复旦固体物理讲义-14专题二：单电子近似(12.1)

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固体物理 04-02一维周期场中电子运动的近自由电子近似

0 k
2 2 k 0 Ek V 2m
固体物理
Solid State Physics
波函数和能量本征值
2 2 k 0 Ek V 2m
k E 2m
0 k
2
2
西南科技大学
固体物理
Solid State Physics
周期边界条件
1 ikx 1 ik ( x Na ) ( x) e e L L
0 k (1) k
k0 ( x ) (1/ L )eikx
波函数的一级修正

(1) k
k '| H '| k 0 k' 0 0 Ek Ek ' k'
西南科技大学
k k n(2 / a)
k | H | k V (n)
k k n(2 / a)
Ek Ek0 Ek(1) Ek( 2 ) .
Ek(1) k | H ' | k
k | V ( x) V | k
E
西南科技大学
(1) k

0 L
L
1 ikx 1 ikx e [V ( x ) V ] e dx L L
E
(1) k
1 ikx 1 ikx [ e V ( x ) e dx ] V 0 L 0 L
k | H | k 0
固体物理
Solid State Physics

(1) k
k '| H '| k 0 k' 0 0 Ek Ek ' k'
k0 ( x ) (1/ L )eikx

固体物理概念

固体物理概念简谐近似：把晶格振动看视为平衡位置附近的微小振动，体系的势能函数只取到二阶近似。

简正模：在简谐近似下，晶格的振动是由若干独立简正振动模式组成。

单电子近似：利用哈特里-福克平均场近似将多电子问题化为单电子问题，每个电子处在其它电子或离子实的平均场中。

周期性近似：指由晶体平移对称性出发，认为单电子势场为周期场。

满带：所有状态都被电子填充的能带。

空带：没有任何电子填充的能带。

价带：指价电子所填充的最高满带。

导带：最低的空带。

带隙：价带最高能级与导带最低能级之间的能量范围。

共价结合：主要是原子用电子云重叠作用，具有饱和性和方向性。

离子性结合：就是靠离子间的库仑吸引作用。

晶格：晶体中原子排列的具体形式一般是晶格。

原胞：指一个晶格最小的周期性单元。

晶列：布拉伐格子的格点可以看成分列在一系列相互平行的直线系上，这些直线系统称为晶列。

晶向：同一个格子可以形成方向不同的晶列，每一个晶列定义1个方向，称为晶向。

格波：晶格具有周期性，因而，晶格的振动模具有波的形式。

原子的负电性：是用来标志原子得失电子能力的物理量；负电性=0.18（电离能+亲和能），单位：电子伏声子：就是指格波的量子，它的能量等于q w固体的定容热容v C ：vv T E C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=，E 是固体的平均内能。

固体热容主要有两部分贡献：一是晶格热容，二是电子热容。

K 称为简约波矢：是对应于平移操作本征值的量子数，它的物理意义是表示原胞之间电子波函数位相的变化。

朗道能级：根据量子理论，在x-y 平面内的圆周运动对应一种简谐运动能量。

晶体中电子准经典运动的两个基本关系式：dtdk F k E V k=∇=)(1 倒有效质量张量：βαk k E ∂∂∂221 费米统计分布函数：11)(/+=-T k E E B F e E f ，它直接给出能量为 E 的本征态被一个电子占据的几率。

F E 具有能量的量纲，称为费米能级，等于这个系统中电子的化学势。

单电子近似和紧束缚近似

单电子近似和紧束缚近似
**单电子近似（Single Electron Approximation）** 单电子近似是一种多电子量子力学的基本近似方法，
它假定N个电子之间没有任何相互作用，分子中的所有电
子可以独立地考虑。

在单电子近似中，每个电子都受到原
子核的同时也受到其他电子已经形成的电子云的电场作
用，但不能受到其他电子的电场作用。

因此，单电子近似
可以将多电子体系的复杂性减少到N个单电子体系的复杂性，极大地简化了电子态的计算。

**紧束缚近似（Hartree-Fock Approximation）**
紧束缚近似是一种基于Hartree-Fock理论的多电子体系的近似方法，它假设原子内的电子态的波函数是由一组
不相交的单电子波函数组成的，并且原子内的电子间的相
互作用可以通过一组交换-积分来表示。

