二次函数在闭区间上的最值

y
–1 0 1 2
x
h
14
例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间 [–1，2]上的最值.
y
–1 0 1 2
x
h
15
例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间
[–1，2]上的最值.
y
y
–1 0 1 2
x
–1 0 1 2
x
h
16
例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间
22
（4）若x∈[
1
,
3
]，求
y
22
函数f(x)的最值；
（5）若x∈[t，t+2]时，
求函数f(x)的最值.
t
t +2
–1 0 1 2 3 4 x
h
10
y
评注：例1属于“轴定
区间变”的问题，看
作动区间沿x轴移动
的过程中，函数最值
t
t +2
的变化，即动区间在
– 1 0 1 2 3 4 x 定轴的左、右两侧及
y
–1 0 1 2 3 4 x
h
3
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[ –2，0]，求函数f(x)的最值； （2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ],求
y
22
函数f(x)的最值；
1
5
2
2
–1 0 1 2 3 4 x
h
4
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3
包含定轴的变化，要
注意开口方向及端点
情况。
h
11
例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间 [–1，2]上的最值.
y
–1 0 1 2
x
h
12
例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间 [–1，2]上的最值.
y
–1 0 1 2
x
h
13
例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间 [–1，2]上的最值.
（5）若x∈[t，t+2]时，
求函数f(x)的最值.
t
t +2
–1 0 1 2 3 4 x
h
8
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
22
（4）若x∈[
y
–1 0
1 2x
h
22
例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]， 试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].
y
–1 0
1 2x
h
23
总结：求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上 的最值或值域的一般方法是：
（1）检查x0=
b 2a
是否属于
[
m，n]；
（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0）
t
t +2
–1 0 1 2 3 4 x
h
7
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
22
（4）若x∈[
1
,
3
]，求
y
22
函数f(x)的最值；
[–1，2]上的最值.
y
y
–1 0 1 2
x
–1 0 1 2
x
h
17
评注：例2属于“轴变区间定”的问题，看作对 称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,即 对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区 间上变化情况,要注意开口方向及端点情况。
y
y
–1 0 1 2
x
–1 0 1 2
x
h
18
例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]， 试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].
（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
22
y
（4）若x∈[
1
,
3
]，求
22
函数f(x)的最值；
（5）若 x∈[t，t+2]时， 求函数f(x)的最值.
Βιβλιοθήκη Baidu
t
t +2
–1 0 1 2 3 4 x
1
,
3
]，求
y
22
函数f(x)的最值；
（5）若x∈[t，t+2]时，
求函数f(x)的最值.
t
t +2
–1 0 1 2 3 4 x
h
9
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
高中数学
二次函数在闭区间上的最值
石家庄市42中学 于祝
h
1
例1、已知函数f(x)= x2–2x –3. （1）若x∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值；
y
–2 0 1
3
x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3. （1）若x∈[ –2，0 ]，求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
h
6
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
22
y
（4）若x∈[
1
,
3
]，求
22
函数f(x)的最值；
（5）若x∈[t，t+2]时， 求函数f(x)的最值.
（1）若x∈[–2，0]，求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
22
y
（4）若x∈[ 1 , 3 ]， 22
求函数f(x)的最值；
1
3
2
2
–1 0 1 2 3 4 x
h
5
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
中的较大者是最大值,较小者是最小值；
（3）当x0 [m，n]时，f(m)、f(n)中的较大
者是最大值，较小者是最小值.
h
24
h
25
h
26
y
–1 0
1 2x
h
19
例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]， 试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].
y
–1 0
1 2x
h
20
例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]， 试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].
y
–1 0
1 2x
h
21
例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]， 试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].