实变函数论文
浅谈学习实变函数的感受
浅谈学习实变函数的感受——从Riemann 积分到Lebesgue 积分摘要：积分是整个数学分析中最重要的概念，现有的积分主要分为两种，一种是近代数学核心的黎曼积分（R 积分），另一种是实变函数论的重点勒贝格积分（L 积分）。
两者是独立的，却又有联系，本文主要简单讲解R 积分和L 积分的相关知识点，粗浅地了解一下R 积分和L 积分。
仅仅从函数的应用上来说，L 积分又比R 积分广泛些，R 积分在应用上有很大的局限性，而L 积分摆脱了R 积分的应用困难，扩大了应用范围。
关键字：黎曼积分（R 积分）、勒贝格积分（L 积分）、定义、定理、区别、联系一、Riemann 积分的相关知识 1、R 积分的定义f （x ）是在[a,b]区间上的有界函数，在[a,b]取n 个分割点，即是a<x 1<x 2<....<x n <b,在某个小区间[x i ,x i+1]上任取一点εi ，i=1,2,3,....作和）（）（i 1i n1i i x -x f S +=∑=ε. 令)(max r 11i i ni x x -=+<=<=，如果r →0时，s 趋于有限的极限，则称f （x ）在[a,b]上的黎曼积分，记作dx x f R I b a⎰=）（. 2、R 积分的充分必要条件 f （x ）在[a,b]上黎曼可积⇔dx x f m lim lim )(f ba11⎰∑∑⎰====∞→=∞→—）（i ni i n i n i i n baM dx x εε其中M i =sup{f(x)}，m i =inf{f(x)}，x i <x<x i+1.ξεξ<∃>∀⇔∑=i n1i i m T ,0，使分割.ξεηξη<∃>∀>∀⇔∑/W i i T ,0,0 。
3、R 积分的缺陷（a ）微积分基本定理条件太强微积分基本定理在整个微积分学中起着至关重要的作用，遗憾的是并非所有Riemann 可积函数都能使这一定理成立，这是Riemann 积分的一大缺陷。
实变函数的性质及应用
实变函数的性质及应用实变函数是数学中常见的一类函数，其定义域和值域都是实数集。
在应用数学以及工程领域，实变函数的性质及应用非常广泛。
本文将探讨实变函数的一些基本性质，并介绍一些实际应用。
一、实变函数的基本性质1. 连续性与间断性：实变函数可以是连续函数，也可以是不连续函数。
连续函数在其定义域内不存在断裂点，而不连续函数可能存在跳跃或间断点。
2. 极限：实变函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值的趋近情况。
极限的存在与否可以用来判断函数的光滑性和收敛性。
3. 导数：实变函数的导数是用来描述函数的变化率，即函数在某点处的切线斜率。
导数的存在与连续性密切相关，可用来解决最优化问题。
4. 凹凸性：凹凸函数是指函数图像在任意两点间的曲线部分都位于直线部分的下方或上方。
凹函数具有一些特殊的性质，如在图像上有唯一的极小值点。
二、实变函数的应用1. 数学模型：实变函数在数学模型的建立与求解中具有重要作用。
通过对实际问题的抽象和描述，可以建立相应的实变函数模型，并利用函数的性质求解。
2. 物理问题：实变函数在物理问题中也有广泛应用。
例如，针对某一物理过程可以建立实变函数模型，通过对函数性质的研究，可以得到物理问题的解析解。
3. 经济学：实变函数在经济学中的应用非常广泛。
例如，经济学中常常使用实变函数来描述供给、需求、效用函数等经济关系。
通过研究函数的性质，可以获得有关经济现象的一些结论。
4. 信号处理：实变函数在信号处理中起着重要作用。
例如，通过对声音、图像等信号的离散采样，可以将连续信号离散化为实变函数，并进一步对其进行处理分析。
5. 金融学：实变函数在金融学中的应用日益重要。
例如，在量化投资中，通过对股票市场等金融数据的建模，可以得到实变函数来预测市场走势。
总之，实变函数作为数学中的重要概念，在应用数学以及工程领域有着广泛的应用。
通过研究实变函数的性质，我们可以更好地理解和解决实际问题。
实变函数的性质以及在不同领域的应用，给我们提供了丰富的数学工具，为我们探索和创新提供了更大的空间。
实变函数的发展及其应用
实变函数的发展及其应用摘要：以实数作为自变量的函数叫做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。
