2018届人教A版 正余弦定理的应用举例 单元测试

正余弦定理的应用举例

一、选择题

1．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为()

A．1千米

B．2sin10°千米

C．2cos10°千米

D．cos20°千米

解析：由题意知DC＝BC＝1，

∠BCD＝160°，

∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°，

＝1＋1－2×1×1×cos(180°－20°)

＝2＋2cos20°＝4cos210°.

∴BD＝2cos10°.

答案：C

2．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是()

A．35海里B．352海里

C．353海里D．70海里

解析：设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F，

则依题意有CE ＝25×2＝50，CF ＝15×2＝30，且∠ECF ＝120°，EF ＝CE 2＋CF 2－2CE ·CF cos120°＝502＋302－2×50×30cos120°

＝70. 答案：D

3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是( )

A ．5海里/时

B ．53海里/时

C ．10海里/时

D ．103海里/时

解析：如图，A ，B 为灯塔，船从O 航行到O ′，OO ′

BO ＝tan30°，OO ′

AO ＝tan15°

， ∴BO ＝3OO ′，AO ＝(2＋3)OO ′. ∵AO －BO ＝AB ＝10， ∴OO ′·[(2＋3)－3]＝10. ∴OO ′＝5.

∴船的速度为5

12＝10海里/时．

答案：C

4．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( )

A ．50 2 m

B ．50 3 m

C ．25 2 m D.252

2 m 解析：由正弦定理，得

AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B

＝50×22

12＝502(m)． 答案：A

5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )

A ．50 m

B ．100 m

C ．120 m

D ．150 m

解析：设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，

根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos60°. 即h 2＋50h －5 000＝0，

即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.

答案：A

6．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处求援，则cos θ等于( )

A.21

7

B.2114

C.3217

D.2128

解析：在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°， 由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos120°，

＝402

＋202

－2×40×20×⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12＝2 800，

所以BC ＝207. 由正弦定理得，

sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝21

7. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角． 故cos ∠ACB ＝277. 故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)

＝cos ∠ACB cos30°－sin ∠ACB ·sin30°＝21

14. 答案：B

7．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是 3 km ，那么x 的值为( )

A. 3 B ．2 3 C ．23或 3

D ．3

解析：如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos30°，

整理得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3. 答案：C

8．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，如图所示，则塔高CB 为( )

A.4003 m

B.400

3 3 m C.2003 3 m D.2003 m

解析：由已知：在Rt △OAC 中，OA ＝200，∠OAC ＝30°，

则OC ＝OA ·tan ∠OAC ＝200tan30°＝2003

3. 在Rt △ABD 中，AD ＝2003

3，∠BAD ＝30°， BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝20033tan30°＝2003， 又∵DC ＝OA ＝200，

∴CB ＝DC －BD ＝200－2003＝4003. 答案：A

9．(2016·云南调研)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，则乙船的速度为( )

A ．253海里/小时

B ．252海里/小时

C ．303海里/小时

D ．302海里/小时 解析：如图，连接A 1B 2，