(精心整理)分式的性质与运算
分式数学知识点归纳总结
分式数学知识点归纳总结一、分式的定义和基本性质1. 分式是由分子和分母组成的数，分子和分母都是整数，并且分母不为零。
2. 分式可以表示有理数，有理数包括整数和分数。
3. 分式可以看作是代数式的特殊形式，其中分母不为零。
4. 分式的分子和分母可以约分，即分子和分母同时除以一个相同的非零数。
5. 分式可以相加、相减、相乘和相除，也可以化简和合并。
6. 分式的大小比较可以用分式的加减乘除性质进行比较。
二、分式的化简和合并1. 化简分式：化简分式是指对分式的分子和分母进行约分，使分数的值保持不变的基础上，得到最简分数。
2. 合并分式：合并分式是指将两个分式相加或者相减，得到一个最简分式。
三、分式的加减乘除性质1. 分式的加法性质：分式相加时，首先要找到它们的公分母，然后将分子相加，分母保持不变。
2. 分式的减法性质：分式相减时，首先要找到它们的公分母，然后将分子相减，分母保持不变。
3. 分式的乘法性质：分式相乘时，分子相乘，分母相乘。
4. 分式的除法性质：分式相除时，将除数分子分母互换，再将所得的分式作为乘数分式进行运算。
四、分式的大小比较1. 分式的大小比较：分式大小的比较可以用分式的加减乘除性质进行比较。
对于两个分式a/b和c/d来说，若a/b<c/d，则ad<bc；若a/b>c/d，则ad>bc。
2. 分式的大小比较练习：比较分式大小时，可以将分式通分进行比较，也可以将分式转化为小数进行比较。
五、分式方程的解法1. 分式方程的定义：分式方程是含有分式的代数方程。
2. 分式方程的解法：对于分式方程的解法，首先要通过分式的化简和合并，将分式方程化为最简分式方程，然后可以通过分式方程的乘法性质和除法性质进行求解。
六、分式在实际应用中的问题求解1. 分式在应用问题中的运用：分式在实际生活中有着广泛的应用，包括比例、百分数、利率、比率、工程问题等。
2. 分式应用问题求解：在实际应用问题中，我们可以将问题中的条件转化为分式形式，然后通过分式的运算法则进行求解。
专题 分式性质与运算(知识点精讲)(学生版)
专题08分式性质与运算重难突破知识点一分式有意义及值为0的条件1、分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式，其中A 是分式的分子，B 是分式的分母．注意：三要素（1）形如A B 的式子；（2）A ，B 均为整式；（3）分母B 中含有字母.2、分式有意义、无意义的条件（1）当分母0B =时，分式A B无意义；（2）当分母0B ≠时，分式A B 有意义．注意：①分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分母的整式的值不能为0；②分式是否有意义，只与分式的分母是否为0有关，而与分式的分子的值是否为0无关.3、分式的值（1）分式值为0：分子为0且分母不为0，即00A B =⎧⎨≠⎩；（2）分式值为正：分子分母同号，即00A B >⎧⎨>⎩或00A B <⎧⎨<⎩；（3）分式值为负：分子分母异号，即00A B >⎧⎨<⎩或00A B <⎧⎨>⎩．注意：①分式的值为0必须同时满足两个条件：分子的值为0；分母的值不为0.②必须在分式有意义的前提下，才能谈分式的值是多少，也就是说，必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值是否等于0.典例1（2020•姑苏区一模）若分式3x x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围为()A ．3x >B ．0x ≠且3x ≠C ．0x D ．3x ≠典例2（2021春•罗湖区校级期中）已知分式2(3)(1)1x x x -+-的值为0，那么x 的值是()A ．1-B ．3C ．1D ．3或1-知识点二分式基本性质1、分式的基本性质分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用字母表示：a a m b b m ⋅=⋅，a a m b b m÷=÷（0m ≠）其中m 是不等于0的整式．注意：（1）分式的符号法则将分式、分子、分母的符号改变其中的任意两个，其结果不变.速记口诀：分式变形用性质，变形牢记要两同；分子、分母同乘除，非零整式且相同.（2）分式的基本性质是分式约分和通分的依据.2、分式的约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式．约分通常要把分式化为最简分式或整式．典例1（2021春•光明区期中）若把分式3xy x y -中的x 和y 都扩大为原来的5倍，那么分式的值()A ．扩大为原来的5倍B ．扩大为原来的10倍C ．不变D ．缩小为原来的15倍典例2（2020春•铜仁市期末）下列各式，正确的是()A ．632x x x=B ．a x a b x b +=+C ．1()x y x y x y -+=-≠-D ．22a b a b a b+=++知识点三分式的运算1、分式的乘除法（1）乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母．用式子可以表示为：b d bd a c ac⋅=．（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子可以表示为：b d b c bc a c a d ad÷=⋅=．（3）乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方．用式子可以表示为：(n n n b b a a =（n 是正整数，b ≠0）2、分式的通分（1）根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.（2）通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
分式归纳总结
分式归纳总结分式是数学中常见的一种表达方式，它由一个分子和一个分母组成，分子和分母都是数或者代数式。
在日常生活和学习中，我们经常遇到各种各样的分式，学会对分式进行归纳总结，可以帮助我们更好地理解和应用分式。
一、分式的基本概念和性质1. 分式的定义：分式是由分子和分母用横线分隔表示的数或者代数式。
2. 分式的性质：分式可以进行加、减、乘、除等运算。
分式可以化简为最简形式，即分子与分母没有公因数。
二、分式的分类和举例1. 真分式：分子的绝对值小于分母的绝对值，如1/2、3/4等。
2. 假分式：分子的绝对值大于等于分母的绝对值，如5/4、7/2等。
3. 显分式：分子为非零数，如3/1、4/1等。
4. 隐分式：分子为零，如0/5、0/9等。
三、分式的运算与应用1. 分式的加法和减法：对于相同分母的分式，可以直接对分子进行加或减。
对于不同分母的分式，需要先通分再进行运算。
