积分上限函数小结
对学生积分上限函数Φ(x)学习能力的思考
分 同学对 其 理解 明显 感 到 困难 。 如有 这样 两道试 题 ： 例 １ 若 厂∈ Ｃ 日 ６ ，日 ６ 、 ［ ，］ （ ，）内可导 ， 尸 ≤ ０ 试 证 当 Ｅ （ ，） 且 ， 口 ６ 时
１ ｒ
Ｆ（ ）一 — ｚ
Ｚ 一
Ｉ ｔｄ 厂（） ｔ
ⅡＪ口
递减 ：
２ 若 厂 ∈ ｃ［ ，＋ ｏ ］ 且 厂（ ）＞ ０ 则 、 ０ ｏ， ｚ ，
Ｌ ｉｎｚ公式 揭示 了二 者之 间 的 内在 联 系 ： 积分 的计算 转化 为求 不定 积分 的计算 问题 ， 定 积分 的存 ｅｂ ｉ 定 不 在 问题 又可 以通 过定 积 分而 得到解 决 。 微积 分基 本 定理具 体 内容 是 ：
设 厂 Ｅ ｃ ａ ６ ， Ｆ 是 厂在 ，］ 的一 个原 函数 ， ［ ，］ 若 ６上 则
广 ６
ｌ ｆ— Ｆ（）一 Ｆ（ ） 日
Ｊａ
其 证 明源 于人 们定 义 了变 限积 分 函数 ， ： 即
若 厂Ｅ Ｒ［ ，３ 口ｂ ，
则 积分
（ ）一 Ｉ （） ｔ ｚ ｔｄ ｆ
Ｊ。
ｒ６
与
（ ）＝ Ｉ ｔｄ ｚ ）ｔ ｆ（
是 ，］ 的连 续 函数 ， ［ ，］ ６上 ｚＥ ａ ６ ，
由 尸 （ ≤ ｏ 有 厂（ ） ， ）≤ 厂（） 由 ，
２的证 明 ： 因为 ， ∈ ｃ［ ，＋ 。 ］ ， ｏ ｏ ，故
（ ＝１ｔ ） ｆ） （ｔ，）ｆ）ｌ ｆ）２ （』 ｔ （Ｉ（ｔ ） ＿ ｄ ｘ：）一 ｔ］ （ （ｔ Ｉ ｄ ［ Ｌ ｌ ｆ ０ ｚ 』 ｄ ： ｔ
Ｍ ａｙ ２ ００２
对 学 生 积 分上 限 函数 （ ） ｘ 学 习 能 力 的 思 考
关于积分上函数的小结
关于积分上限函数积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。
1． 关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ 推论2 )()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3 )()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2． 积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。
积分上限函数范文
积分上限函数范文
一、积分上限函数的定义
f(x)=x,当x≤a
=a,当x>a
其中，a为上限值。
二、积分上限函数的性质
1.定义域和值域：
2.连续与间断性：
3.导数与不可导性：
对于积分上限函数，当x<a时，导数存在且恒为1；当x=a时，导数不存在，函数是不可导的。
4.极值与点的性质：
5.阶梯函数：
三、积分上限函数的应用
1.信用积分：
信用积分是一种用于评估个人信用状况的指标，通常在0到100之间取值。
信用积分可以用积分上限函数来表示，例如：
f(x)=x,当x≤100
=100,当x>100
2.课程学分：
在大学教育中，学生需要修满一定数量的学分才能毕业。
课程学分可以用积分上限函数来限制，例如：
f(x)=x,当x≤160
=160,当x>160
3.游戏积分：
在电子游戏中，玩家可以通过完成任务、击败敌人等方式获得游戏积分。
游戏积分可以用积分上限函数来表示，例如：
f(x)=x,当x≤1000
=1000,当x>1000
这些只是积分上限函数的一些常见应用，实际上，积分上限函数可以应用于各种需要限定取值范围的场景中。
总结：
积分上限函数是一种能够限制变量取值范围的数学函数。
它的性质包括定义域与值域、连续与间断性、导数与不可导性、极值与点的性质等。
积分上限函数在实际生活中有许多应用，例如信用积分、课程学分、游戏积分等。
通过了解积分上限函数的定义和性质，我们能够更好地理解和应用它们。
积分上限函数
专题讨论 积分上限函数一、积分上限函数的定义和性质1.积分上限函数的定义设()f x 在[,上连续，则对任意的]a b [,]x a b ∈，称函数()xaf t dt ∫为积分上限函数。
2.积分上限函数的性质()()xa d f t dt f x dx=∫，即积分上限函数()x a f t dt ∫是被积函数()f x 的一个原函数。
二、含有积分上限函数的题型 1.求含有积分上限函数的极限 例1．求下列极限 （1）2230sin limln(1)(1cos )x x t dtx x →+−∫（2）2arctan limx x tdt解：（1）2222002363sin sin sin limlim2limln(1sin )(1cos )sin 2x x x x x t dtt dtt dt x x x x x x x →→==+−∫∫∫i220x →2250sin()222lim 63x x x x →==i （2）2222arctan arctan limlim 41x x x tdt x x 6ππ→+∞⎛⎞==⎜⎟⎝⎠= 2.求积分上限函数的导数例2．（1）设()f x 连续，求的导数20()()()x F x x t f t dt =−∫()F x ′； （2）设()f x 连续，求220()()xF x tf x t =−∫dt 的导数()F x ′；（3）求222sin()x d xt dt dx∫，其中0x ≠。
解：（1）因为，222000()()()[()()]()()x x x x F x x t f t dt xf t tf t dt x f t dt tf t dt =−=−=−∫∫∫∫2所以222222200()()()2()22(1)()()x x F x f t dt xf x x x f x x x x f x f t d ′=+−=−+∫∫i i t （2）因为 2222222200011()()()()22xx x t u F x tf x t dt f x t dt f x u du ==−=−−∫∫∫ 22202011()()()22x x x u t f t dt f t d u x t −=−==−∫∫t 所以222011()()()2()22x F x f t dt f x x xf x ′⎡⎤′===⎢⎥⎣⎦∫i 。
积分上限函数
积分上限函数
积分上限函数（integrallimitfunction）是一类函数，用来描述某种函数序列的极限情况，它由一个无穷级数的累积和构成，加快无穷级数的收敛速度，可以让无穷级数在有限情况下更好地近似极限函数。
一般来说，积分上限函数可以用数学积分和渐进表示形式定义。
简单地说，积分上限函数就是通过把一系列函数由小到大求和后逐步收敛到极限函数。
其计算结果可以用下列形式表示：如果有序列（fn），则当n→∞时，`lim``(Σ_(n=1)^Nf_n(x)) = F(x)，或lim_(h→0)Σ_(n=1)^Nf_n(x)h = F(x)`。
积分上限函数的实际应用非常广泛，可以用来描述各种现象的变化规律。
例如，它可以用来表示分子的结构变化，描述力学系统的运动规律，以及描述两种不同质量的粒子的交互作用。
此外，它还可以被应用于复杂系统的数值分析中，可以用来计算系统中的关键参数，为系统的优化提供有效支持。
另外，积分上限函数也可以用来描述统计分布的随机性。
