则PE PC +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2314．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．615．如图，A 、B 是两个居民小区，快递公司准备在公路l 上选取点P 处建一个服务中心，使P A +PB 最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）A ．B ．C ．D ．16．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，CM 是斜边AB 上的中线，将△ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点A 1处，CA 1与AB 交于点N ，且AN=AC ，则∠A 的度数是（ ）A ．30°B ．36°C ．50°D ．60°17．如图，在ABC 中，90BCA ∠=︒，3BC =，4CA =，AD 平分BAC ∠，点M N 、分别为AD AC 、上的动点，则CM MN +的最小值是（ ）A ．1.2B ．2C ．2.4D ．518．在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（ 2，0 ），（4，0），点C 的坐标为（m ，3 m ）（m 为非负数），则CA ＋CB 的最小值是（ ）A ．6B ．37C ．27D ．5二、填空题 19．如图，在等边ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，H 是AD 上任意一点．如果10AB AC BC ===，53AD =，那么HE HB +的最小值是 ．20．如图，在ABC 中，10AB AC cm ==，8BC cm =，AB 的垂直平分线交AB 于点M ，交AC 于点N ，在直线MN 上存在一点P ，使P 、B 、C 三点构成的PBC 的周长最小，则PBC 的周长最小值为______．21．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为6，面积是36，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM ∆周长的最小值____．22．如图，P 是AOB ∠内一定点，点M ，N 分别在边OA ，OB 上运动，若30AOB ∠=︒，3OP =，则PMN 的周长的最小值为___________.23．等边三角形ABC中，∠BPC＝150°，BP＝3，PC＝4，M、N分别为AB，AC上两点，且AM＝AN，则PM+PN的最小值为__．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，M是AB边上一动点，N是AC边上的一动点，则MN+MC的最小值为_____．25．如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为____．26．如图所示，在边长为2的等边三角形ABC中，G为BC的中点，D为AG的中点，过点D作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，P是线段EF上一个动点，连接BP，GP，则△BPG的周长的最小值是________．27．已知∠AOB=30°，点P、Q分别是边OA、OB上的定点，OP=3，OQ=4，点M、N是分别是边OA、OB上的动点，则折线P-N -M -Q长度的最小值是___________.28．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线4AD=，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E、F运动的过程中，EB EF+的最小值是______．29．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR 周长最小，则最小周长是_____30．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_____．31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D是BC上一动点，以BD为边在BC 的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是_____.32．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（6，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_____．33．某市为解决农村燃气困难，在P处建立了一个燃气站，从P站分别向A、B、C村铺设燃气管道。
轴对称中的最值模型问题(将军饮马)重难点题型专训(学生版)-初中数学
轴对称中的最值模型问题(将军饮马等)重难点题型专训题型一将军饮马之线段和最值题型二将军饮马之线段差最值题型三将军饮马之两定一动最值题型四三点共线最大值题型五双对称关系求周长最小值题型六两定两动型最值题型七两动一定最值题型八费马点最值问题将军饮马中最短路径问题四大模型一两定点在直线的异侧问题1作法图形原理在直线l 上找一点P ,使得P A+PB 的和最小。
连接AB ，与直线l 的交点P 即为所求。
两点之间，线段最短，此时P A +PB 的和最小。
二两定点在直线的同侧问题2：将军饮马作法图形原理在直线l 上找一点P ,使得P A +PB 的和最小。
作B 关于直线l 的对称点C ，连AC ，与直线l 的交点P 即为所求。
化折为直；两点之间，线段最短，此时P A +PB 的和AC 最小。
三两动点一定点问题问题3：两个动点作法图形原理作P 关于OA 的对称点P 1，作P 关于OB 的对称两点之间，线段最短，此时PC +PD +CD点P 在锐角∠AOB 的内部，在OA 边上找一点C ,在OB 边上找一点D ,,使得PC +PD +CD 的和最小。
点P 2，连接P 1P 2。
的和最小。
四造桥选址问题问题4：造桥选址作法图形原理直线m ∥n ，在m ，n 上分别求点M 、N ，使MN ⊥m ，MN ⊥n ，且AM +MN +BN 的和最小。
将点A 乡向下平移MN 的长度得A 1，连A 1B ，交n 于点N ，过N作NM ⊥m 于M 。
两点之间，线段最短，此时AM +MN +BN 的最小值为A 1B +MN 。