例如：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/63/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/202. 分式的乘法和除法：将分子与分母分别相乘或相除。
例如：(2/3) * (3/4) = 6/12 = 1/2(4/5) / (2/3) = (4/5) * (3/2) = 12/10 = 6/53. 分式的应用：分式在实际生活中有很多应用，如比例、百分数、利润分成等问题。
例如：根据工资比例计算两人的收入比例：小明工资是2000元，小红工资是3000元，求两人工资的比例。
小明的工资比例为：2000 / (2000+3000) = 2000 / 5000 = 2/5小红的工资比例为：3000 / (2000+3000) = 3000 / 5000 = 3/5四、分式的化简与扩展1. 分式的化简：通过约分化简一个分式，使得分子与分母互质。
例如：8/12 = 2/3，可以将分式8/12化简为2/3。
2. 分式的扩展：将一个分式拆分为多个分式的和或差，扩展了分式的表达形式。
八年级上册分式
八年级上册分式一、分式的基本概念与性质1.分式的定义：分式是指形如a/b的表达式，其中a和b都是整式，b不为零。
a称为分子，b称为分母。
2.分式的基本性质：（1）分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个非零整式，分式的值不变。
（2）分式的分子与分母同时加减同一个整式，分式的值不变。
（3）分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个有理数，分式的值不变。
二、分式的运算1.分式加减法：分式加减法是将两个或多个分式的分子进行加减运算，分母保持不变。
需要注意的是，分母必须相同，否则需要先进行通分。
2.分式乘除法：分式乘除法是将两个分式的分子相乘（或相除），分母相乘（或相除）。
同样需要注意，分子和分母的运算结果必须为整式。
3.乘法公式在分式中的应用：乘法公式如平方差公式、完全平方公式等，在分式运算中也同样适用。
三、分式方程及其解法1.分式方程的定义与特点：分式方程是指含有分式的等式，其中未知数的次数不低于1。
分式方程的特点是分母中含有未知数。
2.分式方程的解法：求解分式方程的一般步骤为去分母、移项、合并同类项、化简、求解。
需要注意的是，解分式方程时要防止分母为零的情况。
3.解分式方程的注意事项：在解分式方程时，要遵循分式方程的求解法则，同时注意化简和计算过程中的细节。
四、分式不等式及其解集1.分式不等式的定义与特点：分式不等式是指含有分式的不等式，其中未知数的次数不低于1。
分式不等式的特点是分母中含有未知数。
2.分式不等式的解法：求解分式不等式的一般步骤为去分母、移项、合并同类项、化简、求解。
需要注意的是，解分式不等式时要防止分母为零的情况。
3.分式不等式的应用：分式不等式在实际问题中具有广泛的应用，如不等式的求解、实际问题中的优化问题等。
五、分式在实际问题中的应用1.数学模型建立：分式在数学模型建立中具有重要作用，如波动问题、生长问题等。
2.实际问题分析与解决：分式在实际问题中可以用来表示数量关系、比例关系等，从而帮助分析问题和解决问题。
第一讲分式的基本性质与运算
分式的基本性质和运算【知识归纳】1、 分式概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式． 注意：（1）分母中应含有字母；（2）分母的值不能为零．（分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当0≠B 时，分式B A 才有意义；当B=0时，分式BA 无意义） 【例】：1．式子①x 2②5y x +③a -21④1-πx 中，是分式的有（ ） A 、①②B 、③④C 、①③D 、①②③④2.当x 取什么值时，下列分式有意义．（1）54+x x ， （2）422+x x .【练习】：1. 若分式1-x x 无意义,则x 的值是( ) A 、0 B 、1 C 、-1 D 、1±2.如果分式x211-的值为负数,则的x 取值范围是( ) A 、21≤x B 、21<x C 、21≥x D 、21>x 2、 要分式的值为零，需要同时满足两项条件：（1）分式的分母的值不等于零；（2）分子的值等于零．【练习】：1．分式13-+x a x 中，当a x -=时，下列结论正确的是（ ） A 、分式的值为零 B 、分式无意义 C 、若31-≠a 时,分式的值为零 D 、若31≠a 时,分式的值为零 2.（1）当_______时,分式534-+x x 的值为1.（2）当______时,分式51+-x 的值为正.3．x 取什么值时，分式)3)(2(5+--x x x （1）无意义？（2）有意义？ （3）值为零？4．2001-2003年某地的森林面积（单位：公顷）分别是321,,S S S ，2003年与2002年相比，森林面积增长率提高了多少？（用式子表示）5．学校用一笔钱买奖品，若以1支钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品，那么这笔钱全部用来买钢笔可以买多少支？3、 分式的基本性质分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示是：C B C A B A ⋅⋅=CB C A B A ÷÷= （0≠C ） 【例】约分：（1）d b a c b a 42342135-， （2）23)(4)(2x y y y x x -- ， （3）2222)()(z y x z y x -+--.【练习】：1．对于分式11-x ，永远成立的是（ ） A 、1211+=-x x B 、11112-+=-x x x C 、2)1(111--=-x x x D 、3111--=-x x 2.下列各分式正确的是( )A 、22a b a b =B 、b a b a b a +=++22C 、a a a a -=-+-11122D 、x xxy y x 2168432=-- 3.若)0(54≠=y y x ,则222y y x -的值等于________. 4.化简分式xx ---112的结果是________. 5.将分式的分子与分母中各项系数化为整数,则b a b a 213231++=__________. 6.把下列各式约分: (1)432304ab b a ， (2)22112m m m -+- ， (3)42)()(a b b a --.7．已知：分式xyy x -+1的值是m ，如果分式中y x ,用它们的相反数代入，那么所得的值为n 则n m ,的关系是什么？8．有四块小场地：一块边长为a M 的正方形，一块边长为b M 的正方形，两块长a 为M ，宽为b M 的长方形．另有一块大长方形场地，它的面积等于上面四块场地面积的和，它的长为2（a +b ）M ，试用最简单的式子表示出大长方形场地的周长．【例】通分：方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积。