实变函数是近代分析数学领域的基础知识，它把研究对象扩大到定义在可测集上的可测函数，并运用集合论的观点对函数及其定义域做更加细致的分析，使微积分在较宽松的环境中加以运用。
从性质上来讲，它是微积分学的进一步发展。
关键词：实变函数；连续模型；概率和统计引言：实变函数的基础是点集论。
所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。
比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。
实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。
实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。
一、微积分与实变函数的发展历史简述微积分与实变函数的发展历史可以追溯到17世纪末，当时科学家们开始研究变量的变化率和累积量的问题，这些量的研究逐渐形成了微积分的基础。
微积分是数学分析的重要分支，主要研究变量在一定范围内的变化情况，包括函数的极限、导数、积分等概念。
实变函数是微积分的一个重要分支，它研究的是在实数范围内定义的函数。
实变函数在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用，它的出现推进了数学分析和应用的发展。
最初，微积分的研究主要集中在解决一些与速度、运动、曲线等问题有关的数学问题。
例如，科学家们研究了物体的运动规律，计算出速度和加速度之间的关系等。
这些问题的解决需要用到导数和积分等微积分的基本概念。
随后，数学家们开始研究更为一般的微积分问题，包括求解复杂的方程和证明一些重要的定理。
在这个过程中，数学家们发现了一些新的问题和挑战，例如奇异积分、无穷级数等，这些问题的研究和解决需要更为深入的数学知识。
在现代数学中，实变函数已经成为一个非常活跃和重要的研究领域。
它不仅在理论数学中有重要地位，而且在应用领域也有广泛的应用。
《实变函数论》范文
《实变函数论》范文《实变函数论》是数学分析的重要领域之一，主要研究实变函数的性质和性质之间的相互关系。
实变函数是自变量和函数值都是实数的函数，是数学中的基础概念之一、实变函数论的研究对象包括实变函数的连续性、可导性、积分性质、收敛性以及函数的极限等方面。
通过对实变函数的系统研究，可以深入理解数学分析的基本概念，为后续研究提供重要的基础。
实变函数的基本性质是连续性。
连续性是指函数在其中一点处的函数值和该点的邻域中的函数值之间的关系。
实变函数的连续性可分为点连续和区间连续两种情况。
点连续是指函数在其中一点处连续，而区间连续是指函数在其中一区间上连续。
连续函数有许多重要性质，如介值定理、零点定理等。
实变函数的另一个重要性质是可导性。
可导性是指函数在其中一点处存在导数。
导数是函数在其中一点处的变化率，可以理解为函数在该点处的斜率。
可导函数具有许多重要的性质，如极值点的判定、求函数的最大值和最小值等。
实变函数的积分性质也是实变函数论的重要内容。
积分是求函数在其中一区间上的面积，是函数与坐标轴之间的关系。
实变函数的积分分为不定积分和定积分两种情况。
不定积分是求函数的原函数，而定积分是求函数在其中一区间上的面积。
积分也具有许多重要的性质，如积分中值定理、换元积分法等。
实变函数的极限是实变函数论的核心概念之一、极限是指函数在其中一点无限接近一些数的趋势。
实变函数的极限有两个方向，即正向极限和负向极限。
极限具有包含关系，即正向极限等于负向极限等于极限的值。
实变函数的收敛性是指函数序列或函数列在其中一点趋于一些数的性质。
实变函数的收敛性有点收敛和一致收敛两种情况。
点收敛是指函数在其中一点处收敛，而一致收敛是指函数在整个区间上收敛。
收敛性是实变函数论的重要内容，对于理解函数的性质和应用具有重要作用。
总结来说，《实变函数论》是研究实变函数的性质和性质之间的相互关系的数学分析的重要领域。
通过对实变函数的连续性、可导性、积分性质、收敛性以及函数的极限等方面的研究，可以深入理解数学分析的基本概念，为后续研究提供重要的基础。
卡拉西奥多里 实变函数论 参考文献
卡拉西奥多里实变函数论参考文献在深入探讨卡拉西奥多里和实变函数论之前，我们应该先了解这两个主题的基本概念。
卡拉西奥多里（Carathéodory）是20世纪著名的希腊数学家，他在实变函数论领域做出了重要贡献。