注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练．勾股定理公式：a 2+b 2=c 2【经典例题一将军饮马之线段和最值】1.如图，在△ABC 中，AB =AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于E 、F ，画直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点，若BC =5，△ABC 的面积为15，则BM +MD 的最小长度为()A.5B.6C.7D.82.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠BAC，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A.1.2B.2.4C.4.8D.9.63.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是．4.唐朝著名诗人李颀的代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含着一个有趣的数学问题．如图1，诗中将士在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问在何处饮马才能使总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决这个问题．(1)如图2，作点B关于直线l的对称点B ，连接AB 与直线l交于点C，点C就是所求的位置．理由：如图3，在直线l上另取不同于点C的任一点C ，连接AC ，BC ，B C ，因为点B、B 关于直线l对称，点C、C 在直线l上，所以CB=，C B=，所以AC+CB=AC+CB =，在△AC B 中，依据，可得AB <AC +C B ，所以AC+CB<AC +C B ，即AC+CB最小．(2)迁移应用：如图4，△ABC是等边三角形，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，AD=6，M是AD上的一个动点，连接BM、MN，则BM+MN的最小值是．【经典例题二将军饮马之线段差最值】5.如图，在△ABC中，AB=CB，∠B=100°．延长线段BC至点D，使CD=BC，过点D作射线DP∥AB，点E为射线DP上的动点，分别过点A，D作直线EC的垂线AM，DN．当AM-DN的值最大时，∠ACE的度数为．6.如图，AB⎳DP，E为DP上一动点，AB=CB=CD，过A作AN⊥EC交直线EC于N，过D作DM ⊥EC交直线EC于点M，若∠B=114°，当AN-DM的值最大时，则∠ACE=．7.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知△ABC的顶点均在格点上．(1)画出格点三角形ABC关于直线DE对称的△A B C ；(2)△A B C 的面积是(3)在直线DE上找出点P，使P A-PC最大，并求出最大值为．(保留作图痕迹)8.如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．(1)画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线MN对称；(2)在直线MN上画出点D，使∠BDM=∠CDN．(3)在直线MN上画出点P，使P A-PC最大．【经典例题三将军饮马之两定一动最值】9.小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在( )．A. B.C. D.10.(2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习)如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是．12.(2023·江苏·八年级假期作业)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE=3，(1)求BC的长；(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出P A+PC的最小值为．【经典例题四三点共线最大值】13.如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则P A-PB的最大值为.14.如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=10，M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值为()A.12B.15C.18D.2015.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°,M在△ABC的内部，∠ACM=4∠BCM，P为射线CM上一点，当|P A-PB|最大时，∠CBP的度数是．16.如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．(2)若以N点为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为0，5，则△ABC关于x轴对称△A2B2C2，写出点A2,C2的坐标．(3)在直线MN上找点P使PB-P A的最大值．最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出PB-P A【经典例题五双对称关系求周长最小值】17.如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°18.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF=()A.110°B.112°C.114°D.116°19.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=9cm，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，在直线MN上存在一点P，使P、B、C三点构成的△PBC的周长最小，则△PBC的周长最小值为．20.在草原上有两条交叉且笔直的公路OA、OB，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，∠AOB=30°，OP=6.5．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得△PMN的周长最小，则△PMN周长的最小值是．21.几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使P A+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A ，连接A B，则A B与直线l的交点即为P，且P A+PB的最小值为线段A B的长．(1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；(2)应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点(不同于点O)，使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；②如图3，∠AOB=20°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=ON=2，点P，Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．