分式的归纳总结
分式的归纳总结分式是数学中一个重要的概念，被广泛应用于各个领域，包括代数、几何和物理等。
它是一个以分数形式表示的数，由一个分子和一个分母组成。
在本文中，我们将对分式的基本概念、性质和求解方法进行归纳总结。
一、基本概念分式由一个分子和一个分母组成，分母不为零。
分子表示分数的被除数，分母表示分数的除数。
我们可以用a/b来表示一个分式，其中a为分子，b为分母。
二、分式的性质1. 两个分式的乘法：两个分式相乘时，我们将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母，即(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)。
2. 两个分式的除法：两个分式相除时，我们将分子除以分母得到新的分式，即(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)。
3. 两个分式的加法：两个分式相加时，我们需要找到相同的分母，然后将分子相加，分母保持不变，即(a/b) + (c/d) = (ad + bc) / (bd)。
4. 两个分式的减法：两个分式相减时，我们需要找到相同的分母，然后将分子相减，分母保持不变，即(a/b) - (c/d) = (ad - bc) / (bd)。
三、分式的求解方法1. 化简分式：化简分式是指将分式的分子和分母约分到最简形式。
我们可以找到分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母都除以最大公约数，得到最简形式的分式。
2. 分式的乘除运算：对于分式的乘法和除法，我们可以直接按照上述的性质进行计算。
3. 分式的加减运算：对于分式的加法和减法，我们需要找到相同的分母，然后按照上述的性质进行计算。
四、应用举例1. 在代数中，我们经常遇到分式方程的求解。
通过将方程中的分式化简或进行乘除加减运算，可以求得方程的解。
2. 在几何中，分数可以用来表示比例和比率。
比如，对于一个圆的面积与周长的比例，我们可以将它表示为一个分式的形式。
3. 在物理中，分式可以用来表示速度、加速度等物理量的比值。
【初中数学】初二数学分式的性质重要知识点
【初中数学】初二数学分式的性质重要知识点【—
初中第二天
数学分式的性质知识要领】在代数式的计算中，分式的性质知识要领运用还是很广泛的。
分数的性质
1.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式，分式
的值不变。
用式子表示为：a/b=(a*c)/(b*c)，a/b=(a÷c)/(b÷c)(a,b,c为整式，且b、
c≠0)。
2.分数缩减：一个分数的分子和分母的公因式的缩减。
这种变形称为分数缩减。
分数
约化的关键是确定分数中分子和分母的公因子。
3.分式的约分步骤：
（1）如果一个分数的分子和分母都是单个项或多个因子的乘积，则减少它们的公因子。
(2)分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
注：公因式提取方法：系数取分子和分母系数的最大公因式，字母取分子和分母共用
的字母，索引取公因式的最小索引，这是它们的公因式。
4.最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
5.一般分数：将几个不同的分母分数转换成与原始分数相同的分母分数，称为分数的
一般分数。
6.分式的通分步骤：
首先找到所有分数的最简公分母，然后将所有分数的分母转换为最简公分母。
同时，
每个分数根据分母展开的倍数展开其分子。
注：最简公分母的确定方法：
系数是每个因子系数的最小公倍数、同一字母的最高幂和单个字母的幂的乘积。
分式的约分和通分是一组相反的运算过程，但其的最终目的都是一致的。
分式知识点归纳总结
分式知识点归纳总结一、基本概念1. 分式的定义分式是由分子和分母组成的表达式，分子和分母都是整式。
通常写作a/b的形式，其中a为分子，b为分母，b不为0。
例如：3/4，7x/5y等都是分式。
2. 分式的分类根据分子和分母的形式，分式可以分为以下几类：a) 真分式：分子的次数小于分母的次数，例如：2/3。
b) 假分式：分子的次数大于或等于分母的次数，例如：x^2+1/x。
c) 反比例函数：分子和分母中都含有变量，例如：x/y。
3. 分式的性质a) 若分子和分母互换位置，分式的值不变，这就是分式的对称性质。
b) 分式的值只有在分母不为0时才有定义，即分式的定义域是除了分母为0的所有实数。
二、分式的化简1. 分子分母的最小公因式分式的化简首先要找出分子分母的最小公因式，然后进行约分。
例如：将分式6x^2y/9xy化简为2x/3。
2. 分式的通分当分母不同时，可以通过通分将分母变为相同的多项式，从而进行比较、运算。
例如：将1/2+2/3进行通分，得到3/6+4/6=7/6。
3. 整式转化为分式可以将整式转化为分式，只需将分子为整式，分母为1的形式即可。
例如：将5x^2+3x+1转化为分式为(5x^2+3x+1)/1。
三、分式的运算1. 分式的加减法分式的加减法需要先进行通分，然后对分子进行加减，最后合并分子。
例如：(2/3)+(3/4)，首先通分为8/12+9/12=17/12。
2. 分式的乘法分式的乘法是将分子乘以分子，分母乘以分母，然后进行约分。
例如：(2/3)*(3/4)=6/12=1/2。
3. 分式的除法分式的除法需要将除号改为乘以被除数的倒数，然后进行乘法运算。
例如：(3/4)÷(2/3)=(3/4)*(3/2)=9/8。
四、分式的应用1. 分式的实际问题在实际问题中，分式常用于解决各种比例、速度、浓度等问题，可以帮助我们解决生活中的实际问题。
2. 分式与方程分式的化简与运算经常用于解决各种方程，需要将方程中的分式进行合并、化简、求值等操作。
分式知识点总结
分式知识点总结分式是数学中的一个重要概念，它在实际应用中十分常见。
本文将对分式的定义、基本性质以及常见的操作进行总结和讲解。
一、分式的定义分式由分子和分母组成，通常形式为a/b，其中a和b为整数，b不等于0。
分子表示了被分割的数量，分母表示了每份的份数。
二、分式的基本性质1. 分式的值是一个有理数，可以是正数、负数或零。
2. 分式的值可以是一个整数、真分数或带分数。
3. 分式可以化简，即将分子和分母同时除以一个公因数，得到一个等价的分式。
4. 分式可以相互比较大小，分子相乘，分母相乘，得到的积的大小关系不变。
三、分式的运算1. 分式的加法和减法：- 分式加法：将两个分式的分母找到一个公倍数，分别乘以这个公倍数后得到新的分数，然后将它们的分子相加，分母保持不变。
- 分式减法：与分式加法类似，将两个分式的分母找到一个公倍数，分别乘以这个公倍数后得到新的分数，然后将它们的分子相减，分母保持不变。