它可以用来模拟随机漫步行为，或者描述某些实际问题中随机变量的分布情况，例如随机变量的期望值、方差等。
有时候也可以用来描述不确定性和分布偏差，以及模拟数据分析等场景。
此外，积分上限函数还可以用来对函数的精确结果进行投影，以此来拟合实际问题。
它可以用来拟合函数中的等式到一个给定的上限或下限，并分析函数的变化情况。
总之，积分上限函数在数学中有着广泛的应用，它可以用来描述许多实际问题、实际现象的变化以及解决实际问题的有效支持。
它的计算结果具有一定的可靠性，可以作为支持决策的有力依据。
什么叫做积分上限函数
什么叫做积分上限函数
简介
在数学中，积分上限函数是一种特殊的函数形式，其定义涉及到计算上限。
本
文将探讨积分上限函数的基本概念、性质和应用。
积分上限函数的定义
积分上限函数通常表示为 $F(x)=\\int_{a}^{x}f(t)\\,dt$。
其中，f(t)是被积函数，[a,x]是积分区间。
上限函数F(x)则表示了积分下限为a，上限为x的不定积分。
性质
•积分上限函数是一个连续函数。
•如果f(t)在区间[a,b]上连续，则F(x)在[a,b]上可导，且其导数为f(x)。
实例
假设f(t)=2t，我们来计算对应的积分上限函数$F(x)=\\int_{0}^{x}2t\\,dt$。
根据积分的定义，F(x)=x2。
这里的F(x)即为积分上限函数。
应用
积分上限函数在实际问题中有许多应用。
例如，在经济学中，积分上限函数可
以用来表示累积收入或支出的情况；在物理学中，积分上限函数可以描述时间变化的速度等等。
总结
通过本文的介绍，我们了解了积分上限函数的定义、性质和应用。
积分上限函
数在数学和其它领域有广泛的应用，对于理解相关概念和问题具有重要意义。
希望本文能帮助读者更好地理解积分上限函数，并在实际问题中灵活运用。
积分上限函数
f a( x)a( x)
dx a( x)
证 F ( x) 0 b( x) f (t)dt a(x) 0
b( x)
a( x)
0 f (t)dt 0 f (t)dt,
F ( x) f b( x)b( x) f a( x)a( x)
微积分
1 et2 dt
例1 求 lim cos x . 分析：这是x00型不定x式2 ，应用洛必达法则.
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
T2 v(t )dt
T1
s(T2 ) s(T1).
其中 s(t) v(t).
微积分
二、积分上限函数及其导数
设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为
F ( x)
x
a
f
(t )dt
C,
x
a f (t)dt F ( x) F (a),
令x b
b
a f ( x)dx F (b) F (a).
牛顿—莱布尼茨公式
微积分
b
a
f
( x)dx
F (b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
[a, b]上的一点， 考察定积分
x
a f (x)dx
如果上限x 在区间[a, b]上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以 它在[a, b]上定义了一个函数，
记
( x)
x
a
关于积分上限函数的小结
关于积分上限函数积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。
1． 关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3)()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2． 积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。
积分上限的函数的性质及其应用(正文)
积分上限的函数的性质及其应用数学教育专业学生：祝胜前指导教师：张云摘要：变限积分函数分为变上限和变下限积分函数两种，变下限积分函数可以转化为变上限积分函数。
积分上限函数加强了微分和积分之间的联系，是定积分基本公式的理论基础。
变限积分函数的性质主要由被积分函数的性质、积分上（下）限的结构来决定。
我们对它进行初等性质及分析性质的研究，可深入了解其特性，并广泛用于解决一些微积分的问题。
关键词：积分上限函数，变限积分函数，导数，单调性，奇偶性Abstract: The variation range integral function divides into changes the upper limit and changes the lower integral function two kinds, changes the lower integral function to be possible to transform for changes the upper integral function. The integral upper limit function strengthened between the differential and the integral relation, is the definite integral fundamental formula rationale.The variation range integral function nature mainly by the structure which by in the integral function nature, the integral (next) is limited decided. We carry on the primary nature and the Analysis nature archery target research to it, but thoroughly understood its characteristic, and widely uses in solving some fluxionary calculus problems.Keyword: Integral upper limit function, variation range integral function, derivative, monotony, odevity0 问题的提出变速直线运动中位置函数与速度函数的联系：设某物体作直线运动，已知速度()v v t 是时间间隔12[,]T T 上t 的一个连续函数，且()0v t ≥，求物体在这段时间内所经过的路程.变速直线运动中路程为21()T T v t dt ⎰。
第11讲 积分变上限函数及性质
则
x tf (x2 t2 )dt
0 f (u)( du ) 1
x2
f (u)du
0
x2
2 20
所以原式 (1 x2 f (u)du) f (x2 ) x 。
20
题型 2：有关积分变上函数极限与连续的命题：
例 1：求正常数 a 与 b ，使等式 lim 1
x t2 dt 1 成立。
0
x
x
x
F(0) lim F (x) F (0) lim
x0 x 0
x0
0
f (u)du x2
lim
x0
f (x) 2x
1
题型 4：有关积分变上函数导数的应用问题：
