2-1 一维随机变量及其分布
[理学]青岛大学概率论课件概率第二章
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i 1
i 1
随机变量的数学期望。
(i 1,2,)
(1)
29
例3 设 为离散型随机变量，其分布列为
P{
(1)k
2k } k
1 2k
k 1,2,
试问: 的数学期望是否存在？
30
二、常用分布的数学期望
1） 单点分布
E c
2）两点分布
E p
3）二项分布 ~ B(n, p) E np
4）普阿松分布 ~ P( ) 5）几何分布 ~ G( p)
2）几何分布的无记忆性
定理：设 服从几何分布 G( p) ，m为任意整数，则
P( m k m) P( k) pqk1
6. 超几何分布
P(
k)
C
k M
C
nk N -M
CnN
注：背景
, k 0,1,,min( n, M )
9
§2.2 多维随机变量及其分布
一、二维随机变量及其分布
1. 定义
0, 1, 2，3 1
定义1：设（, F, P）是概率空间, =()是 定义在上的实值函数， 如果x R, 有
{ () x} F
则称为随机变量。
定义2（离散型随机变量）
随机变量
离散型 非离散型奇连异续型型
2
二、离散型随机变量的分布列
1. 定义
定义3: 设离散型随机变量的可能取值为 xi (i 1,2,)
例5 已知随机变量和的分布列为：
~
1 1
0 1
11
4 2 4
~
0 1
1 1
2 2
且P{ =0}=1 (1)求和的联合分布列 (2)问和是否独立？为什么？
19
一维随机变量及其分布
第二章一维随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。
2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二项分布B （n,p）、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布P（）及其应用。
3．了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。
4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布U（a,b）、正态分布N（）、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布E（）的概率密度为会求随机变量函数的分布。
本章导读本章的核心内容是8大分布函数及其对应的模型；如何根据定义求的函数分布一般方法。
介绍了作者用于分布函数求一维分布的直角分割法秘技。
分布函数的定义历来是使读者感到迷茫的知识点，如为什么要求分布函数必须右连续等问题？目前的教材和参考书的讲法都不清晰，作者系统地揭开了这一神秘数学面纱。
一、随机变量1概念随机试验的每一个可能的结果（即每一基本事件），对应样本间的集合中每一元素，我们都可以设令一个实数来表示该元素，显然，为实值单值函数，称为随机变量。
对，我们试验前无法确定，也就无法事先确定的值，只有在试验后才会知道的值，但取值一定服从某种确定的分布。
随机变量与普通函数区别有三，第一，随机变量定义域为样本空间的基本事件；第二，随机变量取值是随机的，只有它取每一个可能值有确定的概率；第三，随即变量是随机事件的人为数量化，而且这种数值只是一种符号表示。
比如：将一枚硬币抛三次，以表示三次投掷中出现正面的总次数，那么，对于样本空间中的每一个样本点，都有一个值与之对应，即二、随机变量的分布函数2.1 随机变量的分布函数（适合任何类型的随即变量）陈氏第2技随机变量的分布函数的全新揭秘。
● 分布函数定义形式的渊源一般情况下，人们只对某个区间内的概率感兴趣，即研究下列四种可能的区间的概率由于当所以，我们只须定义一个形式就可以了，其他区间形式都可以用它表示出来。
《概率统计教学资料》第2章随机变量及其分布9节-精品文档
P ( X ln y ) F (ln y ) X 当 y e 时， F （ y ） P ( Y y ) 1 Y
上式对y求导数，得Y的概率密度为 1 1 (ln F y )(ln y ) fX (ln y) , 1 X y e y y fY ( y) F ( y ) Y
第九节 随机变量函数的分布
一、一维随机变量函数的分布
例1 设随机变量X的分布律如下， X -2 1 2 pk 0.3 0.2 0.1 3 0.4
求Y=X2-1的分布律 解：Y的所有可能取值为0,3,8 P ( Y 0 ) P ( X 1 ) 0 . 2
P ( Y 3 ) P ( X 2 ) P ( X 2 ) 0 . 3 0 . 1 0 . 4
P ( Y 8 ) P ( X 3 ) 0 . 4
2019/3/16 1
例2. 一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由 于机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随机变量,设X 的概率密度为 2 x , 0x1
一天的利润Y=3X-1，Y也是随机变量，求Y的概率密度。
fX(x ) , 其他 0
0 ,
y 1 , 或 y e
4
2019/3/16
例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布， (2)求Y=-2lnX的概率密度。 解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=-2lnX 在 当 y 0 时， F （ y ） P ( Y y ) 0 ; (0，+∞)上取值。 Y 当 y 0 时， F （ y ） P ( Yy )P ( 2 ln X y ) Y
( 2 ) 当 1 y4 时，有
一维随机变量
2. 二项分布 在伯努利试验中，事件A在一次试验中发生的概率为
P，则在n次试验中A发生的次数X是一个随机变量，且
P { X k } C n p (1 p )
k k n k
, k 0 ,1, 2 , , n
则称 X 服从参数为 n，p的二项分布，记作
X ~ B (n, p )
特别当 n=1时，二项分布为
1, X X ( ) 0,
1 2
2.2 离散型随机变量
如果随机变量的所有可能取值为有限个或无 限可列个，这样的随机变量称为离散型随机变量．
一、离散型随机变量的分布律
定义 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , … , xn , … X取各个值的概率，即事件{X=xi}的概率为
p
X p
1/6
-2 1/6
2/6
0 1/6
-1/6
1 1/6
3/6
2 1/6
1/6
3 1/6
分布列具有如下性质：
（1）非负性： pi ≥ 0 （2）规范性： （i=1,2，…）
i 1
pi 1
例2 已知随机变量X的概率分布为：
p k P{ X k } ak ( k 1, 2 ,3, 4 ,5 ) , 求常数a.