2. 分式的乘法和除法：- 分式乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到的分子作为新分数的分子，得到的分母作为新分数的分母。
- 分式除法：将第一个分式的分子与第二个分式的分母相乘，作为新分数的分子；将第一个分式的分母与第二个分式的分子相乘，作为新分数的分母。
3. 分式的化简：- 将分式的分子和分母同时除以一个公因数，直到分子和分母没有公因数为止，得到一个等价的分式。
四、分式的应用场景1. 比例和比例分配问题：比例可以用分式来表示，通过求解分式可以解决比例分配问题。
2. 股票涨跌问题：利用分式可以计算股票的涨跌幅度。
3. 质量问题：分式可以用来表示物体的质量与体积之间的关系，解决质量问题。
通过以上对分式的定义、基本性质以及常见的操作进行总结和讲解，相信读者对分式的概念及其应用有了更深入的理解。
在实际问题中，对分式的灵活运用可以帮助我们更好地解决各种计算和应用问题。
分式的基本性质与运算
分式的基本性质与运算1. 分式的基本性质分式是数学中一种特殊的表示形式，由分子和分母组成，分子与分母之间用分数线分隔。
分式在代数运算中有着重要的地位，它具备以下基本性质：1.1. 分式的定义域分式的定义域是指使分式中的分母不为零的实数集合。
因为在分式运算中，分母为零的情况是不合法的，会导致分式无法计算。
所以在定义分式运算时，需要排除分母为零的情况。
1.2. 分式的约束条件分式的约束条件是指对分子和分母的进行约束，使分式保持在最简形式。
一个约束条件是分子与分母的最大公约数为1，即分子和分母没有共同的因子。
另一个约束条件是分式的分子没有负号，而负号只出现在分式的整体前面。
1.3. 分式的唯一性分式在满足定义域和约束条件的前提下，具备唯一性。
即给定一个分式，它的分子和分母确定后，分式的值也就确定了。
这个性质在分式的运算中是非常重要的，保证了分式的计算结果是确定的。
2. 分式的运算分式的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
下面分别对这四种运算进行讨论。
2.1. 分式的加法两个分式的加法可以通过通分的方式来实现。
通分是指使两个分式的分母相同，然后将它们的分子相加。
通分的方法是将两个分式的分母取最小公倍数，然后分别将分子乘以相应的倍数。
最后得到的分式就是它们的和。
2.2. 分式的减法分式的减法与加法类似，也可以通过通分来实现。
通分的方法与加法相同，只是将分子相减而不是相加。
最后得到的分式就是它们的差。
2.3. 分式的乘法分式的乘法可以通过将两个分式的分子相乘，分母相乘来实现。
最后得到的分式就是它们的乘积。
2.4. 分式的除法分式的除法可以通过将一个分式的分子乘以另一个分式的倒数来实现。
倒数是指将分子和分母交换位置得到的新的分式。
最后得到的分式就是它们的商。
3. 分式的简化与展开在分式的运算中，有时需要将分式进行简化来得到最简形式。
分式的简化可以通过约分来实现，即将分子和分母同时除以它们的最大公约数。
分式知识点总结与分式方程的应用
分式知识点总结与分式方程的应用一、分式的定义和基本性质分式是指两个整数的比的形式，分子和分母都可以是整数。
分式的一般形式为a/b，其中a为分子，b为分母。
分式也可以是带有字母的表达式。
1.分式的定义：分式表示两个数的比。
分子表示比的被除数，分母表示比的除数。
2.分式的基本性质：①分式的值是确定的：分式的值只与分子和分母有关，而与分子和分母的选取方法无关。
②分式的约定：分式的分母不能为0，即b≠0。
③分式的约分：分式a/b可以约分为最简分式的条件是a和b都有因数c，这样a和b都可以被c整除。
④分式的最简形式：分式a/b的最简形式是分子分母互为质数⑤分式的倒数：若分式a/b不等于0，则它的倒数为b/a。
⑥分式的乘法：若a/c和b/d是两个非零分式，则a/c与b/d的乘积为(a·b)/(c·d)。
⑦分式的除法：分式a/b除以c/d可真分式以d/c乘，得(a·d)/(b·c)。
⑧分式的加法：根据通分的定义，可得a/c+b/d=(a·d+b·c)/(c·d)⑨分式的减法：根据通分的定义，可得a/c-b/d=(a·d-b·c)/(c·d)分式方程的一般形式为：分子中含有未知数的为分式方程。
例如：2/x=3/41.解分式方程的基本步骤：（1）去分母：将分式方程中的每个分式的分母去掉，得到一个整式方程。
（2）解整式方程：使用解整式方程的方法解方程。
（3）检验解：将求得的解代入原分式方程，检验是否满足。
2.分式方程的常见类型：（1）一次分式方程：分子和分母的最高次幂都是1（2）整式方程：分式方程中的分子和分母都是整式。
（3）二次分式方程：分子和分母的最高次幂都是2（4）退化分式方程：当方程中出现0/0的情况，方程可能退化为整式方程或无解。
3.分式方程的注意事项：（1）除法的解答有条件：可能有解，也可能无解。
（2）变量的取值范围：要满足约束条件。
分式与分式方程知识点
分式与分式方程知识点一、分式的定义1. 分式（Fraction）：形如 A/B 的代数表达式，其中 A 是分子，B 是分母，B ≠ 0。
2. 有理表达式（Rational Expression）：包含分式的代数表达式。
二、分式的基本性质1. 等值变换：分式可以通过乘以或除以相同的非零表达式进行等值变换。
例如：(2/3) * (4/5) = (2*4)/(3*5) = 8/152. 分式的加减法：只有当分母相同时，才能直接进行加减运算。
例如：(2/5) + (3/5) = (2+3)/5 = 5/5 = 13. 分式的乘除法：分子乘分子，分母乘分母。
例如：(2/3) * (4/5) = (2*4)/(3*5) = 8/154. 分式的化简：通过约分，将分子和分母中的公因数相除，得到最简分式。
例如：(12/16) -> (12÷4)/(16÷4) = 3/4三、分式方程1. 分式方程（Fractional Equation）：含有分式的方程。
2. 解分式方程的基本原则：将分式方程转化为整式方程进行求解。
3. 去分母：通过将方程两边同时乘以所有分母的最简公分母，消除分母。
例如：(2/x) + (3/y) = 5 => 2y + 3x = 5xy (假设 x, y > 0) 4. 检验解：将求得的整式解代入最简公分母中，确保不会得到零。
四、特殊类型的分式方程1. 一元一次分式方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为一的分式方程。
2. 二元一次分式方程：含有两个未知数，且每个未知数的最高次数为一的分式方程。
3. 高次分式方程：含有未知数的最高次数大于一的分式方程。
五、解分式方程的步骤1. 确定最简公分母。
2. 去分母，将分式方程转化为整式方程。
3. 解整式方程，求得未知数的值。
4. 检验解的有效性。
5. 写出最终解。
六、应用题1. 理解题意，找出等量关系。
2. 列出分式方程。
分式知识点总结
