杭州学军中学(西溪校区)2019学年第一学期期中考试高二数学答题卷

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浙江省杭州市学军中学2019年高二数学理模拟试题含解析

浙江省杭州市学军中学2019年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知复数，若，则实数x的值为( )A. －6B. 6C.D.参考答案：D【分析】根据题目复数，且，利用复数的除法运算法则，将复数z化简成的形式，再令虚部为零，解出的值，即可求解出答案。

【详解】，∵，∴，则．故答案选D。

【点睛】本题主要考查了利用复数的除法运算法则化简以及根据复数的概念求参数。

2. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是（）A．B．C． 1 D．参考答案：A3. 直线l的极坐标方程为，圆C的极坐标方程为．则直线l和圆C的位置关系为A．相交但不过圆心 B．相交且过圆心 C．相切 D．相离参考答案：A4. 抛物线的焦点坐标为（A）（B）（C）（D）参考答案：D略5. 已知，则（）A. B. 3 C. －3 D.参考答案：D【分析】将已知等式弦化切，求得，分母用代替，弦化切后，将代入即可得结果.【详解】因为，所以，，故选D.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．6. 不等式表示的平面区域（用阴影表示）是参考答案：B7. 若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3参考答案：B【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．8. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．个B．个C．个D．个参考答案：A略9. 椭圆与的（）A．长轴相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.顶点相同参考答案：B10. 已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是（）A．B．C．D．2参考答案：B【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】求出椭圆的方程为+y2=1，联立得出A（0，1），B（，），即可得出两点距离．【解答】解：∵e=，2c=2，c=1∴a=，c=1，则b==1，∴椭圆的方程为+y2=1，联立化简得：3x﹣4x=0，x=0，或x=，代入直线得出y=1，或y=则A（0，1），B（，）∴|AB|=，故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知点，是抛物线上两个不同的动点，且直线的斜率互为相反数，则直线的斜率为．参考答案：－２略12. 已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于、两点，且，则圆的方程为．参考答案：13. 已知曲线的极坐标方程为．以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线的参数方程为____________．参考答案：（为参数）14. 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为，焦点到渐进线的距离为，则该双曲线的离心率为__________．参考答案：顶点到渐进线的距离为，焦点到渐近线的距离为，∴，即双曲线的离心率为．15. 下列程序执行后输出的结果是S＝________.i＝1S＝0WHILE i<＝50S＝S＋ii＝i＋1WENDPRINT SEND参考答案：127516. 在区间上随机取一个数，则事件发生的概率为。

2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二(上)期中数学试卷试题及答案

2019-2020学年学军中学西溪校区高二（上）期中数学试卷一、选择题1．圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（）A．B．πS C．2πS D．4πS2．若直线l与平面α相交，则（）A．α内所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内存在无数条直线与l垂直3．已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α⊥β，m∥n，m⊥α，则n∥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β4．如图，三棱柱ABC﹣A′B′C′中，侧面B′B′CC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，则三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为（）A．12 B．6 C．4 D．无法确定5．四面体ABCD中，AB＝CD＝2，其余棱长均为4，则该四面体外接球半径为（）A．B．C．3D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A．B．C．5 D．27．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，BC的中点，若M在以C1N为直径的圆上，则异面直线A1D与D1M所成的角为（）A．45°B．60°C．900D．随长方体的形状变化而变化8．一封闭的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1，P，Q，R分别为AD，BB1，A1B1的中点，如图所示．由于某种原因，在P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状是（）边形A．3 B．4 C．5 D．69．已知a＝sin1.5+cos1.5，b＝sin1.5•cos1.5，c＝（cos1.5）sin1.5，d＝（sin1.5）cos1.5，则a，b，c，d的大小关系为（）A．b＜c＜d＜a B．b＜d＜c＜a C．d＜b＜c＜a D．d＜c＜b＜a 10．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|x2﹣3ax+4≤0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）A．[）B．（）C．[）D．（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成的角大小是，线段EF的长度为．12．二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为45°，则AB 与平面β所成的角的余弦值是．13．正三棱锥的高为1，底面边长为2，则它体积为；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切，则球的半径为．14．若f（x）＝﹣3x为奇函数，则a＝，此时，不等式f（1﹣x2）+f（3x+9）＜0的解集为．15．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是对角线AC1上一点，N是底面ABCD上一点．若AB＝2，BC＝AA1＝，则MB1+MN的最小值为．16．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E．（1）若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是；（2）|A1P|的最小值为．17．若不等式[2x（t﹣1）﹣1]•log a≥0对任意的正整数x恒成立（其中a∈R，且a ＞1），则t的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若cos C＝，且＝，求△ABC的面积；（2）设向量＝（2sin，），＝（cos B，cos），且∥，b＝2，求a+c的取值范围．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，且AD＝2BC，O，E分别为AD，PD 中点．（1）设平面PAB∩平面PCD＝l，请作图确定l的位置并说明你的理由；（2）若Q为直线CE上任意一点，证明：OQ∥平面PAB．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n﹣na n＝3n（n∈N*），且a2＝5．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n成立的最小正整数n的值．21．对于函数f（x），若存在实数对（m，n），使得等式f（m+x）•f（m﹣x）＝n对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（m，n）型函数”．（1）判断函数f（x）＝是否为“（m，n）型函数”，并说明理由；（2）①若函数g（x）是“（1，4）型函数”，已知g（0）＝1，求g（2）；②若函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣a（x﹣1）+1（a＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4成立，试求a的取值范围．22．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A═120°，M为线段BC的中点，D为线段BC 上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD，记二面角C′﹣AD﹣B的平面角为α．（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD；（2）比较∠C′DB与α的大小，并证明你的结论；（3）求cosα的值．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（）A．B．πS C．2πS D．4πS解：∵圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，∴圆柱的母线长为，底面圆的直径为，∴圆柱的侧面积S＝π××＝πS．故选：B．2．若直线l与平面α相交，则（）A．α内所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内存在无数条直线与l垂直解：对于A，α内过直线l与平面α交点的直线与直线l是共面直线，∴A错误；对于B，α内过直线l与平面α交点的直线有无数条，且这些直线与直线l都是共面直线，∴B错误；对于C，α内不存在与直线l平行的直线，∴C错误；对于D，如图所示，直线PA与平面α交于点A，PO⊥α，则OA是PA在α内的射影，在α内作直线l⊥OA，则l⊥PA，这样的直线l有无数条，∴D正确．故选：D．3．已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α⊥β，m∥n，m⊥α，则n∥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β解：A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或为异面直线，因此不正确；B．若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β，正确；C．若α⊥β，m∥n，m⊥α，则n∥β或n⊂β，因此不正确；D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊂β，或n∥β，或n与β相交，因此不正确．故选：B．4．如图，三棱柱ABC﹣A′B′C′中，侧面B′B′CC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，则三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为（）A．12 B．6 C．4 D．无法确定解：∵侧面B′BCC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，∴V四棱锥A′﹣BCC′B′＝．∵．∵V四棱锥A′﹣BCC′B′+V三棱锥A′﹣ABC＝V三棱柱ABC﹣A′B′C′．∴．∴V三棱柱ABC﹣A′B′C′＝6．故选：B．5．四面体ABCD中，AB＝CD＝2，其余棱长均为4，则该四面体外接球半径为（）A．B．C．3D．解：四面体ABCD放到长方体中，AB＝CD＝2，其余AC＝BC＝AD＝DB＝4设长方体的边长分别为a，b，c．则，解得a2+b2+c2＝18，四面体外接球半径：2R＝3．R＝．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A．B．C．5 D．2解：由题意可知几何体是正方体的一部分，是四棱锥P﹣ABCD，正方体的棱长为3，P是所在棱的3等分点，PB＝＝，PA＝＝，PC＝＝，所以最长棱长为PB，．故选：B．7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，BC的中点，若M在以C1N为直径的圆上，则异面直线A1D与D1M所成的角为（）A．45°B．60°C．900D．随长方体的形状变化而变化解：如图所示：∵M、N分别是棱BB1、BC的中点，∴MN∥CB1，∵M在以C1N为直径的圆上，∴∠C1MN＝90°，∴C1M⊥MN，∴C1M⊥CB1，由长方体的几何特征，我们可得C1D1⊥B1C，∴B1C⊥平面C1D1M，∵A1D∥B1C，∴A1D⊥平面C1D1M，∴A1D⊥D1M，即异面直线A1D与D1M所成的角为90°，故选：C．8．一封闭的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1，P，Q，R分别为AD，BB1，A1B1的中点，如图所示．由于某种原因，在P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状是（）边形A．3 B．4 C．5 D．6解：如图，连接QR并延长，分别交AA1，AB的延长线与E，F，连接PE交A1D1于G，连接PF交BC于H，连接PH，QH，GR，则五边形PGRQH即为此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状，故选：C．9．已知a＝sin1.5+cos1.5，b＝sin1.5•cos1.5，c＝（cos1.5）sin1.5，d＝（sin1.5）cos1.5，则a，b，c，d的大小关系为（）A．b＜c＜d＜a B．b＜d＜c＜a C．d＜b＜c＜a D．d＜c＜b＜a解：因为＜1.5＜，所以＜sin1.5＜1；0＜cos1.5＜，∴a＞，0＜b＜；∴b＜a；找中间量sin1.5sin1.5，由y＝sin1.5x是R上的减函数，sin1.5＞cos1.5，可得sin1.5sin1.5＜sin1.5cos1.5；由y＝x sin1.5是（0，+∞）上的增函数，sin1.5＞cos1.5，可得cos1.5sin1.5＜sin1.5sin1.5；故c＜d，只有A答案合适．故选：A．10．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|x2﹣3ax+4≤0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）A．[）B．（）C．[）D．（）解：A＝（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），令f（x）＝x2﹣3ax+4，由题意，△＝9a2﹣16＞0，且a＞0，∴解得，，又，∴要使A∩B中恰好有两个整数解，则只能是4和5，∴，解得，∴a的取值范围是．故选：A．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成的角大小是，线段EF的长度为a．解：棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，取BD中点G，连结BE，CE，EG，FG，则EG∥AB，且EG＝FG＝＝，∴∠EFG是异面直线EF与AB所成的角（或所成角的补角），BE＝CE＝＝，EF＝＝，cos∠EFG＝＝＝，∴∠EFG＝，∴异面直线EF与AB所成的角大小是，线段EF的长度为．故答案为：，．12．二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为45°，则AB与平面β所成的角的余弦值是．解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D．连结AD，根据三垂线定理可得AD⊥l，因此，∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，∠ADC＝60°又∵AB与l所成角为45°，∴∠ABD＝45°连结BC，可得BC为AB在平面β内的射影，∴∠ABC为AB与平面β所成的角．设AD＝2x，则Rt△ACD中，AC＝AD sin60°＝x，Rt△ABD中，AB＝＝2，BC＝＝，∴Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝＝．故答案为：．13．正三棱锥的高为1，底面边长为2，则它体积为2；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切，则球的半径为﹣2 ．解：底面等边三角形的面积S＝＝，所以V＝，设内切球的球心为O，半径为r，则在O与底面的中心M，BM＝，OE＝r，OA＝1﹣r，侧面斜边的高AB＝由△AOE ∽△ABM，得相似得，得，，所以．故答案为：﹣2．14．若f（x）＝﹣3x为奇函数，则a＝ 1 ，此时，不等式f（1﹣x2）+f（3x+9）＜0的解集为（﹣2，5）．解：∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0，，∴a＝1．∴∵，∴f（x）为减函数，且为奇函数∵f（1﹣x2）+f（3x+9）＜0，∴f（1﹣x2）＜﹣f（3x+9）＝f（﹣3x﹣9），∴1﹣x2＞﹣3x﹣9，∴﹣2＜x＜5．故不等式的解集为（﹣2，5）．故答案为：1，（﹣2，5）．15．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是对角线AC1上一点，N是底面ABCD上一点．若AB＝2，BC＝AA1＝，则MB1+MN的最小值为．解：将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置，使得平面APC1和平面ACC1在同一平面内，过点P作PN⊥平面ABCD，交AC1于M，垂足为N，则PN为MB1+MN的最小值．∵AB＝2，BC＝AA1＝，∴AC1＝＝2，AP＝AB1＝＝，∵sin∠C1AC＝＝＝，∴∠C1AC＝30°，∴∠PAN＝2∠C1AC＝60°，∴PN＝AP•sin∠PAN＝＝．∴MB1+MN的最小值为．故答案为：．16．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E．（1）若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是平行；（2）|A1P|的最小值为．解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（1，0，1），E（0，1，），B（1，1，0），∵P，Q均在平面A1B1C1D1内，∴设P（a，b，1），Q（m，n，1），则＝（﹣1，1，﹣），＝（a﹣1，b﹣1，1），＝（m﹣1，n﹣1，1），∵BP⊥A1E，BQ⊥A1E．∴，解得，∴PQ∥BD，即PQ与BD的位置关系是平行．故答案为：平行．（2）当|A1P|取最小值时，P在平面A1B1C1D1内，设P（a，b，1），由（1）得b＝a+，∴|A1P|＝＝＝＝，∴当a＝，即P（，，1）时，|A1P|的最小值为．故答案为：．17．若不等式[2x（t﹣1）﹣1]•log a≥0对任意的正整数x恒成立（其中a∈R，且a＞1），则t的取值范围是．解：原不等式等价于：或即①或②，注意到x＝1时，②成立，此时≤t≤；当x∈Z，x≥2时，①成立，在①中，1+≤t≤x﹣，又g（x）＝x﹣﹣为单调递增函数，所以，要使对x∈Z，x≥2成立，只需x＝2时成立，又x＝2时，≤t≤，所以要使不等式对任意的正整数x恒成立，则t的取值范围是：≤t≤，故答案为：≤t≤．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若cos C＝，且＝，求△ABC的面积；（2）设向量＝（2sin，），＝（cos B，cos），且∥，b＝2，求a+c的取值范围．【解答】解（1）由•＝，得ab cos C＝．又因为cos C＝，所以ab＝＝．又C为△ABC的内角，所以sin C＝．所以△ABC的面积S＝ab sin C＝3．（2）因为∥，所以2sin cos＝cos B，即sin B＝cos B．因为cos B≠0，所以tan B＝．因为B为三角形的内角，0＜B＜π，所以B＝．由正弦定理＝，所以a＝，c＝，所以a+c＝，又A+C＝，所以a+c＝＝4（cos C+）＝4sin（C+），又0，所以＜C+，所以∈（2，4]．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，且AD＝2BC，O，E分别为AD，PD 中点．（1）设平面PAB∩平面PCD＝l，请作图确定l的位置并说明你的理由；（2）若Q为直线CE上任意一点，证明：OQ∥平面PAB．【解答】（1）解：分别延长AB和DC交于点R，连接PR，则直线PR就是l的位置；R∈AB⊂平面PAB，R∈CD⊂平面PCD，所以P、R是平面PAB和平面PCD的两个公共点，由公理1可知，过P、R的直线就是两个平面的交线l．（2）证明：连接OE、OC，因为BC∥AD，且BC＝AD，又AO＝AD，所以BC∥AO，且BC＝AO，所以四边形ABCO为平行四边形，所以OC∥AB，则OC∥平面PAB；又OE为△PAD的中位线，则OE∥AP，所以OE∥平面PAB，又OE⊂平面OEC，OC⊂平面OEC，且OE∩OC＝O，所以平面PAB∥平面OEC，又OQ⊂平面OEC，所以OQ∥平面PAB．20．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n﹣na n＝3n（n∈N*），且a2＝5．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n成立的最小正整数n的值．解：（1）当n≥2时，2S n﹣1﹣（n﹣1）a n﹣1＝3（n﹣1），又2S n﹣na n＝3n，相减可得（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n＝3，当n≥3时，（n﹣2）a n﹣2﹣（n﹣3）a n﹣1＝3，所以（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n＝（n﹣2）a n﹣2﹣（n﹣3）a n﹣1，可得2a n﹣1＝a n﹣2+a n，所以{a n}为等差数列．又2S1﹣a1＝3，且a1＝S1，得a1＝3，又a2＝5，所以{a n}为公差为2的等差数列，则a n＝2n+1；（2）b n＝＝＝＝＝（﹣），T n＝（﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣），要使T n成立，即（﹣）＞，解得n＞，所以最小正整数n的值为8．21．对于函数f（x），若存在实数对（m，n），使得等式f（m+x）•f（m﹣x）＝n对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（m，n）型函数”．（1）判断函数f（x）＝是否为“（m，n）型函数”，并说明理由；（2）①若函数g（x）是“（1，4）型函数”，已知g（0）＝1，求g（2）；②若函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣a（x﹣1）+1（a＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4成立，试求a的取值范围．解：（1），则x2＝m2﹣n2不可能恒成立，所以f（x）＝x不是““（m，n）型函数”；（2）①由题意，g（x+1）g（1﹣x）＝4，取x＝1，则g（2）g（0）＝4，又g（0）＝1，所以g（2）＝4．②方法一：∵（x+1）g（1﹣x）＝4，所以g（x）g（2﹣x）＝4．当x∈[0，1]时，2﹣x ∈[1，2]时，g（2﹣x）＝＝＝．（a）当0＜a＜1时，0＜，则g（x）在[0，1]内先减后增，且g（，即1+a﹣a2≤g（x）≤2，则当x∈[1，2]时，2≤g（x）．所以当x∈[0，2]时，1+a﹣，由题意，，解得0≤a≤4，所以0＜a＜1．（b）当1≤a＜2时，，则g（x）在][0，1]内先减后增，且g（）≤g（x）≤g（0），即1+a﹣≤g（x）≤1+a，则当x∈[1，2]时，．要满足题意，则应满足，且解得0≤a≤33，所以1≤a＜2．（c）当a≥2时，≥1，则g（x）在[0，1]内递减，且g（1）≤g（x）≤g（0），即2≤g（x）≤1+a，则当x∈[1，2]时，．此时，g（x）min＝，g（x）min＝1+a．要满足条件，则应，解得a≤3，所以2≤a≤3．综上所述，0＜a≤3．方法二：当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4成立，所以当x∈[1，2]时，1≤g（x）≤4；当x∈[0，1]时，2﹣x∈[1，2]时，所以g（2﹣x）∈[1，4]，而g（x）g（2﹣x）＝4，所以1，即1≤g（x）≤4，所以问题转化为当x∈[0，1]时，1≤g（x）≤4即可．当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣a（x﹣1）+1（a＞0），．（1）当0＜＜1，即0＜a＜2时，，解得0≤a≤3，所以0＜a＜2；（2）当，即a≥2时，只要解得a≤3，所以2＜a≤3；综上所述，0＜a≤3．22．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A═120°，M为线段BC的中点，D为线段BC 上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD，记二面角C′﹣AD﹣B的平面角为α．（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD；（2）比较∠C′DB与α的大小，并证明你的结论；（3）求cosα的值．解：（1）证明：∵AM⊥BD，BD⊥AC′，AM∩AC′＝A，∴BD⊥平面AMC′，∵BD⊂平面ABD，∴平面△AMC′⊥平面ABD．（2）解：如图，在△C′AM所在平面内，过点C′作C′P⊥AM，垂足为P，则C′P⊥平面ABD，过P作PQ⊥AD，连接C′Q，则C′Q⊥AQ，∠C′QP＝α．又QC′是由QC翻折得到，∴∠C′QP＝α＝2∠C′CQ，且∠C′CQ就是直线C′C与平面ABC所成的角．同理，又C′D是由DC翻折得到，∴∠C′DB＝2∠C′CD．由线面角的最小性可知，∠C′CD＞∠C′CQ，∴∠C′DB＞α．（3）解：如图，在△C′AM中，过点C′作AM的垂线，垂足为P，过P作AD的垂线，垂足为Q．平面AMC′⊥平面BCD，交线为AM，C′P⊥平面ABD，又PQ⊥AD，∴CQ⊥AD．∴∠C′QP就是二面角C′﹣AD﹣B的平面角．设AB＝AC＝BD＝4，则BM＝MC＝2，MD＝4﹣2，CD＝4﹣4＝C′D，在直角△C′DM中，C′M2＝C′D2﹣DM2＝36﹣16．。

【20套试卷合集】杭州学军中学2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角的大小是（） A ．B ．C ．D ．2. 圆的圆心坐标和半径分别是（）A ．（0，2）2B ．（2，0）4C ．（－2，0）2D ．（2，0）23．点（2，3，4）关于x 轴的对称点的坐标为（）A.(-2，3，4)B.(2，-3，-4)C.(-2，-3，4)D.(-2，-3，-4)4. 有下列四个命题：①“若0=+y x ，则y x ,互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则022=++q x x 有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题；其中真命题为（） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④5.圆x 2+y 2+2x=0和x 2+y 2﹣4y=0的公共弦所在直线方程为（）A ．x ﹣2y=0B ．x+2y=0C ．2x ﹣y=0D ．2x+y=06.圆与圆的位置关系为（） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离7.设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则是的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是（）A ．相切B ．相交且直线过圆心C ．相交且直线不过圆心D ．相离9.圆上的点到直线的距离最大值是( )A ．2B ．1+C ．D ．1+ 10.已知直线，圆，则直线和圆在同一坐标系中的图形可能是（）二填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题纸的相应位置.）11. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是，体积是12. 在空间直角坐标系中，若点A （1，2，﹣1），B （﹣3，﹣1，4）．则|AB|=13.已知命题，使成立，则：．14.经过点（3，-2），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是15．直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点16.如图，在正方体111ABCD A B C D -中，①异面直线1A D 与1D C 所成的角为60度；②直线1A D 与平面11AB C D 所成的角为30度；③1D C ⊥平面11AB C D ④平面1ADB 与平面11BB C C 所成角为60度⑤平面11//A D 平面1ADB 以上命题正确的是答题纸二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题纸的相应位置.）11、，；12、；13、14、；15、；16、三解答题：（本题共4小题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.）17.（7分）求经过点M(2,-2),且与圆2260x y x+-=与224x y+=交点的圆的方程18.（9分）已知直线：，：，求当为何值时，与：（1）平行；（2）相交；（3）垂直19. （10分）已知圆及直线. 当直线被圆截得的弦长为时，求（1）的值；（2）求过点并与圆相切的切线方程.20.（10分）过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA。

杭州学军中学2018-2019学年第一学期高二期中考试数学试题(解析版)

1.直线10x y 的倾斜角是（）A.34B.23C.4 D.4【答案】A【解析】∵直线方程为10x y ，∴化成斜截式得1y x ，直线的斜率为1k ，设直线的倾斜角为，则tan 1，∵(0,)，∴34，即直线10xy 的倾斜角是34.2.如果直线210ax y 与直线20x y 互相垂直，则实数a （）A.1B.2C.23D.13【答案】B 【解析】直线210ax y 的斜率12a k ，直线20x y 的斜率为21k ，因为两直线垂直，所以121k k ，即()(1)12a ，解得2a.3.设x ，y 满足约束条件233023303x y x y y，则2zx y 的最小值是（）A.1B.9C.15D.9【答案】C【解析】由题意约束条件作出可行域如图所示，当目标函数2z x y 过(6,3)点时取得最小值，最小值为2(6)315z .4.圆222210xyx y 上的点到直线2x y 的距离的最大值是（）A.222B.12 C.122 D.2【解析】圆222210xyx y 即22(1)(1)1x y ，表示以点(1,1)C 为圆心，以1为半径的圆，由于圆心到直线2xy的距离2211221(1)d，故圆上的点到直线的距离的最大值是12r d .5.已知(4,0)A ，(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A.25 B.33 C.6 D.210【答案】D 【解析】如图：作点P 关于AB 的对称点1P ，作点1P 关于OB 的对称点2P ，设两次反射的入射点分别为C ，D ，则1P ，C ，D 三点共线，2P ，D ，P 三点共线，则光线所经过的路程即为2P P .40:4404AB l yxx，:0OB l x，设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则1PP AB ，1PP 中点在AB 上，所以11110(1)1202422y x y x ，解得1124y x .同理，关于y 轴对称，所以24x ，22y ，所以222(42)(20)210P P.6.在长方体1111ABCDA BC D 中，2ABBC，11AA ，则1AC 与平面1111A B C D 所成角的正弦值为（）A.223B.23C.24D.13【答案】D 【解析】连接1AC ，在长方体1111ABCD A BC D 中，1A A平面1111A B C D ，则11AC A 为1AC 与平面1111A B C D 所成角.在11AC A 中，11122111sin3122AA AC A AC .7.如图，长方体1111ABCDA BC D 中，12AA AB ，1AD，E 、F 、G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成角的余弦值是（）A.155B.22C.105D.【答案】D【解析】如图，连接EG ，1B F ，CF ，因为E ，G 均为中点，所以11//A B EG ，11A B EG ，故四边形11A EGB 为平行四边形，11//A E B G ，所以求1A E 与GF 的夹角即为求1B G 与GF的夹角，即1B GF .因为112BFAB，根据勾股定理，2CF ，因为1112CGCC ，所以根据勾股定理，223FGCFCG，2211112B G B C C G ，22115B FBFBB ，因为22211B FB GFG 满足勾股定理，所以1B G FG ，所以1cos 0B GF.8.已知集合{(,)|(1)(1)}A x y x x y y r ，集合222{(,)|}B x y x yr ，若AB ，则实数r 可以取的一个值是（）A.21 B.3 C.2 D.212【答案】A【解析】(1)(1)x x y y r 可化为22111()()222xyr，由题意，集合A 表示的圆面所对应的圆内含或内切于集合B 表示的圆面所对应的圆，则22111(0)(0)222rr，解得12r .9.已知圆22:(2)(3)4M x y ，过x 轴上的点0(,0)P x 存在圆M 的割线PAB ，使得PAAB ，则0x 的取值范围是（）A.[33,33] B.[32,32]C.[233,233] D.[232,232]【答案】C 【解析】max 4AB ，故max6PM，即220(2)(03)6x ，解得233233x .10.在棱长为1的正方体1111ABCDA BC D 中，E 为线段1BC 的中点，F 是棱11CD 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PEPF 的最小值为（）A.526B.122C.62D.322【答案】A【解析】注意到虽然点P 、F 都是动点，但它们都在面11BC D 上，将该平面提取出来，如图，取11Rt BC D ，作点E 关于直线1BD 的对称点E ，作11E GC D ，点G 在直线11C D 上.则PEPFPEPFE G ，连接EE （与1BD 垂直），作E HBC ，点H 在直线1BC 上，则2cos 2sin sin 3EHEE E EH EB B B，12252236E GC EEH.二、填空题11.直线310x y 关于直线0x y 对称的直线方程是 .【答案】310xy 【解析】将xy ，yx 代入直线310xy得310x y .12.如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是83，则a .。

杭州学军中学2018-2019学年第一学期高二期中考试数学试题(解析版)

