(试卷合集3份)2023届重庆市长寿区高一数学下学期期末监测试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在四边形ABCD中，1sinsin3DACα∠==，AB AD⊥，60D︒∠=，2AB=，233CD=.则BC=（）A．1382-B．4373-C．4 D．32．两个正实数a b，满足31a b+=，则满足213m ma b+≥-，恒成立的m取值范围（）A．[]43-，B．[]34-，C．[]26-，D．[]62-，3．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3是a2与a6的等比中项，S3＝3，则S8＝（）A．36 B．42 C．48 D．604．把函数()sinf x x=图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移6π个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A．12xπ=-B．12xπ=C．3xπ=D．712xπ=5．如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，2AB=，1AD=，60DAB∠=，PD BD=，且PD⊥平面ABCD，Q为PC的中点，则下列结论错误．．的是（）A．AD PB⊥B．PQ DB⊥C．平面PBC⊥平面PBD D．三棱锥D PBQ-的体积为146．设x、y满足约束条件5010310x yx yx y+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则z＝2x﹣y的最大值为（）A．0 B．0.5 C．1 D．27．已知()f x 的定义域为D ，若对于a ∀，b ，c D ∈，()f a ，()f b ，()f c 分别为某个三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”，下例四个函数为“三角形函数”的是（ ）A ．()ln(1)(0)f x x x =+>；B ．()4cos 2f x x =-；C ．()(116)f x x x =≤≤；D ．()(01)x f x e x =≤≤ 8．已知函数3139y x x =-++的最大值为M ，最小值为m ，则m M 的值为（ ） A ．14 B ．12 C ．32 D ．233 9．下图是实现秦九韶算法的一个程序框图，若输入的5x =，2n =，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s =（ ）A ．10B ．12C ．60D ．6510．若|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，,a b 的夹角为30°，则a b •等于( )A ．3B ．3C ．23D ．1211．若4sin cos 3αα+=，且(0,)4πα∈，则sin cos αα-的值是（ ） A ．23- B ．3- C ．3 D ．23± 12．设α为锐角，()()sin ,1,1,2a b α==，若a 与b 共线，则角α=（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°二、填空题：本题共4小题13．在等比数列中，，则__________．14．等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.15．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =___________.16．已知函数，，若直线与函数的图象有四个不同的交点，则实数k 的取值范围是_____.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知集合{}12,,,(2)k A a a a k =≥，其中(1,2,,)i a i k ∈=Z ，由A 中的元素构成两个相应的集合： {}(,)|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，{}(,),,T a b a A b A a b A =∈∈-∈．其中(,)a b 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（Ⅰ）检验集合{}0,1,2,3与{}1,2,3-是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ．（Ⅱ）对任何具有性质P 的集合A ，证明(1)2k k n -≤． （Ⅲ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．18．设平面三点1,0A 、()0,1B 、()2,5C . （1）试求向量2AB AC +的模；（2）若向量AB 与AC 的夹角为θ，求cos θ；（3）求向量AB 在AC 上的投影．19．（6分）在ABC 中，边AB 所在的直线方程为32x y +=，其中顶点A 的纵坐标为1，顶点C 的坐标为(1,2).（1）求AB 边上的高所在的直线方程；（2）若,CA CB 的中点分别为E ，F ，求直线EF 的方程.20．（6分）（1）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a b 、，求log a b 为整数的概率？（2）两人相约在7点到8点在某地会面，先到者等候另一个人20分钟方可离去．试求这两人能会面的概率？21．（6分）在等差数列{n a }中，1a =3，其前n 项和为n S ，等比数列{n b }的各项均为正数，1b =1，公比为q,且b 2+ S 2=12，22S q b =． （1）求n a 与n b 的通项公式；（2）设数列{n c }满足1n nc S =，求{n c }的前n 项和n T ． 22．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是直线20x y -=与直线30x y +-=的交点.（1）求点P 的坐标；（2）若直线l 过点P ，且与直线3210x y +-=垂直，求直线l 的方程.参考答案一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D【解析】【分析】在ACD ∆中，由正弦定理得到AC 的长，在ABC ∆中，先得到cos BAC ∠的值，再利用余弦定理，求出BC 的长.【详解】在ACD ∆中，由正弦定理sin sin AC CD D CAD=∠，得sin 231sin 3D AC CD α=⋅==， 因为AB AD ⊥，1sin sin 3DAC α∠==， 所以1cos sin 3BAC α∠==， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠14922393=+-⨯⨯⨯= 所以3BC =.故选：D.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.2．B【解析】【分析】由基本不等式和“1”的代换，可得13a b +的最小值，再由不等式恒成立思想可得2m m -小于等于13a b +的最小值，解不等式即得m 的范围。

【详解】由31a b +=，0,0a b >>，可得93)61313()(612b a a b a a b b b a +=++≥++==+，当且仅当11,62a b ==上式取得等号，若213m m a b+≥-恒成立，则有212m m ≥-，解得34m -≤≤. 故选：B【点睛】本题考查利用基本不等式求恒成立问题中的参数取值范围，是常考题型。