分式知识点总结一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是，分母 B 的值不能为 0，如果 B=0，那么分式就没有意义了。
例如，分式 1/x，当 x=0 时，这个分式就没有意义。
二、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C，A/B ＝ A÷C/B÷C（C 为不等于 0 的整式）。
这就像分蛋糕，如果把蛋糕（分式的值）平均分成的份数（分母）和每份的大小（分子）同时扩大或缩小相同的倍数，蛋糕的大小（分式的值）不变。
例如，对于分式 2/3，分子分母同时乘以 2，得到 4/6，分式的值不变。
三、分式的约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
确定公因式的方法：1、系数：取分子和分母系数的最大公因数。
2、字母：取相同字母的最低次幂。
例如，对于分式 6x/8x²，分子分母的公因式是 2x，约分后得到 3/4x。
四、分式的通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的方法：1、取各分母系数的最小公倍数。
2、凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。
3、同底数幂取次数最高的。
例如，对于分式 1/2x 和 1/3y，最简公分母是 6xy，通分后分别为3y/6xy 和 2x/6xy。
五、分式的运算1、分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。
用式子表示为：（A/B)×（C/D) ＝ AC/BD。
例如，（2/3)×（4/5) ＝ 8/15。
2、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式的基本性质及运算
分式的基本性质及运算一、知识提要1. 分式的定义一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有分母，那么式子AB叫做分式.2. 分式有意义分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式A B才有意义.3. 分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值不变.4. 约分利用分式的基本性质，约去分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.5. 最简分式分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.6. 通分利用分式的基本性质，将不同分母的几个分式化成分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.7. 最简公分母取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.8. 分式的乘除乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.分式乘方要把分子、分母分别乘方.9. 分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.二、精讲讲练1. 在下列各式23a π，22x x ，34a b +，(3)(1)x x +÷-，2m -，a m中是分式的有____个. 2. ①（2011浙江）当x ________时，分式x -31有意义；②若代数式1324x x x x ++÷++有意义，则x 的取值范围是 ．3. ①（2011天津）若分式211x x -+的值为0，则x 的值等于________.②若分式2(2)(3)a a a --+的值为0，则a =_______.4. 填空：①())0(,10 53≠=a axy xy a②() 1422=-+a a ③25_________20aba b =—④229_________69x x x -=-+5. 分式:①223a a ++，②22a ba b --，③412()a a b -，④12x -中，最简分式有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6. 分式26xab ，29y a bc 的最简公分母是__________； 分式2121a a a -++，261a -的最简公分母是___________．7. 分式计算（1）222536x y y x ⋅ （2）3921243a a b b b a ⎛⎫÷÷⋅ ⎪⎝⎭（3）222441214a a a a a a -+-⋅-+- （4）3223322a a c cd d a ⎛⎫⎛⎫÷ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（5）2222532x y xx y x y +--- （6）112323p q p q ++-8. （2011浙江）计算111a a a ---的结果为( ) A ．11a a +- B. 1a a -- C. －1 D. 1-a 9. 一件工作，甲独做a 小时完成，乙独做b 小时完成，则甲、乙两人合作完成需要( )小时. A.11a b + B.1ab C.1a b+ D.ab a b + 10. 如果21(3)(4)34x A B x x x x +=+-+-+，则A =______；B =______. 11. 甲乙两地相距S 千米，汽车从甲地到乙地按每小时v 千米的速度行驶，可按时到达；若每小时多行驶a 千米，则可提前________小时到达(保留最简结果).12. 若把分式xyy x 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A.扩大3倍 B.不变C.缩小为原来的三分之一D.缩小为原来的六分之一13. （2011江苏）已知1112a b -=，则ab a b -的值是（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．－214. （2011山东）当x =2211x x x---=________. 15. （2011山东）化简：2222222a b a b a ab b a b--÷+++=__________. 16. （2011河南）先化简2144(1)11x x x x -+-÷--，然后从-2≤x ≤2的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值.17. 若实数x 、y 满足|21|0x y -++，求代数式22221244x y x y x y x xy y ---÷--+的值.18. （2011江苏）先化简，再求值22(1)(1)1a a a -+÷++，其中1a =．