它将多电子体系的
复杂性减少到N个单电子体系的复杂性，忽略了电子间的
相互作用，从而简化了电子态的计算。

固体物理(第14课)能带理论

i k Rn
根据布洛定理，有 k ( r Rn ) e e e 因而有：
k (r)
e uk ( r ) uk ( r )
i k Rn i k r i k ( Rn r )
uk ( r Rn ) uk ( r )
i k r
上式表明，在周期场中运动的单电子，其能量本征函数
l1、l2、l3 Z
为了确定本征值，引入玻恩-卡门边界条件
( r ) ( r N1a1 ), ( r ) ( r N 2a2 ), ( r ) ( r N 3a3 ),
N1
N N1 N 2 N 3
( r N1a1 ) T1 ( r ) 1 ( r ),
(r) u(r) eikr
比较
势场为0
正离子
周期势场正离子
电子波函数
周期性势场
势场中电子的波函数
6.1.1 布洛赫定理的证明
平移对称性
晶体势场的周期性是晶格平移对称性的反映，即晶格在平移对称操作下是不变的。 T(Rn)平移算符表示使r到r+Rn的平移操作相当的算符。其意义是使T(Rn)作用在任意函数f(r)上产生新的函数 f(Rn+r)。 T(Rn) f(r)= f(Rn+r) 晶体中的平移算符共有N1×N2×N3种平移算符彼此对易，即：
k ( r N1a1 N 2a2 N 3a3 ) eik( N a N a N a ) k ( r ) 因此有：N1a1 N 2a2 N 3a3 2 n
1 1 2 2 3 3
l1 l2 l3 而此仅当 k b1 b2 b3 N1 N2 N3 时才能满足。

固体物理三大近似

固体物理三大近似
标题：固体物理中的三大近似
正文：
固体物理是研究固态物质中原子、分子和离子的运动和相互作用的学科。

在研究固体物理时，科学家们常常依赖于一些近似方法来简化问题，以便更好地理解和描述固体的行为。

本文将介绍固体物理中的三大近似方法。

第一大近似是周期性势场下的自由电子模型。

在固体物理中，原子核和电子之间的相互作用可以近似为周期性势场（晶格）中的自由电子。

这个模型假设电子之间几乎没有相互作用，只受到晶格的平均势场的影响。

通过这个近似模型，科学家们可以简化计算，更好地理解固体中电子的行为，如导电性、热导性等。

第二大近似是布洛赫定理。

布洛赫定理是固体物理中描述电子在晶格中运动的重要定理。

根据布洛赫定理，电子在晶格中的波函数可以表示为平面波和周期性函数的乘积形式。

这个近似方法有效地将
电子的波函数描述为受到晶格周期性势场的平面波的叠加，从而简化了电子在晶格中的运动分析。

第三大近似是有效质量近似。

在固体物理中，电子通常受到晶格势场的束缚，其行为可以类比为自由粒子在真空中的行为。

为了更好地描述这种行为，科学家们引入了有效质量的概念。

有效质量是描述电子在晶格中运动时所表现出的“质量”，其与电子在真空中的质量不同。

通过应用有效质量近似，科学家们可以将具有晶格势场影响的电子行为简化为具有自由粒子行为的问题，从而更好地研究固体的性质。

综上所述，固体物理中的三大近似方法分别是周期性势场下的自由电子模型、布洛赫定理和有效质量近似。

这些近似方法为科学家们提供了简化问题、更好地理解和描述固体物理的手段，促进了固体物理研究的进展。

固体物理--近自由电子近似和能带电子的经典近似

由N个原子组成的一维晶格，基矢为a。晶格周期势U(x) 作傅里叶级数展开：
U( x) U 0 um e
m 0
U0：等于势场的平均值，即 U 0 U ( x)
mx i 2 a
1 U ( x )e um：展开系数，即 um L0