22.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=AB=4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM+MN+EN的最小值是．23.如图，在等边△ABC中，AC=12，AD是BC边上的中线，点P是AD上一点，且AP=5．如果点M、N分别是AB和AD上的动点，那么PM+MN+NB的最小值为．【经典例题七两动一定最值】24.如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为．25.如图所示，在等边△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB，AC上，则线段DE+DF的最小值是()A.BC边上高的长B.线段EF的长度C.BC边的长度D.以上都不对26.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8，AC=10，点P、Q分别是边BC、AC上的动点，则AP+PQ的最小值等于()A.4B.245C.5 D.48527.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、AD上的动点，则MN+BN的最小值是．【经典例题八费马点最值问题】28.【问题提出】(1)如图1，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM，CM．若连接MN，则△BMN的形状是．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB+AC=10，求BC的最小值．【问题解决】(3)如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园ABCD，AB+BC=6千米，∠ABC=60°，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条AE,BE,CE，求三条路的长度和(即AE+ BE+CE)最小时，平行四边形公园ABCD的面积．29.已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点(Fermat po int)．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为6的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=()A.6B.32+6C.63D.930.定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1)如图1，若点O是等边△ABC的费马点，且OA+OB+OC=18，则这个等边三角形的高的长度为；(2)如图2，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：点P是△ABC的费马点；(3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求．31.定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1)如图1，若点O是高为3的等边△ABC的费马点，则OA+OB+OC=；(2)如图2，已知P是等边△ABD外一点，且∠APB=120°，请探究线段P A，PB，PD之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：①点P是△ABC的费马点；②P A+PB+PC=CD．32.若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，P A+PB+PC的值最小．(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到△ACP 处，连接PP ，此时△ACP ≌△ABP，这样就可以通过旋转变换，将三条线段P A，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=．(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使AD=AP，∠DAE=∠P AC，求证：BE=P A+PB+PC．(3)如图4，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=1，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出P A+PB+PC的值．33.(2024八年级上·浙江·专题练习)如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接P A、PE，若P A+PE最小，则点P应该满足()A.P A=PCB.P A=PEC.∠APE=90°D.∠APC=∠DPE34.(24-25八年级上·全国·课后作业)如图，在四边形ABCD中，BC∥AD,CD⊥AD，P是CD边上的一动点，要使P A+PB的值最小，则点P应满足的条件是()A.P A=PBB.PC=PDC.∠APB=90°D.∠BPC=∠APD35.(23-24八年级下·四川巴中·期末)如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于E、F，画直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，若BC=5，△ABC 的面积为15，则BM+MD的最小长度为()A.5B.6C.7D.836.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.60°B.120°C.90°D.45°37.(23-24八年级上·湖南湘西·期末)在某草原上，有两条交叉且笔直的公路OA、OB，如图，∠AOB=30°，在两条公路之间的点P处有一个草场，OP=4．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，存在M、N使得△PMN的周长最小．则△PMN周长的最小值是( )．A.4B.6C.8D.1238.(22-23八年级下·福建漳州·期中)如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，S△ABC=18，D是BC中点，EF垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为()A.3B.6C.9D.1239.(23-24八年级上·福建福州·期中)在平面直角坐标系xOy中，A0,4，动点B在x轴上，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转60°至AC，连接OC，则线段OC长度最小为()A.0B.1C.2D.340.