毕萨定律

Idl
c
Idl a
μ 0 Idl 水平向右 dB = 2 4π 2 R μ 0 Idl μ 0 Idl dB 总 = ⋅ 2= 2 2 4π 2 R 4 2πR
Y.L.Wang
叠加原理求磁场
例4、薄圆环内半径a，外半径b，可绕与环面垂 直的轴O以ω的角速度逆时针旋转。现给该圆环均匀 带电+Q，求环心o处的磁感应强度 解：将环分成无数同心小环， 任选其中一 个环，设其半径为 r, 环宽dr， 则环上带电量为：
Y.L.Wang
用矢量形式表示的毕奥—萨伐尔定律
I
ˆ μ Idl × r dB = 2 4π r
r
I
μ Idl × r = 3 4π r
α
dB Idl
r
dB 磁场叠加原理： 若磁场由数个运动电荷产生，各电荷单独存在时 产生的磁场分别为B1，B2，…，Bi，…，则：
B = ∑ i Bi
Y.L.Wang
dE
§8-3 毕奥-萨伐尔定律
+ dq
P
•
一、毕奥—萨伐尔定律
dq ˆ r dE = 2 4πε 0 r 1
方向 ： l × r d ˆ μ 0 = 4π × 10 −7 ( NA−2 ) 真空中的磁导率
ˆ μ 0 Idl × r dB = 2 4π r μ 0 Idl sin θ 大小： dB = 2 4π r
说 明 1）它只适用于稳恒电流 2）Ii 与所取环路成右手螺旋时为正,反之为负 3）B 是全空间电流的贡献,但只有Ii对环流有贡献 4） ∫ B ⋅ d l ≠ 0 说明磁场为非保守场，称为涡旋场
Y.L.Wang
例、均匀通电直长圆柱体的磁
例5
Y.L.Wang
安培环路定理求磁场
1、长直通电螺线管
∫ B ⋅ dl = ∫
2π (a + x ) μ0 I 环心处： o = B 2a 张角为θ的载流圆弧在其圆 心处产生的磁感应强度：
2 2 2
μ 0 Idl dB = 4π r 2
dB
B=
μ 0 pm
3
I
Idl ′
θ
P
x
dB′
x
r′
θ μ0 I B= 2π 2a
Y.L.Wang
叠加原理求磁场
例2、如图示的载流导线，求O点的 B 解：以⊙为正方向
I1 I2 I3
B
∫ B ⋅ dl
叠加原理
L
∫ (B + B + = Σ ∫ B ⋅ dl
1 2
) ⋅ dl
i
= μ 0 ΣI i
Y.L.Wang
安培环路定律
磁感应强度沿任意闭合路径一周的线积分等于穿 过闭合路径所包围面积的电流代数和的μ0倍
∫ B ⋅ dl
L
= μ 0 ∑ I i —安培环路定律
x
B2
大小： 2⋅
μ 0i
2R
Y.L.Wang
z
k
2、载流线密度为j 的无限大载流平面的磁场
将平面分成无数无限长载流直导线， 其中任意一根流有电流dI dI = jdl 与其对称的电流元为dI′ 由对称性可知：B = Bz μ 0 jdz z μ 0 dI = dB = ⊙ r′ 2π r ′ 2π r 2 + z 2 r μ 0 jdz r o dB z = 2π r 2 + z 2 r 2 + z 2 ⊙
μ0 I cos β dB = dβ 4π a
r
a
β ⊗ P
dB
B=∫
β2
β1
μ0 I μ 0 I cos β (sin β 2 − sin β 1 ) dβ = 4π a 4π a
Y.L.Wang
μ0 I (sin β 2 − sin β 1 ) B= 4π a
β 有正负规定： 迎着电流的方向俯视
(
)(
)
例7. 无限长直导线和矩形线圈在同一平面内，如图放 置。求通过矩形线圈的磁通量？
μ0I dΦ m = B ⋅ dS = ⋅ d ⋅ dr 2πr
d
a
b
I
m0 Id dr m0 Id b Fm = ∫ dFm = ∫ r = 2p ln a o 2p a s
b
r dr
r
Y.L.Wang
§8-4 安培环路定律
B ⋅ ab = μ 0 ∑ i I i
= μ 0 nabI
B = μ0 nI
Y.L.Wang
作 业
教材 P 386 8-11，8-12, 8-13 , 8-15, 8-20
在准线上方的β角取为正 在准线下方的β角取为负 讨论：当直线电流为“无限长”时 μ0 I π π B= β1 → − β2 → 2π a 2 2 当直线电流为“半无限长”时 β2 β1 P
β1 = 0
β2 =
π
2
或 β1 =−
π
2
β2 = 0
μ0I B = 4π a
Y.L.Wang
例1.