1.直线10x y ++=的倾斜角是（） A.34π B.23π C.4π D.4π- 【答案】A【解析】∵直线方程为10x y ++=，∴化成斜截式得1y x =--，直线的斜率为1k =-，设直线的倾斜角为α，则tan 1α=-，∵(0,)απ∈，∴34πα=，即直线10x y ++=的倾斜角是34πα=. 2.如果直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，则实数a =（） A.1 B.2- C.23- D.13- 【答案】B【解析】直线210ax y ++=的斜率12ak =-，直线20x y +-=的斜率为21k =-，因为两直线垂直，所以121k k ⋅=-，即()(1)12a -⋅-=-，解得2a =-.3.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A.1B.9C.15-D.9- 【答案】C【解析】由题意约束条件作出可行域如图所示，当目标函数2z x y =+过(6,3)--点时取得最小值，最小值为2(6)315z =⨯--=-.4.圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离的最大值是（）A.22+11+2【解析】圆222210x y x y +--+=即22(1)(1)1x y -+-=，表示以点(1,1)C 为圆心，以1为半径的圆，由于圆心到直线2x y -=的距离d ==，故圆上的点到直线的距离的最大值是1r d +=5.已知(4,0)A ，(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A.6D. 【答案】D 【解析】如图：作点P 关于AB 的对称点1P ，作点1P 关于OB 的对称点2P ，设两次反射的入射点分别为C ，D ，则1P ，C ，D 三点共线，2P ，D ，P 三点共线，则光线所经过的路程即为2P P .40:4404AB l y x x -=+=-+-，:0OB l x =，设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则1PP AB ⊥，1PP 中点在AB 上，所以11110(1)1202422y x y x -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪=-+⎪⎩，解得1124y x =⎧⎨=⎩.同理，关于y 轴对称，所以24x =-，22y =，所以2P P ==6.在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，11AA =，则1AC 与平面1111A B C D所成角的正弦值为（）A.3 B.23C.4D.13【答案】D【解析】连接1AC ，在长方体1111ABCD A BC D -中，1A A ⊥平面1111A B C D ，则11AC A ∠为1AC 与平面1111A B C D 所成角.在11AC A ∆中，11111sin 3AA AC A AC ∠===.7.如图，长方体1111ABCD A BC D -中，12AA AB ==，1AD =，E 、F 、G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成角的余弦值是（）A.5B.2C.5D.0 【答案】D【解析】如图，连接EG ，1B F ，CF ，因为E ，G 均为中点，所以11//A B EG ，11A B EG =，故四边形11A EGB 为平行四边形，11//A E B G ，所以求1A E 与GF 的夹角即为求1B G 与GF 的夹角，即1B GF ∠.因为112BF AB ==，根据勾股定理，CF =1112CG CC ==，所以根据勾股定理，FG ==，1B G ==，1B F ==22211B F B G FG =+满足勾股定理，所以1B G FG ⊥，所以1cos 0B GF ∠=.8.已知集合{(,)|(1)(1)}A x y x x y y r =-+-≤，集合222{(,)|}B x y x y r =+≤，若A B ⊆，则实数r 可以取的一个值是（）12 D.12+ 【答案】A【解析】(1)(1)x x y y r -+-=可化为22111()()222x y r -+-=+，由题意，集合A 表示的圆面所对应的圆内含或内切于集合B 表示的圆面所对应的圆，则r ≤1r ≥9.已知圆22:(2)(3)4M x y -+-=，过x 轴上的点0(,0)P x 存在圆M 的割线PAB ，使得PA AB =，则0x 的取值范围是（）A.[-B.[-C.[2-+D.[2-+ 【答案】C【解析】max 4AB =，故max6PM=6≤，解得022x -≤+.10.在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值为（）A.6 B.12+2 D.2【答案】A【解析】注意到虽然点P 、F 都是动点，但它们都在面11BC D 上，将该平面提取出来，如图，取11Rt BC D ∆，作点E 关于直线1BD 的对称点E '，作11E G C D '⊥，点G 在直线11C D 上.则PE PF PE PF E G ''+=+≥，连接EE '（与1BD 垂直），作E H BC '⊥，点H 在直线1BC 上，则cos 2sin sin 3EH EE E EH EB B B ''=⋅∠=⋅⋅∠⋅∠=，1E G C E EH '=+=+=.二、填空题11.直线310x y -+=关于直线0x y +=对称的直线方程是 . 【答案】310x y -+= 【解析】将x y =-，y x =-代入直线310x y -==得310x y -+=.12.如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是a = .【答案】【解析】由题意知三棱柱的底面是一个正三角形，一条边上的高是a ，得到三棱柱的底面边，∴底面面积是212a ⨯=，三棱柱的高是2，∴三棱柱的体积是223a ⨯=a =13.已知(,)P x y 满足0102x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩，则点(,)Q x y y +构成的图形的面积为 .【答案】2【解析】设点(,)Q u v ，则x y u +=，y v =，则点(,)Q u v 满足0102u v u ≤+≤⎧⎨≤≤⎩，在uOv 平面内画出点(,)Q u v 所构成的平面区域如图，可知它是一个平行四边形，边长为1，高为2，故其面积为212⨯=.14.有且只有一对实数(,)x y 同时满足：20x y m +-=与223(0)x y y +=≥，则实数m 的取值范围是 .【答案】[{15}- 【解析】根据题意画出图形,如图所示:当直线2y x m =-+与半圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,即35=,解得15m =或15m =- (舍去), 当直线过(3,0)-时,把此点代入直线方程求得23m =-,当直线过时,把此点代入直线方程求得m =观察图象可知满足题意的实数m 的取值范围是[{15}-.15.异面直线a ，b 成60︒角，直线a c ⊥，则直线b ，c 所成角的范围是 . 【答案】[,]62ππ 【解析】由题意可作出大致图象，如下：直线a c ⊥，则把c 放在α上，只需要a α⊥即可，a ，b 成60︒角，那么可将b 平移到b '与a 相交，相当于是圆锥的母线，所以b 与c 所成角即为b '与面α上任意一条直线所成角，所以最小值为30︒，最大值为90︒，即取值范围是[,]62ππ. 16.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C （C 为圆心）与直线l 交于另一点D .若0AB CD ⋅=，则点A 的坐标为 . 【答案】(3,6)A【解析】根据题干，可作出大致图象，如下：∵AB 为直径，且0AB CD ⋅=，则AB CD ⊥，且ABD ∆为等腰直角三角形，又(5,0)B ，可求出BD ==，OD ==，从而AO OD AD =+==(,2)(0)A x x x >，则222(2)x x +=，解得3x =，所以(3,6)A .17.在平面直角坐标系xOy 中，点(3,0)A ，直线:24l y x =+，设圆C 的半径为1，圆心C 在直线l 上，若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是 .【答案】98419[2][,]555+---【解析】设(,)M x y ，由2MA MO =22(1)4x y ++=，故点M 的轨迹是圆心为(1,0)-，半径为2的圆；设圆C 的圆心(,24)C a a +，则两圆外切时22(1)(24)9a a +++=，即251880a a ++=，解得95a -=；两圆内切时22(1)(24)1a a +++=，即2518160a a ++=，解得2a =-或85-，所以得a 的取值范围是98419[2][,]555+---. 三、解答题18.已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:120l mx y m -+-= （1）求证：不论m 取何实数，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；（2）设直线l 与圆C 交于点A ，B，当AB =时，求直线l 的方程. 【答案】（1）略；（2）10x y --=，30x y +-=【解析】直线(2)10m x y --+=经过定点(2,1)，222(11)5+-<，∴定点在圆内，故无论m 取实数，直线l 与圆C 总有两个不同的交点. （1）由圆心(0,1)到直线120mx y m -+-=的距离d ==，而圆的弦长AB ===，解得1m =±，故所求的直线方程为10x y --=和30x y +-=.19.已知菱形ABCD 的边长为2，120ABC ∠=︒，四边形BDEF 是矩形，且BF ⊥平面ABCD，BF =（1）求证：//CF 平面ADE ；（2）设EF 中点为G ，求证AG ⊥平面CEF .【答案】（1）略；（2）略【解析】（1）证明：//BC AD ，//BF DE ⇒平面//BCF 平面//ADE CF ⇒平面ADE . （2）证明：因为EF 中点为G ，则由AF AE AG EF =⇒⊥，且计算可得：AG CG ==又AC =222AG CG AC AG CG +=⇒⊥，又EF CG G =，所以AG ⊥平面CEF.20.已知：以点2(,)(,0)C t t R t t∈≠为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．（1）求证：OAB ∆的面积为定值；（2）设直线24y x =-+与圆C 交于点M ，N ，若OM ON =，求圆C 的方程. 【答案】（1）略；（2）22(2)(1)5x y -+-= 【解析】（1）∵圆C 过原点O ，∴2224OC t t =+. 设圆C 的方程是222224()()x t y t t t -+-=+，0x =，得10y =，24y t=；令0y =，得10x =，22x t = ∴1142422OAB S OA OB t t∆=⨯=⨯⨯=，即：OAB ∆的面积为定值. （2）∵OM ON =，CM CN =，∴OC 垂直平分线段MN . ∵2MN k =-，∴12OC k =，∴直线OC 的方程是12y x =.∴212t t =，解得2t =或2t =-，当2t =时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC =此时C 到直线24y x =-+的距离d =<C 与直线24y x =-+相交于两点当2t =-时，圆心C 的坐标为(2,1)--，OC = 此时C 到直线24y x =-+的距离d =>圆C 与直线24y x =-+不相交，∴2t =-不符合题意舍去.∴圆C 的方程为22(2)(1)5x y -+-=.21.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11AC ，1BB 的中点，且AB BC ==，AC =1AA =（1）证明：AC FG ⊥；（2）证明：直线FG 与平面BCD 相交；（3）求直线BD 与平面1BEC 所成角的正弦值.【答案】（1）略；（2）略；（3）14【解析】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，∵1CC ⊥平面ABC ，∴四边形11A ACC 为矩形. 又E ，F 分别为AC ，11AC 的中点，∴AC EF ⊥∵AB BC =.∴AC BE ⊥，∴AC ⊥平面BEF .又G 是1BB 中点，1//BB EF ，∴G 在平面BEF 内，∴AC FG ⊥.（2）设EF CD M =，则4FM =2BG =，所以，四边形BGFM 是梯形，所以，直线FG 与直线MB 相交，又MB ⊂平面BCD ，可得FG 与平面BCD 相交.（3）过D 作1DO C E ⊥于点O ，连BO ，易证BE ⊥平面11ACC A ，∴DO BE ⊥，∴DO ⊥平面1BEC ，从而DBO ∠就是直线BD 与平面1BEC 所成角的平面角，计算得，2BD =，sin 414DO DO DBO BD =⇒∠==.。

2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二(上)期中数学试卷

2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（）S B.πS C.2πS D.4πSA.1π【答案】B【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】根据圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S求出圆柱的母线长与底面圆的直径，代入侧面积公式计算．【解答】∵圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，∴圆柱的母线长为√S，底面圆的直径为√S，∴圆柱的侧面积S＝π×√S×√S=πS．2. 若直线l与平面α相交，则（）A.α内所有直线与l异面B.α内只存在有限条直线与l共面C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内存在无数条直线与l垂直【答案】D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】α内过直线l与平面α交点的直线与直线l共面，判断A错误；α内过直线l与平面α交点的直线有无数条，判断B错误；α内不存在与直线l平行的直线，判断C错误；画出图形，结合图形判断D正确．【解答】对于A，α内过直线l与平面α交点的直线与直线l是共面直线，∴A错误；对于B，α内过直线l与平面α交点的直线有无数条，且这些直线与直线l都是共面直线，∴B错误；对于C，α内不存在与直线l平行的直线，∴C错误；对于D，如图所示，直线PA与平面α交于点A，PO⊥α，则OA是PA在α内的射影，在α内作直线l⊥OA，则l⊥PA，这样的直线l有无数条，∴D正确．3. 已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若α // β，m⊂α，n⊂β，则m // nB.若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m // β，n // α，则α // βC.若α⊥β，m // n，m⊥α，则n // βD.若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】A．由α // β，m⊂α，n⊂β，可知m与n无公共点，即可判断出正误；B．由m，n异面，m⊂α，n⊂β，m // β，n // α，即可得出α与β的位置关系；C．若α⊥β，m // n，m⊥α，则n // β或n⊂β，因此不正确；D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，可得n与β的三种位置关系都有可能．【解答】A．若α // β，m⊂α，n⊂β，则m // n或为异面直线，因此不正确；B．若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m // β，n // α，则α // β，正确；C．若α⊥β，m // n，m⊥α，则n // β或n⊂β，因此不正确；D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊂β，或n // β，或n与β相交，因此不正确．4. 如图，三棱柱ABC−A′B′C′中，侧面B′B′CC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，则三棱柱ABC−A′B′C′的体积为（）A.12B.6C.4D.无法确定【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由已知求得四棱锥A′−BCC′B′的体积，结合V A′−ABC=13V ABC−A′B′C′，可得V四棱锥A′−BCC′B′+V三棱锥A′−ABC＝V三棱柱ABC−A′B′C′，从而求得三棱柱ABC−A′B′C′的体积．【解答】∵侧面B′BCC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，∴V四棱锥A′−BCC′B′=13×4×3=4．∵V A′−ABC=13V ABC−A′B′C′．∵ V 四棱锥A′−BCC′B′+V 三棱锥A′−ABC ＝V 三棱柱ABC−A′B′C′． ∴ 23V ABC−A ′B ′C ′=V A ′−BCC ′B ′=4． ∴ V 三棱柱ABC−A′B′C′＝6．5. 四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，其余棱长均为4，则该四面体外接球半径为（）A.√14B.√142C.3√2D.3√22【答案】D【考点】球的体积和表面积【解析】把四面体ABCD 放到长方体中，不难发现AB ＝CD ＝2，其余棱长均为4正好是长方体的对角线．从而即可求解四面体外接球半径【解答】四面体ABCD 放到长方体中，AB ＝CD ＝2，其余AC ＝BC ＝AD ＝DB ＝4 设长方体的边长分别为a ，b ，c ．则{a 2+b 2=20b 2+c 2=20a 2+c 2=32 ，解得a 2+b 2+c 2＝18，四面体外接球半径：2R ＝3√2．R =3√22．6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A.√19B.√22C.5D.2√7【答案】 B【考点】由三视图求体积【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的最长棱长．【解答】由题意可知几何体是正方体的一部分，是四棱锥P −ABCD ，正方体的棱长为3，P 是所在棱的3等分点，PB =√32+32+22=√22，PA =√32+22=√13，PC =√32+32+12=√19，所以最长棱长为PB ，√22．7. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱BB 1，BC 的中点，若M 在以C 1N 为直径的圆上，则异面直线A 1D 与D 1M 所成的角为（）A.45∘B.60∘C.900D.随长方体的形状变化而变化【答案】C【考点】异面直线及其所成的角【解析】推导出C1M⊥MN，C1M⊥CB1，C1D1⊥B1C，从而B1C⊥平面C1D1M，由A1D // B1C，得A1D⊥平面C1D1M，由此能求出异面直线A1D与D1M所成的角的大小．【解答】如图所示：∵M、N分别是棱BB1、BC的中点，∴MN // CB1，∵M在以C1N为直径的圆上，∴∠C1MN＝90∘，∴C1M⊥MN，∴C1M⊥CB1，由长方体的几何特征，我们可得C1D1⊥B1C，∴B1C⊥平面C1D1M，∵A1D // B1C，∴A1D⊥平面C1D1M，∴A1D⊥D1M，即异面直线A1D与D1M所成的角为90∘，故选：C．8. 一封闭的正方体容器ABCD−A1B1C1D1，P，Q，R分别为AD，BB1，A1B1的中点，如图所示．由于某种原因，在P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状是（）边形A.3B.4C.5D.6【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】画出过P，Q，R三点的平面与正方体容器ABCD−A1B1C1D1的截面得答案．【解答】如图，连接QR 并延长，分别交AA 1，AB 的延长线与E ，F ，连接PE 交A 1D 1于G ，连接PF 交BC 于H ，连接PH ，QH ，GR ，则五边形PGRQH 即为此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状，9. 已知a ＝sin1.5+cos1.5，b ＝sin1.5⋅cos1.5，c ＝(cos1.5)sin1.5，d ＝(sin1.5)cos1.5，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（） A.b <c <d <a B.b <d <c <a C.d <b <c <a D.d <c <b <a 【答案】 A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】因为π3<1.5<π2，所以√32<sin1.5<1；0<cos1.5<12，注意到四个答案里都是a 最大，主要比较c 与d 的大小关系即可；找中间量sin1.5sin1.5，由y ＝sin1.5x 是R 上的减函数，sin1.5>cos1.5，可得sin1.5sin1.5<sin1.5cos1.5；由y ＝x sin1.5是(0, +∞)上的增函数，sin1.5>cos1.5，可得cos1.5sin1.5<sin1.5sin1.5；故c <d ，只有A 答案合适．【解答】因为π3<1.5<π2，所以√32<sin1.5<1；0<cos1.5<12，∴ a >√32，0<b <12；∴ b <a ；找中间量sin1.5sin1.5，由y ＝sin1.5x 是R 上的减函数，sin1.5>cos1.5，可得sin1.5sin1.5<sin1.5cos1.5；由y ＝x sin1.5是(0, +∞)上的增函数，sin1.5>cos1.5，可得cos1.5sin1.5<sin1.5sin1.5；故c <d ，只有A 答案合适．10. 已知集合A ＝{x|x 2−x −6>0}，B ＝{x|x 2−3ax +4≤0}，若a >0，且A ∩B 中恰好有两个整数解，则a 的取值范围是（） A.[2915,209) B.(2915,209)C.[139,209)D.(53,209)【答案】 A【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合A ＝(−∞, −2)∪(3, +∞)，可令f(x)＝x 2−3ax +4，根据a >0及△>0即可得出a >43，并且求出B =[3a−√9a2−162,3a+√9a 2−162]，可得出0<3a−√9a2−162<2，从而得出要使A ∩B 中恰好有两个整数解，只能是4和5，从而可得出{f(4)≤0f(5)≤0f(6)>0 ，解出a的范围即可．【解答】A ＝(−∞, −2)∪(3, +∞)，令f(x)＝x 2−3ax +4，由题意，△＝9a 2−16>0，且a >0，∴ 解得a >43，B =[3a−√9a2−162,3a+√9a 2−162]，又0<3a−√9a 2−162=2<2，∴ 要使A ∩B 中恰好有两个整数解，则只能是4和5， ∴ {f(4)=16−12a +4≤0f(5)=25−15a +4≤0f(6)=36−18a +4>0 ，解得2915≤a <209，∴ a 的取值范围是[2915,209)．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.棱长为a 的正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AB 所成的角大小是________，线段EF 的长度为________．【答案】4,√2 【考点】异面直线及其所成的角【解析】取BD 中点G ，连结BE ，CE ，EG ，FG ，则EG // AB ，且EG ＝FG =12AB =a2，∠EFG 是异面直线EF 与AB 所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线EF 与AB 所成的角大小和线段EF 的长度．【解答】棱长为a 的正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，取BD 中点G ，连结BE ，CE ，EG ，FG ，则EG // AB ，且EG ＝FG =12AB =a2，∴ ∠EFG 是异面直线EF 与AB 所成的角（或所成角的补角）， BE ＝CE =√a 2−(a2)2=√3a2，EF =√(√3a 2)2−(a2)2=√2a 2， cos∠EFG =EF 2+GF 2−EG 22×EF×GF =a 22+a 24−a 242×√2a 2×a 2=√22， ∴ ∠EFG =π4，∴ 异面直线EF 与AB 所成的角大小是π4，线段EF 的长度为√22a ．二面角α−l −β的大小是60∘，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为45∘，则AB 与平面β所成的角的余弦值是________．【答案】 √104【考点】直线与平面所成的角【解析】根据二面角和直线和平面所成角的定义，先作出对应的平面角，结合三角形的边角关系进行求解即可．【解答】过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D．连结AD，根据三垂线定理可得AD⊥l，因此，∠ADC为二面角α−l−β的平面角，∠ADC＝60∘又∵AB与l所成角为45∘，∴∠ABD＝45∘连结BC，可得BC为AB在平面β内的射影，∴∠ABC为AB与平面β所成的角．设AD＝2x，则Rt△ACD中，AC＝ADsin60∘=√3x，Rt△ABD中，AB=ADsin45=2√2x，BC=√(2√2x)2−(√3x)2=√5x，∴Rt△ABC中，cos∠ABC=BCAB =√5x2√2x=√104．正三棱锥的高为1，底面边长为2√6，则它体积为________；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切，则球的半径为________．【答案】2√3,√6−2【考点】球的体积和表面积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】求出底面的面积，利用体积公式带入即可，要求内切球半径，根据横截面图，利用三角形相似得出r．【解答】底面等边三角形的面积S=√34⋅(2√6)2=6√3，所以V=13⋅6√3⋅1=2√3，设内切球的球心为O，半径为r，则在O与底面的中心M，BM=2√6⋅√32⋅13=√2，OE＝r，OA＝1−r，侧面斜边的高AB=√1+OM2=√3由△AOE∽△ABM，得相似得rBM =1−rAB，得2=3，r(√3+√2)=√2，所以r=√6−2．若f(x)=a−4x2−3x为奇函数，则a＝________，此时，不等式f(1−x2)+f(3x+ 9)<0的解集为________．【答案】1,(−2, 5)【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】含有参数的函数奇偶性问题，要利用常见的结论，通过赋值法解决；第二问综合应用函数单调性和奇偶性的性质．【解答】∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，a−4020−3×0=0，∴a＝1．∴f(x)=1−4x2x =12x−2x,∵12x,−2x，∴f(x)为减函数，且为奇函数∵f(1−x2)+f(3x+9)<0，∴f(1−x2)<−f(3x+9)＝f(−3x−9)，∴1−x2>−3x−9，∴−2<x<5．故不等式的解集为(−2, 5)．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，M是对角线AC1上一点，N是底面ABCD上一点．若AB＝2，BC＝AA1=√2，则MB1+MN的最小值为________3√22．【答案】3√22．【考点】点、线、面间的距离计算【解析】将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置，使得平面APC1和平面ACC1在同一平面内，则P到平面ABCD的距离即为MB1+MN的最小值，利用勾股定理解出即可．【解答】将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置，使得平面APC 1和平面ACC 1在同一平面内，过点P 作PN ⊥平面ABCD ，交AC 1于M ，垂足为N ，则PN 为MB 1+MN 的最小值． ∵ AB ＝2，BC ＝AA 1=√2，∴ AC 1=√4+2+2=2√2，AP ＝AB 1=√4+2=√6， ∵ sin∠C 1AC =CC1AC 1=√22√2=12，∴ ∠C 1AC ＝30∘，∴ ∠PAN ＝2∠C 1AC ＝60∘，∴ PN ＝AP ⋅sin∠PAN =√6⋅√32=3√22．∴ MB 1+MN 的最小值为3√22．在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，P ，Q 是正方体表面上相异两点，满足BP ⊥A 1E ，BQ ⊥A 1E ．（1）若P ，Q 均在平面A 1B 1C 1D 1内，则PQ 与BD 的位置关系是________；（2）|A 1P|的最小值为________．【答案】平行3√24【考点】点、线、面间的距离计算空间中直线与直线之间的位置关系【解析】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能判断PQ 与BD 的位置关系．（2）当|A 1P|取最小值时，P 在平面A 1B 1C 1D 1内，设P(a, b, 1)，推导出b ＝a +12，由此能求出|A 1P|的最小值．【解答】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(1, 0, 1)，E(0, 1, 12)，B(1, 1, 0)，∵ P ，Q 均在平面A 1B 1C 1D 1内，∴ 设P(a, b, 1)，Q(m, n, 1)，则A 1E →=(−1, 1, −12)，BP →=(a −1, b −1, 1)，BQ →=(m −1, n −1, 1)，∵ BP ⊥A 1E ，BQ ⊥A 1E ．∴ {BP →⋅A 1E →=−(a −1)+(b −1)−12=0BQ →⋅A 1E →=−(m −1)+(n −1)−12=0，解得{b −a =12n −m =12 ，∴ PQ // BD ，即PQ 与BD 的位置关系是平行．故答案为：平行．当|A 1P|取最小值时，P 在平面A 1B 1C 1D 1内，设P(a, b, 1)，由（1）得b ＝a +12，∴ |A 1P|=√(a −1)2+b 2=√(a −1)2+(a +12)2=√2a 2−a +54=√2(a −14)2+98，∴ 当a =14，即P(14, 34, 1)时，|A 1P|的最小值为3√24．故答案为：3√24．若不等式[2x (t −1)−1]•log a4x−14t ≥0对任意的正整数x 恒成立（其中a ∈R ，且a >1），则t 的取值范围是________54≤t ≤32 ．【答案】 54≤t ≤32 【考点】函数恒成立问题【解析】原不等式等价于{2x (t −1)−1≥0log a 4x−14t≥0 或{2x (t −1)−1≤0log a 4x−14t≤0 即{t ≥1+12xt ≤x −14 ①或{t ≤1+12xt ≥x −14②，进而求解；【解答】原不等式等价于： {2x (t −1)−1≥0log a4x−14t≥0或{2x (t −1)−1≤0log a4x−14t ≤0即{t ≥1+12x t ≤x −14 ①或{t ≤1+12xt ≥x −14②，注意到x ＝1时，②成立，此时34≤t ≤32；当x ∈Z ，x ≥2时，①成立，在①中，1+12x ≤t ≤x −14，又g(x)＝x −12x −54为单调所以，要使{t ≥1+12xt ≤x −14 对x ∈Z ，x ≥2成立，只需x ＝2时成立，又x ＝2时，54≤t ≤74，所以要使不等式对任意的正整数x 恒成立，则t 的取值范围是：54≤t ≤32，三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若cosC =35，且CB →⋅CA →=92，求△ABC 的面积；（2）设向量x →=(2sin B2, √3)，y →=(cosB, cos B2)，且x → // y →，b ＝2，求a +c 的取值范围．【答案】由CB →⋅CA →=92，得abcosC =92．又因为cosC =35，所以ab =92cosC =152．又C 为△ABC 的内角，所以sinC =45．所以△ABC 的面积S =12absinC ＝3．因为x → // y →，所以2sin B2cos B 2=√3cosB ，即sinB =√3cosB ．因为cosB ≠0，所以tanB =√3．因为B 为三角形的内角，0<B <π，所以B =π3．由正弦定理asinA =csinC =bsinB =√3，所以a =√3，c =√3，所以a +c =√3+sinC)，又A +C =2π3，所以a +c =√3[sin(2π3−C)+sinC]=4(cosC +√32sinC)＝4sin(C +π6)，又0<C <2π3，所以π6<C +π6<5π6，所以∈(2, 4]．【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】（1）由CB →⋅CA →=92，得ab =152．可得△ABC 的面积S =12absinC ＝3．（2）由x → // y →，可得B =π3．由正弦定理可得a =√3，c =√3，则a +c =√3[sin(2π3−C)+sinC]=4(cosC +√32sinC)＝4sin(C +π6)，即可求解．由CB →⋅CA →=92，得abcosC =92．又因为cosC =35，所以ab =92cosC =152．又C 为△ABC 的内角，所以sinC =45．所以△ABC 的面积S =12absinC ＝3．因为x → // y →，所以2sin B2cos B 2=√3cosB ，即sinB =√3cosB ．因为cosB ≠0，所以tanB =√3．因为B 为三角形的内角，0<B <π，所以B =π3．由正弦定理asinA =csinC =bsinB =√3，所以a =√3，c =√3，所以a +c =√3+sinC)，又A +C =2π3，所以a +c =√3[sin(2π3−C)+sinC]=4(cosC +√32sinC)＝4sin(C +π6)，又0<C <2π3，所以π6<C +π6<5π6，所以∈(2, 4]．如图，在四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 中，BC // AD ，且AD ＝2BC ，O ，E 分别为AD ，PD 中点．（1）设平面PAB ∩平面PCD ＝l ，请作图确定l 的位置并说明你的理由；（2）若Q 为直线CE 上任意一点，证明：OQ // 平面PAB ．【答案】分别延长AB 和DC 交于点R ，连接PR ，则直线PR 就是l 的位置； R ∈AB ⊂平面PAB ，R ∈CD ⊂平面PCD ，所以P 、R 是平面PAB 和平面PCD 的两个公共点，由公理1可知，过P 、R 的直线就是两个平面的交线l ．证明：连接OE 、OC ，因为BC // AD ，且BC =12AD ，又AO =12AD ，所以BC // AO ，且BC ＝AO ，所以四边形ABCO 为平行四边形，所以OC // AB ，则OC // 平面PAB ；又OE 为△PAD 的中位线，则OE // AP ，所以OE // 平面PAB ，又OE⊂平面OEC，OC⊂平面OEC，且OE∩OC＝O，所以平面PAB // 平面OEC，又OQ⊂平面OEC，所以OQ // 平面PAB．【考点】直线与平面平行【解析】（1）分别延长AB和DC交于点R，连接PR，直线PR就是交线l的位置；根据平面公理即可得出结论；（2）连接OE、OC，证明OC // 平面PAB，OE // 平面PAB，得出平面PAB // 平面OEC，证得OQ // 平面PAB．【解答】分别延长AB和DC交于点R，连接PR，则直线PR就是l的位置；R∈AB⊂平面PAB，R∈CD⊂平面PCD，所以P、R是平面PAB和平面PCD的两个公共点，由公理1可知，过P、R的直线就是两个平面的交线l．AD，证明：连接OE、OC，因为BC // AD，且BC=12AD，所以BC // AO，又AO=12且BC＝AO，所以四边形ABCO为平行四边形，所以OC // AB，则OC // 平面PAB；又OE为△PAD的中位线，则OE // AP，所以OE // 平面PAB，又OE⊂平面OEC，OC⊂平面OEC，且OE∩OC＝O，所以平面PAB // 平面OEC，又OQ⊂平面OEC，所以OQ // 平面PAB．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n−na n＝3n(n∈N∗)，且a2＝5．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n=a a+a a，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n>√3成立的最小正整10数n的值．【答案】当n≥2时，2S n−1−(n−1)a n−1＝3(n−1)，又2S n−na n＝3n，相减可得(n−1)a n−1−(n−2)a n＝3，当n≥3时，(n−2)a n−2−(n−3)a n−1＝3，所以(n−1)a n−1−(n−2)a n＝(n−2)a n−2−(n−3)a n−1，可得2a n−1＝a n−2+a n，所以{a n}为等差数列．又2S1−a1＝3，且a1＝S1，得a1＝3，又a2＝5，所以{a n}为公差为2的等差数列，则a n＝2n+1；b n=a a+a a =a⋅a(a+a)=√2n+1⋅√2n+3(√2n+1+√2n+3)=√2n+3−√2n+1 22n+1⋅2n+3=12(2n+12n+3)，T n=12(√3√5√5−√7√7−13+13−√11+⋯√2n+1√2n+3)=12(√3√2n+3)，要使T n>√310成立，即12(√3√2n+3)>√310，解得n>638，所以最小正整数n的值为8．【考点】数列递推式数列的求和【解析】（1）运用数列的递推式，两次将n换为n−1，相减，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）求得b n=√a⋅√a(√a+√a)=√2n+1⋅√2n+3(√2n+1+√2n+3)=√2n+3−√2n+12√2n+1⋅√2n+3=1 2(2n+12n+3)，再由数列的裂项相消求和，以及不等式的解法，可得所求最小值．【解答】当n≥2时，2S n−1−(n−1)a n−1＝3(n−1)，又2S n−na n＝3n，相减可得(n−1)a n−1−(n−2)a n＝3，当n≥3时，(n−2)a n−2−(n−3)a n−1＝3，所以(n−1)a n−1−(n−2)a n＝(n−2)a n−2−(n−3)a n−1，可得2a n−1＝a n−2+a n，所以{a n}为等差数列．又2S1−a1＝3，且a1＝S1，得a1＝3，又a2＝5，所以{a n}为公差为2的等差数列，则a n＝2n+1；b n=a a+a a =a⋅a(a+a)=√2n+1⋅√2n+3(√2n+1+√2n+3)=√2n+3−√2n+1 2√2n+1⋅√2n+3=12(√2n+1√2n+3)，T n=12(355−77−13+13−11+⋯2n+12n+3)=12(32n+3)，要使T n>√310成立，即12(√3√2n+3)>√310，解得n>638，所以最小正整数n的值为8．对于函数f(x)，若存在实数对(m, n)，使得等式f(m+x)⋅f(m−x)＝n对定义域中的每一个x都成立，则称函数f(x)是“(m, n)型函数”．（1）判断函数f(x)=√x是否为“(m, n)型函数”，并说明理由；（2）①若函数g(x)是“(1, 4)型函数”，已知g(0)＝1，求g(2)；②若函数g(x)是“(1, 4)型函数”，且当x∈[0, 1]时，g(x)＝x2−a(x−1)+1(a>0)，若当x∈[0, 2]时，都有1≤g(x)≤4成立，试求a的取值范围．【答案】√m+x⋅√m−x=√m2−x2=n，则x2＝m2−n2不可能恒成立，所以f(x)＝x不是““(m, n)型函数”；①由题意，g(x+1)g(1−x)＝4，取x＝1，则g(2)g(0)＝4，又g(0)＝1，所以g(2)＝4．②方法一：∵(x+1)g(1−x)＝4，所以g(x)g(2−x)＝4．当x∈[0, 1]时，2−x∈[1, 2]时，g(2−x)=4g(x)=4x2−a(x−1)+1=4x2−ax+a+1．(a)当0<a<1时，0<a2<12，则g(x)在[0, 1]内先减后增，且g(a2≤g(x)≤41+a−a24，即1+a−14a2≤g(x)≤2，则当x∈[1, 2]时，2≤g(x)≤41+a−14a2．所以当x∈[0, 2]时，1+a−14a2≤g(x)≤41+a−14a2，由题意，{1+a−14a2≥141+a−14a2≤4，解得0≤a≤4，所以0<a<1．(b)当1≤a<2时，12≤a2<1，则g(x)在][0, 1]内先减后增，且g(a2)≤g(x)≤g(0)，即1+a−14a2≤g(x)≤1+a，则当x∈[1, 2]时，41+a ≤g(x)≤41+a−14a2．要满足题意，则应满足{41+a≥11+a−a24≥1，且{1+a≤441+a−a24≤4解得0≤a≤33，所以1≤a<2．(c)当a≥2时，a2≥1，则g(x)在[0, 1]内递减，且g(1)≤g(x)≤g(0)，即2≤g(x)≤1+a，则当x∈[1, 2]时，41+a ≤g(x)≤2．此时，g(x)min=41+a，g(x)min＝1+a．要满足条件，则应{41+a≥11+a≤4，解得a≤3，所以2≤a≤3．综上所述，0<a≤3．方法二：当x∈[0, 2]时，都有1≤g(x)≤4成立，所以当x∈[1, 2]时，1≤g(x)≤4；当x∈[0, 1]时，2−x∈[1, 2]时，所以g(2−x)∈[1, 4]，而g(x)g(2−x)＝4，所以1≤4g(x)≤4，即1≤g(x)≤4，所以问题转化为当x∈[0, 1]时，1≤g(x)≤4即可．当x∈[0, 1]时，g(x)＝x2−a(x−1)+1(a>0)，．（1）当0<a2<1，即0<a<2时，{g(a2)=1+a −a 24≥1g(0)=a +1≤4g(1)=2≤4，解得0≤a ≤3，所以0<a <2；（2）当a 2≥1，即a ≥2时，只要{g(0)=a +1≤4g(1)=2≥1解得a ≤3，所以2<a ≤3；综上所述，0<a ≤3．【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）√m +x ⋅√m −x =√m 2−x 2=n ，则x 2＝m 2−n 2不可能恒成立，即可判定；（2）①由g(x +1)g(1−x)＝4，取x ＝1，则g(2)g(0)＝4，即可求得g(2)＝4． ②方法一：可得当x ∈[0, 1]时，2−x ∈[1, 2]时，g(2−x)=4g(x)=4x 2−a(x−1)+1=4x 2−ax+a+1．(a)当0<a <1时，(b)当1≤a <2时，(c)当a ≥2时讨论即可方法二：当x ∈[1, 2]时，1≤g(x)≤4；当x ∈[0, 1]时，2−x ∈[1, 2]时，所以g(2−x)∈[1, 4]，而g(x)g(2−x)＝4，所以1≤4g(x)≤4，即1≤g(x)≤4，问题转化为当x ∈[0, 1]时，1≤g(x)≤4即可．【解答】√m +x ⋅√m −x =√m 2−x 2=n ，则x 2＝m 2−n 2不可能恒成立，所以f(x)＝x 不是““(m, n)型函数”；①由题意，g(x +1)g(1−x)＝4，取x ＝1，则g(2)g(0)＝4，又g(0)＝1，所以g(2)＝4．②方法一：∵ (x +1)g(1−x)＝4，所以g(x)g(2−x)＝4．当x ∈[0, 1]时，2−x ∈[1, 2]时，g(2−x)=4g(x)=4x 2−a(x−1)+1=4x 2−ax+a+1．(a)当0<a <1时，0<a 2<12，则g(x)在[0, 1]内先减后增，且g(a 2≤g(x)≤41+a−a 24，即1+a −14a 2≤g(x)≤2，则当x ∈[1, 2]时，2≤g(x)≤41+a−14a 2．所以当x ∈[0, 2]时，1+a −14a 2≤g(x)≤41+a−14a 2，由题意，{1+a −14a 2≥141+a−14a2≤4 ，解得0≤a ≤4，所以0<a <1．(b)当1≤a <2时，12≤a2<1，则g(x)在][0, 1]内先减后增，且g(a2)≤g(x)≤g(0)，即1+a −14a 2≤g(x)≤1+a ，则当x ∈[1, 2]时，41+a ≤g(x)≤41+a−14a 2．要满足题意，则应满足{41+a ≥11+a −a 24≥1，且{1+a ≤441+a−a24≤4 解得0≤a ≤33，所以1≤a <2．(c)当a ≥2时，a2≥1，则g(x)在[0, 1]内递减，且g(1)≤g(x)≤g(0)，即2≤g(x)≤1+a ，则当x ∈[1, 2]时，41+a ≤g(x)≤2．此时，g(x)min =41+a ，g(x)min ＝1+a ．要满足条件，则应{41+a≥11+a ≤4，解得a ≤3，所以2≤a ≤3．综上所述，0<a ≤3．方法二：当x ∈[0, 2]时，都有1≤g(x)≤4成立，所以当x ∈[1, 2]时，1≤g(x)≤4；当x ∈[0, 1]时，2−x ∈[1, 2]时，所以g(2−x)∈[1, 4]，而g(x)g(2−x)＝4，所以1≤4g(x)≤4，即1≤g(x)≤4，所以问题转化为当x ∈[0, 1]时，1≤g(x)≤4即可．当x ∈[0, 1]时，g(x)＝x 2−a(x −1)+1(a >0)，．（1）当0<a2<1，即0<a <2时，{g(a2)=1+a −a 24≥1g(0)=a +1≤4g(1)=2≤4，解得0≤a ≤3，所以0<a <2；（2）当a2≥1，即a ≥2时，只要{g(0)=a +1≤4g(1)=2≥1解得a ≤3，所以2<a ≤3；综上所述，0<a ≤3．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A =120∘，M 为线段BC 的中点，D 为线段BC 上一点，且BD ＝BA ，沿直线AD 将△ADC 翻折至△ADC′，使AC′⊥BD ，记二面角C′−AD −B 的平面角为α．（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD ；（2）比较∠C′DB 与α的大小，并证明你的结论；（3）求cosα的值．【答案】证明：∵ AM ⊥BD ，BD ⊥AC′，AM ∩AC′＝A ， ∴ BD ⊥平面AMC′，∵ BD ⊂平面ABD ，∴ 平面△AMC′⊥平面ABD ．如图，在△C′AM 所在平面内，过点C′作C′P ⊥AM ，垂足为P ，则C′P ⊥平面ABD ，过P 作PQ ⊥AD ，连接C′Q ，则C′Q ⊥AQ ，∠C′QP ＝α．又QC′是由QC 翻折得到， ∴ ∠C′QP ＝α＝2∠C′CQ ，且∠C′CQ 就是直线C′C 与平面ABC 所成的角．同理，又C′D是由DC翻折得到，∴∠C′DB＝2∠C′CD．由线面角的最小性可知，∠C′CD>∠C′CQ，∴∠C′DB>α．如图，在△C′AM中，过点C′作AM的垂线，垂足为P，过P作AD的垂线，垂足为Q．平面AMC′⊥平面BCD，交线为AM，C′P⊥平面ABD，又PQ⊥AD，∴CQ⊥AD．∴∠C′QP就是二面角C′−AD−B的平面角．设AB＝AC＝BD＝4，则BM＝MC＝2√3，MD＝4−2√3，CD＝4√3−4＝C′D，在直角△C′DM中，C′M2＝C′D2−DM2＝36−16√3．【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直【解析】（1）推导出AM⊥BD，BD⊥AC′，从而BD⊥平面AMC′，由此能证明平面△AMC′⊥平面ABD．（2）过点C′作C′P⊥AM，垂足为P，则C′P⊥平面ABD，过P作PQ⊥AD，连接C′Q，则C′Q⊥AQ，∠C′QP＝α．QC′是由QC翻折得到，从而∠C′QP＝α＝2∠C′CQ，且∠C′CQ 就是直线C′C与平面ABC所成的角．同理，∠C′DB＝2∠C′CD．由此能证明∠C′DB>α．（3）在△C′AM中，过点C′作AM的垂线，垂足为P，过P作AD的垂线，垂足为Q．推导出∠C′QP就是二面角C′−AD−B的平面角．由此能求出cosα的值．【解答】证明：∵AM⊥BD，BD⊥AC′，AM∩AC′＝A，∴BD⊥平面AMC′，∵BD⊂平面ABD，∴平面△AMC′⊥平面ABD．如图，在△C′AM所在平面内，过点C′作C′P⊥AM，垂足为P，则C′P⊥平面ABD，过P作PQ⊥AD，连接C′Q，则C′Q⊥AQ，∠C′QP＝α．又QC′是由QC翻折得到，∴∠C′QP＝α＝2∠C′CQ，且∠C′CQ就是直线C′C与平面ABC所成的角．同理，又C′D是由DC翻折得到，∴∠C′DB＝2∠C′CD．由线面角的最小性可知，∠C′CD>∠C′CQ，∴∠C′DB>α．如图，在△C′AM中，过点C′作AM的垂线，垂足为P，过P作AD的垂线，垂足为Q．平面AMC′⊥平面BCD，交线为AM，C′P⊥平面ABD，又PQ⊥AD，∴CQ⊥AD．∴∠C′QP就是二面角C′−AD−B的平面角．设AB＝AC＝BD＝4，则BM＝MC＝2√3，MD＝4−2√3，CD＝4√3−4＝C′D，在直角△C′DM中，C′M2＝C′D2−DM2＝36−16√3．。