(22-23七年级下·山东济南·阶段练习)如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°41.(21-22八年级上·四川广元·期末)如图所示，在四边形ABCD中，AD=2，∠A=∠D=90°，∠B=60°，BC=2CD，在AD上找一点P，使PC+PB的值最小；则PC+PB的最小值为()A.4B.3C.5D.642.(21-22八年级上·广东广州·期中)在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，点P 是边AC 上一定点，此时分别在边AB ，BC 上存在点M ，N 使得△PMN 周长最小且为等腰三角形，则此时AP PC 的值为()A.12B.1C.32D.243.(2024七年级下·全国·专题练习)如图，△ABC 中，AB =AC ，BC =5，S △ABC =15，AD ⊥BC 于点D ，EF 垂直平分AB ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB +PD 最小，则这个最小值为．44.(23-24七年级下·陕西西安·阶段练习)如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，使△AMN 周长最小，此时∠MAN =80°，则∠BAD 的度数为．45.(23-24七年级下·山东济南·期末)在草原上有两条交叉且笔直的公路OA 、OB ，在两条公路之间的点P 处有一个草场，如图，∠AOB =30°，OP =6.5．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得△PMN的周长最小，则△PMN周长的最小值是．46.(22-23七年级下·广东河源·期末)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=36°，在边AB、BC上分别找一点E、F，使△DEF周长最小，此时∠EDF=．47.(22-23八年级上·广东东莞·期中)如图，点A-2，1，点P是在x轴上，且使P A+PB最小，写，B2，3出点P的坐标．48.(22-23八年级上·湖南岳阳·期中)如图，直线l垂直平分△ABC的AB边，在直线l上任取一动点O，连结OA、OB、OC．若OA=5，则OB=．若AC=9，BC=6，则△BOC的最小周长是．49.(22-23八年级上·四川绵阳·期中)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是0,2，点B在x轴的负半轴上且∠ABO=30°，点P与点O关于直线AB对称，在y轴上找到一点M，使PM+BM的值最小，则这个最小值为．50.(22-23八年级上·海南海口·期中)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=36°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小．此时∠EDF的大小是．51.(22-23八年级上·湖北黄石·期末)如图，已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM=103cm，现要在OC,OA上分别找点Q，N，使QM+QN最小，则其最小值为cm．52.(21-22八年级上·福建厦门·期末)小河的两条河岸线a∥b，在河岸线a的同侧有A、B两个村庄，考虑到施工安全，供水部门计划在岸线b上寻找一处点Q建设一座水泵站，并铺设水管PQ，并经由P A、PB 跨河向两村供水，其中QP⊥a于点P.为了节约经费，聪明的建设者们已将水泵站Q点定好了如图位置(仅为示意图)，能使三条水管长PQ+P A+PB的和最小.已知P A=1.6km，PB=3.2km，PQ=0.1km，在A村看点P位置是南偏西30°，那么在A村看B村的位置是．53.(22-23八年级上·云南昆明·期末)如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A2,3．，B1,1，C5,3(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．(2)求△A1B1C1的面积；(3)在x轴上找一点P，使得PC+PB最小，请直接写出点P的坐标．54.(24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，已知A-3,4，B-1,2，C1,3．(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，将△ABC平移得到△A B C ，已知A 1,-1，则C 坐标是．(2)求出△ABC的面积；(3)在x轴上有一点P，使得P A+PB的值最小，保留作图痕迹．55.(23-24八年级下·广东深圳·期末)【综合实践活动】【问题背景】如图1，A，B表示两个村庄，要在A，B一侧的河岸边建造一个抽水站P，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站P应该修建在什么位置？【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：如图2，A，B是直线l同侧的两个点，点P在直线l上．P在何处时，P A+PB的值最小．画图：如图3，作B关于直线l的对称点B ，连结AB 与直线l交于点P，点P的位置即为所求．证明：∵B和B 关于直线l对称∴直线l垂直平分BB∴PB=，∴P A+PB=P A+PB根据“”(填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．)可得P A+ PB 最小值为(填线段名称)，此时P点是线段AB 和直线l的交点．【问题拓展】如图4，村庄B的某物流公司在河的对岸有一个仓库C(河流两侧河岸平行，即GD∥EF)，为了方便渡河，需要在河上修建一座桥MN(桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直)，请问桥MN修建在何处才能使得B到C的路线最短？请你画出此时桥MN的位置(保留画图痕迹，否则不给分)．【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形AEDC为花海景区，∠CDE=∠E=90°，AE=80米，DE=50米，长方形CFGH为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线(折线AM-MN-BN)，A为起点，终点B在ED上，BD=30米，MN为湖边观景台，长度固定不变(MN =40米)，且需要修建在湖边所在直线CF上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度．2156.(2023九年级·四川成都·专题练习)在△ABC 中，AC =BC ，点E 在是AB 边上一动点(不与A 、B 重合)，连接CE ，点P 是直线CE上一个动点．