复旦固体物理讲义-18能带计算方法简介
《固体能带理论》课件
导带、价带、禁带等，导带与价带之 间的区域称为能隙，决定了固体是否 导电。
能带结构的形成
原子轨道重叠
固体中的原子通过轨道重叠形成分子轨道，进一步形 成能带。
周期性结构
固体中的原子按照一定的周期性排列，导致能带结构 的周期性。
电子相互作用
电子之间的相互作用会影响能带结构，包括电子间的 排斥力和交换力等。
量子场论和量子力学
与量子场论和量子力学的结合，将有助于更全面地描述和理解固体中的电子行为 和相互作用。
谢谢聆听
新材料的设计与发现
拓扑材料
随着拓扑学的发展，将会有更多具有独特电子结构和性质的拓扑材料被发现， 为新材料的设计和开发提供新的思路。
二维材料
二维材料具有独特的物理性质和结构，未来将会有更多新型二维材料被发现和 应用。
与其他理论的结合与发展
强关联理论
固体能带理论与强关联理论的结合，将有助于更深入地理解强关联体系中的电子 行为和物理性质。
电子在能带中的状态
01
02
03
占据电子
价带中的电子被原子轨道 上的电子占据，导带中的 电子较为自由。
热激发
在温度较高时，价带中的 电子可以被激发到导带中 ，形成电流。
光电效应
光照在固体表面时，能量 较高的光子可以使价带中 的电子激发到导带中，产 生光电流。
03 固体能带理论的的基本方程，描述 了电子密度随时间和空间的变化 。
02
交换相关泛函
03
自洽迭代方法
描述电子间的交换和相关作用的 能量，是密度泛函理论中的重要 部分。
通过迭代求解哈特里-福克方程 ，得到电子密度和总能量，直至 收敛。
格林函数方法
格林函数
《固体物理能带理论》课件
探索禁带宽度
禁带宽度的影响
深入探究禁带宽度对材料性质的 影响，介绍如何利用禁带宽度调 控材料性质。
直接/间接带隙
介绍直接带隙和间接带隙的概念 和特点，以及如何通过调控禁带 宽度实现它们之间的转换。
量子点
了解量子点的概念及其在光伏、 光催化、发光等方面的应用。
电子在周期势场中的行为
布拉歇特条件
探究布拉歇特条件的作用和意义，以及如何通过布拉歇特条件来理解材料导电性。
电子自旋
介绍电子自旋的概念和特点，以及在磁性材料中的重要作用。
量子霍尔效应
了解量子霍尔效应的概念和特点，以及其在电子学、自旋测量等方面的应用。
应用能带理论
1
太阳能电池
探究太阳能电池的原理和构造，以及如
半导体激光器
2
何利用能带理论来提高太阳能电池的性 能。
介绍半导体激光器的原理和构造，以及
如何通过能带理论来优化激光器的性能。
《固体物理能带理论》 PPT课件
通过本PPT了解固体物理能带理论，理解能带的概念和特点，并探究能带理论 在实际应用中的应用。
什么是固体物理能带理论？
晶体的电子结构
介绍晶体的基本结构和存在能带 的原因，以及能带分布的规律。
能带、狄拉克相对论
进一步探究能带的特点及其与材 料导电性的关系，介绍狄拉克相 对论的意义。
Bloch定理和能带图
介绍Bloch定理的作用，以及如何 通过能带图来描绘材料的电子结 构。
深入理解价带和导带
价带的物理意义
介绍价带中电子的特征和性 质，并探讨不同能级之间的 关系。
导带的物理意义
深入剖析导带中的电子行为， 介绍电子元件中导带的作用。
轻重空穴带
固体物理基础-能带理论
e j 1 j i 4 0 ri r j
NZ
1
2
NZ ve ri i 1
1 ve ri 2
e2 j 1 j i 4 0 ri r j
NZ
1
2）单电子近似
• 电子体系的哈密顿量变为：
ˆ T Rm Rn r Rm Rn r 又 ˆ T ˆ r r T R Rm Rn m Rn Rm Rn Rm Rn 将Rn =e Rn 带入得 Rm Rn = Rn + Rm , 仅当 是Rn的线性函数 时满足，因此取 Rn =k Rn , 则
Bloch定理说明
ik Rn r Rn e r
i k r k r e uk r , uk r Rn uk r
用Bloch波函数描述的电子，或遵从周期势单电子薛 定谔方程的电子，称为Bloch电子； 布洛赫波的特征：周期性条幅的平面波；当平移晶 ik R 格矢量 ������ ������ 时，波函数只变化一个相位因子 e n • 表明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相 位因子，波函数的大小相同，所以电子出现在不同 原胞的对应点上几率是相同的。这是晶体周期性的 反映。
将使矢量 ������ 平移 ������ ������ ，即
ˆ f r f r R T n Rn
各平移算符之间互相对易
ˆ T ˆ f r T ˆ f r R f r R R T m n m Rn Rn Rm ˆ T ˆ f r T ˆ f r R f r R R T n m n R R Rm m n ˆ T ˆ f r T ˆ T ˆ f r T ˆ T ˆ T ˆ T ˆ T Rm Rn Rn Rm Rm Rn Rn Rm ˆ ,T ˆ 0 T Rn Rm