399
] 0.997
n k
X ~ B (n, p )
P { X k } C n p (1 p )
3. 泊松分布
X ~ B (n, p )
P { X k } C n p (1 p )
k k
n k
, k 0 ,1, 2 , , n
当n很大（n≥10）p很小（p≤0.1）时，令np＝λ
概率第二章
0 1 1 1 η ~ 2 2
(1)求ξ和η的联合分布列 (1)求 (2)问 (2)问ξ和η是否独立？为什么？ 是否独立？为什么？
19
§2.3
随机变量函数的分布列
一、随机变量的函数 问题：已知随机变量ξ的分布， f(ξ 问题：已知随机变量ξ的分布，令η=f(ξ), 的分布。 求η的分布。 定理1 设ξ是(Ω，F，P)的一个随机变量，f(x)是一个 P)的一个随机变量 f(x)是一个 的一个随机变量， 定理1 可测函数， f(ξ 也是( P)上的的一个随机量 上的的一个随机量. 可测函数，则η=f(ξ)也是(Ω，F，P)上的的一个随机量.
引例3 引例 掷一枚硬币 ， Ω = {ω1,ω2} 引例4 掷一枚硬币 ， 10件产品，5件次品任取 件，其 引例 件产品， 件次品任取3件 件产品 件次品任取 中的次品数ξ=0。 中的次品数ξ=0。1，2，3
1
定义1 ,P）是概率空间, 是定义在Ω 定义1：设（ Ω, F,P）是概率空间, ξ=ξ(ω)是定义在Ω 上的实值函数， 上的实值函数，如果 ∀x∈ R 有：{ω ξ (ω) < x}∈ F ∈ 则称ξ 随机变量。 则称ξ为随机变量。 定义2 离散型随机变量） 定义2：（离散型随机变量）
x1
x2
p2
x2 L p2 L
L
L
P p1
x1 p 1
或：
3
假设有10种同种电器元件，其中有2只废品， 10种同种电器元件 例5 假设有10种同种电器元件，其中有2只废品，装配仪 器时，从这批元件任取一只，如果是废品，扔掉再取， 器时，从这批元件任取一只，如果是废品，扔掉再取， 直到取出正品， 表示取出正品之前已取出的废品个 取出正品之前已取出的废品个， 直到取出正品，令ξ表示取出正品之前已取出的废品个， 数求ξ的分布列。 数求ξ的分布列。 例6 n=5的Bernoulli试验中 试验中， P(A)=p， 表示5 在n=5的Bernoulli试验中，设P(A)=p，令ξ表示5次
一维随机变量
如掷骰子，掷出的点数X是一个随机变量，它可以 取1，…，6这6个值中的1个，到底是哪一个，要等掷了 骰子后才知道。因此，随机变量是试验结果的函数。
P(X k) C5k0.45k0.555k k 0,1,2,3,4,5
(2)求恰有3人反映为阳性的概率:
P(X 3) C350.4530.552 0.276
(3)求至少有2人反映为阳性的概率：
P(X 2) 1 P(X 1) 1 P(X 0) P(X 1) 1 C50 0.4500.555 C15 0.4510.554 1 0.555 5 0.45 0.554 0.744
离散型随机变量的分布函数F(x)的图象为阶梯状， 点x1,x2,…,xn都是F(x)的第一类(跳跃)间断点。
•随机试验１：接连进行两次射击，０表示未击中目标， １表示击中目标。样本空间：
1 0, 0, 2 0, 1, 3 1, 0, 4 1, 1
现在我们设定随机变量X表示击中目标的次数，则
•随机试验２：观察某电话交换台单位时间内接到的呼唤 次数。样本空间Ω={0,1,2,…}，以X表示接到的呼唤次数， 那么，X=X(ω)=ω，ω∈Ω是离散型随机变量。
例3 设射手进行计分打靶练习，有如下规定：射入区域e1 得2分，射入区域e2得1分，否则就得0分）。一射手进行一 次射击的得分是随机变量，其可能取得的值为0，1，2。不 同的射手在射击之前，他们进行一次射击的得分值都是不 可预知的，他们进行一次射击的得分的概率不同。 射手甲在一次射击中得分X的概率分布为：
事件{30≤X＜50}={w30, w31, …, w49}
第二章 一维随机变量及其分布
公式。 由于上式中根本不可能出现 F ( x + 0 ) 的形式， F ( x + 0 ) = F ( x ) 对上述 5 种关系没有任何影响，即
F ( x ) 右连续，即 F ( x0 + 0 ) = F ( x0 ) ; F ( x0 - 0 ) ¹ F ( x0 ) 。当然，由于连续型在一点的概率恒为零，
ì P { x1 < ï P { x1 £ 当e ® 0 Þ ï í ï P { x1 £ ïP x < î { 1
X £ x2 } = P { X £ x2 } - P { X £ x1} X £ x2 } = P { X £ x2 } - P { X £ x1 - e } X < x2 } = P { X £ x2 - e } - P { X £ x1 - e } X < x2 } = P { X £ x2 - e } - P { X £ x1}
连续型的密度函数不一定连续，例如 X ~ ( a, b ) ，则 f ( x ) 在 x = a 或 b 两个端点处不连续，所以，
ì 1 ì 1 , a< x<b , a£ x£b ï ï 一般把均匀分布密度函数写成 f ( x ) = í b - a ，而不写成 f ( x ) = í b - a ，这一 ï ï other other î0, î0,
显然，我们只须定义一个 P { X £ x} 形式就可以了，其他区间形式都可以用它表示出来。 于是定义 F ( x ) = P { X £ x} 为 X 的普适分布函数。它就是 X 落在任意区间 ( -¥, x ] 上的概率，本质上 是一个累积函数，对于离散点，采用叠加，对于连续点，使用一元积分。 引入随机变量的目的是从数量上来研究随机现象的统计规律，即把随机试验的不同结果用一个变量 来表示，由于试验出现的结果是偶然的，因而随机变量的取值方式也是偶然的，试验前只能知道它的取 值范围 X £ x ，试验后才能确定它的具体值 x 。另外，对于随机变量 X ，我们不仅要知道它取各种可能 值的概率，更重要的是要知道 X 在任意区间 [ x1 , x2 ] 内的取值分布规律，这正是分布函数所反映的内容 -----求事件的概率。 随机变量和分布函数共同架起了随机现象和高等数学之间的桥梁。 2.2 分布函数的 4 个重要性质