杭州学军中学(西溪校区)2019学年第一学期期中考试高二数学试卷

杭州学军中学2019学年第一学期期中考试高二数学试卷命题人：叶秋平审题人：徐政第Ⅰ卷选择题（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．圆柱的轴截面是正方形，面积为S ，则它的侧面积为（） A.πS B.S π C.S π2 D.S π4 2．若直线l 与平面α相交，则（）A.α内所有直线与l 异面B.α内只存在有限条直线与l 共面C.α内存在唯一的直线与l 平行D.α内存在无数条直线与l 垂直3．已知n m ,是空间两条不同的直线，βα,是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若αβ∥，α⊂m ，β⊂n ，则m n ∥B.若n m ,异面，α⊂m ，β⊂n ，m β∥，n α∥，则αβ∥C.若βα⊥，m n ∥，m α⊥，则n β∥D.若βα⊥，m =⋂βα，m n ⊥，则β⊥n4．如图，三棱柱'''C B A ABC -中，侧面''BCC B 的面积是4，点'A到侧面''BCC B 的距离是3,则三棱柱'''C B A ABC -的体积为（）A.12B.6C.4D.无法确定5．四面体ABCD 中，2==CD AB ，其余棱长均为4，则该四面体外接球半径为（）A ．14B ．214C ．23D ．223 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（） A.19 B.22 C.5 D.727．在长方体1111ABCD A B C D -中， ,M N 分别是棱1BB ，BC 的中点，若M 在以N C 1为直径的圆上，则异面直线1A D 与1D M 所成的角为（）A. 045B. 060C. 090D. 随长方体的形状变化而变化8．一封闭的正方体容器1111D C B A ABCD -，R Q P ,,分别为AD ，1BB ，11B A 的中点，如图所示。

2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高二上学期期中数学试题(解析版)

过的截面图像为D选项对应的图像.
设是棱靠近的三等分点，过的截面图像为A选项对应的图像.
故C选项的图像不可能.
故选C.
【点睛】
本小题主要考查球与内接正方体的截面问题，考查空间想象能力，考查分析与思考问题的能力，属于基础题.
7．设实数，满足条件且，则的最小值为（）
A． B． C． D．
.
（2）由于平面，所以几何体的体积为 .
【点睛】
本小题主要考查三视图还原为原图，考查三棱锥的表面积和体积的计算，属于基础题.
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，AD＝AC＝2，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD且PO＝4，M为PD的中点.
（1）证明：MO∥平面PAB；
本题考查根据直观图面积求解原图面积的问题，关键是能够熟练掌握直观图与原图的面积之比.
3．设m，n为两条直线，若直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，下列说法正确的是（）
①若α∥β，则m⊥n②若α⊥β，则m∥n③若m∥n，则α⊥β④若m⊥n，则α∥β
A．①④B．②③C．①③D．③④
【答案】C
【解析】根据线面平行和垂直以及面面平行和垂直的定义和性质分别进行判断，∴m⊥平面β，
∵n⊂平面β，∴则m⊥n成立，故①正确，；
②若α⊥β，∵m⊥平面α，∴m∥β或m⊂β，
∵n⊂平面β，∴m∥n不一定成立，故②错误；
③若m∥n，则n⊥平面α，则α⊥β成立，故③正确；
④若m⊥n，则α∥β不一定成立，故④错误.
故正确的是①③.
故选：C.
【答案】A
【解析】对分成三种情况进行分类讨论，利用基本不等式求得的最小值.
【详解】
依题意成立，故 .由于，所以且 .

