第二章 一维随机变量及其分布1

则的分布密度为 例3 设随机变量的概率密度为
求：的分布密度函数. 解：由分布函数的定义 当时， 当时， 当即时， 当即时， 因此 分布密度为
例４. 已知Ｘ服从区间[0,1]上的均匀分布, 求Ｘ的函数Ｙ=3Ｘ+1的概率分 布. 解: 根据题意知Ｘ的概率密度为： 则Ｙ的分布函数为 对其求导得Ｙ的概率密度与Ｘ的概率密度间的关系为 即Y服从在区间[1,4]上的均匀分布. 例５. 已知Ｘ～, , 求Ｙ的概率密度. 解: Ｙ的分布函数 因ey总大于0, 而当y大于0时FX(x)为 因此有: 则Y的概率密度为其分布函数的求导:
X
……
……
p 求函数的分布. 例1 设随机变量X的概率分布为
X -2 -1
…… 01
…… 23
p 0.05 0.15 0.20 0.25 0.2 0.15
求和的概率分布. 先将的值代入函数，求随机变量Y相应的取值
如果的值各不相等，则Y的概率分布为
Y
……
……
p
……
……
如果中出现相同的函数值，如，则在Y的分布列中，取的概率为. 2、连续型随机变量函数的分布 例2 设的分布密度为，求随机变量（，均为常数，且）的概率密度. 解：用来表示随机变量的分布函数，由分布函数的定义 当时， 当时，
例1 假设某篮球运动员投篮命中率为0.8，表示他投篮一次命中的次 数，求的概率分布. 二项分布B（n,p）
特点： （1）n次重复试验相互独立； （2）每次试验只有两个可能的结果：A发生或发生； （3）每次试验事件A出现的概率相同，都等于p.
设X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数，则X所有可能的取值为 0，1，…，n，且相应的概率为
查泊松分布表可得，，于是这家商店只要在月底保证存货不少于15件就 能以95%以上的把握保证下月该商品不会脱销.
例5 在500个人组成的团体中，恰有5个人的生日是元旦的概率是多 少？
解：该团体中每个人的生日恰好是元旦的概率都是，则该团体中生 日为元旦的人数，恰有5个人的生日是元旦的概率为
泊松定理：设随机变量序列服从二项分布（这里概率与n有关），若 满足（为常数），则有：
定义：假如一个变量的取值取决于随机试验（现象）的基本结果， 则该变量称为随机变量. 随机变量常用大写字母X、Y、Z等表示，其取 值用小写字母x、y、z等表示.
例1 （1）若用表示某厂10台车床在一天内需要维修的数目， X是一 个随机变量，它可能取0，1，…，10中的任一个值；
（2）某传呼台单位时间内接到传唤的次数是一个随机变量，它可能 取一切非负整数；
随机变量X的概率分布为 ，k = 0，1，2，…
其中为参数，则称X服从参数为的泊松分布. 例4 某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的销售量可以用
的泊松分布来描述. 为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底 应存有多少件该种商品？（假设只在月底进货）.
解：设该商店每月的销售量为X，据题意. 设月底存货为a件，则当时 就不会脱销. 即求a使得
3、特别，设是严格单调的连续函数，是函数的值域，是的惟一反函 数；是连续型随机变量，其概率密度为，则也是连续型随机变量，其概 率密度通过表示为 例3中 是严格单调函数在x >0时，值域，反函数
例４中Ｙ=3Ｘ+1的值域为[１,４],严格单调，其反函数为. 解:Ｘ的概率密度，所以 例5中. 的值域，且严格单调，其反函数，所以
x 0.10 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 0.53 0.579 0.655 0.726 0.788 0.841 0.885 0.919
解：设A1={ 电压不超过200伏}，A2={ 电压在200伏~240伏}，A3={电 压超过240伏}，B={电子元件损坏} 由于 所以， 又知： 所以 Ⅲ、典型例题分析
六、常见的概率分布
两点分布（贝努里分布）
若随机变量只有两个可能的取值 0和1，其概率分布为
01
则称X服从参数为p的两点分布.