1-2一维随机变量
X ~ Exp( )
指数分布的应用场合 若一个元器件（或一台设备、或一个系 统）遇到外来冲击时即告失效，则首次冲击 来到的时间 X（寿命）服从指数分布。 如： 无线电元件的寿命X 动物的寿命Z 指数分布 常作为各种“寿命” 分布的近似
随机服务系统中的服务时间 X 设备两次故障的间隔时间 X
电话问题中的通话时间 Y
若 X 的密度函数为
x 1e x , x 0 p ( x ) ( ) 0 , x0
定理 设X ~ N ( , 2) , 则
U X
~ N (0,1)
正态分布相关事件概率的计算
a X b P ( a X b ) P b a ; X a P ( X a ) P a 1 .
每天从北京站下火车的人数 Y ；
昆虫的产卵数 Z ； 每天进入某超市的顾客数 ; 购买商品的件 数; 顾客排队等候付款的时间 等等.
(2)、在有些试验中，试验结果看起来与数值 无关，但我们可以引进一个变量来表示它的 各种结果. 也就是说，把试验结果数值化. 例如：检测一件产品可能出现的两个结果 , 可以用一个离散变量来描述
0.4 0.3 0.2 0.1
-3
-2
-1
1
2
3
0.4
常用计算公式—只对 N(0,1) 适用
0.3 0.2 0.1
(0) 0.5
(u ) 1 (u)
P(| U | c) 2(c) 1
-3 -2
-3 -2 -1
1
2
3
0.4 0.3 0.2 0.1
-u
第二章 一维随机变量及其分布
第二章一维随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数一、内容精要（一）随机变量1.随机变量的引入的背景2.随机变量的严格定义（二）分布函数1.分布函数的定义2.分布函数的性质3.分布函数表示的概率计算公式二、 常考题型分析（一） 与分布函数有关的性质1. 判定给定函数是否为分布函数例1 ()下列函数中，可以做随机变量的分布函数的是()()21.1A F x x =+ ()()31arctan .42B F x x π=+ ()()0,0,,0.1x C F x xx x≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩ ()()2arctan 1.D F x x π=+2. 含参数的分布函数形式已知，求未知参数例2 ()()1212F x F x X X 设与分别为随机变量和的分布函数.为使 ()()()12=F x aF x bF x -()是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组值中应取()32,.55A a b ==- ()22,.33B a b == ()13,.22C a b =-= ()13,.22D a b ==-例3 ()()0,1,11,11,84,11,1,1,x x X F x P X ax b x x <-⎧⎪⎪=-⎪===⎨⎪+-<<⎪≥⎪⎩设随机变量的分布函数且,.a b 求未知参数3. 分布函数的连续性例4 ()000X x P X x ==设随机变量对于任意实数有的充要条件为()A X 为离散随机变量. ()B X 不是离散随机变量.()()C X F x 的分布函数为连续函数.()()D X f x 的概率密度为连续函数.例5 ()()()()1221F x X P x X x F x F x <<=-设为随机变量的分布函数，则()()F x 成立的充要条件是在()1A x 处连续. ()2B x 处连续. ()12C x x 和至少一处连续. ()12D x x 和都不连续.例6 ()()1F x F x --设为某个随机变量的分布函数，讨论函数是否为分布.函数（二） 已知分布函数求区间或某点的概率例7 ()()()00,1=01,121,1,xx F x x P X e x <⎧⎪⎪≤<=⎨⎪-≥⎪⎩，设随机变量的分布函数，则为()0.A ()1.2B ()11.2C e -- ()11.D e --例8 3164一个边长为的正立方体容器盛有的液体，假设一个小孔出现在容器 个表面的任何一个部位是等可能的，现在表面出现了一个小孔，液体经此小孔流出，试求()X F x （1）容器中剩余液体液面的高度的分布函数； 3().4P X =（2）例9 ()=()X x R F x P X x ∈<设为随机变量，对于任意，定义函数，且00,1()=01,21,1,x x F x x e x -≤⎧⎪⎪<≤⎨⎪->⎪⎩，，(1)_____________.P X ==则第二节一维随机变量及其分布一、内容精要（一）一维离散型随机变量及其分布1.分布律和性质2.分布函数3.常见分布（二）一维连续型随机变量及其分布1.概率密度及其性质2.分布函数的性质3.常见分布二、 常考题型分析（一） 与概率分布的性质相关的问题1. 判断函数是否为概率密度例1 12()()F x F x 设，为分别两个随机变量的分布函数，其相应的概率密度()12()()f x f x 分别为，，这两个函数均是连续函数，则必为概率密度的是()12()()A f x f x ()21()()B f x F x()12()()C f x F x ()1221()()()()D f x F x f x F x +2. 