2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二(上)期中数学试卷

2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二（上）期中数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）圆柱的轴截面是正方形.且轴截面面积是S.则它的侧面积是（）SA. 1πB.πSC.2πSD.4πS2.（单选题.4分）若直线l与平面α相交.则（）A.α内所有直线与l异面B.α内只存在有限条直线与l共面C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内存在无数条直线与l垂直3.（单选题.4分）已知m.n是空间两条不同的直线.α.β是空间两个不同的平面.则下列命题正确的是（）A.若α || β.m⊂α.n⊂β.则m || nB.若m.n异面.m⊂α.n⊂β.m || β.n || α.则α || βC.若α⊥β.m || n.m⊥α.则n || βD.若α⊥β.α∩β=m.n⊥m.则n⊥β4.（单选题.4分）如图.三棱柱ABC-A′B′C′中.侧面B′B′CC′的面积是4.点A′到侧面B′BCC′的距离是3.则三棱柱ABC-A′B′C′的体积为（）A.12B.6C.4D.无法确定5.（单选题.4分）四面体ABCD中.AB=CD=2.其余棱长均为4.则该四面体外接球半径为（）A. √14B. √142C.3 √2D. 3√226.（单选题.4分）某几何体的三视图如图所示.则该几何体的最长棱长为（）A. √19B. √22C.5D.2 √77.（单选题.4分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M.N分别是棱BB1.BC的中点.若M在以C1N为直径的圆上.则异面直线A1D与D1M所成的角为（）A.45°B.60°C.900D.随长方体的形状变化而变化8.（单选题.4分）一封闭的正方体容器ABCD-A1B1C1D1.P.Q.R分别为AD.BB1.A1B1的中点.如图所示．由于某种原因.在P.Q.R处各有一个小洞.当此容器内存水最多时.容器中水的上表面的形状是（）边形A.3B.4C.5D.69.（单选题.4分）已知a=sin1.5+cos1.5.b=sin1.5•cos1.5.c=（cos1.5）sin1.5.d=（sin1.5）cos1.5.则a.b.c.d的大小关系为（）A.b＜c＜d＜aB.b＜d＜c＜aC.d＜b＜c＜aD.d＜c＜b＜a10.（单选题.4分）已知集合A={x|x2-x-6＞0}.B={x|x2-3ax+4≤0}.若a＞0.且A∩B中恰好有两个整数解.则a的取值范围是（）A.[ 2915，209）B.（2915，209）C.[ 139，209）D.（53，209）11.（填空题.6分）棱长为a的正四面体ABCD中.E.F分别为棱AD.BC的中点.则异面直线EF 与AB所成的角大小是 ___ .线段EF的长度为 ___ ．12.（填空题.4分）二面角α-l-β的大小是60°.线段AB⊂α.B∈l.AB与l所成的角为45°.则AB与平面β所成的角的余弦值是___ ．13.（填空题.6分）正三棱锥的高为1.底面边长为2 √6 .则它体积为___ ；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切.则球的半径为___ ．14.（填空题.6分）若f（x）= a−4x2x-3x为奇函数.则a=___ .此时.不等式f（1-x2）+f（3x+9）＜0的解集为___ ．15.（填空题.4分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M是对角线AC1上一点.N是底面ABCD上一点．若AB=2.BC=AA1= √2 .则MB1+MN的最小值为___ ．16.（填空题.6分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.E为CC1的中点.P.Q是正方体表面上相异两点.满足BP⊥A1E.BQ⊥A1E．（1）若P.Q均在平面A1B1C1D1内.则PQ与BD的位置关系是___ ；（2）|A1P|的最小值为___ ．17.（填空题.4分）若不等式[2x（t-1）-1]•log a4x−14t≥0对任意的正整数x恒成立（其中a∈R.且a＞1）.则t的取值范围是___ ．18.（问答题.14分）在△ABC中.角A.B.C的对边分别为a.b.c．（1）若cosC= 35 .且CB⃗⃗⃗⃗⃗ •CA⃗⃗⃗⃗⃗ = 92.求△ABC的面积；（2）设向量x =（2sin B2 . √3）. y =（cosB.cos B2）.且x || y .b=2.求a+c的取值范围．19.（问答题.15分）如图.在四棱锥P-ABCD的底面ABCD中.BC || AD.且AD=2BC.O.E分别为AD.PD中点．（1）设平面PAB∩平面PCD=l.请作图确定l的位置并说明你的理由；（2）若Q为直线CE上任意一点.证明：OQ || 平面PAB．20.（问答题.15分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n-na n=3n（n∈N*）.且a2=5．（1）证明数列{a n}为等差数列.并求{a n}的通项公式；（2）设b n=a√a+a√a .T n为数列{b n}的前n项和.求使T n＞√310成立的最小正整数n的值．21.（问答题.15分）对于函数f（x）.若存在实数对（m.n）.使得等式f（m+x）•f（m-x）=n 对定义域中的每一个x都成立.则称函数f（x）是“（m.n）型函数”．（1）判断函数f（x）= √x是否为“（m.n）型函数”.并说明理由；（2）① 若函数g（x）是“（1.4）型函数”.已知g（0）=1.求g（2）；② 若函数g（x）是“（1.4）型函数”.且当x∈[0.1]时.g（x）=x2-a（x-1）+1（a＞0）.若当x∈[0.2]时.都有1≤g（x）≤4成立.试求a的取值范围．22.（问答题.15分）如图.在等腰三角形ABC中.AB=AC.∠A=120°.M为线段BC的中点.D为线段BC上一点.且BD=BA.沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′.使AC′⊥BD.记二面角C′-AD-B的平面角为α．（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD；（2）比较∠C′DB与α的大小.并证明你的结论；（3）求cosα的值．2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）圆柱的轴截面是正方形.且轴截面面积是S.则它的侧面积是（）SA. 1πB.πSC.2πSD.4πS【正确答案】：B【解析】：根据圆柱的轴截面是正方形.且轴截面面积是S求出圆柱的母线长与底面圆的直径.代入侧面积公式计算．【解答】：解：∵圆柱的轴截面是正方形.且轴截面面积是S.∴圆柱的母线长为√S .底面圆的直径为√S .∴圆柱的侧面积S=π× √S × √S=πS．故选：B．【点评】：本题考查了圆柱的侧面积及轴截面.属于基础题．2.（单选题.4分）若直线l与平面α相交.则（）A.α内所有直线与l异面B.α内只存在有限条直线与l共面C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内存在无数条直线与l垂直【正确答案】：D【解析】：α内过直线l与平面α交点的直线与直线l共面.判断A错误；α内过直线l与平面α交点的直线有无数条.判断B错误；α内不存在与直线l平行的直线.判断C错误；画出图形.结合图形判断D正确．【解答】：解：对于A.α内过直线l与平面α交点的直线与直线l是共面直线.∴A错误；对于B.α内过直线l与平面α交点的直线有无数条.且这些直线与直线l都是共面直线.∴B错误；对于C.α内不存在与直线l平行的直线.∴C错误；对于D.如图所示.直线PA与平面α交于点A.PO⊥α.则OA是PA在α内的射影.在α内作直线l⊥OA.则l⊥PA.这样的直线l有无数条.∴D正确．故选：D．【点评】：本题考查了直线与平面位置关系的应用问题.是基础题．3.（单选题.4分）已知m.n是空间两条不同的直线.α.β是空间两个不同的平面.则下列命题正确的是（）A.若α || β.m⊂α.n⊂β.则m || nB.若m.n异面.m⊂α.n⊂β.m || β.n || α.则α || βC.若α⊥β.m || n.m⊥α.则n || βD.若α⊥β.α∩β=m.n⊥m.则n⊥β【正确答案】：B【解析】：A．由α || β.m⊂α.n⊂β.可知m与n无公共点.即可判断出正误；B．由m.n异面.m⊂α.n⊂β.m || β.n || α.即可得出α与β的位置关系；C．若α⊥β.m || n.m⊥α.则n || β或n⊂β.因此不正确；D．若α⊥β.α∩β=m.n⊥m.可得n与β的三种位置关系都有可能．【解答】：解：A．若α || β.m⊂α.n⊂β.则m || n或为异面直线.因此不正确；B．若m.n异面.m⊂α.n⊂β.m || β.n || α.则α || β.正确；C．若α⊥β.m || n.m⊥α.则n || β或n⊂β.因此不正确；D．若α⊥β.α∩β=m.n⊥m.则n⊂β.或n || β.或n与β相交.因此不正确．故选：B．【点评】：本题考查了空间位置关系的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．4.（单选题.4分）如图.三棱柱ABC-A′B′C′中.侧面B′B′CC′的面积是4.点A′到侧面B′BCC′的距离是3.则三棱柱ABC-A′B′C′的体积为（）A.12B.6C.4D.无法确定【正确答案】：B【解析】：由已知求得四棱锥A′-BCC′B′的体积.结合V三棱锥A′−ABC =13V三棱柱ABC−A′B′C′.可得V四棱锥A′-BCC′B′+V三棱锥A′-ABC=V三棱柱ABC-A′B′C′.从而求得三棱柱ABC-A′B′C′的体积．【解答】：解：∵侧面B′BCC′的面积是4.点A′到侧面B′BCC′的距离是3.∴V四棱锥A′-BCC′B′= 13×4×3=4．∵ V三棱锥A′−ABC =13V三棱柱ABC−A′B′C′．∵V四棱锥A′-BCC′B′+V三棱锥A′-ABC=V三棱柱ABC-A′B′C′．∴ 2 3V三棱柱ABC−A′B′C′=V四棱锥A′−BCC′B′=4．∴V三棱柱ABC-A′B′C′=6．故选：B．【点评】：本题考查了棱锥的体积计算公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．5.（单选题.4分）四面体ABCD中.AB=CD=2.其余棱长均为4.则该四面体外接球半径为（）B. √142C.3 √2D. 3√22【正确答案】：D【解析】：把四面体ABCD 放到长方体中.不难发现AB=CD=2.其余棱长均为4正好是长方体的对角线．从而即可求解四面体外接球半径【解答】：解：四面体ABCD 放到长方体中.AB=CD=2.其余AC=BC=AD=DB=4设长方体的边长分别为a.b.c ．则 {a 2+b 2=4b 2+c 2=16a 2+c 2=16.解得a 2+b 2+c 2=18.四面体外接球半径：2R=3 √2 ．R=3√22．故选：D ．【点评】：本题考查外接球的半径的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意空间思维能力的培养．6.（单选题.4分）某几何体的三视图如图所示.则该几何体的最长棱长为（）A. √19B. √22C.5【正确答案】：B【解析】：画出几何体的直观图.利用三视图的数据.求解几何体的最长棱长．【解答】：解：由题意可知几何体是正方体的一部分.是四棱锥P-ABCD.正方体的棱长为3.P是所在棱的3等分点.PB= √32+32+22 = √22 .PA= √32+22 = √13 .PC= √32+32+12 = √19 .所以最长棱长为PB. √22．故选：B．【点评】：本题考查三视图求解几何体的棱长.考查转化思想以及空间想象能力．7.（单选题.4分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M.N分别是棱BB1.BC的中点.若M在以C1N为直径的圆上.则异面直线A1D与D1M所成的角为（）A.45°B.60°C.900D.随长方体的形状变化而变化【正确答案】：C【解析】：推导出C1M⊥MN.C1M⊥CB1.C1D1⊥B1C.从而B1C⊥平面C1D1M.由A1D || B1C.得A1D⊥平面C1D1M.由此能求出异面直线A1D与D1M所成的角的大小．【解答】：解：如图所示：∵M、N分别是棱BB1、BC的中点.∴MN || CB1.∵M在以C1N为直径的圆上.∴∠C1MN=90°.∴C1M⊥MN.∴C1M⊥CB1.由长方体的几何特征.我们可得C1D1⊥B1C.∴B1C⊥平面C1D1M.∵A1D || B1C.∴A1D⊥平面C1D1M.∴A1D⊥D1M.即异面直线A1D与D1M所成的角为90°.故选：C．【点评】：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角.其中根据线面垂直的判定定理及性质定理.将问题转化为线线垂直的判定是解答本题的关键．8.（单选题.4分）一封闭的正方体容器ABCD-A1B1C1D1.P.Q.R分别为AD.BB1.A1B1的中点.如图所示．由于某种原因.在P.Q.R处各有一个小洞.当此容器内存水最多时.容器中水的上表面的形状是（）边形A.3B.4C.5D.6【正确答案】：C【解析】：画出过P.Q.R三点的平面与正方体容器ABCD-A1B1C1D1的截面得答案．【解答】：解：如图.连接QR并延长.分别交AA1.AB的延长线与E.F.连接PE交A1D1于G.连接PF交BC于H.连接PH.QH.GR.则五边形PGRQH即为此容器内存水最多时.容器中水的上表面的形状.故选：C．【点评】：本题考查柱、锥、台的结构特征.考查了空间线面的位置关系.考查空间想象能力和思维能力.正确画出截面图是关键.是中档题．9.（单选题.4分）已知a=sin1.5+cos1.5.b=sin1.5•cos1.5.c=（cos1.5）sin1.5.d=（sin1.5）cos1.5.则a.b.c.d 的大小关系为（）A.b ＜c ＜d ＜aB.b ＜d ＜c ＜aC.d ＜b ＜c ＜aD.d ＜c ＜b ＜a【正确答案】：A【解析】：因为 π3 ＜1.5＜ π2 .所以 √32 ＜sin1.5＜1；0＜cos1.5＜ 12.注意到四个答案里都是a 最大.主要比较c 与d 的大小关系即可；找中间量sin1.5sin1.5.由y=sin1.5x 是R 上的减函数.sin1.5＞cos1.5.可得sin1.5sin1.5＜sin1.5cos1.5；由y=x sin1.5是（0.+∞）上的增函数.sin1.5＞cos1.5.可得cos1.5sin1.5＜sin1.5sin1.5；故c ＜d.只有A 答案合适．【解答】：解：因为 π3 ＜1.5＜ π2 .所以 √32 ＜sin1.5＜1；0＜cos1.5＜ 12 .∴a ＞ √32 .0＜b ＜ 12 ；∴b ＜a ；找中间量sin1.5sin1.5.由y=sin1.5x 是R 上的减函数.sin1.5＞cos1.5.可得sin1.5sin1.5＜sin1.5cos1.5；由y=x sin1.5是（0.+∞）上的增函数.sin1.5＞cos1.5.可得cos1.5sin1.5＜sin1.5sin1.5；故c ＜d.只有A 答案合适．故选：A ．【点评】：本题考查了大小关系比较.利用指数函数与幂函数的单调性.构造中间量a a 或b b .可比较a b 与b a 形式的数的大小关系.及排除法解决选择题．属于中档题．10.（单选题.4分）已知集合A={x|x 2-x-6＞0}.B={x|x 2-3ax+4≤0}.若a ＞0.且A∩B 中恰好有两个整数解.则a 的取值范围是（）A.[ 2915，209 ）B.（ 2915，209 ） C.[ 139，209 ） D.（ 53，209 ）【正确答案】：A【解析】：可以求出集合A=（-∞.-2）∪（3.+∞）.可令f （x ）=x 2-3ax+4.根据a ＞0及△＞0即可得出 a ＞43 .并且求出 B =[3a−√9a 2−162，3a+√9a 2−162] .可得出 0＜3a−√9a 2−162＜2 .从而得出要使A∩B 中恰好有两个整数解.只能是4和5.从而可得出 {f (4)≤0f (5)≤0f (6)＞0.解出a 的范围即可．【解答】：解：A=（-∞.-2）∪（3.+∞）.令f （x ）=x 2-3ax+4.由题意.△=9a 2-16＞0.且a ＞0.∴解得 a ＞43 . B =[3a−√9a 2−162，3a+√9a 2−162] . 又 0＜3a−√9a 2−162=3a+√9a 2−162 .∴要使A∩B 中恰好有两个整数解.则只能是4和5.∴ {f (4)=16−12a +4≤0f (5)=25−15a +4≤0f (6)=36−18a +4＞0 .解得 2915≤a ＜209 .∴a 的取值范围是 [2915，209) ．故选：A ．【点评】：考查描述法、区间表示集合的定义.一元二次方程和一元二次不等式的解法.以及元素与集合的关系.减函数的定义．11.（填空题.6分）棱长为a 的正四面体ABCD 中.E.F 分别为棱AD.BC 的中点.则异面直线EF 与AB 所成的角大小是 ___ .线段EF 的长度为 ___ ．【正确答案】：[1] π4 ; [2] √22 a【解析】：取BD中点G.连结BE.CE.EG.FG.则EG || AB.且EG=FG= 12AB = a2.∠EFG是异面直线EF与AB所成的角（或所成角的补角）.由此能求出异面直线EF与AB所成的角大小和线段EF的长度．【解答】：解：棱长为a的正四面体ABCD中.E.F分别为棱AD.BC的中点.取BD中点G.连结BE.CE.EG.FG.则EG || AB.且EG=FG= 12AB = a2.∴∠EFG是异面直线EF与AB所成的角（或所成角的补角）.BE=CE= √a2−(a2)2= √3a2.EF= √(√3a2)2−(a2)2= √2a2.cos∠EFG= EF2+GF2−EG22×EF×GF =a22+a24−a242×√2a2×a2= √22.∴∠EFG= π4.∴异面直线EF与AB所成的角大小是π4 .线段EF的长度为√22a．故答案为：π4 . √22a．【点评】：本题考查异面直线所成角的大小、线段长的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．12.（填空题.4分）二面角α-l-β的大小是60°.线段AB⊂α.B∈l.AB与l所成的角为45°.则AB与平面β所成的角的余弦值是___ ．【正确答案】：[1] √104【解析】：根据二面角和直线和平面所成角的定义.先作出对应的平面角.结合三角形的边角关系进行求解即可．【解答】：解：过点A作平面β的垂线.垂足为C.在β内过C作l的垂线.垂足为D．连结AD.根据三垂线定理可得AD⊥l.因此.∠ADC为二面角α-l-β的平面角.∠ADC=60°又∵AB与l所成角为45°.∴∠ABD=45°连结BC.可得BC为AB在平面β内的射影.∴∠ABC为AB与平面β所成的角．设AD=2x.则Rt△ACD中.AC=ADsin60°= √3 x.Rt△ABD中.AB= ADsin45°=2 √2x .BC= √(2√2x)2−(√3x)2 = √5x .∴Rt△ABC中.cos∠ABC= BCAB = √5x2√2x= √104．故答案为：√104．【点评】：本题主要考查线面垂直的定义与性质、二面角的平面角的定义和直线与平面所成角的定义及求法等知识．13.（填空题.6分）正三棱锥的高为1.底面边长为2 √6 .则它体积为___ ；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切.则球的半径为___ ．【正确答案】：[1]2 √3 ; [2] √6 -2【解析】：求出底面的面积.利用体积公式带入即可.要求内切球半径.根据横截面图.利用三角形相似得出r．【解答】：解：底面等边三角形的面积S= √34•(2√6)2 = 6√3 .所以V= 13•6√3•1=2√3 .设内切球的球心为O.半径为r.则在O与底面的中心M.BM= 2√6•√32•13=√2 .OE=r.OA=1-r.侧面斜边的高AB= √1+OM2=√3由△AOE∽△ABM.得相似得rBM =1−rAB.√2=√3. r(√3+√2)=√2 .所以r=√6−2．故答案为：√6 -2．【点评】：考察正三棱锥的体积.内切球的半径.中档题．14.（填空题.6分）若f（x）= a−4x2x-3x为奇函数.则a=___ .此时.不等式f（1-x2）+f（3x+9）＜0的解集为___ ．【正确答案】：[1]1; [2]（-2.5）【解析】：含有参数的函数奇偶性问题.要利用常见的结论.通过赋值法解决；第二问综合应用函数单调性和奇偶性的性质．【解答】：解：∵f（x）为奇函数.∴f（0）=0.即a−4020−3×0=0 .∴a=1．∴ f(x)=1−4x2x =12x−2x，∵ 12x减函数，−2x也为减函数 .∴f（x）为减函数.且为奇函数∵f（1-x2）+f（3x+9）＜0.∴f（1-x2）＜-f（3x+9）=f（-3x-9）.∴1-x2＞-3x-9.∴-2＜x＜5．故不等式的解集为（-2.5）．故答案为：1.（-2.5）．【点评】：第一问是常规问题.注意函数定义域即可；第二问要利用函数是奇函数.把不等式的表达形式变形．15.（填空题.4分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中.M是对角线AC1上一点.N是底面ABCD上一点．若AB=2.BC=AA1= √2 .则MB1+MN的最小值为___ ．【正确答案】：[1] 3√22【解析】：将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置.使得平面APC1和平面ACC1在同一平面内.则P到平面ABCD的距离即为MB1+MN的最小值.利用勾股定理解出即可．【解答】：解：将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置.使得平面APC1和平面ACC1在同一平面内.过点P作PN⊥平面ABCD.交AC1于M.垂足为N.则PN为MB1+MN的最小值．∵AB=2.BC=AA1= √2 .∴AC1= √4+2+2 =2 √2 .AP=AB1= √4+2 = √6 .∵sin∠C1AC= CC1AC1 = √22√2= 12.∴∠C1AC=30°.∴∠PAN=2∠C1AC=60°.∴PN=AP•sin∠PAN= √6•√32 = 3√22．∴MB1+MN的最小值为3√22．故答案为：3√22．【点评】：本题考查了空间距离的计算.将两线段转化为同一平面上是解决最小值问题的一般思路.属于中档题．16.（填空题.6分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.E为CC1的中点.P.Q是正方体表面上相异两点.满足BP⊥A1E.BQ⊥A1E．（1）若P.Q均在平面A1B1C1D1内.则PQ与BD的位置关系是___ ；（2）|A1P|的最小值为___ ．【正确答案】：[1]平行; [2] 3√24【解析】：（1）以D为原点.DA为x轴.DC为y轴.DD1为z轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能判断PQ与BD的位置关系．（2）当|A1P|取最小值时.P在平面A1B1C1D1内.设P（a.b.1）.推导出b=a+ 12.由此能求出|A1P|的最小值．【解答】：解：（1）以D 为原点.DA 为x 轴.DC 为y 轴.DD 1为z 轴.建立空间直角坐标系. 则A 1（1.0.1）.E （0.1. 12 ）.B （1.1.0）. ∵P .Q 均在平面A 1B 1C 1D 1内.∴设P （a.b.1）.Q （m.n.1）.则 A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.1.- 12 ）. BP⃗⃗⃗⃗⃗ =（a-1.b-1.1）. BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（m-1.n-1.1）. ∵BP⊥A 1E.BQ⊥A 1E ．∴ {BP ⃗⃗⃗⃗⃗ •A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−(a −1)+(b −1)−12=0BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ •A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−(m −1)+(n −1)−12=0 . 解得 {b −a =12n −m =12.∴PQ || BD .即PQ 与BD 的位置关系是平行．故答案为：平行．（2）当|A 1P|取最小值时.P 在平面A 1B 1C 1D 1内.设P （a.b.1）.由（1）得b=a+ 12 .∴|A 1P|= √(a −1)2+b 2 = √(a−1)2+(a +12)2 = √2a 2−a +54 = √2(a −14)2+98 .∴当a= 14 .即P （ 14 . 34 .1）时.|A 1P|的最小值为3√24．故答案为：3√24 ．【点评】：本题考查两直线位置关系的判断.考查两点间距离的最小值的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．17.（填空题.4分）若不等式[2x （t-1）-1]•log a 4x−14t≥0对任意的正整数x 恒成立（其中a∈R .且a ＞1）.则t 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] 54≤t ≤32【解析】：原不等式等价于 {2x (t −1)−1≥0log a 4x−14t ≥0 或{2x (t −1)−1≤0log a 4x−14t ≤0 即 {t ≥1+12x t ≤x −14 ① 或 {t ≤1+12x t ≥x −14② .进而求解；【解答】：解：原不等式等价于：{2x (t −1)−1≥0log a 4x−14t ≥0 或 {2x (t −1)−1≤0log a 4x−14t ≤0 即 {t ≥1+12x t ≤x −14 ① 或 {t ≤1+12x t ≥x −14② . 注意到x=1时. ② 成立.此时 34 ≤t≤ 32 ；当x∈Z .x≥2时. ① 成立.在 ① 中.1+ 12x ≤t≤x - 14 .又g （x ）=x- 12x - 54 为单调递增函数.所以.要使 {t ≥1+12x t ≤x −14对x∈Z .x≥2成立.只需x=2时成立.又x=2时. 54 ≤t≤ 74 . 所以要使不等式对任意的正整数x 恒成立.则t 的取值范围是： 54 ≤t≤ 32 .故答案为： 54 ≤t≤ 32 ．【点评】：考查不等式的性质.求解.函数单调性.转化思想；18.（问答题.14分）在△ABC 中.角A.B.C 的对边分别为a.b.c ．（1）若cosC= 35 .且 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ •CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 92.求△ABC 的面积；（2）设向量 x =（2sin B 2 . √3 ）. y =（cosB.cos B 2 ）.且 x || y .b=2.求a+c 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 92 .得ab= 152 ．可得△ABC 的面积S= 12 absinC=3．（2）由 x || y .可得B= π3 ．由正弦定理可得a=√3 .c= √3 .则a+c= √3(2π3−C)+sinC] =4（cosC+√32sinC ）=4sin （C+ π6）.即可求解．【解答】：解（1）由 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ • CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 92 .得abcosC= 92．又因为cosC= 35 .所以ab= 92cosC = 152 ．又C为△ABC的内角.所以sinC= 45．所以△ABC的面积S= 12absinC=3．（2）因为x || y .所以2sin B2 cos B2= √3 cosB.即sinB= √3 cosB．因为cosB≠0.所以tanB= √3．因为B为三角形的内角.0＜B＜π.所以B= π3．由正弦定理asinA =csinC=bsinB= 4√3.所以a= 4sinA√3.c= 4sinC√3.所以a+c= 4√3(sinA+sinC) .又A+C= 2π3.所以a+c= 4√3[sin(2π3−C)+sinC] =4（cosC+ √32sinC）=4sin（C+ π6）.又0 ＜C＜2π3 .所以π6＜C+ π6＜5π6.所以∈（2.4]．【点评】：本题考查了正弦定理、三角恒等变形.属于中档题．19.（问答题.15分）如图.在四棱锥P-ABCD的底面ABCD中.BC || AD.且AD=2BC.O.E分别为AD.PD中点．（1）设平面PAB∩平面PCD=l.请作图确定l的位置并说明你的理由；（2）若Q为直线CE上任意一点.证明：OQ || 平面PAB．【正确答案】：【解析】：（1）分别延长AB和DC交于点R.连接PR.直线PR就是交线l的位置；根据平面公理即可得出结论；（2）连接OE、OC.证明OC || 平面PAB.OE || 平面PAB.得出平面PAB || 平面OEC.证得OQ || 平面PAB．【解答】：（1）解：分别延长AB和DC交于点R.连接PR.则直线PR就是l的位置；R∈AB⊂平面PAB.R∈CD⊂平面PCD.所以P 、R 是平面PAB 和平面PCD 的两个公共点. 由公理1可知.过P 、R 的直线就是两个平面的交线l ．（2）证明：连接OE 、OC.因为BC || AD.且BC= 12AD. 又AO= 12 AD.所以BC || AO.且BC=AO.所以四边形ABCO 为平行四边形. 所以OC || AB.则OC || 平面PAB ；又OE 为△PAD 的中位线.则OE || AP. 所以OE || 平面PAB.又OE⊂平面OEC.OC⊂平面OEC.且OE∩OC=O . 所以平面PAB || 平面OEC. 又OQ⊂平面OEC. 所以OQ || 平面PAB ．【点评】：本题考查了空间中的平行关系证明与应用问题.是基础题．20.（问答题.15分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n -na n =3n （n∈N*）.且a 2=5．（1）证明数列{a n }为等差数列.并求{a n }的通项公式；（2）设b n = a√a +a √a .T n 为数列{b n }的前n 项和.求使T n ＞√310 成立的最小正整数n 的值．【正确答案】：【解析】：（1）运用数列的递推式.两次将n 换为n-1.相减.结合等差数列的定义和通项公式.即可得到所求；（2）求得b n =√a •√a (√a +√a )=√2n+1•√2n+3(√2n+1+√2n+3) = √2n+3−√2n+12√2n+1•√2n+3 = 12 （ √2n+1-√2n+3）.再由数列的裂项相消求和.以及不等式的解法.可得所求最小值．【解答】：解：（1）当n≥2时.2S n-1-（n-1）a n-1=3（n-1）.又2S n -na n =3n. 相减可得（n-1）a n-1-（n-2）a n =3.当n≥3时.（n-2）a n-2-（n-3）a n-1=3. 所以（n-1）a n-1-（n-2）a n =（n-2）a n-2-（n-3）a n-1.可得2a n-1=a n-2+a n .所以{a n }为等差数列．又2S 1-a 1=3.且a 1=S 1.得a 1=3.又a 2=5. 所以{a n }为公差为2的等差数列.则a n =2n+1；（2）b n = a√a +a √a = √a •√a (√a +√a ) = √2n+1•√2n+3(√2n+1+√2n+3) = √2n+3−√2n+12√2n+1•√2n+3 = 12 √2n+1 - √2n+3）. T n = 12 （ √3 - √5 + √5 - √7 + √7 - 13 + 13 - √11 +…+ √2n+1 - √2n+3 ）= 12 √3 - √2n+3）.要使T n ＞√310 成立. 即 12 √3 -√2n+3 √310 .解得n ＞ 638 .所以最小正整数n 的值为8．【点评】：本题考查数列的递推式的运用.考查等差数列的定义和性质、通项公式.考查数列的裂项相消求和.以及不等式的解法.考查化简运算能力.属于中档题．21.（问答题.15分）对于函数f （x ）.若存在实数对（m.n ）.使得等式f （m+x ）•f （m-x ）=n 对定义域中的每一个x 都成立.则称函数f （x ）是“（m.n ）型函数”．（1）判断函数f （x ）= √x 是否为“（m.n ）型函数”.并说明理由；（2） ① 若函数g （x ）是“（1.4）型函数”.已知g （0）=1.求g （2）；② 若函数g （x ）是“（1.4）型函数”.且当x∈[0.1]时.g （x ）=x 2-a （x-1）+1（a ＞0）.若当x∈[0.2]时.都有1≤g （x ）≤4成立.试求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1） √m +x •√m −x =√m 2−x 2=n .则x 2=m 2-n 2不可能恒成立.即可判定；（2） ① 由g （x+1）g （1-x ）=4.取x=1.则g （2）g （0）=4.即可求得g （2）=4． ② 方法一：可得当x∈[0.1]时.2-x∈[1.2]时.g （2-x ）= 4g (x ) = 4x 2−a (x−1)+1 = 4x 2−ax+a+1 ．（a ）当0＜a ＜1时.（b ）当1≤a ＜2时.（c ）当a≥2时讨论即可方法二：当x∈[1.2]时.1≤g （x ）≤4；当x∈[0.1]时.2-x∈[1.2]时.所以g （2-x ）∈[1.4].而g （x ）g （2-x ）=4.所以1 ≤4g (x )≤4 .即1≤g （x ）≤4.问题转化为当x∈[0.1]时.1≤g （x ）≤4即可．【解答】：解：（1） √m +x •√m −x =√m 2−x 2=n .则x 2=m 2-n 2不可能恒成立.所以f （x ）=x 不是““（m.n ）型函数”；（2） ① 由题意.g （x+1）g （1-x ）=4.取x=1.则g （2）g （0）=4.又g （0）=1.所以g （2）=4．② 方法一：∵g （x+1）g （1-x ）=4.所以g （x ）g （2-x ）=4．当x∈[0.1]时.2-x∈[1.2]时.g （2-x ）= 4g (x ) = 4x 2−a (x−1)+1 = 4x 2−ax+a+1 ．（a ）当0＜a ＜1时.0＜ a2＜12 .则g （x ）在[0.1]内先减后增.且g （ a2 ≤g (x )≤41+a−a 24.即1+a-14a 2≤g （x ）≤2. 则当x∈[1.2]时.2≤g （x ） ≤41+a−14a 2．所以当x∈[0.2]时.1+a- 14a 2 ≤g (x )≤41+a−14a 2.由题意. {1+a −14a 2≥141+a−14a2≤4 .解得0≤a≤4.所以0＜a ＜1．（b ）当1≤a ＜2时. 12≤a 2＜1 .则g （x ）在][0.1]内先减后增.且g （ a2 ）≤g （x ）≤g （0）.即1+a- 14a 2 ≤g （x ）≤1+a . 则当x∈[1.2]时. 41+a ≤g (x )≤41+a−14a 2．要满足题意.则应满足 {41+a≥11+a −a 24≥1.且 {1+a ≤441+a−a24≤4解得0≤a≤33.所以1≤a ＜2．（c ）当a≥2时. a 2≥1.则g （x ）在[0.1]内递减.且g （1）≤g （x ）≤g （0）.即2≤g （x ）≤1+a . 则当x∈[1.2]时. 41+a ≤g (x )≤2 ．此时.g （x ）min = 41+a .g （x ）min =1+a ．要满足条件.则应{41+a≥11+a ≤4.解得a≤3.所以2≤a≤3．综上所述.0＜a≤3．方法二：当x∈[0.2]时.都有1≤g （x ）≤4成立.所以当x∈[1.2]时.1≤g （x ）≤4；当x∈[0.1]时.2-x∈[1.2]时.所以g （2-x ）∈[1.4].而g （x ）g （2-x ）=4.所以1 ≤4g (x )≤4 .即1≤g （x ）≤4. 所以问题转化为当x∈[0.1]时.1≤g （x ）≤4即可．当x∈[0.1]时.g（x）=x2-a（x-1）+1（a＞0）.（1）当0＜a2＜1.即0＜a＜2时. {g(a2)=1+a−a24≥1g(0)=a+1≤4g(1)=2≤4.解得0≤a≤3.所以0＜a＜2；（2）当a2≥1 .即a≥2时.只要{g(0)=a+1≤4g(1)=2≥1解得a≤3.所以2＜a≤3；综上所述.0＜a≤3．【点评】：本题考查了函数的新定义.考查了函数的最值问题、分类讨论思想、转化思想.考查了分析问题的能力.属于难题．22.（问答题.15分）如图.在等腰三角形ABC中.AB=AC.∠A=120°.M为线段BC的中点.D为线段BC上一点.且BD=BA.沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′.使AC′⊥BD.记二面角C′-AD-B的平面角为α．（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD；（2）比较∠C′DB与α的大小.并证明你的结论；（3）求cosα的值．【正确答案】：【解析】：（1）推导出AM⊥BD.BD⊥AC′.从而BD⊥平面AMC′.由此能证明平面△AMC′⊥平面ABD．（2）过点C′作C′P⊥AM.垂足为P.则C′P⊥平面ABD.过P作PQ⊥AD.连接C′Q.则C′Q⊥AQ.∠C′QP=α．QC′是由QC翻折得到.从而∠C′QP=α=2∠C′CQ.且∠C′CQ就是直线C′C与平面ABC所成的角．同理.∠C′DB=2∠C′CD．由此能证明∠C′DB＞α．（3）在△C′AM中.过点C′作AM的垂线.垂足为P.过P作AD的垂线.垂足为Q．推导出∠C′QP 就是二面角C′-AD-B的平面角．由此能求出cosα的值．【解答】：解：（1）证明：∵AM⊥BD.BD⊥AC′.AM∩AC′=A.∴BD⊥平面AMC′.∵BD⊂平面ABD.∴平面△AMC′⊥平面ABD．（2）解：如图.在△C′AM所在平面内.过点C′作C′P⊥AM.垂足为P.则C′P⊥平面ABD.过P作PQ⊥AD.连接C′Q.则C′Q⊥AQ.∠C′QP=α．又QC′是由QC翻折得到.∴∠C′QP=α=2∠C′CQ.且∠C′CQ就是直线C′C与平面ABC所成的角．同理.又C′D是由DC翻折得到.∴∠C′DB=2∠C′CD．由线面角的最小性可知.∠C′CD＞∠C′CQ.∴∠C′DB＞α．（3）解：如图.在△C′AM中.过点C′作AM的垂线.垂足为P.过P作AD的垂线. 垂足为Q．平面AMC′⊥平面BCD.交线为AM.C′P⊥平面ABD.又PQ⊥AD.∴CQ⊥AD．∴∠C′QP就是二面角C′-AD-B的平面角．△AMC中.∠MAD=15°.∠CAD=45°.作出二面角的平面角∠C1QP后.若将半平面C1AD摊平.则P.Q.C的连线与AD垂直.且cos∠C′QP= PQQC1 = PQQC= PQAQ=tan∠PAQ=tan15°=2- √3．【点评】：本题考查平面与平面垂直的证明.考查两角大小的判断与证明.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中偿题．。

2019学年浙江省高二上学期期中数学试卷【含答案及解析】

2019学年浙江省高二上学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若，，则一定有（_________ ）A ．________B ．________C ．________D ．2. 下列不等式中，与不等式解集相同的是（_________ ）A．________B ．C．______________D ．3. 已知数列满足：，，，，那么使成立的n的最大值为（________ ）A ． 4_________________________________B ． 5____________________________C ． 24____________________________D ． 254. 设是等差数列，下列结论中正确的是（_________ ）A．若，则________B ．若，则C．若，则________D ．若，则5. 已知直线，与平行，则实数a的值是（_________ ）A ． 0或1________B ． 1或________C ． 0或_________D ．6. 圆与圆的位置关系为（_________ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切7. 已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（________ ）A ．________B ．C ．________D ．8. 已知不等式组表示的平面区域为D ，若函数的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围是（_________ ）A ．B ．C ．D ．9. 直线与圆的位置关系为（________ ）A ．相交_________B ．相切___________C ．相离___________D ．相交或相切10. 已知实数满足，，且，则下列结论正确的是（________ ）A．________B ．C．________D ．二、填空题11. 已知数列为等比数列，为其前n项和，，且，，则___________________________________ ．12. 直线与直线，直线分别交于P、Q两点， PQ中点为，则直线的斜率是___________ ．13. 已知数列的前n项和为，且有，，则___________________________________ ．14. 如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围______________ ．15. 已知直线与圆心为C的圆相交于A、B两点，且为等边三角形，则实数a=____________________________ ．16. 已知数列满足：，当时，，若数列满足对任意，有，则当时，______________ ．三、解答题17. ，，．（1）比较与的大小；（2）解关于x的不等式：．18. 已知为数列的前n项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．19. 如图，的顶点，的平分线CD所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为．（1）求顶点C的坐标；（2）求的面积．20. 已知圆，点P是直线上的一动点，过点P 作圆M的切线PA ， PB ，切点为A ， B ．（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；（2）若的外接圆为圆N ，试问：当P在直线上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．（3）求线段AB长度的最小值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。

2019学年第一学期杭州八校联盟期中联考高二年级数学学科答题卷

准考证号[ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ]请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效三、解答题: 本大题共5小题，共54分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本题满分8分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效18．(本题满分8分)学校班级姓名准考证号1.根据阅卷方式填写2.选择题用2B 铅笔填非选择题用0.5毫米及以上黑笔书写3.请在区域内作答正确填错误填填涂样例注意事项二、填空题：本大题共6小题，单空题4分，多空题每空3分，共30分 11. ； 12. ； 13. ； 14. 15. 16.一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]贴条形码区域学校班级姓名考场号座位号缺考[ ]2019学年第一学期杭州八校联盟期中联考高二年级数学学科答题纸请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效19．(本题满分12分)。

