实变函数论文

实变函数论文(设计) 题目：各角度讨论逼近思想在实变

课程中的应用

学院：数学与计算机科学学院

班级：数学与应用数学五班

姓名：王凯

指导教师：崔亚琼

完成日期： 2015 年1月 3 日

各角度谈论逼近思想在实变课程中的应用

一、逼近思想在函数中的形成

从18世纪到19世纪初期，在L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶、J.-V.彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题。这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的。

在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法。切比雪夫提出了最佳逼近概念,研究了逼近函数类是n次多项式时最佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元定理的特征。他和他的学生们研究了与零的偏差最小的多项式的问题,得到了许多重要结果。已知【α,b】区间上的连续函数ƒ(x),假,(n≥0),叫做ƒ(x)的n阶最佳一致逼近值,也简称为最佳逼近值，简记为E n(ƒ)。能使极小值实现的多项叫做ƒ(x)的n阶最佳逼近多项式。切比雪夫证明了,在区间【-1,1】上函数x n+1的n阶最佳逼近多项式必满足关系式。多项就是著名的切比雪夫多项式。切比雪夫还证明了,…+是ƒ(x)在【α,b】上的n阶最佳逼近多项式的充分必要条件是：在【α，b】上存在着n+2个点:α≤x1

1885年德国数学家K.（T.W.）外尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理，这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示，但是没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好。如果考虑后一个问题，那么自然就需要考虑在次数不超过某个固定整数n的一切多项式中如何来选择一个与ƒ(x)的一致误差最小的多项式的问题，而这正好是切比雪夫逼近的基本思想。所以可以说切比雪夫和外尔斯特拉斯是逼近论的现代发展的奠基者。

20世纪初在一批杰出的数学家，包括С.Η.伯恩斯坦、D．杰克森、瓦莱－普桑、H.L.勒贝格等人的积极参加下，开创了最佳逼近理论蓬勃发展的阶段。这一理论主要在以下几个方面取得了很大进展：

二、逼近思想在数学课程中的应用

1、佳逼近的定量理论

在逼近论中系统地阐明函数的最佳逼近值E n(ƒ)（借助于代数多项式来逼近,或

者对2π周期函数借助于三角多项式来逼近，或借助于有理函数来逼近等等）的数列

当n→∞时的性态和函数ƒ（x）的构造性质（可微性、光滑性、解析性等等）之间内

在联系的理论统称为定量理论。

杰克森、伯恩斯坦等人的工作对逼近论的发展所产生的影响是深远的。沿着他们

开辟的方向继续深入，到20世纪30年代中期出现了J.A.法瓦尔、Α.Η.柯尔莫哥

洛夫关于周期函数函数类借助于三角多项式的最佳逼近的精确估计以及借助于傅里

叶级数部分和的一致逼近的渐近精确估计的工作。这两个工作把从杰克森开始的逼近论的定量研究提高到一个新的水平。从那时起，直到60年代,以С.М.尼科利斯基、Α.И.阿希耶泽尔等人为代表的很多逼近论学者在定量研究方面继续有许多精深的研究工作。

2、逼近论的定性理论

切比雪夫发现了连续函数的最佳逼近多项式的特征，提出了以切比雪夫交错点组著称的特征定理。最佳逼近多项式是唯一存在的。最佳逼近多项式的存在性、唯一性及其特征定理都是定性的结果，对这些问题的深入研究构成了逼近论定性研究的基本内容。匈牙利数学家A.哈尔在1918年首先研究了用广义多项式在【α,b】上对任意连续函数ƒ的最佳逼近多项式的唯一性问题。在【α,b】上给定n+1个线性无关的连续函公式。作为逼近函数类

公式，式中α0,α1,…,αn是任意参数。这样的P(x)称为广义多项式。是存在的。哈尔证明,为了对每一连续函数ƒ唯一,必须而且只须任一不恒等于零的广义多项式P(x,α0,α1,…,αn)在【α, b】内至多有n 个不同的根。在20世纪20～30年代,伯恩斯坦、М.Γ.克列因等人对满足哈尔条件的函

公式做过很多深入的研究。它在逼近论、插值论、样条分析、矩量论、数理统计中有着比较广泛的应用。

关于最佳逼近多项式的切比雪夫特征定理也有很多进一步的研究和推广。其中最重要的一个推广是柯尔莫哥洛夫在1948年做出的，它涉及复平面的闭集上的复值连续函数借助于复值广义多项式的一致逼近问题。

对于l p【α，b】（1≤p<+∞）内的函数ƒ借助于广义多项式在p次幂尺度下的逼近问题也建立了类似的一套定性定理。到50～60年代，经过一些学者的努力，抽象逼近的定性理论建立起来。

3、线性算子的逼近理论

最佳逼近多项式和被逼近函数间的关系除了平方逼近的情形外一般都不是线性关系。线性关系比较简单，线性算子比较容易构造。所以在逼近论发展中人们一直非常重视对线性逼近方法的研究，形成了逼近论中一个很重要的分支──线性算子的逼近理论。针对特定的函数类、特定的逼近问题设计出构造简便、逼近性能良好的线性逼近方法与研究各种类型的线性逼近方法（算子）的逼近性能，一直是线性算子逼近理论的中心研究课题。在这一方面，几十年来取得了十分丰富的成果。比较著名的经

现在函数逼近论已成为函数理论中最活跃的分支之一。科学技术的蓬勃发展和快速电子计算机的广泛使用给它的发展以强大的刺激。线代数学的许多分支，包括基础数学中象拓扑、泛函分析、代数这样的抽象学科以及计算数学、数理方程、概率统计、应用数学中的一些分支都和逼近论有着这样那样的联系。函数逼近论正在从过去基本上属于古典分析的一个分支发展成为同许多数学分支相互交叉的、密切联系实际的、带有一定综合特色的分支学科。

三、 实变课程学习心得

在学习实变课程的过程中，逼近思想处处贯穿于实变函数的整体，在这个过程中实变函数充分的应用了逼近思想，有如下特例：

例1：设()[],f x C a b ∈，则对任何ε>0，存在多项式()P x ,使在a x b ≤≤上，一致有

()()f x P x ε-<

证：对于[][],0,1a b =情形，注意到();Bn f x 为n 次多项式，应用推理1即得所需的结论。对于一般情形，可利用线性变换()x a b a t =+-将区间a x b ≤≤将区间0t 1≤≤来观察。

上述例子是著名的魏尔斯特拉斯逼近逼近定理（1885年），利用这一逼近定理，很容易给出空间[]a,P L b 可分性。（详见实变函数课本P244）

例2:设()f x 是有界可测集E 上几乎处处有限的可测函数，则对任意的ε>0，存在闭集(),F E m E F ε⊂-<，而()f x 限制在F 上是连续的。

剖析：鲁津定理给出了可测函数的一种逼近，运用了闭集对可测集的逼近，也通过函数的逼近来证明该项定理，这样充分的使逼近的思想在实变函数中得以应用，具体的证明可以通过课本查阅（详见实变函数与泛变函数函数第一册P119）

例3：设()f x 是[],a b 上的可积函数，则对任何正数ε，有[],a b 上的函数()g x ，使

()[](),a b f x g x dm ε-<⎰

分析：采用连续函数来平均逼近可积函数，使得可积函数，可测函数与连续函数建立了明确的关系，使得逼近思想在实变课程中得到最好的应用。

随着逼近思想的产生和形成，并且得到充足的发展，在数学史上算是一场盛世。逼近思想被广泛的应用在数学这门科学当中，并且逐渐的形成有效的规模，我们 应