概率分布已知，求分布中的位置参数 例2 X 设随机变量的概率分布为()()()11,2,,,n kk kn P X k A C p p k n -==⋅-=,01___________.n Z p A +∈<<=其中为已知，则例3 ()1()1,2,2k kP X k k X θ-==⋅= 设为随机变量的分布律的充要条件 为__________.例4 []12()()1,3f x f x -设为标准正态分布的概率密度，为上均匀分布的()()12(),0,()0,0,(),0,af x x f x a b a b bf x x ≤⎧=>>⎨>⎩概率密度，若为概率密度，则应满足例5 2,0,()______.0,0,x ax e x X f x a x -⎧>==⎨≤⎩设随机变量的概率密度函数为则例6 22(),______.x xX f x ae a -+==设随机变量的概率密度函数为则（二） 已知随机试验中的随机变量，求分布律和分布函数例7 413设有三个盒子，第一盒子有个红球，个黑球；第二个盒子装有个红 223球，个黑球；第三盒子装有个红球，个黑球，现在从三个盒子中任取一盒，然后从中任取3个球，试求所取到的红球个数的分布律与分布函数.例8 ()01,p p <<某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中概率为2X 记随机变量为第次射中目标所进行的射击的次数.求X 得分布律.（三） 已知分布函数求分布律或已知概率密度函数求分布函数1. 已知分布函数求分布律例9 X 设随机变量的分布函数为()0,1,0.4,11,0.8,13,1,3,x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ .X 试求的分布律例10 X 已知随机变量的概率分布律为()()22123211X P θθθθ--()()32.4P X X F x θ≥=且，求未知参数及的分布函数2. 已知概率密度函数求分布函数例11 X 设连续型随机变量的密度函数为()12,0,211,1,2332,1,20,,x x x f x x x ⎧≤<⎪⎪⎪<≤⎪=⎨⎪-<≤⎪⎪⎪⎩其它 ().X F x 试求的分布函数（四） 与常见分布有关的概率问题1. 离散型常见分布例12 ()()12~,,X P p p X λ设分别为随机变量取偶数和奇数的概率，则()12.A p p = ()12.B p p < ()12C p p > ()12,D p p 大小关系不定.例13 X 设随机变量的概率密度函数为()()+1,01,0,k k x x f x ⎧<<=⎨⎩其它， 137264Y X A X ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭以表示对的三次独立的重复观察中，事件至少发生一次的概率为，,95%n A X 试求常数使得事件至少发生的一次的概率超过，对至少要做多少次独立重 .复的观察例14 ()01,p p <<某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中概率为.X X 直至射中目标为止，记随机变量为射击的次数.求为偶数的概率例15 ()(),,.X B n p k P X k =设随机变量服从二项分布当取何值时，最大2. 连续型常见分布例16 ()()()~,0,0,X E s t P X s t X sλ>>>+>设则对于任意则().A t s 与无关，随的增大而增大 ().B t s 与无关，随的增大而减少 ().C s t 与无关，随的增大而增大 ().D st 与无关，随的增大而减少例17 ()()()2~,1X N P X μσμ<+设，则().A μ随的增大而增大 ().B μ随的增大而减少 ().C σ随的增大而不变 ().D σ随的增大而减少例18 ()211,X N Y μσ设随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布()12.A σσ< ()12.B σσ> ()12.C μμ< ()12.D μμ>例19 ()()21,0,0,03X Y N P X Y σ≤>设随机变量均服从，若概率=， ()0,0______.P X Y ><则=例20 1009010有个零件，其中个一等品，个二等品，随机地取两个，安装在 ()20,1,2i i =一台设备上，若个零件中有个二等品，则该设备的使用寿命服从参数 =1i λ+为的指数分布，试求()11设备寿命超过的概率；()212.若已知该设备寿命超过，则安装在该设备上的个零件均为一等品的概率第三节 一维随机变量函数的分布一、 内容精要（一） 一维离散型随机变量函数的分布律（二） 一维连续型随机变量函数分布求解二、 常考题型分析（一） 求可列无穷多取值的离散型随机变量函数的分布律例1 ()1,1,2,,sin .22n X P X n n Y X π⎛⎫==== ⎪⎝⎭设的分布律为求的分布律（二） 已知连续型随机变量的概率密度，求非单调函数的概率密度例2 X 设随机变量的概率密度为()1,10,21,02,40,.X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其它2.Y X Y =令，求的概率密度函数例3 ()20,423X Y X X Y =--设服从区间上的均匀分布，随机变量，试求的 .密度函数例4 1X =max ,.Z X X λ⎛⎫ ⎪⎝⎭设随机变量服从参数为指数分布，求的分布函数（三） 抽象的随机变量函数的分布例5 ()(),,X F x Y F x =设连续型随机变量的分布函数为令求随机变量函数 .Y 的概率分布例6 (),1__________.X F x Y X =-随机变量的分布函数为则的分布函数为。
明德概率论与数理统计第二章第一节(1)
即任一分布函数处处右连续.