三、测试提高【板块一】分式的意义1. 当x 满足下列选项中的哪个时，分式25x -有意义（ ） A ．5x = B ．5x ≠ C ．5x =± D ．5x ≠±2. 已知当x =-2时，分式x b x a--无意义，x =4时，此分式的值为0，则a +b 的值为（ ） A ．6 B ．2 C ．-2 D ．-6【板块二】分式的运算3. A 、B 两地相距s 千米，小明从A 地到B 地每小时走a 千米，从B 地到A 地每小时走b千米，则他往返的平均速度是（ ） A.2b a + B.b a s +2 C.b a ab +2 D.ba ab + 4. 计算：1111x x+-+=（ ） A ．221x x - B ．0 C ．221x x + D ．21x x - 5. 下列各式计算正确的是( ) A. ba b a +=+111 B.ab m b m a m 2=+ C. aa b a b 11=+- D. 011=-+-a b b a四、课后作业1. （2011四川）当分式12x x -+的值为0时，x 的值是( ). A.0 B.1 C.-1 D.-22. （2011浙江）已知分式ax x x +--532，当x =2时，分式无意义，则a =________；3. （2011有意义，则a 的取值范围为________.4. 下列判断中，正确的是（ ）.A ．分式的分子中一定含有字母B ．当B =0时，分式A B无意义 C ．当A =0时，分式A B的值为0（A 、B 为整式） D ．分数一定是分式5. x 的2倍除以x 与y 的平方差，用分式表示是___________.6. 已知11y x y +=-，用x 的代数式表示y 为_________. 7. 下列式子正确的是（ ）. A.133m m m =++ B.122x y y x +=-- C.936321b b a a =++ D.()()yx a b y b a x =-- 8. 下列正确的是（ ）. A. 11a x a b x b ++=++ B. 22y y x x= C.(),0n na a m ma =≠ D. n n a m m a-=- 9. 下面的计算中，正确的是( ).A ．21111=-----x x x xB ．2324222242a a a a a b b b b b b a÷⋅=÷= C ．23231m m m m mm m m m m a a a b a b b b a b ÷⋅=⋅=D ．66660(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x +=-=----10. （2011山东）计算()21111m m m+÷⋅--的结果（ ）. A.－m 2－2m －1 B.－m 2＋2m －1C. m 2－2m －1D.m 2－111. （2011山东）化简：2222222a b a b a ab b a b--÷+++=__________. 12. 不改变分式52223x y x y -+的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( ). A. 2154x y x y -+ B. 4523x y x y -+ C. 61542x y x y-+ D. 121546x y x y -+ 13. （2011安徽）先化简，再求值：21211x x ---，其中x =-2.。
分式的计算
分式的计算分式的计算分式作为数学中的一种常见表达式形式，常常被用于描述各种数学关系和实际问题中。
分式的计算是数学中的基本技能之一，也是学习和应用分式的前提。
本文将从分式的定义、基本性质和计算方法等方面为读者深入解析分式的计算技巧。
一、分式的定义与性质分式是指形如a/b的表达式，其中a和b是整数，b不为0。
我们称a 为分子，b为分母。
分式通常表示两个数的商或比率，也可表示一个量的部分、百分数或小数。
如：1/2表示1除以2，或50%。
分式有诸多性质，它们是理解和应用分式的基础。
以下是其中几个常见的性质：1.分式的值域为所有实数由于分式可以表示任何两个非零实数的比率，因此分式可以表示任何实数。
同时，由于分母不能为0，因此b=0时分式即无意义。
2.相同分母的分式相加，分母不变，分子相加如：1/2+1/3=(3+2)/6=5/6。
3.不同分母的分式相加，需要先通分，然后才能相加如：2/3+3/4=8/12+9/12=17/12。
二、分式的计算方法在进行分式的计算时，我们需要注意以下几点：1.化简分式分式的化简就是将分式的分子和分母按照一定的规则进行约分，并写成最简分式的形式。
化简的目的是简化运算，方便后续的计算。
化简的方法包括分解质因数、约分和因式分解等。
如：12/18=2/3，16/24=2/3，(a2+b2)/(a2-b2)=(a+b)/(a-b)等。
2.加减分式若二分式分母相同，则它们可以直接相加、相减，分母不变，分子相加、相减即可。
如：1/2+1/3=(3+2)/6=5/6。
若二分式分母不同，则需要先通分，然后才能相加，通分的方法是将每个分式的分母分解质因数，相同的项乘入结果中，不同的项取最小公倍数，并按比例乘入结果中。
通分后，相加减的结果就是分子的和、差，分母不变。
如：1/2+1/3=3/6+2/6=5/6；1/3-1/4=4/12-3/12=1/12。
3.乘除分式乘除分式的计算比加减分式更简单，只需按照一定的规则进行乘、除即可。
分式的运算与性质
分式的运算与性质一、引言分式是数学中常见的一种表达形式，它是数的比的记法。
分式的运算是数学中的基本操作之一，通过对分式进行加、减、乘、除等运算可以得到一个新的分式。
同时，分式还具有一些独特的性质和规律。
本文将深入探讨分式的运算与性质，通过几个实例来帮助读者掌握和理解分式的运算方法和特点。
二、加法和减法运算1. 加法运算：分式加法的基本原则是分母必须相同，即只有当两个分式的分母相同，我们才能进行相加。
具体步骤如下：a) 将两个分式的分母化为相同的形式；b) 将分子加起来，分母保持不变；c) 化简结果。
例如：求解分式1/2 + 2/3的结果。
解：a) 将两个分式的分母化为相同的形式，1/2 = 3/6，2/3 = 4/6；b) 将分子加起来，得到3/6 + 4/6 = 7/6；c) 结果7/6无法再化简，因此最终结果为7/6。
2. 减法运算：分式减法与加法类似，同样要求两个分式的分母相同。
具体步骤如下：a) 将两个分式的分母化为相同的形式；b) 将分子相减，分母保持不变；c) 化简结果。
例如：求解分式3/4 - 1/2的结果。
解：a) 将两个分式的分母化为相同的形式，3/4 = 6/8，1/2 = 4/8；b) 将分子相减，得到6/8 - 4/8 = 2/8；c) 结果2/8可以化简为1/4，因此最终结果为1/4。
三、乘法和除法运算1. 乘法运算：分式乘法可以简单地将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到一个新的分式。