固体能带理论简介
k ( x) eikxuk ( x)
uk ( x) 是周期等于晶格常数
a 的周期函数 uk ( x) uk ( x na)
9
这一结果称为布洛赫定理
证明布洛赫定理 势场具有周期结构,则电子概率密度具有相同的周期性,即
| k ( x) |2 | k ( x a) |2
则:
4
•隧道效应：
晶体是由大量原子有规则 地排列形成的,晶体中包含 着大量的离子,如正离子和 电子,它们之间存在着相互 作用。 离子实
u (r )
r0
f (r )
r
r0
单个正离子 的库仑势
r
各离子的库仑势场迭加形 成周期势场，这个势场是 由一系列势垒组成的。
各库仑势叠加
成的周期势
5
离子实
单个正离子 的库仑势
28
六. 固体能带与原子能级
设想组成晶体的N个原子原来都是孤立存在的，都处于某一能 级，具有相同的能量，当它们靠拢来形成晶体时，每个原子中 的电子不仅受到本身正离子或原子核的作用，还要受到其它正 离子或原子核的作用，这些相互作用都具有相应的能量，电子 原来（原子孤立时）的能量状态就发生了改变，原来的一个能 级就分裂为非常接近的N个。 原子能级分裂成能带。如图。 能带是从原子能级分裂（或 称展宽）而成的，因此表示能 带时常沿用分裂前原子能级的 名称，如 s, p, d , 带
正是能带论，导致了电子科学与技术学科的形成和发展。
1
“能带理论”:是一个近似的理论。在固体中存在着 大量的电子，它们的运动是相互关联着的，每个电 子的运动都要受其它电子运动的牵连，这种多电子 系统严格的解显然是不可能的。 “能带理论”:是单电子近似的理论，就是把每个电子 的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。
固体物理学：第四章 能带理论
能量本征值的计算 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合，晶体中
的电子的波函数按此函数集合展开。
将电子的波函数代入薛定谔方程，确定展开式中的 系数应满足的久期方程，求解久期方程得到能量本征 值。
电子波函数的计算
根据能量本征值确定电子波函数展开式中的系数, 得到具体的波函数。
能带理论是研究固体中电子运动的主要理论基础。 能带理论对固体中电子的状态进行了较为精确的物理 描述，成功地解释了固体的导电性，所以它一直是固 体物理学的核心部分之一。
(#) (#)中
能带理论是用量子力学研究固体中电子的运动规律，把原 本复杂的多体问题经过一定的近似处理后，转化为一个电子在 周期性势场中的运动，晶体中其它所有电荷的影响均可以用此 单电子的周期性势场来概括。有时也称能带理论为固体的单电 子理论。
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后，能 带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
例如，1ｓ、2ｓ能带，最多容纳 2N个电子。
2ｐ、3ｐ能带，最多容纳 6N个电子。
电子排布时，应从最低的能级排起。
能带理论强调了共有化的价电子以及在波矢 空间中的色散关系，在解释实验现象和预测物理 性质方面都取得了可观的成功。说明了导体、非 导体的区别，是研究半导体理论问题的基础，推 动了半导体技术的发展。
能带理论是一个近似理论，存在着一定的局限性。
注意:能带理论的局限性
1. 一些过渡金属化合物晶体 价电子的迁移率小, 自由程与晶格间距相当, 电
子不为原子所共有, 周期场失去意义，能带理论不适 用了。
2.非晶态固体 非晶态固体和液态金属只有短程有序，两种物质的电
子能谱显然不是长程序的周期场的结果。
固体物理课件第四章：能带理论能带理论(1)
需要指出的是：
在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的，这 是由于人们对固体性质的研究首先是从晶态固体开始的。而周 期性势场的引入也使问题得以简化，从而使理论研究工作容易 进行。所以，晶态固体一直是固体物理的主要研究对象。然而，
系统的哈密顿量可以简化为NZ个电子哈密顿量之和：
N 2 1 Ze2 ˆ H i2 ue (ri ) i 1 2m n 1 4 0 ri Rm NZ
因此可以用分离变量法对单个电子独立求解（单电子近似）。 单电子所受的势场为：
T T f r
TT－ T T 晶格周期性：
2 2 T Hf r T r U r f r 2m 2 2 r a U r a f r a 2m
{
H r E r
其中 是平移算符 T 的本征值。为了确定平移算符的本征 值，引入周期性边界条件。