实变函数论是数学分析中的一个重要领域，研究的是实数域上的函数的性质和性质。
在本文中，我们将以从简到繁、由浅入深的方式来探讨卡拉西奥多里和实变函数论这两个主题。
我们将介绍卡拉西奥多里的生平和学术成就，然后深入探讨实变函数论的基本概念和重要定理。
我们将分析卡拉西奥多里对实变函数论的影响，探讨他对该领域的重要贡献。
我们将总结和回顾本文的内容，共享个人对这两个主题的理解和观点。
一、卡拉西奥多里简介卡拉西奥多里（1873-1950）是一位具有希腊和德国血统的数学家，他在数学分析、复变函数论和实变函数论等领域做出了杰出的贡献。
他曾在德国、俄罗斯和希腊等国家任教，是一位颇具国际影响力的学者。
他对复变函数论和实变函数论的研究成果为这两个领域的发展做出了重要贡献。
二、实变函数论基本概念实变函数论是数学分析中研究实数域上的函数的性质和性质的一个重要分支。
它涉及到实数域上的函数序列、级数、连续性、导数、积分等内容。
实变函数论的基本概念包括实数、实函数、集合论、度量空间、拓扑空间、测度论等知识。
在实变函数论中，有一些重要的定理，如连续映射的性质、一致收敛的性质、傅里叶级数的收敛性等。
三、卡拉西奥多里对实变函数论的贡献卡拉西奥多里在实变函数论领域进行了深入的研究，他提出了许多重要的理论和定理。
其中，卡拉西奥多里收敛定理是他最为著名的成果之一。
这个定理在实变函数论和复变函数论中都有重要的应用。
卡拉西奥多里还对测度论、拓扑空间、可测函数等问题做出了深刻的研究，为实变函数论的发展做出了重要贡献。
四、总结和回顾通过对卡拉西奥多里和实变函数论的深入探讨，我们对这两个主题有了更加全面、深刻和灵活的理解。
卡拉西奥多里作为一位杰出的数学家，在实变函数论领域做出了重要贡献，他的成果对后人的研究产生了深远的影响。
实变函数论文
实变函数论文实变函数论文(设计)课程中的应用题目：各角度讨论逼近思想在实变姓名：王凯指导教师：崔亚琼完成日期： 2021 年 1 月 3 日学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学五班各角度谈论逼近思想在实变课程中的应用一、逼近思想在函数中的形成从18世纪到19世纪初期，在L. 欧拉、P.-S. 拉普拉斯、J.-B.-J. 傅里叶、J.-V. 彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题。
这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的。
在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法。
切比雪夫提出了最佳逼近概念, 研究了逼近函数类是n 次多项式时最佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元定理的特征。
他和他的学生们研究了与零的偏差最小的多项式的问题, 得到了许多重要结果。
已知【α, b 】区间上的连续函数ƒ(x ), 假,(n ≥0),叫做ƒ(x ) 的n 阶最佳一致逼近值, 也简称为最佳逼近值，简记为E n(ƒ) 。
能使极小值实现的多项叫做ƒ(x ) 的n 阶最佳逼近多项式。
切比雪夫证明了, 在区间【-1,1】上函数x n+1的n 阶最佳逼近多项式必满足关系式。
多项就是著名的切比雪夫多项式。
切比雪夫还证明了,…+是ƒ(x ) 在【α, b 】上的n 阶最佳逼近多项式的充分必要条件是：在【α，b 】上存在着n +2个点:α≤x 11885年德国数学家K. （T.W. ）外尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理，这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示，但是没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好。
如果考虑后一个问题，那么自然就需要考虑在次数不超过某个固定整数 n 的一切多项式中如何来选择一个与ƒ(x ) 的一致误差最小的多项式的问题，而这正好是切比雪夫逼近的基本思想。
数学分支之实变函数论