L
i 2
mx a
dx
近自由电子势场（一维）-2
(0) (1)
ˆ (1) k k' H
1 ikx e 1 ' 2 L m 2me
1 ikx e ' 2 L m 2me
1 e 2 2 L 2 k (k m ) a
2 im x um a e 2 2 2 k ( k m ) a
1 ikx ( 0) k e (0) ( 0) k' L k ' E k Ek '
只考虑k(0)和满足Ek(0)=Ek’(0)的k’(0)两项，其它波函数因影响较小，忽略不计。波函数可写成：
ˆ (1) k k' H
( x) a k(0) b k(0)
'
2 2 d ˆ H U ( x) 2 2 me dx
有解条件
Ek( 0) E um
2
* um 0 ( 0) Ek ' E
E
( 0) k
E E

( 0) k'
E um 0

1 ( 0) 2 ( 0) ( 0) ( 0) 2 E ( Ek Ek ' ) ( Ek Ek ' ) 4 um 2
ˆ H ˆ H ˆ' H 0

复旦固体物理

1. 加热金属时，热电子将从金属表面被发射，热电子流密度由查逊-杜师曼方程：
确定，其中Jx 为发射电子流密度，W 为功函数(逃逸出体外电子所需能量)。

试用自由电子气模型，对发射出体外的热电子采用经典统计
a.求系数A=？
b.并讨论，为什么逃逸出体外的电子可以用经典统计？
解：
a ．经典情况：
E =12
mv 2 逸出体外的电子满足：
E =12
mv x 2>W 即：
v x >√2W m
利用经典M-B 统计可以得到：
dn =2(m 2πℏ
)3e −mV ⃗ 22kT dv
J x =2(m 2πℏ)3∫dy ∫dz +∞−∞∫−ev x e −mv
⃗⃗ 22kT dx +∞√2W m +∞−∞ =⋯=−4πmk 2e 2πℏT 2e
−W 2kT 对比可以得到：
A =−4πmk 2e (2πℏ)3
2. 用无限深势阱代替周期性边界条件，即在边界处有无限高势垒，试确定：
(1) 波矢k 的取值和k 空间状态密度
(2) 能量空间状态密度
(3) 零温度时的费米能级和电子气总能
(4) 电子出现在空间任何一点的几率
(5) 平均动量
(6) 问：由上面这些结果，无限深势阱边界条件与周期性边界条件的解有什么
不同？两种边界条件的解的根本差别在哪里？用哪个边界条件更符合实际情况？更合理？为什么？
解：(1) 容易得到无限深势阱内波函数的形式为：。

能带理论(1)(单电子近似和Bloch定理))

H E T1 1 , T2 2 , T3 3
根据晶格运动的周期性边界条件，
利用所以同理
(r (r
) )
(r (r
N1a1 ) N2a2 )
(r) (r N3a3)
(r N1a1) T1N1 (r) 1N1 (r)
2 i l1
1 e , N1
2 i l2
2 e , N2
为了描述晶格的平移对称性，引入平移算符T1, T2, T3.
T f (r) f (r a ), 1, 2, 3
其中a1, a2, a3 为晶格的三个基矢。平移算符T1, T2, T3是相互对易的。
TT f (r) T f (r a ) f (r a a ) TT f (r)
TT TT 0
的运动 • 单电子近似
多电子单电子
• 如何描写电子之间的相互作用？ • 单电子在所有电子的平均势场作用下运动
* 电子的平均势形式上与原子核势一样，也具有同样的周期性 * 满足Schordinger 方程
2 2 2m
V (r)
E
V 基础 • 针对周期性结构 • 描写晶体（周期性势场）中的单电子运动
固体电子论（II)：能带理论
电子共有化固体具有大量分子、原子或离子有规则排列的点阵结构。
电子受到周期性势场的作用。
解定态薛定格方程(略），可以得出两点重要结论：
１.电子的能量是量子化的; ２.电子的运动有隧道效应。
原子的外层电子(高能级)，势垒穿透概率较大，电子可以在整个固体中运动, 称为共有化电子。
• 常数因子k的物理意义就与波矢联系起来
推论二
• 如果k改变一个倒格矢Km ，
那么
K m h1b1 h2b2 h3b3