如：对例1,
0 , x 0, 1 F ( x ) , 0 x 1, 2 1, x 1.
1
1 2
F (x )
o
1
x
一个函数若具有上述性质, 则此函数一定是某个随 机变量的分布函数.
例2： 已知随机变量X 在整个实轴上取值, 其分布
X x
x
x
F ( x ) P ( X x ),
F(x) 是随机变量 X 取值不大于 x 的概率.
用分布函数计算 X 落在( a ,b ] 里的概率：
P ( a X b) P ( X b) P ( X a )
] （
a
]
b
请 填 空
P ( X a ) F (a ) F (a 0) P ( X a ) 1 P ( X a ) 1 F (a ) P (a X b) F (b) F (a 0)
而X在xk（k=1,2, · ）处的概率就是F(x) · ·
在这些间断点处的跃度.
2º P{a X b}
F ( b 0) F ( a 0) F (b) F (a )
例3 一盒内装有5个乒乓球，其中2个旧的，
3个新的，从中任取2个，求取得的新球 个数X的分布律与分布函数，并计算： P{0 X 2}, P{0 X 2}. 解 X={ 取得的新球个数 }，其分布律为
方法1. P{0 X 2}
P{ X 1} P{ X 2}
0.6 0.3 0.9
P{0 X 2} P{ X 0} P{ X 1}
F ( x) 0.7, 1 x 2 1, x2
一维随机变量及其概率分布
⼀维随机变量及其概率分布1. 随机变量的概念顾名思义，随机变量就是“其值随机会⽽定”的变量。
随机变量的反⾯是“确定性变量”，即其值遵循某种严格的规律的变量，⽐如从北京到上海的距离。
但是从绝对意义上讲，许多通常视为确定性变量的量，本质上都有随机性，只是由于随机性⼲扰不⼤，以⾄在所要求的精度之内，不妨把经作为确定性变量来处理。
根据随机变量其可能取的值的全体的性质，可以把随机变量分为2⼤类，⼀类是离散型随机变量，⽐如检验100件产品中的次品个数；⼀类是连续型随机变量，⽐如⼀个灯泡的寿命。
但是连续型变量这个概念只是数学上的抽象，因为任何量都有单位，都只能在该单位下量到⼀定的精度，所以也⼀定是离散的，⽐如灯泡的寿命如果只精确到秒，那它的寿命也是可以离散表⽰的。
研究随机变量的根本原因是，我们需要研究⼀些事物⾝上表现出来的会变动的因⼦，这些因⼦的值随机⽽定，但可能存在某种规律（⽐如总是取到某些特殊的值），我们需要研究这些规律（⽐如分布规律），⽽对这些因⼦做预测。
2. 离散型随机变量的分布我们研究随机变量，并不是只关⼼它能取到哪些值，往往也关⼼的是它取到某些值的频率如何，即取到该值的概率。
这个特性，我们称之为分布。
定义2.1设 为离散型随机变量，其全部的可能值为，则称为 的概率函数。
且有下⾯的性质：的概率函数给出了：全部概率1是如何在其可能的值之间分配的，所以也把它称为随机变量 的“概率分布”。
因为离散型的随机变量的概率分布通常以⼀个表的形式给出，所以有时把它称为 的分布表。
定义2.2设 为⼀随机变量，则函数称为 的分布函数。
对离散型随机变量⽽⾔，概率函数与分布函数在下述意义下是等价的。
由 求 是显然的，⽽由 求 ，只需注意：对于任何随机变量 ，其分布函数具有下⾯的⼀般性质：1）是单降⾮降的：当 时，有 ；2）当 时， ；当 时， ；研究分布函数的直接原因是可以根据分布函数求概率，另⼀个原因我觉得是针对于连续型随机变量，因为它研究取某个值的概率没有意义，所以更多的关⼼的⼀个范围，⽐哪灯光寿命1万⼩时-1.2万⼩时的可能性⼤⼩，像这样范围内的概率⽤分布函数更容易求得。
一维离散型随机变量及其分布律
其概率为p{ξ ≥ 2}=∑ C 0.01 0.99 则η
0.2k −0.2 ≈∑ e = 0.0175 k =2 k !