数学分支之实变函数论实变函数论的产生微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学差不多差不多上成熟了。
数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它专门快就形成了数学中的一大部门，也确实是数学分析。
也正是在那个时候，数学家逐步发觉分析基础本身还存在着学多问题。
比如，什么是函数那个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。
以至长期争辩者问题的如此和那样的解答，如此和那样的数学结果，弄不清怎么说谁是正确的。
又如，关于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的明白得。
十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。
后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，那个函数是连续函数，然而维尔斯特拉斯证明了那个函数在任何点上都没有导数。
那个证明使许多数学家大为吃惊。
由于发觉了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。
人们又连续发觉了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发觉了连续然而不分段单调的函数等等。
这些都促使数学家考虑，我们要处理的函数，仅仅依靠直观观看和推测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。
比如，连续函数必定可积，然而具有什么性质的不连续函数也可积呢？假如改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？……上面这些函数性质问题的研究，逐步产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这确实是实变函数。
实变函数的内容以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。
它是微积分学的进一步进展，它的基础是点集论。
什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。
也能够说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最差不多的概念和性质的。
比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。
实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。
“实变函数”课程教学改革探讨
“实变函数”课程教学改革探讨“实变函数”主要是由法国数学家Lebesgue于19世纪末、20世纪初创立的。
它是大学数学专业本科课程中的一门重要基础课，可以拓展大学生的数学知识面，培养大学生的创新意识，提高大学生的抽象思维能力，深化大学生对现代分析数学理论的理解。
它是普通微积分学的延续，其主要内容是克服了Riemann积分的缺点、以Lebesgue测度理论为基础的Lebesgue积分理论。
它是从事数学教学和科学研究必不可少的基础课程，其理论已被广泛应用到基础数学和应用数学的许多分支，诸如复分析、泛函分析、算子理论与算子代数、微分方程、概率论等。
“实变函数”是数学专业课程中既难教又难学的一门课程。
它的诸多方法源于数学分析，然而又高于数学分析。
该课程理论性强，内容抽象且对初学者的基础知识要求较高，其难度较高。
另外，随着高等教育的普及化，数学专业的大学生成倍、甚至几十倍增加，学生的整体学习水平较之从前有了较大的下滑。
目前大部分高等院校的“实变函数”教学都面临着以下困境：教师投入的时间和精力越来越多，而学生的学习积极性和学习效果却越来越差；期末考核难度越来越低，而学生的考核成绩却越来越差。
从教学内容、教学方法和考核方式三个方面探讨了“实变函数”课程的教学改革。
一、教学内容1.“实变函数”的教学内容是一个动态概念一方面，“实变函数”的教学内容在不同历史时期是不同的，在不同的院校也是不同的。