设晶体为一平行六面体，其棱边沿三个基矢方向，N1，N2和N3 分别是沿a1，a2和a3方向的原胞数，即晶体的总原胞数为 N ＝N1N2N3 。
周期性边界条件：
r r N a
i k Rn k r Rn e k r
它表明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相位因子
e
i k Rn
，它不影响波函数的大小，所以电子出现在不同原胞的
对应点上几率是相同的。这是晶体周期性的反映。
Bloch 定理：
周期势场中 的电子波函 数必定是按 晶格周期函 数调幅的平 面波。
《固体物理基础教学课件》第4章-能带理论
第 四 章 固体的能带
能带重叠示意图
金刚石的能带
2021/6/20
钠的能带
第 四 章 固体的能带
电子在周期性晶格中的运动，电子共有化，受到 周期性势场的作用。
孤立原子中电子的 势阱
2021/6/20
势垒
电子能级
+
第 四 章 固体的能带
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论： [ 2 2 V (r)] E
第 四 章 固体的能带理论
§4.1 能带理论简介 §4.2 固体的能带 §4.3 导体和绝缘体 §4.4 推导能带的近似思想 §4.5 布洛赫定理
2021/6/20
第 四 章 固体的能带理论
研究固体中电子运动的主要理论基础 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点 说明了导体、半导体及绝缘体的区别 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距 提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体
为什么把空带或不满带称为导带？ 因为只有这种能带中的电子才能导电。
2021/6/20
第 四 章 固体的能带
导电——电子在电场作用下作定向运动，
以一定速度漂移， v 10 -2 cm/s
E
电子得到附加能量
到较高的能级上去，
这只有导带中的电子才有可能。
2021/6/20
第 四 章 固体的能带
p2 E
1982 1989
80286 80486
13.4万 120万
1993 pentium
320万
1995
pentium MMX
550万
………
集成度每 10 年增加 1000 倍 ！
2021/6/20
第 四 章 固体的能带理论
复旦固体物理讲义-18能带计算方法简介
非周期性 周期性 对称性 非自旋极化 自旋极化
14
能带计算方法分类
• 各种能带计算方法基本上可分为
* 对晶体势场V(r)的不同近似 * 对组成晶体电子波函数的基函数的不同选取
根据不同的研究对象、根据计算条件对势场和 基函数作不同的近似处理不同的物理思想
http://10.107.0.68/~jgche/ 能带计算方法简介
5
0 G
X
W
L
G
K
如何考虑问题？
• 布里渊区边界空晶格模型能带简并
* 近自由电子布里渊区边界能带分裂
• 空晶格模型能带
* 能带填充？
http://10.107.0.68/~jgche/
能带计算方法简介
6
解答
•
k F 3 n
2
1/ 3
2 a
9 2
1/ 3
2 1.127 a
• •
边界的高对称点上，简并将打开，此外，由 于K~L完全在布里渊区边界上，各是二重简 并，也将打开； 计算自由电子的费米球半径，kF=? 下面5个高对称点中，W和K点大，计算其波 矢。自由电子的费米能级应该比第一条能带 与W点的交点稍高。考虑到边界散射引起的 费米面畸变，必须稍高于W点处由于边界散 射所引起的能级分裂
• 这是个线性方程组，写成矩阵形式
H E C 0
E 单位矩阵 c1 c2 C ... c n Vij V ( K i K j )
24
T1 V12 V13 ... V1n V21 T 2 V23 ... V2n H ... V V V ... T n n1 n2 n3 Ti ( K i k ) 2
固体物理总结能带理论、固体物理知识点总结
一、考试重点晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带论的基本概念和基本理论和知识二、复习内容第一章晶体结构基本概念1、晶体分类及其特点：单晶粒子在整个固体中周期性排列非晶粒子在几个原子范围排列有序（短程有序）多晶粒子在微米尺度内有序排列形成晶粒，晶粒随机堆积准晶体粒子有序排列介于晶体和非晶体之间2、晶体的共性：解理性沿某些晶面方位容易劈裂的性质各向异性晶体的性质与方向有关旋转对称性平移对称性3、晶体平移对称性描述：基元构成实际晶体的一个最小重复结构单元格点用几何点代表基元，该几何点称为格点晶格、平移矢量基矢确定后，一个点阵可以用一个矢量表示，称为晶格平移矢量基矢元胞以一个格点为顶点，以某一方向上相邻格点的距离为该方向的周期，以三个不同方向的周期为边长，构成的最小体积平行六面体。