固体物理中,能带论的三个近似

固体物理中,能带论的三个近似1.引言1.1 概述固体物理是研究固体材料中原子或分子的行为和性质的学科领域。

能带论是固体物理中一个非常重要的理论，它描述了电子在晶体中的能量分布及其行为规律。

能带论的三个近似是固体物理中非常重要的概念。

第一个近似是关于能带的定义和特点。

能带是指具有相似能量的电子态的集合。

在固体中，原子间的相互作用引起了电子的周期性排列，形成能带结构。

能带结构决定了电子能量的分布及其在固体中的运动方式。

根据波尔兹曼统计，能带中的电子填充情况将影响固体的导电性、磁性等物理性质。

第二个近似是关于周期势场下的能带结构。

周期势场是指固体中原子间的周期性排列造成的电子受到的平均势场。

在周期势场下，电子的行为将受到布洛赫定理的约束，即电子波函数在晶格周期性重复。

这样，能带结构就可以通过布洛赫定理进行简化描述，从而得到电子能量与波矢的关系。

第三个近似是近自由电子近似。

近自由电子近似是指在某些特定材料中，电子在晶格势场下的运动表现出类似自由电子的行为。

在近自由电子近似下，电子的能量分布可以用简单的能带模型来描述，以及电子的运动类似于自由电子在真空中的运动。

这种近似计算方法在一些金属或导体中得到了广泛应用。

综上所述，能带论的三个近似是固体物理中不可或缺的工具，它们对于解释和预测固体材料的性质具有重要意义。

本文将对这三个近似进行详细的介绍和分析，并展望能带论在未来的发展和应用前景。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为三个主要部分，分别是引言、正文和结论。

每个部分将有不同的子节，以便深入探讨和解释固体物理中能带论的三个近似。

引言部分将提供对整篇文章的概述，阐明本文的目的和重要性。

我们将简要介绍固体物理领域中的能带论及其在研究材料性质和电子行为上的重要性。

同时，引言还将展示本文的结构，介绍每个部分的主要内容及其相互关系。

正文部分将详细讨论能带论的三个近似。

第一个近似部分将探讨能带的定义和特点，以及简化的布洛赫定理。

固体物理复习纲要

固体电子学导论纲要1.第一章1理解自由电子气体模型的意义（1）自由电子气体模型：○1自由电子近似：忽略电子和离子实之间的相互作用。

○2独立电子近似（单电子近似）：忽略电子和电子间的相互作用。

○3弛豫时间近似：讨论输运现象时引进的。

（2）模型的意义：自由电子气体模型是有关金属的最简单的模型。

金属，特别是简单金属的许多物理性质可以通过它得到相当好的理解。

它可以解释金属作为电和热的良导体的原因（可以解释金属遵从欧姆定律，电导率和热导率成线性关系，)(ωσ的低频段行为，以及金属对可见光高的反射率等）。

2掌握单电子的基态性质单电子的状态用波函数)(r ψ描述rk i eVr∙=1)(ψ电子能量为22222122)(mv m p m k k === ε其中λπ2=k3理解自由电子气体的简并在统计物理学中，体系与经典行为的偏离，常称为简并性。

在0=T 时，金属自由电子气体是完全简并的。

由于F T 很高，在室温下，电子气体也是高度简并的。

4理解费米面、费米能级在k 空间中把占据态和未占据态分开的界面叫做费米面。

k 空间中的态密度为381πV k =∆ 费米面上单电子态的能量称为费米能量。

mk FF 222 =ε其中费米波矢n k F 233π=。

另费米动量F F k p =，费米速度m k v F F =，费米温度BF F k T ε=（B k 为波尔兹曼常量）。

5理解自由电子气体的热性质温度0>T 时，电子在本征态上的分布由费米-狄拉克分布函数给出11/)(+=-T k i B i e f με其中i f 是电子占据本征态i ε的几率，μ是系统的化学势。

])(121[22FB F T k επεμ-=电子比热FBV T T nk T C 22πγ== 6了解顺磁性简而言之：电子自旋产生磁场，分子中有不成对电子时，各单电子平行自旋，磁场加强。