例 1：设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，在区间 (a, b) 内可导，且 f (x) 0 ，证明函
x0 bx sin x 0 a t 2
解： 由罗比塔法则得
x2 原式 lim a x2
x0 b cos x 由于分子极限为零，且原式极限为1，所以 b 1，从而有
x2
原式 lim a x2 1 lim x2 2 1
x0 b cos x
a x0 1 x2
a
2
所以 a 4 。
例 2：设 f ( x )
dx g (x)
公式 2： d
(
x g(x) f (t)dt) g(x)
x
f (t)dt g(x) f (x) ；
dx a
a
公式 3：
d
(
x
f ()dt) ，其中 是 x, t 的二元函数，一般通过换元，即令 u ，最
dx a
终转化为公式 1 的形式。
题型 1：直接对积分变上函数求导：
积分上限函数的性质及应用
积分上限函数的性质及应用积分上限函数（即变上限的定积分）揭示了定积分和不定积分之间的联系,是一元函数微积分学中的一个重要概念.积分上限函数具有很多的性质，既具有普通函数相似的特征，由于它的上限是变化的，因而又有许多与积分有关的特殊性质.本文首先总结归纳出积分上限函数的重要性质，并对这些性质进行详细的证明;其次总结归类出证明积分等式、不等式的方法并进一步给出这些方法的具体应用.1 积分上限函数1.1 积分上限函数的定义)220](1[P设函数()f x 在区间[,]a b 上可积，对任何[,]x a b ∈,()f x 在[,]a x 上也可积.于是，由()(),[,]xaF x f t dt x a b =∈⎰,定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为积分上限函数即变上限的定积分.1.2 积分上限函数的几何意义)350](2[P如果[,]x a b ∀∈，有函数()0f x ≥，对区间[,]a b 上任意x ，积分上限函数()F x 是区间[,]a x 上曲边梯形的面积，如下图的阴影部分.图1.11.3 积分上限函数的性质1.3.1积分上限函数的连续性)221](1[P若函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上连续. 证 [,]x a b ∀∈,且[,]x x a b +∆∈，有()()()()()()x xx x xaaxF x F x x F x f t dt f t dt f t dt +∆+∆∆=+∆-=-=⎰⎰⎰因为f 在[,]a b 上可积，所以f 在[,]a b 上有界， 即存在正数M ，使得()f x M ≤，[,]x a b ∀∈，当0x ∆≥时，x M dt t f dt t f x F xx x xx x ∆≤≤=∆⎰⎰∆+∆+)()()( 当0x ∆<时，x M dt t f dt t f x F xx xxx x ∆≤≤=∆⎰⎰∆+∆+)()()(所以0lim ()0x F x ∆→∆=, 即积分上限函数()F x 在点x 连续，而由x 的任意性，可知函数()F x 在区间[,]a b 上连续.1.3.2积分上限函数的可导性[1](221)P若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上可导，且()()F x f x '=. 证 [,]x a b ∀∈，且[,]x x a b +∆∈，(0)x ∆≠有()()()()()()x xx x xaaxF x F x x F x f t dt f t dt f t dt +∆+∆∆=+∆-=-=⎰⎰⎰由积分第一中值定理，有()1()()x xx F x f t dt f x x x xθ+∆∆==+∆∆∆⎰ (01)θ≤≤ 因为函数)(x f 在区间],[b a 上连续，所以00()()lim lim ()()x x F x F x f x x f x xθ∆→∆→∆'==+∆=∆即()F x 在点x 可导. 而由x 的任意性，可知函数()F x 在区间[,]a b 上可导.1.3.3积分上限函数的可积性若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上可积.证 已知函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在区间[,]a b 上可积，所以由1.3.1可推出积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上连续，则()F x 在区间[,]a b 上可积.1.3.4积分上限函数的单调性若函数)(x f 在区间[,]a b 上连续且非负（正），则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上单调递增（减）.证 因为)(x f 在区间[,]a b 上连续且非负，则()()0F x f x '=≥，所以)(x F 在区间[,]a b 上单调递增.同理可证另一种情况.特别地,若()f x 在[,]a b 上非负单调递增（减），则()F x 在[,]a b 上单调递增. 1.3.5积分上限函数的奇偶性[3](140)P若函数)(x f 在区间[,]a a -上连续且为奇（偶）函数时，则积分上限函数)(x F 为偶（奇）函数. 证 设)(x f 在区间[,]a a -上连续且为奇函数，即)()(x f x f -=-.()()xF x f t dt --=⎰，令t u -=()()()()()()xxxF x f u d u f u du f t dt F x -=--===⎰⎰⎰，所以)(x F 为偶函数.同理 当)(x f 在区间[,]a a -上连续且为偶函数，即)()(x f x f =-.()()xF x f t dt --=⎰，令t u -=()()()()()()xxxF x f u d u f u du f t dt F x -=--=-=-=-⎰⎰⎰所以)(x F 为奇函数.1.3.6积分上限函数的凹凸性[4](32)P若函数)(x f 在区间上[,]a b 单调递增（递减），则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上是凸（凹）函数.证 因为函数)(x f 在区间[,]a b 上单调递增，取123,,[,]x x x a b ∈，且123x x x <<， 则123()()()f x f x f x <<.2121()()F x F x x x --2121()()x x aaf t dt f t dtx x -=-⎰⎰2121()x x f t dtx x =-⎰2()f x ≤≤3232()x x f t dtx x -⎰3232()()F x F x x x -=-所以()F x 在区间[,]a b 上是凸函数.同理可证明另一种情况.1.3.7积分上限函数的周期性[3](140)P若函数)(x f 在(,)-∞+∞上以T 为周期，对任意a b <, )(x f 在区间[,]a b 上可积，且()0Tf t dt =⎰,则积分上限函数()F x 也以T 为周期. 