2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二(上)期中数学试卷及答案

2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）若直线l1：3x+my﹣2＝0，l2：x+2y+8＝0互相平行，则实数m的值为（）A．﹣6B．6C．D．2．（4分）若直线l的斜率为2，且在x轴上的截距为1，则直线l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝2x+2D．y＝2x﹣23．（4分）已知m，n为异面直线，直线l∥m，则l与n（）A．一定异面B．一定相交C．不可能相交D．不可能平行4．（4分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1B．（x+1）2+（y+1）2＝1C．（x+1）2+（y+1）2＝2D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25．（4分）若直线l的倾斜角α满足0°≤α＜150°，且α≠90°，则它的斜率k满足（）A．﹣＜k≤0B．k＞﹣C．k≥0或k＜﹣D．k≥0或k＜﹣6．（4分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．12πB．12πC．8πD．10π7．（4分）若x，y满足约束条件，目标函数z＝﹣ax+y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣1，1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，+∞）8．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．（4分）过点P（3，0）作直线2x+（λ+1）y﹣2λ＝0（λ∈R）的垂线，垂足为M，已知定点N（4，2），则当λ变化时，线段|MN|的长度取值范围是（）A．B．C．D．10．（4分）已知正四面体纸盒的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（6分）已知直线l过点A（3，1），B（2，0），则直线l的倾斜角为，直线l的方程为．12．（6分）已知直线l1：ax+y﹣6＝0与l2：x+（a﹣2）y+a﹣1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝，此时点P的坐标为．13．（6分）圆x2+y2+2y﹣3＝0的半径为，若直线y＝x+b与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于两点，则b的取值范围是．14．（6分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝AD＝2，E，F分别是BC，DC的中点，则异面直线A1B1与EF所成角为；AD1与EF所成角的余弦值为．15．（4分）已知曲线y＝与直线x﹣7y+5＝0交于A，B两点，若直线OA，OB的倾斜角分别为α、β，则cos（α﹣β）16．（4分）已知M（x0，y0）到直线x+3y+2＝0与直线3x+y+3＝0的距离相等，且y0≥3x0+1，则的最小值是．17．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为8，点M在线段BC上（点M异于B、C两点），点N为线段CC1的中点，若平面AMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为五边形，则线段BM长度的取值范围是．三、解答题：5小题，共74分18．若实数x，y满足约束条件．（1）在平面直角坐标系中画出此约束条件所表示的平面区域；（2）若z＝2x﹣y，求z的最大值．19．已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n＝．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为棱AC的中点．（1）求证：AB1∥面BC1D；（2）若AB＝AC＝2，BC＝1，，求异面直线AB 1与BC1所成角的余弦值．21．如图，圆M：（x﹣2）2+y2＝1，点P（﹣1，t）为直线l：x＝﹣1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B．（1）若t＝1，求切线所在直线方程；（2）求|AB|的最小值；（3）若两条切线P A，PB与y轴分别交于S、T两点，求|ST|的最小值．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝4，过点P（0，3），且斜率为k 的直线l与圆O交于不同的两点A，B，点．（1）若直线l的斜率，求线段AB的长度；（2）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值，并求出该定值；（3）设线段AB的中点为M，是否存在直线l使|MO|＝|MQ|，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由．2019-2020学年浙江省杭州高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）若直线l1：3x+my﹣2＝0，l2：x+2y+8＝0互相平行，则实数m的值为（）A．﹣6B．6C．D．【分析】由题意利用两条直线平行的性质，求得m的值．【解答】解：∵直线l1：3x+my﹣2＝0，l2：x+2y+8＝0互相平行，∴＝≠，∴m＝6，故选：B．【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题．2．（4分）若直线l的斜率为2，且在x轴上的截距为1，则直线l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝2x+2D．y＝2x﹣2【分析】由题意利用点斜式求出直线l的方程．【解答】解：∵直线l的斜率为2，且在x轴上的截距为1，则直线l的方程为y﹣0＝2（x﹣1），即y＝2x﹣2，故选：D．【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，属于基础题．3．（4分）已知m，n为异面直线，直线l∥m，则l与n（）A．一定异面B．一定相交C．不可能相交D．不可能平行【分析】由已知结合空间中两直线的位置关系及平行公理得答案．【解答】解：若m，n为异面直线，直线l∥m，则l与n可能异面，也可能相交，不可能平行，若l与n平行，由平行公理可得，m与n平行，与m，n为异面直线矛盾．结合选项可知，D正确．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．4．（4分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1B．（x+1）2+（y+1）2＝1C．（x+1）2+（y+1）2＝2D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：由题意知圆半径r＝，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．故选：D．【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．5．（4分）若直线l的倾斜角α满足0°≤α＜150°，且α≠90°，则它的斜率k满足（）A．﹣＜k≤0B．k＞﹣C．k≥0或k＜﹣D．k≥0或k＜﹣【分析】由直线的倾斜角的范围，得到正切值的范围，求解即可．【解答】解：直线的倾斜角α满足0°≤α＜150°，且α≠90°，由0≤k或k＜﹣，故选：D．【点评】本题考查倾斜角和斜率的关系，注意倾斜角的范围，正切函数在[0，）、（，π）上都是单调增函数．6．（4分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．12πB．12πC．8πD．10π【分析】利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积．【解答】解：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得：4R2＝8，解得R＝，则该圆柱的表面积为：＝12π．故选：B．【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是基本知识的考查．7．（4分）若x，y满足约束条件，目标函数z＝﹣ax+y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣1，1）C．（﹣1，2）D．（﹣1，+∞）【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，可行域为△ABC，由z＝﹣ax+y可得y＝ax+z，直线的斜率k＝a∵k AC＝2，k AB＝﹣1若目标函数z＝﹣ax+y仅在点A（1，0）处取得最小值，则有k AB＜k＜k AC即﹣1＜a＜2，即实数a的取值范围是（﹣1，2）故选：C．【点评】本题考查了平面区域中线性规划中的应用问题，解题时利用平移直线法，属于中档题．8．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体，其中两条虚线分别表示下底的高和垂直底面的高．如图所示：故：V＝．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．（4分）过点P（3，0）作直线2x+（λ+1）y﹣2λ＝0（λ∈R）的垂线，垂足为M，已知定点N（4，2），则当λ变化时，线段|MN|的长度取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由直线2x+（λ+1）y﹣2λ＝0的方程分析可得直线经过定点（﹣1，2），设Q（﹣1，2），分析可得M的轨迹是以PQ为直径的圆，易得圆的圆心与半径，结合点与圆的位置关系即可得答案．【解答】解：根据题意，直线2x+（λ+1）y﹣2λ＝0（λ∈R），变形可得2x+y+λ（y﹣2）＝0，则有，解可得，即直线恒过定点（﹣1，2），设Q（﹣1，2），过点P（3，0）作直线2x+（λ+1）y﹣2λ＝0（λ∈R）的垂线，垂足为M，则M的轨迹是以PQ为直径的圆，其圆心为（1，1），半径r＝|PQ|＝，其方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5，已知定点N（4，2），则|NC|＝＝，则有|NC|﹣r≤|MN|≤|NC|+r，即﹣≤|MN|≤+，故选：B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及恒过定点的直线方程，注意分析M的轨迹，属于综合题．10．（4分）已知正四面体纸盒的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值是（）A．B．C．D．【分析】以正方体为载体作出正四面体的直观图，得出正四面体的棱长，计算正四面体的体积和表面积，得出其内切球的半径，令小正方体的体对角线小于或等于内切球的直径得出小正方体棱长的范围即可．【解答】解：作出正四面体A﹣CB1D1的直观图如图所示，由于俯视图的正方形边长为2，故正四面体的棱长为2，故正四面体的体积V＝23﹣×4＝，表面积为S＝×4＝8，设正四面体的内切球半径为R，则＝，解得R＝，设放入正四面体纸盒内部的小正方体棱长为a，则a≤2R＝，故a≤．故选：A．【点评】本题考查了棱锥与球的位置关系，考查棱锥三视图与体积、表面积计算，属于中档题．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（6分）已知直线l过点A（3，1），B（2，0），则直线l的倾斜角为45°，直线l 的方程为x﹣y﹣2＝0．【分析】由两点求斜率公式可得AB所在直线斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解，进而求出直线方程．【解答】解：直线l过点A（3，1），B（2，0），由两点求斜率公式可得：k AB＝＝1．设直线l的倾斜角为α（0°≤α＜180°），∴tanα＝1，则α＝45°．∴直线l的方程为：y﹣0＝1×（x﹣2），即x﹣y﹣2＝0．故答案为：45°，x﹣y﹣2＝0．【点评】本题考查直线的斜率公式，考查直线斜率与倾斜角的关系，是基础题．12．（6分）已知直线l1：ax+y﹣6＝0与l2：x+（a﹣2）y+a﹣1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝1，此时点P的坐标为（3，3）．【分析】由直线垂直的性质得a×1+1×（a﹣2）＝0，由此能求出a，再由直线l1和l2联立方程组，能求出点P的坐标．【解答】解：∵直线l1：ax+y﹣6＝0与l2：x+（a﹣2）y+a﹣1＝0相交于点P，l1⊥l2，∴a×1+1×（a﹣2）＝0，解得a＝1，解方程，解得x＝3，y＝3，∴P（3，3）．故答案为：1，（3，3）．【点评】本题考查两直线垂直时直线方程中参数值的求法，考查两直线交点坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用．13．（6分）圆x2+y2+2y﹣3＝0的半径为2，若直线y＝x+b与圆x2+y2+2y﹣3＝0交于两点，则b的取值范围是．【分析】将圆方程化为标准方程，找出半径即可．由圆心到直线的距离小于圆的半径求得答案．【解答】解：圆的方程x2+y2+2y﹣3＝0变形得：x2+（y+1）2＝4，∴圆的半径为2．∵直线y＝x+b与圆x2+y2+2y﹣3＝0相交，∴d＝＜2；∴解得b∈；故b的取值范围为：．故答案为：2；．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查了点到直线距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．14．（6分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝AD＝2，E，F分别是BC，DC的中点，则异面直线A1B1与EF所成角为；AD1与EF所成角的余弦值为．【分析】作出异面直线所成的角，根据特殊三角形得出所求角或利用余弦定理计算角的余弦值．【解答】解：∵A1B1∥AB∥CD，∴∠CFE为异面直线A1B1与EF所成的角，∵CE＝BC＝1，CF＝CD＝1，BC⊥CD，∴∠CFE＝，即异面直线A1B1与EF所成角为，取CC1中点H，连接EH，BC1，∵AD1∥BC1∥EH，∴∠HEF为AD1与EF所成的角，∵CH＝CC1＝，∴EH＝FH＝＝，又EF＝，∴cos∠HEF＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查了异面直线所成角的计算，属于基础题．15．（4分）已知曲线y＝与直线x﹣7y+5＝0交于A，B两点，若直线OA，OB的倾斜角分别为α、β，则cos（α﹣β）0【分析】求得半圆的圆心到直线的距离，可得弦长|AB|，判断三角形ABO的形状，进而得到所求值．【解答】解：曲线y＝与直线x﹣7y+5＝0交于A，B两点，如图所示，可得半圆的圆心（0，0）到直线的距离为d＝＝，可得弦长|AB|＝2＝，即有△ABO为直角三角形，且∠AOB为直角，可得cos（α﹣β）＝cos∠AOB＝0．故答案为：0．【点评】本题考查圆方程的运用和直线方程的运用，考查圆的弦长公式和数形结合思想，属于基础题．16．（4分）已知M（x0，y0）到直线x+3y+2＝0与直线3x+y+3＝0的距离相等，且y0≥3x0+1，则的最小值是﹣1．【分析】由点到直线的距离公式可得M的轨迹方程，与y0≥3x0+1，作出图形，求得的范围得答案．【解答】解：∵M（x0，y0）到直线x+3y+2＝0与直线3x+y+3＝0的距离相等，∴＝，可得：x0+3y0+2＝3x0+y0+3，即2x0﹣2y0+1＝0，或x0+3y0+2＝﹣（3x0+y0+3），即4x0+4y0+5＝0，由题意①，或②，由①可得图1，联立，可得P（），可知当M与P重合时，取最小值﹣1；由②可得图2，联立，可得P（），可得＞﹣1．综上，的最小值是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．17．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为8，点M在线段BC上（点M异于B、C两点），点N为线段CC1的中点，若平面AMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为五边形，则线段BM长度的取值范围是（1，2）．【分析】当点M为线段BC的中点时，截面为四边形AMND1，从而当0＜BM≤1时，截面为四边形，当BM＞1时，截面为五边形，由此能求出线段BM的取值范围．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为8，点M在线段BC上（点M异于B，C两点），点N为线段CC1的中点，平面AMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为四边形，∴依题意，当点M为线段BC的中点时，由题意可知，截面为四边形AMND1，当0＜BM≤1时，截面为四边形，当BM＞1时，截面为五边形，∵平面AMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为五边形，∴线段BM的取值范围为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查线段的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题：5小题，共74分18．若实数x，y满足约束条件．（1）在平面直角坐标系中画出此约束条件所表示的平面区域；（2）若z＝2x﹣y，求z的最大值．【分析】（1）由约束条件作出可行域；（2）根据可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：（1）由约束条件作出此约束条件所表示的平面区域如图△ABC，（2）化目标函数z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过C时，直线在y轴上的截距﹣z最小，z最大，此时x＝3，y＝﹣5，z有最大值11．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．19．已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n＝．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的各项．（2）利用定义说明数列为等比数列．（3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通项公式．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，则：（常数），由于，故：，数列{b n}是以b1为首项，2为公比的等比数列．整理得：，所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4．（2）数列{b n}是为等比数列，由于（常数）；（3）由（1）得：，根据，所以：．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为棱AC的中点．（1）求证：AB1∥面BC1D；（2）若AB＝AC＝2，BC＝1，，求异面直线AB 1与BC1所成角的余弦值．【分析】（1）取A1C1的中点D1，证明平面AB1D1∥平面BC1D，于是可得AB1∥面BC1D；（2）建立空间坐标系，利用向量坐标求出和的夹角得出异面直线所成角．【解答】（1）证明：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，DD1，∵C1D1∥AD，C1D1＝AD，∴四边形ADC1D1是平行四边形，∴AD1∥DC1，又AD1⊄平面BC1D，C1D⊂平面BC1D，∴AD1∥平面BC1D，同理可证：B1D1∥平面BC1D，又AD1∩B1D1＝D1，AD1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，∴平面AB1D1∥平面BC1D，又AB1⊂平面AB1D1，∴AB1∥面BC1D．（2）解：取BC的中点O，B1C1的中点E，连接AO，∵AB＝AC＝2，BC＝1，∴OA⊥BC，OA＝，以O为原点，以OB，OA，OE为坐标轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示，则A（0，，0），B1（，0，），B（，0，0），C1（﹣，0，），∴＝（，﹣，），＝（﹣1，0，），∴cos＜，＞＝＝＝，∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．【点评】本题考查了线面平行的判定，考查空间向量与异面直线的夹角计算，属于中档题．21．如图，圆M：（x﹣2）2+y2＝1，点P（﹣1，t）为直线l：x＝﹣1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B．（1）若t＝1，求切线所在直线方程；（2）求|AB|的最小值；（3）若两条切线P A，PB与y轴分别交于S、T两点，求|ST|的最小值．【分析】（1）设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解；（2）连接PM，AB交于N，利用∠MP A＝∠MAN，结合正余弦可得最值；（3）利用（1）的方法，得到k的二次方程，结合根与系数关系，用含t的式子表示去表示|ST|，可得最值．【解答】解：（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为y﹣1＝k（x+1），即kx﹣y+k+1＝0，则圆心M到切线的距离d＝＝1，解得k＝0或﹣，故所求切线方程为y＝1，3x+4y﹣1＝0；（2）连接PM，AB交于点N，设∠MP A＝∠MAN＝θ，则|AB|＝2|AM|cosθ＝2cosθ，在Rt△MAP中，sinθ＝＝，∵|PM|≥3，∴（sinθ）max＝，∴（cosθ）min＝，∴|AB|min＝；（3）设切线方程为y﹣t＝k（x+1），即kx﹣y+k+t＝0，P A，PB的斜率为k1，k2，故圆心M到切线的距离d＝＝1，得8k2+6kt+t2﹣1＝0，∴k1+k2＝﹣，k1k2＝，在切线方程中令x＝0可得y＝k+t，故|ST|＝|（k1+t）﹣（k2+t）|＝|k1﹣k2|＝＝，∴|ST|min＝，此时t＝0．故|ST|的最小值为．【点评】此题考查了圆的切线及最值问题，综合性较强，难度较大．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝4，过点P（0，3），且斜率为k 的直线l与圆O交于不同的两点A，B，点．（1）若直线l的斜率，求线段AB的长度；（2）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值，并求出该定值；（3）设线段AB的中点为M，是否存在直线l使|MO|＝|MQ|，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由．【分析】（1）由题意可得直线l的方程，求出圆心O到直线l的距离d及圆的半径，再由弦长与半径即圆心到直线的距离的关系求出弦长；（2）设直线l的方程与圆O联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线QA，QB的斜率之和，可证得斜率之和为定值0；（3）由（2）可得线段AB的中点M的坐标，由|MO|＝|MQ|，可得k的表达式，进而求出k的值，求出直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可得直线l的方程为：y＝+3，所以圆O到直线l的距离d＝＝，圆O的半径r＝2，所以弦长|AB|＝2＝2＝2；（2）证明：设直线l的方程为：y＝kx+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程与圆联立，整理可得：（1+k2）x2+6kx+5＝0，△＝36k2﹣20（k2+1）＞0，可得：k2，x1+x2＝，x1x2＝，k1+k2＝+＝＝2k+＝2k+＝2k﹣2k＝0，所以可证得：k1+k2为定值0．（3）由（2）可得AB的中点M （，），即（，），因为|MO|＝|MQ|，所以+＝[+（﹣）2]，整理可得：＝，解得k2＝，满足k 2所以k ＝±，所以直线l的方程为：y ＝x+3．【点评】本题考查求弦长即直线与圆的的位置关系，属于中档题．第21页（共21页）。

2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高二(上)期末数学试卷

2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高二（上）期末数学试卷1.（单选题，4分）经过点A（1，3），斜率为2的直线方程是（）A.2x-y-1=0B.2x+y+1=0C.2x+y-1=0D.2x-y+1=02.（单选题，4分）椭圆x25+y24=1的焦距是（）A. 2√3B. √3C.1D.23.（单选题，4分）已知直线m，n和平面α，β，γ，下列条件中能推出α || β的是（）A.m⊂α，n⊂β，m || nB.m⊥α，m⊥βC.m⊂α，n⊂α，m || β，n || βD.α⊥γ，β⊥γ4.（单选题，4分）圆x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（）A.相离B.外切C.相交D.内切5.（单选题，4分）已知a、b是异面直线，P是a、b外的一点，则下列结论中正确的是（）A.过P有且只有一条直线与a、b都垂直B.过P有且只有一条直线与a、b都平行C.过P有且只有一个平面与a、b都垂直D.过P有且只有一个平面与a、b都平行6.（单选题，4分）如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，若以A，B为焦点的双曲线的渐近线经过点C，则该双曲线的离心率为（）A. 2√33B. √3C. √52D. √727.（单选题，4分）直线y=kx+3与圆（x-3）2+（y-2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2 √3，则k的取值范围是（）A.[- 34，0]B.（-∞，- 34]∪[0，+∞）C.[- √33，√33]D.[- 23，0]8.（单选题，4分）正四面体ABCD，CD在平面α内，点E是线段AC的中点，在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与平面α所成角不可能是（）A.0B. π6C. π3D. π29.（单选题，4分）已知两点A(1，6√3)，B(0，5√3)到直线l的距离均等于a，且这样的直线可作4条，则a的取值范围是（）A.a≥1B.0＜a＜1C.0＜a≤1D.0＜a＜210.（单选题，4分）如图，正四面体ABCD中，P、Q、R在棱AB、AD、AC上，且AQ=QD，AP PB = CRRA= 12，分别记二面角A-PQ-R，A-PR-Q，A-QR-P的平面角为α、β、γ，则（）A.β＞γ＞αB.γ＞β＞αC.α＞γ＞βD.α＞β＞γ11.（填空题，6分）若圆x2+y2+2ax+y-1=0的圆心在直线y=x上，则a的值是___ ，半径为___ ．12.（填空题，6分）若直线l1：x+my+6=0与l2：（m-2）x+3y+2m=0互相平行，则m的值为___ ，它们之间的距离为___ ．13.（填空题，6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为___ ，外接球的表面积为___ ．14.（填空题，6分）已知双曲线C：y2−x2m =1与椭圆y29+x25=1共焦点，则m的值为___ ，设F为双曲线C的一个焦点，P是C上任意一点，则|PF|的取值范围是___ ．15.（填空题，4分）异面直线a，b所成角为π3，过空间一点O的直线l与直线a，b所成角均为θ，若这样的直线l有且只有两条，则θ的取值范围为___ ．16.（填空题，4分）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP=AC=1，过点A分别作AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，连结EF，当△AEF的面积最大时，tan∠BPC=___ ．17.（填空题，4分）已知椭圆C：x24+y2=1上的三点A，B，C，斜率为负数的直线BC与y轴交于M，若原点O是△ABC的重心，且△BMA与△CMO的面积之比为32，则直线BC的斜率为___ ．18.（问答题，14分）已知x＞0，y＞0，且2x+5y=20．（1）求xy的最大值；（2）求1x +1y的最小值．19.（问答题，15分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a 的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点，E为BC 的中点．（1）求证：BG || 平面PDE；（2）求证：AD⊥PB；（3）在棱PC上是否存在一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由．20.（问答题，15分）如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，2）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2，直线l与圆C相交于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．（1）求圆C的方程；（2）求直线OM的斜率k的取值范围．21.（问答题，15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥PA，AB || CD，且PB=BC=BD= √6，CD=2AB=2 √2，∠PAD=120°．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．22.（问答题，15分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32，且过点（√3，12），点P在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求△PCD面积的最大值．。

浙江省杭州学军中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题答案

杭州学军中学2019学年第一学期期中考试高二数学参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.)题号12345678910答案B C D D D B A C DA二、填空题（本大题共7小题，共36分）11.13,2-，12.()e e ,1，13.2214.)0y x =±15.其中124正确16.13317.2,0><a a 三、解答题（本大题共5题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18（1）36个（2）36个（2）49个19.解析：（1）证明：)1'-=()1ln x x '=所以())1ln 1f x x x '=+⋅=则()10f '=.又()10f =，所以()f x 的图象在点1x =处的切线方程为0y =.（2）由（1）知()fx '=因为ln y x =与1y =都是区间()0+∞，上的增函数，所以()ln 21g x x ⎛=+ ⎝是()0+∞，上的增函数.又()10g =，所以当1x >时，()0g x >，即()0f x '>，此时()f x 递增；当01x <<时()0g x <，即()0f x '<，此时()f x 递减；又()10f =，111ln ln 222f ⎫⎛⎫=⋅=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，())21ln 2f =-⋅.所以()min 0f x =⎡⎤⎣⎦，()())max 1max 221ln 22f x f f ⎧⎫⎛⎫==⎡⎤⎨⎬ ⎪⎣⎦⎝⎭⎩⎭，.所以()f x 在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的取值范围为()021ln 2⎡⎤-⎣⎦20.（本题满分15分）解：（I ）证明：在菱形ABCD 中，设2AB a =,M 是AD 的中点,22222cos603MB AM AB AM AB a =+-⋅⋅= 22222cos1207MC DM DC DM DC a =+-⋅⋅= 又224BC a = 222MB BC MC ∴+=MB BC∴⊥又P 在底面ABCD 的射影M 是AD 的中点,PM ∴⊥平面ABCD ，又BC ⊂ 平面ABCD PM BC∴⊥而,PM MB M = ,PM MB ⊂平面PMBBC ∴⊥平面PMB ，又BC ⊂平面PBC∴平面MPB ⊥平面PBC（Ⅱ）：由（1）知,,MA MB MC 两两互相垂直，以M 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1MA =,则(0,0,0),(1,0,0),3,0),7),(3,0)M A B P C -N 是PC 的中点，37-122N ∴（，，设000(,,)n x y z = 为平面PMC 的法向量又(007)(23,0)MP MC ==- ，，，00n MP n MC ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩ ,即00070230x =-+=⎪⎩令01,y =则3(,1,0)2n = ，72n = 又37(1,,22BN =-- ，142BN = cos ,BN n BN n BN n⋅<>==⋅ 26721．解（I ）椭圆方程为22143x y +=5分（2）由题意可知：21l l ⊥，设直线),(),,(),,(),,(,11:,1:4433221121y x H y x G y x B y x A x ky l ky x l +-=+=，由096)43(11342222=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+ky y k ky x y x ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+439436221221k y y k k y y ，同理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+2243243439436k k y y k k y y ，所以||)1(||1||1||||2122212y y k y k y k BF AF +=+⋅+=，||)11(||||432y y kHF GF +=7362111263)1(1263)1(12)1(63||)11(||)1(||||||||2222222222432212≥+++=++=+++=+++=+kk k k k k k y y k y y k HF GF BF AF 22.(1)22222-()=+-=a ax x a f x a x x x +，令2-2x+a 0ax ≥则22011(,]+x a x ≥∈恒成立，1a ∴≥令2-2x+a 0ax ≤则22011(,]+x a x ≤∈恒成立，0a ∴≤综上，0a ∴≤1a ≥或………6分（3）由0∆>且221e a e <+得2211e a e <<+此时设'()0f x =的两根为12,x x 12()x x <，所以12(),()m f x n f x ==因为121x x =，所以121x x <<，由2211e a e <<+，且21120ax x a -+=得111x e<<所以1122122ln (2ln )a a S m n ax x ax x x x =-=-----……..10分1111112ln (2ln )a a ax x ax x x x =----+1112(2ln )a ax x x =--由21120ax x a -+=得12121x a x =+代入上式得222111122111114(ln )4()112x x S x x x x --=-=-++令21x t =，所以211t e <<，11()ln 12x g x x x -=-+，则4()S g t =22(1)'()02(1)x g x x x --=<+所以()g x 在211x e ≤≤上为减函数从而21(1)()()g g t g e <<，即220()1g t e <<+所以2801S e <<+。