这时物质呈顺磁性。

7理解准经典模型在自由、独立电子近似的基础上，进一步假定： ○1电子会受到散射，或经受碰撞。

固体电子近自由电子近似优秀课件

a
时不为零，此时：
k'H ˆ(1) kL 1L 0U(x)ei2m axdx um
8
证明：
1
L
Lei(kk')xU(x)dxum
0
0
k'km2π a
k'km2π
a
当 k'k m2π
a
L 10 Lei(k k')xU (x)d xL 10 Le i m 2 a xU (x)dxu m
当 k'k m2π
固体电子近自由电子近似优秀课件
紧束缚近似适用于近邻原子波函数相互交叠较小，电子在一个原子附近，主要受到该原子势场作用的情形。因此特别适用于固体内层电子。
紧束缚近似模型中，以孤立原子势场作为零级近似，其它原子势场的作用作为微扰项。
金属的价电子很容易脱离原子核的束缚，其行为很接近自由电子，主要受到一个起伏很小的晶格周期势场的作用。此时，紧束缚近似不再是一个好的近似，因为此时价电子并不是束缚在原子附近，孤立原子的电子轨道不是好的零级近似。需采用近自由电子近似。
单电子哈密顿算符记做：
H ˆ 2 d2 U(x) 2me dx2
令：
H ˆ(0)
2
2me
d2 d x2
U0
则有：
H ˆ(1) U(x)U0
i2mx
ume a
m0
H ˆH ˆ(0)H ˆ(1)
当周期势场的起伏很小时（近自由电子近似的适用条件）， H(1)代表周期势场的起伏，比起H(0)来很小，可以作为微扰项。
当 k 取值 m/a 附近时，在 -m/a 附近有一状态，二者相差 m2/a，能量又非常接近，简并微扰的结果使原来能级高的更

固体物理晶体中的电子状态

波函数： uk reikr 布洛赫函数
能量：一个能级列变为一个能带。
单电子近似（准自由近似和紧束缚近似），又称为能带论
5.5晶体中电子的准经典运动
在量子力学中晶体中布洛赫电子的运动由波包来描述。所谓波包由空间分布在r0附近的Δr 范围内，波矢取值在k0附近的Δk范围内的布洛赫电子态组成,ΔrΔk必须满足不确定关系。一般Δk必须小于第一布里渊区的线度，这样Δr 必须远大于晶体原胞的线度，只能在这个线度内，布洛赫电子可以看作经典粒子。
净电流为0，不导电
施加外电场
k轴上各点均以完全相同的速度移动，电子在布里
渊区中不再分布对称，电流密度不能完全抵消。
净电流不为0，参与导电
不满带导电
F
不满带导电
三、导体和非导体模型
实际晶体中，电子从低到高填充能带，形成一系列的满带。最外层价电子填充的能带，称为价带。
导体：价带是不满带。非导体：价带也是满带。
三种近似方法：
1. 自由电子近似：（适用于金属晶体）
波函数： Aeikr 能量：E 2k 2 准连续
2m
2. 准自由电子近似：（适用于晶体中原子的外层电子）
波函数： uk reikr 布洛赫函数
能量：准连续的能量在布里渊区边界突变，分裂为能带。
3. 紧束缚近似：（适用于晶体中原子的内层电子）
有效质量大
k
x
kx
曲率愈小，有效质量愈大；曲率愈大，有效质量愈小。
2. 有效质量有正、有负
能带底部，d 2E
dk 2
0,m*
0
能带顶部，d 2E 0,m* 0
dk 2
m*
m* 2
d2E dk 2
k
x

复旦大学《固体物理学》习题1及答案

固体物理习题参考答案1.尝试用Drude模型推导焦耳定律W=RI2解：记电子在两次碰撞之间经过的距离为l,导体横截面为S,总电子数为N,则R=lσS,I=jS.在Drude模型中j=−env,结合j=σE得到：j2=−envσE,因此nEv=−j2σe.因此，W=NF v=−nSleEv=Sle j2σe=Slj2σ=RI2此即焦耳定律。