证 ()()x T a F x T f t dt ++=⎰()()()Tx TaTf t dt f t dt f t dt +=++⎰⎰⎰0()0()x TaTf t dt f t dt +=++⎰⎰令t u T =+()()()()()xaF x T f u T d u T f u T d u T +=+++++⎰⎰()00()xaf u T du f u T du=+++⎰⎰00()()xaf u du f u du =+⎰⎰()()xaf t dt F x ==⎰所以()F x 是一个以T 为周期的函数.1.3.8积分上限函数的有界性若函数)(x f 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上有界. 证 因为函数)(x f 在区间[,]a b 上连续，所以由积分上限函数的可积性可知 函数)(x f 在区间[,]a b 上可积，即函数)(x f 在区间[,]a b 上有界. 所以存在正数M ，使得()f x M ≤，[,]x a b ∈ 则()F x ()xaf t dt ≤⎰()()xaf t dt M b a ≤≤-⎰,所以积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上有界.2 积分上限函数的应用给出积分上限函数在证明积分等式、不等式的问题中应用. 2.1 利用积分上限函数证明积分等式在证明积分等式时，根据题设条件设积分上限函数为()F x ，由拉格朗日中值定理的推论：如果在某个区间上恒有()0F x '=，则在该区间上()F x 恒等于一个常数，即可证明某些关于积分的等式.例1 若()f x 在区间[,]a b 上连续,则()()bbaaf x dx f a b x dx =+-⎰⎰.证 设()()xaF x f t dt =⎰,则()()F x f x '=()()()ba f x dx Fb F a =-⎰()()()bb aaf a b x dx f a b x d a b x +-=-+-+-⎰⎰()b aF a b x =-+-()()F a b b F a b a =-+-++-()()F b F a =-于是命题得证.例2 设()f x 是连续函数，证明0[()]()()xu xf t dt du x u f u du =-⎰⎰⎰.证 方法一 令00()[()]()()x ux F x f t dt du x u f u du =--⎰⎰⎰()()()()()0xxF x f t dt f u du x f x xf x '=--+=⎰⎰()F x C ≡（C 为常数），因为(0)0F =，所以()0F x ≡， 即[()]()()x uxf t dt du x u f u du =-⎰⎰⎰.方法二 记 10()()()()()xx xg x x u f u du x f u du uf u du =-=-⎰⎰⎰20()[()]xug x f t dt du =⎰⎰则由 10()()()()()xx g x f u du xf x xf x f u du '=+-=⎰⎰， 20()()xg x f u du '=⎰由此得到 12()()g x g x ''=，所以12()()g x g x C -≡，（C 为常数）12(0)(0)0g g ==，所以12()()g x g x =即[()]()()xu xf t dt du x u f u du =-⎰⎰⎰.例3 设函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则[,]x a b ∃∈，证明 ()()xbaxf t dt f t dt =⎰⎰.证 令()()()ybayF y f t dt f t dt =-⎰⎰.由函数)(x f 在区间[,]a b 上可积，可知()F y 区间[,]a b 上连续，且()(),()()b baaF a f t dt F b f t dt =-=⎰⎰.若()0baf t dt ≠⎰，则()()0F a F b <，由零点定理可知[,]x a b ∃∈,使得()()()0x b axF x f t dt f t dt =-=⎰⎰或()()x ba xf t dt f t dt =⎰⎰.若()0baf t dt =⎰，则取x a =或x b =，有()().x baxf t dt f t dt =⎰⎰于是命题得证.例4 设()f x 是连续函数，证明 232001()()2aa x f x dx xf x dx =⎰⎰.证 构造辅助函数232001()()()2a a F a x f x dx xf x dx =-⎰⎰.由积分上限函数的导数定理及复合函数求导法则得32221()()()202F a a f a a f a a '=-⋅=，所以()F a C ≡（C 为常数）,又因为(0)0F =,所以()0F a =, 故2321()()2aa x f x dx xf x dx =⎰⎰.例5在区间(0,1)上连续，证明 ⎰⎰⎰⎰=1311])([61)()()(dt t f dz z f dy y f dx x f x y x .证 令0()()xF x f t dt =⎰，则()()F x f x '=. 原等式左端11(){()[()()]}x f x f y F y F x dy dx =-⎰⎰12101(){[()()]}2x f x F y F x dx=-⎰1201()[(1)()]2f x F F x dx =-⎰ 3101[(1)()]6F F x =-=3)]1([61F==⎰13])([61dt t f 右端 故所证等式成立.2.2 利用积分上限函数证明积分不等式在证明积分不等式时，根据题意构造积分上限函数，可适时选择常数变易法、辅助函数法等方法去解决问题.例1 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且单调增加，求证()()2bbaa ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰. 证明 构造辅助函数()F x ()xa t f t dt =⎰()2xaa x f t dt +-⎰，则()0F a =，对任意[,]x ab ∈，()F x 关于x 求导，有()F x '=1()()()22x a a xxf x f t dt f x +--⎰ 1()()22x a x a f x f t dt-=-⎰ 1[()()]2xaf x f t dt =-⎰ 因为()f x 单调递增，所以()0F x '≥.()F x 在区间[,]a b 上连续并且单调递增，则()()F b F a ≥0=,所以命题得证.例2设()f x 在区间],[b a 上单调增并且连续，证明 ()a b +()2()bbaaf x dx xf x dx ≤⎰⎰.证 构造辅助函数()()()2()x xaaF x a x f t dt tf t dt =+-⎰⎰则 ()F x '=()xa f t dt ⎰+()()2()a x f x xf x +-()()()xaf t dt x a f x =--⎰()()()()0x a f x x a f x ≤---=由此可知,()F x 在区间[,]a b 上单调递减，所以()()F b F a ≤0=，即()a b +()2()bbaaf x dx xf x dx ≤⎰⎰.