无限长直电流I1在纸面内，无限长直电流I2与纸面 垂直，并与I1相距d，P点在纸面内与I1I2的距离均为d。设： d = 2.0cm I 1 = 4 .0 A I 2 = 6.0 A d 求：P点的磁感应强度大小 解： 2 2
⋅
I2
B p = B1 + B2
d I1 d
μ0 1 2 2 = I1 + I 2 2π d
= 7.2 × 10 −5 (T )
⋅P B B
1
2
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3、圆电流轴线上P点的磁场 μ0 I B = ∫ dBx = ∫ dBsinθ = ∫ sinθ dl α = 90° 2 4π r μ0I a y = ⋅ ⋅ 2πa Idl 4π(a2 + x2) a2 + x2 r a θ
二、毕奥—萨伐尔定律的应用
求电流的磁场分布
一般步骤: a.任取电流元
I dl
b.它在空间一点产生的磁场dB
ˆ μ0 Idl × r dB = 2 4π r
c.整个电流在空间该点产生的磁场
B = ∫ dB
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1、直线电流在P点的磁场
I dB的方向： Idl × r 的方向 μ0 Idl sin α dB的大小：dB = 4π r2 sin α = sin( 90° + β ) = cos β Idl α β 2 l = atgβ dl = a sec β dβ l r = a sec β
1 = − μ0nIsin β dβ 2
l = Rctgβ dl = − R csc 2 β dβ

dI = nIdl
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载流螺线管轴线上P点的磁场
1 dB = − μ0 nI sin β d β 2 β1 β2 1 R β B = ∫ − μ0nI sin β dβ 2 β β1 2 R P dl l μ0nI B= (cosβ2 − cosβ1 ) 2 无限长螺线管： β 1 = π β 2 = 0 B = μ 0 nI
j
r
P
dB合
dB ′ dB
●
P
μ0 j z B = Bz = ∫ dz = arctg 2 2 − ∞ 2π ( r + z ) r 2π
+∞
μ 0 rj
+∞ −∞
B=
μ0 j
2
Y.L.Wang
4、有限长载流螺线管轴线上P点的磁场
B环 =
μ 0 Ia 2
2
2(a + x )
2
3
...................
l
ab
B ⋅ d l + ∫ B ⋅ d l + ∫ B ⋅ d l + ∫ B ⋅ dl
bc cd da
= ∫ Bdl + 0 + 0 + 0
ab
...............
b B a + + + + + + + ++ + + + + + + + d c
= B ∫ dl = B ⋅ ab
ab
由安培环路定理
β1
R P
2
dB =
=
μ 0 dIR 2
2( R + l )
2 2
2 2
β
l
3
2
R β 2 dl
− μ 0 nIR 2 R csc 2 β dβ 2( R + R ctg β )
2 3 2
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +
n:单位长度上导线匝数
− μ0 nId β = 2 csc β
1)圆形环路
r
B
∫
l
B ⋅ dl < 0
.
r
θ ′θ
dl ′ dl
Y.L.Wang
环路与电流成右手螺旋 I>0；成左手螺旋 I<0
3)任意环路
∫ B ⋅ dl = ∫ B ⋅ (dl
l l
//
+ dl ⊥ )
=
∫
l
B ⋅ dl // +
∫
l
B ⋅ dl⊥
I
dl
dl dl⊥
= 0 + μ0 I
若回路中包含数个电流：
r1
o I I
r2