原胞是晶体结构的最小体积重复单元，可以平行、无交叠、无空隙地堆积构成整个晶体。
每个原胞含1个格点，原胞选择不是唯一的晶胞以一格点为原点，以晶体三个不共面对称轴（晶轴）为坐标轴，坐标轴上原点到相邻格点距离为边长，构成的平行六面体称为晶胞。
晶格常数WS元胞以一格点为中心，作该点与最邻近格点连线的中垂面，中垂面围成的多面体称为WS原胞。
WS原胞含一个格点复式格子不同原子构成的若干相同结构的简单晶格相互套构形成的晶格简单格子点阵格点的集合称为点阵布拉菲格子全同原子构成的晶体结构称为布拉菲晶格子。
4、常见晶体结构：简单立方、体心立方、面心立方、金刚石闪锌矿铅锌矿氯化铯氯化钠钙钛矿结构5、密排面将原子看成同种等大刚球，在同一平面上，一个球最多与六个球相切，形成密排面密堆积密排面按最紧密方式叠起来形成的三维结构称为密堆积。
六脚密堆积密排面按AB\AB\AB…堆积立方密堆积密排面按ABC\ABC\ABC…排列5、晶体对称性及分类：对称性的定义晶体绕某轴旋转或对某点反演后能自身重合的性质对称面对称中心旋转反演轴8种基本点对称操作14种布拉菲晶胞32种宏观对称性7个晶系6、描述晶体性质的参数：配位数晶体中一个原子周围最邻近原子个数称为配位数。
能带论计算方法简介
a
21
三、总结
凝聚态物理的核心问题之一是关于多粒子系统的电子性质，基于单电子近似的能带理 论为解释固体中电子的绝大部分性质提供了一个概念框架：按电学性质把晶体分为金属、 半导体和绝缘体；不但可以解释晶体的导电性质，也可以解释晶体的光学、磁学和热学性 质。因此发展了许多近似方法来计算晶体的能带，本文简单介绍了一些常用的方法，从宏 观上对能带计算方法有一个把握。
布洛赫函数能带计算的两能带计算的两种途径种途径用自由原子用自由原子的轨道的轨道波函数作为波函数作为传导电传导电子波函数基子波函数基用自由电子用自由电子平面波平面波波函数作为波函数作为传导电传导电子波函数基子波函数基不同能带计算方法的特征区别在两个方面1采用不同的函数集来展开晶体波函数
能带计算方法简介
a
2
能带论的中心任务是求解晶体周期势场中的单电子薛定谔方程：
其解应具有Bloch函数形式：
布洛赫函数
a
3
能带计算的两种途径
用自由原子的轨道 波函数作为传导电
子波函数基础
用自由电子平面波 波函数作为传导电
子波函数基础
不同能带计算方法的特征区别在两个方面 （1）采用不同的函数集来展开晶体波函数； （2）根据研究对象的物理性质对晶体势作合理的、有效的近似处理。
a
1
一、引言
能带论是研究固体运动的一个主要理论基础。它是以量子力学的观点发 展起来的。它的出发点是：固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整 个固体内运动。
要确定能带的结构是一个非常复杂的多体问题，难于严格求解，量子力 学能够严格求解的只是二体问题。为求解多体问题，需经绝热近似、静态近 似、单电子近似等把问题简化为单电子问题来处理。单电子理论虽然是一个 近似理论，但实际的发展证明它成为某些重要领域精确概括电子运动规律的 基础或半定量的经典理论。
《固体物理》能带理论
1964, W. Kohn等建立密度泛函理论， 借助与计算机，能够定量计算高分子、纳 米材料、介观器件等。（精确计算）
五、能带的近似理论
2）单电子近似
其他电子的影响忽略，或归结到势场。
理由：由于泡利不相容原理，两电子 间的平均距离较大。
3）周期场近似
离子实或其他电子的作用归结为一个周期
性势场：
V
(r )
V
(r
Rn
)
五、能带的近似理论
能带问题简化为“单电子在周期场”的运动
H (r) E (r)
2 2m
电子的动量。
hk 被称为“晶体动量”，K是描述电子状态
的一个量子数。
§3-2 近自由电子近似
实际晶格中，势能是周期性变化的， 若势能起伏不太大
取平均势 势的起伏用微扰论处理（周期性微扰）
一、模型和微扰计算
V
周期势： V (x) V (x la)
1.零级近似：
, x 0, x L V (x) V , 0 x L
2
V
(r)
(r)
E
(r)
本 章 下 面 的 内 容 主 要 讨 论 这 种 单 电 子 Schordinger 方程的求解方法——初等量子力学
§3-1 布洛赫定理
Next:怎样求解周期场中的Schordinger 方程
一、Bloch 定理（1）
在周期性势场中运动的电子的波 函数可写成布洛赫波的形式：
上海师大固体物理第五章(5)能带途径解读
原 胞 法
A P W 法
P S P 法
O P W 法
原胞法 Cellular method：Wigner-Seitz 1933 缀加（增广）平面波法 APW—Augmented plane wave method：Slater 1937
格林函数法
