高中数学：三角函数的诱导公式 (56)

[A 基础达标]

1．若α＝2π

3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( )

A.⎝⎛⎭⎫12，3

2 B.⎝⎛⎭⎫－12，32 C.⎝

⎛⎭

⎫

－

32，12 D.⎝⎛⎭⎫12

，－32

解析：选B.因为cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，3

2，故选B.

2．sin 600°＋tan(－300°)的值是( ) A ．－

3

2

B.32

C ．－1

2＋ 3

D.1

2

＋ 3 解析：选B.原式＝sin(360°＋240°)＋tan(－360°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝32

. 3．若sin(π＋α)＋sin(－α)＝－m ，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)等于( ) A ．－23m

B ．－32m

C.23

m D.32

m 解析：选B.因为sin(π＋α)＋sin(－α)＝－2sin α＝－m ，

所以sin α＝m 2，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3

2m .故

选B.

4．设f (α)＝2sin （2π－α）cos （2π＋α）－cos （－α）1＋sin 2α＋sin （2π＋α）－cos 2（4π－α），则f ⎝⎛⎭⎫－236π的值为( ) A.3

3

B ．－

33

C. 3

D ．－ 3

解析：选D.f (α)＝2sin （－α）cos α－cos α

1＋sin 2α＋sin α－cos 2α

＝

－cos α（2sin α＋1）sin α（2sin α＋1）＝－1

tan α

.

所以f ⎝⎛⎭⎫－236π＝－1tan ⎝⎛⎭⎫－236π＝－1tan π6

＝－ 3.

5．已知tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝1

3，则tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝( ) A.13 B ．－13

C.233

D ．－233

解析：选B.因为tan ⎝⎛

⎭⎫2π3＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π3－α，所以tan ⎝⎛⎭

⎫2π3＋α＝－13. 6．sin ⎝⎛⎭

⎫－7π

3＝________．

解析：sin ⎝⎛⎭⎫－7π3＝－sin 7π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋4π3＝sin 4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－3

2.

★答案★：－

3

2

7．化简：cos （3π－α）

sin （－π＋α）·tan(2π－α)＝________．

解析：原式＝cos （π－α）

－sin （π－α）·tan(－α)

＝

－cos α－sin α·⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－sin αcos α＝－1.

★答案★：－1

8．当θ＝5π4时，sin[θ＋（2k ＋1）π]－sin[－θ－（2k ＋1）π]

sin （θ＋2k π）cos （θ－2k π）(k ∈Z )的值等于________．

解析：原式＝－sin θ－sin θsin θcos θ＝－2

cos θ.

当θ＝5π4时，原式＝－2

cos

5π

4＝2 2.

★答案★：2 2

9．求值：sin(－1 200°)×cos 1 290°＋cos(－1 020°)×sin(－1 050°)＋tan 855°. 解：原式＝－sin(120°＋3×360°)×cos(210°＋3×360°)＋cos(300°＋2×360°)×[－sin(330°＋2×360°)]＋tan(135°＋2×360°)

＝－sin 120°×cos 210°－cos 300°×sin 330°＋tan 135°

＝－sin (180°－60°)×cos (180°＋30°)－cos(360°－60°)×sin(360°－30°)＋tan(180°－45°)

＝sin 60°×cos 30°＋cos 60°×sin 30°－tan 45° ＝

32×32＋12×1

2

－1 ＝0.

10．已知sin(α＋π)＝4

5，且sin αcos α<0，求2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）的值．

解：因为sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－4

5，

又因为sin αcos α<0，

所以cos α>0，cos α＝1－sin 2α＝3

5，

所以tan α＝－4

3

.

所以原式＝－2sin α－3tan α

－4cos α

＝

2×⎝⎛⎭⎫－45＋3×⎝⎛⎭

⎫－434×35

＝－73

.

[B 能力提升]

11．有下列三角函数式：①sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋34π；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3；④cos ⎣

⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π

6；

⑤sin ⎣⎡⎦⎤（2n －1）π－π

3.

其中n ∈Z ，则函数值与sin π

3

的值相同的是( ) A ．①② B ．②③④ C ．②③⑤

D ．③④⑤

解析：选C.①中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3；②中，cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π

6＝cos π6＝sin π3；

③中，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3；④中，cos ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π

6＝－cos π6≠sin π3；

⑤中，sin ⎣⎡⎦⎤（2n －1）π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝－sin ⎝

⎛⎭⎫π＋π

3＝sin π3.

12．若f (n )＝sin

n π

3

(n ∈Z )，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝________． 解析：f (1)＝sin π3＝32，f (2)＝sin 2π3＝32，f (3)＝sin π＝0，f (4)＝sin 4π3＝－3

2，f (5)＝

sin

5π3＝－3

2，f (6)＝sin 2π＝0，f (7)＝sin 7π3＝sin π3

＝f (1)，f (8)＝f (2)，……， 因为f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＋336×0＝ 3.