20世纪70年代，“实变函数”教学主要是在大学基础数学专业中开展，其内容是全面的集合论、测度论和积分论，讲解过程中强调严谨的推理和证明。
目前绝大部分高等院校的数学专业都已经开设了“实变函数”课程，其中大部分工科类院校的实变函数主要是介绍相关的概念和常识，讲解过程中强调证明和证明方法。
另一方面，“实变函数”的教学内容以课程定位为基础，需要在教与学的实践过程中不断完善和发展。
准确的课程定位是课程改革和教学改革成功的前提，[2，3]是撰写教学大纲和授课计划的基础。
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实变函数论文(设计) 题目：各角度讨论逼近思想在实变
课程中的应用
学院：数学与计算机科学学院
班级：数学与应用数学五班
姓名：王凯
指导教师：崔亚琼
完成日期： 2015 年1月 3 日
各角度谈论逼近思想在实变课程中的应用
一、逼近思想在函数中的形成
从18世纪到19世纪初期，在L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶、J.-V.彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题。
这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的。
在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法。
切比雪夫提出了最佳逼近概念,研究了逼近函数类是n次多项式时最佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元定理的特征。
他和他的学生们研究了与零的偏差最小的多项式的问题,得到了许多重要结果。
已知【α,b】区间上的连续函数ƒ(x),假,(n≥0),叫做ƒ(x)的n阶最佳一致逼近值,也简称为最佳逼近值，简记为E n(ƒ)。
能使极小值实现的多项叫做ƒ(x)的n阶最佳逼近多项式。
切比雪夫证明了,在区间【-1,1】上函数x n+1的n阶最佳逼近多项式必满足关系式。
多项就是著名的切比雪夫多项式。
切比雪夫还证明了,…+是ƒ(x)在【α,b】上的n阶最佳逼近多项式的充分必要条件是：在【α，b】上存在着n+2个点:α≤x1<x2<…xn+2≤b,在这些点上依照i=1,2,…,n+2的次序交错变号，②。
点组{x1,x2,…,x n+2} 便是著名的切比雪夫交错组。
1885年德国数学家K.（T.W.）外尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理，这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示，但是没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好。
如果考虑后一个问题，那么自然就需要考虑在次数不超过某个固定整数n的一切多项式中如何来选择一个与ƒ(x)的一致误差最小的多项式的问题，而这正好是切比雪夫逼近的基本思想。
所以可以说切比雪夫和外尔斯特拉斯是逼近论的现代发展的奠基者。
20世纪初在一批杰出的数学家，包括С.Η.伯恩斯坦、D．杰克森、瓦莱－普桑、H.L.勒贝格等人的积极参加下，开创了最佳逼近理论蓬勃发展的阶段。
这一理论主要在以下几个方面取得了很大进展：
二、逼近思想在数学课程中的应用
1、佳逼近的定量理论
在逼近论中系统地阐明函数的最佳逼近值E n(ƒ)（借助于代数多项式来逼近,或
者对2π周期函数借助于三角多项式来逼近，或借助于有理函数来逼近等等）的数列
当n→∞时的性态和函数ƒ（x）的构造性质（可微性、光滑性、解析性等等）之间内
在联系的理论统称为定量理论。
杰克森、伯恩斯坦等人的工作对逼近论的发展所产生的影响是深远的。
沿着他们
开辟的方向继续深入，到20世纪30年代中期出现了J.A.法瓦尔、Α.Η.柯尔莫哥
洛夫关于周期函数函数类借助于三角多项式的最佳逼近的精确估计以及借助于傅里
叶级数部分和的一致逼近的渐近精确估计的工作。
这两个工作把从杰克森开始的逼近论的定量研究提高到一个新的水平。
从那时起，直到60年代,以С.М.尼科利斯基、Α.И.阿希耶泽尔等人为代表的很多逼近论学者在定量研究方面继续有许多精深的研究工作。
2、逼近论的定性理论