Korring 1947，Kohn Rostoker 1954 正交平面波法 OPW—Orthogonal plane wave method：Herring 1940 赝势法 PSP—Pseudo-potential method：Harrison 1966 密度泛函理论
第六节
能带途径
5.6.1 能带计算的基本思想 5.6.2 原胞法 5.6.3 缀加平面波方法（APW） 5.6.4 正交化平面波法（OPW） 5.6.5 赝势法（PSP） 5.6.6 密度泛函理论（DFT）5.6.1 能 Nhomakorabea计算概况
在单电子近似下，包括晶体中近自由电子模型和紧束缚电 子模型，周期场中大量独立电子的运动导致了能带图像。 但是和实验结果比较，近自由电子模型和紧束缚电子模型 在计算实际能带时显得太粗糙。 为了计算晶体的能带，曾发展了许多近似方法，如正交平 面波法）、赝势法、原胞法、缀加平面波法等，其核心是 选择适当的波函数和晶体势场。这些方法既需要比较深的 量子力学基础，又需要大量繁琐的数学运算。 近代的能带计算多使用大型计算机，采用建立在密度泛函 理论基础上的局域密度近似。但早期的几个模型均可用来 作密度泛函计算，所以这里我们简要的定性地介绍一些曾 获得一定成功的模型和方法。
Calculated valence bands for aluminum (three electrons outside of a closed-shell neon configuration) compared with free electron bands (dashed lines). The bands are computed by the KKR method.
杨莉-大物ii课件 第18章.固体的能带结构
2021/8/17
6
§18-2 晶体中的电子 能带结构
从泡利不相容原理出发来研究能带的形成。
1.电子的共有化
晶体中原子排列的很紧
密，因而各相邻原子的波函
数(或者说外电子壳层)将发 生重叠。因此，各相邻原子 Mg
。
的外层电子，很难说是属于
那个原子，而实际上是处于
为各邻近原子乃至整个晶体 所共有的状态。这种现象称
称为受主能级。
满带顶部与杂质能级之
E
间的能量很小，在温度
导带(空)
不很高的情况下,满带
中的电子很容易被激发
受主能级
到受主能级，同时在满
E<0.1eV 带中形成空穴。带正电
满带
的空穴移动是导电的。 大量空穴的存在，使其
导电性大大提高。
受主— 收容从满带跃迁来的电子。
P型半导体的多数载流子是空穴。
2021/8/17
的是，半导体的禁带较窄，而绝缘体的禁带较宽。
2021/8/17
12
E
空带
禁 带 E=0.12eV
满带 (a)半导体的能带
E 空带
禁 带 E=36eV
满带
(b)绝缘体的能带
绝缘体的禁带一般很宽,一般的热激发、光照或外加电场 不是特别强时,满带中的电子很少能被激发到空带中去,所 以绝缘体有较大的电阻率，导电性极差。
导带(空) 施主能级
满带
E=10 -2eV
施主能级与导 带底部之间的 能量差值很小， 通常温度下， 施主能级中的 电子很容易被 激发而跃迁到 导带去。 大量 自由电子的存 在大大提高了 半导体的导电 性能。
施主—不断向空带输送电子。容易看出，N型半导体
固体物理中的能带理论
固体物理中的能带理论摘要本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似、包络函数模型(平面波展开方法)等基本理论。
还介绍了采用了包络函数法和近自由电子近似法来计算其能带结构。
可以看出，采用包络函数方法外推势能分布为体材料的势能分布时得到能带结构与利用准自由电子近似的方法得到的结果一致；另外，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。
而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。
关键词：能带理论包络函数近自由电子近似1 引言能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。
在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。
最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。
例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。
在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。
后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。
