第2章 平面体系的几何构造分析

2. 正确区分静定结构与超静定结构。
二、基本概念
1. 几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状不会改变。
2
几何不变体系
几何可变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状是可以改变的。 常变体系
几何可变体系
瞬变体系
常变体系 ——可以发生大位移的几何可变体系
叫作常变体系。 3
组成大刚片I；
大刚片 I、结点D用链杆4、5相连，符合规
律1。故体系为几何不变且无多余约束。
19
2）被约束对象：刚片I,II,III及结点D，见图 b)。
o
A III B 1
I
D
234
解：
b） II（基础）
刚片I、II用链杆1、2相连(瞬铰o)；刚片I、 III用铰B相连；刚片II、III用铰A相连。铰A、
3. 规律3—— 三个刚片之间的连接
I
三个刚片用三个铰两两相 连，且三个铰不在同一直线 上，则组成几何不变体系且 无多余约束。
被约束对象：刚片 I，II，III
提供的约束：铰A、B、C
II A
I
B III C
13
刚片I, II——用铰A连接 刚片I, III——用铰B连接 刚片II,III——用铰C连接
3）注意约束的等效替换。
26
§2-3 平面体系的计算自由度
一、复杂链杆与复杂铰
1. 简单链杆与复杂链杆 简单链杆——仅连接两个结点的链杆称为简
单链杆，一根简单链杆相当于一个约束。
复杂链杆——连接三个或三个以上结点的链杆
称为复杂链杆。一根复杂链杆相当于（2n-3） 根简单链杆，其中n为一根链杆连接的结点数。
1）链杆 简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单链 杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一根 简单链杆相当于一个约束。
y
y
x
φ
x
x,
链杆约束
3 2 x 1
y x
x, y,1,2,3
7
复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件称 为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根 简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。
是几何可变体系，取决于具体的几何组成。
所以W 0是体系几何不变的必要条件，而非
充分条件。
三、例题
例2-3-1 试求图示体系的计算自由度。
AI
II
C III
B1
2
3
解： m=3 g=0 h=3 b=3
W 33 (23 3) 9 9 0
31
例2-3-2 求图示体系的计算自由度。 I A II
27
2. 简单铰与复杂铰 简单铰——只与两个刚片连接的铰称为简单铰。
一个简单铰能减少体系两个自由度，故相当于 两个约束。
复杂铰——与三个或三个以上刚片连接的铰称
为复杂铰。
若刚片数为m，则该复杂铰相当与 (m-1)个简单 铰，故其提供的约束数为2 (m-1)。
3. 封闭刚架
有三个多 余约束
无多余 约束
A
3
6
I B1
II
III
2C
解：
5
4
刚片I、 II用链杆1、2相连， （瞬铰A)；
刚片I、 III用链杆3、4相连， （瞬铰B)；
刚片II、III用链杆5、6相连， （瞬铰C)。
A、B、C三铰均在无穷远处，位于同一无 穷线上，故为瞬变体系。
22
例2-2-4 试分析图示体系的几何构造。
解：
B
刚片I、II用链杆1、2相连 （瞬铰A) 刚片I、III用链杆3、4相连（瞬铰B) 刚片II、III用链杆5、6相连（瞬铰C)
1
3
解：
2
45
m=2 g=1 h=1 b=5
W 3 2 (31 21 5)
6 10 4
例2-3-3 求图示体系的计算自由度。
解：
A1 B
j=5 b=10 W 25 10 0
2 34
8C 96 D
5
E 7 10
32
例2-3-4 求图示体系的计算自由度。
AB 24
1）一个结点在平面内有两个自由度，因为确 定该结点在平面内的位置需要两个独立的几何 参数x、y。
5
y
A
x y
x
结点自由度
y φ
x y
x
刚片自由度
2）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定 该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参 数x、y、φ。
4. 约束
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
6
约束的种类分为：
17
二、举例
解题思路： 基础看作一个大刚片；要区分被约束的刚片及
提供的约束；在被约束对象之间找约束；除复 杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。 例2-2-1 试分析图a)所示体系的几何构造。
a）
18
1 解：
I
D
2
345
a） II（基础）
1）被约束对象：刚片I, II及结点D。
刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合规律4，
B、o不共线，符合规律3，组成大刚片 I。
大刚片 I与结点D用链杆3、4相连，符合规
律1。故体系几何不变且无多余约束。
20
例2-2-2 试分析图示体系的几何构造。
1
I
3
解：
2 II（基础）
刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合规律4。
故该体系几何不变且无多余约束。
21
