2-1 一维随机变量及其分布

第二章
随机变量及其函数的概率分布
第2.1节 随机变量
一、随机变量的概念 二、小结
一、随机变量的概念
1. 随机变量的定义
定义
设 E 是随机试验,它的样本空间是 {e}. 如 果对于每一个e , 有一个实数X (e) 与之对应, 这样就得到一个定义在上的单值实值函数X (e),
称X (e)为随机变量. 简记为r.v X.(random var iable)
可得随机变量 X(e),
0, X (e) 1,
2,
e e1, e e2, e e3, e e4 .
二、小结
1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规 律性的, 因此为了方便有力地研究随机现象, 就需 将随机事件数量化,把一些非数量表示的随机事件 用数字表示时, 就建立起了随机变量的概念. 因此 随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数.
2.分布函数的性质
(1) 0 F ( x) 1, x (,);
(2) F ( x1) F ( x2 ), ( x1 x2 ); (单调不减性)
证明 由 x1 x2 { X x1} { X x2 }, 得 P{X x1} P{X x2},
又 F ( x1) P{X x1}, F ( x2 ) P{X x2}, 故 F ( x1) F ( x2 ).
2. 随机变量的分类:离散型,非离散型（以 连续性为主）.
第2.3节 随机变量的分布函数
一.分布函数的概念 二.例题讲解
为了对离散型和连续型随机变量r.v
（random variable）以及更广泛类型的
r.v给出一种统一的描述方法，下面引进 了分布函数的概念.
一.分布函数的定义 设 X 是一个 r.v，称
随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因 此随机变量的取值也有一定的概率规律.
实例 1 掷一个硬币, 观察出现的结果 , 共有两种 情况: e1 (反面朝上),
e2 (正面朝上), 若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
e1 (反面朝上)
x0
其 中 0为 常 数,求 常 数A, B的 值.
解 由分布函数的性质知
F () A 1. 由分布函数的右连续性
F (0) A B 0 于是有A 1, B 1.
例2 设 X 服从参数为p的二项分布.
P{X 1} p, P{X 0} q,0 p 1, p q 1
求 X 分布函数. 解：当x 0时，P{X x} 0
(3) F () lim F ( x) 0, Biblioteka Baidu () lim F ( x) 1;
x
x
证明 F( x) P{X x}, 当 x 越来越小时,
P{ X x}的值也越来越小, 因而当 x 时,有
lim F( x) lim P{X x} 0
x
x
o
x
同样,当 x 增大时P{X x}的值也不会减小,而
P{ x1<X x2 } = P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2)-F(x1)
因此，只要知道了随机变量X的分布函 数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.
说明
(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况.
(2) 分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我 们可以用高等数学的工具来研究 随机变量.
当0 x 1时，P{X x} P{X 0} q 当x 1时，P{X x} P{X 0} P{X 1} 1
0, x 0
F (x) q, 0 x 1
1, x 1
例3 设 X 的分布律为
X
2
2
3
pk
1 4
1 2
1 4
求（1） X 分布函数，(2)P{X 1}, (3)P{3 X 5},
F(x) P(X x)
( x )
为 X 的分布函数. 记作 X ～ F(x) 或 FX(x).
如果将X看作数轴上随机点的坐标,则分布 函数F(x)的值就表示X落在区间（-, x]的概 率.
——X —x |——> x
F( x) P( X x), x
由定义，对任意实数 x1<x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 ] 的概率为：
随机变量通常用大写字母X,Y,Z,…或希腊字母,
,η, ζ,….等表示.
2.说明
(1)随机变量与普通的函数不同
随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有 着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而 随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元 素不一定是实数).
(2)随机变量的取值具有一定的概率规律
P{ X x}是不可能事件,
于是F ( x) P{ X x} 0;
当 0 x 2时, P{0 X x} kx2 ,k是常数.
由P{0 X 2} 1, 得4k 1, 即 k 1 .
因而P{0 X x} x2 .
4
4
于是
F(x) P{X x}
x2
P{X 0} P{0 X x} .
4 3
,
2 x3
4
1, x 3
（2）P{X
1}＝F (1 22
)=
1 4
(3)
P{3 2
X
5} 2
F(5 2
)-F ( 3 2
)=
3 4
-
1 4
=
1 2
(4) P{2 X 3} F(3) F(2) P{X 2} 1 3 1 3 42 4
离散型随机变量的分布函数
F ( x) P{X x} pk P(X xk ).
X (e)
0 X (e1 ) 0
e2 (正面朝上) 即 X (e) 是一个随机变量.
1 X (e2 ) 1
实例 2 在有两个孩子的家庭中,考虑 其性别 , 共有 4 个样本点:
e1 (男,男), e2 (男,女), e3 (女,男), e4 (女,女). 若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有 X (e1 ) 0, X (e2 ) 1, X (e3 ) 1, X (e4 ) 2,
2
2
2
(4)P{2 X 3}.
解（：1）当x 2时，P{X x} 0
当-2 x 2时，P{X x} P{X 2} 1
当2
x
3时，P{X
x}
P{X
2}
4
P{X
2}
3
当x
3时，P{X
x}
P{X
2}
P{X
2}
P{X
4 3} 1
0, x 2
1
,
2 x2
F
(
x)
X (, x]当 x 时, X 必然落在(, )内.
o
x
所以 lim F( x) lim P{X x} 1.
x
x
(4)
lim
x x0
F(x)
F ( x0
),
( x0 ).
即任一分布函数处处右连续. F( x)
0,
F
(
x)
p1 , p2 ,
1,
x 0, 0 x x1, x1 x x2 , x x2.
当 x 2时,
4
F( x) P{X x} 1.
故 X 的分布函数为
0,
F
(
x)
x2 4
,
1,
x 0, 0 x 2, x 2.
其图形为一连续曲线
1 p2 p1
•
•
o x1
x2
x
反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是
某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(4)是鉴
别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.
重要公式
(1) P{a X b} F(b) F(a), (2) P{X a} 1 F(a). 证明 因为 { X b} { X a} {a X b},
xk x
xk x
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P{X xk }
分布函数 F ( x) P{X x} pk
xk x
例2 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数. 解 当 x 0时,
{X a} {a X b} , 所以 P{ X b} P{ X a} P{a X b}, 故 P{a X b} F (b) F (a).
二、例题讲解
例1 已 知 随 机 变 量X在 整 个 实 轴 上 取 值,其 分 布
函数为
A Bex , x 0
F(x) {
0,