(1)如图1，∠ACB =120°，AB =16，E 是AB 中点，EM =2，N 是射线CB 上一个动点，若使得NP +MP 的值最小，应如何确定M 点和点N 的位置？请你在图2中画出点M 和点N 的位置，并简述画法；直接写出NP +MP 的最小值；(2)如图3，∠ACB =90°，连接BP ，∠BPC =75°且BC =BP ．求证：PC =P A ．57.(23-24七年级下·广东深圳·期末)【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用．【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A ，B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A ，B 到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作A 关于直线m 的对称点A ，连接A B 与直线m 交于点C ，点C 就是所求的位置．(1)请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：证明：如图3，在直线m 上另取任一点D ，连结AD ，A D ，BD ，∵直线m 是点A ，A 的对称轴，点C ，D 在m 上，22∴CA =，DA =，∴AC +CB =A C +CB =．在△A DB 中，∵A B <A D +DB ，∴A C +CB <A D +DB ．∴AC +CB <AD +DB ，即AC +CB 最小．(2)如图4，在等边△ABC 中，E 是AB 上的点，AD 是∠BAC 的平分线，P 是AD 上的点，若AD =5，则PE +PB 的最小值为．【拓展应用】(3)“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A 表示龙潭公园，点B 表示宝能广场，点C 表示万科里，点D 表示万科广场，点E 表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B 宝能广场和D 万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C 万科里、D 万科广场和E 龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A 与点C 关于BD 对称，请你用尺子在BD 上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G 表示)．58.(24-25八年级上·全国·假期作业)如图，B、C 两点关于y 轴对称，点A 的坐标是0,b ，点C 坐标为-a ,-a -b ．(1)直接写出点B 的坐标为；(2)用尺规作图，在x 轴上作出点P ，使得AP +PB 的值最小；(3)∠OAP =度．59.(21-22七年级上·陕西商洛·期末)点C 为∠AOB 内一点．23(1)在OA上求作点D,OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；(2)在(1)的条件下，若∠AOB=30°，OC=10，求△CDE周长的最小值．60.(23-24八年级上·湖南长沙·期末)在四边形ABCD中，∠BAD=BCD=90°，∠ABC=135°，AB=32，BC=1，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，求△BEF周长的最小值．61.(2023八年级上·全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，CD平分∠ACB交斜边AB于点D，动点P从点C出发，沿折线CA-AD向终点D运动．(1)点P在CA上运动的过程中，当CP时，△CPD与△CBD的面积相等；(直接写出答案)(2)点P在折线CA-AD上运动的过程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD度数；(3)若点E是斜边AB的中点，当动点P在CA上运动时，线段CD所在直线上存在另一动点M，使两线段MP、ME的长度之和，即MP+ME的值最小，则此时CP的长度(直接写出答案)．。
初中将军饮马问题题型总结(全)
初中将军饮马问题题型总结(全)题型一：将军饮马之单动点1.三角形中的将军饮马题目描述：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD、CE是三角形ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是()解析：连接PC，由于AB=AC，BD=CD，AD垂直于BC，所以PB=PC。
因此，PB+PE=PC+PE，PE+PC>CE，当P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，故选B．2.等边三角形中的将军饮马题目描述：在等边三角形ABC中，AB=2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PE+PC的最小值为()解析：连接BE交AD于点P'，AD、BE分别是等边三角形ABC边BC、AC的垂直平分线，P'B=P'C，P'E+P'C=P'E+P'B=BE。
根据两点之间线段最短，点P在点P'时，PE+PC有最小值，最小值即为BE的长。
因此，BE=BC/2-CE/2=3，所以P'E+P'C的最小值为3，故选C．3.等腰三角形中的将军饮马题目描述：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=4，面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()解析：连接AD、AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，AD垂直于BC，所以S△ABC=1/2×4×AD=16，解得AD=8.EF是线段AC的垂直平分线，所以点C关于直线EF的对称点为点A，MA=MC，AD=AM+MD，因此AD的长为CM+MD的最小值。
且AC6，BM3，因为BM AD，故BM AC，所以BM是AC的中线，故CM3。
又因为AC是菱形的对角线，所以AC平分DAB，即DAM30。
又因为AM MD，所以ADM75。
初中数学将军饮马问题----两线段和最小值专题讲解训练