20
类似，用η 表示90台设备中同时发生故障的台数， B(90,0.01)，此时λ = np = 0.9
90
而当η ≥ 4设备得不到及时维修， 则p{η ≥ 4}=∑ C 0.01 0.99
p{ξ = k} =
λk
k!
e − λ , k = 0,1,L
其中λ > 0为常数，则称ξ 服从参数为λ 的泊松分布， 记为： ξ
π (λ )
注1：泊松分布中的参数 表示平均特征，如 ξ 表示单位时间 内某电话交换台接到的呼叫次数，即λ 表示在这单位时间内 接到的呼叫次数的平均数。
10
泊松定理：
在n次贝努利试验中，若A发生k次的概率为
k 90 k k=4 90 − k
0.9k −0.9 ≈∑ e = 0.01346 k! k =4
90
14
第2-1节 一维离散型随机变量及其分布律
1.一维离散型随机变量的分布律 (1)定义 设离散型随机变量 ξ 的所有可能取值为 xk ，且 ξ 取值为 xk 的概率，即事件{ξ = xk } 的概率为：
P{ξ = xk } = pk ,
k = 1, 2,L
(2.1)
若 pk 满足条件：
1) 2)
∑p
k =1
4
2. 几个常用的离散型分布 (0-1)分布 (两点分布) 设随机变量 ξ 的可能取值仅为0或1，其概率分布为
ξ
p
则称
0 1-p
1 p
ξ 服从参数为p 的(0-1)分布 。
概率论与数理统计2-1 一维随机变量及其分布 (3)
五、连续型随机变量 六、典型的连续型 随机变量及其分布
回
停 下
五、连续型随机变量 连续型随机变量
1. 密度函数 对于随机变量X， 定义 对于随机变量 ，若存在非负可积函 使得X 数 p(x) ( x∈R), 使得 的分布函数 ∈
F ( x) = ∫
或概率密度. 数,或概率密度 或概率密度
1 , 2 ≤ x ≤ 5, p( x ) = 3 0, 其它.
表示“ 设 A 表示“对 X 的观测值大于 3”, 即 A={ X >3 }.
由于 P ( A) = P { X > 3} = ∫
51
3
2 dx = , 3 3
进行3次独立观测中 设Y 表示对 X进行 次独立观测中 观测值大于 进行 次独立观测中, 3的次数 的次数, 的次数 则
P {a < X ≤ b} = P { a < X < b } = P{a ≤ X < b}
= P{a ≤ X ≤ b}
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 3º
P( A) = 0 P( A) = 1
A= ∅ A= Ω
的分布函数为： 例1 设连续型随机变量X的分布函数为： F( x) = A+ Barctan x − ∞ < x < ∞
1 x − 1 − e 2000 , F ( x) = 0,
x ≥ 0, x < 0.
(1) P { X > 1000}= 1 − P { X ≤ 1000} = 1 − F (1000)
1 − 1 − e 2000x , x ≥ 0, F ( x) = 0, x < 0.
一维随机变量及其分布
解:由题意,
X ~ p( ), 且PX 1 P{X 0} P{X 1} 3e2
e e 3e2 2
P{X 3} 1 P{X 0} P{X 1} P{X 2}
1 e2 21 e2 22 e2 1 5e2 0.323
1!
2!
例 3.由销售记录知道，某种商品每月销售数可
s
e.
X(e)
R
(1) 这种实值函数是定义在样本空间上的函 数. 它随试验结果的不同而取不同的值， 因 而在试验之前只知道它可能取值的范围，而 不能预先肯定它将取哪个值.
(2) 由于试验结果的出现具有一定的概率， 于是这种实值函数取每个值和每个确定范 围内的值也有一定的概率.
称这种定义在样本空间上的实值函数为 随机变量。
2、 在一本200页的书中，共有100个错误。 假设每个错误等可能的出现在每一页上，试求： （1）在给定的一页上恰好有两个错误的概率 （2）在给定的一页上至少有一个错误的概率
例 3. 某车间有 20 部独立工作的机床，每部机床 开 动 的 概 率 都 是 0.8，开动时每部机床耗电 15 个单位，问此车间消耗电能不少于 270 个 单位的概率？
解：设 X 为实际开工的车床数，则 X ~ B(20, 0.8) ，则
P{X k} C2k0 0.8k 0.2 20k , (k 0,1,..., 20)
则称X服从（0---1）分布或两点分布
（0---1）分布的分布律也可写成
X
0
1
P
1-p
p
对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含 两个元素，即
S {e1, e2}
我们总能在S上定义一个服从(0---1)分布的随机 变量
X
X
2-1随机变量及其分布函数
分布函数 F(x) 的基本性质. 性质 1.1 设 F(x) 为任一分布函数，总有 0 F(x) 1 ．
性质 1.2 设 F(x) 为任一分布函数，则有
lim F(x) 0 ， lim F(x) 1 ，
x
x
简记为 F() 0 ， F () 1．
性质 1.3 设 F(x) 为任一分布函数，则 F(x) 单调不减， 即对于任意实数 x1, x2 ，当 x1 x2 时， F (x1) F (x2 ) ．
例如在抛一枚硬币 的随机试验中，令
0, “出现反面”, X 1, “出现正面”,
则 X 为随机变量．
例如：掷骰子出现的点数， 一批产品中的次品个数， 等车所需的时间等等
均为随机变量．
3
引入随机变量后，可利用随机变量的某种逻辑关系表示
随机事件．一般地，设 X 为一随机变量， L 为某实数集，则 {X L}表示一个随机事件．
0,
F
(x)
1 2
,
1,
x 0, 0 x 1,
x 1.