2.用无限深势阱代替周期性边界条件，即在边界处有无限高势垒，试确定：(1)波矢k的取值和k空间状态密度(2)能量空间状态密度(3)零温度时的费米能级和电子气总能(4)电子出现在空间任何一点的几率(5)平均动量(6)问：由上面这些结果，无限深势阱边界条件与周期性边界条件的解有什么不同？两种边界条件的解的根本差别在哪里？用哪个边界条件更符合实际情况？更合理？为什么？解：(1)容易得到无限深势阱内波函数的形式为ψ(x,y,z)=A sin(k x x)sin(k y y)sin(k z z)其中,k i=n iπL,i=x,y,z;n i=±1,±2,±3,···由边界条件给出。

归一化波函数得到A=√8L3=√8V.由于每个状态在k空间所占的体积为∆k=π3/V,所以k空间状态密度为1∆k =Vπ3.(2)能量E到E+d E之间的状态数为d N=2×Vπ34πk2d k而d E= 22m2k d k→d k=(m2 2)1/21√Ed E所以d N=4Vπ2(2m2)3/2√E d E.能量空间状态密度为D(E)=d Nd E=4Vπ2(2m2)3/2√E.(3)状态密度积分得到电子总数∫E0F 04Vπ2(2m2)3/2√E d E=N.所以费米能级可表示为E0F =28m(3π2n)2/3,其中n=N/V。

因此系统总能量为∫E0F 04Vπ2(2m2)3/2E√E d E=35E0FN.(4)电子出现在空间任意一点的几率为|ψ(x,y,z)|2=8Vsin2(k x x)sin2(k y y)sin2(k z z).(5)电子x方向的平均动量为（y,z方向类似）<p x>=∫L0∫L∫Lψi∂ψ∂xd x d y d z=√2Ln xπi∫Lsinπn x xLcosπn x xLd x=0.(6)讨论驻波解：（a）驻波解不是动量算符的本征解。

固体物理复习提纲1

固体物理复习提纲（Part 1）- 自由电子气体模型部分1. 什么是自由电子近似？2. 什么是独立电子近似（或单电子近似）？3. 什么是弛豫电子近似？4. 什么是周期性边界条件？它使得k 矢量的取值离散化，具体的k 矢量表示式是什么？5. 什么是k 空间？k 空间中离散的点代表什么？6. 如何计算k 空间中单位空间内单电子态（考虑自旋性质）的个数？7. 如何计算自由电子气体密度（单位体积内自由电子的个数）？8. 自由电子气体的单电子态的本征能量与k 矢量的关系是什么？9. 如何计算自由电子气体的单位能量间隔内的态密度？10. 温度0T K =情况下，电子如何占据自由电子气体体系的单电子态的？依据的原理是什么？11. 温度0T K =情况下，自由电子气体体系的费米能量F E 表示什么界限？F E 与单个电子平均能量的关系是什么？12. 如何计算温度0T K =情况下，自由电子气体体系的总能量？13. 温度0T K >情况下，电子按何种分布函数占据单电子态？写出该分布函数的标准形式。

并重新认识其中的费米能量F E 表示的含义。

14. 简要指出费米分布与波尔兹曼分布的适用体系和之间的关系。

15. 体系的化学势近似等于费米能量F E ，从这一观点出发，平衡态下的任意体系应该有统一的费米能量F E ，由此结论请描述粒子扩散现象。

16. 如何计算温度0T K >情况下，自由电子气体体系的总能量？写出精确计算的积分公式。

17. 如何计算温度0T K >情况下，自由电子气体体系的电子数密度？写出精确计算的积分公式。

18. 索末菲展开式是用于计算什么积分的？19. 怎样通过实验测定电子气体的比热系数γ，从而验证电子气体比热V C T γ=，而不是经典的杜德模型理论预计的32V B C k =，如何用索末菲的自由电子气体模型解释杜德模型的失误？20. 为什么在解释欧姆定律过程中，要引入弛豫电子近似？。

固体物理讲义-第二章(第一和第二节)