应用： 0-1分布 只有“成功”和“失败” 两种对立结局的试验称做伯努 利试验；伯努利试验成功的次数X服从0-1分布，参数——成功的概率， ——失败的概率．例如产品抽样验收：抽到不合格品——成功，抽到合 格品──失败；射击：命中──成功，脱靶──失败……
第二章 随机变量及其概率分布
㈠ 考试内容 随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型 随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布
㈡ 考试要求 (1) 理解概率分布的概念，理解分布函数的概率和性质，会计算与随 机变量相联系的事件的概率． (2) 掌握离散型概率分布，掌握0-1分布、二项分布和泊松分布等离 散型概率分布及其应用. (3) 理解连续型随机变量及其概率密度，掌握均匀分布、指数分布和 正态分布等连续型概率分布，包括分布的表达式、特点、性质和应用； (4) 会根据随机自变量的分布，求其简单函数的分布．
二项分布概率的近似计算 设服从二项分布，参数充分大、p充分小 而p适中，则有如下近似公式——泊松定理：
实际中，当时即可利用此式，不过应尽量地大，否则近似效果不 佳．
例5中，，满足泊松定理条件，可以用的泊松分布来近似计算： 例6 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工. 若设备是否发生故 障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01. （每台设备发 生故障可由1人排除）. 试求： （1）若一名维修工负责维修20台设备，求设备发生故障而不能及时 维修的概率； （2）若3人负责80台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率；
其中为参数，则称X服从参数为的指数分布，指数分布的密度函数为 例8 假设某种热水器首次发生故障的时间X（单位：小时）服从指
数分布，求：（1）该热水器在100小时内需要维修的概率是多少？
正态分布 随机变量X密度函数为
其中为常数，，，则称X服从参数为和的正态分布，其特性： （1）具有钟形的图象，密度曲线关于均值对称； （2）当时，密度函数达到最大值， 并且x离越远，的值就越小. （3）在处曲线有拐点. 曲线以轴为水平渐近线； （4）若固定，改变值，则的图形沿轴平行移动，但不改变其形状，
p 0.6624 0.3011 0.0354 0.0011
函数是阶梯形右连续函数， 在处有间断点. 四、连续型随机变量的分布
定义：如果对于随机变量X的分布函数，存在函数，使得对于任意实 数x，有 则称X为连续型随机变量，函数称为X的概率密度函数（简称密度函 数）. 它的性质：
（1）非负性：（）； （2）=1； （3）对于任意实数和，有；
{甲获胜} = . .
例3 某厂需从外地购买12只集成电路. 已知该型号集成电路的不合格 率为0.1，问至少需要购买几只才能以99%的把握保证其中合格的集成电 路不少于12只？
解：设需要购买n只，X表示这n只集成电路中合格品个数，则，要求
事件“”的概率不小于0.99，即
可算出至少需要购买17只集成电路，才能以99%的把握保证其中合格品 不少于12只. 超几何分布：设总体含N个个体，其中M个具有特征A，则n次非还原 抽样具有特征A的个体出现的次数X服从参数为的超几何分布． 泊松分布
如图2-8. 由此可见，正态密度曲线的位置完全由均值来确定； 若固定， 改变标准差，由于最大值为，所以越小，图形就变得越尖，而X落在附 近的概率就越大.分布函数为
特别地，当，的正态分布称为标准正态分布，记作. 概率密度函数 为
分布函数为 对于任意实数，有. 例9 设，求和.
一般正态分布的随机变量的分布函数与标准正态分布的分布函数之 间有如下关系.