不难发现， F(x) 在区间 (, 0) ， (0,1) 和 (1, ) 内均连
续，而点 x 0 和 x 1均为 F(x) 的跳跃间断点．事实上，F(x) 在点 x 0 和 x 1处均右连续，而不左连续．
10
例 1.2 已知随机变量 X 的分布函数为 F(x) a b arctan x ，
P{a X b} P{X b} P{X a} F(b) F(a)
即可证得
推论 1.1 设 x0 为任一给定实数，则有 P{X x0} F (x0 ) F (x0 0) ．
6
【注】利用定理 1.1 和推论 1.1
P{X a} 1 F(a) ， P{X a} 1 F(a 0) ，
一维随机变量及其分布
⼀维随机变量及其分布离散型随机变量如果⼀个随机变量X全部可能取值为有限个或可列多个。
离散型概率分布：P(X=x k)=p k(0-1)分布随机变量X的所有可能取值为0或1P(X=k)=p k(1-p)1-k,k=0,1⼆项分布⽤于描述可重复进⾏独⽴试验的随机现象。
在n次独⽴重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发⽣的概率为p。
超⼏何分布有N件产品，有M件次品，随机取n件进⾏抽查，其中有k件次品泊松分布若随机变量X的所有可能取值为⼀切⾮负整数。
以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独⽴地出现时，那么这个事件在单位时间（⾯积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。
（X服从参数为λ的泊松分布）⼏何分布在重复独⽴试验中，考察事件A发送与否，且P(A)=p。
以X表⽰事件A⾸次发⽣时的试验次数。
巴斯卡分布进⾏重复独⽴试验，事件发⽣⼀次的概率为p，则考察事件发⽣r次的概率连续型随机变量及其分布设随机变量X的分布函数为F(X)，如果存在⾮负函数f(x)，使得对任意实数x，有，则称X是连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数。
概率密度f(x)性质：1. f(x)>=02.3. 对任意实数x1，x2(x1<x2)有：4. 若f(x)在点x处连续，则有F'(x)=f(x)均匀分布若随机变量X的概率密度函数为：X的分布函数为：X落在(a,b)中任⼀⼦区间(c,c+l)内（其中a<c<c+l<b)的概率仅与⼦区间的长度l成正⽐，⽽与⼦区间的位置⽆关，这说明X落在两个长度相等的⼦区间内的概率是相等的。
指数分布若随机变量X的概率密度函数为：X的分布函数为：正态分布若随机变量X的概率密度函数为：X的分布函数为：概率密度f(x)具有以下性质：1. f(x)的图形关于x=µ对称2. x=µ时，f(x)取得最⼤值3. 在x=µ+σ，µ-σ处有拐点4. 概率密度曲线y=f(x)以x轴为渐近线正态分布的参数µ，σ有重要意义：1. 若固定σ，改变µ，则f(x)的图形沿x轴平⾏移动，⽽不改变形状。
第二章 一维随机变量及其分布
注：一般X(ω) 简单记为X，
{ω∣X(ω) ≤ x} 记为{X ≤ x}
一维随机变量的分布函数
分布函数
设X是一个随机变量，x是任意实数，函 数F(x)=P{ω∣X(ω) ≤ x}称为随机变量X的分 布函数，记作FX(x)或F(x)。 X 的分布函数也常简记为FX(x)= P{X≤x}
分布函数的性质
任一随机变量X的分布函数F(x)，x∈(－∞， ＋∞)，具有下列性质：
(1) 0≤ F(x) ≤ 1
(2) 若x1<x2，则 F(x1) ≤ F(x2) 证明： 若x1<x2 ，则有
X x2 X x1
根据概率的性质，得P{X<x2} ≥P{X<x1} 即 F(x2) ≥F(x1)
0.0169
19
若用泊松近似公式(λ=np=20×0.01=0.2) ，
则有
PX 2
k 2 k!
20
k
e
k 2
20 0.2 k
k!
e
0.2
0.0176
（2）设Y表示同一时刻发生故障的设备数，则
Y～B(80,0.01)。 当同一时刻至少有４台设备发生故障时，就不 能及时维修。 用泊松近似公式 (λ=np=80×0.01=0.8) ，得 80 k 80 0.8 k 0.8
(2) 0≤F(x) ≤1 ，且
x x
lim F x F 0
lim F x F 1
对任意实数 x0 ，有
(3) 右连续性
F x0 0 F x0 其中F x0 0 lim F x
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因此，只要知道了随机变量X的分布函 数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.
说明
(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况.
(2) 分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我 们可以用高等数学的工具来研究 随机变量.
xk x
xk x
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P{X xk }
分布函数 F ( x) P{X x} pk
xk x
例2 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数. 解 当 x 0时,
当0 x 1时，P{X x} P{X 0} q 当x 1时，P{X x} P{X 0} P{X 1} 1
0, x 0
F (x) q, 0 x 1
1, x 1
例3 设 X 的分布律为
X
2
2
3
pk
1 4
1 2
1 4
求（1） X 分布函数，(2)P{X 1}, (3)P{3 X 5},
{X a} {a X b} , 所以 P{ X b} P{ X a} P{a X b}, 故 P{a X b} F (b) F (a).
二、例题讲解
例1 已 知 随 机 变 量X在 整 个 实 轴 上 取 值,其 分 布
函数为
A Bex , x 0
F(x) {
0,
随机变量通常用大写字母X,Y,Z,…或希腊字母,
,η, ζ,….等表示.