弧线为 ω = 2(
β
M
1
) 2 sin
qa ；直线为 ω=Vq。 2
长波极限和短波极限下的原子位移示意图：
q 趋于 0, λ>>a
q 趋于 π/a, λ=2a
两种极限情况下，相邻原子的相对运动情况不同。
(3)格波的相速度(Vp)和群速度(Vg)。两种速度存在不同的物理含义：相速度(Vp)是特定频率为ω，波矢为q的纯波 (单色波)的传播速度；而群速度(Vg)描述平均频率为ω，平均波矢为q的波包(复色
23
《固体物理学》
第二章晶格振动和固体比热
利用欧拉公式： eiθ + e −iθ = 2 cos θ 和 1 − cos θ = 2sin 2
θ
2
ω2 =
2β 4β qa (1 − cos aq ) = sin 2 ( ) M M 2 1 β qa ⇒ ω = 2( ) 2 sin M 2
可以看出上式与n无关，表明n个联立方程都归结为同一个方程。只要ω和q 之间满足上式，就表示上式为联立方程的解。通常把之间的关系称为色散关系。一维单原子链的色散曲线：
X m = Aei ( qma −ωt )
(2)格波波长：
= Aei ( qma + 2π −ωt ) = Aei ( qna −ωt ) = X n ; λ = 2π q
24
《固体物理学》格波与连续介质波的差别：
第二章晶格振动和固体比热
X = Aei ( qx −ωt ) ，式中，连续介质波中 x 表示空间的任一点，而在格波中只
U'= 1 2 β ∑ ( X n − X n +1 ) ， β = u "( a ) ， u ( x ) 表示一维原子链中距离为x的两原子 2 n

复旦固体物理讲义-14专题二：单电子近似(12.1)

8
• 代入后，令E=ΣEi, 分离变量后即可得单电子方程 ˆ r E r H
i i i i
• 形式上这就是单电子方程。可是，如果有交叉项不可能这样分离变量，但依然可以认为 Hartree波函数仍是一个好的近似，或说多电子波函数可用它展开，代入多多电子方程后，已用原子单位
* 形式上，分子分母乘以同样的项，就可以改写
Vex r j r dr '
j i
* i r ' j r '
r r'
j r
* ' ' * r r j r j i i r dr ' i r * r r ' i r i r j i
• Hartree-Fock方程就成为
2 V r i* r ' j r ' * r r j i i r E i r r ' r ' d d * r r' r r ' i r i r j i i
E ' ' H ' ' H ' H V 'V E dr r v' r vr
E ' E dr r v' r vr
• 同理，对v (r)，有
E H ' H ' ' H 'V V ' ' E ' dr r vr v' r
1 rN , 2 rN ,..., N rN
• 这就是Fock对此修正：交换行列式任何两行，行列式变号满足交换反对称。这个行列式称为Slater行列式 • 用这个行列式计算能量的期待值，用变分法，最终可得到Hartree-Fock方程

【精品课件】单电子近似的理论基础

?按变分原理的选取e达到极小?正交归一条件?单电子方程???动能?原子核对电子形成的势能?其余nn11个电子对jj电子的库仑作用能?自洽求解hh22he计算与实验相符
第五章关联
5.1 单电子近似的理论基础 5.2 费米液体理论 5.3 强关联体系
多电子体系(After Born-Oppenheimer 绝热近似):
构建N电子系统总体波函数 (q1,q2 ,..., qN )
1. Hartree方程(1928)
连乘积形式： q1 ...qN 1 (r1 ) r2 N rN
E H j

* j
r1

2 2m
12
Vj
rj
j
r1 d r1
e2 8 0 j' j
2
j r1
1
2
j' r2 d r1d r2
r1 r2
按变分原理， j q j 的选取E达到极小

N

H j i | j 1 0
j : Lagrang乘子
* j
(
r
)
j
(
r
'
)
* j'
(
r
'
)
j'
(r
)
sjsj'
1.第二项j,j'可以相等，自相互作用 2.自相互作用严格相消（通过第二，三项） 3.第三项为交换项，同自旋电子
通过变分: 么正变换:

H
jj'

* j

j
'