例3 设()f x 在区间[,]a b 上正值连续,证明⎰badxx f )(1()badx f x ≥⎰2()b a -. 证 构造辅助函数()F x =2()()()xxaadtf t dt x a f t --⎰⎰则()F x '=1()()xaf x dt f t ⎰+1()2()()xaf t dt x a f x --⎰ ()()[]2()()()xaf x f t dt x a f t f x =+--⎰ 因为()()2()()f x f t f t f x +≥, ()2()2()0F x x a x a '≥---= 所以()F x 在区间[,]a b 上单调递增，而()0F a =，()0F x ≥ )(a x ≥，则()0F b ≥,即⎰badxx f )(≥⎰dx x f ba)(12)(a b -. 例4 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续且单调递减，证明 对任意(0,1]a ∈，均有()af x dx ⎰1()a f x dx ≥⎰.证 方法1 设x at =,等式左端化为:11()()()af x dx a f at dt a f ax dx ==⎰⎰⎰因为()f x 单调递减,01a <≤,所以()()f ax f x ≥,于是11()()()af x dx a f ax dx a f x dx =≥⎰⎰⎰.方法21()()af x dx a f x dx ≥⎰⎰等价于1()()1af x dx f x dx a≥⎰⎰ (0)a >设0()()xf x dx F x x=⎰,(01)x <≤,则02()()()x f x x f t dtF x x⋅-'=⎰.因为()f x 连续,利用积分中值定理2()()()f x x f x F x x ξ⋅-⋅'=()()f x f xξ-= (0)x ξ<< 因为()f x 在[0,1]上单调递减，所以当x <<ξ0时,)()(ξf x f <,从而当10≤<x 时()0F x '≤，故()F x 在[0,1]上单调递减，于是对任意(0,1)a ∈，有()(1)F a F >，特别地当1a =时,原不等式中的等号成立，所以1001()()af x dx f x dx a≥⎰⎰， 即1()()af x dx a f x dx ≥⎰⎰.例5已知当b x a ≤≤时，()0,()0f x f x '''>>，证明()()()[()()]2bab ab a f a f x dx f a f b --<<+⎰. 证 ⑴令()()()()xaF x f t dt x a f a =--⎰()a x b ≤≤，则()()()F x f x f a '=-当b x a ≤≤时，()0f x '>，所以()f x 在区间[,]a b 上单调递增,即 ()()f x f a ≥. 当且仅当a x =时，()0F x '=，所以()F x 在区间[,]a b 上单调递增, 即 ()()0F b F a >=，则 ()()()ba b a f a f x dx -<⎰.⑵令()()[()()]2xax aG x f t dt f a f x -=-+⎰ ()a x b ≤≤，则 1()()[()()]()22x aG x f x f a f x f x -''=-+-()()()22f x f a x af x --'=-因为()f x 在],[x a )(b x a ≤<上满足拉格朗日中值定理，所以(,)a x ξ∃∈，得()()()()f x f a x a f ξ'-=-()[()()]2x aG x f f x ξ-'''=- ()a x ξ<< 当a x b ≤≤时，()0f x ''>,()f x '在[,]a b 上单调递增，则()()f f x ξ''< 故()0G x '< ()a x b <≤，所以可知,()G x 在a x =处连续.因为()G x 在[,]a b 上单调减,()()0G b G a -<. 则 ()[()()]02bab af x dx f a f b ---<⎰, 所以()[()()]2bab af x dx f a f b -<+⎰，结合⑴原不等式得证. 例6 证明 若函数()f x 与()g x 在区间[,]a b 可积，则[][]222(()())()()b bbaaaf xg x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰（施瓦茨不等式）证 构造辅助函数222()[()][()](()())xx xaaaF x f t dt g t dt f t g t dt =-⎰⎰⎰2222()()()()()2()()()()xxxaaaF x f x g t dt g x f t dt f x g x f t g t dt '=⋅+⋅-⎰⎰⎰2222[()()2()()()()()()]xaf xg t f x g x f t g t f t g x dt =-⋅+⎰2[()()()()]0xaf xg t f t g x dt =-≥⎰从而()F x 在区间[,]a b 上单调递增，故有()()0F b F a ≥= 则222(()())[()][()]bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰.例7 设()f x 在[0,1]上连续可微，且满足(0)0f =，0()1f x '<≤,证明11230(())()f x dx f x dx ≥⎰⎰.证 作辅助函数230()(())()xxF x f t dt f t dt =-⎰⎰ [0,1]x ∈.由于(0)0F =，32()2()()()()[2()()]xxF x f x f t dt f x f x f t dt f x '=-=-⎰⎰ .令20()2()()xG x f t dt f x =-⎰，[0,1]x ∈.由于()f x 在区间[0,1]上连续可微，(0)0f =，0()1f x '<≤,所以()f x 单调递增. 故()0f x >,(0,1]x ∈.(0)0G =,则()2()2()()2()[1()]0G x f x f x f x f x f x '''=-=-≥,故()(0)0G x G ≥=，[0,1]x ∈.当(0,1)x ∈时，()0F x '≥，()F x 单调递增.特别当1123(1)(())()(0)0F f x dx f x dx F =-≥=⎰⎰,即得证11230(())()f x dx f x dx ≥⎰⎰.例8 设()f x 在区间[,]a b 上有连续的导数，且()0F a =，证明2221()()[()]2bb aa f x dxb a f x dx '≤-⎰⎰证 2221()()[()]()2x x a a F x x a f t dt f t dt '=--⎰⎰22221()()[()]()[()]()2x a F x x a f x x a f t dt f x '''=-+--⎰ 22221()[()]()1[()]2x x a a x a f x f x dx f t dt''=--+⋅⎰⎰ 22221()[()]()(())2x a x a f x f x f t dt ''≥--+⎰（施瓦茨不等式）22221()[()]()()2x a f x f x f x '=--+ 221()[()]02x a f x '=-≥ 得出()F x 为单调递增函数，当a x >∀时，()()0F x F a ≥=特别地2221()()[()]()02b b a a F b b a f x dx f x dx '=--≥⎰⎰得证2221()()[()]2bb aa f x dxb a f x dx '≤-⎰⎰.