具体步骤如下：a) 将两个分式的分子相乘，分母相乘；b) 化简结果。
例如：求解分式2/3 × 4/5的结果。
解：a) 将两个分式的分子相乘，得到2 × 4 = 8；b) 将两个分式的分母相乘，得到3 × 5 = 15；c) 结果8/15无法再化简，因此最终结果为8/15。
2. 除法运算：分式除法可以将除数的分子与被除数的分母相乘，除数的分母与被除数的分子相乘，得到一个新的分式。
第讲分式的基本性质及其运算
第3讲 分式的基本性质及其运算第一部分 知识要点一、分式的性质1. 形如A B（A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0）的式子叫做分式。
① 分式有意义⇔分母B ≠0②分式无意义⇔分母B=0③ 分式值为0⇔分子A=0且分母B ≠02. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=。
3. 最简分式就是分子、分母中不含有公因式的分式。
4. 分式的符号变号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，用式子表示为：BA B A B A B A --=--=--=。
5. 约分是把分子、分母中的公因式约去的过程；通分是根据分式本身的性质，不改变分式的值，把几个分母不同的分式化为分母相同的分式的过程。
二、分式的运算1. 分式运算法则： ①bcad c d b a d c b a =⨯=÷ ②为正整数）n ba b a n nn ()(= ③bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± ④)0()1(1≠==-a a a a p p p 2. 分式的乘除运算其实就是约分，约分时，分子、分母如果是多项式的，先因式分解再约分；分式的加减运算其实就是通分，通分的关键在于确定公分母。
3. 分式的加减乘除乘方混合运算顺序，应注意选择合适的运算律改变运算顺序以使运算简便三 分式方程1、分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解2. 解分式方程组的基本思想是：化为整式方程（两种做法：去分母，换元；常见思路：取倒，方程叠加）。
3. 分式方程的应用主要是列方程解应用题。
做题步骤为：①审；②设；③列；④解；⑤检；⑥答。
人教版八年级上册数学分式知识点
人教版八年级上册数学分式知识点
八年级上册数学中的分式知识点主要包括以下几个方面：
1. 分式的定义：分式是一个有分子和分母的数，分子和分母都是整数，分母不能为0。
2. 分式的性质：
- 两个分式相等的条件是它们的分子与分母成比例。
- 分式的倒数是将分式的分子和分母对调得到的新分式。
3. 分式的化简：
- 将分子和分母都除以它们的最大公约数，化简成最简形式。
- 分母是1的分式可以化简成整数。
- 含有多个分数的分式可以通过通分化为一个分数。
4. 分式的四则运算：
- 分式的加法和减法：将两个分式的分母取最小公倍数作为新分母，然后按照相应的分数运算规则进行计算。
- 分式的乘法：将两个分式的分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。
- 分式的除法：将除数的分子和被除数的分母相乘作为新的分子，除数的分母和被除数的分子相乘作为新的分母。
5. 分式的应用：
- 在解决实际问题中，可以运用分式来表示比例、倍数、平均数等关系。
以上是八年级上册数学中有关分式的主要知识点，希望能对你有所帮助。
分式知识点总结
分式知识点总结分式是小学数学中一个重要的知识点，也是高中数学的基础。
分式的概念和应用广泛，是解决实际问题中常用的方法之一。
本文将从分式的定义、基本性质、运算法则以及应用等方面进行总结。
一、分式的定义分式是两个整数的比，由分子和分母两部分构成。
分子表示被除数，分母表示除数。
通常用a/b的形式表示，其中a为分子，b为分母。
二、分式的基本性质1. 分式的值可以是整数、小数、真分数或假分数，分式可以化简为最简形式。
2. 分式的值与分子和分母的关系密切相关，当分子增大而分母不变时，分式的值增大；当分子减小而分母不变时，分式的值减小。
3. 分式的值可以用图形来表示，例如在数轴上表示为一个点。
三、分式的运算法则1. 分式的加法和减法：分式的加法和减法归结为求他们的公共分母，将分子相加或相减即可。
例如：a/b + c/d = (ad+bc)/bda/b - c/d = (ad-bc)/bd2. 分式的乘法和除法：分式的乘法和除法的规则较为简单，直接将分子相乘或相除，分母相乘或相除即可。
例如：(a/b) × (c/d) = ac/bd(a/b) ÷ (c/d) = ad/bc3. 分式的混合运算：分式的混合运算可以结合加减乘除的运算法则来进行。
在计算过程中，首先进行括号内的运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。
四、分式的应用分式可以应用于实际问题中，例如在计算比例、百分比、利润和折扣等方面。
1. 比例问题：比例可以表示为分式的形式，通过求解分式可以得到两个量的比值。
例如：甲乙两个人的身高比为3/5，已知甲的身高为150cm，求乙的身高。
2. 百分比问题：百分比可以表示为分式的形式，通过分式可以求解出百分比的具体数值。
例如：某商店举办打折促销活动，原价为120元的商品现在打8折，求折后的价格。
3. 利润和折扣问题：利润和折扣可以表示为分式的形式，通过求解分式可以得到具体的数值。
例如：某商品的进价为180元，利润率为20%，求售价；或者某商店举办折扣促销活动，折扣率为30%，求折后价格。
分式知识点总结
分式知识点总结一、分式的定义分式是一种用分数形式表示的数，它由分子和分母两部分组成，分式一般形式为a/b，式中a为分子，b为分母，b≠0。
分子和分母可以是整数，也可以是含有未知数的代数式，如x、y等。
例如：3/4、1/x、2x/3等都是分式。
二、分式的性质1. 分式的值：分式的值是由分子除以分母所得到的数值，例如3/4的值为0.75，1/2的值为0.5。
2. 分式的大小比较：当两个分式的分母相同，分子大小比较；当分母不同，可以通过通分后比较分子大小来比较分式的大小。
三、分式的运算1. 分式的加减法分式的加减法：通分后将分子相加（或相减），分母不变，再化简得到最简分式。
2. 分式的乘法分式的乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，化简得到最简分式。
3. 分式的除法分式的除法：将一个分式除以另一个分式相当于将第一个分式乘以第二个分式的倒数，化简得到最简分数。
四、分式的化简化简分式：将分子与分母的公因式约去得到最简分式，例如6/9可化简为2/3。
五、分式的应用分式在数学中有很多应用，在实际生活中也有很多应用。
例如：比例问题、分数运算、容积、质量等问题都可以用分式来表示和计算。