到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5， 7， 8， 11]、K.P方法[12]。
人们用这些方法对量子阱[2， 8， 9，10]。
量子线[11，12，13]、量子点结构[16， 17]的材料进行了计算和分析，并取得了较好计算结果。
使得对这些结构的器件的设计有所依据。
并对一些器件的特性进行了合理的解释。
固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的祸合，半导体中的价电子状态分为导带与价带，二者又以中间的禁带(带隙)分隔开。
从半导体的能带理论出发引出了非常重要的空穴的概念，半导体中电子或光电子效应最直接地由导带底和价带顶的电子、空穴行为所决定，由此提出的P-N结及其理论己成为当今微电子发展的物理依据。
固体物理学中的能带理论
固体物理学中的能带理论固体物理学是研究固体物质特性和行为的学科。
其中，能带理论是固体物理学中的重要内容之一。
这个理论的提出和发展，深刻地影响着我们对物质的认识和应用。
在本文中，将介绍能带理论的基本概念、理论构建的主要过程以及对实际应用的影响。
1. 能带理论的基本概念能带理论是描述固体材料中电子结构的理论框架。
它基于量子力学的原理，认为在固体中，电子的运动状态和能量分别由多个能带和能带间的禁带带宽所决定。
能带是指具有类似能量水平的电子能级。
禁带带宽则表示在能带之间禁止电子的能量范围。
2. 理论构建的主要过程能带理论的构建经历了一系列的发展过程。
最早的一些能带理论如卢瑟福模型和Drude模型，是基于经典力学和经典电动力学的假设，对于一些简单情况具有一定的解释能力。
然而，这些模型无法解释复杂固体中的行为，因为它们没有考虑到量子力学效应。
在量子力学的框架下，人们使用薛定谔方程和波函数的理论来描述电子在固体中的行为。
经典的能带理论建立在Bloch定理的基础上，该定理认为固体中的电子具有周期性的晶格势场作用下的波函数形式。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到电子的能量本征值和本征态。
3. 对实际应用的影响能带理论的提出和发展对固体物理学的研究产生了深远的影响。
首先，能带理论提供了解释固体材料电子运动行为的一个理论模型。
它可以解释金属、绝缘体和半导体等不同类型材料的电导特性，以及它们在外界条件下的响应。
其次，能带理论对材料的设计和合成起着重要作用。
通过对能带结构的调控，我们可以设计出具有特定能带特性的新材料。
例如，针对光电子器件应用的材料，我们可以通过调节能带结构来实现不同波长的能带过渡和光电转换。
而且，能带理论也对半导体器件的工作原理给出了关键的解释。
例如，能带理论对于理解和优化半导体二极管、晶体管和太阳能电池等器件的性能至关重要。
它可以揭示不同物理机制对器件行为的影响，为器件的设计和优化提供了指导。
总结起来，能带理论是固体物理学中一项重要的理论构建。
固体能带计算方法
第23卷第1期贵州大学学报(自然科学版)Vol.23No.1 2006年 2月Journal of Guizhou University(Natural Sciences)Feb.2006文章编号 1000-5269(2006)01-0068-05固体能带计算方法3闫万,谢 泉,朱林山,金石声(贵州大学计算机科学与工程学院,贵阳550025)摘 要 作者综述了固体能带常用的计算方法,并采用第一性原理赝势平面波方法计算了Si和Ge的电子能带,对计算结果进行了分析。
关键词 固体能带;赝势平面波方法;第一性原理中图分类号 O48111 文献标识码 A0 引言早期,人们对于晶体中电子能带结构的了解只是定性的,随着科技的发展情况就完全不同了。
一方面由于纯单晶的制备,低温、微波等技术的发展,人们可以通过回旋共振、磁阻、磁光、光谱等实验来直接测定若干晶体的电子能带结构;另一方面,由于电子计算机的广泛应用,在理论上也可以对能带结构进行更精确的计算。
能带理论在材料的研究中已经成为非常有用的工具[1,2]。
对于三维的周期场中的单电子问题,通常采用各种近似方法求解,首先,选取某个具有布洛赫函数形式的完全集,把晶体电子态的波函数用此函数集展开,然后代入薜定谔方程,确定展开式的系数所必须满足的久期方程,据此可求得能量本征值,再依照逐个本征值确定波函数展开的系数。
选择不同的函数集合,有不同的计算方法。
借助快速大容量的电子计算机,使实际的计算更快捷。
本文将对这些常用的计算方法进行论述,并采用第一性原理分子动力学方法对Si和Ge的能带进行了计算。
1 固体能带计算的方法111 原子轨道线性组合法(LCAO)[3]紧束缚方法(Tight2Banding)又称为原子轨道的线性组合法,简称LCAO方法。