例9设函数()f x 在区间[,]a b 上连续并可微，且()0f a =，证明不等式22()[()]baM b a f x dx '≤-⎰，其中max ()a x bM f x ≤≤=证 由施瓦茨不等式可知 222(()())()()bb ba aaf xg x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰因为22()[()]1[()]xxx aaax a f x dx dx f x dx ''-=⎰⎰⎰22[()]()xaf x dx f x '≥=⎰ ([,])x a b ∀∈引入辅助函数2()()[()]xaF x x a f x dx '=-⎰,222()1[()][()]()xxx aaaF x dx f x dx f x dx f x ''=≥=⎰⎰⎰ ([,])x a b ∈所以22()()[()]()ba Fb b a f x dx f x '=-≥⎰.11 故由题设[,]x a b ∀∈，所以22()[()]b a M b a f x dx '≤-⎰.。
二元函数积分上限函数
二元函数积分上限函数二元函数的积分上限函数是指在一定的范围内，将二元函数的积分上限作为一个函数来表示。
为了便于理解和说明，下面将分几个部分来详细介绍二元函数积分上限函数。
一、二元函数积分上限函数的定义对于一个连续的二元函数f(x,y)，其积分上限函数是一个函数F(t)，其中t表示积分上限。
二、二元函数的积分首先，我们来回顾一下二元函数的积分的定义。
对于一个连续的二元函数f(x,y)，它的积分是一个数值，表示在一个给定区域上该函数的总体积。
三、二元函数积分上限函数的求法考虑到二元函数积分上限函数的计算方法，我们一般采用两个步骤：先求出二元函数关于变量t的不定积分，再将积分结果作为函数值。
四、具体计算步骤1. 首先，我们需要将二元函数表示为关于变量t的不定积分。
例如，对于一个二元函数f(x,y) = x^2 + y^2，在求其积分上限函数时，我们可以将其表示为关于t的不定积分F(t) = ∫(t^2) dt，其中，t为积分上限。
2.接下来，我们需要求出F(t)的具体形式。
对于上一步中的不定积分，我们可以通过常用的积分方法进行求解。
在此例中，我们可以得到F(t)=(1/3)*t^3+C，其中C为常数。
3.最后，将积分上限t代入F(t)中，得到最终的积分上限函数F(t)的具体形式。
五、例题下面，我们通过一个例题来说明二元函数的积分上限函数的求解方法。
考虑一个二元函数f(x,y) = xy，我们要求其积分上限函数。
具体计算步骤如下：1. 将二元函数表示为关于变量t的不定积分：F(t) = ∫(t^2 * y) dy。
2.求解不定积分：F(t)=(1/2)*t^2*y^2+C。
3.将积分上限t代入F(t)中：F(t)=(1/2)*t^2*y^2六、总结通过上述例题的计算过程，我们可以得出结论：二元函数积分上限函数的求解方法是先将二元函数表示为关于变量t的不定积分，再将积分上限代入不定积分结果中得到最终的积分上限函数。
积分上限函数教学的几点思考
积分上限函数教学的几点思考
积分上限函数是数学中的一个重要概念，它在微积分和数学分析中起着重要作用。
在教学中，积分上限函数通常是在高中或大学数学课程中出现的内容之一。
下面我将从几个方面对积分上限函数的教学进行思考。
积分上限函数的定义和理解是教学的重点之一。
积分上限函数通常用符号
\int_{a}^{x}f(t)dt表示，它表示函数f(t)在区间[a,x]上的积分。
学生需要了解积分上限函数的定义及其含义，明白积分上限函数是关于x的函数，它表示从a到x的积分值。
在教学中，可以通过具体的例子来引导学生理解积分上限函数的定义，例如利用图形直观地展示积分上限函数与积分之间的关系，使学生对积分上限函数有直观的认识。
积分上限函数的性质是教学的重点之一。
积分上限函数具有许多重要的性质，如可导性、导数与原函数的关系、积分的线性性等。
在教学中，可以结合实际问题，引导学生用数学语言描述积分上限函数的性质，通过推导和证明来加深学生对积分上限函数性质的理解。
可以通过举一些实际问题，让学生能够应用积分上限函数的性质解决实际问题，增强他们对积分上限函数性质的理解和掌握。
对积分上限函数的教学应该着重培养学生对积分上限函数的理解、性质、计算和应用能力。
通过丰富多彩的教学手段和方法，引导学生掌握积分上限函数的基本概念、性质、计算和应用，提高他们的数学素养和问题解决能力。
教师需要注重引导学生发现数学的美和深刻的思想，激发学生对数学学科的兴趣和热爱，培养他们对数学的创造性思维和创新能力。
希望通过教师的精心设计和努力指导，学生能够对积分上限函数有更深入的理解和掌握，从而在学业和未来的发展中受益无穷。
理解积分变上限函数
理解积分变上限函数积分变上限函数是指定义在实数轴上的函数，其形式为$F(x) =\int^x_a f(t)dt$，其中$a$为定值，$f(t)$为已知函数。
这种函数与普通函数不同之处在于，它的自变量不再是单一的$x$，而是变成了$x$的上限。
那么，如何理解积分变上限函数呢？首先需要明确的是，积分是一种累加的操作，对于区间$[a,x]$，积分$F(x)$可以理解为在这个区间内$f(t)$的累加和。
而积分变上限函数就是在这个过程中将上限$x$不断变化得到的。
例如，当$x$从$a$增加到$b$，$F(x)$就会从$F(a)$变成$F(b)$，此时积分累加的范围也就从$[a,a]$扩展到了$[a,b]$，换言之，积分变上限函数正是表达了$f(t)$在区间$[a,x]$内积分的结果。
那么，积分变上限函数和普通函数有什么关系呢？其实，积分变上限函数在某种程度上可以看做是积分的逆运算。
通过积分变上限函数，我们可以将$f(x)$还原成原函数。
这种还原过程并不是没有意义的，因为有些情况下，原函数并不能够直接求得，而积分变上限函数提供了一种更加便捷的途径。
此外，积分变上限函数还有其它一些重要的应用。
例如，我们可以通过推导积分变上限函数的导数来证明某些定理，这种方法在微积分中经常被使用。
此外，在微积分的计算中，积分变上限函数可以被用来简化某些复杂的积分运算。
因此，理解积分变上限函数是学习微积分的重要一步。
总之，积分变上限函数是表达$f(x)$在不同区间内积分结果的函数，是对积分的一种表达方式。
它不仅可以用来还原原函数，也可以用来验证定理、简化计算等。
因此，对于学习微积分的人来说，理解积分变上限函数是非常重要的。
积分上限函数
积分上限函数设函数f(x) 在区间 [a,b] 上可积，对任意的x∈[a,b]，做变上限积分Φ(x)=∫x a f(t)dt这个积分称为函数f(x) 的积分上限函数。
当f(x)>0 时，Φ(x) 在⼏何上表⽰为右侧邻边可以变动的曲边梯形的⾯积。
性质1：函数Φ(x) 在区间 [a,b] 上连续直观上看，当f(x)>0 时，函数Φ(x) 代表的是图形在区间 [a,x] 上的⾯积，很明显，⾯积随x的变化是连续的。