2.说明
(1)随机变量与普通的函数不同
随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有 着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而 随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元 素不一定是实数).
(2)随机变量的取值具有一定的概率规律
X (e)
0 X (e1 ) 0
e2 (正面朝上) 即 X (e) 是一个随机变量.
1 X (e2 ) 1
实例 2 在有两个孩子的家庭中,考虑 其性别 , 共有 4 个样本点:
e1 (男,男), e2 (男,女), e3 (女,男), e4 (女,女). 若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有 X (e1 ) 0, X (e2 ) 1, X (e3 ) 1, X (e4 ) 2,
2. 随机变量的分类:离散型,非离散型（以 连续性为主）.
第2.3节 随机变量的分布函数
一.分布函数的概念 二.例题讲解
为了对离散型和连续型随机变量r.v
（random variable）以及更广泛类型的
r.v给出一种统一的描述方法，下面引进 了分布函数的概念.
一.分布函数的定义 设 X 是一个 r.v，称
P{ X x}是不可能事件,
于是F ( x) P{ X x} 0;
当 0 x 2时, P{0 X x} kx2 ,k是常数.
由P{0 X 2} 1, 得4k 1, 即 k 1 .
因而P{0 X x} x2 .
4
4
于是
F(x) P{X x}
x2
P{X 0} P{0 X x} .
x0
其 中 0为 常 数,求 常 数A, B的 值.
解 由分布函数的性质知
F () A 1. 由分布函数的右连续性
F (0) A B 0 于是有A 1, B 1.
例2 设 X 服从参数为p的二项分布.
P{X 1} p, P{X 0} q,0 p 1, p q 1
求 X 分布函数. 解：当x 0时，P{X x} 0
2.分布函数的性质
(1) 0 F ( x) 1, x (,);
(2) F ( x1) F ( x2 ), ( x1 x2 ); (单调不减性)
证明 由 x1 x2 { X x1} { X x2 }, 得 P{X x1} P{X x2},
又 F ( x1) P{X x1}, F ( x2 ) P{X x2}, 故 F ( x1) F ( x2 ).
可得随机变量 X(e),
0, X (e) 1,
2,
e e1, e e2, e e3, e e4 .
二、小结
1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规 律性的, 因此为了方便有力地研究随机现象, 就需 将随机事件数量化,把一些非数量表示的随机事件 用数字表示时, 就建立起了随机变量的概念. 因此 随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数.
2
2
2
(4)P{2 X 3}.
解（：1）当x 2时，P{X x} 0
当-2 x 2时，P{X x} P{X 2} 1
当2
x
3时，P{X
x}
P{X
2}
4
P{X
2}
3
P{X
2}
P{X
2}
P{X
4 3} 1
0, x 2
1
,
2 x2
F
(
x)
4 3
,
2 x3
4
1, x 3
（2）P{X
1}＝F (1 22
)=
1 4
(3)
P{3 2
X
5} 2
F(5 2
)-F ( 3 2
)=
3 4
-
1 4
=
1 2
(4) P{2 X 3} F(3) F(2) P{X 2} 1 3 1 3 42 4
离散型随机变量的分布函数
F ( x) P{X x} pk P(X xk ).
随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因 此随机变量的取值也有一定的概率规律.
实例 1 掷一个硬币, 观察出现的结果 , 共有两种 情况: e1 (反面朝上),
e2 (正面朝上), 若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
e1 (反面朝上)
第二章
随机变量及其函数的概率分布
第2.1节 随机变量
一、随机变量的概念 二、小结
一、随机变量的概念
1. 随机变量的定义
定义
设 E 是随机试验,它的样本空间是 {e}. 如 果对于每一个e , 有一个实数X (e) 与之对应, 这样就得到一个定义在上的单值实值函数X (e),
称X (e)为随机变量. 简记为r.v X.(random var iable)
F(x) P(X x)
( x )
为 X 的分布函数. 记作 X ～ F(x) 或 FX(x).
如果将X看作数轴上随机点的坐标,则分布 函数F(x)的值就表示X落在区间（-, x]的概 率.
——X —x |——> x
F( x) P( X x), x
由定义，对任意实数 x1<x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 ] 的概率为：
1 p2 p1
•
•
o x1
x2
x
反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是
某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(4)是鉴
别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.
重要公式
(1) P{a X b} F(b) F(a), (2) P{X a} 1 F(a). 证明 因为 { X b} { X a} {a X b},
(3) F () lim F ( x) 0, F () lim F ( x) 1;
x
x
证明 F( x) P{X x}, 当 x 越来越小时,
P{ X x}的值也越来越小, 因而当 x 时,有
lim F( x) lim P{X x} 0
x
x
o
x
同样,当 x 增大时P{X x}的值也不会减小,而
X (, x]当 x 时, X 必然落在(, )内.
o
x
所以 lim F( x) lim P{X x} 1.
x
x
(4)
lim
x x0
F(x)
F ( x0
),
( x0 ).
即任一分布函数处处右连续. F( x)
0,
F
(
x)
p1 , p2 ,
1,
x 0, 0 x x1, x1 x x2 , x x2.
当 x 2时,
4
F( x) P{X x} 1.
故 X 的分布函数为
0,
F
(
x)
x2 4
,
1,
x 0, 0 x 2, x 2.
其图形为一连续曲线