将军饮马问题----两线段和最小值专题讲解训练两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点l的对称点例、如图，直线y=kx+b交x轴于点A（-1，0），交y轴于点B（0，4），过A、B两点的抛物线交x 轴于另一点C．（1）直线的解析式为_______；（2）在该抛物线的对称轴上有一点动P，连接PA、PB，若测得PA+PB的最小值为5，求此抛物线的解析式及点P的坐标；（3）在（2）条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．题型强化1、在平面直角坐标系中，已知212y x bx c =-++（b 、c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），点C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限． （1）如图，若抛物线经过A 、B 两点，求抛物线的解析式．（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上并沿AC 直线AC 交于x 轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿AC 方向任意滑动时，设抛物线与直线AC 的另一交点为Q ，取BC 的中点N ，试探究NP +BQ 是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．2、如图，已知抛物线233384y x x =--与x 轴的交点为A 、D （A 在D 的右侧），与y 轴的交点为C ． （1）直接写出A 、D 、C 三点的坐标；（2）若点M 在抛物线对称轴上，使得MD+MC 的值最小，并求出点M 的坐标；（3）设点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、C 、P 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，过点C（0，2）的抛物线与直线AD交于A（﹣1，0），D（3，2）两点．（1）求直线AD和抛物线的解析式；（2）点M为抛物线对称轴上一点，求MA+MC最小时点M的坐标；（3）在y轴上是否存在点P使△P AD是直角三形？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．4、如图，抛物线y=（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的对称轴及k的值；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得P A+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）设点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标．5、如图，已知抛物线的方程C 1：()()12y x x m m=-+-（m ＞0）与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线C 1过点M （2，2），求实数m 的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH +EH 最小，并求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．。
重难专题06 将军饮马之两点一线模型(原卷版)
2023-2024学年八年级数学上册重难点突破专题06 将军饮马之两点一线模型一、异侧两点求线段和最小值条件：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小。
结论：连接AB交直线l与点P，此时PA+PB的值最小，最小值为AB的长。
二、同侧两点求线段和最小值条件：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小结论：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，交直线l于点P，此时PA+PB的值最小，最小值为AB'的长。
三、同侧两点求线段差最大值条件：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使|PA-PB|值最大。
结论：连接AB并延长，与直线l交于点P，此时|PA-PB|的值最大，最大值为线段AB的长。
四、异侧两点求线段差最大值条件：两定点A 、B 位于直线l 异侧，在直线l 上找一点 P ，使得lPA -PB |值最大结论：作点 B 关于直线l 的对称点 B '，连接AB '并延长，与直线 l 交于点 P ，此时|PA -PBI 的值最大，最大值为线段AB '的长。
如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（ ）A ．4B ．C ．D ．5如图，在菱形ABCD 中，120ABC Ð=°，对角线AC BD 、交于点O ，8BD =，点E 为OD 的中点，点F 为AB 上一点，且3AF BF =，点P 为AC 上一动点，连接PE PF 、，则PF PE -的最大值为 ．一、单选题1．如图，直线a 是一条输气管道，M ，N 是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a 上修建一个供气站O ，向M ，N 两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为8，面积是24，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM V 的周长的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．103．如图，在锐角三角形ABC 中，4AB =，ABC V 的面积为10，BD 平分ABC Ð，若M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM MN +的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．4.5D ．64．如图，已知点()0A 1，，924B æöç÷è--ø，点P 在直线y x =上运动，则PA PB -的最大值为（ ）A ．174B ．92C ．4D ．1545．如图，等边ABC V 的边长为1，过点B 的直线l AB ^，且ABC V 与A BC ¢¢△关于直线l 对称，D 为线段BC ¢上的一个动点，则AD CD +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，3AC =，4BC =，5AB =，AD 是BAC Ð的平分线，若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC PQ +的最小值是（ ）A ．2.4B ．3C ．4.8D ．5二、填空题7．如图，在ABC V 中，=66ABC а，BD 平分ABC Ð，P 为线段BD 上一动点，Q 为边AB 上一动点，当AP PQ +的值最小时，APB Ð的度数是 ．8．