使⽤limΔx→0Δy=0 来证明。
Δy=Φ(x+Δx)−Φ(x)=∫x+Δxx0f(t)dt−∫x xf(t)dt=∫x+Δxxf(t)dt因为f(x) 在 [a,b] 上可积，所以f(x) 在 [a,b] 上有界，设 |f(x)|≤M，于是|Δy|=|∫x+Δxx f(t)dt|≤∫x+Δxx|f(t)|dt≤M⋅Δx由夹逼准则可得limΔx→0Δy=0性质2：若函数f(x) 在区间 [a，b] 上连续，则Φ(x) 在区间 [a，b] 上可导，且Φ′(x)=f(x)。
由 1 可知：Δy=∫x+Δxxf(t)dt再由，得Δy=∫x+Δxxf(t)dt=f(ξ)⋅Δx所以有lim Δx→0ΔyΔx=limΔx→0f(ξ)⋅ΔxΔx=limΔx→0f(ξ)=f(x)故：变上限积分函数是f(x) 的⼀个原函数。
可以看出，当f(x)>0 时，它的原函数Φ(x) 在某⼀点的函数值就是f(x) 在该点左侧图形的⾯积。
f(x) 的任意⼀个原函数F(x) 满⾜，每⼀个原函数之间都相差⼀个常数C。
F(x)=Φ(x)+CProcessing math: 100%。
积分上下限函数
积分上下限函数积分上下限函数是微积分中的一个重要概念，用于获得曲线下的面积或曲线围成的体积等基础计算。
在本文中，我们将介绍积分上下限函数的概念和使用方法。
在积分中，当我们要求一个函数在某一区间上的积分时，我们需要设定积分的上下限。
这些上下限可以是实数、变量或函数等。
如果积分的上下限是函数，则称其为积分上下限函数。
更具体地讲，如果一个函数f(x)在[a,b]上是可积分的，那么我们可以将其积分表示为：∫a~bf(x)dx其中a和b分别是积分的下限和上限，称为积分上下限。
在某些情况下，积分的上下限也可以是函数，即：在使用积分上下限函数时，我们需要首先确定它的定义域和值域。
如果g(x)≤h(x)在定义域中成立，则积分上下限函数存在。
一旦确定了积分上下限函数的定义域和值域，我们可以使用以下步骤计算积分：1.确定积分区间根据积分上下限函数的值域，确定积分区间[a,b]。
其中a和b分别是积分上下限函数的最小值和最大值。
2.计算被积函数将积分上下限函数带入被积函数中，从而获得在积分区间[a,b]中需要被积分的函数f(x)。
3.计算积分使用得到的被积函数f(x)和确定的积分区间[a,b]，计算出积分的值。
具体计算方法可以采用微积分基本公式、变量代换和分部积分等技巧。
在三维空间中，我们可以用积分上下限函数计算曲面围成的体积。
例如，如果我们想计算半径为r的球体的体积，则可以使用以下积分公式：V=∫（-r）~rπ[(r^2-x^2)^0.5]^2dx其中，上下限函数为-g(x)=h(x)=r，即半径为r的圆的方程x^2+y^2=r^2。
2.曲线长度计算L=∫a~b[(1+(dy/dx)^2)^0.5]dx在概率统计学中，积分上下限函数也有广泛的应用。
例如，在正态分布中，积分上下限函数可以用于计算正态分布曲线下的面积。
总之，积分上下限函数是微积分中的重要概念，可以用于广泛的数学和物理学问题，对于学习积分和微积分的学生来说，它也是一个不可或缺的概念。
积分上限函数计算
积分上限函数计算假设我们有一个函数f(x)，其中x表示一个实数变量。
我们希望找到函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值，即在区间[a,b]内找到一个x值，使得f(x)取得最大值。
首先，我们需要定义一个积分上限函数F(x)，它表示在闭区间[a,x]上f(x)的累积值。
积分上限函数F(x)可以表示为：F(x) = ∫[a, x] f(t) dt其中∫[a,x]表示从a到x区间的积分运算。
根据定积分的性质，我们知道积分上限函数F(x)是一个连续增函数，即在[a,b]内，如果x1<x2，则F(x1)<F(x2)。
我们可以通过求解F(x)在闭区间[a,b]的最大值来找到函数f(x)在该区间取得最大值的x值。
为了求解F(x)的最大值，我们可以利用导数的概念。
首先，我们计算积分上限函数F(x)的导数F'(x)。
根据导数的定义，F'(x)表示在点x处的瞬时增长率。
然后，我们需要找到F'(x)的驻点，即F'(x)的导数为零的点。
最后，我们比较驻点之间的函数值，找到F(x)最大值对应的x值。
具体的求解过程可以使用微积分的相关技巧，如导数的求法、驻点的求法、一阶和二阶导数的符号判别等。
这些方法可以用来寻找F(x)的最大值和对应的x值。
举个简单的例子，假设我们希望找到函数f(x)=-x^2+4x+2的最大值在闭区间[0,3]内的x值。
首先，我们计算积分上限函数F(x)：F(x) = ∫[0, x] (-t^2 + 4t + 2) dt通过积分得到：F(x)=-x^3/3+2x^2+2x然后，我们计算F(x)的导数：F'(x)=-x^2+4x+2接下来，我们找到F'(x)的驻点，即F'(x)的导数为零的点。
这可以通过求解F'(x)=0的根来找到。
解这个方程得到两个根x1=(-2+√10)/(-1)≈3.96和x2=(-2-√10)/(-1)≈0.04然后，我们比较驻点之间的函数值，即计算F(x)在驻点和区间端点处的函数值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小结积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。
1．关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理 2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
推论1 )(])([x f dt t f dx d bx -=⎰推论2 )()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3 )()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dx d x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2．积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。
（2）比如 ⎰-=xdt x t tf x F 0)()(( f 的自变量中含x , 可通过变量代换将x 置换到f 的外面来)在求)(x F '时，先对右端的定积分做变量代换x t u -=（把x 看作常数），此时，du dt =，0=t 时，x u -=；x t =时，0=u ，这样，)(x F 就化成了以u 作为积分变量的积分下限函数：⎰⎰⎰---+=+=0)()()()()(xxxdu u uf du u f x du u f u x x F ，然后再对x 求导。
( 3 ) 比如 ⎰=1)()(dt xt f x F(这是含参数x 的定积分, 可通过变量代换将x 变换到积分限的位置上去)在求)(x F '时，先对右端的定积分做变量代换xt u =（把x 看作常数），此时，xdudt =，0=t 时，0=u ；1=t 时，x u =，于是，)(x F 就化成了以u 作为积分变量的积分上限函数：⎰=xdu u f x x F 0)(1)(，然后再对x 求导。