2020-2021学年浙江省杭州市学军中学西溪校区高二(上)期中数学试卷

2020-2021学年浙江省杭州市学军中学西溪校区高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）已知直线310x y -+=的倾斜角为α，则sin (α= )A ．13B ．3CD 2．（4分）设a R ∈，则“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线2:(1)40l x a y +++=平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．（4分）圆22430x y x +-+=关于直线y =对称的圆的方程是( )A ．22((1)1x y +-=B ．22(2)1x y +-=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)(1x y -+=4．（4分）设m ，n 表示不同直线，α，β，γ表示不同平面，下列叙述正确的是( ) A ．若//m α，//m n ，则//n α B ．若//m n ，m α⊂，n β⊂，则//αβC ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβD ．若m α⊥，n α⊥，则//m n5．（4分）将半径为3，圆心角为23π的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为( )A ．πB ．C ．3πD 6．（4分）已知(,)x y 为半圆22:(2)(1)1(1)C x y y -+-=上一动点，则1y x -最大值为( )A B ．2 C ．12D 7．（4分）如图，M 、N 分别为边长为1的正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，以下结论错误的是( )A．//MN平面ABDB．异面直线AC与BD所成的角为定值C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．三棱锥M ACN-体积的最大值为2 488．（4分）在三棱锥P ABC-中，PA⊥平面ABC，90BAC∠=︒，D，E分别是BC，AB 的中点，AB AC≠，且AC AD>．设PC与DE所成角为α，PD与平面ABC所成角为β，二面角P BC A--为γ，则()A．αβγ<<B．αγβ<<C．βαγ<<D．γβα<<9．（4分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y+=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是()A．①B．②C．①②D．①②③10．（4分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为6π，当1||B M 最小时，(AMB ∠= )A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（6分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为；表面积为．12．（6分）已知圆221:4C x y +=与圆222:860C x y x y m +-++=外切，则m = ；此时直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长为．13．（6分）已知圆O 圆心是原点O ，半径是r ，点A ，B 是圆O 上的相异两点，P 点坐标是(,0)m ，若APB ∠最大值是3π，且此时APB ∆33，则m = ；r = ．14．（6分）已知ABC ∆93的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则球O 的体积为；O 到平面ABC 的距离为．15．（4分）已知圆22:4O x y +=及一点(1,0)P -，Q 在圆O 上运动一周，PQ 的中点M 形成轨迹C 的方程为．16．（4分）已知圆C 的方程是2220x y y +-=，圆心为点C ，直线:20l x y λλ+-=与圆C 交于A 、B 两点，当ABC ∆面积最大时，λ= ．17．（4分）已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，在平面1111A B C D 内，直线11//l B D ，设二面角A l E --的平面角为θ，当θ取最大值时，cos θ= ．三、解答题：5小题，共74分18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =．求证：（1）11//A B 平面1DEC ；（2）1BE C E ⊥．19．已知定点(0,1)A 、(0,1)B -、(1,0)C ，动点P 满足：2||()AP BP k PC k R =∈．（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形；（2）当2k =时，求||AP BP +的最大值和最小值．20．ABC ∆中，5AB AC =，2BC =，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且//EF BC ，AH BC ⊥于H ，AHEF O =，将AEF ∆沿EF 折起，沿A 到达A '，此时满足面A EF '⊥面BCFE ．（1）若53AE EB =，求直线A B '与面BCFE 所成角大小；（2）若E ，F 分别为AB ，AC 中点，求锐二面角A BE C '--的余弦值；（3）在（2）的条件下，求点B 到面A CF '的距离．21．在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，120ABC ∠=︒，4AD =，3BC =，2AB =，3CD CE =，AP ED ⊥．（1）求证：DE ⊥面PEA ；（2）已知点F 为AB 中点，点P 在底面ABCD 上的射影为Q ，直线AP 与平面ABCD 所成角的余弦值为33，当三棱锥P QDE -的体积最大时，求异面直线PB 与QF 所成角的余弦值．22．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=与x 轴的正半轴交于A ，以A 为圆心的圆222:(2)(0)A x y r r -+=>与圆O 交于B ，C 两点．（1）求AB AC ⋅的最小值；（2）设P 是圆O 上异于B ，C 的任一点，直线PB ，PC 与x 轴分别交于点M ，N ，求POM PON S S ∆∆⋅的最大值．2020-2021学年浙江省杭州市学军中学西溪校区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）已知直线310x y -+=的倾斜角为α，则sin (α= )A ．13B ．3CD 【分析】利用直线310x y -+=的倾斜角为α，得到tan α，再求得sin α的值．【解答】解：直线310x y -+=的倾斜角为α，tan 3α∴=，sin α∴=故选：C ．【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率和同角三角函数的基本关系，属于基础题． 2．（4分）设a R ∈，则“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线2:(1)40l x a y +++=平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【分析】利用1a =判断两条直线是否平行；通过两条直线平行是否推出1a =，即可得到答案．【解答】解：因为“1a =”时，“直线1:20l ax y +=与2:(1)40l x a y +++=” 化为1:20l x y +=与2:240l x y ++=，显然两条直线平行；如果“直线1:20l ax y +=与2:(1)40l x a y +++=平行” 必有(1)2a a +=，解得1a =或2a =-，所以“1a =”是“直线1:20l ax y +=与2:(1)40l x a y +++=平行”的充分不必要条件．故选：A ．【点评】本题考查充要条件的判断，能够正确判断两个命题之间的条件与结论的推出关系是解题的关键．3．（4分）圆22430x y x +-+=关于直线y =对称的圆的方程是( )A ．22((1)1x y +-=B ．22(2)1x y +-=C ．22(1)1x y +-= D．22(1)(1x y -+=【分析】根据题意，分析圆22430x y x +-+=的圆心为(2,0)，半径为1，设与点(2,0)关于直线y =对称的点为(,)a b ；则有12222b a b a ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪⎩，解可得a 、b 的值，即可得要求圆的圆心，由圆的标准方程分析可得答案．【解答】解：根据题意，圆22430x y x +-+=即22(2)1x y -+=，其圆心为(2,0)，半径为1；设与点(2,0)关于直线y =对称的点为(,)a b ；则有12222b a b a ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪⎪⎩，解可得1a =，b ，则要求圆的圆心为(1，半径为1，其方程为22(1)(1x y -+=；故选：D ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，关键是求出要求圆的圆心，属于基础题． 4．（4分）设m ，n 表示不同直线，α，β，γ表示不同平面，下列叙述正确的是( ) A ．若//m α，//m n ，则//n α B ．若//m n ，m α⊂，n β⊂，则//αβC ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβD ．若m α⊥，n α⊥，则//m n【分析】选项A 中还有直线n 在平面α内的情况，选项B 、选项C 中还有两个平面相交的情况，D 选项中忙着直线与平面垂直的性质定理．【解答】解：选项A 中若//m α，//m n ，则//n α，还有直线n 在平面α内的情况，故A 不正确，选项B 中若//m n ，m α⊂，n β⊂，则//αβ，有可能两个平面相交，故B 不正确，选项C 中若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ，还有两个平面相交的可能，故C 不正确．选项D ，若m α⊥，n α⊥，则//m n ，满足直线与平面垂直的性质，所以D 正确；故选：D ．【点评】本题考查命题的真假的判断，平面的基本性质及推论，本题解题的关键是在推导这种线面位置关系的问题时，注意容可能的情况．属于基础题． 5．（4分）将半径为3，圆心角为23π的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为( )A ．πB ．22πC ．3πD ．223π【分析】根据题意画出图形，结合图形求出圆锥的底面圆半径和高，再求圆锥的体积．【解答】解：如图所示，半径为3，圆心角为23π的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的母线长为3SA =，底面圆周长为22323OA πππ==，所以1OA =；所以圆锥的高为22223122SO SA OA =--=所以圆锥的体积为2211221233V OA SO πππ==⨯⨯=故选：D ．【点评】本题考查了圆锥的侧面展开图特征与体积的计算问题，是基础题． 6．（4分）已知(,)x y 为半圆22:(2)(1)1(1)C x y y -+-=上一动点，则1y x -最大值为( ) A 3B ．2C ．12D 3【分析】由题意画出图形，再由1y x-的几何意义，即半圆上的动点与定点(0,1)P 连线的斜率求解．【解答】解：作出半圆22:(2)(1)1(1)C x y y -+-=的图形如图，1y x -的几何意义为半圆上的动点与定点(0,1)P 连线的斜率，由图可知，1y x-的最大值为PA k ， ||2PC =，||1CA =，30APC ∴∠=︒，则3tan 303PA k =︒=，故1y x-最大值为33．故选：A ．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想与数形结合的解题思想，是中档题．7．（4分）如图，M 、N 分别为边长为1的正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，以下结论错误的是( )A ．//MN 平面ABDB ．异面直线AC 与BD 所成的角为定值C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．三棱锥M ACN -2【分析】A ，由//MN BD 可判断；B ，取AC 中点O ，连接OD ，OB ，可得AC ⊥面DOB 即可判定；C ，假设直线AD 与直线BC 垂直，可得BC ⊥面ADB ，BC DB ⊥，与BCD ∆是等腰三角形，且BC CD =，矛盾；D，三棱锥M ACN-体积等于三棱锥N ACM-体积，13ACMV S h∆=，故当面ADC⊥面ABC 时，三棱锥M ACN-体积的最大【解答】解：对于A，//MN BD，//MN∴平面ABD，故A正确；对于B，取AC中点O，连接OD，OB，可得AC⊥面DOB，AC BD∴⊥，故B正确；对于C，假设直线AD与直线BC垂直，可得BC⊥面ADB，BC DB⊥，但BCD∆是等腰三角形，且BC CD=，不可能，故C错；对于D，三棱锥M ACN-体积等于三棱锥N ACM-体积，13ACMV S h∆=，故当面ADC⊥面ABC时，三棱锥M ACN-体积的最大．112234448⨯，故D正确．故选：C．【点评】本题主要考查折叠问题，要注意折叠前后的改变的量和位置，不变的量和位置，属中档题．8．（4分）在三棱锥P ABC-中，PA⊥平面ABC，90BAC∠=︒，D，E分别是BC，AB 的中点，AB AC≠，且AC AD>．设PC与DE所成角为α，PD与平面ABC所成角为β，二面角P BC A--为γ，则()A．αβγ<<B．αγβ<<C．βαγ<<D．γβα<<【分析】PC与DE所成的角为α，这是异面直线所成的角，需把这两条直线平移到一起去；PD与平面ABC所成的角为β，这是直线与平面所成的角，需找到平面的垂线，如：PA⊥平面ABC ；二面角P BC A --的平面角为γ，关键是找到此二面角的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线定理．【解答】解：如图所示：D 、E 分别是BC 、AB 的中点，//DE AC ∴PC ∴与DE 所成的角为α，即PCA ∠PA ⊥平面ABC ，PD ∴与平面ABC 所成的角为β，即PDA ∠过点A 作AQ BC ⊥，垂足为Q ，连接PQ ，PA ⊥平面ABC ，∴根据三垂线定理可得：二面角P BC A --的平面角为γ，即PQA ∠，则AC AD AQ >>∴在Rt PAC ∆，Rt PAD ∆，Rt PAQ ∆中：tan tan tan PCA PDA PQA ∠<∠<∠，即tan tan tan αβγ<< 又α，β，(0,)2πγ∈，αβγ∴<<．故选：A ．【点评】本题考查空间中的线面关系，异面直线所成角、直线与平面所成的角、二面角、解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．（4分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③【分析】将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，根据对称性讨论y 轴右边的图形可得．【解答】解：将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，当0x =时，代入得21y =，1y ∴=±，即曲线经过(0,1)，(0,1)-；当0x >时，方程变为2210y xy x -+-=，所以△224(1)0x x =--，解得(0x ∈23，所以x 只能取整数1，当1x =时，20y y -=，解得0y =或1y =，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(1,0)-，(1,1)-，故曲线一共经过6个整点，故①正确．当0x >时，由221x y xy +=+得222212x y x y xy ++-=，（当x y =时取等），222x y ∴+，222x y +，即曲线C 上y 2称性可得：曲线C 2②正确．在x 轴上图形面积大于矩形面积122=⨯=，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积12112=⨯⨯=，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故③错误．故选：C ．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题．10．（4分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为6π，当1||B M 最小时，(AMB ∠= )A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 【分析】以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AM B ∠的大小．【解答】解：以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，设CN b =，BM a =，则(0N ，1，)b ，(1M ，0，)a ，(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(1AM =，0，)a ，(0AN =，1，)b ，设平面AMN 的法向量(n x =，y ，)z ，AM n x az AN n y bz ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取1z =，得(n a =-，b -，1)，平面ABC 的法向量(0m =，0，1)，平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为6π，22||1cos6||||1m n m n a b π∴==++，解得22331a b +=，∴当1|B M 最小时，0b =，33BM a ==， 1tan 333AB AMB BM ∴∠===， 3AMB π∴∠=．故选：B ．【点评】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（6分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为43；表面积为．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积以及表面积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：三棱锥的侧面PAB 与底面ABC 垂直，2AB =，PA PB CA BC ===，P 与C 到AB 的距离都是2．22PC =，5PA =，所以几何体的体积为：114222323⨯⨯⨯⨯=；几何体的表面积为：112222225242622⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=+．故答案为：43；426+．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，判断几何体的形状是解题的关键． 12．（6分）已知圆221:4C x y +=与圆222:860C x y x y m +-++=外切，则m = 16 ；此时直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长为．【分析】根据题意，求出两个圆的圆心与半径，由圆与圆的位置关系可得12||C C R r =+，即5225m =+-解可得m 的值，即可得圆2C 的方程，由直线与圆的位置关系分析可得答案．【解答】解：根据题意，圆221:4C x y +=，其圆心1(0,0)C ，半径2r =，圆222:860C x y x y m +-++=，即22(4)(3)25x y m -++=-，必有25m <，其圆心2(4,3)C -，半径25R m -若两圆外切，则有12||C C R r =+，即5225m =-16m =，此时圆2C 的方程为：22(4)(3)9x y -++=，圆心2(4,3)C -，半径3R =，圆心2C 到直线:0l x y +=的距离22d ==，则直线l 被圆2C 所截的弦长221229342l R d =--= 故答案为：1634【点评】本题考查圆与圆、直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题． 13．（6分）已知圆O 圆心是原点O ，半径是r ，点A ，B 是圆O 上的相异两点，P 点坐标是(,0)m ，若APB ∠最大值是3π，且此时APB ∆面积是334，则m = 2± ；r = ．【分析】由题意画出图形，再由APB ∠最大值是3π，且此时APB ∆面积是334得关于m 与r的方程组，求解得答案．【解答】解：如图，当PA ，PB 与圆O 相切时，APB ∠最大，由APB ∠最大值是3π，且此时APB ∆33，得222||21333()224m rm r =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得2m =±，1r =．故答案为：2±，1．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查数形结合的解题思想，是中档题． 14．（6分）已知ABC ∆93的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则球O 的体积为323π；O 到平面ABC 的距离为．【分析】画出图形，利用已知条件求三角形ABC 的外接圆的半径，然后求解1OO 即可．【解答】解：由题意可知图形如图：ABC ∆93的等边三角形，2393AB = 3AB BC AC ∴===，可得：123333AO == 球O 的表面积为16π，外接球的半径为：R ；所以2416R ππ=，解得2R =， ∴球O 的体积为：343233R ππ⋅=，所以O 到平面ABC 222(3)1-．故答案为：323π，1．【点评】本题考查球的内接体问题，求解球的半径，以及三角形的外接圆的半径是解题的关键．15．（4分）已知圆22:4O x y +=及一点(1,0)P -，Q 在圆O 上运动一周，PQ 的中点M 形成轨迹C 的方程为 221()12x y ++= ．【分析】设(,)M x y ，用x ，y 表示出Q 点坐标，代入圆O 方程化简即可．【解答】解：设(,)M x y ，则(21,2)Q x y +， Q 在圆224x y +=上，22(21)44x y ∴++=，即221()12x y ++=．∴轨迹C 的方程是221()12x y ++=，故答案为：221()12x y ++=【点评】本题考查了轨迹方程的求解，熟练掌握轨迹方程的求法，是解答的关键． 16．（4分）已知圆C 的方程是2220x y y +-=，圆心为点C ，直线:20l x y λλ+-=与圆C 交于A 、B 两点，当ABC ∆面积最大时，λ= 1或17．【分析】由圆的方程可得圆心坐标与半径，当CA 与CB 垂直时，ABC ∆面积最大，求出圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得λ值．【解答】解：圆C 的方程为2220x y y +-=，化为22(1)1x y +-=，则圆半径1r =，圆心(0,1)C ，直线:20l x y λλ+-=与圆C 交于A ，B 两点，当CA 与CB 垂直时，ABC ∆面积最大，此时ABC ∆为等腰直角三角形，圆心C 到直线AB 的距离d ==解得1λ=或17λ=．故答案为：1或17．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，明确ABC ∆面积最大的条件是关键，是中档题． 17．（4分）已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，在平面1111A B C D 内，直线11//l B D ，设二面角A l E --的平面角为θ，当θ取最大值时，cos θ=2341．【分析】找到二面角的平面角，转化成平面图形后建立坐标系借助直线斜率的知识处理．【解答】解：如图，设正方体的棱长为1，l 与11A B ，11A D 分别交于I ，H 两点，取CD 的中点F ，连接EF ，则//EF BD ，又因为11//BD B D ， 11//EF B D ∴，又因为直线11//l B D ，∴直线//l EF ，即EFHI 在同一平面内，设平面EFHI 与AC 交于G ，在正方形1111A B C D 中，1111B D AC ⊥，又知道111AA B D ⊥，111AA AC ．所以11B D ⊥平面11AA C C ，又因为11//HI B D ，所以HI ⊥平面11AA C C ，设11HIAC O =，连接OA ，OG ，则AOG ∠即为二面角A l E --的平面角θ，且θ为锐角．因为EF 为三角形BCD 的中位线，故G 是AC 的四等分点，即AG =，取出截面11AA C C 如图，以A 为坐标原点，AC 为x 轴，建立如图坐标系，设O 点坐标为(,1)x ，x ∈．直线OA的斜率为1OA k x=，直线OG 的斜率OG k =，211323232444tan 1132321()113244()4OG OA OG OAx x k k k k x x x x x x θ---∴====++-+-+-，当θ取得最大值时，tan θ取得最大值，故当328x =时，tan θ最大，即O 点坐标为32(8，1)， 23241()1832OA OG ∴==+=，所以由余弦定理2224141923233232816cos 414124123216OA OG AG OA OG θ+-+-====⨯⨯⨯．故填：2341．【点评】本题考查了二面角的求法，且为二面角余弦值的最值的求法，将二面角的平面角转化的平面内建系后用到角公式处理是比较简单的方法，本题属于难题．三、解答题：5小题，共74分18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =．求证：（1）11//A B 平面1DEC ；（2）1BE C E ⊥．【分析】（1）推导出//DE AB ，11//AB A B ，从而11//DE A B ，由此能证明11//A B 平面1DEC ．（2）推导出1BE AA ⊥，BE AC ⊥，从而BE ⊥平面11ACC A ，由此能证明1BE C E ⊥．【解答】证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点， //DE AB ∴，11//AB A B ，11//DE A B ∴，DE ⊂平面1DEC ，11A B ⊂/平面1DEC ，11//A B ∴平面1DEC ．解：（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，E 是AC 的中点，AB BC =． BE AC ∴⊥，直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ， 1BE AA ∴⊥，又1AA A C A =，BE ∴⊥平面11ACC A ，1C E ⊂平面11ACC A ，1BE C E ∴⊥．【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．已知定点(0,1)A 、(0,1)B -、(1,0)C ，动点P 满足：2||()AP BP k PC k R =∈．（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形；（2）当2k =时，求||AP BP +的最大值和最小值．【分析】（1）根据题意，设出P 的坐标(,)x y ，可得向量的坐标，代入2|||AP BP k PC =中，可得22(1)(1)210k x k y kx k -+--++=，分1k =与1k ≠两种情况讨论，可得答案；（2）表示出向量和的模，利用圆的参数方程设点的坐标，即可求得||AP BP +的最大值和最小值．【解答】解：（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，则(,1),(,1)AP x y BP x y =-=+，(1,)PC x y =--，2||AP BP k PC =，22221[(1)]x y k x y ∴+-=-+，即22(1)(1)210k x k y kx k -+--++=若1k =，则方程为1x =，表示过点(1,0)且平行于y 轴的直线；若1k ≠，则方程为2221()()11k x y k k++=--，表示以(1k k -，0)为圆心，以1|1|k -为半径的圆；（2）当2k =时，方程化为22(2)1x y -+=，|||(2,2)|AP BP x y +==令2cos x θ=+，sin y θ=，则||25AP BP +=∴当cos 1θ=时，||AP BP +的最大值为6，当cos 1θ=-时，||AP BP +的最小值为2．【点评】本题考查直线与圆的方程的综合运用，考查向量知识的运用，考查圆的参数方程，属于中档题．20．ABC ∆中，AB AC =，2BC =，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且//EF BC ，AH BC ⊥于H ，AHEF O =，将AEF ∆沿EF 折起，沿A 到达A '，此时满足面A EF '⊥面BCFE ．（1）若53AE EB =，求直线A B '与面BCFE 所成角大小；（2）若E ，F 分别为AB ，AC 中点，求锐二面角A BE C '--的余弦值；（3）在（2）的条件下，求点B 到面A CF '的距离．【分析】（1）折叠过程中AO 、OH 与EF 保持垂直，由面面垂直的性质定理得AO ⊥平面BCEF ，从而可得A BO ∠'为直线A B '与面BCFE 所成角，求解三角形得答案；（2）由（1）分别以OH 、OF 、OA '所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面A BE '，平面BEC 的法向量，由两法向量所成角的余弦值即可得到锐二面角A BE C '--的余弦值；（3）求出平面A CF '的一个法向量，然后利用向量求距离解得点B 到面A CF '的距离．【解答】解：（1）5AB AC =，2BC =，//EF BC ，AH BC ⊥，H ∴为BC 的中点，1CH BH ==，222AH AC CH -，AH EF ⊥，A O EF ∴'⊥，又平面A EF '⊥平面BCFE ，平面A EF '⋂平面BCFE EF =，A O ∴'⊥平面BCEF ，则A BO ∠'为直线A B '与面BCFE 所成角，若53AE EB =，由//EF BC ，得53AO AE OH EB ==，55284AO ∴=⨯=，34OH =，54A O AO '==，又222235()144OB OH HB =++=，tan 1A OA BO OB'∴∠'==，又A BO ∠'是锐角，45A BO ∴∠'=︒，故直线A B '与面BCFE 所成角大小为45︒；（2）以O 为坐标原点，分别以OH 、OF 、OA '所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，E ，F 分别为AB ，AC 中点，则112EF BC ==，1AO OH ==，(0E ，12-，0)，(1B ，1-，0)，(0A '，0，1)，1(1,,0)2EB =-，(1,1,1)BA '=-，设平面A BE '的一个法向量为(,,)m x y z =，由1020m EB x y m BA x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅'=-++=⎩，取2y =，得(1,2,1)m =-；平面BCE 的一个法向量(0,0,1)n =， 16cos ,||||661m n m n m n ⋅-<>===-⋅⨯，∴锐二面角A BE C '--的余弦值为66；（3）由（2），(1C ，1，0)，(0F ，12，0)，1(1,,0)2FC =，(1,1,1)CA '=--，设平面A CF '的一个法向量为111(,,)p x y z =，则111111020p FC x y p CA x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅'=--+=⎩，取11x =，得(1,2,1)p =--，又(0,2,0)CB =-，∴点B 到面A CF '的距离为426|||cos ,|||||36CB p CB CB p p ⋅<>===．【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，训练了利用空间向量求解空间角与距离，考查运算求解能力，是中档题．21．在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，120ABC ∠=︒，4AD =，3BC =，2AB =，3CD CE ，AP ED ⊥．（1）求证：DE ⊥面PEA ；（2）已知点F 为AB 中点，点P 在底面ABCD 上的射影为Q ，直线AP 与平面ABCD 所成3，当三棱锥P QDE -的体积最大时，求异面直线PB 与QF 所成角的余弦值．【分析】（1）过B 作BM AD ⊥于M ，先证得四边形BCDM 为矩形，再推出AE DE ⊥，然后结合AP DE ⊥，得证；（2）结合（1）可知，点Q 在AE 上，3cos 3PAQ ∠=，利用三棱锥P QDE -的体积，可确定点Q 为AE 的中点，从而有PBC ∠即为所求，最后在PBE ∆中，由余弦定理得解．【解答】（1）证明：过B 作BM AD ⊥于M ， //AD BC ，120ABC ∠=︒，4AD =，2AB =，90CBM ∴∠=︒，30ABM ∠=︒，1AM =，3DM BC ==，∴四边形BCDM 为矩形，3BM CD ∴==，1CE =，2BE =，2DE ∴=，23AE =，222AE DE AD ∴+=，即AE DE ⊥，又AP DE ⊥，AE AP A =，AE 、AP ⊂平面PEA ，DE ∴⊥面PEA ．（2）解：由（1）知，DE ⊥面PEA ，DE ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥面PEA ，PQ ⊥平面ABCD ，平面ABCD ⋂面PEA AE =，∴点Q 在AE 上，直线AP 与平面ABCD ，cos PAQ ∴∠=，tan PAQ ∠设AQ x =，则EQ x =，tan PQ AQ PAQ =∠，三棱锥P QDE -的体积11122(23))326V PQ DE EQ x x x ==-=，∴当x P QDE -的体积取得最大值，此时点Q 为AE 的中点，1BQ ∴=，PQF 为AB 的中点，//FQ BC ∴，PBC ∴∠即为直线PB 与QF 所成角．PB PQ =3PE ，在PBE ∆中，由余弦定理知，222cos2PB BE PE PBC PB BE +-∠===，故异面直线PB 与QF ．【点评】本题考查空间中线与面的位置关系、异面直线夹角和线面角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，以及利用平移的思想找出异面直线的夹角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=与x 轴的正半轴交于A ，以A 为圆心的圆222:(2)(0)A x y r r -+=>与圆O 交于B ，C 两点．（1）求AB AC ⋅的最小值；（2）设P 是圆O 上异于B ，C 的任一点，直线PB ，PC 与x 轴分别交于点M ，N ，求POM PON S S ∆∆⋅的最大值．【分析】（1）根据题意，分析可得B 、C 关于x 轴对称，设0(B x ，0)y ，0(C x ，0)y -，由数量积的计算公式可得2222200000(2)(2)(4)2(1)2AB AC x y x x x ⋅=--=---=--，结合0x 的取值范围，分析可得答案；（2）设1(P x ，110)()y y y ≠±，求出直线PB ，PC 的方程，进而求出M ，N 点的横坐标M x ，N x ，则4M N x x =，故得到21POM PON S S y ∆∆⋅=，结合122y -得到POM PON S S ∆∆⋅的最大值．【解答】解：（1）由对称性，设0(B x ，0)y ，0(C x ，0)y -，则22004x y +=，所以2222200000(2)(2)(4)2(1)2AB AC x y x x x ⋅=--=---=--，因为022x -<<，所以当01x =时，AB AC ⋅取得最小值为2-．（2）设1(P x ，110)()y y y ≠±，则22114x y +=，直线PB 、PC 的方程分别为011101:()y y PB y y x x x x --=--，011101:()y y PC y y x x x x ---=--，分别令0y =，得100101M x y x y x y y -=-，100101N x y x y x y y +=+，所以222222221001100122220101(4)(4)4M N x y x y y y y y x x y y y y ----===--，于是22211111||||||44POM PON M N S S OM ON y x x y y ∆∆⋅=⋅⋅=⋅=，因为122y -，所以当12y =或12y =-时，POM PON S S ∆∆⋅取得最大值为4．【点评】本题考查了圆的方程，平面向量数量积的性质及运算，最值的求法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题。

2019学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学数学答案(高二)

= (a1 + a2 + + an ) + (b1 + b2 + + bn ) …………………………10 分
= 11n + n(n −1) (−2) + 1 (1− 2n )
2
1− 2
………………………14 分
= 2n − n2 +12n −1
………………………………15 分
20. （I）证：连接 AC1 交 A1C 与 F，连接 EF .
1 2n−1

5 ，当n 3
= 1时，显然成立
2
………………15 分
| AB |= 2
4 − d12 = 2
4k 2 + 3 …………………………………10 分 1+ k2
由 ME ⊥ l2 , ME / /l1,即M 到l1的距离等于PE
所以 S△ABE = S△ABM =
4k 2 + 3 1+ k2
| 3k | = 3 (4k 2 + 3)k 2 …………………12 分
当 y=0 时得 x=5,即 B(5,0)…………………………………6 分
(II) AB = (5 −1)3 + (0 − 2)2 = 2 5 …………………………8 分
高为 d = | 3 + 8 − 5 | = 6 5 ………………12 分 1+ 4 5
所以面积为
S
=
1 2
2
5 6 5 = 6 ……14 分 5
13. 6 ，11
9
10
D
A
14. 1,（-3,1）
15. 10 10
16. 2 2

