(精心整理)分式的性质与运算

分式的性质与运算

1.1 分式的基本概念和性质1．分式的基本概念：

知识导航

知识网络

【例1】 ⑴代数式1312,,,,

34

a b m n

b x a π+-+中，分式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个

D ．4个

⑵ 当x = 时，分式

2x x +有意义；当x 时，分式21

1

x +有意义．

⑶当x 为何值时，下列分式的值为0？

①213x x -+ ②()()661x x x --+ ③()()216

41x x x -+- ④288x x + ⑤()

22

255x x --

⑷当x 时，分式233x x --的值为1；如果分式1

21

x x -+的值为1-，则x 的值是 ．

⑸当x 时，分式48x -的值为正数；当 时，分式48x

x

--的值为负数．

【例2】 ⑴ 当x 取何值时，分式11x x

-

有意义？

⑵ 使代数式32

34

x x x x ++÷

--有意义的x 值是 ．

⑶若不论x 为何值，分式

21

2x x c

++总有意义，则c ．

经典例题

1.2 分式的基本运算

注：零指数幂及负整数指数幂都属于分式．

【例3】 ⑴计算：()222

2

2x xy y x y

xy x xy x -+--÷；

⑵计算：2

21

11

x x x -

--； ⑶计算：

22

12239a a

a a a a

-+÷---； 经典例题

知识导航

⑷计算:2233x y x y

x y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷

⎪⎢⎥+⎝⎭⎣

⎦;

⑸计算：()22

221031525965a a a a a a

-+÷--+-．

【例4】 ⑴先化简：22211a a a a a a --⎛

⎫-÷

⎪+⎝

⎭，然后给a 选择一个你喜欢的数代入求值．

⑵已知：2

380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+--

-++的值．

【例5】 化简：2

22222

2

2112

22a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-⎛⎫+÷+⎢⎥ ⎪++-+⎝⎭⎢⎥⎣⎦

【例6】 化简22

32233223222244

113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++--

+++-+--+-．

1.3 分式的拆分

分式计算技巧--------分式的拆分

分式拆分的基本模型11

a b ab a b

+=+，这种模型在计算中运用十分广泛。而复杂的题型通常将

这种形式包容在其中。如：()()b c

a b a c ---初看不符合基本模型，若对分子稍加变形则马上出

现基本模型。()()b c a c a b -=---所以原式变为()()()()

11

a c a

b a b a

c a b c a ---=+----

【例7】 ⑴化简：

222

111

3256712

x x x x x x ++++++++； ⑵

化简

：

222222

b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a ---++---

--+--+--+---．

经典例题

知识导航

⑶已知,,a b c 为实数，且111,,345ab ab ca a b b c c a ===+++，那么

abc

ab bc ca

++的值为 ．

【例8】 仿照例子解题：

例子：若2

15111

M N x

x x x -+=+--恒成立，求M N 、的值． 解题过程如下： 2

15111

M N x

x x x -+=+--， ()()1115M x N x x ∴-++=-，

则15Mx M Nx N x -++=-， 即51Mx Nx N M x ++-=-+，

51M N N M +=-⎧∴⎨-=⎩

解得：32M N =-⎧⎨=-⎩

请你按照上面的方法解题： 若

2

8

224

M N x x x x --=+--恒成立，求M N 、的值．

【例9】 已知()()

237231111x x A B

x x x x -+=++-+-+，其中A B 、为常数，求42A B -的值．

1.4 课后练习【演练1】 ⑴当x 时，分式

2335x x ++有意义，当x 时，分式23

35

x x ++无意义．

⑵当x 时，分式11

x x -+的值为零．

⑶当x 时，分式1

2x

-的值为正． ⑷分式2

3

a a

b +++的值为零，则a ，b ．

⑸已知分式()()

811

x x x -+-的值为0，求x 的值．

⑹若分式221

23

b b b ---的值是0，则b 的值是（ ）

A.1

B.1-

C.1±

D. 2