另外，在代数方程式的解题过程中，也会用到分式。
在教学中，我们应该注重培养学生的分式意识和分式运算能力，让学生掌握分式的定义、性质、运算规律、化简方法和应用技巧，提高学生的数学运算能力和解决问题的能力。
我们可以通过具体的问题来引导学生学习，通过让学生参与讨论、举一些实际例子来让学生理解分式的应用，激发学生的学习兴趣。
总之，分式是数学中一个重要的内容，它在数学学习中有着广泛的应用。
通过系统的总结分式的相关知识点，希望可以帮助学生更好地理解和掌握分式，提高数学学习的效果和兴趣。
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分式的性质与运算
1.1 分式的基本概念和性质1．分式的基本概念：
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【例1】 ⑴代数式1312,,,,
34
a b m n
b x a π+-+中，分式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
⑵ 当x = 时，分式
2x x +有意义；当x 时，分式21
1
x +有意义．
⑶当x 为何值时，下列分式的值为0？
①213x x -+ ②()()661x x x --+ ③()()216
41x x x -+- ④288x x + ⑤()
22
255x x --
⑷当x 时，分式233x x --的值为1；如果分式1
21
x x -+的值为1-，则x 的值是 ．
⑸当x 时，分式48x -的值为正数；当 时，分式48x
x
--的值为负数．
【例2】 ⑴ 当x 取何值时，分式11x x
-
有意义？
⑵ 使代数式32
34
x x x x ++÷
--有意义的x 值是 ．
⑶若不论x 为何值，分式
21
2x x c
++总有意义，则c ．
经典例题
1.2 分式的基本运算
注：零指数幂及负整数指数幂都属于分式．
【例3】 ⑴计算：()222
2
2x xy y x y
xy x xy x -+--÷；
⑵计算：2
21
11
x x x -
--； ⑶计算：
22
12239a a
a a a a
-+÷---； 经典例题
知识导航
⑷计算:2233x y x y
x y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷
⎪⎢⎥+⎝⎭⎣
⎦;
⑸计算：()22
221031525965a a a a a a
-+÷--+-．
【例4】 ⑴先化简：22211a a a a a a --⎛
⎫-÷
⎪+⎝
⎭，然后给a 选择一个你喜欢的数代入求值．
⑵已知：2
380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+--
-++的值．
【例5】 化简：2
22222
2
2112
22a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-⎛⎫+÷+⎢⎥ ⎪++-+⎝⎭⎢⎥⎣⎦
【例6】 化简22
32233223222244
113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++--
+++-+--+-．
1.3 分式的拆分
分式计算技巧--------分式的拆分
分式拆分的基本模型11
a b ab a b
+=+，这种模型在计算中运用十分广泛。
而复杂的题型通常将
这种形式包容在其中。
如：()()b c
a b a c ---初看不符合基本模型，若对分子稍加变形则马上出
现基本模型。
()()b c a c a b -=---所以原式变为()()()()
11
a c a
b a b a
c a b c a ---=+----
【例7】 ⑴化简：
222
111
3256712
x x x x x x ++++++++； ⑵
化简
：
222222
b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a ---++---
--+--+--+---．
经典例题
知识导航
⑶已知,,a b c 为实数，且111,,345ab ab ca a b b c c a ===+++，那么
abc
ab bc ca
++的值为 ．
【例8】 仿照例子解题：
例子：若2
15111
M N x
x x x -+=+--恒成立，求M N 、的值． 解题过程如下： 2
15111
M N x
x x x -+=+--， ()()1115M x N x x ∴-++=-，
则15Mx M Nx N x -++=-， 即51Mx Nx N M x ++-=-+，
51M N N M +=-⎧∴⎨-=⎩
解得：32M N =-⎧⎨=-⎩
请你按照上面的方法解题： 若
2
8
224
M N x x x x --=+--恒成立，求M N 、的值．
【例9】 已知()()
237231111x x A B
x x x x -+=++-+-+，其中A B 、为常数，求42A B -的值．
1.4 课后练习【演练1】 ⑴当x 时，分式
2335x x ++有意义，当x 时，分式23
35
x x ++无意义．
⑵当x 时，分式11
x x -+的值为零．
⑶当x 时，分式1
2x
-的值为正． ⑷分式2
3
a a
b +++的值为零，则a ，b ．
⑸已知分式()()
811
x x x -+-的值为0，求x 的值．
⑹若分式221
23
b b b ---的值是0，则b 的值是（ ）
A.1
B.1-
C.1±
D. 2
【演练2】 化简：
()
()
()
()
22222
2
2
2
a b c b c a a c b
a b a
----+
+-+-
【演练3】 ⑴ 化简：()42243216424
2416844
m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+
⑵ 化简：()23332322211+1
2212211
x x x x x x x x x x +-+-+++-+--
⑶化简：()()
42242233664224
12b a a a b b a ab b a b a b a a b b ---⎛
⎫-÷ ⎪-+---++⎝⎭．
【演练4】 ⑴ 化简：()()()()()()
a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++．
⑵ 化简：
222222a b c b c a c a b
a a
b a
c bc b ab bc ac c ac bc ab
------++
--+--+--+．
【演练5】 已知()22221111
x x A B C
x x x x x +-=++
--，其中A B C 、、为常数，求A B C ++的值．
【演练6】 已知：1,2,3xy yz zx
x y y z z x
===+++，
求x y z ++的值．。