2019-2020学年人教A版浙江省杭州市西湖区学军中学紫金港学区高二第一学期期中数学试卷解析版

2019-2020学年第一学期高二（上）期中数学试卷一、选择题1．下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．②③C．③④D．②④2．已知平面四边形ABCD，按照斜二测画法（∠x'O'y'＝45°）画出它的直观图A'B'C'D'是边长为1的正方形（如图所示），则原平面四边形ABCD的面积是（）A．B．C．D．3．设m，n为两条直线，若直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，下列说法正确的是（）①若α∥β，则m⊥n②若α⊥β，则m∥n③若m∥n，则α⊥β④若m⊥n，则α∥βA．①④B．②③C．①③D．③④4．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，E是棱B1B上的动点（不含端点），平面A1C1E与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与AC的位置关系是（）A．异面B．平行C．相交D．与E点位置有关5．已知正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC将△ADC折起，当AD与平面ABC所成的角最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积等于（）A．B．C．D．6．一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是（）A．B．C．D．7．设实数a，b满足条件b＞0且a+b＝3，则的最小值为（）A．B．C．D．8．直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴，将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是（）A．2：5：6 B．C．1：2：3 D．1：4：69．若直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2，则（）A．B．C．D．10．高为1的正三棱锥P﹣ABC的底面边长为a，二面角P﹣AB﹣C与二面角A﹣PB﹣C之和记为θ，则在a从小到大的变化过程中，θ的变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．若正实数x，y满足x+y＝2xy，则x+y的最小值是．xy的最小值是．12．已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则三棱锥P ﹣ABC的外接球的表面积是．体积是．13．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站km 处，最少费用为万元．14．如图所示，在边长为5+的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M、N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是与．15．如图，已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长均相等，点E满足，点P在棱AB上运动，设EP与平面BCD所成的角为θ，则sinθ的最大值为．16．若对任意的x∈（﹣∞，2]，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．17．在斜边长为4的等腰直角三角形ABC中，点D在斜边AC（不含端点）上运动，将△ABD 沿线段BD折到△PBD位置，则点P到平面BCD距离的最大值是．三、解答题：5小题，共74分18．某几何体的三视图如图所示．（1）求该几何体的表面积；（2）求该几何体的体积．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，AD＝AC＝2，O 为AC的中点，PO⊥平面ABCD且PO＝4，M为PD的中点．（1）证明：MO∥平面PAB；（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正弦值．20．已知长方形ABCD中，现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A﹣BCD，如图所示，（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直请说明理由；（2）当四面体ABCD体积最大时，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．21．设x，y为实数，若x2+y2+xy＝1．（1）求x+y的最大值；（2）求x2+y2的最小值．22．如图，已知四边形ABCD由Rt△ABC和Rt△BCD拼接而成，其中∠BAC＝∠BCD＝90°，∠DBC＝30°，AB＝AC，，将△ABC沿着BC折起，（1）若，求异面直线AB和CD所成角的余弦值；（2）当四面体ABCD的体积最大时，求二面角A﹣BC﹣D的余弦值．参考答案一、选择题：每小题4分，共40分1．下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．②③C．③④D．②④【分析】判断满足题意的三视图的视图形状，推出结果即可．解：正方体的三视图都是正方形，①不正确；圆锥的正视图与侧视图都时等腰三角形，俯视图是圆，所以②正确；三棱台的三视图没有相同的图形，所以③不正确；正四棱锥的正视图与侧视图都时等腰三角形，俯视图是轮廓是正方形，所以④正确；故选：D．2．已知平面四边形ABCD，按照斜二测画法（∠x'O'y'＝45°）画出它的直观图A'B'C'D'是边长为1的正方形（如图所示），则原平面四边形ABCD的面积是（）A．B．C．D．【分析】根据直观图与原图面积比为定值，计算出直观图的面积即可得到原图的面积．解：依题意，直观图A'B'C'D'的面积S直＝1，设原图面积为S原，则＝，所以＝，所以S原＝2，故选：C．3．设m，n为两条直线，若直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，下列说法正确的是（）①若α∥β，则m⊥n②若α⊥β，则m∥n③若m∥n，则α⊥β④若m⊥n，则α∥βA．①④B．②③C．①③D．③④【分析】根据线面平行和垂直以及面面平行和垂直的定义和性质分别进行判断即可．解：①若α∥β，∵m⊥平面α，∴m⊥平面β，∵n⊂平面β，∴则m⊥n成立，故①正确，②若α⊥β，∵m⊥平面α，∴m∥β或m⊂β，∵n⊂平面β，∴m∥n不一定成立，故②错误③若m∥n，则n⊥平面α，则α⊥β成立，故③正确，④若m⊥n，则α∥β不一定成立，故④错误，故正确的是①③，故选：C．4．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，E是棱B1B上的动点（不含端点），平面A1C1E与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与AC的位置关系是（）A．异面B．平行C．相交D．与E点位置有关【分析】显然直线A1C1∥平面ABCD，从而根据线面平行的性质定理得出l∥A1C1，而显然AC∥A1C1，从而可得出l与AC的位置关系．解：∵A1C1∥平面ABCD，且A1C1⊂平面A1C1E，平面A1C1E∩平面ABCD＝l，∴A1C1∥l，又AC∥A1C1，∴l∥AC．故选：B．5．已知正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC将△ADC折起，当AD与平面ABC所成的角最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积等于（）A．B．C．D．【分析】判断AD与平面ABC所成的角最大值时，AD的位置，然后求解高与底面面积，即可得到体积．解：正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC将△ADC折起，当AD与平面ABC所成的角最大值时，平面ADC与底面ABC垂直，此时棱锥的高为：，底面面积为：＝．所以三棱锥D﹣ABC的体积：＝．故选：A．6．一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是（）A．B．C．D．【分析】当截面的角度和方向不同时，球的截面不相同，应分情况考虑即可．解：当截面平行于正方体的一个侧面时得C图；当截面过正方体的体对角线时得B图；当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得A图但无论如何都不能截出D图，故选：D．7．设实数a，b满足条件b＞0且a+b＝3，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】实数a，b满足条件b＞0且a+b＝3，可得1＝（a+b）．可得＝+＝++，a＜0时，利用基本不等式的性质即可得出．解：实数a，b满足条件b＞0且a+b＝3，∴1＝（a+b）．则＝+＝++，a＜0时，≥﹣+2＝+＝．当且仅当b＝﹣3a＝时取等号．故选：A．8．直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴，将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是（）A．2：5：6 B．C．1：2：3 D．1：4：6【分析】由已知设直角梯形上底、下底和不垂直于底的腰长分别为x，2x，x；它们分别为圆台的上、下底半径和腰长，代入圆台底面积及侧面积公式，计算即可．解：由题意可设直角梯形上底、下底和不垂直于底的腰为x，2x，x；则圆台的上、下底半径和母线长分别为x，2x，x，如图所示；所以上底面的面积为S上底＝π•x2；下底面的面积为S下底＝π•（2x）2＝4πx2；侧面积为S侧面＝π（x+2x）•x＝3πx2；所以圆台的上底、下底面积和侧面面积之比是πx2：4πx2：3πx2＝1：4：3．故选：B．9．若直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2，则（）A．B．C．D．【分析】由已知中直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2，根据空间直线与平面夹角的定义，我们可得θ1+θ2≤90°，当且仅当三角形所在平面与α垂直时取等，进而得到结论．解：∵直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2，则θ1+θ2≤90°（当且仅当三角形所在平面与α垂直时取等）则sin2θ1+sin2θ2≤1（当且仅当三角形所在平面与α垂直时取等）所以：．故选：C．10．高为1的正三棱锥P﹣ABC的底面边长为a，二面角P﹣AB﹣C与二面角A﹣PB﹣C之和记为θ，则在a从小到大的变化过程中，θ的变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大【分析】考虑三个特殊情况，即a→0，a→+∞及正三棱锥P﹣ABC为正四面体时，可以发现θ先增大后减小．解：当a→0时，，当a→+∞时，θ→π，当正三棱锥P﹣ABC为正四面体时，如图，此时，设二面体P ﹣AB﹣C的大小为α，则，故，故，故选：C．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．若正实数x，y满足x+y＝2xy，则x+y的最小值是 2 ．xy的最小值是 1 ．【分析】①正实数x，y满足x+y＝2xy，变为+＝2，可得x+y＝（+）（x+y），展开利用基本不等式的性质即可得出x+y的最小值．②由正实数x，y满足2xy＝x+y，直接利用基本不等式的性质即可得出．解：①正实数x，y满足x+y＝2xy，∴+＝2，∴x+y＝（+）（x+y）＝（2++）≥（2+2）＝2，当且仅当x＝y＝1时取等号．∴x+y的最小值是 2．②由正实数x，y满足2xy＝x+y≥2，解得：xy≥1．∴xy的最小值是1．故答案为：2，1．12．已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则三棱锥P ﹣ABC的外接球的表面积是12π．体积是4π．【分析】由三线垂直联想正方体，利用外接球直径为体对角线长，容易得解．解：由PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝2，可知该三棱锥为正方体的一角，其外接球直径为体对角线长，即2R＝＝2，∴R＝．三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是4πR2＝12π，体积为＝4π．故答案为：12π，4π．13．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 5 km处，最少费用为8 万元．【分析】据题意用待定系数法设出两个函数y1＝，y2＝k2x，将两点（10，2）与（10，8）代入求出两个参数．再建立费用的函数解析式．用基本不等式求出等号成立的条件即可．解：设x为仓库与车站距离，由题意可设y1＝，y2＝k2x，把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，∴y1＝，y2＝0.8x费用之和y＝y1+y2＝0.8x+≥2＝2×4＝8，当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立．当仓库建在离车站5km处两项费用之和最小．最少费用为8万元．故答案为：5，8．14．如图所示，在边长为5+的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M、N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是10π与π．【分析】由已知中边长为5+的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，且以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，可围成一个圆锥，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，求出l，r，h后，代入圆锥表面积公式和体积公式，可以得到答案．解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，由已知条件可得：，解得r＝，l＝4，∴S＝πrl+πr2＝10π，又∵h＝＝，∴V＝πr2h＝π．故答案为：10π，π15．如图，已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长均相等，点E满足，点P在棱AB上运动，设EP与平面BCD所成的角为θ，则sinθ的最大值为．【分析】设棱长为4a，PC＝x（0＜x≤4a），则PE＝．求出P到平面BCD 的距离，即可求出结论．解：设棱长为4a，PC＝x（0＜x≤4a），则PE＝．正四面体的高为：，设P到平面BCD的距离为h，则，∴h＝x，∴sinθ＝＝，∴x＝2a时，sinθ的最大值为：．故答案为：．16．若对任意的x∈（﹣∞，2]，不等式恒成立，则实数a的取值范围是[0，+∞）．【分析】利用对数函数的单调性化简不等式4x+（a﹣2）2x+1≥0，再利用换元法转化为含参数的二次不等式，分离参数后，用基本不等式求出实数a的范围．解：由不等式化为∴4x+（a﹣1）2x+1≥2x，∴4x+（a﹣2）2x+1≥0，令t＝2x，∵x∈（﹣∞，2]，∴0＜t≤4，t2+（a﹣2）t+1≥0恒成立，等价于2﹣a≤+t在（0，4]上恒成立，即2﹣a≤（+t）min，而+t≥2，当且仅当t＝1时取等号，∴2﹣a≤2，∴a≥0，∴实数a的取值范围是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．17．在斜边长为4的等腰直角三角形ABC中，点D在斜边AC（不含端点）上运动，将△ABD 沿线段BD折到△PBD位置，则点P到平面BCD距离的最大值是2．【分析】由已知求得三角形直角边长，设AD＝x（0＜x＜4），则CD＝PD＝4﹣x，把点P 到平面BCD距离用含有x的代数式表示，再由导数性质求最值．解：如图，∵△ABC为等腰直角三角形，且斜边AC＝4，则AB＝BC＝2，设AD＝x（0＜x＜4），则CD＝4﹣x，PD＝x，PB＝2，则BD＝＝＝．要使点P到平面BCD距离最大，则平面PBD⊥平面ABC，设点P到平面BCD距离为h，则，解得h＝＝，∴h′＝＝，由h′＝0，得x＝4，∴当x→4时，点P到平面BCD距离的最大值是：h＝（）＝＝2．故答案为：2．三、解答题：5小题，共74分18．某几何体的三视图如图所示．（1）求该几何体的表面积；（2）求该几何体的体积．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积与体积即可．解：由题意可知几何体的直观图如图是长方体的一部分是三棱锥A﹣BCD，CD＝3，BC＝3，AB＝3，（1）该几何体的表面积：＝+××＝27；（2）该几何体的体积：＝．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，AD＝AC＝2，O 为AC的中点，PO⊥平面ABCD且PO＝4，M为PD的中点．（1）证明：MO∥平面PAB；（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正弦值．【分析】（1）推导出O是BD中点，从而OM∥PB，由此能证明OM∥平面PAB．（2）推导出四边形ABCD是菱形，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AM与平面ABCD所成角的正弦值．解：（1）证明：∵底面ABCD是平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．∴O是BD中点，∴OM∥PB，∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴OM∥平面PAB；（2）解：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，AD＝AC＝2，PO⊥平面ABCD且PO＝4，∴四边形ABCD是菱形，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），D（0，﹣，0），P（0，0，4），M（0，﹣，2），＝（﹣1，﹣，2），平面ABCD的法向量＝（0，0，1），设直线AM与平面ABCD所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AM与平面ABCD所成角的正弦值为．20．已知长方形ABCD中，现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A﹣BCD，如图所示，（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直请说明理由；（2）当四面体ABCD体积最大时，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．【分析】（1）若AB⊥CD，得AB⊥面ACD，解得a＝；（2）四面体A﹣BCD体积最大，∵△BCD的面积为定值，∴只需三棱锥A﹣BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD，进而建立空间直角坐标系求解；解：（1）若AB⊥CD，由AB⊥AD，AD∩CD＝D，得AB⊥面ACD，∴AB⊥AC，∴AB2+a2＝BC2即1+a2＝3，解得a＝；∴AB⊥CD（2）四面体A﹣BCD体积最大，∵△BCD的面积为定值，∴只需三棱锥A﹣BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD，以O为坐标原点，在平面BCD中，过点O作BD的垂线为x轴，OD为y轴，OA为x轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，），C（，1，0），D（0，，0）面BCD的法向量＝（0，0，），面ACD的法向量＝（x，y，z），∵＝（﹣，，0），＝（0，﹣，），则取＝（1，，3），设二面角A﹣CD﹣B的平面角为θ，则cos＝|cos ＜，＞＝＝21．设x，y为实数，若x2+y2+xy＝1．（1）求x+y的最大值；（2）求x2+y2的最小值．【分析】（1）直接利用二次函数的应用求出结果．（2）利用基本不等式的变换的应用求出结果．解：（1）设x，y为实数，若x2+y2+xy＝1．整理得（x+y）2﹣xy＝1，设x+y＝t，则y＝t﹣x，故t2﹣x（t﹣x）＝1，整理得x2﹣tx+t2﹣1＝0，利用t2﹣4（t2﹣1）≥0，解得，故x+y的最大值为．（2）设x，y为实数，若x2+y2+xy＝1．由于x2+y2≥2xy，所以，所以，22．如图，已知四边形ABCD由Rt△ABC和Rt△BCD拼接而成，其中∠BAC＝∠BCD＝90°，∠DBC＝30°，AB＝AC，，将△ABC沿着BC折起，（1）若，求异面直线AB和CD所成角的余弦值；（2）当四面体ABCD的体积最大时，求二面角A﹣BC﹣D的余弦值．【分析】根据异面直角所成角的空间向量计算公式，再利用题给信息构造空间直角坐标系，即可求出所求角．解：（1）因为∠BAC＝90°，且AB＝AC，BC＝，∴，∴AB＝AC＝AD，∴作AO⊥平面BCD，垂足O必为△BCD的外心，又因为△BCD中，∠BCD＝90°，△BCD的外心在斜边中点处，即O点为BD中点，则以OA方向建立z轴，过O点作x轴平行于BC，作y轴平行于CD，如图所示得坐标，，，∴∴＝（0，﹣2，0），，设AB与CD所成角为α，则．（2）当平面ABC⊥平面BCD时，四面体ABCD体积有最大值，此时二面角A﹣BC﹣D为90°，其余弦值为0．。

2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二(上)期中数学试卷及答案

2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（）A．B．πS C．2πS D．4πS2．（4分）若直线l与平面α相交，则（）A．α内所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内存在无数条直线与l垂直3．（4分）已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α⊥β，m∥n，m⊥α，则n∥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β4．（4分）如图，三棱柱ABC﹣A′B′C′中，侧面B′B′CC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，则三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为（）A．12B．6C．4D．无法确定5．（4分）四面体ABCD中，AB＝CD＝2，其余棱长均为4，则该四面体外接球半径为（）A．B．C．3D．26．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A．B．C．5D．27．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，BC的中点，若M在以C1N 为直径的圆上，则异面直线A1D与D1M所成的角为（）A．45°B．60°C．900D．随长方体的形状变化而变化8．（4分）一封闭的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1，P，Q，R分别为AD，BB1，A1B1的中点，如图所示．由于某种原因，在P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状是（）边形A．3B．4C．5D．69．（4分）已知a＝sin1.5+cos1.5，b＝sin1.5•cos1.5，c＝（cos1.5）sin1.5，d＝（sin1.5）cos1.5，则a，b，c，d的大小关系为（）A．b＜c＜d＜a B．b＜d＜c＜a C．d＜b＜c＜a D．d＜c＜b＜a 10．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|x2﹣3ax+4≤0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）A．[）B．（）C．[）D．（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（6分）棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成的角大小是，线段EF的长度为．12．（4分）二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为45°，则AB与平面β所成的角的余弦值是．13．（6分）正三棱锥的高为1，底面边长为2，则它体积为；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切，则球的半径为．14．（6分）若f（x）＝﹣3x为奇函数，则a＝，此时，不等式f（1﹣x2）+f （3x+9）＜0的解集为．15．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是对角线AC1上一点，N是底面ABCD上一点．若AB＝2，BC＝AA1＝，则MB1+MN的最小值为．16．（6分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E．（1）若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是；（2）|A1P|的最小值为．17．（4分）若不等式[2x（t﹣1）﹣1]•log a≥0对任意的正整数x恒成立（其中a∈R，且a＞1），则t的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若cos C＝，且＝，求△ABC的面积；（2）设向量＝（2sin，），＝（cos B，cos），且∥，b＝2，求a+c的取值范围．19．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，且AD＝2BC，O，E 分别为AD，PD中点．（1）设平面P AB∩平面PCD＝l，请作图确定l的位置并说明你的理由；（2）若Q为直线CE上任意一点，证明：OQ∥平面P AB．20．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n﹣na n＝3n（n∈N*），且a2＝5．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n成立的最小正整数n的值．21．（15分）对于函数f（x），若存在实数对（m，n），使得等式f（m+x）•f（m﹣x）＝n对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（m，n）型函数”．（1）判断函数f（x）＝是否为“（m，n）型函数”，并说明理由；（2）①若函数g（x）是“（1，4）型函数”，已知g（0）＝1，求g（2）；②若函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣a（x﹣1）+1（a＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4成立，试求a的取值范围．22．（15分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A═120°，M为线段BC的中点，D为线段BC上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD，记二面角C′﹣AD﹣B的平面角为α．（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD；（2）比较∠C′DB与α的大小，并证明你的结论；（3）求cosα的值．2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（）A．B．πS C．2πS D．4πS【解答】解：∵圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，∴圆柱的母线长为，底面圆的直径为，∴圆柱的侧面积S＝π××＝πS．故选：B．2．（4分）若直线l与平面α相交，则（）A．α内所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内存在无数条直线与l垂直【解答】解：对于A，α内过直线l与平面α交点的直线与直线l是共面直线，∴A错误；对于B，α内过直线l与平面α交点的直线有无数条，且这些直线与直线l都是共面直线，∴B错误；对于C，α内不存在与直线l平行的直线，∴C错误；对于D，如图所示，直线P A与平面α交于点A，PO⊥α，则OA是P A在α内的射影，在α内作直线l⊥OA，则l⊥P A，这样的直线l有无数条，∴D正确．故选：D．3．（4分）已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α⊥β，m∥n，m⊥α，则n∥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β【解答】解：A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或为异面直线，因此不正确；B．若m，n异面，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β，正确；C．若α⊥β，m∥n，m⊥α，则n∥β或n⊂β，因此不正确；D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊂β，或n∥β，或n与β相交，因此不正确．故选：B．4．（4分）如图，三棱柱ABC﹣A′B′C′中，侧面B′B′CC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，则三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为（）A．12B．6C．4D．无法确定【解答】解：∵侧面B′BCC′的面积是4，点A′到侧面B′BCC′的距离是3，∴V四棱锥A′﹣BCC′B′＝．∵．∵V四棱锥A′﹣BCC′B′+V三棱锥A′﹣ABC＝V三棱柱ABC﹣A′B′C′．∴．∴V三棱柱ABC﹣A′B′C′＝6．故选：B．5．（4分）四面体ABCD中，AB＝CD＝2，其余棱长均为4，则该四面体外接球半径为（）A．B．C．3D．2【解答】解：四面体ABCD放到长方体中，AB＝CD＝2，其余AC＝BC＝AD＝DB＝4设长方体的边长分别为a，b，c．则，解得a2+b2+c2＝16，四面体外接球半径：2R＝4．R＝2．故选：D．6．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A．B．C．5D．2【解答】解：由题意可知几何体是正方体的一部分，是四棱锥P﹣ABCD，正方体的棱长为3，P是所在棱的3等分点，PB＝＝，P A＝＝，PC＝＝，所以最长棱长为PB，．故选：B．7．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，BC的中点，若M在以C1N 为直径的圆上，则异面直线A1D与D1M所成的角为（）A．45°B．60°C．900D．随长方体的形状变化而变化【解答】解：如图所示：∵M、N分别是棱BB1、BC的中点，∴MN∥CB1，∵M在以C1N为直径的圆上，∴∠C1MN＝90°，∴C1M⊥MN，∴C1M⊥CB1，由长方体的几何特征，我们可得C1D1⊥B1C，∴B1C⊥平面C1D1M，∵A1D∥B1C，∴A1D⊥平面C1D1M，∴A1D⊥D1M，即异面直线A1D与D1M所成的角为90°，故选：C．8．（4分）一封闭的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1，P，Q，R分别为AD，BB1，A1B1的中点，如图所示．由于某种原因，在P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状是（）边形A．3B．4C．5D．6【解答】解：如图，连接QR并延长，分别交AA1，AB的延长线与E，F，连接PE交A1D1于G，连接PF交BC于H，连接PH，QH，GR，则五边形PGRQH即为此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状，故选：C．9．（4分）已知a＝sin1.5+cos1.5，b＝sin1.5•cos1.5，c＝（cos1.5）sin1.5，d＝（sin1.5）cos1.5，则a，b，c，d的大小关系为（）A．b＜c＜d＜a B．b＜d＜c＜a C．d＜b＜c＜a D．d＜c＜b＜a【解答】解：因为＜1.5＜，所以＜sin1.5＜1；0＜cos1.5＜，∴a＞，0＜b＜；∴b＜a；找中间量sin1.5sin1.5，由y＝sin1.5x是R上的减函数，sin1.5＞cos1.5，可得sin1.5sin1.5＜sin1.5cos1.5；由y＝x sin1.5是（0，+∞）上的增函数，sin1.5＞cos1.5，可得cos1.5sin1.5＜sin1.5sin1.5；故c＜d，只有A答案合适．故选：A．10．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|x2﹣3ax+4≤0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）A．[）B．（）C．[）D．（）【解答】解：A＝（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），令f（x）＝x2﹣3ax+4，由题意，△＝9a2﹣16＞0，且a＞0，∴解得，，又，∴要使A∩B中恰好有两个整数解，则只能是4和5，∴，解得，∴a的取值范围是．故选：A．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（6分）棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成的角大小是，线段EF的长度为a．【解答】解：棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，取BD中点G，连结BE，CE，EG，FG，则EG∥AB，且EG＝FG＝＝，∴∠EFG是异面直线EF与AB所成的角（或所成角的补角），BE＝CE＝＝，EF＝＝，cos∠EFG＝＝＝，∴∠EFG＝，∴异面直线EF与AB所成的角大小是，线段EF的长度为．故答案为：，．12．（4分）二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为45°，则AB与平面β所成的角的余弦值是．【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D．连结AD，根据三垂线定理可得AD⊥l，因此，∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，∠ADC＝60°又∵AB与l所成角为45°，∴∠ABD＝45°连结BC，可得BC为AB在平面β内的射影，∴∠ABC为AB与平面β所成的角．设AD＝2x，则Rt△ACD中，AC＝AD sin60°＝x，Rt△ABD中，AB＝＝2，BC＝＝，∴Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝＝．故答案为：．13．（6分）正三棱锥的高为1，底面边长为2，则它体积为2；若有一个球与该正三棱锥的各个面都相切，则球的半径为﹣2．【解答】解：底面等边三角形的面积S＝＝，所以V＝，设内切球的球心为O，半径为r，则在O与底面的中心M，BM＝，OE＝r，OA＝1﹣r，侧面斜边的高AB＝由△AOE ∽△ABM，得相似得，得，，所以．故答案为：﹣2．14．（6分）若f（x）＝﹣3x为奇函数，则a＝1，此时，不等式f（1﹣x2）+f（3x+9）＜0的解集为（﹣2，5）．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0，，∴a＝1．∴∵，∴f（x）为减函数，且为奇函数∵f（1﹣x2）+f（3x+9）＜0，∴f（1﹣x2）＜﹣f（3x+9）＝f（﹣3x﹣9），∴1﹣x2＞﹣3x﹣9，∴﹣2＜x＜5．故不等式的解集为（﹣2，5）．故答案为：1，（﹣2，5）．15．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是对角线AC1上一点，N是底面ABCD上一点．若AB＝2，BC＝AA1＝，则MB1+MN的最小值为．【解答】解：将△AB1C1绕边AC1旋转到APC1位置，使得平面APC1和平面ACC1在同一平面内，过点P作PN⊥平面ABCD，交AC1于M，垂足为N，则PN为MB1+MN的最小值．∵AB＝2，BC＝AA1＝，∴AC1＝＝2，AP＝AB1＝＝，∵sin∠C1AC＝＝＝，∴∠C1AC＝30°，∴∠P AN＝2∠C1AC＝60°，∴PN＝AP•sin∠P AN＝＝．∴MB1+MN的最小值为．故答案为：．16．（6分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E．（1）若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是平行；（2）|A1P|的最小值为．【解答】解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（1，0，1），E（0，1，），B（1，1，0），∵P，Q均在平面A1B1C1D1内，∴设P（a，b，1），Q（m，n，1），则＝（﹣1，1，﹣），＝（a﹣1，b﹣1，1），＝（m﹣1，n﹣1，1），∵BP⊥A1E，BQ⊥A1E．∴，解得，∴PQ∥BD，即PQ与BD的位置关系是平行．故答案为：平行．（2）当|A1P|取最小值时，P在平面A1B1C1D1内，设P（a，b，1），由（1）得b＝a+，∴|A1P|＝＝＝＝，∴当a＝，即P（，，1）时，|A1P|的最小值为．故答案为：．17．（4分）若不等式[2x（t﹣1）﹣1]•log a≥0对任意的正整数x恒成立（其中a∈R，且a＞1），则t的取值范围是．【解答】解：原不等式等价于：或即①或②，注意到x＝1时，②成立，此时≤t≤；当x∈Z，x≥2时，①成立，在①中，1+≤t≤x﹣，又g（x）＝x﹣﹣为单调递增函数，所以，要使对x∈Z，x≥2成立，只需x＝2时成立，又x＝2时，≤t≤，所以要使不等式对任意的正整数x恒成立，则t的取值范围是：≤t≤，故答案为：≤t≤．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若cos C＝，且＝，求△ABC的面积；（2）设向量＝（2sin，），＝（cos B，cos），且∥，b＝2，求a+c的取值范围．【解答】解（1）由•＝，得ab cos C＝．又因为cos C＝，所以ab＝＝．又C为△ABC的内角，所以sin C＝．所以△ABC的面积S＝ab sin C＝3．（2）因为∥，所以2sin cos＝cos B，即sin B＝cos B．因为cos B≠0，所以tan B＝．因为B为三角形的内角，0＜B＜π，所以B＝．由正弦定理＝，所以a＝，c＝，所以a+c＝，又A+C＝，所以a+c＝＝4（cos C+）＝4sin（C+），又0，所以＜C+，所以∈（2，4]．19．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，且AD＝2BC，O，E 分别为AD，PD中点．（1）设平面P AB∩平面PCD＝l，请作图确定l的位置并说明你的理由；（2）若Q为直线CE上任意一点，证明：OQ∥平面P AB．【解答】（1）解：分别延长AB和DC交于点R，连接PR，则直线PR就是l的位置；R∈AB⊂平面P AB，R∈CD⊂平面PCD，所以P、R是平面P AB和平面PCD的两个公共点，由公理1可知，过P、R的直线就是两个平面的交线l．（2）证明：连接OE、OC，因为BC∥AD，且BC＝AD，又AO＝AD，所以BC∥AO，且BC＝AO，所以四边形ABCO为平行四边形，所以OC∥AB，则OC∥平面P AB；又OE为△P AD的中位线，则OE∥AP，所以OE∥平面P AB，又OE⊂平面OEC，OC⊂平面OEC，且OE∩OC＝O，所以平面P AB∥平面OEC，又OQ⊂平面OEC，所以OQ∥平面P AB．20．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n﹣na n＝3n（n∈N*），且a2＝5．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n成立的最小正整数n的值．【解答】解：（1）当n≥2时，2S n﹣1﹣（n﹣1）a n﹣1＝3（n﹣1），又2S n﹣na n＝3n，相减可得（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n＝3，当n≥3时，（n﹣2）a n﹣2﹣（n﹣3）a n﹣1＝3，所以（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n＝（n﹣2）a n﹣2﹣（n﹣3）a n﹣1，可得2a n﹣1＝a n﹣2+a n，所以{a n}为等差数列．又2S1﹣a1＝3，且a1＝S1，得a1＝3，又a2＝5，所以{a n}为公差为2的等差数列，则a n＝2n+1；（2）b n＝＝＝＝＝（﹣），T n＝（﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣），要使T n成立，即（﹣）＞，解得n＞，所以最小正整数n的值为8．21．（15分）对于函数f（x），若存在实数对（m，n），使得等式f（m+x）•f（m﹣x）＝n对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（m，n）型函数”．（1）判断函数f（x）＝是否为“（m，n）型函数”，并说明理由；（2）①若函数g（x）是“（1，4）型函数”，已知g（0）＝1，求g（2）；②若函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣a（x﹣1）+1（a＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4成立，试求a的取值范围．【解答】解：（1），则x2＝m2﹣n2不可能恒成立，所以f（x）＝x不是““（m，n）型函数”；（2）①由题意，g（x+1）g（1﹣x）＝4，取x＝1，则g（2）g（0）＝4，又g（0）＝1，所以g（2）＝4．②方法一：∵（x+1）g（1﹣x）＝4，所以g（x）g（2﹣x）＝4．当x∈[0，1]时，2﹣x∈[1，2]时，g（2﹣x）＝＝＝．（a）当0＜a＜1时，0＜，则g（x）在[0，1]内先减后增，且g（，即1+a﹣a2≤g（x）≤2，则当x∈[1，2]时，2≤g（x）．所以当x∈[0，2]时，1+a﹣，由题意，，解得0≤a≤4，所以0＜a＜1．（b）当1≤a＜2时，，则g（x）在][0，1]内先减后增，且g（）≤g（x）≤g（0），即1+a﹣≤g（x）≤1+a，则当x∈[1，2]时，．要满足题意，则应满足，且解得0≤a≤33，所以1≤a＜2．（c）当a≥2时，≥1，则g（x）在[0，1]内递减，且g（1）≤g（x）≤g（0），即2≤g（x）≤1+a，则当x∈[1，2]时，．此时，g（x）min＝，g（x）min＝1+a．要满足条件，则应，解得a≤3，所以2≤a≤3．综上所述，0＜a≤3．方法二：当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4成立，所以当x∈[1，2]时，1≤g（x）≤4；当x∈[0，1]时，2﹣x∈[1，2]时，所以g（2﹣x）∈[1，4]，而g（x）g（2﹣x）＝4，所以1，即1≤g（x）≤4，所以问题转化为当x∈[0，1]时，1≤g（x）≤4即可．当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣a（x﹣1）+1（a＞0），．（1）当0＜＜1，即0＜a＜2时，，解得0≤a≤3，所以0＜a＜2；（2）当，即a≥2时，只要解得a≤3，所以2＜a≤3；综上所述，0＜a≤3．22．（15分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A═120°，M为线段BC的中点，D为线段BC上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD，记二面角C′﹣AD﹣B的平面角为α．（1）证明：平面△AMC′⊥平面ABD；（2）比较∠C′DB与α的大小，并证明你的结论；（3）求cosα的值．【解答】解：（1）证明：∵AM⊥BD，BD⊥AC′，AM∩AC′＝A，∴BD⊥平面AMC′，∵BD⊂平面ABD，∴平面△AMC′⊥平面ABD．（2）解：如图，在△C′AM所在平面内，过点C′作C′P⊥AM，垂足为P，则C′P⊥平面ABD，过P作PQ⊥AD，连接C′Q，则C′Q⊥AQ，∠C′QP＝α．又QC′是由QC翻折得到，∴∠C′QP＝α＝2∠C′CQ，且∠C′CQ就是直线C′C与平面ABC所成的角．同理，又C′D是由DC翻折得到，∴∠C′DB＝2∠C′CD．由线面角的最小性可知，∠C′CD＞∠C′CQ，∴∠C′DB＞α．（3）解：如图，在△C′AM中，过点C′作AM的垂线，垂足为P，过P作AD的垂线，垂足为Q．平面AMC′⊥平面BCD，交线为AM，C′P⊥平面ABD，又PQ⊥AD，∴CQ⊥AD．∴∠C′QP就是二面角C′﹣AD﹣B的平面角．△AMC中，∠MAD＝15°，∠CAD＝45°，作出二面角的平面角∠C1QP后，若将半平面C1AD摊平，则P，Q，C的连线与AD垂直，且cos∠C′QP＝＝＝＝tan∠P AQ＝tan15°＝2﹣．第21页（共21页）。

