华工版概率论习题答案4

4-3：由概率密度性质：知
1),(=⎰⎰∞∞∞
∞
dxdy y x f ＋－＋－
则
⎰⎰R
Axydxdy ＝141
1
==
⎰⎰A
dy y xdx A ∴ A ＝4，⎩⎨
⎧=0
4),(xy y x ϕ 其他
1
0,10<<<<y x
3614}31,21{3
10
2
10==<<
⎰⎰ydy xdx P ηξ 4－4：当x>0且y>0时，⎰⎰
+-=x
y
v u dv e
du y x F 0
)
(),(＝)1)(1(y x e e ----
当x<0或者y<0时，),(y x F ＝0
所以 ⎩
⎨⎧--=--0)1)(1(),(y x e e y x F 其他+∞<<+∞<<y x 0,0
由D ＝{（x,y ）：1,0,0≤+≥≥y x y x }
⎰⎰⎰⎰-+-==D
x
y x dy e dx dxdy y x f P 1
10
)(),(),(ηξ＝1－21-e
4－12：
(1) 由概率密度性质知：
1),(=⎰⎰∞∞∞
∞
dxdy y x f ＋－＋－
而
dxdy y x f ⎰⎰∞∞∞
∞
＋－＋－),(＝⎰⎰=+-R
y x dxdy Ae
)
43(112
)43(==
⎰⎰+∞
+∞
+-A
dy e dx A y x ∴ A ＝12
（2）当x<0或者y<0时，),(y x F ＝0
当x>0且y>0时，⎰⎰
+-=
x y
v u dudv e y x F 00
)
43(12),(＝)1)(1(43y x e e ---- （3）由D ＝{（x,y ）：04,03>≥>≥y x }
⎰⎰⎰⎰+-==D
y x dy e dx dxdy y x f P 3
4
)43(12),(),(ηξ＝)1)(1(169----e e
4－16
（1）由概率密度性质知：
1),(=⎰⎰∞∞∞
∞
dxdy y x f ＋－＋－
而
dxdy y x f ⎰⎰∞∞∞
∞
＋－＋－),(＝13
2
)(102
2=+=
+⎰⎰C dy dx Cxy x ∴ C ＝3
1
（2）当x<0或者y<0时，),(y x F ＝0 当x>1,y>2时，),(y x F ＝1 当20,10≤≤≤≤y x 时，
⎰⎰+=x y
dv uv u du y x F 00
2)31(),(＝223121
31y x y x +
当2,10>≤≤y x 时，
⎰⎰+=x dv uv u du y x F 02
2)31(),(＝2331
32x x +
当20,1≤≤>y x 时，
⎰⎰+=100
2)31(),(y
dv uv u du y x F ＝2121
31y y +
综上所述：
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧
+++=1121313132121310),(2
2
3223
y y x x y x y x y x F 2
,120,12,1020,100y 0x >>≤≤>>≤≤≤≤≤≤<<y x y x y x y x 或 3）由
⎰+∞
∞
-=
dv v x f x f ),()(ε
则ξ的边缘密度函数，当,10≤≤x 时
x x dy xy x x f 322)31()(2
2
2
+=+=⎰ξ
当]1,0[∉x 时，)(x f ε＝0
⎪⎩
⎪⎨⎧+=∴032
2)(2x x x f ε
其他1
0≤≤x 同理 ⎰+∞
∞
-=
du y u f y f ),()(η
则η的边缘密度函数，当,20≤≤y 时
y dx xy x y f 61
31)31()(1
2+=+=⎰η
当]2,0[∉y 时，)(y f η＝0
⎪⎩⎪⎨⎧+=∴0
61
31)(y y f η 其他2
0≤≤y
4）由
)
()
,()(y f y x f y x f η=
⎪⎩
⎪⎨⎧++=
=∴0226)(2y
xy
x y x f 其他20,10≤≤≤≤y x 同理由
)()
,()(x f y x f x y f ξ=
⎪⎩⎪⎨⎧++=
=∴0
263)(x y x x y f 其他20,10≤≤≤≤y x
4－19：
j P P P i ij ⋅=相互独立的充要条件是与ηε (i=1,2;j=1,2,3)
18
1)181)(1819161()3()1()3,1(=+++
======∴B P P P ηεηε 即 B ＝
9
1
B B B A P P P =+++======)18
1
)(31()3()2()3,2(ηεηε
即 A ＝92
所以 A ＝92，B ＝9
1
4－21：
1） 由概率密度性质知：
1),(=⎰⎰∞∞∞
∞
dxdy y x f ＋－＋－
而
dxdy y x f ⎰⎰∞∞∞
∞
＋－＋－),(＝12
1
)(1
==
+⎰⎰C dy y x C dx x ∴ C ＝2
2）由
⎰+∞
∞
-=
dv v x f x f ),()(ε
则ξ的边缘密度函数，当,10≤≤x 时
20
3)(2)(x dy y x x f x
=+=⎰ξ
当]1,0[∉x 时，)(x f ε＝0
⎩⎨⎧=∴0
3)(2x x f ε 其他,
10≤≤x
同理 ⎰+∞
∞
-=
du y u f y f ),()(η
则η的边缘密度函数，当,10≤≤y 时
21
321)(2)(y y dx y x y f y
-+=+=⎰η
当]1,0[∉y 时，)(y f η＝0
⎩
⎨
⎧-+=∴0321)(2y y y f η 其他2
0≤≤y 3）对于二维连续型随机变量ηεηε与),,(相互独立的充要条件是对于任意的
)()(),(),(y f x f y x f y x ηε⋅=有
而当,10≤≤≤y x 时 )(2),(y x y x f +=
)(x f ε)(y f η＝23x （2321y y -+）
此时 ),(y x f ≠)(x f ε)(y f η
4）
3
1
)(2)1(2
1
1=
+=≤+⎰⎰-dx y x dy P y
y
ηε。