例2-2-3 试分析图示体系的几何构造。
W 2jb
j—结点数； b—简单链杆数。
3. 混合公式——约束对象为刚片和结点，约束 为铰、刚结和链杆。则计算自由度公式为：
W (3m 2 j) (3g 2h b)
m、j、g、h、b意义同前。
30
4. 一个体系若求得W >0，一定是几何可变体
系；若W0，则可能是几何不变体系，也可能
第二章 平面体系的几何构造分析
§2-1 几何构造分析的基本概念 §2-2 几何不变体系的组成规律 §2-3 平面体系的计算自由度
1
§2-1 几何构造分析的基本概念
一、几何构造分析的目的
1. 判断某个体系是否为几何不变体系，因为 只有几何不变体系才能作为结构使用；此 外应根据几何不变体系的规律设计新结构。
15
A
BI
II C
b)
III
瞬铰B、C在两个不同方向的无穷远处，它 们对应于无穷线上两个不同的点，铰A位于 有限点。由于有限点不在无穷线上，故三铰 不共线，体系为几何不变且无多余约束（见 图b）。
16
A
I
II
c)
B III C
形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等 长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个 铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为瞬变 体系（见图c）。
13
C 5
DE 68
9
7 10
I
解: 用混合公式计算。
m=1 j=5 g=2 b=10 W (31 25) (3 2 10)
13 16 3
33
例2-3-5 求图示体系的计算自由度。
1A
2
3B 5
6
7
C 8
9
D 10 11
4I
E
II 12
解: 用混合公式计算。 m=2 j=4 h=1 b=12
瞬变体系——本来几何可变，经微小位移后又成
为几何不变的体系称为瞬变体系。
o
常变体系
AB
C
B1
瞬变体系
几何可变体系不能作为结构来使用。
4
2. 刚片
由于不考虑材料的应变，可以把一根梁、一 根链杆或一个几个不变部分作为一个刚体，在 几何构造分析中称为刚片。
3. 自由度
体系在平面内运动时，可以独立变化的几何 参数的数目称为自由度。
若连结的刚片数为m，则该复杂铰相当于(m-1) 个简单铰，故其提供的约束数为2(m-1)个。
3）刚性连结
看作一个刚片 9
4）瞬铰（虚铰）
两根链杆的约束作用相当于在链杆交点处一个简
单铰所起的约束作用。故两根链杆可以看作为在交
点处有一个瞬铰（虚铰）。
A
相交在∞点
A
关于∞点的情况需强调几点：
——每一个方向有一个∞点; ——不同方向有不同∞点; ——各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线;
28
二、计算自由度
1. 将体系看作刚片、铰、刚结以及链杆组成的
体系，其中刚片为被约束对象，铰、刚结、链杆 为约束。则计算自由度公式为：
W 3m (3g 2h b)
m—刚片数； g—简单刚结数； h—简单铰数；b—简单链杆数 在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。
29
2. 将体系看作结点以及链杆组成的体系，其中 结点为被约束对象，链杆为约束。则计算自由度 公式为：
右图示体系，结点A、刚 片I由共线的链杆1，2相连，
1 A2
是瞬变体系。
I
2. 规律2—— 两个刚片之间的连接
两个刚片用一个铰以及与该铰不共线的一 根链杆相连，则组成几何不变体系且无多余 约束。
被约束对象：刚片 I，II 提供的约束：铰A及链杆1
II
A
1
I
12
II
铰A也可以是瞬铰，如右图示。
A
1
W (3 2 2 4) (2112)
14 14 0
34
B
I
III
A
II C
4. 规律4—— 两个刚片之间的连接
两个刚片用三根不交于同一点的链杆相连，则
组成几何不变体系且无多余约束。 A I
被约束对象：刚片 I，II
提供的约束：链杆1，2，3
12
3
II
14
5. 关于无穷远瞬铰的情况
1
C
I
2 II
a)
A
B
III
一个瞬铰C在无穷远处，铰A、B连线与形成 瞬铰的链杆1、2不平行，故三个铰不在同一直 线上，该体系几何不变且无多余约束（图a）。
——各有限点都不在∞线上。 10
§2-2 几何不变体系的组成规律
一、几何不变体系的组成规律
基本规律就是三角形规律。
1. 规律1—— 一个结点与一个刚片的连接
一个结点与一个刚片用不共线的两根链杆 相连，则组成几何不变体系且无多余约束。
被约束对象：结点A，刚片I 提供的约束：两根链杆1，2
A
1
2
I
11
3
C
I
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 2
1
A
II
5
因为A、B、C三铰不在同一直 线，符合规律3，故该体系几何 不变且无多余约束。
6 III（基础）
23
思考题 ： 试分析下图示各体系的几何构造组成。
a）
b）
24
c）
d）
e）
f）
25
小结： 1）要正确选定被约束对象（刚片或结点）以及
所提供的约束。
2）要在被约束对象（刚片或结点）之间找约束， 除复杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。
n=3
(2n 3) 2 3 3 3
2）铰 简单铰 只与两个刚片连结的铰称为简单铰。
一个简单铰能较少体系两个自由度，故相当于 两个约束。
复杂铰 与三个或三个以上刚片连结的铰称为
复杂饺。
8
y
I 21 II
x
y
y
III II
x 32 1 I
y 2(3-1)=4
x
x
x, y,1,2 铰约束 x, y,1,2,3