= 故一般正态分布可以通过线性变换转化为标准正态分布，再利用标 准正态分布表求相应的概率，即 例10 设随机变量，求 解：
例11 设，求ห้องสมุดไป่ตู้；
例12（91数4）（7分）在电压不超过200伏、在200伏~240伏和超过 240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为：0.1，0.001和 0.2，假设电源电压X服从正态分布，试求：（1）该电子元件损坏的概 率；（2）该电子元件损坏时，电源在200伏~240伏的概率。（附正态分 布表）
分布函数的基本性质： （1） 对于任意实数，；
（2）； ；. （3）是单调非减函数，即对于任意，有； （4）右连续，即. (5) 任意给定实数a，b（a < b），有 根据分布函数求事件的概率，例如 三、 离散型随机变量的分布 若的所有可能取值为有限个或可列个，则称为离散型随机变量.称 为随机变量的概率分布或分布列. 或表示为
，0，1，…，n. 1) 独立重复试验成功次数的分布 设X是n次伯努利试验成功的次 数，则，参数是每次试验成功的概率．例如，n次独立重复射击命中的 次数X服从二项分布，参数是每次射击的命中率． 2) 自有限总体的还原抽样 设总体含N个个体，其中M个具有某种特 征A（如不合格品）．设X是n次还原抽样具有特征A的个体出现的次 数，则布，其中（如不合格品率）． 例2 甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数较多者为胜. 假设 每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢的概率为0.4，且各盘比赛相互独立，问 甲、乙获胜的概率各为多少？甲平均赢得的盘数是多少？ 解： ，即
（4）在的连续点处，有.
对于连续型随机变量：（1）是连续函数； （2）（a为任意实数）.
例 已知随机变量的密度函数,求X的分布函数.
解: f(x)可重新写为,根据性质, 又因φ(x)为偶函数, 因此有
, 则有A=1/2
因此
.
当x<0时, 有
当x≥0时, 有
所以
五、一维随机变量函数的分布
1、离散型随机变量函数的分布 如果X是离散型随机变量，则也是离散型随机变量. 设X的概率分布为
解：（1）设表示20台设备中同时发生故障的台数，则，根据泊松定 理，X又可近似地看作服从泊松分布，其中参数.
20台设备中只配备一个维修人员，则只要有两台或两台以上设备同 时发生故障，就不能得到及时维修. 故所求概率为
（2）80台设备中同时发生故障的台数，类似的，可用的泊松分布来近 似，于是所求概率为
均匀分布 随机变量X，如果其密度函数为
则称X服从上的均匀分布，其分布函数为： 对于任意，有
例7 某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，可将车站上侯车的乘客 全部运走. 设乘客在两趟车之间的任何时刻到站都是等可能的，求乘客 侯车时间不超过3分钟的概率. 指数分布
设是在服从参数为的泊松分布的随机质点流中，相继出现的两个随 机质点时间间隔——等待时间（例如，设备无故障运转的时间、设备的 使用寿命或维修时间、设备相继出现两次故障的时间间隔），则等待时 间服从参数为的指数分布．密度函数为
（3）电视机的寿命有长有短，是一个随机变量X（单位：小时），它 可以在（0，+∞）
（4）汽车司机刹车时，轮胎接触地面的点的位置可能是轮胎圆周上 的任一点，是在[0，]上取值的随机变量，其中是轮胎的半径. 二、 随机变量的概率分布函数
定义：设X是一个随机变量，对于任意实数x，令 称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数.
例1 (87数4)(是非题2分) 判断：连续型随机变量取任何给定实数值的概
率为0。(正确)
例2（连续型分布）假设X是在区间（0,1）内取值的连续型随机变量，
而．已知，则满足的常数k= ．
例3（分布函数） 设10件产品中恰好有2件不合格品，从中一件一件地
抽出产品直到抽到合格品为止，则最后抽出产品件数X的分布函数为
内容提要
一、 随机变量的定义 （1）质量检验员检验100件产品，若用表示这100件产品中次品的件
数，则变量X所有可能的取值为0，1，2，…，100. “检验出10件次 品”， 则该随机事件对应着“X=10”； “次品数不超过20件”就可以表示 为“X≤20”，
（2）掷一枚硬币一次，试验只有两种可能的结果：正面向上或反面 向上，令：
．
分析 先求X的概率分布．易见，X有1,2,3等3个可能值，且
X
p 性质：（1）； （2）. 分布函数：
例1 有一批产品共40件，其中有3件次品. 从中随机抽取5件，以表示 取到次品的件数，求X的分布列及分布函数.
解：随机变量X可能取到的值为0，1，2，3，按古典概率计算事件{} (k=0,1,2,3) 的概率，得的概率分布为
(超几何分布) 的分布函数为：
X0 1 2 3