第一次由F.B l och在1929年推出的,其中心思想就是用原了轨道的线性组合来作为一组基函数,由此而求解固体的薛定谔方程。
这个方法是基于这样的物理图像,即认为固体中的电子态与其组成的自由原子态差别不大。
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• 得到
2
V ( r ) ( k , r ) E ( k ) ( k , r )
2 r
V (r ) E (k )
1 V
c ( k , K ) e i ( k K ) r 0
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22
• 能带在能量上有交迭，但未连通
1. 费米能级位于两个能带之间，两个能带均未满 2. 两个能带之间没有能隙，下一能带全填满
•
这样的能带结构虽是金属，但导电能力差
* 区别与铁磁性半金属（half-me68/~jgche/
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12
半导体带间跃迁：直接跃迁和间接跃迁
对相互作用的合理地截断与近似 对基函数的合理地取舍与近似
• 两种主要的能带结构计算方法物理思想
* 赝势方法 * 紧束缚方法
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2
第18讲、能带计算方法简介
1. 2. 3. 4. 5. 空晶格能带过渡到典型的金属能带 半导体能带结构 能带计算方法的物理思想 近自由电子近似——平面波方法 举例——只取两个平面波
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• GaAs
* 直接能隙 * 与Si的能带不同之 处主要在价带s带 和p带之间有能 隙！全在边界上， 即 XWK ？
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11
半金属（semimetal）能带示例
16
能带如何形成——紧束缚观点
• 紧束缚近似认为晶体电子好象孤立原子的电子 一样紧紧束缚在该原子周围
* 孤立原子的分裂能级由于孤立原子互相靠拢，有相 互作用，孤立原子能级从而扩展成能带
• 由于与周围的束缚在其他原子上的电子仅有很 小的相互作用
* 因此，可以用孤立原子的电子波函数构成晶体波函 数，并且只考虑与紧邻原子的相互作用
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评论
• 设问：晶体电子共有化与紧束缚思想矛盾？ • 设问：晶体电子共有化在紧束缚方法中如何体 现？ • 紧束缚方法用局域波函数和周期性的相因子来 构成满足Bloch函数的基函数 • 而近自由电子用平面波基函数是自然的
* 平面波本身就是非局域的！ * 平面波本身就是调幅为常数的Bloch函数！
上讲回顾
• 金属、绝缘体和半导体
* 电子如何填充能带可用原胞内电子填充判断？ * 满带、空带、禁带。满带不导电！
• 结构因子与布里渊边界能级简并的分裂
* 物理原因同X射线衍射的消光现象原胞内等价原 子波函数在布里渊区边界反射相干
• 三维空晶格模型的能带结构
* 为何发生能带重叠？能带简约图如何得到？由于3D 布里渊区的复杂结构，与1D不同，高布里渊区能带 E(k+K)并不一定比低布里渊区能带高，例子 * 如何给出能带结构？沿B区边界高对称轴，因为能 带在布里渊区边界上简并被打开，发生畸变。可反 映能带特征。特别对金属，除此外与自由电子类似
* 靠近核区，波函数振荡对应平面波波矢大的成分！ * 远离核区，波函数平滑对应平面波波矢小的成分！
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平面波方法
• 数学上，看Bloch波函数
( k , r ) e i k r u ( k , r )
u (k , r ) u (k , r R )
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5
0 G
X
W
L
G
K
如何考虑问题？
• 布里渊区边界空晶格模型能带简并
* 近自由电子布里渊区边界能带分裂
• 空晶格模型能带
* 能带填充？
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6
解答
•
k F 3 n
: (0,0,0); L : (0.5,0.5,0.5); X : (1,0,0); K : (0.75,0.75,0);W : (1,0.5,0)
2 2 2 2 1.118 k W 1.25 1.061 k K 0.75 2 http://10.107.0.68/~jgche/ a a 能带计算方法简介 a a
* Muffin-tin势 * 赝势