第四章固体能带论固体中电子的状态和能谱

而在考虑到V之后，这种简并消除了，从而孤立原子中的一个能级Eat 分裂成N个能级,组成固体的一个能带。因 N 很大，在能带内相邻能级之间的距离十分小，约为 10 － 28eV 数量级，因而带内能级分布是准连续的。
孤立原子的能级和固体的能带有以下三种情况：
1.能级和能带一一对应
外层电子能带较宽，内层电子轨道重叠的少，能带就较窄。
2．能带交叠，例如钠的能带
3．先交叠再分裂，例如金刚石结构
金刚石结构的s带和p带交叠SP3杂化后又分裂成两个带，这两个带由禁带隔开，下面的一个叫价带，相应成态键。每个原子中的4个杂化价电子形成共价键。上面的一个带叫导带，在绝对零度时，它是空的，没有电子填充。
第四章
固体能带论
固体中电子的状态和能谱
基本近似：
1．绝热近似：
由于原子实的质量是电子质量的103～105 倍，所以原子实的运动要比价电子的运动缓慢得多，于是可以忽略原子实的运动，把问题简化为n个价电子在N个固定不动的周期排列的原子实的势场中运动，即把多体问题简化为多电子问题。
2．单电子近似：
原子实势场中的n个电子之间存在相互作用，晶体中的任一电子都可视为是处在原子实周期势场和其它（n－1）个电子所产生的平均势场中的电子。即把多电子问题简化为单电子问题。
需求解单电子定态薛定谔方程：
2 2m
2＋[E－V(r)]＝0
（4－1）
其中V(r)=V(r+Rn), 其中Rn为正格矢，所以能带论即是周期场中的单电而产生的相互作用使原子能级的简并消除，是固体中出现能带的关键。
孤立原子中电子的定态薛定谔方程为
2 2at＋（Eat－Vat）at＝0 2m
其中 Vat为孤立原子中电子的势能函数。这个方程的解为Eat ，at。晶体中的单电子定态薛定谔方程为

§3.1 单电子近似

应用单电子近似理论得出的结论:
应用单电子近似来研究晶体中的电子运动，得出的结论是，晶体中电子许可的能量状态，既不是象孤立原子中分立的电子能级，也不是象在无限空间中的自由电子平面波所具有的连续能级，而是由在一定范围内准连续分布的能级组成的能带；在相邻的两个能带之间的能量范围称为禁带；对于理想晶体来说，电子的能量不可能处于禁带之中。应用单电子近似方法来处理晶体中电子能谱的理论，称为能带论。
§3பைடு நூலகம்1
单电子近似
在晶体中包含有大量的粒子和电子，它们之间存在着相
互作用。每一个电子的运动都受到粒子和其他电子的影响，因而不是自由的。我们要研究电子的运动，必须把这种相互作用考虑进去。同时，每一个粒子的运动也不是独立的。所以，要研究一个电子的运动，原则上说，应把整个晶体作为一个体系统一加以考虑。也就是说，必须同时列出所有粒子和电子的薛定锷方程，并求出它们的解。这是一个非常复杂的多体问题，要算出它们的严格解是很困难的。
第二步是利用所谓自洽场，把多电子问题简化为单电子问题。我们就可以把每一个电子的运动分开来单独加以处理，认为每一个电子都是在固定的粒子势场和其他电子的平均场中运动。电子应遵从的薛定谔方程是：
[
2
V ( r )] ( r ) E ( r )
2
2m
上部表示一个孤立粒子的势场。下部表示粒子等距排列成为一维晶体后，各粒子势场（虚线）迭加形成的势场（实线）。
通常采用单电子近似方法把多体问题简化为单电子问题，这种近似方法包括两个步骤：
第一步是所谓绝热近似。由于电子的质量比粒子的质量小得多，电子的运动速度比粒子的运动速度快得多，相对于电子的运动来说，粒子好象是静止不动；因此，在研究电子的运动时，可以认为粒子都固定在各自的平衡位置上。这样，就等于把电子的运动和粒子的运动分开来考虑，认为两者之间不交换能量，所以称为绝热近似。采用这种近似以后，就把一个多体问题简化为一个多电子的问题。在进一步的研究中，可以把粒子的运动，即晶格振动对电子运动的影响，作为微扰来处理。这种微扰引起电子的跃迁和散射。

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