3．C【解析】【分析】设出等差数列的公差d ，根据a 3是a 2与a 6的等比中项，S 3＝3，利用等比数列的性质和等差数列的前n 项和的公式化简得到关于等差数列首项和公差方程组，求出方程组的解集即可得到首项和公差，然后再利用等差数列的前n 项和的公式求出S 8即可【详解】设公差为d （d≠0），则有21111()(5)(2)32332a d a d a d a d ⎧++=+⎪⎨⋅+⋅=⎪⎩， 化简得：()11201d a d a d ⎧+=⎨+=⎩，因为d≠0，解得a 1＝-1，d ＝2，则S 8＝-8872⨯+⨯2＝1． 故选：C ．【点评】此题考查运用等差数列的前n 项和的公式及等比数列的通项公式化简求值，意在考查公式运用，是基础题．4．A【解析】【分析】先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程.【详解】由题得图像变换最后得到的解析式为sin 2()sin(2)63y x x ππ=-=-， 令52,,32212k x k k Z x πππππ-=+∈∴=+， 令k=-1,所以12x π=-. 故选A【点睛】 本题主要考查三角函数图像变换和三角函数图像对称轴的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5．B【解析】【分析】根据余弦定理可求得23BD =，利用勾股定理证得AD DB ⊥，由线面垂直性质可知PD AD ⊥，利用线面垂直判定定理可得AD ⊥平面PBD ，利用线面垂直性质可知A 正确；假设B 正确，由DB BC ⊥和假设可证得DB ⊥平面PBC ，由线面垂直性质可知DB PB ⊥，从而得到//PB PD ，显然错误，则B 错误；由面面垂直判定定理可证得C 正确；由1122D PBQ D PBC C PBD V V V ---==可求得三棱锥体积，知D 正确，从而可得选项.【详解】 1AD =，2AB =，60DAB ∠= 2222cos 3BD AD AB AD AB DAB ∴=+-⋅∠=222AD BD AB ∴+= AD DB ∴⊥PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD PD AD ∴⊥又,PD DB ⊂平面PBD ，PD DB D = AD ∴⊥平面PBDPB ⊂平面PBD AD PB ∴⊥，则A 正确；若PQ DB ⊥，又//AD BC 且AD DB ⊥ DB BC ∴⊥,PQ BC ⊂平面PBC ，PQ BC C = DB ∴⊥平面PBCPB ⊂平面PBC DB PB ∴⊥又DB PD ⊥ //PB PD ∴，与PB PD P =矛盾，假设错误，则B 错误；AD ⊥平面PBD ，//AD BC BC ∴⊥平面PBD又BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PBD ，则C 正确； Q 为PC 中点 111226D PBQ D PBC C PBD PBD V V V S BC ---∆∴===⋅PD BD ==PD DB ⊥ 1322PBD S PD BD ∆∴=⋅=1311624D PBQV-∴=⨯⨯=，则D正确本题正确选项：B【点睛】本题考查立体几何中相关命题的判断，涉及到线面垂直的判定与性质定理的应用、面面垂直关系的判定、三棱锥体积的求解等知识，是对立体几何部分的定理的综合考查，关键是能够准确判定出图形中的线面垂直关系.6．C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件5010310x yx yx y+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩作出可行域如图，联立1050x yx y-+=⎧⎨+-=⎩，解得A（2，3），化目标函数z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×2﹣3＝1．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．7．B【解析】由三角形的三边关系，可得“三角形函数”的最大值小于最小值的二倍，因为()()ln1(0)f x x x=+>单调递增，无最大值和最小值，故排除A，()[]4cos23,5f x x=-∈，符合“三角形函数”的条件，即B正确，()()116f x x x=≤≤单调递增，最大值为4，最小值为1，故排除C ，()()e 01x f x x =≤≤单调递增，最小值为1，最大值为e ，故排除D.故选B.点睛：本题以新定义为载体考查函数的单调性和最值；解决本题的关键在于正确理解“三角形函数”的含义，正确将问题转化为“判定函数的最大值和最小值间的关系”进行处理，充分体现转化思想的应用.8．B【解析】由10390x x -≥⎧⎨+≥⎩解得31x -≤≤为函数的定义域.令[]()()1,0,239,0,23u x u v x v ⎧=-∈⎪⎨⎡⎤=+∈⎪⎣⎦⎩，消去x 得2222312,1412u v u v +=+=，图像为椭圆的一部分，如下图所示.3y u v =+，即直线3v u y =-+，由图可知，截距y 在点A 处取得最小值，在与椭圆相切的点B 处取得最大值.而()0,23A ，故最小值为302323m =⨯+=.联立2231412v u y u v =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去u 得22126120u yu y -+-=，其判别式为零，即()2236412120y y -⋅-=，解得43y =（负根舍去），即43M =，故231243m M ==.【点睛】本题主要考查含有两个根号的函数怎样求最大值和最小值.先用换元法，将原函数改写成为一次函数的形式3y u v =+.然后利用u 和v 的关系，得到,u v 的可行域，本题中可行域为椭圆在第一象限的部分.然后利用3v u y =-+，用截距的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值.9．D【解析】5,2,0,0,2x n k s a =====，2,1s k ==，判断否，2a =，12,2s k ==，判断否，5a =，65,3s k ==，判断是，输出65s =.故选D .10．B【解析】分析：先根据向量数量积定义化简，再根据二倍角公式求值.详解：因为0000002154sin15304sin 30302sin 60a b cos cos cos ⋅=⨯⨯===所以选B.点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式||||cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 11．A【解析】【分析】 对4sin cos 3αα+=两边平方，可得72sin cos =9αα，进而可得()22sin cos =9αα-，再根据(0,)4πα∈，可知sin cos αα<，由此即可求出结果.【详解】 因为4sin cos 3αα+=，所以()216sin cos 1+2sin cos =9αααα+=， 所以72sin cos =9αα，所以()22sin cos =12sin cos =9αααα--， 又(0,)4πα∈，所以sin cos αα<所以sin co s =3αα--故选：A.【点睛】本题主要考查了同角的基本关系，属于基础题.12．B【解析】由题意2sin 1α=，1sin 2α=，又α为锐角，∴30α=︒．故选B ． 二、填空题：本题共4小题13．【解析】由题设可得，则，应填答案。