二次函数在闭区间上的最值(详解)
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二次函数在闭区间上的最值
一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
设fx a x b xc a ()()=++≠2
0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b a a c b a 2
442，、对称轴为x b a =-2 当a >0
时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a
f x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉b a
m n 2，时 若-
m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a <-2，由f x ()在[]
m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0
时，可类比得结论。 ^
二、例题分析归类：
（一）、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨
论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）
轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在
定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-242
在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++2
1
的最值。
2、轴定区间变
二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数
在动区间上的最值”。
例2.如果函数f x x
()()
=-
+
11
2定义在区间[]
t t
，+1上，求f x()的最值。
；
例3.已知2
()43
f x x x
=--+，当[1]()
x t t t
∈+∈R
，时，求()
f x的最值．
对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
当a>0时
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+
<
-
+
≥
-
=
)
)(
(
2
1
2
)
(
)
)(
(
2
1
2
)
(
)
(
2
1
max
如图
如图
，
，
n
m
a
b
n
f
n
m
a
b
m
f
x
f
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<
-
≤
-
≤
-
>
-
=
)
(
2
)
(
)
(
2
)
2
(
)
(
2
)
(
)
(
5
4
3
min
如图
如图
如图
，
，
，
m
a
b
m
f
n
a
b
m
a
b
f
n
a
b
n
f
x
f
当a<0时
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<
-
≤
-
≤
-
>
-
=
)
(
2
)
(
)
(
2
)
2
(
)
(
2
)
(
)
(
8
7
6
max
如图
如图
如图
，
，
，
m
a
b
m
f
n
a
b
m
a
b
f
n
a
b
n
f
x
f f x
f m
b
a
m n
f n
b
a
m n
()
()()()
()()()
min
=
-≥+
-<+
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
，
，
如图
如图
2
1
2
2
1
2
9
10
3、轴变区间定
\
二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称