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为2，面积是6，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 于点E 、F ，若点D 为底边BC 的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM V 的周长的最小值为 ．9．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，AC BC =，点C 在直线MN 上，30BCN Ð=°，点P 为MN 上一动点，连接AP ，BP ．当AP BP +的值最小时，CBP Ð的度数为 度．10．如图，等边ABC V 和等边A B C ¢¢△的边长都是4，点B C B ¢，，在同一条直线上，点P 在线段A C ¢上，则AP BP +的最小值为 ．三、解答题11．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点A ，C 的坐标分别为()4,5-，()1,3-．(1)请作出ABC V 关于y 轴对称的A B C ¢¢¢V ，并写出A 和C ¢的坐标；(2)在y 轴上找一点P ，使PA PC +最小，在图中标出点P ．12．如图所示，牧马人从A 地出发，到一条直的河流l 边的C 处饮马，然后到达B 地．牧马人到河边的什么地点饮马，可以使所走的路程最短？请用尺规作图，在图中找出路程最短的饮马点C ，并用轴对称的性质说明理由．13．如图，点(,0),(0,)A a B b ，且a ，b 满足2(1)|22|0a b -+-=．若P 为x 轴上异于原点O 和点A 的一个动点，连接PB ，以线段PB 为边构造等腰直角BPE V （P 为顶点），连接AE ．(1)如图1，直接写出点A 的坐标为___________，点B 的坐标为___________；(2)如图2，当点P 在点O ，A 之间时，连接BE ，AE ，证明BA AE ^；(3)如图3，点P 在x 轴上运动过程中，若AE 所在直线与y 轴交于点F ，请直接写出F 点的坐标为___________，当OE BE +的值最小时，请直接写出此时OE 与BE 之间的数量关系___________．。
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3、如图，过点 C（0，2）的抛物线与直线 AD 交于 A（﹣1，0），D（3，2）两点． （1）求直线 AD 和抛物线的解析式； （2）点 M 为抛物线对称轴上一点，求 MA+MC 最小时点 M 的坐标； （3）在 y 轴上是否存在点 P 使△PAD 是直角三形？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，说明理由．
特征
B'，连接 AB'，求 AB'的最小值．
转化 转化成求 AB'+B'N+NC 的最小值
例题精讲
例、如图，直线 y=kx+b 交 x 轴于点 A（-1，0），交 y 轴于点 B（0，4），过 A、B 两点的抛物线交
x 轴于另一点 C．
（ 1） 直 线 的 解 析 式 为 _______；
（2）在该抛物线的对称轴上有一点动 P，连接 PA、PB，若测得 PA+PB 的最小值为 5，求此抛物线
4、如图，抛物线 y=（x+1）2+k 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，﹣3）． （1）求抛物线的对称轴及 k 的值； （2）在抛物线的对称轴上存在一点 P，使得 PA+PC 的值最小，求此时点 P 的坐标； （3）设点 M 是抛物线上的一动点，且在第三象限．当 M 点运动到何处时，△AMB 的面积最大？求出△AMB 的最 大面积及此时点 M 的坐标．
动 点 ， 求 AP+BP 的 最 小
值
求|AP-BP|的最大值
值
作其中一个定点关于定直 先平移 AM 或 BN 使 M，N 重合，然后 作其中一个定点关于定直线
转化
线 l 的对称点
作其中一个定点关于定直线 l 的对称点 l 的对称点
图
值
在△ABC 中，M，N 两点分别是边 AB，BC 上的动点，将△BMN 沿 MN 翻折，B 点的对应点为
5、如图，已知抛物线的方程
C1：
y
1 m
x
2
x
m
（m＞0）与
x
轴相交于点
B、C，与
y
轴相交于点
E，
且点 B 在点 C 的左侧．
（1）若抛物线 C1 过点 M（2，2），求实数 m 的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；
（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使 BH+EH 最小，并求出点 H 的坐标；
坐标为（0，﹣1），点 C 的坐标为（4，3），直角顶点 B 在第四象限． （1）如图，若抛物线经过 A、B 两点，求抛物线的解析式．
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点 P 在直线 AC 上并沿 AC 方向滑动距离为 2 时，试证明：平移后的抛物线与
直线 AC 交于 x 轴上的同一点． （3）在（2）的情况下，若沿 AC 方向任意滑动时，设抛物线与直线 AC 的另一交点为 Q，取 BC 的中点 N，试探 究 NP+BQ 是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．
的解析式及点 P 的坐标；
（3）在（2）条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出
符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由．
题型强化
1、在平面直角坐标系中，已知 y 1 x2 bx c （b、c 为常数）的顶点为 P，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的 2
（4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由．
2、如图，已知抛物线 y 3 x2 3 x 3 与 x 轴的交点为 A、D（A 在 D 的右侧），与 y 轴的交点为 C． 84
（1）直接写出 A、D、C 三点的坐标； （2）若点 M 在抛物线对称轴上，使得 MD+MC 的值最小，并求出点 M 的坐标； （3）设点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 B，在抛物线上是否存在点 P，使得以 A、B、C、P 四点为顶点的四边形 为梯形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
知识链接
将军饮马问题----两线段和最小值专题讲解训练
几何中最值问题的解题思路
图形
轴
对 原理
两点之间线段最短
两点之间线段最短
三角形三边关系
称
A， B 为 定 点 ， l 为 定 直
最
A，B 为定点，l 为定直线，MN 为直线 A，B 为定点，l 为定直线， 线，P 为直线 l 上的一个
值 特征
l 上的一条动线段，求 AM+BN 的最小 P 为直线 l 上的一个动点，