• 能带计算方法从构成晶体波函数的基函数上可 分成两大类：
* 紧束缚近似 * 近自由电子近似
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15
能带如何形成——近自由电子观点
• 近自由电子近似认为晶体电子仅受晶体势场很 弱的作用， E(k)是连续的能级
7
free electron band structure in fcc
相关要点
• 第一个解答关 键是判断几重 简并，绘出分 裂的示意图 • 第二个解答的 关键是自由电 子费米波矢 • 金属能带有交 迭，能隙出现 在B区边界， 但并不贯通 • 为何不直接计 算EF？
* V(K=0)=0
Energy (Ryd)
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4、近自由电子近似——平面波方法
• 平面波方法——动量空间
* 平面波波矢大小对应不同的动量
• 近自由电子（平面波）——价电子 • 真实情况？ • Ze2/r
* 靠近核区，势变化剧烈 * 远离核区，势变化平缓
• 对应的晶体波函数的性质?
• u既然是R的周期函数，也可以作Fourier展开
u (k , r ) 1 V
K
c ( k , K ) e i K r
• c(k,K)是展开系数
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• Bloch波函数现为
(k , r )
1 V
K
c ( k , K ) e i ( K k ) r
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• 方程有非平凡解的条件是其系数行列式为零
T1 - E V12 V21 ... Vn1
V13 ... V1n 0
T 2 - E V23 ... V2n Vn2 Vn3 ... T n E
2
det ( K k ) E ( k ) K , K ' V ( K ' K ) 0
• 价带电子吸收能量，跃迁到导带，应满足能量 和动量守恒
E(k)
导带
E(k)
中间带
导带
价带
价带
k
直接跃迁Δk=0 间接跃迁Δk≠0
13
k
3、能带计算方法的物理思想
相对论 非相对论 全电子势（Muffin-tin） 赝势 凝胶模型（自由电子气的背景） 局域密度泛函近似 非局域修正
2
V r xc r r, k E k r, k
* 由于受周期性势场的微扰，E(k)在Brillouin区边界 产生分裂、突变禁带，连续的能级形成能带
• 这时晶体电子行为与自由电子相差不大
* 因此，可以用自由电子波函数(平面波)的线形组合 来构成晶体电子波函数，描写晶体电子行为
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• 这是个线性方程组，写成矩阵形式
H E C 0
E 单位矩阵 c1 c2 C ... c n Vij V ( K i K j )
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T1 V12 V13 ... V1n V21 T 2 V23 ... V2n H ... V V V ... T n n1 n2 n3 Ti ( K i k ) 2
2
1/ 3
2 a
9 2
1/ 3
2 1.127 a
• •
边界的高对称点上，简并将打开，此外，由 于K~L完全在布里渊区边界上，各是二重简 并，也将打开； 计算自由电子的费米球半径，kF=? 下面5个高对称点中，W和K点大，计算其波 矢。自由电子的费米能级应该比第一条能带 与W点的交点稍高。考虑到边界散射引起的 费米面畸变，必须稍高于W点处由于边界散 射所引起的能级分裂
* 价带顶和导带底概念对应化学中分子的最高占据分 子轨道和最低未占据分子轨道(HOMO和LUMO)
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典型的半导体能带
• 这是典型的金刚石结构的半 导体的能带图(Si)：费米能 级(价带顶)，间接能隙 • 最重要的是半导体能带在价 带顶以上有贯通整个B区的 能隙——禁带 • 也仍然可以看到自由电子能 带发展而来的影子，虽然有 很大的差别 • XW之间的简并是典型的 金刚石结构因子特有，因为 其原胞内两个原子完全等价
• 其中势的Fourier展开系数为
V ( K ' K ) 1 V
V i ( K K ' ) r V ( r ) e dr
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( k K )
K
2
E ( k ) K ,K ' V ( K ' K ) c ( k , K ) 0
6. 平面波方法评论 7. 赝势