精品解析：浙江省杭州市学军中学(西溪校区)2020-2021学年高二上学期期中数学试题(解析版)

2020学年学军西溪高二上期中一､选择题：每小题4分，共40分1. 已知直线310x y -+=的倾斜角为α，则sin α=（）A.13B. 3C.D.【答案】C 【解析】【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求得tan α，再根据同角三角函数的基本关系求得sin α的值．【详解】解：直线310x y -+=的倾斜角为α，tan 3α∴=，因为sin tan 3cos ααα==且22sin cos 1αα+=，又[)0,απ∈，所以sin 0α≥，所以sin 10α= 故选：C【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题． 2. 设a R ∈，则“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】计算直线平行等价于1a =或2a =-，根据范围大小关系得到答案.【详解】直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行，则()12a a +=，1a =或2a =-，验证均不重合，满足.故“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力. 3. 圆22430x y x +-+=关于直线y x =对称圆的方程是（）A. (()2211x y +-=B. ()2221x y +-= C. ()2211x y +-= D. ()(2211x y -+=【答案】D 【解析】【分析】求出已知圆的圆心关于直线y x =的对称点的坐标，即得所求圆的圆心，再结合圆的半径不变即可求出圆的方程．【详解】由题意得，圆22430x y x +-+=方程即为()2221x y -+=，∴圆心坐标为()2,0，半径为1．设圆心()2,0关于直线y x =的对称点的坐标为(),a b ，则12222b a b a ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴所求圆的圆心坐标为(， ∴所求圆的方程为()(2211x y -+=．故选D ．【点睛】确定圆的条件有两个：一个是求出圆心的坐标，另一个是确定圆的半径．解答本题的关键是根据点与点关于直线的对称求出圆心的坐标，然后可得圆的标准方程．4. 如果用,m n 表示不同直线，,,αβγ表示不同平面，下列叙述正确的是（） A. 若//m α，//m n ，则//n α B. 若//m n ，m α⊂，n β⊂，则//αβ C. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ D. 若m α⊥，n α⊥，则//m n【答案】D 【解析】【分析】根据线面关系，面面关系逐项检验即可求解【详解】选项A 中还有直线n 在平面α内的情况，故A 不正确，选项B 中再加上两条直线相交的条件可以得到两个平面平行，故B 不正确，选项C 中还有,αβ相交，故C 不正确，故选：D ．【点睛】本题考查平面的基本性质及推论，本题解题的关键是在推导这种线面位置关系的问题时，注意容易忽略的细节问题． 5. 将半径为3，圆心角为23π的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）A. πB.C. 3πD.3【答案】D 【解析】【分析】求得扇形弧长后可得圆锥底面周长，由此确定底面半径和圆锥的高，利用圆锥体积公式可求得结果. 【详解】由扇形弧长公式可求得弧长2323L ππ=⨯=，∴圆锥底面周长为2π， ∴圆锥底面半径1r =，∴圆锥的高h ==，∴圆锥的体积2133V r h π=⋅=.故选：D .【点睛】本题考查圆锥体积的求解问题，涉及到扇形弧长公式的应用，属于基础题. 6. 已知(),x y 为半圆22:(2)(1)1(1)C x y y -+-=≥上一动点，则1y x-最大值为（）A.B. 2C.12D.【答案】A 【解析】【分析】1y x-表示点(),P x y 到点()0,1A 的斜率，当直线PA 与半圆相切时斜率最大，计算得到答案. 【详解】1y x-表示点(),P x y 到点()0,1A 的斜率，如图所示：当直线PA 与半圆相切时斜率最大，此时1PC =，2AC =，3PA =，故斜率为3tan 3PAC ∠=. 故选：A.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力，将1y x-转化为点(),P x y 到点()0,1A 的斜率是解题关键.7. 如图， ,M N 分别为边长为1的正方形ABCD 的边BC CD 、的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，以下结论错误的是（）A. //MN 平面ABDB. 异面直线AC 与BD 所成的角为定值C. 存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D. 三棱锥M ACN -体积的最大值为248【答案】C 【解析】【分析】利用线面平行判定定理判断A 选项，利用线面垂直的性质判断B 选项，利用垂直的转化说明C 选项，利用等积法说明D 选项.【详解】选项A ，因为// MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故选项A 正确；选项B ，取AC 中点O ，连接,OB OD ，则AC OB ⊥，且AC OD ⊥，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，异面直线AC 与BD 所成的角为90︒，为定值，故选项B 正确；选项,C 若直线AD 与直线BC 垂直，因为直线AB 与直线BC 也垂直，则直线BC ⊥平面ABD ，所以直线BC ⊥直线BD ，又因为BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥，而OBD 是以OB 和OD 为腰长的等腰三角形，这显然不可能，故选项C 不正确；选项D ，M ACN N ACM V V --=，当平面DAC ⊥平面ABC 时取最大值，()max112234448N ACM V -=⋅⋅=，故选项D 正确. 故选：C【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了线面平行与线线垂直的判定和性质定理，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力和推理能力，是中档题．8. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，,D E 分别是,BC AB 的中点，AB AC ≠，且AC AD >.设PC 与DE 所成角为α，PD 与平面ABC 所成角为β，二面角P BC A --为γ，则（）A. αβγ<<B. αγβ<<C. βαγ<<D. γβα<<【答案】A 【解析】如图可知PCA α∠=，PDA β∠=，因为PA ⊥平面ABC 则tan αPA AC =，tan PAADβ= 又由AC AD >，故tan tan αβ>，则βα>，同理可证得γβ> 所以αβγ<< 故选A9. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 2 ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C 【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.【详解】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不2. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.10. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为6π，当1B M 最小时，AMB ∠=（）A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】B 【解析】【分析】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设1=1AB AC AA ==，设CN b =，BM a =，则(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)， (0AM =，1，)a ，(1AN =，0，)b ，设平面AMN 的法向量(n x =，y ，)z ，·0·0AM n y az AN n x bz ⎧=+=⎨=+=⎩，取1z =，得(n b =-，a -，1)，平面ABC 的法向量(0m =，0，1)，平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为6π，22||cos6||||1m n m n a b π∴==++，解得22331a b +=，∴当|1|B M 最小时，0b =，3BM a ==，tan 33AB AMB BM ∴∠===， 3AMB π∴∠=．故选B ．【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二､填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为______；表面积为______．【答案】 (1). 43(2). 426+ 【解析】【分析】首先根据题中所给的三视图，还原几何体，放在正方体当中，容易判断三棱锥的特征，进而利用相应的公式求解得结果.【详解】根据三视图知，该几何体是三棱锥，把它放入棱长为2的正方体中，如图所示：则该三棱锥的体积为：114222323V =⨯⨯⨯⨯=，该三棱锥的表面积为：221122=222+222(5)(2)42622ABC PAB S S S =+⨯⨯⨯⨯⨯-+△△故答案为：43；4+. 【点睛】该题考查的是有关三视图的问题，涉及到的知识点有根据题中所给的三视图还原几何体，利用公式求得结果，属于简单题目.12. 已知圆221:4C x y +=与圆222:860C x y x y m +-++=外切，则m =__________，此时直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长为______________.【答案】 (1). 16(2). 【解析】【分析】将圆2C 的方程写成标准形式，，然后根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得m ，接着计算2C 到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.【详解】由题可知：221:4C x y +=222:860C x y x y m +-++=，即()()224325-++=-x y m且25025->⇒<m m2=，解得16m =所以2:C ()()22439x y -++=2C到直线的距离为==d 2C 的半径为R 则直线:0l x y+=被圆2C所截的弦长为==故答案为：16【点睛】本题考查圆与圆的位置关系以及圆的弦长公式，掌握直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，同时识记圆的弦长公式，便于计算，属基础题.13. 已知圆O 的圆心是原点O ，半径是r ，点A ，B 是圆O 上的相异两点，P 点坐标是()0m ,，若APB ∠的最大值是3π，且此时APB △的面积是4，则m =_____；r =_______. 【答案】 (1). ： 2±； (2). ：1. 【解析】【分析】根据题意，不妨设m r >，若APB ∠的最大，则过点P 的两条直线与圆相切，再根据APB ∠的最大值是3π，求得PA PB =，再由133sin 23S PA PB π=⋅⋅=求解. 【详解】因为APB ∠的最大值是3π，所以m r >，如图所示：若APB ∠的最大，则过点P 的两条直线与圆相切，可得tan3,23PA PB r r m r π====，此时APB △的面积是)211333sin 3232S PA PB r π=⋅⋅=⨯=，解得1r =，2m =±. 故答案为：①2±；②1.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及三角形面积公式的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 14. 已知ABC 93且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则球O 的体积为______；O 到平面ABC 的距离为______．【答案】 (1). 323π(2). 1 【解析】【分析】根据三角形和球表面积公式得到边长和半径，计算球体积，再根据勾股定理得到答案. 【详解】21193sin 23S a π==3a =， 22416S r ππ==，故2r，343233V r ππ==，三角形中心都顶点的距离为23sin 33π⨯⨯= 故O 到平面ABC1==.故答案为：323π；1. 【点睛】本题考查了三角形面积公式，球的表面积和体积，点到平面的距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.15. 已知圆O ：224x y +=及一点(1,0)P -，Q 在圆O 上运动一周，PQ 的中点M 形成轨迹C 的方程为__________．【答案】22112x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 【解析】设(),M x y ，则()21,2Q x y +，Q 在圆224x y +=上，()222144x y ∴++=，即22112x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，∴轨迹C 的方程为22112x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭,故答案为22112x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.16. 已知圆C 的方程是2220x y y +-=，圆心为点C ，直线:20λλ+-=l x y 与圆C 交于A 、B 两点，当ABC 面积最大时，λ=______．【答案】1λ=或17λ=. 【解析】【分析】由三角形面积公式in 12s S ab C =知，当ABC 面积最大时，90ACB ∠=，即ABC 为等腰直角三角形，再利用点到直线的距离公式和半径的关系可得答案.【详解】圆C 的方程即22(1)1x y +=-，圆心(0,1)C ，半径1R =，由面积公式21sin 2ABCSR ACB =∠知，当90ACB ∠=时面积最大，即ABC 为等腰直角三角形，此时圆心C 到直线:20λλ+-=l xy 的距离为d =，1==，解得1λ=或17λ=，故答案为：1λ=或17λ=. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系及求三角形面积最大值的问题.17. 正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 中点，在平面1111D C B A 内，直线11//l B D ，设二面角A l E --的平面角为α，当α最大时，cos α= _____．【答案】2341【解析】【分析】根据线线平行关系可证得EFHI 共面，根据线面垂直关系可证得二面角A l E --的平面角为AOG ∠，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，根据夹角公式可知32,18O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，tan α取得最大值，结合余弦定理可求得结果.【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，l 与1111,A B A D 分别交于点,I H ，11HI AC O =，取CD 的中点F ，连接EF ，EFAC G =，连接,AO OG ，,E F 分别为,BC CD 中点，//EF BD ∴，又11////BD B D l ，11////EF B D l ∴， ,,,E F H I ∴四点共面，1AA ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，111AA B D ∴⊥，又1111B D A C ⊥，1111AA AC A ⋂=，111,AA A C ⊂平面11AAC C ，11B D ∴⊥平面11AAC C ，又11//l B D ，l ∴⊥平面11AAC C ，AOG ∴∠即为二面角A l E --的平面角α，且α为锐角.EF 是BCD △的中位线，G ∴是AC 的四等分点，33244AG AC ∴==，作出截面11AAC C ，以A 为坐标原点，AC 为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设(),1O x ，(2x ∈，直线OA 的斜率1OAk x=，直线OG 的斜率324OG k x =-21323232444tan 113232111324OG OA OG OAx x k k k k x x x x x x α---∴====+⋅⎛⎫-+-+ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭ 当α取得最大值时，tan α取得最大值，当328x =时，tan α最大，即32O ⎫⎪⎪⎝⎭，2232411832OA OG ⎛⎫∴==+= ⎪ ⎪⎝⎭由余弦定理可得：222414192332328cos 4124116OA OG AG OA OG α+-+-===⋅，∴当α最大时，23cos 41α=.故答案为：2341. 【点睛】本题考查立体几何中二面角余弦值的求解问题，解题关键是能够做出二面角的平面角，并确定平面角取得最大值的位置，进而抽象为平面几何的知识，利用余弦定理求得结果，属于较难题.三､解答题：5小题，共74分18. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =．求证：（1）11//A B 平面1DEC ；（2）1BE C E ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）推导出DE //AB ，AB //A 1B 1，从而DE //A 1B 1，由此能证明A 1B 1//平面DEC 1．（2）推导出BE ⊥AA 1，BE ⊥AC ，从而BE ⊥平面ACC 1A 1，由此能证明BE ⊥C 1E ．【详解】（1）∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点， ∴DE //AB ，AB //A 1B 1，∴DE //A 1B 1， ∵DE ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， ∴A 1B 1//平面DEC 1．（2）∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E 是AC 的中点，AB ＝BC ． ∴BE ⊥AC ，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ， ∴BE ⊥AA 1，又AA 1∩AC ＝A ，∴BE ⊥平面ACC 1A 1， ∵C 1E ⊂平面ACC 1A 1，∴BE ⊥C 1E ．【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想与空间想象能力，是中档题． 19. 已知定点(0,1)A 、(0,1)B -、(1,0)C ，动点P 满足：2||AP BP k PC ⋅= （1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形；（2）当2k =时，求AP BP +的最大值和最小值【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】(1)设动点的坐标为(,)P x y ,得到AP ,BP ,PC 的坐标表示,然后根据2||AP BP k PC ⋅=.可得答案. (2)当2k =时确定方程,然后求出向量AP BP +的模的表达式,最后根据所求方程的参数方程求最值. 【详解】解：( 1 ) 设动点P 的坐标为(,)x y ，则(,1)AP x y =-，(,1)BP x y =+，(1,)PC x y =-∵2||AP BP k PC ⋅=，∴22221(1)x y k x y ⎡⎤+-=-+⎣⎦，即22(1)(1)210k x k y kx k -+-+--=．若1k =，则方程为1x =，表示过点(1,0)且平行于y 轴的直线、若1k ≠，则方程为222111k x y k k ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，表示以,01k k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭为圆心，以 1|1|k -为半径的圆( 2 ) 当2k =时，方程化为22(2)1x y -+=(,1)(,1)(2,2)AP BP x y x y x y +=-++=∴22||2AP BP x y +=+又∵22(2)1x y -+=，∴令2cos ,sin x y θθ=+=，则22||2254cos AP BP x y θ+=+=+∴当cos 1θ=时，||AP BP +的最大值为6，当cos 1θ=-时，最小值为2．【点睛】本题主要考查通过向量的有关运算求轨迹方程的问题.对向量的有关题型比如:求模、求夹角、求垂直以及平行等的问题一定要强化练习,是高考的热点问题. 20.ABC 中，5AB AC ==，2BC =，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且//EF BC ，AH BC ⊥于H ，=∩AH EF O ，将AEF 沿EF 折起，点A 到达A '，此时满足面A EF '⊥面BCFE ．（1）若53=AE EB ，求直线A B '与面BCFE 所成角大小；（2）若E ，F 分别为AB ，AC 中点，求锐二面角A BE C '--的余弦值；（3）在（2）的条件下，求点B 到面'A CF 的距离．【答案】（1）45︒；（26（3）263．【解析】【分析】（1）折叠过程中,AO OH 与EF 保持垂直，由面面垂直的性质定理得AO '⊥平面BCFE ，从而可得A BO '∠为直线A B '与面BCFE 所成角，解A BO '即可得；（2）由（1）分别以,,OH OF OA '为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，写出点的坐标，求出二面角的两个面的法向量，由法向量夹角的余弦得二面角的余弦（注意锐二面角）；（3）同样求出平面'A CF 的一个法向量，由CB 在法向量方向上的投影的绝对值即为点B 到面'A CF 的距离可得结论．【详解】（1）因为5AB AC ==，2BC =，//EF BC ，AH BC ⊥，所以H 为BC 中点，1CH BH ==，222AH AC CH =-=，AH EF ⊥，所以A O EF '⊥，又平面A EF '⊥平面BCFE ，所以AO '⊥平面BCFE ，所以A BO '∠为直线A B '与面BCFE 所成角若53=AE EB ，由//EF BC 得53AO AE OH EB ==，所以55284AO =⨯=，34OH =，54A O AO '==，又222235144OB OH HB ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， tan 1A OA BO OB''∠==，A BO '∠是锐角，所以45A BO '∠=︒；（2）分别以,,OH OF OA '为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为E ，F 分别为AB ，AC 中点，则112EF BC ==，1AO OH ==， 10,,02E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1,1,0)B -，(0,0,1)A '，11,,02EB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1,1,1)BA '=-，设平面A BE '的一个法向量为(,,)m x y z =，则1020m EB x y m BA x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=-++=⎩'，取2y =，则1,1x z ==-，即(1,2,1)m =-，平面BCE 的一个法向量为(0,0,1)n =，6cos ,61m n m n m n⋅<>===-⨯，所以锐二面角A BE C '--的余弦值为6．（3）由（2）(1,1,0)C ，10,,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,02FC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1,1,1)CA '=--，设平面'A CF 的一个法向量为111(,,)p x y z =，则111111020p FC x y p CA x y z '⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=--+=⎩，取11x =，则12y =-，11z =-，即(1,2,1)p =--， (0,2,0)CB =-，所以点B 到面'A CF 的距离为426cos ,36CB p CB CB p p⋅<>===．【点睛】本题考查求直线与平面所成的角，考查用空间向量法求二面角，求点到平面的距离，解题关键是建立空间直角坐标系，求出平面的法向量．然后只要计算即可得．21. 在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，BC CD ⊥，120ABC ∠=︒，4=AD ，3BC =，=2AB ，3=CD CE ，⊥AP ED ．（1）求证：DE ⊥面PEA ；（2）已知点F 为AB 中点，点P 在底面ABCD 上的射影为点Q ，直线AP 与平面ABCD 所成角的余弦值3，当三棱锥-P QDE 的体积最大时，求异面直线PB 与QF 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）714．【解析】【分析】（1）在直角梯形ABCD 中先求出,,CD CE BE ，然后可求得,DE AE ，从而可证明DE AE ⊥，由线面垂直判定定理证明线面垂直；（2）由（1）得面面垂直，知Q 在AE 上，PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角，cos AQ PAQ AP ∠==AQ x =（0x <≤，求出三棱锥-P QDE 的体积，由二次函数知识求得最大值，及此时x 的值，得Q 为AE 中点，从而有//FQ BE ，PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角（或补角），由余弦定理可得．【详解】（1）证明：//AD BC ，BC CD ⊥，120ABC ∠=︒，4=AD ，3BC =，=2AB ，∴CD ===CD ，∴1CE =，CD =2BE =，由余弦定理得AE ===又2DE ===， ∴222DE AE AD ，∴AD DE ⊥，∵AP DE ⊥，又AP AE A =，AP AE ⊂、平面APE ，∴DE ⊥平面APE ．（2）由（1）DE ⊥平面APE ．DE ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAE ，∴Q 点在AE 上，PAQ ∠为直线AP 与平面ABCD 所成的角，cos AQ PAQ AP ∠==设AQ x =（0x <≤，则PQ =，QE x =，12)2QDE S x x =⨯⨯=△，21)33P QDE QDE V PQ S x -=⋅=--△2(3x =--+≤x =则当P QDE V -最大时，AQ =Q 为AE 中点，∵F 为AB 中点，∴//FQ BC ，∴PBE ∠为异面直线PB 与QF 所成角（或补角），1,QB QE ==PQ ⊥平面ABCD 得3,PE PB ==2BE =，则2227cos 214PB BE PE PBE PB BE +-∠==⋅， ∴异面直线PB 与QF 所成角的余弦值为714．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，考查直线与平面所成的角，异面直线所成的角，三棱锥的体积等，旨在考查学生的空间想象能力，运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．22. 如图，在直角坐标系xOy 中，22:4O x y +=与x 轴的正半轴交于点A ，()()222:20A x y r r -+=>与O 交于B 、C 两点.（1）求AB AC ⋅的最小值；（2）设P 为O 上异于B 、C 的任一点，直线PB 、PC 与x 轴分别交于点M 、N ，求POM PON S S 的最大值.【答案】（1）2-；（2）4【解析】【详解】（1）由对称性，不妨设点()00,B x y ，()00,C x y -.则22004x y +=. 故()22002AB AC x y ⋅=-- ()()()22200024212x x x =---=--. 而022x -<<，则当01x =时，AB AC ⋅取得最小值为2-.（2）设点()()1110,P x y y y ≠±.则22114x y +=，()011101:PB y y l y y x x x x --=--， ()011101:PC y y l y y x x x x ---=--. 分别令0y =，得100101M x y x y x y y -=-，100101N x y x y x y y +=+. 则222210012201M N x y x y x x y y -=- ()()222210012201444y y y y y y ---==-. 故2114POM PON S S OM ON y = 221114M N x x y y ==. 因为122y -≤≤，所以，当12y =或2-时，POM PON S S 取得最大值为4.。

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杭州学军中学2019学年第一学期期中考试
高二数学答题卷
命题人：叶秋平审题人：徐政
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11. ，； 12. ；
13. ，； 14. ，； 15. ； 16. ，； 17. 。

三、解答题（本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18.（本题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,。

（1）若5
3cos =
C ，且9CB CA 2⋅=，求ABC ∆的面积；
（2）设向量x ＝(B 2sin 2)，y ＝(cos B ，B cos 2)，且x ∥y ，2=b ，求c a +的取值范围。

19.（本题满分15分）如图，在四棱锥ABCD P -的底面ABCD 中，BC AD ∥，且
BC AD 2=，E O ,分别为PD AD ,中点。

（1）设平面⋂PAB 平面PCD =l ，请作图确定l 的位置并说明你的理由；
（2）若Q 为直线CE 上任意一点，证明：OQ ∥平面PAB 。

20.（本题满分15分）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足)(32*∈=-N n n na S n n ，且52=a 。

（1）证明数列}{n a 为等差数列，并求}{n a 的通项公式；
（2）设n
n n n n a a a a b 111+++=，n T 为数列}{n b 的前n 项和，求使103>n T 成立的最小正整数n 的值。

21．（本题满分15分）对于函数()f x ，若存在实数对(n m ,),使得等式
n x m f x m f =-⋅+)()( 对定义域中的每一个x 都成立，则称函数()f x 是“(n m ,)型函数”。

(1) 判断函数()f x =(n m ,)型函数”，并说明理由；
(2) ①若函数()g x 是“(4,1)型函数”，已知1)0(=g ，求)2(g ；
②若函数()g x 是“(4,1)型函数”，且当[0,1]x ∈ 时,2
()(1)1(0)g x x a x a =--+>，若当[0,2]x ∈时,都有1()4g x ≤≤成立，试求a 的取值范围。

22.（本题满分15分）如图，在等腰三角形ABC 中，
120,=∠=A AC AB ，M 为线段BC
的中点，D 为线段BC 上一点，且BA BD =，沿直线AD 将ADC ∆翻折至'ADC ∆，使BD AC ⊥'，记二面角B AD C --'的平面角为α。

（1）证明：平面'AMC ∆⊥平面ABD ；
（2）比较DB C '∠与α的大小，并证明你的结论；
（3）求αcos 的值。

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精品解析：浙江省杭州市学军中学(西溪校区)2020-2021学年高二上学期期中数学试题(解析版)

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