3．有积分限函数参与的题型举例 （1） 极限问题：例1 ⎰⎰-→x x x dtt t t tdt230)sin (sin lim2（答：12）例2 xdt t xx ⎰+∞→0sin lim（提示：本题用洛必达法则求不出结果，可用夹逼准则求。
答：π2） 例3 已知极限1sin 1lim00=++-⎰→x x x dt ct t a bx e ，试确定其中的非零常数.,,c b a（答：.1,1,1==-=c b a ） （2） 求导问题例4 已知 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎰⎰.sin ,)cos 1(00tt udu y du u x 求.dx dy (答:)cos 1(2sin t t t -) 例5 已知 .0cos 0=+⎰⎰xyyt tdt dt e 求.dxdy(答: )cos()cos(xy x e xy y y+-) 例6 求⎰-x dt t x dxd 02)sin( (答: 2sin x )例7 设)(x f 在),(+∞-∞内连续且,0)(>x f 求证 ⎰⎰=x xdtt f dt t tf x 00)()()(ϕ 在),0(+∞内单调增加.(3) 最大最小值问题例8 在区间],1[e 上求一点ξ, 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小.(提示: 先将面积表达为两个变限定积分之和:⎰⎰-+=exxdt t tdt x A )ln 1(ln )(1,然后求出)(x A ',再求出其驻点. 答:e =ξ.)例9 设0≥x ，n 为正整数. 证明 ⎰-=xn tdt t t x f 022sin )()( 的最大值不超过.)32)(22(1++n n (提示:先求出函数的最大值点, 然后估计函数最大值的上界.)(4) 积分问题例10 计算⎰10)(dx x xf ，其中⎰=21sin )(x dt ttx f .(提示: 当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时, 总是用分部积分法求解, 且取)(x u 为积分上限函数. 答: ).11(cos 21-)例11 设)(x f 在),(+∞-∞内连续, 证明.])([))((0⎰⎰⎰=-x uxdu dt t f du u x u f(提示: 对右端的积分施行分部积分法.)例12 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤<-≤≤=.2,00,212,10)(x x x x x x x f 求⎰=Φx dt t f x 0)()(在),(+∞-∞内的表达式. (说明: 这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到. 求表达式时, 注意对任一取定的x , 积分变量t 在],0[x 内变动).答: .21,21)2(211,1021,00)(22⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<--≤≤<=Φx x x x x x x )(5) 含有未知函数的变上限定积分的方程（称为积分方程）的求解问题 例13 设函数)(x ϕ连续，且满足.)()()(0⎰⎰-+=xxxdt t x dt t t e x ϕϕϕ 求).(x ϕ(答: )sin (cos 21)(x e x x x ++=ϕ) （说明：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，然后求解. 注意初值条件隐含在积分方程内. 答: x x x sin cos )(+=ϕ） 例14 设)(x f 为正值连续函数, ,1)0(=f 且对任一0>x , 曲线)(x f y = 在区间],0[x 上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积, 求此曲线方程. (说明: 根据题设列出的方程将含有)(x f 的积分上限函数.答: ))0(2)(>+=-x e e x f xx (6) 利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等.例15 设)(),(x g x f 均在],[b a 上连续, 证明以下的Cauchy-Swartz 不等式:.)()())()((222⎰⎰⎰≤bababadx x g dx x f dx x g x f说明: 本题的通常证法是从不等式0)]()([≥-⎰badx x tg x f 出发, 由关于t 的二次函数非负的判别条件即可证得结论. 但也可构造一个积分上限函数, 利用该函数的单调性来证明. 提示如下:令.)()(])()([)(222⎰⎰⎰⋅-=xaxaxadt t g dt t f dt t g t f x F 则.0)(=a F求出)(x F '并证明.0)(≤'x F 从而)(x F 单调减少, 于是得 .0)()(=≤a F b F由此可得结论. 这种证法有一定的通用性. 例如下例.例16 设)(x f 在[0,1]上连续且单调减少. 证明: 对任一,10<<λ 有.)()(1⎰⎰≥dx x f dx x f λλ(提示: 即证.1)()(1⎰⎰≥dxx f dxx f λλ于是作,)()(0xdtt f x F x⎰=只需证)(x F 单调减少即可得结论.)利用积分上限函数构造辅助函数, 还常用于证明与微分中值定理有关 的某些结论. 比如下题.例17 设)(),(x g x f 在],[b a 上连续. 求证: 存在),(b a ∈ξ,⎰⎰=ξξξξabdx x f g dx x g f )()()()(.(提示: 令⎰⎰⋅=bxx adt t g dt t f x F )()()(. 对)(x F 在],[b a 上用Rolle 定理即可证得结论)4. 关于积分限函数的奇偶性与周期性定理3 设()x f 连续，()()⎰=xdt t f x 0ϕ.如果()x f 是奇（偶）函数，则()x ϕ是偶（奇）函数；如果如果()x f 是周期为T 的函数，且()00=⎰Tdx x f ,则()x ϕ是相同周期的周期函数.证 设()x f 奇, 则()()()()()()()x du u f du u f u d u f dt t f x xf xx ut x ϕϕ==--=--==-⎰⎰⎰⎰-=-0奇,即()x ϕ为偶函数.设()x f 偶, 则()()()()()()()x du u f du u f u d u f dt t f x xf xx ut x ϕϕ-=-=--=--==-⎰⎰⎰⎰-=-0偶,即()x ϕ为奇函数.若()00=⎰Tdx x f ，则()()()()()()()x dt t f x dt t f dt t f dt t f T x TT x xx T x ϕϕϕ=+=+==+⎰⎰⎰⎰++0,即)(x ϕ为周期为T 的周期函数.例18 设)(x f 在),(+∞-∞内连续, ⎰-=xdt t f x t x F 0)()2()(. 证明:(a) 如果)(x f 是偶函数, 则)(x F 也是偶函数;(b) 如果)(x f 是单调减少函数, 则)(x F 也是单调减少函数.。