切比雪夫发现了连续函数的最佳逼近多项式的特征，提出了以切比雪夫交错点组著称的特征定理。
最佳逼近多项式是唯一存在的。
最佳逼近多项式的存在性、唯一性及其特征定理都是定性的结果，对这些问题的深入研究构成了逼近论定性研究的基本内容。
匈牙利数学家A.哈尔在1918年首先研究了用广义多项式在【α,b】上对任意连续函数ƒ的最佳逼近多项式的唯一性问题。
在【α,b】上给定n+1个线性无关的连续函公式。
作为逼近函数类
公式，式中α0,α1,…,αn是任意参数。
这样的P(x)称为广义多项式。
是存在的。
哈尔证明,为了对每一连续函数ƒ唯一,必须而且只须任一不恒等于零的广义多项式P(x,α0,α1,…,αn)在【α, b】内至多有n 个不同的根。
在20世纪20～30年代,伯恩斯坦、М.Γ.克列因等人对满足哈尔条件的函
公式做过很多深入的研究。
它在逼近论、插值论、样条分析、矩量论、数理统计中有着比较广泛的应用。
关于最佳逼近多项式的切比雪夫特征定理也有很多进一步的研究和推广。
其中最重要的一个推广是柯尔莫哥洛夫在1948年做出的，它涉及复平面的闭集上的复值连续函数借助于复值广义多项式的一致逼近问题。
对于l p【α，b】（1≤p<+∞）内的函数ƒ借助于广义多项式在p次幂尺度下的逼近问题也建立了类似的一套定性定理。
到50～60年代，经过一些学者的努力，抽象逼近的定性理论建立起来。
3、线性算子的逼近理论
最佳逼近多项式和被逼近函数间的关系除了平方逼近的情形外一般都不是线性关系。
线性关系比较简单，线性算子比较容易构造。
所以在逼近论发展中人们一直非常重视对线性逼近方法的研究，形成了逼近论中一个很重要的分支──线性算子的逼近理论。
针对特定的函数类、特定的逼近问题设计出构造简便、逼近性能良好的线性逼近方法与研究各种类型的线性逼近方法（算子）的逼近性能，一直是线性算子逼近理论的中心研究课题。
在这一方面，几十年来取得了十分丰富的成果。
比较著名的经
现在函数逼近论已成为函数理论中最活跃的分支之一。
科学技术的蓬勃发展和快速电子计算机的广泛使用给它的发展以强大的刺激。
线代数学的许多分支，包括基础数学中象拓扑、泛函分析、代数这样的抽象学科以及计算数学、数理方程、概率统计、应用数学中的一些分支都和逼近论有着这样那样的联系。
函数逼近论正在从过去基本上属于古典分析的一个分支发展成为同许多数学分支相互交叉的、密切联系实际的、带有一定综合特色的分支学科。
三、 实变课程学习心得
在学习实变课程的过程中，逼近思想处处贯穿于实变函数的整体，在这个过程中实变函数充分的应用了逼近思想，有如下特例：
例1：设()[],f x C a b ∈，则对任何ε>0，存在多项式()P x ,使在a x b ≤≤上，一致有
()()f x P x ε-<
证：对于[][],0,1a b =情形，注意到();Bn f x 为n 次多项式，应用推理1即得所需的结论。
对于一般情形，可利用线性变换()x a b a t =+-将区间a x b ≤≤将区间0t 1≤≤来观察。
上述例子是著名的魏尔斯特拉斯逼近逼近定理（1885年），利用这一逼近定理，很容易给出空间[]a,P L b 可分性。
（详见实变函数课本P244）
例2:设()f x 是有界可测集E 上几乎处处有限的可测函数，则对任意的ε>0，存在闭集(),F E m E F ε⊂-<，而()f x 限制在F 上是连续的。
剖析：鲁津定理给出了可测函数的一种逼近，运用了闭集对可测集的逼近，也通过函数的逼近来证明该项定理，这样充分的使逼近的思想在实变函数中得以应用，具体的证明可以通过课本查阅（详见实变函数与泛变函数函数第一册P119）
例3：设()f x 是[],a b 上的可积函数，则对任何正数ε，有[],a b 上的函数()g x ，使
()[](),a b f x g x dm ε-<⎰
分析：采用连续函数来平均逼近可积函数，使得可积函数，可测函数与连续函数建立了明确的关系，使得逼近思想在实变课程中得到最好的应用。
随着逼近思想的产生和形成，并且得到充足的发展，在数学史上算是一场盛世。
逼近思想被广泛的应用在数学这门科学当中，并且逐渐的形成有效的规模，我们 应
该牢牢的抓住这门课程的重点，使它在数学发展史上更加充足的发展和应用。
在上述的例子以及学习过程中我们可以看出逼近思想在实变课程中得到了广泛的应用，我们应在解题的过程中充分的考虑逼近思想，利用逼近思想来解决数学难题。
逼近思想让实变课程富有了生命力！。